2. funktiot - oulus-mat-pcs.oulu.fi/~keba/ka/ka_slides2.pdf · 2012-09-19 · hyperboliset funktiot...
Post on 08-Jul-2020
4 Views
Preview:
TRANSCRIPT
2. Funktiot
Keijo Ruotsalainen
Mathematics Division
Kompleksimuuttujan funktio
◮ Kompleksimuuttujan z kompleksiarvoinen funktio f (z) voi ollayksiarvoinen tai moniarvoinen, esimerkiksi
f (z) = ez yksiarvoinen
f (z) =√
z kaksiarvoinen
◮ käänteisfunktio: Jos w = f (z), niin merkitäänz = g(w) = f −1(w). Funktio f −1 on f :n käänteisfunktio (joka voiolla moniarvoinen).
Funktioiden kuvausominaisuuksia
Esim. 1
Funktio f (z) = z2.
Esim. 2
Miksi käyräksi funktio f (z) = z2 + z kuvaa suoran y = x?
Esim. 3
Analogisen systeemin, jonka Laplace-siirtofunktio onrationaalifunktio Ha(s), digitaalinen vaste (derivaatanapproksimointimenetelmällä) saadaan kun s korvataan lausekkeella1−z−1
Teli H(z) = Ha(s)
∣
∣
∣
s= 1−z−1
T
. Kuvaus s = 1−z−1
T, eli
z = 11−sT
, kuvaa vasemman puolitason (12, 0)-keskiseksi
12-säteiseksi kiekoksi.
Polynomit
◮ Polynomifunktio P(z) = a0zn + a1z
n−1 + · · ·+ an−1z + an,.Kertoimet ai ∈ C, a0 6= 0. Luonnollinen luku n on P(z):n aste.
◮ Polynomiyhtälöllä a0zn + a1z
n−1 + · · ·+ an−1z + an = 0 on n
juurta z1, z2, . . . , zn (joista jotkut voivat olla samoja). Lisäksi sevoidaan kirjoittaa muotoon
a0(z − z1)(z − z2) · · · (z − zn) = 0.
◮ Jos z on yhtälön ratkaisu ja kertoimet a0, . . . , an reaalilukuja, niinmyös z̄ on ratkaisu (osoita).
Rationaalifunktio
◮ Rationaalifunktio on R(z) = P(z)Q(z) , missä P ja Q ovat polynomeja.
◮ Möbius - muunnos l. bilineaarikuvaus on
w =az + b
cz + d, missä ad − bc 6= 0.
◮ Lineaaristen systeemien (suodattimien tms.) siirtofunktiot ovatuseimmiten rationaalifunktioita.
◮ Q:n nollakohdat ovat (yleensä) R :n napoja ja P :n nollakohdat R :nnollia.
Navan kertaluku
◮ Jos on olemassa positiivinen kokokaisluku n, jolle
limz→z0
(z − z0)nf (z) = A 6= 0,
niin z0 on f :n kertalukua n oleva napa.
◮ Jos n = 1, z0:aa sanotaan yksinkertaiseksi navaksi.
◮ Huom. Lineaarisen systeemin stabiilisuutta voidaan tutkiamääräämällä siirtofunktion (jos se on rationaalifunktio)napojen sijainti.
Esimerkki
Esim. 4
Etsi kuvaus, joka kuvaa vasemman puolitason {z |Re z ≤ 0}yksikkökiekoksi {z ||z | ≤ 1}.
Eksponenttifunktio
f (z) = ez = ex+jy = exe jy = ex(cos y + j sin y)
Ominaisuuksia:
ez1ez2 = ez1+z2 , |ez | = ex > 0
ez+k2πj = ez , 2πj - jaksollinen
|e jϕ| = 1, arg e jϕ = ϕ, ϕ ∈ R
ez +···+z ez ez ez
Kuvausominaisuuksia
z → ez merk= w , w = |w |e jϕ ⇔ exe jy = |w |e jϕ
⇔{
ex = |w | > 0
y = ϕ mod 2π⇔
{
x = ln |w |y = arg w = Arg w + k2π
eli arvo w = ez saavutetaan z:n arvoilla
z = ln |w |+ j arg w . (1)
lisää ominaisuuksia
1. Imaginaariakseli kuvautuu yksikköympyräksi |e jϕ| = 1.
2. Suora x = vakio kuvautuu ympyräksi |w | = ex
3. Suora y = c kuvautuu origosta alkavaksi puolisuoraksi, jokakulkee pisteen e jc kautta
4. Jokainen 2π:n levyinen vyöhyke {y0 ≤ Im z < y0 + 2π}täyttää kuvajoukon C \ {0} täsmälleen kerran.
Logaritmifunktio
◮ Jos w = ez , määritellään logaritmifunktio (moniarvoinen)
z = log w , w ∈ C, w 6= 0.
◮ Kaavan (1) mukaan
log w = ln |w |+ j arg w (2)
eli
log w = ln |w |+ j Argw + jk2π, k = 0,±1,±2, . . . . (3)
Logaritmin haarat
◮ Kiinteällä k :n arvolla saadaan yksiarvoinen funktio, jotasanotaan logaritmifunktion haaraksi.
◮ Päähaara (k = 0) on
Log w = ln |w |+ j Argw . (4)
◮ Logaritmin pääarvo = päähaaran arvo.
Logaritmin laskulait
Yleiselle logaritmifunktiolle log w pätevät normaalit laskulait:
log w1w2 = log w1 + log w2
ja
logw1
w2
= log w1 − log w2.
Näissä on kiinnitettävä oikeat haarat.
Esimerkkejä
Esimerkki 5
H(ω) = |H(ω)|e jθ(ω), log H(ω) = ln |H(ω)|+ jθ(ω), α(ω) = ln |H(ω)|on systeemin vahvistus (gain).
Esimerkki 6
Kirjoita a)log(−1 + j), b) log(j), c) log(−1) muotoon a + bj .
Esimerkki 7
Ratkaise yhtälö e4z + 4e2z + 8 = 0. Anna ratkaisut z muodossaz = x + jy .
Yleinen potenssi
Koskaz = e log z ja log z = ln |z|+ j arg z,
määritellään Yleinen potenssi:
zw = ew log z , w ∈ C, z 6= 0.
Esimerkki 8
Kirjoita (1 + j)(−1+j)
muotoon a + bj .
◮ zw (jopa |zw | jos Imw 6= 0) on moniarvoinen funktio
◮ Kukin haara saadaan kiinnittämällä logaritmin haara.
◮ Kun logaritmin haara on kiinnitetty, niin
zw1+w2 = e(w1+w2) log zew1 log z+w2 log z
= ew1 log zew2 log z = zw1zw2 .
Trigonometriset funktiot
Määritellään
sin z =e jz − e−jz
2j, cos z =
e jz + e−jz
2, z ∈ C,
tan z =sin z
cos z, z 6= π
2+ kπ, cot z =
cos z
sin z, z 6= kπ.
Ominaisuuksia
1. sin2 z + cos2 z = 1
2. e jz = cos z + j sin z , e−jz = cos z − j sin z
3. sin(z1 + z2) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2,cos(z1 + z2) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2
4. sin z :n ja cos z :n nollakohdat ovat reaalisia, z = kπ,z = (k + 1
2)π
5. sin z on pariton, cos z on parillinen
6. sin z ja cos z ovat 2π-jaksollisia
7. cos z = cos x cosh y − j sin x sinh y ,sin z = sin x cosh y + j cos x sinh y
8. sin z ja cos z eivät ole rajoitettuja!
9. sin z ja cos z saavuttavat jokaisen kompleksilukuarvon!
Esimerkki
Esimerkki 9
Sinin kuvausominaisuuksia: sin z kuvaa suorat y = y0 ellipseiksi.Miksi kuvautuvat suorat x = x0?
Arcus - funktiot
◮ Kun sin z = w , määritellään z = arcsin w , w ∈ C.
◮ Arcussini on moniarvoinen, z = arcsinw = −j log(jw +√
1 − w2).
◮ Arcuskosini z = arccosw = −j log(w +√
w2 − 1), w ∈ C.
◮ Tangentin ja kotangentin käänteisfunktiot määritellään:
arctanw =1
2jlog
1 + jw
1 − jw, arccotw =
1
2jlog
w + j
w − j, w 6= ±j .
Hyperboliset funktiot ja area - funktiot
Määritellään
sinh z =ez − e−z
2, cosh z =
ez + e−z
2,
tanh z =sinh z
cosh z=
ez − e−z
ez + e−z, z 6= j(
π
2+ kπ),
coth z =cosh z
sinh z=
ez + e−z
ez − e−z, z 6= jkπ.
Hyperpolisten ja trigonometristenfunktioiden yhteys
sin jz =e j ·jz − e−j ·jz
2j=
e−z − ez
2j= −j
e−z − ez
2= j sinh z
cos jz = cosh z tan jz = j tanh z
sinh jz = j sin z , cosh jz = cos z , tanh jz = j tan z
Ominaisuuksia
◮ cosh2 z − sinh2 z = 1, sinh(−z) = − sinh z , jne.
◮ Käänteisfunktiot eli area-funktiot ovat
sinh−1 z = log(z +√
z2 + 1), cosh−1 z = log(z +√
z2 − 1),
tanh−1 z =1
2log
1 + z
1 − z, coth−1 z =
1
2log
z + 1
z − 1.
Raja-arvo, jatkuvuus
Määritelmä
Olkoon f (z) yksiarvoinen funktio pisteen z = z0 ympäristössä,paitsi mahdollisesti pisteessä z = z0. Luku l ∈ C on f (z):nraja-arvo kun z → z0, jos jokaista ǫ > 0 kohti on olemassa δ > 0:
|f (z)− l | < ǫ, kun 0 < |z − z0| < δ.
Merkitään limz→z0
f (z) = l tai f (z) → l kun z → z0.
Kompleksifunktio f (z) voidaan hajoittaa reaaliosaan u jaimaginaariosaan v ;
u(x , y) = Re f (z), v(x , y) = Im f (z),
◮ Huom. Kompleksifunktiox + jy = z → f (z) = u + jv = u(x , y) + jv(x , y) ↔Vektorikenttä (x , y) → (u, v) = (u(x , y), v(x , y))
◮ Selvästi
limz→z0=x0+jy0
f (z) = l = a+jb ⇔
lim(x ,y)→(x0,y0)
u(x , y) = a
lim(x ,y)→(x0,y0)
v(x , y) = b,
joten kompleksifunktion raja-arvolle pätevät vastaavattulokset kuin kahden muuttujan reaalifunktion raja-arvolle.
Jatkuvuus
Määritelmä
Funktio f : A → C on jatkuva pisteessä z0 ∈ A, jos
limz→z0
f (z) = f (z0).
◮ f = u + jv jatkuva ⇔ u ja v jatkuvia.
◮ Kompleksilukujonon (zn) raja-arvo on z ∈ C, jos jokaistaǫ > 0 kohti on olemassa N:
|zn − z | < ǫ, kun n > N.
Merkitään z lim z tai z z n .
Hyödyllistä tietoa
Selvästi: Jos zn = xn + jyn ja z = x + jy , niin
zn → z ⇔{
xn → x
yn → y .
Lause
Olkoon zn 6= 0 ja z 6= 0. Tällöin
zn → z ⇔{
|zn| → |z|arg zn → arg z mod 2π
top related