1 mécanique quantique i -- chapitre v-vi-vii cours-vii.pdf
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1
Mécanique Quantique I -- Chapitre V-VI-VII
http://dpnc.unige.ch/users/blondel/mecanique-quantique/
cours-VII.pdf
2
à une particule on avait associé une amplitude de probabilité (A.P.)(ou fonction d’onde) qui est un élément d’un espace de Hilbert (EH =L2(R3) , fonctions de carré sommable sur R3 )
Un Espace de Hilbert est un espace vectoriel sur le corps des complexes, muni d’un produit scalaire Hermitien.
),( tr
On a vu que la donnée de ou de sont équivalentes (transformées de Fourier l’une de l’autre)
ce sont deux des représentations possibles d’un même objet mathématique qu’on appelle vecteur d’état
),( tp),( tr
)(t
Dirac a nommé ces objets kets
3
à une particule on associe une A.P. , ou vecteur d’état ou ket
qui est un élément d’un espace de Hilbert Un espace de Hilbert est un espace vectoriel sur le corps des complexes, muni d’un produit scalaire Hermitien
le produit scalaire de par est noté
)(t
)(1 t )(2 t
)()( 12 tt
il a la symétrie Hermitienne )()()()( 21
*
12 tttt
la norme d’un vecteur d’état est )()()(2
ttt
par définition (si on parle d’une particule) 1)(2 t
4
le produit scalaire de par est noté)(1 t )(2 t
)(1 t
)()( 12 tt
est appelé bra
un bra est un élément de l’espace dual EH*
(ensemble des applications linéaires continues définies sur EH )
il y a correspondance bi-univoque entre EH et EH* donc on parle
des mêmes objets mathématiques (et ~physiques)
5
exemple I
un espace de Hilbert de dimension finie est un espace Hermitien
les vecteurs peuvent se représenter comme des matrices colonnede coefficients complexes
nu
u
u
u
.
.
.2
1
nv
v
v
v
.
.
.2
1
n
nni
ii
u
u
vvuvuv
.
.
.
...
1
**1
,1
*
|ket> = vecteur colonne, <bra| = vecteur ligne des complexes conjugués
6
exemple II
EH =L2(R3) , fonctions de carré sommable sur R3
1),( 32
rdtr
rdtrtrtt 3
1*
212 ),(),()()(
produit scalaire hermitien
norme
7
OPERATEURS
grandeur physique à mesurer opérateur hermitien Â
opérateur= application linéaire sur l’espace de Hilbert Â|>=’> > et’> EH
(dans un espace hermitien c’est une matrice de dimension nxn)
on fait souvent l’opération< (Â |>)= (< Â)|>= <Â|>
qui est appelée élement de matrice de  entre et
valeur moyenne de  sur |> : <a> = <Â|>
8
nu
u
u
u
.
.
.2
1
nv
v
v
v
.
.
.2
1
nnnn
n
n
njni
jiji
u
u
AA
AA
vvuAvuAvijA .
.
.
..
...
....
..
...
1
1
111
**1
,1,1
*
en notation matricielle:
nnnn
nn
n
nnn
n
uAuA
uAuA
u
u
u
AA
AA
uAijA
....
.
.
...
.
.
.
..
...
....
..
11
1111
2
1
1
111
9
operateur adjoint ou conjugué Hermitique †
|u> et |v> EH *† ) Â( Â vuuv
(transposé et complexe conjugué)
un opérateur est auto-adjoint ou Hermitien si Â= †
pour une matrice: Aij= Aji*
si Â= † les valeurs moyennes sont réelles <a> = <uÂu> = <u† u> = <a>*
10
EH =L2(R3) , fonctions de carré sommable sur R3
rdtrxtrtxt 3
1*
212 ),(),()(ˆ)(
opérateur position et impulsion
)(ˆ)(),(),(
),(),()( x)(
123
1*
2
*
32
*11
†2
txtrdtrxtr
rdtrxtrtt
l’opérateur position est donc Hermitien
11
EH =L2(R3) , fonctions de carré sommable sur R3
rdtrxi
trtpt x
31
*212 ),(),()(ˆ)(
opérateur position et impulsion
l’opérateur impulsion est donc aussi Hermitien
rdtrx
tri
rdtrx
tri
rdtrxi
trtt x
31
*2
3*21
*
32
*11
†2
),(),(),(),(
),(),()(p)(
on intègre par parties
le Hamiltonien est aussi un opérateur Hermitien
12
Vecteurs propres et valeurs propres
A
si Â= † les valeurs propres sont réelles :<A> = <  > = = < † > = < † >*= *
les vecteurs propres correspondant à deux valeurs propresdifférentes sont orthogonaux
< Â > = < (Â >)= < > = (< Â) >= < > =0 si
13
Théorème spectral (théorème de Riesz):
l’ensemble { , r >} des vecteurs propres orthonormés d’unopérateur Hermitien forme une base Hermitienne de l’espace de Hilbert
voir dans le cours l’exemple des états stationnaires de l’oscillateur harmonique qui forment une base de l’expace des fonctions de EH =L2(R)
ceci veut dire que:on peut décomposer tout vecteur de EH
comme combinaison linéaire des vecteurs propres d’un opérateur Hermitien
14
projecteur
l’opérateur In> <nI permet de calculer la projectiond’un élément de l’espace sur le vecteur In>
> = Cn n>
<n > = Cn
Cn n> = In> <n > = (In> <n ) I >
15
soit Â= † et ses valeurs propres i i=1,…nà chaque valeur propre correspond un sous espace propre(en général ce sous espace propre n’est pas de dimension 1)de dimension n .
A cette dimension n on fait correspondre un indice r =1, …n
On trouve une base orthonormée du sous espace propre correspondant à la valeur propre dont les vecteurs sont , r > r =1, …n
l’ensemble des vecteurs propres de  est { i, r i > ri =1, …ni } i=1,…n si l’espace est de dimension finie N, i=1..n ni =N
Théorème spectral (théorème de Riesz):
16
si on a ainsi défini les vecteurs de base n> on peut écrire tout état sous la forme
u> = Cn n> et <u = Cn* <n d’où <uIu> = ICnI2
l’ensemble des Cn définit complètement l’etat Iu> et constitueune nouvelle représentation de Iu>
si Iv> = Dn n> le produit scalaire <vIu> s’écrit
<vIu> = Dn* Cn
17
par exemple l’ensemble des fonctions propres du Hamiltonien de l’oscillateur Harmonique: (revoir cours chap. 4 p. 82)
2
2
2 xnx
nn edx
deC
n=0,1,2…
constitue une base des fonctions de EH =L2(R3) ,
que l’on pourra noter n= In>
on peut reprendre les expressions des opérateurs x et px
)(1)()(2
)()(1)(2
11
11
xnxnxdx
da
xnaxnaxx
nnn
nnn
18
)(1)()(2
)()(1)(2
11
11
xnxnxdx
da
xnaxnaxx
nnn
nnn
soit
maavec
nnnna
inp
nnnna
nx
x
)111(2
)111(2
on voit que l’application de x ou px fait passer d’un état In> à un mélange de In-1> et In+1>
19
on peut écrire ces récurrences sous forme matricielle
)111(2
)111(2
nnnnm
inpnnnnm
nx x
)1(2
ˆ
0
..
0
.
01020
0201
0010
2ˆ
1,1,
iiiiij iim
x
ii
mx
)1(2
ˆ
0
..
0
.
01020
0201
0010
2ˆ
1,1,
iiiiijx
x
iim
ip
ii
mip
20
exercice: utiliser la relation 22
2
ˆ2
1
2
ˆˆ xmm
pE
pour écrire le Hamiltonien et vérifier qu’on retrouve bien
ij
iE
iE
2
12ˆ
2
12
.
0
.
0
.
0
02/500
002/30
0002/1
ˆ
21
Autre exemple:
fonctions propres du Hamiltonien d’un puits bords infinis à 3D
)sin(2
)(,2
222
xx
xn
x
xn L
xn
Lx
mL
nE
xx
)sin(2
)(,2
222
yy
yn
y
yn L
yn
Ly
mL
nE
yy
)sin(2
)(,2
222
zz
zn
z
zn L
zn
Lz
mL
nE
zz
)()()(),,(
),,(
,,
,,
zyxzyx
EEEE
HHHzyxH
zyxzyx
zyxzyx
nnnnnn
nnnnnn
zyx
qui sont bien des bases des fonctions définies surun segment et qui s’annulentau bords
22
cette fois la représentation sous forme de bra-kets doit tenir compte de ce qu’on augmente la dimension de l’espace
)()()(),,(
),,(
,,
,,
zyxzyx
EEEE
HHHzyxH
zyxzyx
zyxzyx
nnnnnn
nnnnnn
zyx
produit tensoriel d’espaces
Ex = fonctions de carré sommable sur [0,L]
E = fonctions de carré sommable sur [0,Lx]x [0,Ly]x [0,Lz] = Ex Ey Ez
pour le Hamiltonien considéré les fonctions propres sont
zyxzyxzyx nnnnnnnnn ,,
23
remarquer que si Lx=Ly certaines valeurs de l’énergie correspondent à plusieurs paires de nombres nx et ny (ex. nx=1, ny=2 aura la même énergie que nx=2, ny=1)
c’est un exemple de dégénerescence ou l’on doit donner un autre nombre quantique que E, soit r
dans le cas présent on donnera nx ny, nz ou E, ny,nz pour caractériser un état.
24
Mesure d’une grandeur physique Â
on ne trouvera comme résultat possible que les valeurs propres de Â
pour un état I> = C I> tel que ÂI>= I>
la probabilité de mesurer sera P= II<I>II2 =IIC II2
les valeurs dépendent de l’opérateur, les probabilités dépendent de l’état du système
valeur moyenne des résultats de la mesure
<A>=<IAI> = < I A C I> = C* C <I> = IIC II2
= P
Après mesure, si le système existe encore, il sera dans l’état I>
25
Evolution dans le temps
Pour un système statique (H ne dépend pas du temps) l’évolution dans le temps de l’amplitude de probabilité d’un système s’obtient en décomposant le vecteur d’état I> sur la base des états propres I n > du Hamiltonien (Etats stationaires)
nn
tEi
n
nn
n
n
eCt
Ct
)(
)0(
Dans le cas plus général, l’évolution dans le temps s’obtient enappliquant l’équation de Schrödinger
Ht
i ˆ
26
Paradoxe!
Il semble y avoir deux types d’évolution dans le temps.
1. Celui donné par l’équation de Schrödinger
l’évolution est continue, du type
Ht
i ˆ
nn
tEi
n
n
eCt
)(
2. l’évolution déterminée par une ‘mesure’, qui est discontinue
)(t
“Réduction du paquet d’ondes”. Voir la discussion ‘epistémologique’ dans le livre sur les tentatives visant à réconcilier ces deux modes.
27
Avant la mesure, le système évolue mais l’information que l’on a nechange pas. La prédiction du résultat de la prochaine mesure varie de façon continue (et ne varie pas pour un état stationnaire).
Après la mesure, une information supplémentaire existe, qui est le résultat de la mesure. Le vecteur d’état est modifié pour tenir en compte cette nouvelle information, et évolue de nouveau de façoncontinue et réversible. L’interaction physique de l’instrument de mesure avec le système peut contribuer à ce changement, mais pas necessairement.
Le passage de ‘avant’ à ‘aprés’ mesure est (quasi) discontinu etgénéralement irréversible.
28
Exemple fameux (et quelque peu fumeux): le chat de Schrödinger
atome radioactif p.ex. 6He 6Li+ +e- +
detecteur (scintillateur et photomultiplicateur) électronique (amplificateur de signal) dispositif brisant une ampoule de gaz toxique animal de laboratoire (chat souris etc…)
“gedanken experiment”
29
Comme la boite est fermée il n’y a pas moyen de savoir ce qui se passe. A un certain moment on ouvre la boite et effectue l’observation. la souris peut être “encore vivante” ou “…morte”.
Qui tue la souris?
-- l’atome qui se désintègre?-- la personne qui ouvre la boite et effectue l’observation?
En fait la mécanique quantique ne répond pas à cette questionPar contre elle est capable de prédire quelle est la probabilitéen fonction du temps que l’observation donne le résultat ‘vivant’ ou ‘mort’ Pmort (t)=1-exp(-t/) Pvivant= exp(-t/) ou est le temps de vie moyen du 6He.
la personne qui a préparé l’epérience..?
ou
30
Chapitre VI Sytèmes à deux états
Formalisme et exemples On est dans le cas d’un espace de Hilbert à deux dimensions.
Remarques:I. Ceci peut être une approximation (cas de la molécule d’ammoniaque si on se restreint au sous espace des deux niveaux les plus bas) ou un cas plus rigoureux (traitement du spin d’une particule, polarisation de la lumière, système particule-antiparticule (K0-K0, B0-B0)
II. le cas de systèmes à trois états (neutrinos), ou à petit nombre d’états molécule de benzène etc.. est similaire.
31
0
11
1
02 011 102
vecteur quelconque:
21
2
*1
***
Espace de Hilbert à deux dimensions
vecteurs de base:
normalisation: 122
opérateur Hermitien général
daicb
icbdaM a,b,c,d réels
321 ˆˆˆˆˆ dcbIaM avec
01
10ˆ1
10
01I
10
01ˆ3
0
0ˆ2 i
i
32
Exemple Polarisation de la lumière
z
y
x
p
s
un faisceau de photons = ensemble de photons indépendantsLa polarisation de la lumière résulte du spin des photons: ils ‘tournent’ sur eux-mêmes avec un moment cinétique = On peut représenter le spin des photons par un espace de Hilbert à deux dimensions
0
1x
1
0y
sin
cos
lumière polarisée linéairement selon l’axe x, y,
iG
1
2
1
i
D1
2
1
1.
ps
ps
1.
ps
ps
lumière polarisée circulairement
33
Polariseur
Un polariseur sélectionne la lumière polarisée linéairement selon un axe parallel à l’axe du polariseur. il s’agit bien d’une mesure.L’état de la lumière après le polariseur est Ix>, Iy>, I> pour un polariseur orienté selon x, y, . L’opérateur “polariseur” est représenté par un projecteur Â=
2
2
sincossin
cossincossincos
sin
cos
valeurs propres et états propres: 1 <-> I> ; 0 <-> I + /2>
La probabilité qu’un photon initialement dans l’état I> ‘passe’ estP= II< I >II2 = II cos cos+ sin sinII2 = cos2( - )
34
expériences avec un polariseur
on ne peut pas réduire la mécanique quantique à la probabilité des résultats obtenus lors d’une mesure.
Le fait que l’état physique résultant est un vecteur propre de l’opérateur correspondant est essentiel.
35
revenons sur la molécule d’ammoniaque
niveaux d’énergie les plus bas
E0A
E1A1
E1-E0 =0,12 eV
A = 0.5 10-4 eVA1= 5 10-3 eV
rapport statistique des populations (loi de Bolzmann):
kT
EE
j
iji
eN
N
pour T=100oK NA/NS~1, N1/N0 ~10-6
approximation: les états sont IS> et IA>
AS
36
0
1S
1
0A
vecteur quelconque:
21
Espace de Hilbert à deux dimensions
vecteurs de base Hamiltonien
122
AE
AEH
0
0
0
0ˆ
2/
2/
0
00
0
0
)(ti
tit
Ei
tAE
i
tAE
i
e
ee
e
et
AS EEA 20
Evolution dans le temps:
37
IS> IA>IS> - IA> IS> + IA>
1
1
2
1G
1
1
2
1D
IG> et ID> sont les vecteurs propres de 1 pour les valeurs propres -1 et 1.
construct observable that is measured to be 1 for ID> and -1 for IG>
X= ID> <DI - IG> <GI= ( ) = 1 0 11 0
Evolution dans le temps: supposons qu’on ait comme état initial ID>
tee
e
eeetXttX
titi
ti
tititi
0
2/
2/2/2/
cos)(2
1
01
10
2
1)()()(
00
0
0
00
2/
2/
0
00
2
1)(
ti
tit
Ei
e
eet
38
Oscillation: c’est ce qui se passe typiquement pour un système ou on a deux états et ou l’on laisse évoluer le système à partir d’unétat qui n’est pas état propre du Hamiltonien pour la particule libre
P(D)P(G)<X>
t
-1
1
0
la fréquence de cette oscillation est 24 GHz…La molécule ayant un moment dipolaire, elle émet des photons à cette fréquence qui sont detectés par ex. dans le vide insterstellaire
39
Molécule dans un champ électrique
La molécule d’ammoniaque a un moment électrique dipolaire, la présence d’un champ électrique E donne une énergie potentielle supplémentaire W
XXdDW ˆˆˆ.ˆ0
pour un champ electrique aligné sur ox
modification du Hamiltonien H=H0+W
AE
AE
AE
AEH
0
0
0
0
01
10
0
0ˆ
Les valeurs propres sont modifiées, les états propres aussiquelles vont être les conséquences mesurables?
40
nouvelles valeurs propres v1+v2=Trace=2E0
v1.v2 = determinant= E02-A2-2
AE
AEH
0
0ˆ
220
220
AEE
AEE
vecteurs propres:
sin
cos)(
sin
cosˆ 220
0
0 AEAE
AEH
A
)2tan(solution
cos
sin
sin
cos
41
champ
E-E0
+A
-A
E0+
E0-E-
E+
0
0
S
A
G
D
42
Force dans un gradient de champ
pour <<A H = E0 A d02/2A
d02/2A est semblable à un potentiel 20
2
A
dVF
cette force est de direction opposée pour les particules dans l’état I-> et I+>
séparation des faisceaux!
43
_
_+
+
S
A
on peut ainsi enrichir le faisceau avec un des deux types de molécules. En particulier on obtient un faisceau enrichi en qui est l’état d’énergie le plus élevé. C’est ce qu’on appelle une inversion de population.
La création d’une inversion de population (parfois appelée pompage) est un des préliminaires à l’effet MASER (micowave) ou LASER (Light) Amplification by Stimulated Emission of Radiation
A
44
Maser à ammoniaque
SA
AS EEA 20
Emission spontanée:
)2( 0 ASSA EEAphoton
très lent ( >= 1mo)
Emission stimuléeon soumet les molécules à un champ electromagnétique à une pulsation voisine de 0 :
Ceci ajoute au Hamiltonien un terme
tcos0
AEt
tAEd
AE
AEH
0
00
0
0
cos
cos
01
10
0
0ˆ
01
10ˆ0dDW
dans la base ,S A
45
AEt
tAEd
AE
AEH
0
00
0
0
cos
cos
01
10
0
0ˆ
Hamiltonien dépendant du temps!
On ne peut pas déterminer la dépendance en temps à partirdes états stationnaires: ils n’existent pas.
Ht
i ˆ
appliquons
)(
)()(
tb
tatà
)(
)(
cos
cos
)(
)(
0
0
tb
ta
AEt
tAE
tb
tai
)(cos)()()(
)(cos)()()(
0
0
tattbAEtbi
tbttaAEtai
soit
46
)(cos)()()(
)(cos)()()(
0
0
tattbAEtbi
tbttaAEtai
equations couplées. Poser
on verra un exemple soluble exactement avec la résonnance magnétique. On peut résoudre numériquement aussi
tEiti
tEiti
eettb
eetta
00
00
2
2
)()(
)()(
A20
)(2
)(2)()(
1
)()(1
00
00
titi
titi
eei
eei
1
47
Evolution:
)2
)((sin)( 21
20
2max)(
tPtP SA
21
20
21
max )(
P
Resonance!
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 2 4 6 8
Série1
Tmax = 1 ~10-7s pour E=1 kV/m
)()( tP SA
t/T
La transition est complètesi
21
20 )(
T0 = 1/24 GHz = 10-11s
omega
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.5E+11 1.5E+11 1.5E+11 1.5E+11 1.5E+11 1.5E+11
omega
PMax
si I (t=0)>=IA> I< SI (t)>I2 =
48
MASER
tcos0
_+
+SA
S
inversion de population
emission stimulée
applications: amplification de signaux très faibles(la source est un champ extérieur)
génération de faisceaux d’ondes intenses et cohérentes (MASER, LASER)
49
Le principe d’émission stimulée et de résonance est utilisé pour de multiples applications métrologiques
Horloges atomiques
l++>
l+->
133Csraie hyperfine de
= 9 192 631 770 Hz = définition de la seconde
la mesure de fréquence est la plus précise qui existe (on “compte” les coups par seconde)
50
Observables qui commutent
Si deux observables Ô1 et Ô2 commutent, il existe un base de EH formée de vecteurs propres communs de Ô1 et Ô2
51
exemple: oscillateur harmonique à deux dimensions
yx HHymym
xmxm
H ˆˆ2
1
22
1
2ˆ 22
2
2222
2
22
xH yHet commutent
)()2
1()()(ˆ xnxExH nxxnxnxnxx )()
2
1()()(ˆ xnyEyH nyynynynyy
)()()1()()()ˆˆ( yxnnyxHH nynxyxnynxyx
yxyxnynx nnnnyx ,)()(
est une base commune de xH yHet
52
Ensemble complet d’observables qui commutent
v1
v2
v3
en général le sous espace associé à chaque valeur propre vk
a une dimension nk. On a un ensemble COMPLET si l’état propre commun de V,W,Z est unique: Iv,w,z> est de dimension 1.
w1
w2
w3
w4
w5
w6{
}
{
{ }
}
}
}
z1z2z3z4
z5z6z7
etc…
V ZW
note:les valeurs propres w1 et w2 sont différentesw1 et w3 pas forcément
53
pour --un oscillateur harmonique à une dimension, --un puits fini ou infini à une dimensionle Hamiltonien constitue un ECOC à lui tout seul.
Pour un Oscillateur Harmonique à 2 dimensions Hx, Hy forment un ECOC. I nx, ny > est unique…bien que son energie ne soit pas unique!
L’état I 1, 0 > a la même énergie que l’état I 0, 1 >
Un autre base possible de ce même sous espace propre est
)101(
1,00,12
1
1,00,12
1
on va voir qu’ils correspondent à un autre ECOC….
54
En effet
222
2
22
22
222
2222
2
22
2
111
2
2
1
22
1
2ˆ
rmrrrrm
ymym
xmxm
H
r
x
y
on peut faire apparaitre le moment cinétique
ix
yy
xi
pypxL xyz
ˆˆˆˆˆ
fonctions propres de Lz ?
i
z
erfr
rri
rL
)(),(
),(),(),(ˆ
55
i
erfr )(),( contrainte: (r,)= (r,+2)
)()(2
1
2
1
2
),(2
111
2),(ˆ
222
22
2
22
222
22
22
22
rEfrfrmmrrrrm
rrmrrrrm
rH
qui permet de trouver les valeurs de l’energie
(qui seront fonction de l2 )un état propre se caractérise par un nombre radial solution
de cette equation et un nombre ‘orbital’ l correspondant(Oscillateur harmonique à deux dimensions)
56
L’expérience de Stern et Gerlach
57
58
59
Traitement classique: action d’un champ magnétique sur une particule neutrese fait par son moment dipolaire magnétique
B
pour un moment magnétique sans friction precession avec friction: il s’aligne sur le champ magnétique (boussole)
60
61
62
mouvement dans une force constante (parabolique)
63
mouvement dans une force constante (parabolique)
B
z
z= 0cos z
-1 cos +1
L
cos
2
'20
m
bLz
64
z
m
bLz
2
'20
max
m
bLz
2
'20
min
0B Quantique
0B
0B
Classique
65
quantification des trajectoires? relié à la quantification des raies atomiques?
66
67
Description quantique
Manifestement on doit introduire un degré de liberté interne décrivant le moment magnétique.
concentrons nous sur ce degré de liberté interne pour le moment
68
On a trois observables correspondant auxcomposantes d’un vecteur moment magnétique
zyx ˆ,ˆ,ˆ
Chacune a deux résultats de mesure possible 0
nous nous plaçons donc (au moins) dans un espace à deux dimensions générés par les vecteurs propres de
zz
zz
z
z
0
0
ˆ
ˆ
z
état quelconque zz
0
0
on mesurera avec une probabilité 2
on mesurera avec une probabilité 2
69
0
1z
1
0z 01 z 10 z
vecteur quelconque:
zz
zz ****
Espace de Hilbert à deux dimensions
vecteurs de base:
normalisation: 122
opérateur Hermitien général
daicb
icbdaM a,b,c,d réels
321 ˆˆˆˆˆ dcbIaM avec
01
10ˆ1
10
01I
10
01ˆ3
0
0ˆ2 i
i
70
structure de l’espace et règles de commutation:
Est-ce que commutent?
si oui, on peut trouver une base de vecteurs communs qui pourront s’écrire Ix, y, z> (8 vecteurs). Une autre possibilité serait qu’ils ne commutent pas et que l’epace n’ait que deux dimensions.
Cette question peut être confrontée à des expériences
zyx ˆ,ˆ,ˆ
71
observation:
72
EXPERIMENTAL: x ne commute pas avec z etc…
73
Si x commute avec z la troisième mesure doit donner +0
avec une probabilité de 100%.
74
75
toutes les observations sur les moments mahnétiques de l’atome d’argent sont cohérentes avec la non-commutationde et la représentation matricielle suivante:
zyx ˆ,ˆ,ˆ
01
10ˆ 0x
0
0ˆ 0 i
iy
10
01ˆ 0 z
dans la base des états propres de z.
0
1z
1
0z
1
1
2
1x
1
1
2
1x
iy
1
2
1
i
y1
2
1
76
77
Description complète du problème
78
79
80
81
82
Evolution d’un moment magnétique dans un champ magnétique uniforme
),(
),(
ˆ2
ˆ0
0ˆ2
ˆ
),(
),(ˆ),(
),(
0
2
0
2
tr
tr
Bm
p
Bm
p
tr
trH
tr
tr
dt
di
z
z
on a des equations indépendantes pour I+> et I->on sépare donc
)(
)(),(
),(
),(
t
ttr
tr
tr
2/
2/
0
0
0
0
)0(
)0(
)(
)(
)(
)(
ˆ0
0ˆ
)(
)(ti
ti
z
z
e
e
t
t
t
t
B
B
t
ti
avec h=20Bz
83
On peut calculer les valeurs moyennes des mesures de
zyx ˆ,ˆ,ˆ
tt
tttx 000
** cos)0()0(2)(
)(
01
10)()(
2/
2/
0
0
)0(
)0(
)(
)(ti
ti
e
e
t
t
tt
t
i
itty 000
** sin)0()0(2)(
)(
0
0)()(
))0()0(()(
)(
10
01)()(
22
00**
t
tttz
on retrouve bien le mouvement de precession – sur les valeurs moyennes!
B
<>
84
Description théorique de l’expérience de Stern et Gerlach
),(
),(
ˆ2
ˆ0
0ˆ2
ˆ
),(
),(ˆ),(
),(2
2
tr
tr
Bm
p
Bm
p
tr
trH
tr
tr
dt
di
zz
zz
on fait l’approximation que Bz=B+b’z. Ceci ne respecte pas les équations de Maxwell à strictement parler mais est convenable si on se limite au plan x=0. On a vu que <z> reste constante.
Appliquons le théorème d’Ehrenfest à <r>
m
p
Hz
Hy
Hx
ir
dt
d
],[
],[
],[1
car le seul terme qui ne commute pas est p2
85
'
0
0
],[
],[
],[1
bHp
Hp
Hp
ip
dt
d
zz
y
x
de même pour <p>. Le seul terme qui ne commute pas est zzb’
soit
)'('
)'('
0
0
zétatlpourbpdt
d
zétatlpourbpdt
d
z
z
On a une force différentepour les deux états.
soit en intégrant jusqu’à l’instant t
conditions initiales mvpppr yzx ;0;0
m
tbzvtyx
2';;0
2
0
pour les particules dans l’état I+> ou I-> de z resp.
86
On retrouve bien les deux trajectoires possibles. Au bout d’une distance L on a (on a t=L/v )
2
2
0 2'mv
Lbz ou
2
2
0 'mv
Lbzz
l’expérience n’est significative que si l’effet est plus grand que celui qui résulte de la divergence naturelle du faisceau.
87
On peut avec 4 appareils de gradient de champ créer un filtre de spinqui remet les particules sur le même axe.
x
yz
Filtre Az
Az+
Az-
B0z
I0 II= I0
I>=superposition de I+> et I->
88
x
yz
Filtre Az
Az+
Az-
B0z
I0 II= I0/2I>=I+z>
89
x
yz
Filtre Az
Az+
Az-
B0z
I0 II= I0/2I>=I-z>
90
x
yz
Filtre Az
Az+
Az-
B0z B0y Ay+
Ay-
Filtre Ay Filtre Bz
Bz+
Bz-
B0z
M1 M2 M3I0 I
91
x
yz
Filtre Az
Az+
Az-
B0z B0y Ay+
Ay-
Filtre Ay Filtre Bz
Bz+
Bz-
B0z
M1 M2 M3I0 I
92
x
yz
Filtre Az
Az+
Az-
B0z B0y Ay+
Ay-
Filtre Ay Filtre Bz
Bz+
Bz-
B0z
M1 M2 M3I0 I0
exemple I
I0/2
I0/4
I0/8
0
93
x
yz
Filtre Az
Az+
Az-
B0z B0y Ay+
Ay-
Filtre Ay Filtre Bz
Bz+
Bz-
B0z
M1 M2 M3I0 I
Exemple II
94
Evolution d’un moment magnétique dans un champ magnétique uniforme
),(
),(
ˆ2
ˆ0
0ˆ2
ˆ
),(
),(ˆ),(
),(
0
2
0
2
tr
tr
Bm
p
Bm
p
tr
trH
tr
tr
dt
di
z
z
on a des equations indépendantes pour I+> et I->on sépare donc
)(
)(),(
),(
),(
t
ttr
tr
tr
2/
2/
0
0
0
0
)0(
)0(
)(
)(
)(
)(
ˆ0
0ˆ
)(
)(ti
ti
z
z
e
e
t
t
t
t
B
B
t
ti
avec h=20Bz
95
On peut calculer les valeurs moyennes des mesures de
zyx ˆ,ˆ,ˆ
tt
tttx 000
** cos)0()0(2)(
)(
01
10)()(
2/
2/
0
0
)0(
)0(
)(
)(ti
ti
e
e
t
t
tt
t
i
itty 000
** sin)0()0(2)(
)(
0
0)()(
))0()0((2)(
)(
10
01)()(
22
00**
t
tttz
on retrouve bien le mouvement de precession – sur les valeurs moyennes!
B
<>
96
2/
2/
0
0
)0(
)0(
)(
)(ti
ti
e
e
t
t
tt
tttx 000
** cos)0()0(2)(
)(
01
10)()(
tt
t
i
itty 000
** sin)0()0(2)(
)(
0
0)()(
si 0/2 t
)0(
)0(
)(
)(
t
t
)0()/2(
)0()/2(
0
0
tt
tt
yy
xx
MAIS:
97
x
yz
Filtre Az
Az+
Az-
B0z B0y Ay+
Ay-
Filtre Ay Filtre Bz
Bz+
Bz-
B0z
M1 M2 M3I0 I0
Exemple II
0
1
i1
2
1
i
1
2
1
B
B et L sont tels que t=L/v=2/0
i
1
2
1
0
I0
0
1
i
0
98
Le moment cinétique
On a vu que pour
LiLL
prL
ˆˆˆ
ˆˆˆ
relation de commutation:
On va considérer les propiétés d’un opérateur qui obéit à
le moment magnétique avait la même propriété
ˆ2ˆˆ0
i
JiJJ ˆˆˆ
en particulier chercher ses valeurs propres et vecteurs propres
soit: et permutations circulaires zyx JiJJ ˆˆ,ˆ
99
100
l’opérateur J2 2222 ˆˆˆˆzyx JJJJ
on remarque que 0ˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ 222 zyx JJJJJJ
on va donc trouver une base qui diagonalise J2 et par ex. Jz
On vérifiera que la base est unique il s’agit donc d’un ECOC
mjjjmjJ ,)1(,ˆ 22
On appellera le vecteur propre de J2 pour la valeur h2 j(j+1) et de Jz pour la valeur hm
mj,
mjmmjJ z ,,ˆ
N.B. c’est arbitraire et choisi après connaissance de la solution…mais n’importe quelle valeur de R positive peut s’écrire j(j+1) avec j positif!
101
Quelles sont les valeurs de j et m?
On introduit des opérateurs J+ et J-
de façon semblable aux opérateurs a, a+ pour l’oscillateur harmonique
yxyx JiJJJiJJ ˆˆˆ;ˆˆˆ
il est évident que J2 commute avec J+ et J-. Par contre, JZ :
JJJ
JJiiJiJJiJJJJ
z
xyyzxzz
ˆˆ,ˆ
ˆ)ˆ(ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ
étudions l’état mjJ ,ˆ
102
étudions l’état mjJ ,ˆ
mjJjjmjjjJmjJJmjJJ ,ˆ)1(,)1(ˆ,ˆˆ,ˆˆ 2222
mjJmmjJJJmjJJ zz ,ˆ)1(,ˆˆˆ,ˆˆ
mjJ ,ˆ est donc un état propre de J2 pour la valeur j (ou il est nul)
mjJ ,ˆ est un état propre de Jz pour la valeur m+1 (ou il est nul)
de mêmemjJ ,ˆ
est un état propre de J2 pour la valeur j (ou il est nul)
mjJ ,ˆ est un état propre de Jz pour la valeur m-1 (ou il est nul)
103
j
m
mjJ ,ˆ
mj,
mjJ ,ˆ
m
m+1
m-1
104
ou nul? calculons le module de
mjJJmjmjJJmjmjJ ,ˆˆ,,ˆˆ,,ˆ 2
mjJ ,ˆ
zzxyyxyxyxyx JJJJJJJiJJJiJJiJJJ ˆˆˆ)ˆˆˆˆ(ˆˆ)ˆˆ)(ˆˆ(ˆˆ 2222
))1((,ˆˆˆ,,ˆ 22222
mmjjmjJJJmjmjJ zz
))1()1((,ˆ 22
mmjjmjJ
))1()1((,ˆ 22
mmjjmjJ
pour que ces vecteurs soient non-nuls il faut que -jmj
105
j
m
mjJ ,ˆ
mj,
mjJ ,ˆ
m
m+1
m-1
0,ˆ 2 mjJ
cette valeur n’est pas permise car
en applicant J+ deux fois on obtient un vecteur dont la norme est négative…
cette valeur n’est pas permise car
en applicant J- deux fois on obtient un vecteur dont la norme est négative…
il faut donc pouvoir 1. s’arrêter à m=j en appliquant J+
2. s’arrêter à m= -j en appliquant J-
2j = N 0
m=j
m= -j0,ˆ 2 mjJ
106
si on applique J+ ou J- à un vecteur Ij,m> on obtient un vecteur Ij, m+1> ou Ij,m-1> . On obtient un vecteur nul si ImI j .
On peut ainsi générer toute une série de N+1>0 vecteurs propres Ij,m> avec -jmj. Soit mmax la plus grande valeur.
On a forcément J+ Ij,mmax>=0 ce qui implique mmax=jCette même série va pouvoir être parcourue en appliquant J-, jusqu’à ce qu’on arrive à une valeur mmin qui, par le même raisonnement sera forcément mmin=-j après un nombre N d’opérations. donc 2j=N
Les valeurs possibles de j sont j=N/2= 0, ½, 1, 3/2, 2et les valeurs de m sont les valeurs { –j, -j+1, …..j-1, j}
107
j
m
mjJ ,ˆ
mj,
mjJ ,ˆ
valeurs possibles de j et m
108
109
Moment cinétique orbital:
110
Moment cinétique orbital:
111
Moment cinétique orbital:
112
Moment cinétique orbital:
113
Pour le moment cinétique orbital,
114
115
116
Exemple de quantification du moment cinétique
molécule linéaire O2 Cs2 (Césium) etc…
Erotation = L2 / 2I ou I est le moment d’inertie Equivalence
IE
2
)1(2
on observe des pics d’absorbtion de la lumière laser avec des différences d’énergies
III
EE
222
2
)1(
2
)1(
)1()(
117
Résumé
Le moment cinétique est décrit par 2 Observables qui Commutent
J2 et par ex. Jz
les vecteurs propres sont notés
mjjjmjJ ,)1(,ˆ 22
mj,
mjmmjJ z ,,ˆ
Les valeurs possibles de j et m sont j=N/2 et m= -j, -j+1...j-1, j
pour le moment cinétique orbital L=rxp les valeurs propres sont entières!
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