機械力学1講義 第8回 - 東京大学2 1 ( ) 積分の収束条件 re[s]=σ>0 o σ t 虚(i)...
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機械力学1講義
第8回
2006.12.11
ラプラス変換
実f(t) → 複素F(s)
∫∞ −=
0)()( dtetfsF st
∫∞+
∞−=
i
i
stdsesFi
tfσ
σπ)(
21)(
積分の収束条件 Re[s]=σ>0
o σt
s( )i虚
実
tとsの変数域
ラプラス逆変換
ラプラス変換による強制振動の解析
(前回の復習)
t:時間,s:複素数
複素F(s) → 実f(t)
微分方程式を機械的に解く方法
ラプラス変換表
atcosh
ata
sinh1
atcos
ata
sin1
t
)(tu
)(tδ
22 ass−
221as −
22 ass+
221as +
21s
s1
1
)(tf )(sF
atea
bt sinh1( ) 22
1abs −−
( ) 22 absbs−−
−atebt cosh
atea
bt sin1( ) 22
1abs +−
att cos
atat sin
2
atebt cos
( )222
22
as
as
+
−
( )222 as
s
+
( ) 22 absbs+−
−
)(tf )(sF
∫∞ −=
0)()( dtetfsF st ∫
∞+
∞−=
i
i
stdsesFi
tfσ
σπ)(
21)(
機械振動では無数の関数が現れるが,これだけあれば,ほとんどの場合が解ける.
表があれば,無限積分,複素積分不要.
ラプラス変換の公式
)( tfe at )( asF −
dtdf )0()( fssF −
2
2
dtfd )0()0()(2 fsfsFs ′−−
)0()0(
)0()()1(2
1
−−
−
−−′−
−nn
nn
ffs
fssFs
Ln
n
dtfd
指数関数の積
微分
2階微分
n階微分
)( tf )( sF
ラプラス変換表と公式を組合わせれば,ほとんどの問題が解ける.
x
k c
m ( )tf
6.4 ラプラス変換による任意外力の応答計算
( ) ( ) 00 0 ,0 vxxx == &① ②
⑥
⑦
ラプラス変換
( )sXx→③
④
⑤
⑧
)(tfkxxcxm =++ &&&
( )sFf →( ) ( )002 xsxXsx &&& −−→
( )0xsXx −→&
{ } { } FkXxsXcvsxXsm ooo =+−+−−2
(未知)
(表の値を代入)
初期値を代入
kcsmsmv
kcsmscmsx
kcsmsFX
+++
+++
+++
= 20202
ooo mvcxmsxFkXcsXXms +++=++2Xで整理
ラプラス逆変換
⑧
+++
+++
+
++= −−−
kcsmsmLv
kcsmscmsLx
kcsmsFLx 2
102
102
1
⑩
kcsmsmv
kcsmscmsx
kcsmsFX
+++
+++
+++
= 20202
⑨
mkn /=ω 21 ζωω −= nd
簡単な分数に分解
=x
000 == vx の解(特解) 00 == vf の解(基本解)
00 == xf の解(基本解)
tev dt
dn ω
ωζω sin1
0−
+− ttex d
d
nd
tn ωωζωωζω sincos0
++−
kcsmsFL 2
1+
+
減衰振動系のステップ応答(前回の復習)
部分分数に分解
)(tFukxxcxm =++ &&& 0)0()0( == xx &
[ ]s
uL 1=
22 211
nnsssmF
ωζω ++⋅⋅=
++
+−=
++
+−⋅= 22222 2
212
211
nn
n
nn
n
n sss
skF
sss
smFX
ωζωζω
ωζωζω
ω
c
m x
k
)( tFu
u
0
1
t
21
2 kmωn =
mk
n =ω mkc
2=ζ
sFkXcsXXms 12 ⋅=++
sF
kcsmsX
++= 2
1
u(0)は何でもよい
両辺ラプラス変換
( ) ( ) XsxsxXsx 22 00 =−−→ &&& ( ) sXxsXx =−→ 0&
分母:sの2次式,分子:1次式
( ) 221sin1
absate
aL bt
+−=
[ ]
( ) 22cosabs
bsateL bt
+−−
=
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
⋅
++−
++
+−=
++−
++
+−=
++
+−=
+−+
+−=
ndndn
n
dn
n
dn
n
dn
n
nnn
n
sss
skF
sss
skF
ss
skF
ss
skFX
ζωωζωωζω
ζω
ωζω
ζω
ωζω
ζω
ωζω
ζω
ωζωζω
ζω
2222
2222
22
222
11
1
21
21
+
+++
−=sss
skFX
nn
n 12
222 ωζω
ζω
21 ζωω −= nd
da ω→
nb ζω−→
[ ]s
uL 1=
−−= −− tetetu
kFtx d
tn
dnd
tn ωω
ζωω ζωζω sin1cos)()(
−−−= −− tete
kF
dtn
dtn ω
ζ
ζω ζωζω sin1
cos12
da ω→
nb ζω−→
( ) ( )
⋅
++−
+++
−= ndndn
n
sss
skFX ζω
ωζωωζωζω
222211
( ) 221sin1
absate
aL bt
+−=
[ ]( ) 22cos
absbsateL bt
+−−
=
[ ]s
uL 1=
不連続関数があっても問題なし
(t>0)
−
−
+−= − )cos(
1
11
2
2
φωζ
ζ ζω tekF
dtn
21tan
ζ
ζφ−
=
21 ζωω −= nd
x
kF
o tステップ応答
−
+± − tne
kF ζω
ζ
ζ2
2
1
11
0)0()0( == xx &
−
−
+−= − )cos(
1
11
2
2
φωζ
ζ ζω tekFx d
tn
図8.1A
2k
1k
m
c
x
y
図8.1B
x
0
0x
t
xがx=xou(t)とステップ状に移動.xoは定数,uは単位ステップ関数.
mkk 21
1+
=ω 12 1
<=ω
ζmc
◎問8.2 前問をラプラス変換により解け.また,t→∞におけるyは,x=xoに対するmの静的釣合位置hに一致することを確かめよ.
021
1 xkk
kh
+=
( ) ( ) 000 == yy &
krrckxxcxm +=++ &&&&
0)0()0( == xx &
)()( sXtx → [ ]sAAuLsRtr ==→ )()(
{ } kRrsRckXcsXXms +−=++ )0(2
6.3.4 ステップ関数の初期値が問題になる場合
ステップ関数uの初期値は1か0か
)()( xrkxrcxm −+−= &&&&
1)(lim)0(0
==+→
tuut
0)(lim)0(0
==−→
tuut
0)0( =u
1
u, w
u w
0 t1 t
k
m
c
( )tx
( ) )(tAutr =
[ ]s
dttuetuL st 1)()(0
== ∫∞ − 0)0( =u
[ ]s
dttvetvL st 1)()(0
== ∫∞ − 1)0( =v
1
u
v
0 t
ラプラス変換が同じで,初期値1の関数がある.
t>0ではu=v.よって,uとvのラプラス変換
は同じ
1
1
sAkAuAckXcsXXms o +−=++ )(2
)1(22 222onnnn uA
sAXsXXs −+=++ ζωωωζω
−+++
= )1(22
2
22 onn
nn
usss
AX ζωωωζω
++−
+++
+−= 2222 )(
)21()(
1
dn
on
dn
n
su
ss
sAX
ωζωζω
ωζωζω
{ } kRrsRckXcsXXms +−=++ )0(2
sAsR =)( ( )0)0()0( === oAuAur
mkn =ω
uの初期値をuoとおく
両辺mで割る
Xで整理
部分分数分解
mkc 2=ζ
−
−−−= − tutetuAx d
od
t ωζ
ζωζω sin1
)21(cos)(2
su 1→
221
1
)(cos1
dd
t
s
steωζω
ζωωζω
++
+→−
221)(
sin1
d
dd
t
ste
ωζω
ωωζω
++→−
++−
+++
+−= 2222 )(
)21()(
1
dn
on
dn
n
su
ss
sAX
ωζωζω
ωζωζω
ラプラス変換公式
ラプラス逆変換
muAcu
mcAuAx o
onn
on)1()1(
22)1(2)0( −
=−=−=+ ωω
ζω&
0/)0( ≠= mAcx&
−
−−−= − tutetuAx d
od
tn ωζ
ζωζω sin1
)21(cos)(2
uo=0のとき(r=Au)
uo=1のとき(r=Av) 0)0( =x&
−
−++−= − tutueAx d
odo
tnn ω
ζ
ζωζω ζω sin1
)1(21cos)1(22
2&
0)0( =+x
初期条件は 0)0()0( == xx &
?
のはず
1
t>0
t>0
(t>0からの極限)
1 1 0
1 1 0
nmcω
ζ2
=
1
u(0)=0
v(0)=1
0 t
−
−−−= − tutetuAx d
od
tn ωζ
ζωζω sin1
)21(cos)(2
0)0( =x&r=Au,uo=0
A
mAcx /)0( =&
r=Av,uo=1
質点は無限大の加速度で移動
速度が不連続に変化
t=0でrが無限大の速度
ダンパーは無限大の力を発生k
m
c
( )tx
( ) )(tAutr =
1t>0
t=0でuは不連続dx/dt も不連続
0)0()0( == xx &
撃力
krrckxxcxm +=++ &&&&
)()( tkAutcA += δ
to
)( tu
)( tδ∞
1
δ=dtduAur =
ラプラス変換後に微分公式使用
微分後にラプラス変換
skAcAkXcsXXms 112 +⋅=++
[ ] 1)( =tL δ [ ]s
tuL 1)( =
u(0)=0と置いたものと同じ.
u(0)を使わない解法
微分公式で初期値発生
)0()()( rssRtr −→&
t=0近傍の力積(力×時間)
∫∫ −−+=+=
ε
ε
ε
εdtkAuucAdtkrrcI )()( &&
t=0の運動量変化=力積=I
mcA
mI=
初速度に一致
t=0の速度変化
[ ] [ ] [ ] cAuucAkAtcAu =−−=+= − )()(0 εεεεε
0 0
=1
初期値に関する考察
krrckxxcxm +=++ &&&&
)()( tkAutcA += δ
to
)( tu
)( tδ∞
1
ε− ε
δ関数(∞)の影響は初速度に現れる.u関数(有限)
は初期値に影響しない.
以下の方程式は等価
)()( tcAtkAukxxcxm δ+=++ &&&0)0( =x 0)0( =x& 0≥t
0)0( =xmcAx =)0(& 0>t
x x&
)(tcAδto
∞
kAkxxcxm =++ &&&
①
②
撃力
k
m
c
( )tx
( ) Atr =
δ関数は初期値に置き換えられる.
撃力が過ぎた後
特解
基本解
一般解
運動方程式
初期条件
デルタ関数を除けば,時間領域解法も可能
0)0( =x mcAx =)0(&kAkxxcxm =++ &&&
( )tDtCex ddtn ωωζω sincos += −
Ax =
( )tDtCeAx ddtn ωωζω sincos ++= −
0)0( =+= CAx
mcADCx dn =+−= ωζω)0(&初期条件に代入
21 ζζ −= AD AC −=
−+−+= − tAtAeAx dd
tn ωζ
ζωζω sin1
cos2
未定係数の決定
解
(t>0)
δcA
δcA
kAuucAkxxcxm +=++ &&&&0)0()0( == xx & k
m
c
( )tx
( ) )(tAutr =
ステップ応答のまとめ
skAu
sscAkXcsXXms 1)0(12 +
−⋅=++
①直接ラプラス変換,u(0)=0を使用.
)()( tkAutcAkxxcxm +=++ δ&&&
skAcAkXcsXXms 112 +⋅=++
②uを微分した後にラプラス変換 δ=dtdu
を使用
0)0( =xmcAx =)0(& 0>tkAkxxcxm =++ &&&
kAuucAkxxcxm +=++ &&&& 0)0()0( == xx &
k
m
c
( )tx
( ) )(tAutr =
③δ関数を初速度に変換
ラプラス変換
skAcAkXcsX
mcAXsm 112 +⋅=++
−
( ) ( )002 xsxXsx &&& −−→
④時間領域解法,初期条件によりC1,C2決定
teCteCkFx d
td
t nn ωω ζωζω sincos 21−− ++=
運動量変化=力積を利用
特解 基本解1 基本解2
+++
++= −− txvtxe
kcsmssFLx d
d
nd
tn ωωζω
ωζω sincos)( 0002
1
デュアメル積分による解法
ラプラス変換,逆変換はともに積分 → 第1項は積分
(不減衰系)n
nn
tvtx
kmssFLx
ωω
ωsin
cos)(002
1 ++
+= −
( ) ( ) 00 0 ,0 vxxx == &)(tfkxxcxm =++ &&&
{ } { } FkXxsXcvsxXsm ooo =+−+−−2
kcsmsmv
kcsmscmsx
kcsmsFX
+++
+++
+++
= 20202
ラプラス変換
逆変換
時間領域ラプラス変換デュアメル積分
∫ −=t
nn
dftm
x0
)()(sin1 τττωω
∫ −= −−td
tn
ddfte
mx
0)( )()(sin
1τττω
ωτζω
(不減衰系)
(減衰系)
∫ ∫∞+
∞−
∞ −−
+=
+
i
i
stst dsedtetfkmsikms
sFLσ
σπ 0221 )(1
21)(
+++
++= −− txvtxe
kcsmssFLx d
d
nd
tn ωωζω
ωζω sincos)( 0002
1
n
nn
tvtxkms
sFLxωωω sincos)(
0021 ++
+= −
ラプラス変換,逆変換はともに積分 → 第1項は積分
(不減衰系)
(減衰系)
(減衰系)
コラム13 デュアメル積分の証明
入力fがδ関数のときの応答(インパルス応答)をh(t)とする
∫ −= −−td
t
ddfte
mx n
0)( )()(sin1 τττω
ωτζω
)(tfkxxcxm =++ &&&
)(tkhhchm δ=++ &&& )0()0( hh &=
12 =++ kHcsHHms
ラプラス変換
H=L[h]
(特解を積分で書き下す)
1][ =δL
( ){ }22211)(
dnsmkcsmssH
ωζω ++=
++=
tem
th dtn
dω
ωζω sin1)( −=
逆変換
tm
th nn
ωω
sin1)( =
不減衰系では
12 =++ kHcsHHms
ラプラス変換
( ) 221sin1
absate
abt
+−⇒
公式
畳み込み積分 ∫ −=∗t
dftftftf0 2121 )()()()( τττ
[ ]2121 )()( ffLsFsF ∗=合成公式
)()()()( 2 sFsHkcsms
sFsX =++
=
[ ])()()( 1 sFsHLtx −=
)(tfkxxcxm =++ &&&
kcsmssH
++= 2
1)(
一般の入力に対する応答
)0()0( xx &=
FkXcsXXms =++2
教科書 コラム13
tem
th dtn
dω
ωζω sin1)( −= ,t→t-τ
∫
−= −−t
dtn
ddfte
m0)( )()(sin1 τττω
ωτζω
[ ] ∫ −=∗== − tdfthfhsFsHLtx
01 )()()()()( τττ
畳み込み積分
任意外力に対する応答の計算法
( )tfkxxm =+&&
( ) ( ) tBtAtxtx nnp ωω sincos ++=
特解 自由振動解(基本解)
インパルス応答
( ) ( )kms
vkms
sxkms
sFsX+
⋅++
⋅++
= 20202
1
000 == vx 0== fFkms +2
1
( )[ ] 1=tL δ特解 自由振動解
( ) ( ) ( ) tvtxdftm
tx nn
n
t
nn
ωω
ωτττωω
sincossin1 00
0++−= ∫
0=f
k
m fx
1.初等解法
2.ラプラス変換
3.デュアメル積分
運動方程式と初期条件
不減衰系の強制振動
( ) ( ) 00 0 ,0 vxxx == &
特解 自由振動解000 == vxt
m nn
ωω
sin1インパルス応答
・初等解法:特解を求めるのが難しい.
・ラプラス変換:ラプラス変換表が必要.
・デュアメル積分:積分計算が難しい.
6.6 2自由度系のラプラス変換
12212111 )( fxkxkkxm =−++&&
22321222 )( fxkkxkxm =++−&&
図6.8
1x
2x
1k
2k
3k
1m
2m
1f
2f
=
+−−+
+
2
1
2
1
322
221
2
1
2
1
00
ff
xx
kkkkkk
xx
mm
&&
&&
( ) 12121111 fxxkxkxm +−−−=&&
22312222 )( fxkxxkxm +−−−=&&
(あまり使わない)
=
+−−+
+
2
1
2
1
322
221
2
1
2
1
00
ff
xx
kkkkkk
xx
mm
&&
&&
[ ] [ ]
=
+
2
1
2
1
2
1
ff
xx
Kxx
M&&
&&
[ ]
=
2
1
00m
mM [ ]
+−
−+=
322
221
kkkkkk
K
101 )0( xx = 202 )0( xx =
101 )0( vx =& 202 )0( vx =&初期条件
x1,x2からξ1,ξ2へ変数変換
固有モードベクトル
[ ][ ] [ ][ ] [ ]0)()(2 =+− iii XKXMω
自由振動解
(5.3.2モード座標系での解法)
[ ] [ ]
=
+
2
1
2
1
2
1
ff
xx
Kxx
M&&
&&
(独立.任意のベクトルを線形和で表せる)
[ ] [ ] [ ] [ ]( )
=+=
2
1)2()1()2(2
)1(1
2
1 ,ξξ
ξξ XXXXxx
固有値問題固有ベクトル
[ ] [ ]
=
+
2
1
2
1
2
1
ff
xx
Kxx
M&&
&&
を代入
[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]( )
=+++
2
1)2(2
)1(1
)2(2
)1(1 f
fXXKXXM ξξξξ &&&&
[ ] [ ])2(2
)1(1
2
1 XXxx
ξξ +=
[ ]TX )1( を左から掛ける
[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ]
=
+++
2
1)1(
)2(2
)1(1
)1()2(2
)1(1
)1(
ff
X
XXKXXXMX
T
TTξξξξ &&&&
直交性 [ ] [ ][ ] 0)2()1( =XMX T [ ] [ ][ ] 0)2()1( =XKX T
0 0
[ ] [ ][ ] 1)1()1( mXMX
t= [ ] [ ][ ] 1
)1()1( kXKXt
=
)(11111 tfkm =+ ξξ&&
[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ]
=
+++
2
1)1(
)2(2
)1(1
)1()2(2
)1(1
)1(
ff
X
XXKXXXMX
T
TTξξξξ &&&&
直交性
0 0
[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]
=+
2
1)1(1
)1()1(1
)1()1(
ff
XXKXXMX TTT ξξ&&
[ ] )(12
1)1( tfff
X T=
[ ]
=
2
1)2(2 f
fXf T
)(22222 tfkm =+ ξξ&&
[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]( )
=+++
2
1)2(2
)1(1
)2(2
)1(1 f
fXXKXXM ξξξξ &&&&
[ ]TX )2( を左から掛ける
[ ] [ ][ ] 2)2()2( mXMX T= [ ] [ ][ ] 2
)2()2( kXKX T=
直交性
0 0
[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]
=+
2
1)2(2
)2()2(2
)2()2(
ff
XXKXXMX TTTξξ&&
[ ] [ ] [ ] [ ]( )
=+=
2
1)2()1()2(2
)1(1
2
1 ,ξξ
ξξ XXXXxx
[ ]
=
−
)0()0(
)0()0(
2
11)2()1(
2
1
xx
XXξξ
[ ]
=
−
)0()0(
)0()0(
2
11)2()1(
2
1
xx
XX&
&
&
&
ξξ
初期条件
解ξ1,ξ2をラプラス変換により求める.
)(11111 tfkm =+ ξξ&&
)(22222 tfkm =+ ξξ&& [ ]
=
−
)0()0(
)0()0(
2
11)2()1(
2
1
xx
XXξξ
[ ]
=
−
)0()0(
)0()0(
2
11)2()1(
2
1
xx
XX&
&
&
&
ξξ
ξ1,ξ2に関する独立な方程式.1自由度系が2個あるのと同じ.
[ ] [ ])2(2
)1(1
2
1 XXxx
ξξ +=
自由度が増大しても,モード座標ξに関する運動方程式の数が増えるだけで,個々の方程式を解く手間は同じである.1自由度系の計算を繰り返し行えば解に到達できる.ただし,固有モードベクトルの計算は必要であり,その手間は自由度の増大とともに増大する.
講義予定
12/18 中間試験+講義
1/ 9 (火) 講義(13:00開始?)
1/15 講義(休講?)
1/22 講義1/29 予備3/ 5(月)最終試験
演習問題 「3.力学の基礎」~「7.強制振動」および問8.1,8.2,8.8,8.9,教科書6.3.3
のうち,◎○△の問題
=授業で解いたもの,教科書に載っているもの
12/18 中間試験
コンピュータのハードウェアと機械力学
DRAM
HDD
情報処理:電子の動き機械的運動は不要
メカを使うメモリが存在する理由?
MP3プレーヤー
PCのマザーボード
ハードディスク(磁気ディスク)
LSI: DRAM,フラッシュメモリ機械:HDD,DVD 混在
HDD
MOS型
トランジスタ
コンデンサ
磁気ディスク・1個の磁気ヘッドで
データの読み書き.構造単純・大容量,安価,低速
LSIメモリ・1ビットごとにコンデンサと
トランジスタ・小容量,高価,高速
磁気ヘッド(電磁石)ガラス円板に磁石の膜
256MB=256×100万×8ビット=20億ビット
メモリには機械式と半導体式がある
33904円/5GB=6,780円/GB 17306円/0.5GB=34,612円
12857円/120GB=107円/GB
11052円/0.25GB=44,208円/GB
12474円/0.5GB=24,948円/GB
不揮発性メモリの比較
磁気ディスクの構造 浮動ヘッド機構
磁気ディスク媒体
浮動ヘッド
ベース電磁アクチュエータ
キャリッジ
ジンバルばね部(板ばね)
スライダ
電磁変換ヘッド(コイル)
ロードばね部(板ばね)
記録再生
NS
磁気記録の原理10nm
100km/h
面振れ 数μm
(b) トラック変動
10nm:1μm=1:100
スライダの浮上原理
磁気ヘッド
隙間の距離と速度に比例
ばね
空気圧力
①ゆっくりディスクup→隙間小→圧縮大→圧力大→スライダup
②ゆっくりディスクdn→隙間大→圧縮小→圧力小→スライダdn
③速くディスクup→空気圧縮→圧力大→スライダ速くup
④速くディスクdn→空気膨張→吸引→スライダ速くdn
ダンパー
支持機構
スライダ
空気膜
ディスク
スライダの1自由度力学モデル
集中質量
1mm
磁気ヘッド
焦点深度1μm
a
面振れ100μm
固定端
平行板ばね
永久磁石可動コイル
対物レンズO
フォーカスサーボ機構
レンズを傾けずに上下動するためのガイド
上下に移動
電磁力により上下動
焦点誤差efに
比例する力が発生
ディスクとレンズ(焦点)のばね結合に等価
(焦点ずれの速度に比例する電圧も発生)
フォーカスサーボ系
光ディスクフォーカスサーボの力学モデル
(レンズ)
磁気ディスク
①正弦波外力による振動x風によるヘッドの振動
F=Asinωt
②正弦波変位による振動
x r=Asinωtディスクのうねり
追従
F=Asinωt
r=Asinωt
③初期偏差に対する過渡応答
磁気ディスクのトラックアクセス
x
r=A
移動開始 整定 時間
アクセスタイム
目標トラック
ヘッド位置
(固定)
0≠= Arxr=A
④ステップ状変位に対する過渡応答
(磁気ディスクの突発振動)
x
r
ステップ変位 整定 時間
応答時間
ディスク高さ
ヘッド位置
ステップ移動)(tAur =x
)(tAur =
光ディスクと眼球運動(サッケード)
問 8.2 解答
運動方程式
( ) 012 =−+++ xykykycym &&& (1) 0)0()0( == yy & , )(tuxx o= (2)
mkk 212
1+
=ω ,12 ω
ζmc
= (3)
umxk
xmk
yyy o112112 ==++ ωζω &&& (4)
ラプラス変換
msxk
YsYYs o12112
2
=++ ωζω (5) 公式s
u 1⇒ を使用
( ) ( )
++−
++
+−=
++= 22
1
122
1
12
1
112
11
12
12
dd
oo
sss
smxk
msxk
ssY
ωζωζω
ωζωζω
ωωζω (6)
ただし 21 1 ζωω −=d (7)
ラプラス逆変換
公式s
u 1⇒
( ) 22cosabs
bsatebt
+−−
⇒ ( ) 22
1sin1abs
atea
bt
+−⇒ を利用
−−
+=
−−=
−−
−−
tetetukk
xk
tetetum
xky
dt
dd
to
dt
dd
to
ωωζω
ω
ωω
ζωωω
ζωζω
ζωζω
sincos)(
sin1cos)(
11
11
1
21
1
121
1
(8)
∞→t のとき 01 →− te ζω , 1)( →tu なので
hkk
xky o =+
→21
1 (9)
静的釣合い:m,c を無視.k1,k2のみ考慮.
( )hxkhk o −= 12 (10)
oxkk
kh21
1
+= (11)
h
xo
圧縮量h
圧縮量xo-h
k2
k1
図8.1A
2k
1k
m
c
x
y
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