10 dec 2016
Post on 28-Jan-2017
217 Views
Preview:
TRANSCRIPT
เวกเตอร
10 Dec 2016
สารบญ
ปรมาณเวกเตอร ....................................................................................................................................................................... 1
เวกเตอรในระบบพกดฉาก ....................................................................................................................................................... 8
เวกเตอรหนงหนวย ................................................................................................................................................................ 13
ผลคณเชงสเกลาร.................................................................................................................................................................. 17
ผลคณเชงเวกเตอร ................................................................................................................................................................ 29
พนทและปรมาตร .................................................................................................................................................................. 32
เวกเตอร 1
ปรมาณเวกเตอร ปรมาณเวกเตอร คอ ปรมาณทม “ทศทาง” ก ากบมาดวย
(ถามแตตวเลข แตไมมทศทาง เราจะเรยกวา “ปรมาณสเกลาร”) ตวอยางปรมาณเวกเตอร เชน 2 เมตร ไปทางทศเหนอ
3 ซ.ม. ไปทางทศตะวนออกเฉยงใต
√3 หนวย ไปทางทศ 120° เปนตน
เราสามารถแทนปรมาณแบบเวกเตอรดวยลกศร เชน เวกเตอร 2 หนวย ไปทางทศใต จะแทนไดดวยรป
ในเรองน เรานยมใชตวแปร �� , �� , �� ในการเรยกชอเวกเตอร หรออาจเรยกดวยจดเรมตนกบจดสนสดของเวกเตอรกได
เชน AB จะหมายถงเวกเตอรทเรมตนท A และจบท B
เวกเตอรหนงๆ จะมสวนประกอบ 2 อยาง คอ “ขนาด” และ “ทศทาง” “ต าแหนง” ของเวกเตอร จะไมมความส าคญ กลาวคอ เวกเตอรหนงๆ สามารถเลอนไปเลอนมาได
ตราบใดท “ขนาด” และ “ทศทาง” ยงเหมอนเดม เราจะยงถอวามนเปนเวกเตอรเดม
เชน AB = DC เพราะ ยาวเทากน และมทศเดยวกน
AB ≠ AD เพราะ ขนาดตางกน
AB ≠ CD ถงจะยาวเทากน และทศไมเหมอนกน (AB กบ CD มทศตรงขามกน)
ขนาดของเวกเตอร �� จะแทนดวยสญลกษณ |��| หมายถงความยาวของ ��
เชน |AB | = 4 |BC | = 3
|AC | = 5 (ใชดานชดพทากอรส 3 , 4 , 5) |AA | = 0
หมายเหต: เวกเตอรทมขนาดเปนศนย จะเรยกวา “เวกเตอรศนย” ซงแทนไดดวยสญลกษณ 0
เขยนเปนสญลกษณไดวา |0| = 0 นนเอง
ทศของเวกเตอร จะบอกโดยใชทศตามแผนทกได
หรอจะใชวธบอกเปนองศาแบบ 3 หลก กได วธนจะเรมวดจากทศ 12 นาฬกา (ทศเหนอ) แบบตามเขม
ทศ 090°
45°
ทศ 045° 300°
ทศ 300°
2
A B
C D
A B
C D
4
3
เหนอ
ใต
ตะวนออก ตะวนตก
2 เวกเตอร
เวลาทเราพดวา เวกเตอร 2 เวกเตอร “ขนานกน” เราจะรวมทงกรณ “ทศเดยวกน” กบกรณ “ทศตรงขามกน”
เวกเตอร 3�� จะหมายถงเวกเตอรในทศเดยวกน ทมขนาดเปน 3 เทาของ ��
เวกเตอร 12�� จะหมายถงเวกเตอรในทศเดยวกน ทมขนาดเปนครงหนงของ ��
เวกเตอร −�� จะหมายถงเวกเตอรทขนาดเทากบ �� แตมทศตรงขามกบ ��
หมายเหต : BA = −AB เสมอ
เวกเตอร −2�� จะหมายถงเวกเตอรทขนาดเปน 2 เทาของ �� และมทศตรงขามกบ ��
จะเหนวา �� กบ 𝑎�� จะขนานกนเสมอ (𝑎 จะเปนตวเลขบวกหรอลบอะไรกได) หรอพดอกแบบไดวา �� จะขนานกบ �� กเมอสามารถเขยน �� = 𝑎�� ไดนนเอง
ตวอยาง จากรป จงหาเวกเตอรทงหมดทขนานกบ AB
วธท า ขนานกน จะรวมทงทศเดยวกน และทศตรงขาม
เวกเตอรทมทศเดยวกบ AB ไดแก CD , FE , HG , JI , KL
เวกเตอรทมทศตรงขามกบ AB ไดแก DC , EF , GH , IJ , LK , BA #
เวกเตอรบวกกน คอการน าเวกเตอรมาโยงตอกน โดยจะเอาตวไหนตงกอนกได ไดผลลพธเทากน เชน
เวกเตอรลบกนได ใหกลบทศตวลบ แลวโยงตอกน กลาวคอ �� − �� = �� + (−��)
เชน
�� ��
ทศเดยวกน ��
��
ทศตรงขามกน
�� 3��
��
−��
A B
C D
E F
G H
I J
K L
��
−2��
��
1
2��
�� �� + =
�� ��
�� + �� =
�� ��
�� + ��
�� �� − =
��
−�� �� − ��
เวกเตอร 3
บางคนนยมทองวา �� − �� ใหเอา โคนลกศรมาตอกน แลวลากจาก “ตวลบ” ไปหา “ตวตง” เชน
เวกเตอรทขนานกน มาบวกลบกน ใหเอาตวเลขหนาเวกเตอรมาบวกลบกนไดเลย
เชน �� + �� = 2�� 5�� −1
2�� =
9
2�� �� − �� = 0
ตวอยาง สามเหลยม ABC ม AB = �� และม AC = �� ให CD เปนเสนมธยฐานของสามเหลยม ABC จงหา CD ในรปของ �� และ ��
วธท า วาดรปไดดงรป
มธยฐาน คอ เสนทลากไปแบงครงฐาน ดงนน AD = DB
นนคอ จะไดวา AD = 1
2��
จะได CD = AD − AC = 1
2�� − �� #
เราสามารถน าความรเรองเวกเตอร ไปพสจนกฤษฎทางเรขาคณตได
โดยเราจะสมมตใหดานพนฐานของรปทจะพสจน เปน �� , �� แลวเปลยนเวกเตอรทตองการพสจนใหอยในรป �� , ��
จากนน จงใชความรเรองเวกเตอร มาสรปเกยวกบดานทตองการพสจนนนๆ
ตวอยาง จากรป จงพสจนวา DE ขนาน และยาวเปนครงหนงของ AB
วธท า ก าหนดให CD = �� และ CE = �� ถดมา เราจะเปลยนดานทตองการพสจน ใหอยในรป �� และ ��
DE = DC + CE = −�� + ��
CA = 2�� , CB = 2��
AB = AC + CB = −2�� + 2��
จะเหนวา AB กบ DE คลายๆกน นนคอ AB = −2�� + 2�� = 2(−�� + ��) = 2DE เนองจาก AB = 2DE ดงนน DE ขนาน และยาวเปนครงหนงของ AB #
ตวอยาง จงพสจนวาเสนทแยงมมของสเหลยมดานขนานแบงครงซงกนและกน วธท า วาดรปสเหลยมดานขนาน และก าหนดความยาว ดงรป
เราจะพสจนวา 𝑤 = 𝑥 และ 𝑦 = 𝑧 ก าหนดให AD = �� และ AB = ��
จะได BC = �� ดวย และ DC = �� ดวย
�� �� − =
��
�� �� − ��
A B
C
D
��
��
A B
C
D E
𝑧 A B
C D
E 𝑤
𝑥 𝑦
4 เวกเตอร
ดงนน AC = AB + BC = �� + �� และ BD = BA + AD = −�� + ��
และจะได AE = (𝑤
𝑤+𝑥)AC = (
𝑤
𝑤+𝑥) (�� + ��)
BE = (𝑧
𝑦+𝑧)BD = (
𝑧
𝑦+𝑧) (−�� + ��)
และเนองจาก AE + EB = AB
ดงนน ( 𝑤
𝑤+𝑥) (�� + ��) − (
𝑧
𝑦+𝑧) (−�� + ��) = ��
เพอความสะดวกในการแกสมการ จะเปลยนตวแปรโดยให 𝑤
𝑤+𝑥 = 𝑎 และ 𝑧
𝑦+𝑧 = 𝑏 จะได
แต �� กบ �� ไมขนานกน ดงนน (𝑎 − 𝑏)�� กบ (1 − 𝑎 − 𝑏)�� จะไมมทางเทากนได
ยกเวนเพยงกรณเดยว คอ 𝑎 − 𝑏 = 0 และ 1 − 𝑎 − 𝑏 = 0
เปลยน 𝑎 กบ 𝑏 กลบเปน 𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧 จะได และ
จะไดวา 𝑤 = 𝑥 และ 𝑧 = 𝑦 นนคอ เสนทแยงมมทงสอง แบงครงซงกนและกนนนเอง #
แบบฝกหด
1. จากรป ก าหนดให AB = �� และ AC = �� จงเขยนเวกเตอรตอไปน ในรปของ �� และ ��
1. AF 2. AD
3. DC 4. CA
5. BF 6. BC
𝑎(�� + ��) − 𝑏(−�� + ��) = �� 𝑎�� + 𝑎�� + 𝑏�� − 𝑏�� = �� 𝑎�� − 𝑏�� = �� − 𝑎�� − 𝑏�� (𝑎 − 𝑏)�� = (1 − 𝑎 − 𝑏)��
𝑎 − 𝑏 = 0 (1) 1 − 𝑎 − 𝑏 = 0 (2) (1) + (2): 1 − 2𝑏 = 0
𝑏 =1
2
𝑏 =1
2 → (2): 1 − 𝑎 −
1
2 = 0
𝑎 =1
2
𝑤
𝑤+𝑥 =
1
2
2𝑤 = 𝑤 + 𝑥 𝑤 = 𝑥
𝑧
𝑦+𝑧 =
1
2
2𝑧 = 𝑦 + 𝑧 𝑧 = 𝑦
A B
C
D E
F
1
3 2
1
2 2
เวกเตอร 5
7. BE 8. CE
9. CF 10. FD
11. AE 12. DE
2. จากรป ก าหนดให AB = �� และ AD = �� จงเขยนเวกเตอรตอไปน ในรปของ �� และ ��
1. BC 2. AC
3. DB 4. AF
5. GF 6. HG
7. AH 8. HE
3. ก าหนดให �� และ �� เปนเวกเตอรทไมขนานกน ถา 𝑎(�� + ��) − �� = 𝑏(�� − ��) แลว จงหาคาของ 𝑎 − 𝑏
H E
A B
C D F
G
1 3
2 2
1
1
2
6 เวกเตอร
4. ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทม D เปนจดบนดาน AC และ F เปนจดบนดาน BC ถา AD =1
4AC ,
BF =1
3BC และ DF = 𝑎AB + 𝑏BC แลว 𝑎
𝑏 มคาเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-12]
5. ก าหนดให ABCD เปนรปสเหลยมดานขนาน M เปนจดบนดาน AD ซง AM =1
5AD
และ N เปนจดบนเสนทแยงมม AC ซง AN =1
6AC ถา MN = 𝑎AB + bAD แลว 𝑎 + 𝑏 เทากบเทาใด
[PAT 1 (ม.ค. 52)/24]
เวกเตอร 7
6. ก าหนดจด A(3, 0) , B(3 + √3 , 1) และ C(𝑎, 𝑏) โดยท C อยในจตภาคท 4
AB กบ AC ท ามมกน 60° และ |AC | = 2√3 |AB | จงหาคาของ 𝑎2 + 𝑏2 [PAT 1 (ธ.ค. 54)/33]
7. จากรป 𝑎 + �� + 𝑐 = 0
ขอใดตอไปนถก [PAT 1 (ธ.ค. 54)/12]
1. |𝑎 | cosec35° = |𝑐 | (1 +cot20°
cot35°) 2. |𝑎 | cosec20° = |𝑐 | (1 +
cot35°
cot20°)
3. |𝑎 | cosec35° = |𝑐 | (1 +tan20°
tan35°) 4. |𝑎 | cosec20° = |𝑐 | (1 +
tan35°
tan20°)
X
Y
110° 125°
𝑎
��
𝑐
8 เวกเตอร
เวกเตอรในระบบพกดฉาก
ทผานมา เราจะแทนเวกเตอรดวย “รปลกศร” ซงไมสะดวกในการน าไปค านวณ เราจะมอกวธในการเขยนเวกเตอร โดยใช “ระยะทางแกน X” กบ “ระยะทางแกน Y” เชน �� มระยะทางแกน X เทากบ 1 และมระยะทางแกน Y เทากบ 2
เราจะเขยนแทน �� ในรปสญลกษณไดเปน [12]
เวลาวดระยะทางแกน X หรอ แกน Y ใหวดจากจดเรมตน ไปหาจดสนสด
การวดระยะทางแกน X ถาวดไปทางขวาเปนจะเปนบวก วดไปทางซายจะเปนลบ
การวดระยะทางแกน Y ถาวดขนเปนจะเปนบวก วดลงจะเปนลบ
โจทยนยมน าเวกเตอรไปวางในระบบแกน XY และบอกพกดจดตงตน (𝑥1, 𝑦1) กบจดสนสด (𝑥2, 𝑦2) มาให
ในกรณน เราจะใชสตร
เชน เวกเตอรจาก (1, 3) ไปยง (4, 9) คอ [4 − 19 − 3
] = [36]
เวกเตอรจาก (1, −2) ไปยง (−1, 0) คอ [ −1 − 10 − (−2)]
= [−22
] เปนตน
เวกเตอรทเราพบมาจนถงขณะน จะเปนเวกเตอรแบบ “สองมต” กลาวคอ เปนเวกเตอรทสามารถบอกดวยระยะทางแกน X กบ ระยะทางแกน Y ได
เพราะเวกเตอรแบบสองมต จะมแคความกวางกบความยาว
ในกรณทเวกเตอร ม “ความลก” (หรอบางท เรยกวา “ความสง”) ดวย จะถอเปนเวกเตอรแบบ “สามมต” เชน เวกเตอรทลากจากมมฝงในกลองดานลาง ไปยงมมตรงขามดานบน
เวกเตอรน จะมทง กวาง ยาว และสง
ในกรณน เราจะม “ระยะทางแกน Z” เขามารวมดวย
เชนจากรป จะได �� = [143]
��
1
2
2
−2 ��
�� = [2
−2] �� = [
−21
]
1 −2
�� −1
−2 ��
�� = [−1−2
]
4
3
1
��
X
Y
Z
เรยกแบบเตมยศวา เปนเวกเตอรใน “ปรภมสามมต”
เวกเตอรทชจาก (𝑥1, 𝑦1) ไปยง (𝑥2, 𝑦2) คอ [𝑥2 − 𝑥1
𝑦2 − 𝑦1]
เอาจดปลายตง ลบดวยจดเรม
เวกเตอร 9
สตรส าหรบหาเวกเตอรในปรภมสามมตจะคลายกบสตรของสองมต คอ เอาจดปลายตงลบดวยจดเรม
เชน เวกเตอรจาก (0, 2, 5) ไปยง (5, 4, 2) คอ [5 − 04 − 22 − 5
] = [52
−3]
เวกเตอรจาก (1, −2, 0) ไปยง (0, 2, −3) คอ [0 − 1
2 − (−2)−3 − 0
] = [−14
−3]
เวกเตอรศนย
เวกเตอรศนย แทนไดดวยสญลกษณ 0 คอ เวกเตอรทมขนาดเปนศนย
ในระบบพกดฉาก เวกเตอรศนย จะเขยนแทนไดเปน [00] (หรอ [
000] ในพกดฉากแบบ 3 มต)
การเทากน
เวกเตอรสองเวกเตอร จะเทากน เมอ ขนาดเทากน และ ชไปทางทศเดยวกน ในระบบพกดฉาก เวกเตอรสองเวกเตอร จะเทากน เมอ ระยะของแตละแกน เทากนหมดทกแกน
กลาวคอ [𝑥1
𝑦1] = [
𝑥2
𝑦2] กตอเมอ 𝑥1 = 𝑥2 และ 𝑦1 = 𝑦2
[
𝑥1
𝑦1
z1
] = [
𝑥2
𝑦2
z2
] กตอเมอ 𝑥1 = 𝑥2 และ 𝑦1 = 𝑦2 และ 𝑧1 = 𝑧2
เชน ถา [2𝑥] = [
𝑦 + 13
] เราจะสามารถสรปไดวา 2 = 𝑦 + 1 และ 𝑥 = 3
ถา [𝑎
𝑎 + 𝑏−3
] = [2𝑐
𝑎 + 𝑐] เราจะสามารถสรปไดวา 𝑎 = 2 , 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 , −3 = 𝑎 + 𝑐 เปนตน
ขนาดของเวกเตอร ในระบบพกดฉาก เราหาขนาดของเวกเตอรไดจากสตรพทากอรส
เชน ขนาดของ [34] คอ √32 + 42 = 5
ขนาดของ [−512
] คอ √(−5)2 + 122 = 13
ขนาดของ [1
−12
] คอ √12 + (−1)2 + 22 = √6
3 4 5 5 12 13 7 24 25 8 15 17 9 40 41
เวกเตอรทชจาก (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) ไปยง (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) คอ [𝑥2 − 𝑥1
𝑦2 − 𝑦1
𝑧2 − 𝑧1
]
ขนาดของ [𝑎𝑏] จะเทากบ √𝑎2 + 𝑏2
ขนาดของ [𝑎𝑏𝑐] จะเทากบ √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
10 เวกเตอร
คณเวกเตอรดวยตวเลข 𝑎�� คอเวกเตอรในทศเดม ทยาวเปน 𝑎 เทาของ �� (ถา 𝑎 เปนลบ จะเปลยนเปนทศตรงขาม) ในระบบพกดฉาก ใหกระจายตวเลขทมาคณ เขาไปคณระยะแตละแกนไดเลย (ไมวา 𝑎 เปนบวกหรอลบกท าเหมอนกน)
เชน 2 × [−13
] = [−26
] [2
−1] × (−3) = [
−63
]
(−2) × [−1−2−3
] = [246]
การขนานกน
�� กบ �� จะขนานกน เมอสามารถเขยน �� = 𝑘�� ได เมอ 𝑘 เปนตวเลขซกตว
โดย ถา 𝑘 > 0 → ขนานแบบ “ทศเดยวกน” ถา 𝑘 < 0 → ขนานแบบ “ทศตรงขาม”
เชน [23] กบ [4
6] ขนานแบบทศเดยวกน เพราะ 2 × [
23] = [4
6] และ 2 เปนบวก
[−2−4
] กบ [12] ขนานแบบทศตรงขาม เพราะ [−2
−4] = −2 × [
12] และ −2 เปนลบ
[−12
−3] กบ [
3−69
] ขนานแบบทศตรงขาม เพราะ −3 × [−12
−3] = [
3−69
] และ −3 เปนลบ
[−11
−2] กบ [
2−2−4
] ไมขนานกน เพราะหาตวมาคณไหเทากนไมได (X กบ Y ตองคณ −2 แต Z คณ −2 จะไมเทา)
[−110
] กบ [2
−20
] ขนานแบบทศตรงขาม เพราะ −2 × [−110
] = [2
−20
] และ −2 เปนลบ
[03] กบ [0
5] ขนานแบบทศเดยวกน เพราะ 5
3× [
03] = [
05] และ 5
3 เปนบวก
[03] กบ [1
6] ไมขนานกน เพราะหาตวมาคณใหเทากนไมได (แกน X จะไมมอะไรมาคณแลวเทาได)
การบวกลบเวกเตอร เวกเตอรในระบบพกดฉาก สามารถน ามาบวกลบกนได โดยใหเอาระยะแตละแกนมาบวกลบกนไดเลย
เชน [12] + [
53] = [
65] [
12] − [
53] = [
−4−1
]
[1
−22
] + [0
−1−3
] = [1
−3−1
] [−102
] − [−52
−3] = [
4−25
]
หมายเหต: เราไมสามารถเอาเวกเตอรบวกกบตวเลขได เชน [12] + 3 จะถอวาไมมความหมายทางคณตศาสตร
แตเวกเตอรคณกบตวเลขได เชน [12] × 3 = [
36]
และเวกเตอร คณกบเวกเตอรกได (จะไดเรยนในหวขอหนา)
เวกเตอร 11
ตวอยาง ใหจด A(0, −1, 1) , B(1, 1, 1) และ C(3, 5, −1) เปนจดในปรภมสามมต จงหา 3BA − 2AC วธท า หาเวกเตอร BA และ CA ในระบบพกดฉากกอน โดยใชสตร จดปลายลบจดตน
จะได BA = [0 − 1
−1 − 11 − 1
] = [−1−20
] และ AC = [3 − 0
5 − (−1)−1 − 1
] = [36
−2]
ดงนน 3BA − 2AC = 3 [−1−20
] − 2 [36
−2] = [
−3−60
] − [612−4
] = [−9−184
] #
ตวอยาง ให �� = [1
−2] และ �� = [
−36
] ขอใดตอไปนผด
1) 4�� + �� = �� 2) �� + �� ขนานกบ �� − �� 3) |��| + |��| < |�� + ��| 4) ไมมขอผด
วธท า 1) 4�� + �� = 4 × [1
−2] + [
−36
] = [4
−8] + [
−36
] = [1
−2] = �� จรง
2) �� + �� = [−24
] และ �� − �� = [4
−8]
จะเหนวาเอา −2 คณแลวเทา ดงนน �� + �� ขนานกบ �� − �� จรง 3) |��| = √12 + (−2)2 = √5 และ |��| = √(−3)2 + (6)2 = √45 = 3√5
ดงนน |��| + |��| = √5 + 3√5 = 4√5
และจากขอ 2) �� + �� = [−24
] ดงนน |�� + ��| = √(−2)2 + (4)2 = √20 = 2√5
จะเหนวา 4√5 > 2√5 ดงนน ขอ 3 ผด #
แบบฝกหด
1. จงหาเวกเตอรทลากระหวางจดตอไปน
1. จาก (1, 3) ไปยง (3, 9) 2. จาก (1, −1) ไปยง (−1, 1)
3. จาก (2, −1, 0) ไปยง (0, −2, 3) 4. จาก (0, 3, 0) ไปยง (−1, 3, 1)
2. จงหาคา 𝑎 , 𝑏 และ 𝑐 ทท าใหขอความตอไปนเปนจรง
1. [𝑎 + 3
𝑎] = [
2𝑏−1
] 2. [2
𝑎 + 𝑏𝑐 − 3
] = [𝑐 + 𝑎−1
𝑎 + 𝑏]
12 เวกเตอร
3. [𝑎3] ขนานกบ [
6−9
] 4. [𝑎−12
] มทศตรงขามกบ [−44𝑎𝑎𝑏
]
3. จงหาขนาดของเวกเตอรตอไปน
1. [−34
] 2. [3
−40
]
3. 2∙[3
−4] − [
14] 4. 3∙[
22
−3] + 2∙[
−4−35
]
4. ก าหนดใหจด A , B และ C(3, 1) เปนจดบนเสนตรงเดยวกน ถา AB = 3
5 AC และ BC = [
2−4
] แลว จงหาพกดของ A
เวกเตอร 13
เวกเตอรหนงหนวย
เวกเตอรหนงหนวย คอ เวกเตอรทมความยาวเทากบ 1
สตรส าหรบหาเวกเตอรหนงหนวย มดงน
หมายเหต : ถาอยากไดเวกเตอรในทศตรงขามกบ �� กไดคณ −1 เขาไป
ตวอยาง จงหาเวกเตอรหนงหนวยในทศเดยวกบ [34]
วธท า จากดานชดพทากอรส 3, 4, 5 จะไดความยาวของ [34] คอ 5
ดงนน เวกเตอรหนงหนวยในทศเดยวกบ [34] คอ 1
5∙ [
34] #
ตวอยาง จงหาเวกเตอรในทศเดยวกนกบ [ 1−1
] ทมความยาวเทากบ 3 หนวย
วธท า ความยาวของ [ 1−1
] คอ √12 + (−1)2 = √2
ดงนน เวกเตอรในทศเดยวกนกบ [ 1−1
] ทยาว 3 หนวย คอ 3√2
∙ [1
−1]
ท าใหสวนไมตดรท โดยคณ √2
√2 ไดเปน 3
√2∙√2
√2∙ [
1−1
] = 3√2
2∙ [
1−1
] #
ตวอยาง จงหาเวกเตอรหนงหนวยในทศตรงขามกบ [−12
] วธท า หาเวกเตอรหนงหนวยในทศเดยวกนกอน แลวคอยเอามาท าใหเปนทศตรงขาม โดยการคณ −1
ความยาวของ [−12
] คอ √(−1)2 + 22 = √5
ดงนน เวกเตอรหนงหนวยในทศเดยวกน คอ 1√5
∙ [−12
] = 1
√5∙√5
√5∙ [
−12
] = √5
5∙ [
−12
]
ดงนน เวกเตอรหนงหนวยในทศตรงขาม คอ คอ − √5
5∙ [
−12
] #
มเวกเตอรหนงหนวยพเศษ ทเราตองรจกและใชใหคลอง 3 ตว คอ 𝑖, 𝑗 และ ��
𝑖 คอเวกเตอรหนงหนวยทชไปทางแกน X ฝงทเปนบวก
ในระบบพกดฉากสองมต 𝑖 สามารถเขยนไดเปน [10]
ในระบบพกดฉากสามมต 𝑖 สามารถเขยนไดเปน [100]
Z
Y 𝑖
X
𝑖
Y
X
เวกเตอรหนงหนวยในทศเดยวกบ �� หาไดจาก 1
|��|∙ ��
เวกเตอรในทศเดยวกบ �� ทมความยาวเทากบ 𝑘 หาไดจาก 𝑘|��|
∙ ��
14 เวกเตอร
𝑗 คอเวกเตอรหนงหนวยทชไปทางแกน Y ฝงทเปนบวก
ในระบบพกดฉากสองมต 𝑗 สามารถเขยนไดเปน [01]
ในระบบพกดฉากสามมต 𝑗 สามารถเขยนไดเปน [010]
�� คอเวกเตอรหนงหนวยทชไปทางแกน Z ฝงทเปนบวก
ในระบบพกดฉากสองมต จะไมสามารถม �� อยได
ในระบบพกดฉากสามมต �� สามารถเขยนไดเปน [001]
เวกเตอรใดๆกตาม จะสามารถเขยนใหอยในรปของผลบวกของ 𝑖 , 𝑗 และ �� ไดเสมอ
เชน [21] คอเวกเตอรทมระยะทางแกน X คอ 2 และ ระยะทางแกน Y คอ 1
ดงนน [21] = 2𝑖 + 𝑗
ซงสรปเปนสตรไดวา
ตวอยาง ให �� = [1
−10
] , �� = 2𝑗 − �� จงหาเวกเตอรทยาวเทากบ �� และมทศตรงขามกบ �� − ��
วธท า เพอความสะดวก จะเปลยน [1
−10
] ใหอยในรป 𝑖 , 𝑗 , �� ไดเปน (1)𝑖 + (−1)𝑗 + (0)�� = 𝑖 − 𝑗
ดงนน �� − �� = (𝑖 − 𝑗) − (2𝑗 − ��)
= 𝑖 − 𝑗 − 2𝑗 + �� = 𝑖 − 3𝑗 + ��
เนองจาก |�� − ��| = √12 + (−3)2 + 12 = √11
ดงนน เวกเตอรหนงหนวยในทศของ �� − �� คอ 1
√11(𝑖 − 3𝑗 + ��)
เนองจาก |��| = √22 + (−1)2 = √5
ดงนน เวกเตอรทยาวเทากบ |��| ในทศของ �� − �� คอ √5
√11(𝑖 − 3𝑗 + ��)
ดงนน เวกเตอรทยาวเทากบ |��| ในทศตรงขามกบ �� − �� คอ − √5
√11(𝑖 − 3𝑗 + ��)
ท าสวนใหไมตดรท ไดเปน − √5
√11∙√11
√11∙ (𝑖 − 3𝑗 + ��) = −
√55
11(𝑖 − 3𝑗 + ��) #
𝑗
Y
X
𝑗
Z
Y
X
��
Z
Y
X
[21]
2𝑖
𝑗
[𝑎𝑏] สามารถเขยนในรป 𝑖 , 𝑗 ไดเปน 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗
[𝑎𝑏𝑐] สามารถเขยนในรป 𝑖 , 𝑗 และ �� ไดเปน 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑐��
เวกเตอร 15
แบบฝกหด
1. จงเขยนเวกเตอรในรปของ 𝑖 , 𝑗 , �� ทสอดคลองกบเงอนไขตอไปน 1. จาก (0, −1) ไปยง (5, 0) 2. จาก (−1, 3, 1) ไปยง (0, 0, 0)
3. จาก (0, 1, −1) ไปยง (−2, 1, 1) 4. จาก (√2, −1
2) ไปยง (0,
3
2)
5. เวกเตอรหนงหนวย ในทศเดยวกบ [−43
] 6. เวกเตอรหนงหนวย ในทศตรงขามกบ [11]
7. เวกเตอรทยาว 2 หนวย ในทศเดยวกบ [1
−12
] 8. เวกเตอรทยาว √5 หนวย และขนานกบ [12]
2. ก าหนดให �� = 𝑖 − 2𝑗 และ �� = 2𝑖 + 𝑗 ถา AB = 3�� − 2�� และ พกดของจด A คอ (−1, 0) จงหาพกดของ B
16 เวกเตอร
3. ก าหนดให A, B, C เปนจดยอดของสามเหลยม P เปนจดกงกลางของ AC Q อยบน AB ท าให AQ : QB = 1 : 2
ถา AB = 6𝑖 − 3𝑗 และ BC = 2𝑖 + 3𝑗 จงหา PQ [PAT 1 (ธ.ค. 54)/13]
4. ก าหนดให �� = 3𝑖 + 4𝑗 ถา �� = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 โดยท �� มทศเดยวกนกบ �� และ |��| =10 แลว 𝑎 + 𝑏 เทากบเทาใด
[A-NET 49/2-4]
5. ก าหนดให A(𝑎, 𝑏) , B(4, −6) และ C(1, −4) เปนจดยอดของรปสามเหลยม ABC ถา P เปนจดบนดาน AB
ซงอยหางจากจด A เทากบ 35 ของระยะระหวาง A และ B และเวกเตอร CP = 𝑖 + 2𝑗 แลว 𝑎 + 𝑏 เทากบเทาใด
[PAT 1 (ม.ค. 54)/36]
เวกเตอร 17
ผลคณเชงสเกลาร ในหวขอน จะพดถงการคณเวกเตอร กบเวกเตอร ซงสามารถท าได 2 แบบ
แบบแรกเรยกวา “ผลคณเชงสเกลาร” หรอ เรยกสนๆวา “ดอท” แบบทสองเรยกวา “ผลคณเชงเวกเตอร” หรอ เรยกสนๆวา “ครอส”
การดอท จะไดผลลพธเปนตวเลข สวนการครอส จะไดผลลพธเปนเวกเตอร ในหวขอน จะพดถง การดอท กอน
ผลคณเชงสเกลารของ �� กบ �� เขยนแทนดวยสญลกษณ �� ∙ �� อานวา “ยดอทว” ซงจะหาไดจากสตร
เชน [23] ∙ [
45] = (2)(4) + (3)(5) = 23 [
−10
] ∙ [3
−2] = (−1)(3) + (0)(−2) = −3
[1
−2−1
] ∙ [312] = (1)(3) + (−2)(1) + (−1)(2) = −1
[−235
] ∙ [000] = (−2)(0) + (3)(0) + (5)(0) = 0
(𝑖 + 2𝑗) ∙ (−𝑖 − 𝑗) = (1)(−1) + (2)(−1) = −3 (2𝑖 − 𝑗 − 𝑘) ∙ (𝑖 + 𝑗 + 𝑘) = (2)(1) + (−1)(1) + (−1)(1) = 0
การดอท มสมบตการสลบท �� ∙ �� = �� ∙ �� และยงสามารถกระจายในการบวกลบเวกเตอรได �� ∙ (�� ± ��) = (�� ∙ ��) ± (�� ∙ ��) สงทตองระวงกคอ ดอท จะใชกบเวกเตอร 2 เวกเตอร และไดผลลพธเปนตวเลข
ดงนน เราไมสามารถน าเวกเตอร 3 เวกเตอรมาดอทกนได
(เพราะพอดอทสองตวแรก จะผลลพธเปนตวเลข ซงเอาไปดอทตอไมได) จะมกแต (�� ∙ ��)�� ซงหมายถง เอาตวเลขทไดจาก �� ∙ �� ไปคณ �� (คณแบบตวเลขคณเวกเตอร)
ในกรณท โจทยให �� กบ �� เปน “รปลกศร” เราจะมสตรทใชหาผลดอทคอ
เมอ 𝜃 เปนมมระหวาง �� และ �� เมอเอาจดตงตนของ �� และ �� มาตอกน จะเหนวา 𝜃 จะไมมทางเกน 180° (เพราะถาเกน กจากวดอกฝงทมมเลกกวา)
��
�� 𝜃
ในระบบพกดฉากสองมต [𝑥1
𝑦1] ∙ [
𝑥2
𝑦2] = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2
ในระบบพกดฉากสามมต [𝑥1
𝑦1
𝑧1
] ∙ [
𝑥2
𝑦2
𝑧2
] = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2
�� ∙ �� = |��||��| cos 𝜃 ��
�� 𝜃
18 เวกเตอร
ในกรณท �� กบ �� ตงฉากกน จะได 𝜃 = 90°
ดงนน �� ∙ �� = |��||��| cos 90° = |��||��|(0) = 0
ในกรณท �� กบ �� มทศเดยวกน จะได 𝜃 = 0°
ดงนน �� ∙ �� = |��||��| cos 0° = |��||��|(1) = |��||��|
ในกรณท �� กบ �� มทศตรงขาม จะได 𝜃 = 180°
ดงนน �� ∙ �� = |��||��| cos 180° = |��||��|(−1) = −|��||��|
ในกรณทเอา �� มาดอทกบตวเอง (�� ∙ ��) จะได 𝜃 = 0°
ดงนน �� ∙ �� = |��||��| cos 0° = |��||��|(1) = |��|2
และจากความรในเรองตรโกณมต เราสามารถหา “ระยะเงา” ของ �� บน �� ได |��| cos 𝜃 แตเนองจาก �� ∙ �� = |��||��| cos 𝜃 ดงนน ระยะเงา =
�� ∙ ��
|��| ดวย
ตวอยาง สเหลยมดานขนาน ABCD ม AB = 5 , BC = 2 และมม A = 60° จงหา DC ∙ CB วธท า ขอนใหมาเปนรป ซงจะวาดรปไดดงรป
ถามาเปนรปแบบน ตองหาผลดอทดวยสตร �� ∙ �� = |��||��| cos 𝜃
โดยมม 𝜃 ทใชในสตร ตองเปนมมทเกดจากการเอาจดตงตนของ DC กบ CB มาตอกน
จะเหนวา ถาเอาจดตงตนของ DC กบ CB มาตอกน จะไดมมระหวางเวกเตอรคอ 120°
ดงนน DC ∙ CB = |DC ||CB | cos 120° = 5 × 2 × (−1
2) = −5 #
ตวอยาง [1
−2−1
] กบ [22
−2] ตงฉากกนหรอไม
วธท า จากความรเรองการดอท เวกเตอร 2 เวกเตอร จะตงฉากกนเมอ ดอทกนได 0
เนองจาก [1
−2−1
] ∙ [22
−2] = (1)(2) + (−2)(2) + (−1)(−2) = 2 − 4 + 2 = 0
ดงนน เวกเตอรทงสอง ตงฉากกน #
ตวอยาง จงหาขนาดของมม ท −√3𝑖 + 3𝑗 ท ากบ 𝑖 + √3𝑗
วธท า จากสตร �� ∙ �� = |��||��| cos 𝜃 ยายขางสตร เพอหามม 𝜃 จะได cos𝜃 =��∙��
|��||��|
ดงนน จะได cos𝜃 = (−√3𝑖+3��)∙(𝑖+√3��)
|−√3𝑖+3��||𝑖+√3��| =
(−√3)(1)+(3)(√3)
√(−√3)2+32 × √12+(√3)
2 =
−√3+3√3
√12×√4 =
2√3
4√3 =
1
2
เลอกมมบวกไมเกน 180° ท cos𝜃 =1
2 จะได 𝜃 = 60° #
120°
��
��
60°
��
��
A B
C D
�� กบ �� ตงฉากกน กตอเมอ �� ∙ �� = 0
�� ∙ �� = |��|2
�� 𝜃
|��| cos 𝜃
เวกเตอร 19
ตวอยาง จงหาขนาดของมม ท −√3𝑖 + 3𝑗 ท ากบแกน Y
วธท า เนองจาก 𝑗 เปนเวกเตอรทชไปทางแกน Y
ดงนน ถาจะหามมท −√3𝑖 + 3𝑗 ท ากบแกน Y กใหหามมท −√3𝑖 + 3𝑗 ท ากบ 𝑗
จากสตร �� ∙ �� = |��||��| cos 𝜃 จะได cos𝜃 =��∙��
|��||��|
จะได cos 𝜃 = (−√3𝑖+3��)∙(��)
|−√3𝑖+3��||��| =
(−√3)(0)+(3)(1)
√(−√3)2+32 × 1
= 3
√12 =
3
2√3×
√3
√3 =
3√3
2×3 =
√3
2
เลอกมมบวกไมเกน 180° ท cos𝜃 = √3
2 จะได 𝜃 = 30° #
สตรสดทายทตองทองในหวขอการดอท คอ “กฎของโคไซน” ในแบบของเวกเตอร เนองจาก �� + �� และ �� − �� สามารถประกอบกบ �� และ �� เปนรปสามเหลยมได
ถาเราใชกฎของโคไซน กบสามเหลยมเหลาน รวมกบสตร �� ∙ �� = |��||��| cos 𝜃 จะไดกฎของโคไซน ในรปการดอทไดเปน
และถาน าสตรทงสองมาบวกลบกน จะไดสตรใหมอก 2 สตร คอ
ตวอยาง ก าหนดให |��| = 3 , |��| = 5 และ |�� − ��| = 4 จงหา �� ∙ �� วธท า ใชสตร
#
ตวอยาง ก าหนดให |��| = 2 , |��| = 5 และ |�� + ��| = 4 จงหา |�� − ��| วธท า ใชสตร
#
�� ��
�� + ��
��
�� �� − ��
|�� + ��|2 = |��|2 + |��|2 + 2 �� ∙ �� |�� − ��|2 = |��|2 + |��|2 − 2 �� ∙ ��
|�� + ��|2 + |�� − ��|2 = 2|��|2 + 2|��|2 |�� + ��|2 − |�� − ��|2 = 4 �� ∙ ��
|�� − ��|2 = |��|2 + |��|2 − 2 �� ∙ ��
42 = 32 + 52 − 2 �� ∙ ��
2 �� ∙ �� = 9 + 25 − 16
�� ∙ �� = 18
2 = 9
|�� + ��|2 + |�� − ��|2 = 2|��|2 + 2|��|2
42 + |�� − ��|2 = 2 ∙ 22 + 2 ∙ 52
|�� − ��|2 = 8 + 50 − 16 = 42
|�� − ��| = √42
20 เวกเตอร
ตวอยาง ก าหนดให |��| = 3 , |��| = 1 และ �� ท ามม 60° กบ �� จงหา |2�� − ��| วธท า จากสตร จะได
#
แบบฝกหด
1. จงหาผลดอทของเวกเตอรตอไปน
1. [−35
] ∙ [23] 2. (2𝑖 − 𝑗 + ��) ∙ (𝑖 − 2𝑗 − 3��)
3. (2𝑖 − 3𝑗) ∙ (2𝑗 + 𝑖) 4. [1
−22
] ∙ (𝑖 − ��)
2. เวกเตอรในขอใด ตงฉากกน
1. [−112
] และ [1
−21
] 2. 𝑖 − 𝑗 และ 𝑖 + 𝑗
3. [√3
√2] และ √3𝑗 − √2𝑖 4. 2𝑖 − 𝑗 + �� และ 𝑖 − 2��
3. จงหาคา 𝑥 ทท าใหเวกเตอรตอไปน ตงฉากกน
1. [𝑥6] และ [−2
3] 2. [
𝑥−2
𝑥 + 5] และ [
𝑥 − 3𝑥 + 1
1]
|2�� − ��|2 = |2��|2 + |��|2 − 2(2�� ∙ ��)
= |2��|2 + |��|2 − 2(2|��||��| cos𝜃)
= 62 + 12 − 2(2 ∙ 3 ∙ 1 ∙ cos60°)
= 31
|2�� − ��| = √31
เนองจาก |��| = 3
ดงนน |2��| = 6
เวกเตอร 21
4. ก าหนดให |��| = 2 , |��| = 3 และ �� ท ามม 60° กบ �� จงหาคาของ 1. |�� + ��| 2. |�� − ��|
3. |�� + 2��| 4. |2�� − 3��|
5. ก าหนดให �� และ �� เปนเวกเตอรใดๆ โดยท |��| = 1 , |��| = 3 และ �� ท ามม 60° กบ ��
คาของ |𝑢+��|
|2𝑢−��| เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 54)/15]
6. ก าหนด �� และ �� เปนเวกเตอร โดยท �� = 𝑖 + √3𝑗 , |��| = 3 และ |�� − ��| = 4
คาของ |�� + ��| เทากบเทาใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/16]
7. ก าหนดให �� และ �� เปนเวกเตอรทมขนาดหนงหนวย ถาเวกเตอร �� + 2�� ตงฉากกบเวกเตอร 2�� + �� แลว
�� ∙ �� เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 52)/25]
22 เวกเตอร
8. ก าหนดให �� และ �� เปนเวกเตอรทมขนาดหนงหนวย
ถาเวกเตอร 3�� + �� ตงฉากกบเวกเตอร �� + 3�� แลวเวกเตอร 5�� − �� มขนาดเทากบเทาใด
[PAT 1 (ก.ค. 52)/24]
9. ก าหนดให �� , �� และ �� เปนเวกเตอรในระนาบ ขอใดตอไปนถกตอง [PAT 1 (ต.ค. 53)/15] 1. (�� ∙ ��)2 ≥ (�� ∙ ��)(�� ∙ ��)
2. ถา (�� ∙ ��)2 = (|��||��|)2 แลว �� ตงฉากกบ ��
3. ถา �� + �� + �� = 0 , |��| = 3 , |��| = 4 และ |��| = 7 แลว �� ∙ �� = 12
4. |�� − ��|2 = |��|2 − |��|2
10. ก าหนดให �� และ �� เปนเวกเตอรใดๆ ซงไมใชเวกเตอรศนย ขอใดตอไปนถกตอง [PAT 1 (ม.ค. 55)/14] 1. |�� − ��|2 < |��|2 − |��|2
2. ถา �� ตงฉากกบ �� แลว |�� − ��|2 = |��|2 + |��|2
เวกเตอร 23
11. ก าหนดให �� และ �� เปนเวกเตอรใดๆ ทไมเปนเวกเตอรศนย ขอใดตอไปนถกตองบาง [PAT 1 (ต.ค. 58)/27] 1. ถา �� ขนานกบ �� แลว |�� − ��| = |��| − |��|
2. ถา |�� + ��|2
= |��|2 + |��|2 แลว �� ตงฉากกบ ��
3. ถาเวกเตอร �� + �� ตงฉากกบเวกเตอร �� − �� แลว |��| = |��|
12. ก าหนดให �� และ �� เปนเวกเตอรทไมเทากบเวกเตอรศนยซง �� ตงฉากกบ �� และ �� + �� ตงฉากกบ �� − ��
ขอใดตอไปนเปนจรง [PAT 1 (ต.ค. 52)/1-13] 1. |��| = |��|
2. �� + 2�� ตงฉากกบ 2�� − ��
13. ก าหนดให �� และ �� เปนเวกเตอรซง |�� ∙ ��| ≠ |��||��|
ถา 𝑎(�� − 2��) + 3�� = 𝑏(2�� + ��) แลวคาของ 𝑎 อยในชวงใดตอไปน [PAT 1 (ก.ค. 52)/25]
1. [0,1
2) 2. [
1
2, 1) 3. [1,
3
2) 4. [
3
2, 2)
24 เวกเตอร
14. ก าหนดให �� , �� และ �� เปนเวกเตอรในระนาบและ 𝑥 , 𝑦 เปนจ านวนจรง
โดยท �� = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 , �� = 4𝑖 − 3𝑗 และ �� = 2𝑖 + 𝑗
ถา |�� − ��|2 = |��|2 + |��|2 และ 5𝑥 + 5𝑦 = 21 แลวคาของ �� ∙ �� เทากบเทาใด
[PAT 1 (ต.ค. 53)/14]
15. ให �� และ �� เปนเวกเตอร ก าหนดโดย
�� = 𝑖 +1
2𝑗 − 3𝑝�� และ �� = −2𝑝𝑖 + 2𝑗 + 𝑝�� เมอ 𝑝 เปนจ านวนจรง
ถา �� ตงฉากกบ �� และ ขนาดของ �� เทากบ 3 แลว คาของ 𝑝 อยในชวงขอใดตอไปน [PAT 1 (ม.ค. 53)/14] 1. (−3, −
3
2 ) 2. (−
3
2 , 0) 3. (0,
3
2 ) 4. (
3
2 , 3)
16. ก าหนดให ��, �� และ 𝑐 เปนเวกเตอรบนระนาบซงก าหนดโดย �� = 𝑥𝑖 +12
5𝑗 , �� = 6𝑖 + 𝑦𝑗 และ 𝑐 = 2𝑖 + 𝑗
เมอ 𝑥 และ 𝑦 เปนจ านวนจรง ถา |�� − 𝑐| = 5 , เวกเตอร �� ตงฉากกบเวกเตอร �� และ �� ∙ 𝑐 > 0
แลวคาของ |5�� + ��|2
เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 56)/45]
เวกเตอร 25
17. พจารณาขอความตอไปน ขอใดตอไปนถกตองบาง [PAT 1 (ม.ค. 56)/15]
1 ใหเวกเตอร �� = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑐�� เมอ 𝑎, 𝑏 และ 𝑐 เปนจ านวนจรงและใหเวกเตอร �� = 𝑖 + 2𝑗 + ��
และ �� = 𝑖 − 𝑗 + �� ถาเวกเตอร �� ตงฉากกบเวกเตอร �� และเวกเตอร �� แลว 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1
2 ใหเวกเตอร �� = 2𝑖 + 𝑗 และ �� = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 เปนเวกเตอรในระนาบ ถา |��| = 3
√5 และ �� ∙ �� = 3
แลวเวกเตอร �� ท ามม 60° กบเวกเตอร ��
18. ก าหนดให 𝐴𝐵𝐶 เปนรปสามเหลยม โดยทดาน 𝐴𝐵 ยาว 5 หนวย ดาน 𝐵𝐶 ยาว 12 หนวย และมม 𝐴��𝐶 เทากบ 60° ถาเวกเตอร �� = 𝐴𝐵 เวกเตอร �� = 𝐵𝐶 และเวกเตอร �� = 𝐶𝐴 แลว (2�� − ��) ∙ �� เทากบเทาใด [PAT 1 (พ.ย. 57)/12]
19. ก าหนดให จด A(−1, 1), B(2, 5) และ C(2, −3) เปนจดยอดของรปสามเหลยม ABC ให L เปนเสนตรงทผานจด A และจด B ลากสวนเสนตรง CD ตงฉากกบเสนตรง L ทจด D แลวเวกเตอร AD เทากบเทาใด
[PAT 1 (ม.ค. 55)/12]
26 เวกเตอร
20. ก าหนดให �� = 2𝑖 − 5𝑗 และ �� = 𝑖 + 2𝑗 ให �� เปนเวกเตอร โดยท �� ∙ �� = −11 และ �� ∙ �� = 8
ถา 𝜃 เปนมมแหลมทเวกเตอร �� ท ามมกบเวกเตอร 5𝑖 + 𝑗 แลว tan 𝜃 + sin 2𝜃 เทากบเทาใด
[PAT 1 (ก.ค. 53)/32]
21. ให 𝐴, 𝐵 และ 𝐶 เปนเวกเตอร ซง |𝐴| = 3, |𝐵| = 2 และ |𝐶| = 1
ถา 𝐴 + 𝐵 + 4𝐶 = 0 แลว 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐶 ∙ 𝐴 มคาเทากบเทาใด [A-NET 51/1-14]
22. ก าหนดให ��, �� และ 𝑐 เปนเวกเตอร ซง �� + �� + 𝑐 = 0 , |�� + ��| = 5 , |�� + 𝑐| = 3 และ |��| = √10
ขอใดตอไปนถกตองบาง [PAT 1 (เม.ย. 57)/14]
1. ถาเวกเตอร �� ท ามม 𝜃 กบเวกเตอร �� เมอ 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 แลว tan 𝜃 = 3
2. �� ∙ 𝑐 = −12
เวกเตอร 27
23. ให ��, �� และ �� เปนเวกเตอร ก าหนดโดย �� = 𝑖 + 2𝑗 + 3�� , �� = 2𝑖 − 𝑑𝑗 + �� , �� = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑐��
เมอ 𝑎, 𝑏, 𝑐 และ 𝑑 เปนจ านวนจรง ถา �� ∙ �� = 2 , �� ∙ (�� + ��) = 3 , �� + �� = 𝑖 + 𝑞𝑗 + 𝑟��
เมอ 𝑞, 𝑟 เปนจ านวนจรง และ �� ขนานกบ − 2
3𝑖 +
1
2𝑗 +
1
3�� แลวคาของ 𝑎 + 4𝑏 + 2𝑐 เทากบเทาใด
[PAT 1 (ม.ค. 53)/33]
24. ก าหนดให ��, �� และ �� เปนเวกเตอรบนระนาบซง �� + �� − �� = 0 , �� ∙ �� = 8 และ �� ∙ �� = −2
ถาเวกเตอร �� ท ามม arcsin 1
√3 กบเวกเตอร �� แลว คาของ |��|2 + |��|2 เทากบเทาใด
[PAT 1 (ต.ค. 55)/15*]
28 เวกเตอร
25. ก าหนดให P(−8, 5), Q(−15,−19), R(1,−7) เปนจดบนระนาบ ถา �� = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 (𝑎, 𝑏 เปนจ านวนจรง) เปนเวกเตอรซงมทศทางขนานกบเสนตรงซงแบงครงมม QPR แลว
𝑎
𝑏 มคาเทากบเทาใด [A-NET 50/1-11]
26. ก าหนดให 𝐴 และ �� เปนเวกเตอรในระนาบ โดยท 𝐴 = 16𝑖 + 𝑎𝑗 และ �� = 8𝑖 + 𝑏𝑗 เมอ 𝑎 และ 𝑏 เปน จ านวนจรง ถา |𝐴 | = |�� | และเวกเตอร �� ท ามม 60° กบเวกเตอร 𝐴 แลวคาของ (𝑎 + 𝑏)2 เทากบเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 58)/16]
เวกเตอร 29
ผลคณเชงเวกเตอร ในหวขอน เราจะเรยนวธคณเวกเตอรอกแบบ เรยกวา “ผลคณเชงเวกเตอร” หรอ เรยกสนๆวา “ครอส” ซงคราวน เวกเตอร ครอส เวกเตอร จะไดผลลพธเปนเวกเตอร โดย การครอส ท าไดกบเวกเตอร “แบบสามมตเทานน”
ผลคณเชงเวกเตอรของ �� กบ �� เขยนแทนดวยสญลกษณ �� × �� อานวา “ยครอสว” สตรการหาคอ
เชน [2
−11
] × [32
−1] = [
(−1)(−1) − (1)(2)(1)(3) − (2)(−1)(2)(2) − (−1)(3)
] = [−157
]
(−𝑖 + 2𝑗 − 3��) × (2𝑖 − 𝑗 + ��) = [−12
−3] × [
2−11
] = [
(2)(1) − (−3)(−1)(−3)(2) − (−1)(1)(−1)(−1) − (2)(2)
] = [−1−5−3
]
= −𝑖 − 5𝑗 − 3��
หมายเหต: จะเหนวาสตรการครอสเวกเตอร จะคลายๆการหา det ในเรองเมทรกซ
บางคนนยมทองวา [𝑥1
𝑦1
𝑧1
] × [
𝑥2
𝑦2
𝑧2
] = det [𝑖 𝑗 ��𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
]
เนองจากการครอส เกยวกบการลบ ดงนน ถาสลบทตวครอส ผลลพธจะเปนลบของเดม กลาวคอ �� × �� = −(�� × ��)
แตยงคงสามารถกระจายครอสในการบวกลบเวกเตอรไดเหมอนดอท กลาวคอ �� × (�� ± ��) = (�� × ��) ± (�� × ��) ในกรณท �� กบ �� ไมไดมาเปนตวเลขในระบบพกดฉาก แตมาเปน “รปลกศร” เราจะมวธหาอกแบบ
�� × �� จะเปน “เวกเตอร” ทมขนาด |�� × ��| = |��||��| sin𝜃 เมอ 𝜃 คอมมท �� ท ากบ ��
และ �� × �� จะมทศพงออกในแนวตงฉากกบระนาบท �� กบ �� วางอย วธหาทศของ �� × �� มดงน 1. ยกแขนทงสอง ตงฉากกบแนวล าตว
2. ใหตวตง (��) เปนแขนขวา
ตวครอส (��) เปนแขนซาย
3. จะได �� × �� จะชไปทางเดยวกบศรษะ
เชน 𝑖 × 𝑗 = �� 𝑗 × 𝑖 = −��
𝑗 × �� = 𝑖 �� × 𝑗 = −𝑖
�� × 𝑖 = 𝑗 𝑖 × �� = −𝑗
𝑗
��
𝑖
[
𝑥1
𝑦1
𝑧1
] × [
𝑥2
𝑦2
𝑧2
] = [
𝑦1𝑧2 − 𝑧1𝑦2
𝑧1𝑥2 − 𝑥1𝑧2
𝑥1𝑦2 − 𝑦1𝑥2
]
��
�� �� × ��
30 เวกเตอร
ในกรณท �� กบ �� ขนานกน จะได 𝜃 = 0° หรอ 180° ซง sin0° = sin180° = 0 เอาไปคณกบอะไรกได 0
ดงนน ถา �� กบ �� ขนานกน จะได �� × �� = เวกเตอรทมขนาดเปน 0 = [000] = 0
และในกรณทเอา �� มาครอสกบตวมนเอง จะได 𝜃 = 0° ดวย → ดงนนจะได �� × �� = 0 เสมอ
ตวอยาง ให �� = 2𝑖 + 𝑗 + �� และ �� = −𝑖 + 2𝑗 + �� ถาให 𝜃 เปนมมระหวาง �� และ �� จงหา sin 𝜃 วธท า ขอนจะใชสตร ขนาดของ �� × �� เทากบ |��||��| sin𝜃 เพอโยงไปหา sin𝜃
เนองจาก �� × �� = [211] × [
−121
] = [
(1)(1) − (1)(2)(1)(−1) − (2)(1)(2)(2) − (1)(−1)
] = [−1−35
]
แทนในสตร |�� × ��| = |��||��| sin𝜃
√(−1)2 + (−3)2 + 52 = √22 + 12 + 12 ∙ √(−1)2 + 22 + 12 ∙ sin𝜃
√35 = √6 ∙ √6 ∙ sin𝜃
ดงนน sin 𝜃 =√35
√6∙√6=
√35
6 #
แบบฝกหด
1. จงหาผลครอสตอไปน
1. [21
−1] × [
130] 2. [
12
−1] × [
−21
−2]
3. (𝑖 − 𝑗 + ��) × (𝑖 + 𝑗 − ��) 4. (𝑖 + 𝑗 − ��) × (𝑖 + 𝑗 − ��)
2. ก าหนดให A(1, 2, 3) , B(2, 3, 1) และ C(2, 4, 2) ถา 𝜃 เปนมมระหวาง AB กบ AC แลว จงหาคา sin 𝜃
เวกเตอร 31
3. ก าหนดเวกเตอร �� = 𝑎𝑖 + 2𝑗 + 𝑏�� เมอ 𝑎 และ 𝑏 เปนจ านวนจรง ถา |�� × 𝑗| = 2 แลว |��|2 เทากบเทาใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/26]
4. ให �� = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 2�� และ �� = 2𝑎𝑖 − 3𝑏𝑗 โดยท 𝑎, 𝑏 เปนจ านวนเตมบวก และ 𝜃 เปนมมระหวาง �� และ ��
ถา |��| = 3 และ cos 𝜃 =1
3 แลว �� × �� มคาเทากบเทาใด [A-NET 50/1-10]
32 เวกเตอร
พนทและปรมาตร
สเหลยมดานขนานทเกดจากเวกเตอร �� และ �� ดงรป
จะมพนท = |�� × ��|
จะเหนวาสตรนตองครอสเวกเตอร ดงนน �� และ �� ตองถกเขยนในระบบสามมต ในกรณท �� และ �� ถกก าหนดมาในระบบสองมต เราสามารถท าใหเปนสามมตได โดยเตม 0 ลงไปเปนคาทางแกน Z
ทรงสเหลยมดานขนานทเกดจากเวกเตอร �� , �� และ �� ดงรป
จะมปรมาตร = |�� ∙ (�� × ��)|
โดยจะสลบ �� , �� และ �� ยงไงกได จะไดคาเทากน
หมายเหต : ผล ดอท & ครอส จะไดเทาเดมเสมอ ตราบใดทต าแหนง �� , �� , �� ยงคงเรยงเปนวงกลมแบบเดยวกน
แบบตามเขม �� ∙ (�� × ��) = �� ∙ (�� × ��) = �� ∙ (�� × ��) = (�� × ��) ∙ �� = (�� × ��) ∙ �� = (�� × ��) ∙ ��
แบบทวนเขม
�� ∙ (�� × ��) = �� ∙ (�� × ��) = �� ∙ (�� × ��) = (�� × ��) ∙ �� = (�� × ��) ∙ �� = (�� × ��) ∙ ��
โดย แบบตามเขม = −แบบทวนเขม นนคอ �� ∙ (�� × ��) = −�� ∙ (�� × ��)
ตวอยาง จงหาพนทสเหลยมดานขนาน ABCD ซงมพกด A(2, 3) , B(−1, 2) , C(1, −1)
วธท า จากสตร จะได พนทสเหลยมดานขนาน ABCD = |BA × BC |
BA = [2 − (−1)
3 − 2] = [
31] เตม 0 ใหเปนสามมตไดเปน [
310]
BC = [1 − (−1)(−1) − 2
] = [2
−3] เตม 0 ใหเปนสามมตไดเปน [
2−30
]
จะได BA × BC = [310] × [
2−30
] = [
(1)(0) − (0)(−3)(0)(2) − (3)(0)
(3)(−3) − (1)(2)] = [
00
−11]
ดงนน พนทสเหลยมดานขนาน ABCD = |BA × BC | = √02 + 02 + (−11)2 = 11 #
��
��
�� ��
��
ขนาดของเวกเตอร
คาสมบรณ
ครอสไดเปนเวกเตอร
ดอทไดเปนตวเลข
A(2, 3) B(−1, 2)
C(1, −1)
��
�� ��
��
�� ��
เวกเตอร 33
ตวอยาง จงหาปรมาตรของรปทรงสเหลยมดานขนานทเกดจาก �� = 𝑖 − 𝑗 − �� , �� = 𝑖 + 2�� และ �� = 𝑗 − ��
วธท า ปรมาตร = |�� ∙ (�� × ��)| = |[1
−1−1
] ∙ ([102] × [
01
−1])|
= |[1
−1−1
] ∙ [
(0)(−1) − (2)(1)(2)(0) − (1)(−1)(1)(1) − (0)(0)
]| = |[1
−1−1
] ∙ [−211
]|
= |(1)(−2) + (−1)(1) + (−1)(1)|
= |−4| = 4 #
นอกจากน ปรมาตรของรปทรงสเหลยมดานขนาน ยงสามารถน าไปใชตรวจสอบ “ระนาบ” ของเวกเตอรไดดวย
จะเหนวา ถา �� , �� และ �� อยบนระนาบเดยวกน แลว รปทรงสเหลยมดานขนานทเกดจากเวกเตอร �� , �� และ �� จะกลายเปนแผนแบนราบ ซงท าใหปรมาตรของรปทรง = 0
ตวอยาง จงตรวจสอบวา 𝑖 + 𝑗 + �� , 2𝑖 + 𝑗 + 2�� และ 3𝑖 + 4𝑗 + 3�� อยบนระนาบเดยวกนหรอไม
วธท า �� ∙ (�� × ��) = [111] ∙ ([
212] × [
343])
= [111] ∙ [
(1)(3) − (2)(4)(2)(3) − (2)(3)(2)(4) − (1)(3)
]
= [111] ∙ [
−505
] = (1)(−5) + (1)(0) + (1)(5) = 0
ดงนน 𝑖 + 𝑗 + �� , 2𝑖 + 𝑗 + 2�� และ 3𝑖 + 4𝑗 + 3�� อยบนระนาบเดยวกน #
แบบฝกหด
1. จงหาพนทของสเหลยมดานขนานทเกดจากเวกเตอรตอไปน
1. [1
−12
] และ [21
−1] 2. 𝑖 + 𝑗 และ 𝑖 − 𝑗
�� , �� และ �� อยบนระนาบเดยวกน กตอเมอ �� ∙ (�� × ��) = 0
34 เวกเตอร
2. จงหาปรมาตรของรปทรงสเหลยมดานขนานทเกดจากเวกเตอรตอไปน
1. [01
−2] , [
1−11
] และ [20
−1] 2. 𝑖 + 𝑗 , 𝑗 + �� และ 𝑖 + ��
3. เวกเตอรในขอใดตอไปน อยบนระนาบเดยวกน
1. [206] , [
−31
−1] และ [
018] 2. 𝑖 − 𝑗 + �� , 𝑖 + 𝑗 − �� และ −𝑖 + 𝑗 + ��
4. ก าหนดให A(1, 0, −2) , B(0, −1, 0) , C(2, 1, −1) จงหาพนทสเหลยมดานขนานทเกดจาก AB และ AC
เวกเตอร 35
5. ก าหนดให A(−2, 1, 1) , B(2, 2, −1) , C(1, 1, 0) จงหาพนทสามเหลยม ABC
6. ถารปทรงสเหลยมหนาขนานทเกดจาก [1
−12
] , [2𝑥
−1] และ [
32
−1] มปรมาตรเทากบ 3 แลว จงหาคา 𝑥
7. ก าหนดให �� , �� และ �� เปนเวกเตอรใดๆในสามมต ขอใดตอไปนถกตองบาง [PAT 1 (ม.ค. 57)/13]
1. �� ∙ (�� × ��) = �� ∙ (�� × ��)
2. ถา |��| = |��| , |�� − ��| = |�� + ��| และเวกเตอร �� ตงฉากกบเวกเตอร ��
แลวเวกเตอร �� ตงฉากกบเวกเตอร ��
36 เวกเตอร
8. ก าหนดให �� = 𝑖 + 3��
�� = 2𝑗 + 𝑥�� เมอ 𝑥 เปนจ านวนจรง และ �� = −3𝑖 + 𝑗 − ��
ถา ��, �� และ �� อยบนระนาบเดยวกน แลว 𝑥 มคาเทากบเทาใด [A-NET 49/1-13]
9. ก าหนดทรงสเหลยมหนาขนาน มจดยอดอยทจด O(0, 0, 0), A(1, 5, 7), B(2𝑎, − 𝑏, − 1) และ C(𝑎, 3𝑏, 2) โดยท 𝑎 และ 𝑏 เปนจ านวนเตม ถา OA ตงฉากกบฐานทประกอบดวย 𝑂B และ OC และ 𝜃 เปนมมระหวาง 𝑂B และ OC แลว ขอใดตอไปนถก [A-NET 51/1-15]
1. sin𝜃 =5
3√7
2. |𝑂B | |𝑂C | = √21
3. พนทฐานของทรงสเหลยมหนาขนาน เทากบ 5√3
2 ตารางหนวย
4. ปรมาตรของทรงสเหลยมหนาขนาน เทากบ 75 ลกบาศกหนวย
เวกเตอร 37
ปรมาณเวกเตอร
1. 1. 1
2�� 2. 1
4�� 3. 3
4�� 4. −��
5. −1
2�� 6. −�� + �� 7. 1
3(−�� + ��) 8. 2
3(�� − ��)
9. −�� +1
2�� 10. − 1
2�� +
1
4�� 11. 2
3�� +
1
3�� 12. 2
3�� +
1
12��
2. 1. �� 2. �� + �� 3. −�� + �� 4. �� +1
4��
5. �� −1
4�� 6. −
1
2�� +
1
8�� 7. 3
8�� +
1
2�� 8. 5
8��
3. 1 4. 9 5. 2
15 6. 93
7. 4
เวกเตอรในระบบพกดฉาก
1. 1. [26] 2. [
−22
] 3. [−2−13
] 4. [−101
]
2. 1. 𝑎 = −1 , 𝑏 = 1 2. 𝑎 = 0 , 𝑏 = −1 , 𝑐 = 2 3. 𝑎 = −2
4. 𝑎 = 1 , 𝑏 = −8 3. 1. 5 2. 5 3. 13 4. √5
4. (−2, 11)
เวกเตอรหนงหนวย
1. 1. 5𝑖 + 𝑗 2. 𝑖 − 3𝑗 − �� 3. −2𝑖 + 2�� 4. −√2𝑖 + 2𝑗
5. 1
5(−4𝑖 + 3𝑗) 6. −
√2
2(𝑖 + 𝑗) 7. √6
3(𝑖 − 𝑗 + 2��) 8. ±(𝑖 + 2𝑗)
2. (−2, −8) 3. −2𝑖 − 𝑗 4. 14 5. 3
ผลคณเชงสเกลาร
1. 1. 9
ตงฉากกน แสดงวา ดอทกน ได 0 → จะได [𝑥6] ∙ [
−23
] = 0
2. 1 3. −4 4. −1
2. 2, 3, 4
3. 1. 9 2. 1 , 3
4. 1. √19 2. √7 3. 2√13 4. 6
5. √13
7 6. √10 7. −
4
5 8. 4√2
9. 3 10. 2 11. 2, 3 12. 1, 2
(𝑥)(−2) + (6)(3) = 0 −2𝑥 = −18 𝑥 = 9
38 เวกเตอร
13. 2 14. 6 15. 2 16. 200
17. - 18. 124 19. − 7
25(3𝑖 + 4𝑗) 20. 2
21. − 5
2 22. 1, 2 23. 3 24. 22
25. − 2
11 26. 192
ผลคณเชงเวกเตอร
1. 1. [3
−15
] 2. [−345
] 3. 2𝑗 + 2�� 4. 0
2. √11
6 3. 8 4. 6𝑖 + 8𝑗 − 10��
พนทและปรมาตร
1. 1. √35 2. 2
2. 1. 1 2. 2
3. 1 4. 3√2 5. √14
2 6. 2 , 8
7
7. 1, 2 8. 16 9. 4
เครดต
ขอบคณ คณ POaty Destiny
และ คณ Gunta Serikijcharoen
และ คณ Pawarit Karusuporn ทชวยตรวจสอบความถกตองของเอกสารครบ
top related