1.5 razones y variación proporcional

1.5 Razones y variación proporcional

TANTO POR CIENTO Y PORCENTAJE EN SERIE

Se sabe que la calificación que un estudiante obtiene en un examen dematemáticas, aumenta si crece el número de ejercicios que resolvió antesde realizarlo; pero es menor cuanto mayor sea el grado de cansancio,sobre todo intelectual, con el que llega a realizar tal examen. En estascondiciones se dice que la calificación es directamente proporcional alnúmero de problemas resueltos, aunque es inversamente proporcional alnivel o grado de cansancio al hacer el examen.

• Se dice que y varía directamente como x, y es directamente proporcional a x, cuando:

y = kxdonde x y y son variables

k se llama constante de proporcionalidad.

Constante de proporcionalidad.

La producción en toneladas de caña de azúcar por hectárea aumenta con loskilogramos de fertilizante que se emplean, es decir, P = kf, donde P es laproducción, y f los kilos de fertilizante. ¿Cuántas toneladas por hectárea seproducen en una parcela que se abonó con 385 kg de fertilizante, si otra concondiciones semejantes produjo 91 toneladas por hectárea con 455 kg defertilizante?

El primer paso en esta clase de problemas consiste en obtener el valor de la constante sustituyendo los datos, los valores conocidos, en la ecuación de proporcionalidad, que en este ejemplo:

P = 91 toneladas f = 455 kilogramos f = 385 kilogramos

y= 91 toneladas x = 455 kilogramos x = 385 kilogramos

Ejemplo 1

De donde la constante de proporcionalidad es

y = kx

Despejando a k

k = y/x

k = 91/455

k =0.20

De donde la constante de proporcionalidad es

P = kf

Despejando a k

k = P/f

k = 91/455

k =0.20

Considerando los datos otorgados por el problema

P es la producción, y f los kilos de fertilizante.

P = 91 toneladas f = 455 kilogramos f = 385 kilogramosy= 91 toneladas x = 455 kilogramos x = 385 kilogramos

FORMULA ORIGINALFORMULA CON ADECUACIONES

AL PROBLEMA “LETRAS”

NOTA: Lo inverso de multiplicar es dividir

Cabe decir que la constante k no tiene dimensión y por eso no importan lasunidades que se utilicen al sustituir en la ecuación de proporcionalidad,siempre y cuando se mantengan.

Con este valor de k obtenido anteriormente y el de x = 385 ó f = 385 se obtienela producción por hectárea:

De donde la constante de proporcionalidad es

y = kx

y = 0.20*385

y =77 toneladas

De donde la constante de proporcionalidad es

P = kf

P = 0.20*385

P =77 toneladas

FORMULA ORIGINALFORMULA CON ADECUACIONES

AL PROBLEMA “LETRAS”

El volumen de ventas de un complemento dietético aumenta si se incrementa el número de veces en que se anuncia en televisión, lo cual significa que:

V = kt

Donde V son las ventas, t es la frecuencia o número de veces en que el complemento se anuncia, y k es la constante de proporcionalidad.

V = 4,500 piezas t = 5 veces t= 6 veces

y = 4,500 piezas x = 5 veces x= 6 veces

Ejemplo 2

Si el artículo que se anuncia 5 veces por hora, vende 4,500 piezas, ¿cuántas se venderán si se anuncia 6 veces por hora?

De donde la constante de proporcionalidad es

y = kx

Despejando a k

k = y/x

k = 4,500/5

k =900

De donde la constante de proporcionalidad es

V = kt

Despejando a k

k = t/V

k = 4,500/5

k =900

Considerando los datos otorgados por el problema

V son las Ventas, y t # de veces.

V = 4,500 piezas t = 5 veces t= 6 vecesy = 4,500 piezas x = 5 veces x= 6 veces

FORMULA ORIGINALFORMULA CON ADECUACIONES

AL PROBLEMA “LETRAS”

Por lo tanto, si t = 6 entonces las ventas serán V = 900(6)

o V = 5,400 unidades.

Con este valor de k = 900 obtenido anteriormente y el de x =6 ó t =6 se obtienelas ventas:

De donde la constante de proporcionalidad es

y = kx

y = 900*6

y = 5,400 unidades

De donde la constante de proporcionalidad es

V = kt

V = 900*6

V =5,400 unidades

FORMULA ORIGINALFORMULA CON ADECUACIONES

AL PROBLEMA “LETRAS”

Proporción inversa

La igualdad

y = k/x

donde x y y son variables

x es diferente de 0

k es la constante de proporcionalidad significa que

y es inversamente proporcional a x.

Proporción inversa

• Dos magnitudes se dicen inversamente proporcionales si al multiplicar(dividir) una de ellas por un número distinto de cero, la otra resulta dividida(multiplicada) por ese mismo número.

DEFINICIÓN

• El bono mensual B que un empleado recibe por su puntualidad es inversamente proporcional al número de minutos m que llega tarde a su trabajo, lo cual significa que:

B = k/m

• Si, por ejemplo, un empleado que llegó 3 minutos tarde recibió un bono de $350, ¿cuándo recibirá otro que llegó 5 minutos tarde?

Ejemplo 1

• Datos

Bono mensual = B minutos = m minutos = m

B = 350 m = 3 m = 5

• Para obtener el valor de la constante de proporcionalidad se tiene que:

y = k/x

b = k/m

• Sustituyendo los valores en la formula podemos proceder a efectuar las operaciones:

350 = k/3

• De donde se desconoce constante de proporcionalidad k

k = 350(3)

k = 1050

• y entonces, cuando m = 5, resulta un bono de:• Para obtener el valor de la constante de proporcionalidad se tiene que:

y = k/x b = k/m

• Sustituyendo los valores en la formula podemos proceder a efectuar las operaciones:

? = k/5• De donde se desconoce bono mensual b

b = 1050/5 b = 210

• Note que si un empleado tiene 0 minutos de retardo entonces la expresión B = k/mse indetermina porque no hay división entre 0, pero en ese caso el empleadopercibirá el bono máximo posible. También es cierto que muchas empresas queotorgan este tipo de bonificación, lo cancelan en su totalidad con un retardo delempleado.

Proporción mixta

• Es claro que la proporcionalidad puede darse con más de 2 variables en proporción múltiple o mixta.

Proporción mixta

• Si se supone que la calificación C que se obtiene en un examen está enproporción directa al número de aciertos n y es inversamente proporcional alnúmero de minutos t en que se resuelve, entonces,

C = kn/t

• Por ejemplo, si Alejandra obtuvo 85 en un examen con 15 aciertos y 45minutos, ¿qué calificación obtiene Carlos con 18 aciertos, si tardó 56 minutospara resolver su examen?

Ejemplo 1

AlejandraC= 85n=15m=45

CarlosC= ?n=18m=56

Datos: Formula:

C = kn/t

• Para la constante de proporcionalidad de Alejandra se tiene:

C = 85, t = 45 y n = 15

C = kn/t

Se tiende a despejar a la constante de proporcionalidad

85 = k(15)/45

de donde

k = 85(45)/15

k = 255

• Entonces, la calificación de Carlos, puesto que n = 18 y t = 56, es:

C = kn/t

C = 255(18)/56

C = 81.9642857

Un buen padre de familia acostumbra dar a sus hijos, al final de cada semestre, un premio P, en pesos, que es inversamente proporcional a la expresión:

𝑛 + 1 100 − 𝑐

donde n es el número de inasistencias que la escuela le reporta y c es la calificación semestral.

Entonces la ecuación de proporcionalidad es:

𝑷 =𝒌

𝒏 + 𝟏 𝟏𝟎𝟎 − 𝒄

Ejemplo 2

Si en el ejemplo 6 el hijo mayor recibió $3,250 con un promedio de 80 y 2 inasistencias

a) ¿cuánto recibirá el más chico si registró 4 inasistencias y logró 95 de promedio semestral?

b) ¿Y cuánto recibirá su hermana que tuvo sólo una inasistencia y 90 de promedio?

Ejemplo 3

• La constante de proporcionalidad es k = 25,174 aproximadamente, ya que:

P = 3,250 n = 2 c = 80

3,250=𝒌

𝟐+𝟏 𝟏𝟎𝟎−𝟖𝟎

Entonces, el hijo menor logra un premio de:

𝑷 = 𝟐𝟓, 𝟏𝟕𝟒. 𝟑𝟗 𝟒 + 𝟏 𝟏𝟎𝟎 − 𝟗𝟓𝑷 = 𝟐𝟓, 𝟏𝟕𝟒. 𝟑𝟗 𝟐𝟓

𝑷 = $𝟓, 𝟎𝟑𝟒. 𝟖𝟕

k= 𝟑, 𝟐𝟓𝟎 𝟔𝟎

k= 𝟐𝟓, 𝟏𝟕𝟒. 𝟑𝟗

a) ¿cuánto recibirá el más chico si registró 4 inasistencias y logró 95 de promedio semestral?

n = 4 c = 95

Entonces, el hijo menor logra un premio de:

𝑷 = 𝟐𝟓, 𝟏𝟕𝟒. 𝟑𝟗 𝟏 + 𝟏 𝟏𝟎𝟎 − 𝟗𝟎𝑷 = 𝟐𝟓, 𝟏𝟕𝟒. 𝟑𝟗 𝟐𝟎

𝑷 = $𝟓, 𝟔𝟐𝟗. 𝟏𝟔

b) ¿Y cuánto recibirá su hermana que tuvo sólo una inasistencia y 90 de promedio?

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #6

Actividad de Aprendizaje #6

1. Escriba y simbolice 3 ejemplos reales de proporcionalidad directa.

2. Mencione y simbolice 3 ejemplos de proporcionalidad inversa.

3. Escriba y represente con una ecuación 4 ejemplos reales de proporcionalidad mixta o combinada.