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Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit einem FreiheitsgradElastodynamik
2.5-1
5. Fourier-Transformation
● Fragestellungen:
– Bei Anregung mit einer harmonischen Last kann quasistati-tisch gerechnet werden, wenn die Erregerfrequenz kleiner als etwa 30% der Resonanzfrequenz ist. Wann darf bei ei-ner allgemeinen zeitabhängigen Belastung quasistatisch gerechnet werden?
– Sprungantwort oder Impulsantwort beschreiben vollständig das dynamische Verhalten eines linearen Systems. Wie lassen sich diese Funktionen aus dem zeitlichen Verlauf der Anregung und dem zeitlichen Verlauf der Antwort ermitteln?
– Wie muss ein Finite-Elemente-Modell aufgebaut sein, damit sich damit sinnvolle Ergebnisse für eine allgemeine zeitab-hängige Belastung ermitteln lassen?
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit einem FreiheitsgradElastodynamik
2.5-2
5. Fourier-Transformation
● Antworten auf diese Fragen lassen sich mithilfe der Fourier-Transformation der Belastung finden.
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit einem FreiheitsgradElastodynamik
2.5-3
5. Fourier-Transformation
5.1 Definition
5.2 Eigenschaften
5.3 Transformation reeller Funktionen
5.4 Frequenzbereich und Zeitbereich
Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit einem FreiheitsgradElastodynamik
2.5-4
5.1 Definition
● Definition:
– Die Fourier-Transformation einer Funktion f(t) ist definiert durch
– Die untere und die obere Grenze streben unabhängig von-einander gegen unendlich.
F =∫−∞
∞
f t e−i t dt
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2.5-5
5.1 Definition
tT
1t0 : f t =00≤t≤T : f t =1tT : f t =0
● Beispiel 1: Rechteckimpuls
F =∫−∞
∞
f t e−it dt
=∫0
T
e−i t dt=−1
ie−iT
−1 =−1
icosT −1−i sin T
=1sin T
i
cosT −1
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2.5-6
5.1 Definition
1sin T =
1 T−
1
3!T
3=T−
1
3!2T 3
1Ω
( cos(ΩT )−1 )=1Ω (−
1
2!( ΩT )
2−…)=−
1
2!ΩT 2+…
F 0=T
– Wert für Ω = 0:
– Aus folgt allgemein:● Der Realteil von F(0) ist gleich der Fläche unter der Funktion
f(t).● Wenn f(t) reell ist, ist der Imaginärteil von F(0) null.
F 0=∫−∞
∞
f t dt
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5.1 Definition
Ω
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2.5-8
5.1 Definition
tT
1
-T
t−T : f t =0−T≤t≤0 : f t =1t /T0≤t≤T : f t =1−t /TtT : f t =0
● Beispiel 2: Dreieckimpuls
– aus Formelsammlung:
F =∫−∞
∞
f t e−i t dt=F =∫−T
0
1 tT e−i t dt∫
0
T
1− tT e−i t dt
∫ t e−i t dt=e−i t
2 i t1
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2.5-9
5.1 Definition
F =1
2T
2−eiT−e−iT = 2
2T
1−cos T
1−cosT =2sin2 T2
F =4
2Tsin2 T
2
– Nach einiger Rechnung folgt:
– Mit
wird daraus:
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2.5-10
5.1 Definition
Ω
F(Ω
)
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2.5-11
5.1 Definition
● Beobachtungen:
– Die Lage des ersten Nulldurchgangs ist umgekehrt propor-tional zur Impulsdauer T.
– Am Aufbau des Impulses sind alle Frequenzen beteiligt.
– Die Frequenzen bis zur ersten Nullstelle herrschen jedoch vor.
● Existenz der Fourier-Transformation:
– Eine notwendige Bedingung ist, dass die zu transformieren-de Funktion gegen null geht, wenn die Zeit gegen unendlich geht.
– Eine hinreichende Bedingung ist ∫−∞
∞
∣ f (t )∣dt<∞ .
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2.5-12
5.1 Definition
● Inverse Transformation:
– Die inverse Fourier-Transformation ist gegeben durch
– Bei der inversen Transformation müssen die Grenzen in gleicher Weise gegen unendlich streben.
f t =12
∫−∞
∞
F ei t d
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2.5-13
5.1 Definition
● Deutung:
– Eine periodische Funktion f(t) kann als unendliche Summe von harmonischen Schwingungen dargestellt werden (Fou-rier-Reihe).
– Die Frequenzen sind ein Vielfaches einer Grundfrequenz Ω
0:
– Eine nichtperiodische Funktion ist aus unendlich vielen Schwingungen aller Frequenzen aufgebaut.
f t = ∑n=−∞
∞
cnei n0 t
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2.5-14
5.1 Definition
– Jede dieser Schwingungen ist beteiligt mit der infinitesima-len komplexen Amplitude
– Dadurch erhält man das Fourier-Integral
– Die Funktion F(Ω) wird als Spektralfunktion, Spektraldichte oder Frequenzfunktion bezeichnet.
– Die Funktion | F(Ω) | wird als Amplitudendichte bezeichnet.
f t =∫−∞
∞ 12
F ei t d
c(Ω)=12πF (Ω)dΩ
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2.5-15
5.2 Eigenschaften
● Linearität:
– Sei F1(Ω) die Fourier-Transformierte der Funktion f
1(t) und
F2(Ω) die Fourier-Transformierte der Funktion f
2(t), und sei-
en c1 und c
2 zwei Konstanten.
– Dann folgt für die Fourier-Transformierte der Funktion :
F =c1∫−∞
∞
f 1t e−i t dtc2∫
−∞
∞
f 2t e−i t dt
=c1F 1c2 F 2
f t =c1 f 1 t c2 f 2t
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2.5-16
5.2 Eigenschaften
● Maßstabsänderung:
– Sei F(Ω) die Fourier-Transformierte der Funktion f(t).
– Für die Fourier-Transformierte G(Ω) der Funktion mit reellem, von Null verschiedenem a gilt:
– Die Substitution führt auf
G =∫−∞
∞
f a t e−i t dt
=a t , d =adt
G =∫−∞
∞
f e−i
a 1ad =
1aF a
g t = f a t
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2.5-17
5.2 Eigenschaften
● Zeitverschiebung:
– Sei F(Ω) die Fourier-Transformierte der Funktion f(t).
– Für die Fourier-Transformierte G(Ω) der Funktion mit reellem Δt gilt:
– Die Substitution führt auf
G =∫−∞
∞
f t− t e−i t dt
=t− t , d =dt
G =∫−∞
∞
f e−i t d =e−i t F
g t = f t− t
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2.5-18
5.2 Eigenschaften
● Transformation der Ableitung:
– Sei F(Ω) die Fourier-Transformierte der Funktion f(t).
– Für die Fourier-Transformierte G(Ω) der Ableitung gilt:
– Partielle Integration führt auf
– Da f(t) im Unendlichen verschwindet, ist der erste Sum-mand auf der rechten Seite null. Es bleibt
G =∫−∞
∞
f t e−i t dt
∫−∞
∞
f t e−i t dt=[ f t e−i t ]−∞
∞−∫
−∞
∞
f t −i e−i t dt
∫−∞
∞
f t e−i t dt=i ∫−∞
∞
f t e−i t dt=i F
g t = f t
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2.5-19
5.2 Eigenschaften
● Beispiel: Schwingungsgleichung
– Schwingungsgleichung:
– Die Fourier-Transformation führt auf
– Dabei ist F(Ω) die Fourier-Transformierte von f(t) und X(Ω) die Fourier-Transformierte von x(t).
– Durch die Fourier-Transformation geht die lineare Differen-zialgleichung in eine lineare algebraische Gleichung über.
m x t d x t c x t = f t
−2mi dc X =F
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2.5-20
5.2 Eigenschaften
– Die algebraische Gleichung kann leicht nach X(Ω) aufgelöst werden
– Durch inverse Transformation kann die Lösung x(t) be-stimmt werden.
● Faltung:
– Seien f(t) und h(t) zwei reelle Funktionen der Zeit t.
– Die Funktion
wird als Faltung bezeichnet.
– Beispiel: Berechnung der Antwort x(t) mithilfe der Impuls-antwort oder der Sprungantwort
g t =∫−∞
∞
f h t−d
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2.5-21
5.2 Eigenschaften
– Für die Fourier-Transformation der Faltung gilt:
– Dabei sind F(Ω), G(Ω) und H(Ω) die Fourier-Transformierten von f(t), g(t) und h(t).
– Durch die Fourier-Transformation geht das Faltungsintegral in ein Produkt zweier Funktionen über.
G =F H
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2.5-22
5.3 Transformation reeller Funktionen
● Bei technischen Anwendungen ist die Funktion f(t) reell.
● Folgerungen für die Fourier-Transformation:
– Allgemein gilt:
– Mit folgt:
– Für reelle Funktionen folgt:
F =∫−∞
∞
f t e−i t dt=∫−∞
∞
f t cos t −i sin t dt
=∫−∞
∞
f t cos t dt−i∫−∞
∞
f t sin t dt
cos− t =cos t , sin − t =−sin t
F −=∫−∞
∞
f t cos t dti∫−∞
∞
f t sin t dt
ℜ F − ℑ F −
=ℜ F =−ℑ F
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5.3 Transformation reeller Funktionen
● Folgerungen für die inverse Transformation:
– Allgemein gilt:
f t =12
∫−∞
∞
F e i t d
=12
∫−∞
∞
ℜ F i ℑ F cos t i sin t d
=12
∫−∞
∞
ℜ F cos t −ℑ F sin t d
i2
∫−∞
∞
ℜ F sin t ℑ F cos t d
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2.5-24
5.3 Transformation reeller Funktionen
– Für reelle Funktionen f(t) gilt:
– Daraus folgt:
ℜ F cos t =ℜ F − cos− t ℑ F sin t =ℑ F − sin − t
ℜ F sin t =−ℜ F − sin − t ℑ F cos t =−ℑ F − cos− t
f t =1 ∫
0
∞
ℜ F cos t −ℑ F sin t d
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5.3 Transformation reeller Funktionen
● Nullpunkt der Zeitachse:
– Bei technischen Anwendungen kann der Nullpunkt der Zeitachse meist so gewählt werden, dass gilt:
– Dann vereinfacht sich die Fourier-Transformation zu
f t =0 für t0
F =∫0
∞
f t e−i t dt
=∫0
∞
f t cos t dt−i∫0
∞
f t sin t dt
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2.5-26
5.4 Frequenzbereich und Zeitbereich
● Fourier-Transformation der Impulsantwort:
– Aus der Fourier-Transformation der Schwingungsgleichung,
folgt:
– Für die Antwort im Zeitbereich gilt:
– Die Fourier-Transformation dieses Faltungsintegrals ergibt
−m2i dc X =F ,
X =F
−m2i dc
x(t)=∫0
t
f (τ)h I (t−τ)d τ
X =F H mit H =∫0
∞
h I t e−i t dt
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2.5-27
5.4 Frequenzbereich und Zeitbereich
– Damit ist gezeigt:
– Die Fourier-Transformierte der Impuls-Antwort wird auch als komplexe Übertragungsfunktion bezeichnet.
– Mit dem Frequenzverhältnis η = Ω/ω gilt auch:
H =1
−m2i dc
H =1
m2
1
1−22 i D
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2.5-28
5.4 Frequenzbereich und Zeitbereich
– Komplexe Übertragungsfunktion:
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2.5-29
5.4 Frequenzbereich und Zeitbereich
● Lösung der Schwingungsgleichung:
– Mit der Fourier-Transformation kann die Lösung der Schwingungsgleichung gefunden werden, ohne dass eine Differenzialgleichung gelöst werden muss:
– Die Schwierigkeit liegt dabei in der Regel in der Berechnung der inversen Fourier-Transformation.
– In der Praxis werden beide Transformationen numerisch mit Hilfe der FFT (Fast Fourier Transform) durchgeführt.
f t F X =H F x t
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2.5-30
5.4 Frequenzbereich und Zeitbereich
● Ermittlung der Impulsantwortfunktion:
– Mit der Fourier-Transformation lässt sich die Impulsantwort-funktion aus den Zeitreihen der Last und der Antwort be-rechnen:
– In der Praxis wird die komplexe Übertragungsfunktion in der Regel aus Leistungs- und Kreuzleistungsdichtespektren ermittelt.
f t x t
F X
H =X
F h I t
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2.5-31
5.4 Frequenzbereich und Zeitbereich
● Grenzfrequenz:
– Bei impulsartigen Lasten gilt , wenn Ω größer als eine Frequenz Ω
0 ist.
– Gilt für die Kreisfrequenz ω der Schwingung ,so antwortet der Schwinger quasi-statisch.
– Die Frequenz Ω0 kann durch inverse Fourier-Transformati-
on der bei Ω0 abgeschnittenen Spektralfunktion F(Ω) über-
prüft werden.
F ≈0
30
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