1 ricostruzione di polyomini l-convessi g. castiglione, a. restivo, r. vaglica. dipartimento di...
Post on 02-May-2015
223 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
Ricostruzione di polyomini L-convessi
G. Castiglione, A. Restivo, R. Vaglica.
Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Università di Palermo
2
due celle di un insieme discreto si dicono connesse se esiste un cammino (sequenza di celle adiacenti) che le collega contenuto nell’insieme.
Polyominoinsieme finito e connesso di celle (quadrati unitari) del piano cartesiano definito a meno di una traslazione
• Polyomino convesso
Polyomino convesso
: polyomino le cui righe e colonne sono connesse
3
Polyomini L-convessi
polyomini convessi in cui ogni coppia di celle risulta connessa da un cammino monotono con al più un solo cambiamento di direzione (L-path)
L-convesso L-convesso
In un polyomino convesso qualunque coppia di celle risulta connessa da almeno un cammino cammino monotonomonotono.
• Cammino monotono: cammino autoevitante costituito da passi in due sole direzioni
4
Proiezioni orizzontali e verticali(Tomografia discreta)
V 2 2 3 8 7 7 3 3
13388633H
Ricostruzione di insiemi discreti a partire da informazioni parziali
L-cammini
{ 1, 2, ... ,}
5
unicità
Ricostruzione banale (L-convessi)
Algoritmo di ricostruzione
Proiezioni orizzontali e verticali
(Tomografia discreta)
Ricostruzione di polyomini L-convessi
unicità
L-cammini
L-cammini bordati
L-camminimassimali
unicità
6
L(P) { x,y / x,y P }
Esempio
L-cammino 3,4 contenuto in un polyomino L-convesso
L-cammini• L(P): insieme degli L-cammini contenuti nel polyomino L-convesso P
Denotiamo con x,y (x,yℤ-{0}) un L-cammino fatto da |x|-1
passi orizzontali, |y|-1 passi verticali orientato come segue
• se x>0 e y>0
• se x>0 e y<0
• se x<0 e y>0
• se x<0 e y<0
7
x,y è massimale (in L(P)) se
x',y' L(P) , x,y x',y' x x' y y'
Lmax(P): insieme di tutti gli elementi massimali di L(P)
(L(P), ) è un insieme parzialmente ordinato
Osservazione: gli elementi di Lmax(P) possono avere più occorrenze
in P. Tutte queste occorrenze connettono celle appartenenti ai bordi di P
Relazione tra altezza e larghezza di P e l’insieme
Lmax(P)
)}(,\max{)( max PLyxyPh
)}(,\max{)( max PLyxxPw
L-cammini massimali
8
Rettangoli massimali
Rmax(P): insieme di tutti gli elementi massimali di R(P)
[x,y] Polyomino di forma rettangolare avente larghezza x ed altezza y.
R(P) { [x,y] t.c. [x,y] P }parzialmente ordinato
Osservazione: Rmax(P) è un insieme finito di rettangoli non
confrontabili ovvero [x,y], [x',y']Rmax(P) tali
che
[x,y] [x',y'] [x',y'] [x,y]
Rmax(P) {[x1,y1] , [x2,y2] , … , [xn,yn]}
x1 x2 … xn and y1 y2 … yn ordinamento canonico
9
rettangoli in posizione non
crossing
rettangoli in posizione crossing
Rettangoli non confrontabili in posizione crossing
Teorema: Un polyomino convesso P è un L-convesso se e solo se i suoi rettangoli massimali hanno a due a due una posizione crossing in P.
Dati i rettangoli [x,y], [x',y'] non confrontabili si dice che essi si trovano in una posizione crossing se )],min(),,[min(],[],[ yyxxyxyx
10
se Rmax(P) {[x,y]}, ovvero P [x,y], e QL è tale che
Lmax(P) Lmax(Q) Q P
L famiglia dei polyomini L-convessi
• [x1 , y1] [w(P) , min{y : x,y Lmax(P),
xw(P) }]
• [xn , yn] [ min{x : x,y Lmax(P), yh(P) } ,
h(P) ]
Rmax(P) {[x1 , y1] , … , [xi , yi] , … , [xn , yn] }
ordine canonico
I polyomini L-convessi sono caratterizzati dai loro L-cammini massimali?
11
Lemma. Sia Rmax(P) 2. QL tale che Lmax(P) Lmax(Q), la dimensione e
la reciproca posizione del primo e secondo (penultimo ed ultimo) rettangolo massimale di Q coincideranno con quelle del primo e del secondo (penultimo ed ultimo rispettivamente) rettangolo massimale di P.
Teorema. Sia P L. Se Rmax(P) 3 allora P è univocamente determinato da Lmax(P) .
Lmax(P) P
nel caso in cui P è costituito al più da 3 rettangoli massimali
Corrispondenza tra un polyomino L-convesso P e la famiglia Lmax(P )
12
Controesempio
Questo esempio considera due polyomini L-convessi distinti, con più di tre rettangoli massimali, aventi lo stesso insieme di L-cammini massimali riportato in tabella.
P2P1
11,2
10,3
9,4
8,5
7,6
6,7
3,8
2,9
11, 2
10, 3
9, 4
7, 5
6, 6
4, 7
3, 8
2, 9
11,2
10,3
9,4
7,5
6,6
5,7
3,8
2,9
11, 2
10, 3
9, 4
6, 5
5, 6
4, 7
3, 8
2, 9
4 rettangoli massimali
2 occorrenze
13
Multiset ?
non è massimale
P1 P2
12,2 , 11,3 , 10,4 , 8,6 , 7,7 , 7,7 , 6,8 , ... , 2, 12
multiset
Questo esempio considera due polyomini L-convessi differenti aventi lo stesso multiset di L-cammini massimali.
14
2 88
6
3
3 7
3
86 3
1
(3,8),,(6,3),)8,2(SE
(3,7),,(6,1),)8,1(NE;
Polyomino L-convesso
L- cammini bordati
15
• Consistenza
• Ricostruzione
• Unicità
Problemi affrontati
16
L-cammini bordatiSia PP un polyomino convesso.
Un L-cammino è bordato in P P se
• SE bordato se parte dal bordo superione
• EN bordato se parte dal bordo sinistro
• NW bordato se parte dal bordo inferiore
• WS bordato se parte dal bordo destro
In particolare è detto :
parte da una cella del bordo
procede ortogonalmente rispetto allo stesso bordo
quando incontra il bordo opposto gira in senso antiorario
quindi procede dritto fino al bordo opposto
##
#
#
#
#
##
##
17
Definizione di un L-cammino bordatoSia
Pjijijiπ mmss ),(,),,(,),,( 00
un L-cammino che cambia direzione nella cella . ),( ss ji
• EN bordato se è in direzione EN e
• NW bordato se è in direzione NW e
• WS bordato se è in direzione WS e
Pjijiji mmss )1,(),,1(),,1( 00
Pjijiji mmss ),1(),1,(),1,( 00
Pjijiji mmss )1,(),,1(),,1( 00
),( ji denota la cella
jjii ,1,1
Pjijiji mmss ),1(),1,(),1,( 00
π è detto
• SE bordato se è in direzione SE e
18
Definizione di una funzione di valutazione per un L-cammino
La size di un L-cammino
è la funzione
}0{\}0{\)(: NNPLs definita da
),(,),,(,),,( 00 mmss jijijiπ
),()( khπs dove
10 iih m 10 jjk m .
card (SE) = card (N W) = (P)
card (E N) = card (W S) = h(P)
tutte le coppie di interi positivi che rappresentano la size di un L-cammino SE bordato
SE =
Analogamente E N , W S, N W
19
Esempio
(3,7)(3,6),(6,3),(8,2),(8,1),(3,2),,(3,1),),11(NE
(3,1)(3,2),(6,1),(7,2),(8,3),(6,3),(7,2),,(8,2),),11(SE
##
#
##
#
##
#
# #
#
##
#
##
#
##
##
20
Struttura dell’algoritmo
Prima fase determina gli elementi di Rmax(P)
[x1,y1] [x2,y2]
[x3,y3] [x4,y4] x1 x2 x3 x4 and y1 y2 y3 y4
21
Seconda fase determina la mutua posizione dei rettangoli massimali a partire…Ω = (ω1, ω2, ω3, ω4)
Σ = (σ1, σ2, σ3, σ4)
ascisse dei SW corners
ordinate dei SW corners
1 11,1 ,
2 2, 3 3 4 4, ,
Struttura dell’algoritmo
22
Prima fase
LEMMA. Sia P un polyomino L-convesso. Gli elementi
di Rmax(P) sono univocamente determinati
da SE (o equivalentemente da E
N , N W , W S)
Dalla prova di questo lemma si ricava una procedura
per determinare gli elementi di Rmax(P) a partire
dall’insieme SE
ix
1ix
1 1i iy k
23
Seconda faseDue procedure che determinano Ω
ΩOMEGA1 (SE, E N)
OMEGA2 (SE, WS) Ω
Determinare la reciproca posizione di due rettangoli massimali
significa stabilire quale tipo di intersezione crossing hanno.
incrociato allineato a sinistra allineato a destra
1 ii j 1 ii 11 i iii xx
24
Seconda faseDue procedure che determinano Ω
ΩOMEGA1 (SE, E N)
OMEGA2 (SE, WS) Ω
• Scegliendo solo una delle due procedure …
… due tipi of sizes sono necessari!!!
(SE, WS) ΩOMEGA2
(SE, E N) (SE *, WS *) Ω* Σclock.rotation of π/2
OMEGA2
P P*2
25
ΩOMEGA1 (SE, E N)
OMEGA2 (SE, WS) Ω
Tuttavia il nostro scopo è ricostruire univocamente P da un’unica coppia di set di sizes.
Seconda fase
(SE, E N) ΩOMEGA1
(SE, E N) (SE *, WS *) Ω* Σclock.rotation of π/2
OMEGA2
Teorema: Ogni polyomino L-convesso è univocamente determinato da (SE, E N).
top related