4 fracciones algebraicas
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4. FRACCIONES ALGEBRAICAS.
4.1. Definición y clasificación.
4.2. Propiedades.
4.3. Simplificación.
4.4. Multiplicación de fracciones.
4.5. División de fracciones.
4.6. Obtener el mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas
4.7. Suma y resta de fracciones.
4.8. Simplificación de fracciones complejas.
El concepto de número entero es uno de los más antiguos en matemáticas. El concepto de los números
racionales (llamados así debido a que son razones de los números enteros) se desarrollo mucho después
debido a que las tribus iletradas no tenían necesidad de un concepto de esta clase. Los números irracionales
evolucionaron durante un largo período, debido a la necesidad de ciertos tipos de medición. Por ejemplo:
tomamos una varilla y cortamos dos pedazos iguales. ¿Cuál es la longitud de cada pedazo? Un medio, por
supuesto. Si cortamos la misma varilla en cuatro pedazos iguales, entonces cada pedazo tiene un longitud de
¼. Dos estos pedazos tendrán longitud 4
2 , lo que nos dice que deberíamos tener 2
14
2
Ideas como éstas condujeron al desarrollo de la aritmética de los números racionales. Durante la Edad de
Bronce, las inscripciones de jeroglíficos egipcios muestran los recíprocos de enteros mediante un signo oval
alongado.
4.1 DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN Se llama fracción o quebrado al cociente indicado de dos expresiones algebraicas cualesquiera. El dividendo
se llama numerador y el divisor se llama denominador y ambos se conocen como términos del quebrado. Así,
a/b es una fracción algebraica porque es el cociente indicado de la expresión a (dividendo) entre expresión b
(divisor).
Fracción algebraica simple Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras. Son ejemplos de fracciones
simples:
1
22 ,
4
1 ,
1
2 2
2
x
xx
xx
x
x.
Fracción propia e impropia Una fracción simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador; y se
llama impropia si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador.
Fracciones Algebraicas Capitulo 4
F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S
4- 2
Por ejemplo, 45149
1 ,
36
20263
2
xx
x
yx
xy son fracciones propias, mientras que
1
22 ,
1
22 2
2
2
x
xx
x
xx son
fracciones impropias. Una fracción impropia puede escribirse como la suma de un polinomio y una fracción
propia.
1
1194
1
74322
23
aa
aa
aa
aaa
Fracción compuesta Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su
denominador, o en ambos. Son ejemplos de fracciones compuestas:
12
41
232
2
,
32
52
1
3
4
22
2
2
x
xx
x
xx
x
xx
x
Significados de una fracción
Significado 1.- Una fracción indica una división. Por ejemplo, ¾ quiere decir 3 divido por 4 o bien 34.
Cuando una fracción significa división, el numerador es el dividendo y el denominador es el
divisor.
Significado 2.- Una fracción indica una razón. Por ejemplo, ¾ quiere decir 3 a 4 o bien 3:4. Cuando una
fracción significa razón de dos cantidades, éstas deben estar expresadas en las mismas
unidades. Por ejemplo la razón de 3 días a 2 semanas es 3:14 o bien 3/14. Se ha hecho la
equivalencia de 2 semanas a 14 días eliminándose luego la unidad común.
Significado 3.- Una fracción indica una parte de todo o una parte de un grupo de cosas. Por ejemplo, ¾ puede
expresarse tres cuartos de una moneda o bien 3 monedas de 4 monedas.
Numerador o Denominador Nulo Si el denominador de una fracción es cero, el valor de dicha fracción es nulo siempre que el denominador sea
distinto de cero. Por ejemplo 0/3 = 0. Asimismo, si x/3=0 se deduce que x=0. La fracción3
5x para x = 5
vale cero. Sin embargo 0/0 es indeterminado.
Como la división por cero carece de sentido, una fracción cuyo denominador sea cero es imposible. Por
ejemplo 30 es imposible. O bien 3/0 carece de sentido. Asimismo, si x = 0 la fracción 5x es imposible o
bien 5/x carece de sentido.
4.2 PROPIEDADES Fracciones equivalentes Dos fracciones algebraicas son equivalentes, si tienen el mismo valor cuando se asignan valores específicos a
sus números literales. l valor de una fracción no varía si el numerador y el denominador se multiplican (o
dividen) por una misma cantidad no nula.
bc
ac
c
c
b
a
b
a
b
a
1
F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S
4- 3
Ya que la división entre un número es equivalente a la multiplicación por su recíproco, tenemos que:
d
bd
a
db
da
b
a
1
1
Entonces las fracciones equivalentes son aquellas que tienen el mismo valor, pero distintos numerador y
denominador. Por ejemplo x
x
30
20y
30
20,
3
2 son fracciones equivalentes porque
x
x
30
20
30
20
3
2
Para obtener fracciones equivalentes se aplican las siguientes propiedades:
Propiedad 1: Se multiplican numerador y denominador de una fracción por un mismo número distinto de
cero, la fracción no varía.
40
30
4
3 Tanto 3 como 4 se han multiplicado por 10
x
x
7
5
7
5 Tanto 5 como 7 se han multiplicado por x
Propiedad 2: Se dividen numerador y denominador de una fracción por un mismo número, distinto de cero,
la fracción no varía.
5
4
500
400 Tanto 400 como 500 se han divido entre 100
9
7
9
72
2
a
a Tanto 7a
2 como 9a
2 se han divido entre a
2
Fracciones equivalentes multiplicando numerador y denominador por los valores dados:
2 5 x 4x x-3 x2 x
2+x-3
32
6
4
15
10
x
x
3
2
x
x
12
8
93
62
x
x
2
2
3
2
x
x
933
6222
2
xx
xx
7a
14
2a
35
5a
x
ax
7
x
ax
28
4
217
3
x
aax
2
2
7x
ax
2177
32
2
xx
aaxax
x3
x2
6
x5
15
2
3
x
x
24
12
x
x
xx
x
3
932
3
23
x
x
xxx
xx
3
93323
2
Fracciones equivalentes a las dadas dividiendo numerador y denominador:
2 5 x 4x x2 20x
2
2
2
80
20
x
x
2
2
40
10
x
x
2
2
16
4
x
x
x
x
80
20
x
x
20
5
80
20
4
1
2
3
60
40
x
x
2
3
30
20
x
x
2
3
12
8
x
x
x
x
60
40 2
x
x
15
10 2
60
40x
3
2x
El reciproco de un número
El reciproco de un número de un número es igual a la unidad dividido por dicho número. Por ejemplo, el
inverso de 5 es 1/5. Asimismo, el reciproco de 2/3 es 3/2, porque 3/2=12/3
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4- 4
Propiedad 1. Las fracciones a/b y b/a son reciprocas; esto es, el reciproco de una fracción se obtiene
permutando numerador y denominador.
Propiedad 2. El producto de dos recíprocos es la unidad. Por ejemplo 12
3
3
2 , 1
a
b
b
a
Propiedad 3. Para dividir por un número o una fracción se multiplica por el reciproco. Por ejemplo
122
38
3
28 ,
5
7
5
1757
Propiedad 4. Para resolver una ecuación con un coeficiente fraccionario se multiplican los dos miembros por
la fracción reciproca. Por ejemplo para resolver la ecuación 103
2x , se multiplican ambos
miembros por 2
3. Es decir 10
2
3
3
2
2
3 x de donde x = 15
Forma estándar de una fracción
b
a se escribe como
b
a
b
a
se escribe como
b
a
b
a se escribe como
b
a
b
a
se escribe como
b
a
b
a
se escribe como
b
a
b
a
se escribe como
b
a
Las formas b
a y
b
a se llaman formas estándar de una fracción y sirven para escribir respuestas que incluyen
fracciones.
4.3 SIMPLIFICACIÓN Se dice que una fracción está reducida a sus términos más sencillos o totalmente simplificados, cuando no
existe ningún factor común al numerador y denominador. Evidentemente una fracción dada puede reducirse a
sus términos más sencillos dividiendo el numerador y el denominador entre los factores que tengan en
común. Este proceso se llama también cancelación de factores comunes:
Ejemplo
Simplificar la fracción 234
3
1284
22
xxx
xx
SOLUCIÓN: Primeramente factorizaremos el numerador y el denominador y luego cancelaremos los factores
comunes a ellos:
32
1
312
112
324
12
1284
22
12
2
11
22
2
234
3
xx
x
xxx
xxx
xxx
xx
xxx
xx
x
Para reducir una fracción algebraica a expresión algebraica mixta o entera, se divide el numerador entre el
denominador. Si la división es exacta la fracción equivalente es una expresión algebraica entera. Si la
división no es exacta, se prosigue la división hasta que el primer término del resto sea de menor grado que el
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4- 5
primer termino del divisor y al cociente así obtenido se le añada una fracción cuyo numerador es el resto cuyo
denominador es el divisor.
Ejemplo
Reducir a expresión algebraica entera la fracción algebraica xy
xyyxyx 3223 61218
SOLUCIÓN: Dividamos el numerador entre el denominador. Tendremos
3223 61218 xyyxyx xy
-18x3y 22 61218 yxyx
322 612 xyyx
12x2y
2
6xy3
-6xy3
Así pues xy
xyyxyx 3223 61218 = 22 61218 yxyx
Ejemplo
Reducir a expresión algebraica mixta la fracción algebraica x
xxx
2
1682 24
SOLUCIÓN: Dividamos el numerador entre el denominador. Tendremos
1682 24 xxx 2x
-2x4 3x
3-4x-3
-8x2 - 6x +1
8x2
6x +1
-6x +1
1
Como la división no es exacta tendremos x
xxx
xxx
2
134
2
1682 324
Ejemplo
Reducir a expresión algebraica mixta la fracción 1
1232 245
x
xxxx
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4- 6
SOLUCIÓN: Dividamos el numerador entre el denominador. Tendremos
22 234 xxxx
1x 12 32 245 xxxx
45 22 xx
12 24 xxx
34 xx
12 23 xxx
23 xx
12 xx
12 x
22 x
-3
Como la división es inexacta. Tendremos 1
1232 245
x
xxxx=
1
322 234
xxxxx
Ejemplo
Reducir a su mínima expresión zyx
zyx32
423
3
27
SOLUCIÓN: El m.c.d. de los dos términos del quebrado es zyx 223 , entonces:y
xz
zyxzyx
zyxzyx 3
2232
224239
33
327
Ejemplo
Reducir a su más simple expresión 22 ba
ba
SOLUCIÓN:
babababa
baba
baba
ba
ba
ba
122
Ejemplo
Reducir a su mínima expresión xxx
xxx
23
623
23
SOLUCIÓN:
1
3
21
23
23
6
23
62
2
23
23
x
x
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
Ejemplo
Reducir a su mínima expresión 22234
4445
abddabaa
bdadbaa
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4- 7
SOLUCIÓN:
a
da
daa
dada
ada
da
baada
bada
baadbaa
badbaa
abddabaa
bdadbaa
22
22
2222
23
44
23
44
23
44
22234
4445
Para reducir una expresión algebraica mixta a fracción algebraica, se multiplica la parte entera por el
denominador y el producto resultante se le suma algebraicamente el numerador. El resultado así obtenido es
el numerador de la fracción algebraica. El denominador de la fracción algebraica es el mismo que el de la
expresión algebraica mixta.
Ejemplo
Reducir yx
xyx
2 a fracción algebraica
SOLUCIÓN: Tendremos: xyxyxx 2)(
xyxxyxyx 32 22 Que es el numerador de la fracción algebraica.
Así pues, yx
xyx
yx
xyx
32 2
Ejemplo
Reducir yx
yx
2 a fracción algebraica
SOLUCIÓN: Tendremos: yxyx 22)(2
yxyxyxyxyx 322)(22
Que es el numerador de la fracción algebraica. Así pues, yx
yx
yx
yx
32
Ejemplo
Reducir 2
21
xx a fracción algebraica
SOLUCIÓN: Tendremos: 2)2)(1( 2 xxxx
xxxx 22 22
Que es el numerador de la fracción algebraica. Así pues, 22
21
2
x
xx
xx
Fracciones Irreducibles
Un fracción es irreducible cuando su numerador y denominador no tienen más factores (divisores), comunes
que la unidad.
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4- 8
Por ejemplo x
x
7
3 no es irreducible porque x es un factor común al numerador y denominador (es un divisor de
ambos). Eliminando x por división resulta 3/7, que sí es irreducible.
Para hallar la fracción irreducible de una dada.
1.- Descomponer en factores sus términos (numerador y denominador).
2.- Dividir ambos términos por cada factor común.
Ejemplo
Reducir:
dab
cab2
2
3
3
ba
ba
1212
88
ba
ba
55
22 22
Soluciones
dab
cab
1
2
12
3
3
d
c
)(12
)(8
ba
ba
3
2
)(12
)(8
13
12
ba
ba
)(5
))((2
ba
baba
5
)(2
)(5
)()(2
1
1
ba
ba
baba
Propiedad 1: Si dos expresiones son exactamente iguales su cociente es 1
15
5
abc
abc 1
ab
ba, 4
2
8
)5(2
)5(8
1
2
1
2
xx
xx
Propiedad 2: El cociente de dos binomios opuestos es -1.
1
xy
yx,
155
55
xx
xx,
17
7
cab
cba
Reducción de fracciones cuyos términos tienen factores monomios comunes
Ejemplo
rs
rs
52
39
ba
ba2
33
64
32
x
x
15
355
aba
a
714
212
2
14
13
52
39
rs
rs
1
2
2
33
1
64
32
2
ba
ba
ab
x
x
3
1
15
)7(5
)2(7
21
1
3
2
baa
a
a
4
3
2
2ab
x
x
3
7
ba
a
2
3
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4- 9
Reducción de fracciones cuyos términos tienen factores binómicos comunes
Ejemplo
aax
x
93
62
x
xx
22
2
22 33
33
xy
yx
abxacx
cb
2)(
)3(3
)3(2
xa
x
)1(2
)1(
x
xx
))((3
)(3
xyxy
yx
)(
))((
bcax
cbcb
1
1
)3(3
)3(2
xa
x )1(2
)1(
x
xx
2
x
)()(3
)(3
1
1
xyxy
yx
1
1
)(
)()(
bcax
cbcb
a3
2
xy
1
ax
cb
Reducción de fracciones cuyos términos tienen factores binómicos opuestos
Ejemplo
a) 3
1
)4(3
)4(
)4(3
)4(
123
4
1
y
y
y
y
y
y b)
ttrt
r
rt
r
trt
r
2
1
2
1
)1(10
)1(5
)1(10
)1(5
1010
55
2
11
c)
2
7
2
71
)7(2
)7()7(
)7(2
)7)(7(
214
49
1
2
dd
d
dd
d
dd
d
d
d)
wx
wx
wx
xw
wx
xw
wxwx
xwxw
wxwx
xwxw
wx
xw
1)(
1
22
2
Fracciones que tienen al menos un término trinómico
Ejemplo
a)
773
3
73
3
2110
3
1
1
2
2
b
b
bb
bb
bb
bb
bb
bb
b)
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
55
4
45
4
45
4
209
1
2
2
c)
32
5
332
35
332
35
18122
152
1
2
2
y
y
yy
yy
yy
yy
yy
yy
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4- 10
Fracciones algebraicas con mínimo común denominador
Reducir fracciones algebraicas al mínimo común denominador consiste en convertirlas en fracciones
equivalentes que tengan el menor denominador posible.
Para reducir fracciones algebraicas al mínimo común denominador se procede del modo siguiente:
a) Se simplifica al máximo las fracciones dadas.
b) Se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores, que será el mínimo común denominador
de las fracciones equivalentes.
c) Para hallar los numeradores de las fracciones equivalentes se divide al mínimo común denominador
anteriormente obtenido entre cada uno de los denominadores y los cocientes resultantes se
multiplican por cada uno de los numeradores respectivos.
Ejemplo
Para reducir al mínimo común denominador las fracciones algebraicas:
423 40
7 ,
48
5 ,
32
3
xxx
SOLUCIÓN: Como las fracciones algebraicas dadas ya están simplificadas al máximo, hallaremos el mínimo
común múltiplo de los denominadores. Para ello descomponemos factorialmente los coeficientes
32 2 48 2 40 2 Es decir 32 =25
16 2 24 2 20 2 48 =243
8 2 12 2 10 2 40 =235
4 2 6 2 5 5
2 2 3 3 1 m.c.m.= 2535 =480
1 1
Así pues el mínimo común denominador será: 480x4
A continuación dividiremos el mínimo común denominador entre cada uno de los denominadores.
Tendremos:
480x4 32x
3 = 15x 480x
4 48x
2 = 10x
2 480x
4 40x
4 = 12
Multipliquemos ahora los cocientes anteriores por los numeradores respectivos:
15x 3 = 45x 10x2 5 = 20x
2 12 7 = 84
Por consiguiente: 423 40
7 ,
48
5 ,
32
3
xxx =
44
2
4 480
84 ,
480
50 ,
480
45
xx
x
x
x
Ejemplo
Reducir al mínimo común denominador las fracciones algebraicas:
)(81
4 ,
)(64
3 ,
)(54
522 yxyxyx
SOLUCIÓN: Como las fracciones algebraicas dadas ya están simplificadas al máximo, hallaremos el mínimo
común múltiplo de los denominadores. Para ello, en primer lugar descomponemos factorialmente los
coeficientes.
F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S
4- 11
54 2 64 2 81 3 Es decir 54 =233
27 3 32 2 27 3 64 =26
9 3 16 2 9 3 81 =34
3 3 8 2 3 3
1 4 2 1 m.c.m.= 263
4 =5184
2 2
1
Así pues, el mínimo común denominador (m.c.d.) será: 5184(x2-y
2)
Enseguida dividir el m.c.d. entre cada uno de los denominadores:
5184(x2-y
2):54(x+y)=96(x-y) 5184(x
2-y
2) : 64(x
2-y
2) = 81 5184(x
2-y
2):81(x-y)=64(x+y)
Multipliquemos ahora los cocientes anteriores por los numeradores respectivos
96(x-y) 5 = 480(x-y) 81 3 = 243 64 (x+y) 4 = 256 (x+y)
Por consiguiente: )(81
4 ,
)(64
3 ,
)(54
522 yxyxyx
= )(5184
)(256 ,
)(5184
243 ,
)(5184
)(480222222 yx
yx
yxyx
yx
Ejemplo
Reducir al mínimo común denominador las fracciones algebraicas: 22322 64
3 ,
72
5 ,
80
3
zx
y
zy
x
xy
z
SOLUCIÓN: Como las fracciones algebraicas dadas ya están simplificadas al máximo, hallaremos el mínimo
común múltiplo de los denominadores. Para ello, en primer lugar descomponemos factorialmente los
coeficientes.
80 2 72 2 64 2 Es decir 80 =245
40 2 36 2 32 2 72 =233
2
20 2 18 2 16 2 64 =26
10 2 9 3 8 2
5 5 3 3 4 2 m.c.m.= 263
25 =2880
1 1 2 2
1
Así pues, el mínimo común denominador será: 2880(x2y
2z
3)
Se divide el m.c.d. entre cada uno de los denominadores:
2880(x2y
2z
3): 80xy
2 = 36xz
3 2880(x
2y
2z
3) : 72y
2z
3 = 40x
2 2880(x
2y
2z
3): 64x
2z
2 = 45y
2z
Multipliquemos ahora los cocientes anteriores por los numeradores respectivos
36xz3 3z = 108xz
4 40x
2 5x = 200x
3 45y
2z 3y = 135y
3z
Por consiguiente: 22322 64
3 ,
72
5 ,
80
3
zx
y
zy
x
xy
z=
32
3
32
3
32
4
2880
135 ,
2880
200 ,
2880
108
zxy
zy
zxy
x
zxy
xz
F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S
4- 12
Ejemplo
Reduce a su mínimo común denominador las siguientes fracciones: 3
3
22
2
15
8 ,
10
7 ,
8
5
de
fb
eb
cd
cd
ab
SOLUCIÓN: El m.c.m. de 322322 12015 ,10 ,18 ebcddeebcd
Ahora : 3422322 7558120 eababcdebcd
2322322 84710120 edccdebebcd
fcdbfbdeebcd 533322 64815120
Por lo tanto las fracciones quedan así: 322
5
322
232
322
34
120
64,
120
84,
120
75
ebcd
fcdb
ebcd
edc
ebcd
eab
Ejemplo
Reduce a su menor común denominador las siguientes fracciones: 1235
6 ,
95
222 xx
x
x
x
SOLUCIÓN: Factorizas primero ambos denominadores
43571235
33595
2
2
xxxx
xxx
m.c.m. de 433351235y 95 22 xxxxxx
Ahora 414233543335 xxxxxxxx
366433543335 xxxxxxxx
Quedando las fracciones de la manera siguiente:
43335
36 ,
43335
414
xxx
xx
xxx
xx
Ejemplo
Reduce a su menor común denominador las siguientes fracciones: 8
,86
,63
53
2
223 a
a
aa
a
aa
SOLUCIÓN: Factorizando los denominadores
4228
4286
2363
23
2
223
aaaa
aaaa
aaaa
m.c.m. de los denominadores: 42423 22 aaaaa
424552342423 2222 aaaaaaaaaa
4234242423 2322 aaaaaaaaaaa
4342242423 42222 aaaaaaaaaaa
Con lo cual los quebrados quedan de la manera siguiente:
42423
43,
42423
423,
42423
424522
4
22
23
22
2
aaaaa
aa
aaaaa
aaa
aaaaa
aaa
F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S
4- 13
4.4 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
Procedimiento para multiplicar fracciones cuyo producto es irreducible
a) Multiplicar los numeradores, obteniéndose el numerador del producto.
b) Multiplicar los denominadores, obteniéndose el denominador del producto.
Ejemplo
a) 55
21
115
73
11
7
5
3 b)
r
x
r
x
r
x
3
5
3
55
3
c)
cad
ac
cad
ca
cad
ca
8
63
24
797
2
9
4 d)
dy
cx
yd
xc
y
xc
d 5
2
5
2
5
2
e)
ab
cxy
ab
cxy
ab
cxy
153535 f)
24
53
24
53
2
53
4
ar
ra
ar
ra
a
r
r
a
Procedimiento para multiplicar fracciones cuyo producto se puede simplificar
1) Descomponer en factores los polinomios que figuran en los numeradores y denominadores.
2) Dividir por los factores comunes del numerador y denominador.
3) Multiplicar los factores restantes.
Ejemplo
a) 112375
117523
2375
117523
675
77103
6
77
7
10
5
3
b) x
x
x
a
a
x
x
a
a
x
x
a
a
x
1
2
17
27
17
27
77
27
c)
bax
ba
baba
x
x
ba
ba
x
1535335
1
1
22
d)
yy
y
yy
y
yy
yy
y
y
y
yy
53
1
55
37
337
15
5
217
637
56
1
1
1
1
22
2
e)
6
2
4
4
212
22
4
42
4
4
4
4
1224
4
4
82
4
4
1
2
16
1
1
11
1
1
22
aa
a
a
a
aa
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Ejemplo
Calcula el producto de 3
por 96 22
x
x
x
xx
SOLUCIÓN: Multiplicamos entre sí los numeradores y los denominadores. A continuación simplificamos la
fracción que resulte.
F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S
4- 14
3
1
3
3
33
3
96
3
96 22222
xx
xx
xx
xxx
xx
xxx
x
x
x
xx
Ejemplo
Calcula el producto de 9
6por
4
62
2
2
2
x
xx
x
xx
SOLUCIÓN:
94
66
9
6
4
622
22
2
2
2
2
xx
xxxx
x
xx
x
xx
11
1
3322
3322
3322
2323
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Ejemplo
Multiplica 12712
968por
352
4562
2
2
2
xx
xx
xx
xx
SOLUCIÓN:
1
12
1344332
12344332
3443132
32341243
12712352
968456
12712
968
352
45622
22
2
2
2
2
x
x
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xx
xx
xx
xx
4.5 DIVISIÓN DE FRACCIONES
Para dividir una fracción se multiplica por la fracción recíproca
Ejemplo
a) 15
2
53
12
5
1
3
2
1
5
3
25
3
2 b)
aa
a
4
273
4
9
34
9
c) b
a
a
b
b
a
b
a
b
a
b
a
2
2
2
2
d)
xxxxx
6
1
32
7
314
3
714
3
12
14
2
e)
x
x
xxxx
3
2
12
8128
3
1
2
3
2
23 f)
771
7 532
3
2 bbb
bb
g)
45
6
1
5 60422
7
5
42
2
7
5
4
xxy
xyx
y
xy
x
h)
4
105
102
20
8
1010
202
20
8
100
20
202
8
100
1
5
2
1
22
a
a
aa
a
aaa
F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S
4- 15
g)
65
1
125
16
66
5
2525
67
36
5
67
2525
36
5
15
11
1
1
2
222
bba
bb
bb
a
aab
bb
b
a
bb
aab
b
a
h)
127
472
39
142
2
2
2
xx
xx
xx
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
3
21
3
12
412
43
33
1212
472
127
39
14
11
11
1
1
2
2
2
2
Ejemplo
Dividir 1
62
2
x
xx entre
1
42
x
x
SOLUCIÓN: Como se ha indicado, invertimos el divisor y luego procedemos como en la multiplicación.
21
3
2211
123
41
16
4
1
1
6
1
4
1
622
2
22
22
2
2
xx
x
xxxx
xxx
xx
xxx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
4.7 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
Adición o sustracción de expresiones racionales con denominadores comunes.
Procedimiento
1) Poner el denominador común y sumar algebraicamente los numeradores.
2) Reducir la fracción que resulte.
Al sumar algebraicamente los numeradores encerrar cada polinomio numerador en un paréntesis precedido
del signo que corresponde a su fracción.
Ejemplo
a)
315
5
15
472
15
4
15
7
15
2
3
1
aaaaaaaa
b)
33
33
3
93
3
925
3
92
3
5
a
aaaaaa
c)
12
2
2
57
2
5
2
7
x
x
x
x
x
x
x
Adición o sustracción de expresiones racionales con denominadores distintos.
Para sumar o restar fracciones con denominadores diferentes, primero las convertimos a fracciones que
tengan el mismo denominador. Cuando los denominadores son opuesto multiplicamos una de ellas por 1,
escrito en la forma 1
1
, para obtener un común denominador.
F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S
4- 16
Ejemplo
Sumar xy
y
yx
x
SOLUCIÓN:
1
1
1
yx
yx
yx
y
yx
x
xy
y
yx
x
xy
y
yx
x
xy
y
yx
x
Cuando los denominadores de dos o más fracciones son distintos, en ocasiones es necesario multiplicar una o
más fracciones por 1, escrito en la forma adecuada, para obtener un común denominador.
Ejemplo
Sumar yx
43
SOLUCIÓN: xy
xy
xy
x
xy
y
x
x
yy
y
xyx
43434343
Ejemplo
Sumar 2
73
x
SOLUCIÓN:
2
13
2
763
2
7
2
63
2
7
21
23
2
7
1
3
2
73
x
x
x
x
xx
x
xx
x
xx
Ejemplo
Sumar 2
7
2
4
x
x
x
x
SOLUCIÓN:
22
223
22
14784
22
14784
22
147
22
84
22
72
22
24
2
7
2
4
2
2222
22
xx
xx
xx
xxxx
xx
xxxx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
x
x
x
Ejemplo
Efectúa la siguiente operación: ab
c
a
b
b
a
322
SOLUCIÓN: El m.c.m. de los denominadores: ab6
cababbbaabaabab 236326326 22
F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S
4- 17
entonces: ab
cba
ab
c
ab
b
ab
a
ab
c
a
b
b
a
6
233
6
2
6
3
6
3
322
2222
Ejemplo
Efectúa la siguiente operación: 1
552
2
2
xxx
SOLUCIÓN: Los enteros los convertimos en quebrados poniéndoles a la unidad como denominador:
1
5
1
5
1
2
1 2
2
x
xx
m.c.m. de los denominadores: 12 x
)1(551)1(
)1(221)1(
)1(1)1(
22
22
2222
xx
xxxx
xxxx
1
242
1
55522
1
5
1
15
1
12
1
1
1
5
1
5
1
2
1
2
234
2
2324
22
2
2
2
2
22
2
2
x
xxxx
x
xxxxx
xx
x
x
xx
x
xx
x
xx
Ejemplo
Efectúa la siguiente operación: yx
x
yx
y
yx
xyx
4663
222
3
SOLUCIÓN: Primero factorizaremos los denominadores:
yxyx
yxyx
yxyxyx
44
666
33 22
el m.c.m. de los denominadores es: yxyx 12 . Ahora:
xyxxyxyxyx
yxyyyxyxyx
xyxyxyxyxyxyx
33 412
22 612
842312
2
2
33
luego:
yxyx
xyx
yxyx
yxy
yxyx
xyx
yx
x
yx
y
yx
xyx
12
33
12
22
12
84
4663
2 223
22
3
F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S
4- 18
yxyx
yxyxx
yxyx
xyxyxyxyx
12
2334
12
332284
223
223
Ejemplo
Sumar 1
3
12 22
xxx
x
SOLUCIÓN: Factorizamos el denominador y determinados el común denominador:
111
11112
2
22
xxx
xxxxx
El mínimo común denominador 112
xx
A continuación escribimos cada fracción con su denominador en forma factorizada, y convertimos las
fracciones en unas que tengan el denominador común 112
xx . Por último, sumamos las fracciones.
11
34
111
33
111
13
111
1
11
3
111
3
12
2
2
2
22
xx
xx
xxx
xxx
xxx
x
xxx
xx
xxxx
x
xxx
x
Ejemplo
Restar 11
232
1
3 2
xx
xx
x
x
SOLUCIÓN: Factorizamos cada denominador para encontrar el MCD= 11 xx
11
2
11
23233
11
23233
11
232
11
33
11
232
11
31
11
232
1
3
2
222222
22
xx
x
xx
xxxx
xx
xxxx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
x
F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S
4- 19
Ejemplo
Hacer las operaciones indicadas 2
1
23
1
4
2222
xx
x
xxx
x
SOLUCIÓN: Factorizamos cada denominador para encontrar el MCD= 122 xxx
212
443
212
2222
212
212112
221
21
212
21
122
12
21
1
12
1
22
2
2
1
23
1
4
2
222
222
xxx
xx
xxx
xxxxx
xxx
xxxxx
xxx
xx
xxx
x
xxx
xx
xx
x
xxxx
x
xx
x
xxx
x
En este caso se puede simplificar el resultado final
12
23
212
223
212
443 2
xx
x
xxx
xx
xxx
xx
4.8 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES COMPLEJAS
Se le llama fracción compleja o compuesta, a cualquier forma fraccionaria que tenga fracciones en el
numerador o el denominador. Con frecuencia es necesario representar una fracción compleja en la forma de
fracción simple
Se entiende por simplificación de una fracción compleja su transformación a una fracción simple, reducida en
términos a sus términos más sencillos, que sea equivalente a ella. Pueden usarse dos métodos.
Uno: Consiste en transformar el numerador y denominador en fracciones simples (si es necesario) y luego
proceder como en la división de fracciones.
Otro: Que generalmente es más sencillo, consiste en obtener una fracción simple multiplicando el numerador
y el denominador originales por el menor denominador común de todas las fracciones.
Ejemplo
Simplificar
32
52
1
3
1
2
2
2
xx
x
xx
x
SOLUCIÓN: Utilizaremos el primer método, o sea la división de una fracción simple entre otra:
13
52
11
13
1
2
32
52
1
3
1
22
2
2
xx
x
xx
x
x
x
xx
x
xx
x
F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S
4- 20
13
52
11
14
13
52
11
33
1
22
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
x
x
532
3114
521
314
52
13
11
14
2
2
1
1
xx
xx
xx
xx
x
xx
xx
x
Ejemplo
Simplificar la misma fracción compleja
32
52
1
3
1
2
2
2
xx
x
xx
x
SOLUCIÓN: Utilizaremos ahora el segundo método. Multiplicaremos el numerador y denominador por el
denominador común de todas las fracciones:
Factorizamos los denominadores de la fracción
13
52
1
3
11
2
32
52
1
3
1
2
2
2
xx
x
xxx
x
xx
x
xx
x
m.c.d. (denominadores): (x+1)(x-1)(x+3)
13
52
1
3
11
2
311
311
xx
x
xxx
x
xxx
xxx
11
11
1
1
11
11
13
52311
1
3311
11
2311
xx
xxxx
x
xxx
xx
xxxx
532
3114
532
96365
521
33123
2
2
2
22
xx
xx
xx
xxxx
xx
xxxx
F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S
4- 21
Ejemplo
Simplificar
12
41
232
22
x
xx
x
SOLUCIÓN: Ahora aplicaremos el segundo método.
Como 2x2 - 3x - 2 = (2x + 1)(x - 2), resulta que el menor denominador común de las fracciones del numerador
y el denominador es (2x + 1)(x - 2), tenemos
12
41
212
2
212
212
12
41
212
2
12
41
232
22
x
xx
x
xx
xx
x
xx
x
x
xx
x
672
2
84232
2
24212
2
12
4212212
212
2212
22
xx
x
xxx
x
xxx
x
x
xxxx
xx
xxx
Ejemplo
Simplificar
x
x1
1
11
2
SOLUCIÓN: Multiplicamos por x2 el numerador y el denominador, por ser el m.c.m. de las fracciones incluidas
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
x
xxx
xxx
xx
xx
1
1
11
1
11
1
11
11
11
11
1
1
2
2
22
2
22
2
2
2
Ejemplo
Simplificar
a
b
b
aa
b
b
a
2
SOLUCIÓN: Multiplicamos por el m.c.m. de los denominadores =
F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S
4- 22
22
22
222baba
ba
a
babab
b
aab
a
bab
b
aab
a
b
b
aab
a
b
b
aab
ba
ba
baba
baba
ba
baba
1
1
2
Ejemplo
Simplificar
2
2
443
6113
xx
xx
SOLUCIÓN: Multiplicamos por el m.c.m. de los denominadores = x2
2
222
2
222
2
2
2
2
443
6113
443
6113
xx
xxx
xx
xxx
xxx
xxx
2
3
223
323
443
6113
443
6113
2
2
2
222
2
222
x
x
xx
xx
xx
xx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
Ejemplo
Simplificar
1
42
2
xx
x
SOLUCIÓN: Multiplicamos por el m.c.m. de los denominadores = x-1
421
21
1
4121
21
1
421
21
xx
xx
x
xxx
xx
xxx
xx
3
1
23
21
6
21
42
2122
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
Ejemplo
Simplificar
4
185
4
63
xx
xx
SOLUCIÓN: Multiplicamos por el m.c.m. de los denominadores = x-4
F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S
4- 23
1854
634
4
18454
4
6434
4
1854
4
634
xx
xx
x
xxx
x
xxx
xxx
xxx
1
3
12
23
2
6
1820
6122
2
2
2
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
Ejemplo
Simplificar
32
52
1
3
1
2
2
2
xx
x
xx
x
SOLUCIÓN: Dividimos una fracción simple entre otra
521
314
52
13
11
14
13
52
11
14
13
52
11
332
13
52
11
13
11
2
13
52
11
13
1
2
32
52
1
3
1
22
2
2
xx
xx
x
xx
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
xx
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
x
x
xx
x
xx
x
Ejemplo
Simplificar la fracción
12
41
232
22
x
xx
x
SOLUCIÓN: Obtenemos una fracción simple multiplicando el numerador y el denominador originales por el
menor denominador común de todas las fracciones. Como 212232 2 xxxx , resulta que el menor
denominador común de las fracciones del numerador y denominador es 212 xx . Por tanto,
multiplicando el numerador y denominador por 212 xx , tenemos:
322
2
24212
2
12
21242121
212
2122
12
41
232
22
xx
x
xxx
x
x
xxxx
xx
xxx
x
xx
x
F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S
4- 24
E J E R C I C I O S 4 .1 :
Multiplica o divide las siguientes expresiones y simplifica:
1.-
4
32 2x
x
2.-
2
2
6
3
x
x
3.- 2
3
6
5
a a
4.-
2
12
4
3
2
32
x
x
x
xx
5.-
ab a b
a b a b
2 2
2 3 2 2 2
3
2
( )
6.- 3
6
3
2 2 2
ab
a b
7.- x
a
a
x
1
2
3
2
8.-
3
3
1 3 2 2
2 2
a b
ab
9.-
1
2321
31
2
)5(
3
3
5
ab
ba
ba
ab
F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S
4- 25
E J E R C I C I O S 4 .2 :
Resuelve las siguientes expresiones y simplifica:
1.-
22
2
ba
aba
2.-
33
22
yx
yx
3.-
23
23
32
xx
xxx
4.-
cbabcca
bdbcadac22 44
422
5.-
32
342
2
xx
xx
6.-
223
2
nmnnmm
mnm
En cada uno de los ejercicios 7 y 8, expresar la fracción impropia dada como la suma de un
polinomio y una fracción propia.
7.-
1
1242
23
x
xxx 8.-
1
23
x
x
Cada una de los ejercicios 9 y 10 transformar la expresión dada en una fracción impropia.
9.-
1
212
xxx 10.-
2
722
2
2
x
xxx
En cada uno de los ejercicios 11-20, efectuar la suma algebraica indicada.
11.-
1
1
1
11
xxx
12.-
1
2
11 2mm
m
m
m
13.-
4
3
2
1
2
12x
x
x
x
x
x
14.-
1
1
1
22 aa
a
a
15.-
1
1
1
12
1
1224
3
2 aa
a
aa
a
aa
a
16.-
bccabacbcaba
111
17.-
bcac
c
abcb
b
caba
a
18.-
cbca
c
abcb
b
caba
a 222
F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S
4- 26
19.-
zyyx
xz
yxxz
zy
xzzy
yx
20.-
222222 bac
ba
acb
ac
cba
cb
En cada uno de los ejercicios 21-28, efectuar la operación indicada y simplificar, si es posible,
el resultado.
21.- 2
2
2
2
10
9
3
5
xy
ba
ab
yx
22.-
x
a
a
x
xa
ax
23.-
6
65
65
34
2
2
2
2
xx
xx
xx
xx
24.-
xxx
xx
xx
x
xxx
x
6
1
2
1
32
1
23
2
223
3
25.-
22
2
22
22
2
zyx
yzyxy
yzx
x
zyx
xzxyx
26.-
22
2
3
2
4
2
ba
x
x
a
27.-
yx
yx
yx
xx
32
9422
22
28.-
ba
a
ba
11
2
29.-
22
2
3
2
ba
x
x
ba
30.-
xx
x9
31
31.-
x
yx
y
1
12
2
32.-
y
x
x
y
yx
11
33.-
x
y
y
x
x
y
y
x2
34.-
bba
b
aba
a
2
2
35.-
2
2
2
222
m
m
m
mm
m
m
m
F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S
4- 27
R E S U L T A D O S D E L O S E J E R C I C I O S 4 .1 :
Multiplica o divide las siguientes expresiones y simplifica:
1.-
2
3
4
32
4
32
2
2
1
1
2 xx
x
x
x
x
2.-
3
1
3
1
2
1
3
2 3
32
6
32
6
3
3
xx
x
x
x
x
x
3.-
9
5
6
5
3
2
6
5
3
2
5
6
3
2
3
1
a
a
a
aaa
4.-
xx
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
932
32
2
32 2
2
1
12
1
4
1
4
1
2
12
4
3
5.-
35
2
1
22222
2
22232
22
2
3
2
3
2
)(3
babbabababa
baabab
baba
baab
aaa
6.-
3333
3
33
1
22
22 3
1
318
6
3
2
6
3
2
3
6
3ba
bababaab
ba
ab
7.- xaaxaxx
a
a
x 552321
2
3
2
1
8.-
68686242642
224
462
22
2231
729333
3
3
3bababa
ba
ba
ab
ba
9.-
125125
1
1
1
1
1
1
64
3
2
3
11
2
15
111
642
31
2
1
2321
31
2
753255
3
3
5
5
3
3
5
)5(
3
3
5
9532
bababa
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ab
ab
ba
ba
ab
bab
F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S
4- 28
R E S U L T A D O S D E L O S E J E R C I C I O S 4 .2 :
Resuelve las siguientes expresiones y simplifica:
1.-
ba
a
baba
baa
ba
aba
1
1
22
2
2.-
2222
1
1
33
22
22 yxyx
yx
yxyxyx
yxyx
yx
yx
3.- x
x
xx
xxx
123
23
32
4.-
bac
dc
babac
badc
cbabcca
bdbcadac
2
2
22
22
44
422
1
1
22
5.-
1
1
13
13
13
13
32
34
1
1
2
2
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
6.- 2
1
2
1
223
2
mn
m
nmmn
nmm
nmnnmm
mnm
7.- 1
334
1
12422
23
x
xx
x
xxx
8.-
1
23
x
x
9.- 1
1
1
21
32
x
x
xxx
F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S
4- 29
10.- 2
332
2
722
2
34
2
2
x
xxx
x
xxx
11.- 1
13
11
13
1
1
1
112
22
xx
x
xxx
x
xxx
12.- 1
12
1
2
11 22
m
mm
mm
m
m
m
13.- 4
34
3
2
1
2
122
x
x
x
x
x
x
x
x
14.- 11
123
1
1
1
22
2
2
aaa
aa
aa
a
a
15.- 11
121
1
1
1
12
1
122
2
224
3
2
aaaa
aa
aa
a
aa
a
aa
a
16.-
0111
bccabacbcaba
17.-
0
bcac
c
abcb
b
caba
a
18.-
1222
cbca
c
abcb
b
caba
a
19.-
0
zyyx
xz
yxxz
zy
xzzy
yx
20.-
0222222
bac
ba
acb
ac
cba
cb
21.-
by
ax
xy
ba
ab
yx
xy
ba
ab
yx
y
a
b
x
2
3
10
9
3
5
10
9
3
5
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S
4- 30
22.-
ax
xa
axax
xa
ax
xa
ax
xa
ax
x
a
a
x
xa
ax
1
1
1
1
22
23.-
2
1
3
1
2
31
3
2
31
32
332
32
331
32
32
32
31
62
652
65
2
342
x
x
xx
xx
x
x
xx
xx
xxx
xx
xxx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
m.c.m.=(x+3)
24.- 32
61
6
1
2
1
32
1
2
2
23
2
223
3
xx
xxxx
xxx
xx
xx
x
xxx
x
m.c.m. = x(x-1)(x+3)(x+2)(x2-x+6)
25.-
y
zyx
zyx
yzyxy
yzx
x
zyx
xzxyx2
22
2
22
22
2
m.c.m. = (z+x-y)(z+x+y)(x+y-z)(x-y-z)
26.-
22
2
22
2
3
2
4
2
4
2
bax
a
ba
x
x
a
27.- yxyx
x
yx
yx
yx
xx
325
32
94222
22
m.c.m.= (x+y)(x-y)
F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S
4- 31
28.-
bab
ba
babab
ba
bab
ab
bba
bba
aba
a
bbaaab
baab
a
baab
ba
a
ba
1
122
11
32
11
2
11
2
11
2
29.-
bax
ba
ba
x
x
ba
22
2
3
2
30.- 3
1
9
31
x
xx
x
31.- x
yx
x
yx
y
1
12
2
32.- xy
y
x
x
y
yx
1
11
33.- yx
yx
x
y
y
x
x
y
y
x
2
34.- 12
2
ba
ba
ba
ba
bba
b
aba
a
35.- 2
1
2
2
2
222
m
m
m
mm
m
m
m
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