juangonzalezdiaz.com · 5 ) ( ˆ ) . ˆ ) ˆ ˆ˙ q ˆ # ˆ ˘ ˆ & (1 ) 1 dc dr ni ni dc dr =...
Post on 14-Oct-2020
8 Views
Preview:
TRANSCRIPT
APUNTES DE
MATEMÁTICAS
FINANCIERAS
Profesor: Juan Antonio González Díaz
Departamento de Métodos Cuantitativos de la
Universidad Pablo de Olavide
�
������������������
���������������������������������������
������������������������������������������������ �������
������������������������������!���"�����
#�������������$��#���������������
���������������
�����������������������%���&����������!����'�
�����������������������%���&����������!���"�����
�����������������������%���&�������
��������������(��) ���
����������������!
������#����"��������*����&������+����,����'�-
������#����"��������*����&�.���+�����,����'�-
���"�������������#����"���
������������������,����'�-
���"�������������������������
� �������� ���
�
��+��������*�/�������������
���"���������+��������*�/�������������
��+������0����������%����������������������������,������������+�-
���"���������+������������������������
��+������0����������%�������������������%���&����������,�������)��1����-
���"���������+����������������������%���&����������
��2����(�
��( � ���� � ���(
���"�������������3�4
���2����(�
���+���������������
���+��������$������("��*����������������
���+������������&������������������������
���+���������������&���������
���+���������������������%���&�
���+���������+��������/��������&�
���+�����������&�����������
�
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
���������������
� ��� ������� ����� ����� �������� �� ������ ����� � ��������� ������ �!��"#�$ ����� ����� ��� �������������������������������������� ����������������� �������������������������������������� ����� ������������� ������������������������������������������� �������������������������������������������� ����
%��� ����� �� ��� �"#����� ��������#������ �� �� ����� � �� ��� ����#� �������� ������ ����������#������ ���$��������������!��# ����� �������� ������������� ��������#�����# �������& �����������������������'���������� ���� ������ ������"#���( ���� � ��������������� ������������������ � ����������������������������������������������������!�����"����#������� ���� ������ ������
������ ���������� ���#����!���� �������� �������������������������������!�������!���������� ��������������� �� ���� �������������$����������)� ������������ ������������� ��������������#�������������������� ���������������� ����������� �������������������������������%������������
���� ����� ���� ����� ���������������������������#������ �&'�(��������� ��������'�(��������������������������� ����������������� ������������������������'�(��������� �� ��� ������������������������������������� �����
"�� ������� � �������� ����� ���� ����� �������������������������������&'�"�� ����%����� �����������������'���������� �������������� �����)�'����������������$���� ���� ������������ �����
www.clasesuniversitarias.com
�
*%�������� ������ �� �������*���*�����*����+��,�-��. ����� ������������������ ����%������������������������ ���� � � �#��������� �������� ������������ ,�.& ������������������������������ ����� ����������������������������������������� �������
( ) +∈∈ RC,Rtt,C
�+���������%���+�/����0�����*����+*&�
+��*��0��%���1����1��0�����*����+*&���� ������������ ������+��+��)���,��,��������������������������������) �������������������� ���������������������������-���
C
t p
(V,p)(C,t)
V= Proy p(C,t)
����������+*��0�����*����+* ����������������������� ��� ������# ��� �� ���������� �� ��� ���� ����%��)��� ������������� ������������������$���������*���*�����21�3*���������� ����� ���������� ����������������������������������������������.������������������������ ������� ��� �������+ ����� ����������+ )��, ����� ����������,����� �������� ������������� ����������� ���������������������������� �����#� ����� �������� ����� ������� � ������"#���#����#!��#����� ��� ���� �� ������������������������������$����������&
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
���������������
www.clasesuniversitarias.com
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
��/����*����+*
(���� ���������� ��������� ��������� ��� ����� ��������!����������������� ����%�� ������)�� ����������� ������������ ����� ��������)�� ���������������� ������� ������� ������ ������������ ��������)������ ��������������������������� �����������$������������ �� ����������� �������� ���&�#� ���!� �� ����� &
"����!� �� ����� ������ �������������������� ����������������������$���� ���������� ������� ���������������������#����������������������������� ��������)/����� ���������������� ��� ��������� �����������������"��������)������ �������� ����������������������� ���������(��) ��������� ���� ������������������������������-����!�������
t1 t2Capitalización t1 t2Descuento
���
>
<===
ptsiptCA
ptsiptCLptCFtCoyV p
);,(
);,();,(),(Pr
*�"����0������������1�)������ ������ �������#� �������2�)���*����0���1�)������ �����* �����#� ��������� ��������2�3���4���������) ����-������������������������� �������������������3���5������(��) ����� �������������������� ���������������� �������� �������������������������� ����������������)������ ���� �������)� ������� �������������������������� ���������������������$�����������#����������������� ��������� �����
www.clasesuniversitarias.com
�
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
���+*��0�����*����+*
3��������������� ��������� ��������#����#���� ������������ ��� ��� ���������������� ������������������������������������������������������ � ������������!� �� ����� �
�������������� ��� �������� ��������� �������� ������ ��!����������!���� �!��� �����)��������������������)��������� ����%�� ���� ��������������*%������!��������� �� �����������$������������������������������ ���������� ��������������������������� �������� �������������������$������)���������������� ������ ��������������������� ������������� �����(�������������� ���������� ��������� ������������� ������� ��)����� ����������� ���
"������#� �������������� ��������� ��������� �������������� ����#��� ��������#����&�
+�6��#����#��������� ��� ���& 7����������������� �������������� ��������������������
,�6��"#�$ ����� ��"�� ��������������� ����������� ����������������������� � �����������)������ ����
8�6�*���� ��������#� ���!� �� ����� ��.��������� ���������������������������������������������)� ������������� ������� �� ���������������� ������������������ ������ ����������������������
www.clasesuniversitarias.com
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
��/����*����+*�%���*���*��4*��0��������
�����3��������� ������������#� ����3������ ������� ���������� ��������� �����9����������������)�� �� �������������������:�� ��� �����������)� ��������������;���� ������������ ���������������������������������������������� ������������������������������ ������������ ���������� �������������� ��������#����������
���3���������������#� ����3������ �������� ������"�<�=:>*>�:�?*�.���*(:@*":A*�:B>�3:C("��� �������������������������&
( ) ( ) ptconitpptL �⋅−+= 1;
�
�; ����������#� ����3����� 3�����1�2���@������@�������:���$�*�����3����
D3�� ���������1�2� ��������������������������� �������� ��������������� ���E;�D3�� ���������1�2� ������������������������������������������� ������1�2��9������� ��E��D3�� ����������; ������ ������� ����������������������;�D3�� ����������� ������ �������� ���������������������������������������������C�������
www.clasesuniversitarias.com
�
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
( ) ( ) ( )[ ] ( ) nCinCitpCptLCptCL =⋅+⋅=⋅−+⋅=⋅= 11;;; 0000
( )inCC n ⋅+⋅= 10����*���
Ley homogénea de grado 1 t=0 p=n
.���&
�� E�����������E� ���������� �����E��6����9��������� ���������� ����������)�������������������� �����E�������������$������������ ���������������$� ��������������������������������������+��9�
��; ����������#� ����3�����
Generalizando
��/����*����+*�%���*���*��4*��0��������
www.clasesuniversitarias.com
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
��� �������C������
����������� ������������� ��� ��( ����������� � ������� ���� ������������ ��������������� ������� ���������� ������� ����������������� ���������� ������������������ ���������������������������#���������������� �����*%����� ��������; ��� ������������������������������;F�� ������� �� �����������)��%� �����9�������������������� ����������
*�� ���������� ��������������������������������� ��� )������������������� 5��6 ,7�8����.���� ���&���������) ��������� ��������� ��������������������������1�2����� ����������)������ ������ �������#� ���������
Gráficamente
La característica de esta operación es que la variación del capital financiero para
dos momentos de valoración consecutivos es constante y proporcional al valor inicial C0, es
decir el rendimiento en cada período se mantiene constante.
n
C0
Cn
0 1 2 n -1 n:�E�����
�; �; G��; � GHG��; �EE�; �+G���D+���
�; G��; � GHG��; �EE�; �+G�����
:�E����� :�E�����:�E�����
�; G��; �E��; �+�G����
�; G��; � G��; �E��; �+�G�,����
www.clasesuniversitarias.com
�
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
:������� ���� ����� ����������������$����
(���������������������� ���� ����� �����������������$����������������������������+���������������������������
� �G+
+�����
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) iiittttL
itpCptCL
+=+⋅=⋅−++=+
⋅−+=
1111111;;1
1;; 00
(������� ������������� ��������������� �������������������������������������������������
www.clasesuniversitarias.com
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
:��������
D 7�)� ������� �����������9�����������8IJ��%���)��� 9��������� ��,:;6��< �.& ������� �������������� ��������� ��������������#��������9�� ��� ����
D �������������)��������������$����������������� �������������������������������3�������!���� ����9����������������$����� ������������������!���� ���������������������$����� ������������ �
��� �������:>@�?K3
.���������:>@�?K3��:�� ������������ ������������������������������)��� ������������������� ���������;��
( )
inCI
inC
CinCCCinCCCI n
⋅⋅=
⋅⋅=
=−⋅⋅+=−⋅+=−=
0
0
000000 1
www.clasesuniversitarias.com
�
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
")�����������#� ����3�����=�� ������
*�� �����9��������������������#�������� �������#� �������������� ���������� �� �������� ������ ��������#�� �������������H�(������������������������������ ���������������������������������������������������� ���������������������$� �������� ��������������������� ������(���!����& C�HHHHHHHH�� �+,
����������HHHH �8.%��HHHHHHHHH �8I;L�����HHHHHHHH �+/,
=����������� � ������ ��� ����������� �����������)������� ���������#'<�����������>���������#'�������� ����#����������� 9�?&����������������)����� ����� ����������� ���� �����<����=@?�!��������� ����������=�@?&
0 1 n-1 n años
1 k kk 1 2 ……………….2 ……………….
C0 Cn
( ) ( ) ( )
( )
( )kn
kk
inkCC
InicialCapitalCañosnpytSi
itpkitkpkpktkL
⋅⋅+=
===
⋅−+=⋅−+=
1
0
11;
0
0
����������� �@ � �������������� ������������)���������@A)��� ��������M ������������������� ��������������9������������MD$���� ������������������� �������� ���������������� MD$��� ���9��
www.clasesuniversitarias.com
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
� ������ �������������������$
.����� ������ �������������)�������"#�$ ������ ���������� ������������ ���������� ��������������������������������������������������
( )
( )kn
n
inkCC
inCC
⋅⋅+=
⋅+=
1
1
0
0
( ) ( )
k
iiiki
inkCCinCC
inkCinC
kk
k
k
=⋅=
⋅⋅⋅+=⋅⋅+
⋅⋅+=⋅+
0000
00 11
���������� ������ ����=�@?� ��� ������������)������������������������� �#��@A)���� ��� 9�&
� ������ ��������������������������$�MD$����
?������� ��������������������������$������� ��������"����������������������
k
k
ikikPeríodo
ikikPeríodo
⋅=
⋅= '''
kk ikik ⋅=⋅ ''
www.clasesuniversitarias.com
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
"���)�=���� ��������������#� ����3������������������'���
N����)������ ����� ��������������� ���������������������������������������������������
"���)������ ������ �������#� ����������������������'������ ������������������������������%����� ���������������������������������� ���������������� �����#������������� �������� �������� ��������#� ������� ����������� � ��!����"#�������� ��� ����"#���#����������"#�$ ����������#�������������������������������������������������������&
C0 Ch Cn
+���3��� ����������������������������%�&������ E��; �+G�����
,��� �����������������������&�� E��; �+G������� E��� �+G���D������E��; �+G��������+G���D������E��; O+G���D���� G���� G�����D����,P�E�
E��; O+G���� � ��� G���� G�����D����,P�E��; �+G������G��; �����D����,� 5��; �+G������E���
5;
0 h n
(�������������")�=���� ��������������#� ����3����
����� ������������������'�� BBBB��C�DDDDD
www.clasesuniversitarias.com
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
�!�������>Q��3�:>.:L:":.*.�.��"*�"�<�=:>*>�:�?*�.���*(:@*":A*�:B>�3:C("�&�
��E�+�;;;�R
��E�,��9�
��E�ST�����������
C0 C1 C2
0 1 2
�� 3������������������������&����E E�+�;;;�F��+�G�,�F�;�;S��E�7&7;6�F
���3�� �������������������������������� ���&
*9��+&��+ E�+�;;;�F��+�G�+�F�;�;S��E�+�;S;�R
*9��,&��E E�+�;S;�F��+�G�+�F�;�;S��E�7&7;;�G6F���U��7&7;6�F��)�� ������)������ ������ �������#� ������������� �������
www.clasesuniversitarias.com
�
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
"���)�=���� ��������������#� ����3��������� ���� �� ���� �������")�� ������������%������������������������ �� ������ ����������� �����#���������������������������������!�� � �� ��( �������������������
t pt+h p+h
( )( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )( )itpCitipC
ihitihipCihthpC
ihthpCitpC
queocurrirDebe
⋅−+=⋅−⋅+
=⋅−⋅−⋅+⋅+=⋅+−++
⋅+−++=⋅−+
11
11
11
:
00
00
00
www.clasesuniversitarias.com
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
0 52 7
0 1 . 0 0 0 , 0 0 €
5 %
1 . 0 0 0 (1 ( 5 0 ) 0 , 0 5 ) 1 . 2 5 0 , 0 0 €
1 . 0 0 0 (1 ( 7 2 ) 0 , 0 5 ) 1 . 2 5 0 , 0 0 €
n
n
C
i
C
C
=
=
= + − • =
= + − • =
�
�
www.clasesuniversitarias.com
��
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
3����������� ���������J�;;;���������������������$����JT������������
�� Q���������������)������������ ������V��9�
�� Q������������������� ������,J��
� W��������������������������������� �������������������������������I�;;;����X
�� W*� �$������������$�������������������� �������������������� ������I�S;;���������I��9�X
(?QL"�C*�+&�
www.clasesuniversitarias.com
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
�� �� E��;��+G����� E�J�;;;�F��+�G�V�F�;�;J��E�I�;;;�����
: E��� D �;�E�I�;;;�� J�;;;�E�+�;;;�����
���� �� E��;��+G����� E�J�;;;�F��+�G�,J/+,�F�;�;J��E�J�J,;�S8�����
��� �� E��;��+G���I�;;;E�J�;;;�F��+�G���F�;�;J�
+�,�E�+�G���F�;�;J;�,�E���F�;�;J��E�V��9�
���� �� E��;��+G���I�S;;E�J�;;;�F��+�G�I�F���
+�8I�E�+�G�I�F��;�8I�E�I�F����E�;�;I��IT�
3Q"N�:Q>�*"�(?QL"�C*�+&
www.clasesuniversitarias.com
��
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
3����������� ���������+;�;;;���������������������$����8T������������
�� Q������������������ ������S��9�
�� ��� ����������������������������#������������� �������#� ��������������������� �������9��)������������ �������#������������ �������������
� Y�$������ ������ ���������������������)���
�� ��� ������������������ ������S��9�����������������$��������������������9�����%�����8T����VT
(?QL"�C*�,&
www.clasesuniversitarias.com
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
�� �� E��;��+G����� E�+;�;;;�F��+�G�S�F�;�;8��E�+,�V;;�����
0 1 2��E�8T
3 4 5 6 7 8�Z�E�VT
C0 Cn
I = C0 n i I’ = C0 n’ i’
���� �V�E��;��+G����V�E�+;�;;;�F �+GVF;�;8��E�++�,;;������� E��V��+G����� E�++�,;;�F��+�G�V�F�;�;8��E�+,�JVV�����
��� 3������������� ����� �� �����������������������������������V�)������#�������������������������� �� �������������������������� ����������������������������������������������������� �� ������������ ����������������������������������� �������� �������")�=���� ��������������#� ����3�����
��
:�E�+;�;;;�F�J�F�;�;8�E�+�J;;����:Z�E�+;�;;;�F�8�F�;�;V�E�+�,;;������ E��; G�:�G�:Z�E�+;�;;;�G�+�J;;�G�+�,;;�E�+,�[;;�����
3Q"N�:Q>�*"�(?QL"�C*�,&
www.clasesuniversitarias.com
��
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
(?QL"�C*�8&�
Q������������������$����������������)��������������$��������������+,�� ���������&
�� :���$������������������8T
�� :���$���������������J�T
� :���$� �������������������8�JT
�� :���$�����������������ST
� :���$������������������++T
www.clasesuniversitarias.com
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
3Q"N�:Q>�*"�(?QL"�C*�8&�
�� �V�E�;�;8��E�M�F���M�E�V�F�;�;8�E�;�+,��+,T�
M�F���M�E�MZ�F���MZ����������+,�F���+,�E�V�F�;�;8 ��+,�E�V�F�;�;8�/�+,�E�;�;+��+T�����,�E�;�;J
��E�M�F���M�E�,�F�;�;J�E�;�+;��+;T�
M�F���M�E�MZ�F���MZ����������+,�F���+,�E�,�F�;�;J� ��+,�E�,�F�;�;J�/�+,�E�;�;;S88��;�S8T�
���8�E�;�;8J��E�M�F���M�E�8�F�;�;8J�E�;�+;J��+;�JT�
M�F���M�E�MZ�F���MZ����������+,�F���+,�E�8�F�;�;8J� ��+,�E�8�F�;�;8J�/�+,�E�;�;;S[J��;�S[JT�����+/,�E�;�;S
��E�M�F���M�E�+/,�F�;�;S�E�;�;V��VT�
M�F���M�E�MZ�F���MZ����������+,�F���+,�E�+/,�F�;�;S����������+,�E�+/,�F�;�;S�/�+,�E�;�;;88��;�88T�
���+/8�E�;�++��E�M�F���M�E�+/8�F�;�++�E�;�;8I[��8�I[T�
M�F���M�E�MZ�F���MZ����������+,�F���+,�E�+/8�F�;�++����������+,�E�+/8�F�;�++�/�+,�E�;�;;8;J��;�8;JT�
www.clasesuniversitarias.com
��
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
(?QL"�C*�V&�
3�������������)�8�;;;������,�J;;��������������)�J�;;;����������+8����Q��������������������������������9����������������������������$&
�� N��[T�������
�� N��8T����������
� N��,T��������
�� N��+,�JT��������
www.clasesuniversitarias.com
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
3Q"N�:Q>�*"�(?QL"�C*�V&�
�� �� E 8�;;; F �+ G , F ;�;[� G ,�J;; F �+ G �,VDI�/+, F ;�;[� G J�;;; F �+G �,VD+8�/+, F ;�;[��� E 8�V,; G ,�[I,�J; G J�8,;�S8 E ++�J;8�88 ���
0 6 meses 2 años
3.000 2.500
13 meses
5.000
�� �� E 8�;;; F �+ G ,V/8 F ;�;8� G ,�J;; F �+ G �,VDI�/8 F ;�;8� G J�;;; F �+G �,VD+8�/8 F ;�;8��� E 8�[,; G ,�\J; G J�JJ; E +,�,,;�;; ���
� �� E 8�;;; F �+ G ,V/, F ;�;,� G ,�J;; F �+ G �,VDI�/, F ;�;,� G J�;;; F �+G �,VD+8�/, F ;�;,��� E 8�[,; G ,�\J; G J�JJ; E +,�,,;�;; ���
�� �� E 8�;;; F �+ G ,V/,V F ;�+,J� G ,�J;; F �+ G �,VDI�/,V F ;�+,J� G J�;;; F �+G �,VD+8�/,V F ;�+,J��� E 8�8[J G ,�[8V�8S G J�,SI�VI E ++�8\J�SV ���
www.clasesuniversitarias.com
��
� 5����� ��� � ��) �(����� �(� �����
www.clasesuniversitarias.com
�������������+���������������6��)��6���������"����(��6���
Profesor: Juan Antonio González Díaz
� 5����� ��� � ��) �(�����
3���������������� �������#� ��������������#������������������������$�1�2��������������������#����������������������������� ���������������� ����������#��������������� �����=�? �������������������������������������������������� �������)������������������������"#���# ���#� �#��� ������� �� �$ ��� � �#�����<���� ���������#�$�����������
������")�=���� ������. ��������� ����3���� � ������� ����� � ������� �������� �� ��������� ������%����)������� ��������� ������������ ������� ������
( ) ( ) ptcondptptA >⋅−−= 1;
��/����*����+*�%��%���1�����������
�
�
��� ������
V= Proy p(C,t)
�
� ��������� �
www.clasesuniversitarias.com
��
� 5����� ��� � ��) �(�����
( )dnCC n ⋅−⋅= 103*��+�%������*%�
,3*��+�*��1*�..���&
�; E�-������� ������-�����. ��������-�����* ����
�� E�-�����>��������������������� �����
��E��6����9��������� ���������� ��������� )�������������������� ���
��E���������� ���������������� ������������ ������ ��������������������������������������+��9�
3�����1�2���@������@�������. �����*�����3����
( ) ( )[ ]
( ) ( )
0
1;;
1;;
0
==
=
⋅−==
⋅−−=
pnt
descontaraCapitalC
dnCCptCA
dptCptCA
n
nn
��/����*����+*�%��%���1�����������
www.clasesuniversitarias.com
� 5����� ��� � ��) �(�����
��� �������-������ �������� ������
����������� ����������������#����������� � ������� ����������������� ������� ����� ������������������������ ���������� �������*%����� ��������� � ��������������������������������F�� ������� �� ������� �����)��%� �����9�������������������� ����������
*������������� ��������������� �������������������3 ����%������ �� )����������������&
�6 5��� ,7�A ���.
� � ���� �
����D�� �EE���+D��
�� � ��D+���� �EE�� �+D ��D+����
�� D ���� �EE�� �+D ����
���������������� ��� �
��D ,��� �EE���+D,��
www.clasesuniversitarias.com
��
� 5����� ��� � ��) �(�����
Gráficamente
La característica de esta operación es que la variación del capital financiero para
dos momentos de valoración consecutivos es constante y proporcional al valor nominal Cn,
es decir el decremento en cada período se mantiene constante.
n
C0
Cn
3 ����� ����$�&���������) ��������� ��������� ������������� �������������1;2����� ����������)������ ������� ����������
��� �������-������ �������� ������
www.clasesuniversitarias.com
� 5����� ��� � ��) �(�����
:������� ���� ����� �������������� ��������
(���������������������� ���� ����� �������������� ��������������������������� �������+�������������������������������������������������������
t-1 t
+�����
( ) ( )( )
( ) ( )( )( ) ( ) dddttttA
dptCptCA nn
−=−⋅=⋅−−−=−
⋅−+=
1111111;;1
1;;
�������������������� ����"#��,�.��������������"#�������'��� � ������������� ��#� �#��� ������� �� ����#� �#��� ��������������������������"#��H '�< �"#��������� ���� �7�#&�&�� � � ��� �� ���#��������'���� ��7� 9�&
www.clasesuniversitarias.com
��
� 5����� ��� � ��) �(�����
:��������
D 7�)� ������� �����������9�����������8IJ��%���)��� 9��������� ��,:;6��< �.& ����������������� ������ ������� �� ����� ����������#����( ��������� 9��������� �&
D �������������)����������� ��������������������� �������������������������������3�������!���� ����9������������� ��������� ������������������!���� ������������������ ��������� ������������ �
����#�������%���1���������+��*�
.���������.�3�N�>@Q��QC�?�:*"��. �� ������������ ���������>������������������=���� ���������)���-�����. ���������;��
( )
dnCD
dnC
dnCCCdnCCCCD
nC
n
nnnnnnC
⋅⋅=
⋅⋅=
=⋅⋅+−=⋅−−=−= 10
www.clasesuniversitarias.com
� 5����� ��� � ��) �(�����
")���. ��������� ����3�����=�� ������
*�� �����9��������������������#�������� ��������������� ���������� �� �������� ������ ��������#�� �������������H�(������������������������������ ���������������������������������������������������� ����������������� ����� �������� ��������������������� ������
(���!����& C�HHHHHHHHHH���+,
����������HHHHH�8
.%��HHHHHHHHHHHH�8I;
L�����HHHHHHHHHH���+/,
1��� ������������������������� ��������� ��������� ���� �����%��� ���������������������� �����������9�2�
"��������� ��������������������������������%����1M2�)�����������������1�M2�
www.clasesuniversitarias.com
�
� 5����� ��� � ��) �(�����
0 1 n-1 n años1 k kk 1 2 ……………….2 ……………….
C0 Cn
( ) ( ) ( )
( )
( )kn
kk
dnkCC
EfectivoValorCañospyntSi
dptkdpktkpktkA
⋅⋅−=
===
⋅−−=⋅−−=
1
0
11;
0
0
����������� �@ � �������������� �����������#������������ ���������@A)��� ��������M ������������������� ��������������9������������MD$��������������� ������ ����������������� MD$�������9��
")���. ��������� ����3�����=�� ������
www.clasesuniversitarias.com
0 2
+�;;;��;
� 5����� ��� � ��) �(�����
�;�E��� �+D �����;�E�+�;;;�F��+�� ,�F�;�;I��E�SS;�����
��E�IT�
0 6 m
+�;;;��;
��E�IT�
�;�E��� �+D �����;�E�+�;;;�F��+�� I�F�;�;I��E�IV;�����
�;�E��� �+D �����;�E�+�;;;�F��+�� I/+,�F�;�;I��E�\[;�����
www.clasesuniversitarias.com
�
� 5����� ��� � ��) �(�����
� ������ ���������������� ����� ��� ���
.����� ������ ������������#����������"#�$ ������ ���������� ������������ ���������������������������������������� �����������
( )
( )kn
n
dnkCC
dnCC
⋅⋅−=
⋅−=
1
1
0
0
( ) ( )
k
dddkd
dnkCCdnCC
dnkCdnC
kk
knnnn
knn
=⋅=
⋅⋅⋅−=⋅⋅−
⋅⋅−=⋅− 11
3�������������������1�M2������������� ���������� ����������������MD$�������9��
� ������ ����������������������� �����MD$����?������� ����������������������������� ����������� ��������"����������������������
k
k
dkdkPeríodo
dkdkPeríodo
⋅=
⋅= '''
kk dkdk ⋅=⋅ ''
www.clasesuniversitarias.com
� 5����� ��� � ��) �(�����
"���)�=���� ������. ��������� ����3������������������'���
N����)������ ������� ������ ��������������� ������������������ �������� ���������������������
"���)������ ������� ����� ��� ����������������������'������ ������� �������������� ������� ��������%����� ����������������������� ������ ������ �������� �����#���� ������� ����
��� �������� ��������#� ������� ����������� � ��!����"#�������� ��� ����"#���#����������"#�$ ����������#�������������������������������������������������������&
(�������������")�=���� ������. ��������� ����3����
www.clasesuniversitarias.com
��
� 5����� ��� � ��) �(�����
+���3��� ��������� �������� ������%�&�����; E��� �+D ����
78
�� �� ��
�� ��
,��� �����������������������&
�� E��� �+D ��D�����
�; E��� �+D �����E��� �+D ���D��������+D �����E��� �+D ����G�������+D�����E�
E��� �+�� ����� ����G������,G�����D�, �,P�E��� �+D �����G��� ����, ����,��� 5��� �+D ����
����� ������������������'�� BBBB��C�DDDDD
(�������������")�=���� ������. ��������� ����3����
www.clasesuniversitarias.com
� 5����� ��� � ��) �(�����
�!�������>Q��3�:>.:L:":.*.�.��"*�"�<�=:>*>�:�?*�.��.�3�N�>@Q�3:C("�&�
��E�+�;;;�R��E�,��9���E�ST�����������
�� ��
�� �� ��
�� 3����������������� ����&����6 E�+�;;;�F��+�D ,�F�;�;S��E�IG6�F��� 3�� ���������� ���������������� ���&
*9��+&��+ E�+�;;;�F��+�D +�F�;�;S��E�\,;�R
*9��;&��6 E�\,;�F��+�D +�F�;�;S��E�IG;�G6�F���U��IG6�F� ���!� �� ����� ��������#������������ ����������������������'��&
(�������������")�=���� ������. ��������� ����3����
www.clasesuniversitarias.com
��
� 5����� ��� � ��) �(����� ����(��!
� ��) �( �����(
www.clasesuniversitarias.com
�������������+���������������6��)��6���������"����(��6���
Profesor: Juan Antonio González Díaz
� 5����� ��� � ��) �(�����
��!���� ����� ����%���#������������+ ���� �
"���)�=���� ������. �����3�����?� ��������������� ������������)��������������� ��!������������")�=���� ��������������#� ����3�����
�����. �����?� �����������#����� ����1������� ����2��������1�����������$2� �������#����������� �� ��������������������")�=���� ��������������#� ����3�������� ������� �������� ����� �� ������� ���������� ��� ���������� ������������ ��������������#���������������������������$�1�2��
�
� ��������� �
�
� ������ ������� �
( )inCC n ⋅+⋅= 10
( )( ) 1
0 11
−⋅+⋅=
⋅+= inC
in
CC n
n
CQ>@*>@�-*"Q?��=��@:-Q��>��".�3�N�>@Q�?*�:Q>*"
"��")�=���� ������. �����3�����?� ����������!�����������>Q��3� �3�:>.:L"��
www.clasesuniversitarias.com
��
� 5����� ��� � ��) �(�����
��� �������� �������!��. �����?� �����
���. �����?� ��������C������ ������������ ������������ ���������-�����>�������)���-������� �����
in
inC
in
CinCC
in
CCCCD
nnnn
nnnR
⋅+
⋅⋅=
⋅+
−⋅⋅+=
=⋅+
−=−=
11
10
in
inCD n
R⋅+
⋅⋅=
1
www.clasesuniversitarias.com
� 5����� ��� � ��) �(�����
������� ������������)���. ������ ��� ����)��� ��������������� ��
Equivalencia entre tasa de interés y tasa de descuento
Un tanto de descuento “d” será equivalente a un tanto de interés “i” si descontando el mismo Capital Nominal (Cn) durante el
mismo período de tiempo (n) nos da el mismo Valor Efectivo (C0).
Efectivo del Descuento Comercial C0 =Cn (1- n d)
Efectivo del Descuento Racionalin
CC n
⋅+=
10
Serán equivalentes “d” e “i” si los Valores Efectivos son iguales:
in
CdnC n
n⋅+
=⋅−⋅1
)1(
www.clasesuniversitarias.com
��
� 5����� ��� � ��) �(�����
ni
id
inid
nd
di
ndid
ndiid
dinnind
ndni
ndni
+=
−+=
−=
−+−=
−+−=
−+−=
−+=
−=+
1
)1(0
d""común factor Sacando
1
)1(0
i""común factor Sacando
0
npor Dividiendo
0
)1)(1(1
11
1
2
��5��
��4��
in
CdnC n
n⋅+
=⋅−⋅1
)1(
������� ������������)���. ������ ��� ����)��� ��������������� ��
www.clasesuniversitarias.com
� 5����� ��� � ��) �(�����
(�������������#������ ������ �����������")���. ��������� ����3�����)����")���. �����?� ������3����������� ������ �� ���������� ������������ �����1�2�����������������������$�1�2 ��E��
. ��������� ��� .� E��� ���
. �����?� �����in
niCD n
R⋅+
⋅⋅=
13���E�
.� E��� ���
in
niCD n
R⋅+
⋅⋅=
1
3�� �� �������������� ���������. ��������� ����)���?� �����������&
. �� .��E
DrDc
ni
inC
ni
niniC
niniC
ni
inCinC
n
nnn
n
>
>+
=
=+
−+=
+−=
+−
01
)1
11()
1
11(
122
������� ������������)���. ������ ��� ����)��� ��������������� ��
www.clasesuniversitarias.com
��
� 5����� ��� � ��) �(�����
������� ������������)���. ������ ��� ����)��� ��������������� ��
Q����������������#������ ��������������������� �����&
)1(
1
niDrDc
ni
DcDr
+=
+=
(�������������������� ��� ����. ���C����������.��
(���������������. �� ��� ������$� ������1. �����N����2�
. ��������� ��� . E��� ���
. �����?� �����in
niCD n
R⋅+
⋅⋅=
1
3���E�. E��� ���
in
niCD n
R⋅+
⋅⋅=
1
www.clasesuniversitarias.com
� 5����� ��� � ��) �(�����
� ��) �( �����(
El descuento bancario es una operación en la que la entidad financiera asume la posición acreedora al entregar su
cliente el valor descontado de un capital financiero futuro documentado mediante un efecto de comercio.
Para la obtención del valor descontado que la entidad financiera entrega al cliente se aplica la ley financiera de
descuento comercial simple al tanto estipulado por la entidad, deduciéndose también las correspondientes
comisiones y gastos asociados a la operación.
Tipos de descuento bancario
• Descuento de efectos comerciales: cuando los efectos a descontar proceden de transacciones comerciales y el
objetivo del descuento es obtener liquidez. Estos efectos se conocen como papel comercial.
• Descuento financiero: cuando se trata de una operación de préstamo que concede la entidad financiera al cliente
que se formaliza a través de un efecto de comercio.
www.clasesuniversitarias.com
��
� 5����� ��� � ��) �(�����
GgNdn
NE −⋅−��
���
⋅−⋅=
3601
Cálculo del Efectivo que entrega la entidad financiera:
E = Efectivo entregado por la entidad financiera
N = valor nominal del efecto descontado
d = tanto de descuento anual simple aplicado por la entidad
g = comisión de cobranza. Es una comisión destinada a compensar a la entidad financiera por realizar la gestión del
cobro que se produce en el momento del vencimiento del efecto. La comisión se determina como un porcentaje del valor
nominal.
G = otros gastos asociados a la operación por cuenta del cliente.
� ��) �( �����(
0 n
E N
( )dnCC n ⋅−⋅= 10
www.clasesuniversitarias.com
� 5����� ��� � ��) �(�����
� ��) �( �����(
El cliente debe presentar el efecto a descontar timbrado de acuerdo con la escala de gravamen que en vigor. Por lo tanto, la
cuantía neta o Líquido de la operación de descuento bancario es el siguiente:
TEL −=
Cálculo de la rentabilidad efectiva obtenida por la entidad financiera (ib)
Es el tanto de interés anual simple que mide la rentabilidad obtenida por la entidad financiera en la operación de
descuento. Este tanto efectivo viene dado por el tipo de interés que iguala financieramente las cantidades efectivas
entregadas y recibidas por la entidad financiera en la operación de descuento.
13 6 0
b
nN E i
�= ⋅ + ⋅� �
� �
0 n
E
0 n
N
Banco paga
Banco recibe
www.clasesuniversitarias.com
��
� 5����� ��� � ��) �(�����
� ��) �( �����(
Cálculo del tanto efectivo para el cliente
Es el tanto de interés anual simple que mide el coste que supone para el cliente realizar la operación de descuento
bancario. Este tanto efectivo viene dado por el tanto de interés anual simple que iguala financieramente la cantidad
liquida recibida en el momento inicial y el nominal del efecto descontado.
13 6 0
c
nL i N
�⋅ + ⋅ =� �� �
Efectos impagados. Letra de resaca.
Si llegado el momento del vencimiento del efecto el librado no paga la cantidad debida, la entidad financiera debe
presentar el efecto al protesto ante notario. Una vez realizado esto, carga al cliente el siguiente efectivo que desea
recuperar :
cppdR GGNccNNE ++⋅+⋅+=
0 n
L
0 n
N
Cliente recibe
Cliente paga
www.clasesuniversitarias.com
��
� 5����� ��� � ��) �(����� !��( � ���
www.clasesuniversitarias.com
�������������+���������������6��)��6���������"����(��6���
Profesor: Juan Antonio González Díaz
� 5����� ��� � ��) �(�����
�+����*�7J
3����� ��������� ���������J�;;;������ ���� ���������8���������JT������������
�� Q�������� ���������������������� ���������!�� �������������� ����
�� Q�������� ���������������������� ���������!�� �����������������$
� W���� �$��������� ����������!������������� �������������� �������V�\J;����X
�� W���� �$������������$������!������������� �������������� �������V�\J;����X
� WY�$���� ���������������������� ��������������������)��������������$������������� �X
www.clasesuniversitarias.com
�
� 5����� ��� � ��) �(�����
���1�����*���+����*�7J�
�� �;�E��� �+D �����;�E�J�;;;�F��+�� 8/+,�F�;�;J��E�V�\8[�J;�����
���� �;�E��� /��+�G������;�E�J�;;;�/��+�G�8/+,�F�;�;J��E�V�\8S�,[�����
��� ����������� ��������VT�)��������������$����V�;VT���� ����������������� ���������8��������� �� ����������� ���!���������������� ���������� ���������J�;;;������ �����#����8���
���� �;�E�����/��+�G�����V\J; E�J�;;;�/��+�G�8/+,�F���� ��E�;�;V;V��V�;VT�
� �;�E��� �+D ����V�\J; E�J�;;;�F��+�� 8/+,�F��� ��E�;�;V��VT�
0 3 m
5,000Co
d = 0,05
0 3 m
5,000Co
i = 0,05
0 3 m
5,0004,950
d
0 3 m
5,0004,950
i
nd
di
−=
1 ni
id
+=
1
www.clasesuniversitarias.com
� 5����� ��� � ��) �(�����
�+����*�EJ�
����������� ������� ����������� �����+;�;;;��������������������� �������������� ��������������IT����� ����&
�� Q�������� �������������)���� ����������� �������������+,;��%���7��������������������������$������� ��������
�� Q�������� ������������������� �������������8;;��%������ ������������������$������� ��������
� ��������������������$��������������������������)����)���#��������������
www.clasesuniversitarias.com
�
� 5����� ��� � ��) �(�����
���1�����*���+����*�EJ�
�� �;�E��� �+D �����;�E�+;�;;;�F��+�� +,;/8I;�F�;�;I��E�\�S;;�����. E��� D �;�E�+;�;;;�� \�S;;�E�,;;�������E���/��+�� �����E�;�;I�/��+�D +,;�/�8I;�F�;�;I��E�;�;I+,,VVS\��I�+,T�
���� �;�E�����+D �����;�E�+;�;;;�F��+�� 8;;/8I;�F�;�;I��E�\�J;;�������E���/��+�� �����E�;�;I�/��+�D 8;;�/�8I;�F�;�;I��E�;�;I8+J[S\��I�8,T�
��� ���������)�������� ���������� ������� �� ������ �����#������ ���������)�����������������$� ������������������������ ��������������� �� ������)����� ��������1��� ���2����. ��������� ������ ������. �����?� �������(�������������������$� ��������������������������� ���� ������������������� ������
0 120 d
10,000Co
d = 0,06
0 300 d
10,000Co
d = 0,06
www.clasesuniversitarias.com
� 5����� ��� � ��) �(�����
�+����*�:J�
N��� ��� ��� ��������������I�;;;��������������������� ������������������ �������J�SV;��������� ����������� �� ��������������� ������������#����������)������ ������� �����#� ������������������ ��&
�� ��������������� ����������������������,T
�� ������������������$� ��������������8T
� ��������������� ����������������+T
www.clasesuniversitarias.com
��
� 5����� ��� � ��) �(�����
���1�����*���+����*�:J�
�� �;�E��� �+D ��M��M�
J�SV; E�I�;;;�F��+�� ��F�V�F�;�;,� ��E�;�88888��9���V������� �;�E����/��+�G���M��M�
J�SV; E�I�;;;�/��+�G���F�8�F�;�;8� ��E�;�8;VV+V��9���8���)�,;��%�� � �;�E��� �+D ��M��M�
J�SV; E�I�;;;�F��+�� ��F�I�F�;�;+� ��E�;�VVVVVV��9���J���)�+;��%��
www.clasesuniversitarias.com
� 5����� ��� � ��) �(�����
�+����*�GJ�
N�� ��� ��������������� ��������� ��� ��� ������I�;;;����� ����� ���������������\;��%��������� ������ �������������� ��������IT������������)����� ��������� �����#�����;�JT���%�����,���������� ����&
�� ���� ����� ������������� ����� ����
�� ����% ����� ��� ����� ������������������� ������I����
� �������������� �������������� �������������� �
�� ��� ���� �������������� ������� ������������ ����
www.clasesuniversitarias.com
��
� 5����� ��� � ��) �(�����
���1�����*���+����*�GJ�
�� � E >�F��+D �/8I;����� ��>��E�I�;;;�F��+D \;/8I;�;�;I��� ;�;;J�F�I�;;;�E�J�\+;�� 8;�E�J�SS;����
���� "�E���D @"�E�J�SS;�� I�E�J�S[V����
� :��L��������������L�� �������&� J�SS;�����������������;�L�� ��� ��& I�;;;�����������������\;��%��
J�SS;�F���+�G�\;/8I;�F���E�I�;;; ��E�;�;S+I8,IJ8��S�+IT�
������:������������������������ ���&� J�S[V�����������������;�����������& I�;;;�����������������\;��%��
J�S[V�F���+�G�\;/8I;�F���E�I�;;; ��E�;�;SJS;+S8S��S�JST�
www.clasesuniversitarias.com
��
VENCIMIENTO COMUN Y VENCIMIENTO MEDIO
www.jagonzalez.blogsgo.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
� ������ ������������&�-� �������������)�-� �������C���
@�����������������1�2� ������������ ������+���+�����,���,����������������������������� �� ������������ ���������������������� ������������� ������������������1�2� ������������ ������� ����
*��������������������������������������1��������]�� ��� �������2��)��������������� �������1�2 ���������1-� ������������2�
t1 t2 t3 tn
C1 C2 C3 Cn
C
3���� ����:�� ���*
3���� ����*���������L t
www.jagonzalez.blogsgo.com
��
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
� ������ ������������&�-� �������������)�-� �������C���
3��������� ��������������� ������� ����� ��������� �������������������� ����������������������� �������� ������������� ������� ���������� ������������������������3���� ����*��������3���� ����L������ �������
"��3���� ����*���� �������������3���� ����L������������������������������������������� ����
*�,6.�5��,6.
t1 t2 t3 tn-1 tn
C1 C2 C3 Cn-1 Cn
0
. . . .
3���� ����:�� ���*
3���� ����*���������L
t
C
www.jagonzalez.blogsgo.com
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
� ������ ������������&�-� �������������)�-� �������C���
(������������������� ��������������;������������#��������)���� �����������7������������)�������������")�=���� ������. ��������� ����)����")�=���� ������. �����?� �������W ���������� ���������#��X3������� ���������� ����������������� ���������������"=.�& �; E�� �+D ��������� ���� ������ ����%�����������&
3������� ���������� ��������������������$�����������"=.?&����� ���� ������ ����%�����������&
C1 [1 – t1 d)] + C2 [1 – t2 d)] + ...+ Cn [1 – tn d)] = C [ 1- t d ]
(�������������� ����������� ������� ������������� ����%����� ���������� ������������ ��������� ����%���� ��� ���������� ������������������
in
CC n
⋅+=
10
it
C
it
C
it
C
it
C
n
n
⋅+=
⋅+++
⋅++
⋅+ 1111 2
2
1
1�
(��������������$������� ����������� ������� ������������� ����%����� ���������� ������������ ��������� ����%���� ��� ���������� ������������������
www.jagonzalez.blogsgo.com
��
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
� ������ ������������&�-� �������������)�-� �������C���
3������������]�� ��� ������������������������������������ �������
��E��+ G��, G�����G���
����� ������� �������1�2��������������-� �������C�����)�������%� �������&�
nn tCtCtCtC ⋅++⋅+⋅=⋅ �2211
����������� ��������� ��������������������&C1 [1 – t1 d)] + C2 [1 – t2 d)] + ...+ Cn [1 – tn d)] = C [ 1- t d ]C1 – C1 t1 d + C2 – C2 t2 d + ...+ Cn – Cn tn d = C - C t d
?���������C1 + C2 + ...+ Cn – C1 t1 d – C2 t2 d - ... – Cn tn d = C - C t d
C – d (C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn) = C - C t d
C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn = C t
www.jagonzalez.blogsgo.com
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
.�!�����������������
C
tCtCtCt nn ⋅+⋅+⋅
=�2211
Y������� ������ ���������� ���������� ��� �������� ����������������$�� ������������������ ������������ �������������������.���%�����������-�>�:C:�>@Q�C�.:Q
N��� ��� ��%�� ������������� ������ ������� �������������$�������������� ���������������������$����������� �������������� ������������ ������������������������������� ����� �� ��������� �����������
� ������ ������������&�-� �������������)�-� �������C���
www.jagonzalez.blogsgo.com
��
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
�+����*�7J�
���������� ��������� ����%���+���, )��8 ����� ��������� ��������+���, )��8 ��������3���������������� ������������������ ���������� ����%����)��� �����������
�� .���������� ���������� ���������� ��������������������� ������������+,
�� .��������� ����%����������� ���������,�� ���������� ������������������������$��������
� 3��������� ���+ G��, G��8�E��������������� ��������8������ �� ������
www.jagonzalez.blogsgo.com
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
���1�����*���+����*�7J�
����
t1 t2 t3 trimestres
C1 C2 C3
0
. . . .
3���� ����:�� ���*
3���� ����*���������L
t meses
C
( ) ( ) ( )
12
123312221211 3131311
d
C
dtCdtCdtC
t
⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅−
=
3��������� ��������������� ������� ����� ��������� �������������������� ����������������������� �������� ������������� ������� ���������� ������������������������3���� ����*��������3���� ����L������ �������
"��3���� ����*���� �������������3���� ����L������������������������������������������� ����
*�,6.�5��,6.
( ) ( ) ( ) ( )12123312221211 1313131 dtCdtCdtCdtC ⋅−⋅=⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅
www.jagonzalez.blogsgo.com
��
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
���1�����*���+����*�7J�
����
t1 t2 t3 trimestres
C1 C2 C3
0
. . . .
3���� ����:�� ���*
3���� ����*���������L
t meses
C
3��������� ��������������� ������� ����� ��������� �������������������� ����������������������� �������� ������������� ������� �������
��� ������������������������3���� ����*��������3���� ����L������ �������"��3���� ����*���� �������������3���� ����L������������������������������������������� ����
*�,6.�5��,6.
��
���
⋅+×
����
�
�
����
�
⋅+
−
⋅+
−
⋅+
= it
it
C
it
C
it
CC
41
41
41
121
2
3
3
1
12
it
C
it
C
it
C
it
C
⋅+
=
⋅+
+
⋅+
+
⋅+12
14
14
14
1 3
3
2
2
1
1
www.jagonzalez.blogsgo.com
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
���1�����*���+����*�7J�
���
t1 t2 t3 trimestres
C1 C2 C3
0
. . . .
3���� ����:�� ���*
3���� ����*���������L
t meses
C
3�� �+ G��, G��8�E��
����������3����������������
3
2211
33
C
tCtCt
C
t
⋅−⋅−⋅
=
C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn = C t
www.jagonzalez.blogsgo.com
��
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
�+����*�EJ�
.������������ ��������� ����%��,8�;;;�������������+J����.����������������������� ��������.����S�;;;����� ����� ���������������V���)�+;����� ������������ ���
�� "�� ����%������� �� ������������ ���������+S���������#���������������� ����������������������,T
�� "�� ����%������� �� ������������ ���������+S���������#�������������������$���������������IT
� ��� ��������� ������������ �� ������������������� ������[�J;;������(��������������� ����������������+T
�� ��� ��������� ������������ �� ������������������� ������[�;;;������WY�$������������$����������#���X
www.jagonzalez.blogsgo.com
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
���1�����*���+����*�EJ�
����
4 10 18 meses
8.000 8.000 C3
0
. .
. .
3���� ����:�� ���*
3���� ����*���������L
3��������� ��������������� ������� ����� ��������� �������������������� ����������������������� �������� ������������� ������� �������
��� ������������������������3���� ����*��������3���� ����L������ �������"��3���� ����*���� �������������3���� ����L������������������������������������������� ����
*�,6.�5��,6.
15 meses
23,000
23.000 [ 1- 15/3 0,02 ] = 8.000 [1 – 4/3 0,02)] + 8.000 [1 – 10/3 0,02)] + C3 [1 – 18/3 0,02)]
20.700,00 = 7.786,67 + 7.466,67 + C3 [0,88]
C3 = 6.189,39 Euros
www.jagonzalez.blogsgo.com
�
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
���1�����*���+����*�EJ�
����
4 10 18 meses
8.000 8.000 C3
0
. .
. .
3���� ����:�� ���*
3���� ����*���������L
3��������� ��������������� ������� ����� ��������� �������������������� ����������������������� �������� ������������� ������� �������
��� ������������������������3���� ����*��������3���� ����L������ �������
"��3���� ����*���� �������������3���� ����L������������������������������������������� ����
*�,6.�5��,6.
15 meses
23,000
23.000 / ( 1+ 15/12 0,06 ) = 8.000 / (1 + 4/12 0,06) + 8.000 / (1 + 10/12 0,06) + C3 / (1 + 18/12 0,06)]
21.395,35 = 7.843,14 + 7.619,05 + C3 / 1,09
C3 = 6.467,15 Euros
www.jagonzalez.blogsgo.com
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
���1�����*���+����*�EJ�
���
4 10 t3 meses
8.000 8.000 7.500
0
. .
. .
3���� ����:�� ���*
3���� ����*���������L
3��������� ��������������� ������� ����� ��������� �������������������� ����������������������� �������� ������������� ������� ���������� ������������������������3���� ����*��������3���� ����L������ �������
"��3���� ����*���� �������������3���� ����L������������������������������������������� ����
*�,6.�5��,6.
15 meses
23,000
21.275 = 7.840 + 7.600 + 7.500 (1 - t3/2 0,01)
t3 = 44,4 meses (44 meses y 12 días)
23.000 (1- 15/2 0,01) = 8.000 (1 – 4/2 0,01) + 8.000 (1 – 10/2 0,01) + 7.500 (1 – t3/2 0,01)
www.jagonzalez.blogsgo.com
�
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
���1�����*���+����*�EJ�
����
4 10 t3 meses
8.000 8.000 7.000
0
. .
. .
3���� ����:�� ���*
3���� ����*���������L
15 meses
23,000
t3 = 33,28 meses (33 meses y 9 días)
23.000 * 15 = 8.000 * 4 + 8.000 * 10 + 7.000 * t3
3�� �+ G��, G��8�E��
��� ����S�;;;�G�S�;;;�G�[�;;;�E�,8�;;;
����������3����������������
C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn = C t
www.jagonzalez.blogsgo.com
��
LETRAS DEL TESOROAplicación de la Ley Financiera de
Capitalización Simple
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
LETRAS DEL TESORO
Las Letras del Tesoro son títulos de deuda pública emitidos por el Estado como medio de financiación aCorto Plazo.
LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com
Se trata de valores emitidos al descuento, lo que implica que el precio de adquisición es inferior alnominal que recibirá el inversor a su vencimiento (VALOR NOMINAL = 1.000 EUROS)
La duración de la inversión es variable, pudiendo ser de 3, 6, 9 o 12 meses, aunque siempre se expresaen días. De tal forma que…
Una duración de 3 meses equivale a 91 días
Una duración de 6 meses equivale a 182 días
Una duración de 12 meses equivale a 364 días
La diferencia entre el valor nominal que reciben y el precio de adquisición representa el beneficio de lainversión.
��
El procedimiento normal de emisión de valores es a través de una subasta competitiva…
LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com
Los inversores presentan al emisor sus peticiones en las que reflejan los valores que desean adquirir, asícomo los precios que están dispuestos a pagar por dichos valores.
Recibidos todas las peticiones, el emisor decide el precio mínimo que acepta, rechazando las peticionesrecibidas con un precio inferior a este precio mínimo.
En las peticiones por vía no competitiva, sólo se indica el importe nominal que se desea adquirir, sinespecificar el precio, aceptándose todas las peticiones en su totalidad.
Precio Mínimo
Precio Medio
PMa
PMePeticiones por debajo del PMa, quedan fuera de la subasta
Peticiones al precio mínimo, compran a PMa
Peticiones a un precio entre PMa y PMe, al precio ofrecido
Peticiones a Pme o superior, compran a PMe
Cálculo del tanto efectivo de la emisión: interés marginal e interés medio
LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com
Los tantos efectivos de la emisión se definen como los tantos de interés anuales simples que ofrecen unamedida de la rentabilidad efectiva que proporcionan las Letras del Tesoro en el momento de la emisión,sin la intervención de la entidad financiera a través de la cuál se realiza la operación.
Según la normativa del Banco de España se calculan sin las comisiones asociadas a la operación yutilizando el año comercial.
Para el interés marginal…
000.1360
1 =��
���
⋅+⋅ mai
tPMa
Para el interés medio…
000.1360
1 =��
���
⋅+⋅ mei
tPMe
��
Cálculo de la rentabilidad efectiva de una Letra del Tesoro.
LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com
En este caso se ofrece una medida de la rentabilidad efectiva que proporcionan las Letras del Tesoro deun inversor en concreto, que participa en la operación a través de una entidad financiera, que le cobracomisiones por su intermediación, por la suscripción o compra y por la amortización o venta.
Un inversor puede participar en la operación en el mercado primario, suscribiendo los títulos en laemisión de los mismos, y manteniéndolos hasta su vencimiento, en cuyo caso se aplicarían lascomisiones de suscripción y amortización.
Pero puede también participar en la operación en el mercado secundario, bien comprando las Letras delTesoro a otro inversor en un momento distinto a la emisión, vendiéndolas a otro inversor antes delvencimiento, o ambas opciones, en cuyo caso se aplicarían comisiones de copra y venta. Además, laduración de la inversión, en cualquiera de estos casos sería menor que en el mercado primario.
En este caso, la rentabilidad efectiva de la operación se obtendría planteando una equivalencia entre lacantidad que paga el inversor, ya sea el precio de suscripción o de compra, más comisiones; y el nominalo precio de venta, incluyendo también las comisiones. En este caso, además, se utiliza el año natural.
Cálculo de la rentabilidad efectiva de una Letra del Tesoro.
LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com
Por tanto, el procedimiento sería el siguiente:
Opción 1: el inversor adquiere títulos en la emisión y mantiene hasta su vencimiento.
El inversor paga:
0 364
..scPMa +
..scPMe +
El inversor recibe:
0 364
..000.1 ac−
( ) cicPMa ef −=��
���
⋅+⋅+ 000.1
365
3641 ( ) cicPMe ef −=�
�
���
⋅+⋅+ 000.1
365
3641
��
Cálculo de la rentabilidad efectiva de una Letra del Tesoro.
LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com
Opción 2: el inversor adquiere títulos en mercado secundario y mantiene hasta su vencimiento.
El inversor paga:
t 364
..ccPC +
El inversor recibe:
t 364
..000.1 ac−
( ) cit
cPC ef −=��
���
⋅
−+⋅+ 000.1
365
)364(1
Cálculo de la rentabilidad efectiva de una Letra del Tesoro.
LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com
Opción 3: el inversor adquiere títulos en la emisión y vende en el mercado secundario.
El inversor paga:
0 t
..scPMa +
..scPMe +
El inversor recibe:
0 t
..vcPV −
( ) cPVit
cPMa ef −=��
���
⋅+⋅+
3651 ( ) cPVi
tcPMe ef −=�
�
���
⋅+⋅+
3651
��
Cálculo de la rentabilidad efectiva de una Letra del Tesoro.
LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com
Opción 4: el inversor compra y vende títulos en el mercado secundario.
El inversor paga:
t p
..ccPC +
El inversor recibe:
t p
..vcPV −
( ) cPVitp
cPC ef −=��
���
⋅
−+⋅+
365
)(1
EJERCICIO 1:
En la última subasta del Letras del Tesoro a 12 meses se fijó un precio marginal del 97,830% y un precio medio del 98,150%. Un inversor participa en la operación a través de una entidad financiera que cobra unas comisiones de suscripción y compra del 0,3% y de amortización o venta de un 0,25%.
Calcule:a) El interés marginal de la emisión
www.clasesuniversitarias.com LETRAS DEL TESORO
000.1360
1 =��
���
⋅+⋅ mai
tPMa
000.1360
36413,978 =�
�
���
⋅+⋅ mai %19,2021937584,0 ==mai
��
EJERCICIO 1:
En la última subasta del Letras del Tesoro a 12 meses se fijó un precio marginal del 97,830% y un precio medio del 98,150%. Un inversor participa en la operación a través de una entidad financiera que cobra unas comisiones de suscripción y compra del 0,3% y de amortización o venta de un 0,25%.
Calcule:
b) La rentabilidad del inversor, si compra a Precio Medio y mantiene las letras hasta su vencimiento
www.clasesuniversitarias.com LETRAS DEL TESORO
El inversor paga:
0 364
..scPMe +
El inversor recibe:
0 364
..000.1 ac−
50,9841000003,050,981.. =⋅+=+ scPMe
50,99710000025,000,000.1..000.1 =⋅−=− ac
( ) cicPMe ef −=��
���
⋅+⋅+ 000.1
365
3641 50,997
365
364150,984 =�
�
���
⋅+⋅ efi
%32,1013240949,0 ==efi
www.clasesuniversitarias.com LETRAS DEL TESORO
��
EJERCICIO 1:
En la última subasta del Letras del Tesoro a 12 meses se fijó un precio marginal del 97,830% y un precio medio del 98,150%. Un inversor participa en la operación a través de una entidad financiera que cobra unas comisiones de suscripción y compra del 0,3% y de amortización o venta de un 0,25%.
Calcule:
c) Si el inversor vende una Letra en el mercado secundario 150 días antes de su vencimiento, siendo la cotización del mercado de un 99,01%, ¿qué rentabilidad obtendría el inversor para esta letra?
www.clasesuniversitarias.com LETRAS DEL TESORO
El inversor paga:
0 364-150
..scPMe +
El inversor recibe:
0 214
..vcPV −
50,9841000003,050,981.. =⋅+=+ scPMe
60,98710000025,010,990..10,990 =⋅−=− vc
( ) cPVicPMe ef −=��
���
⋅+⋅+
365
2141 60,987
365
214150,984 =�
�
���
⋅+⋅ efi
%53,0005370628,0 ==efi
www.clasesuniversitarias.com LETRAS DEL TESORO
��
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA.
TEORÍA
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
��/����*����+*�%���*���*��4*��0������1���*
�����3��������� ������������#� ������������� ������� ���������� ��������� �����9���� ���������� ������������� ������������ ���������� �������������� ��������#����������
���3���������������#� ������������� �������� ������"�<�=:>*>�:�?*�.���*(:@*":A*�:B>��QC(N�3@*�� �������������������������&
( ) ptconiptL tp�
)()1(; −+=
��; ����������#� ������������
� 3�����1�2���@������@�������:���$�*������������
D3�� ���������1�2� ��������������������������� �������� ��������������� ���E;�D3�� ���������1�2� ������������������������������������������� ������1�2��9������� ��E��D3�� ����������; ������ ������� ����������������������;�D3�� ����������� ������ �������� ���������������������������������������������C�������
www.clasesuniversitarias.com
�
( ) ( ) [ ] ( ) n
ntpCiCiCptLCptCL =+⋅=+⋅=⋅=
−11;;; 0
)(
000
( )n
n iCC +⋅= 10����*���
Ley homogénea de grado 1 t=0 p=n
.���&
�� E�����������E� ���������� �����E��6����9��������� ���������� ����������)�������������������� �����E�������������$������������ ���������������$� ��������������������������������������+��9�
��; ����������#� ������������Generalizando
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com
��� �������C������
����������� ������������� ��� ��( ����������� � ������� ���� ������������ �������������� ���������� ���� ����������������� ����������� ������������%��� ���������� ������������������ ���������������������������#���������������� �����
*�� ���������� ��������������������������������� ��� )������������������� 5��6 ,7�8��.���� ���&���������) ��������� ��������� ��������������������������1�2����� ����������)������ ������ �������#� ���������
0 1 2 n -1 n:�E�����
�; �; G��; :�E��; �+�G����
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
( )2
00
00
)1()1()1(
)1(1
iCiiC
iiCiC
+⋅=+⋅+⋅=
⋅+⋅++⋅
:�E�����+G�����
( )nn
nn
iCiiC
iiCiC
)1()1()1(
)1(1
0
1
0
1
0
1
0
+⋅=+⋅+⋅=
⋅+⋅++⋅
−
−−
1
0 )1( −+⋅
niC
iiCI n⋅+⋅=
− 1
0 )1(
Gráficamente, Cn
C0
n
La característica de la ley financiera de capitalización
compuesta es que los intereses se van acumulando al capital
en cada período para producir nuevos y mayores intereses en
el período siguiente, es decir el rendimiento en cada período
va aumentando
n
www.clasesuniversitarias.com
�
:������� ���� ����� ����������������$����
(���������������������� ���� ����� �����������������$����������������������������+���������������������������
� �G++�����
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) iiittL
iCptCL
tt
tp
+=+⋅=+=+
+=
−+
−
111111;;1
1;;
1
)(
00
(������� ������������� ��������������� �������������������������������������������������
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
:��������
�������������)��������������$����������������� �������������������������������3�������!���� ����9����������������$����� ������������������!���� ���������������������$����� ������������ �
��� �������:���$( ) [ ]
[ ]1)1(
1)1(1
0
0000
−+=
−+=−+=−=
n
nn
n
iCI
iCCiCCCI
www.clasesuniversitarias.com
")�����������#� ������������=�� ������
El parámetro ik recibe el nombre de tanto de interés compuesto k-esimal, siendo k el número de periodos o
fracciones a considerar que hay en un año. Este tanto k-esimal representa el rendimiento que proporciona un euro
en un k-ésimo de año.
(���!����& C�HHHHHHHH�� �+,����������HHHH������8.%��HHHHHHHHH �8I;L�����HHHHHHHH �+/,
=����������� � ������ ��� ����������� �����������)������� ���������#'<�����������>���������#'������������#����������� 9�?&����������������)����� ����� ����������� ���� �����<����=@?�!��������� ����������=�@?&
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
���� ��� �� 5��6 ,7�8��@. nk
���������nk��5��� A �6�5��6�K,7�8��@.��L 7M
www.clasesuniversitarias.com
��
� ������ �������������������$� ������
Dado que dos leyes financieras son equivalentes cuando ofrecen la misma proyección financiera de un mismo
capital financiero, se puede deducir la equivalencia entre dos tantos de interés:
%���� �������������)�������"#�$ ��������# ���� ���� ���� ��������� ��� ������� ����#� ��������������������������������� ���#� �� ������������ ���
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
�� E��; �+�G����� E��; �+�G��M�
n
nk�+G���E��+�G��M�k
TANTO DE INTERÉS NOMINAL: Además del tanto de interés anual, i, y del fraccionado, ik,
existe otro tanto en capitalización compuesta que se denota por Jk , cuya relación viene dada por
Jk= k.ik
y se nombra de distintas formas,
tanto nominal anual reembolsable k-esimalmente
tanto nominal anual acumulable k-esimalmente
tanto nominal anual amortizable k-esimalmente tanto nominal
anual liquidable k-esimalmente
www.clasesuniversitarias.com
��/����*����+*�%��%���1���������1�����+*����*�
"���)�=���� ������. ����������� ?� ��������������� ������������)��������������� ��!������������")�=���� ��������������#� ������������
�����. �����?� �����������#����� ����1������� ����2��������1�����������$2� �������#����������� �� ��������������������")�=���� ��������������#� ��������������� ������� �������� ����� �� ������� ���������� ��� ���������� ������������ ��������������#���������������������������$�1�2��
0 n
C0 CnDescuento
0 n
C0 CnCapitalización
( )n
n iCC +⋅= 10
( )( ) n
nn
n iCi
CC
−+⋅=
+= 1
10
CQ>@*>@�-*"Q?��=��@:-Q
��� �������� ������� �����
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
( ) [ ]n
n
n
nnnR iCiCCCCD −−+−=+⋅−=−= )1(110
www.clasesuniversitarias.com
��
"���)�=���� ��������������#� �������������������������'���
N����)������ ����� ��������������� ���������������������������������������������������
"���)������ ������ �������#� ���� ��������������������'������ ���������������������������������%����� ���������������������������������� ���������������� �����#������������� �����
C0 Ch Cn
+���3��� ����������������������������%�&
,��� �����������������������&
0 h n
(�������������")�=���� ��������������#� �����������
����� ������N�����������'��
( )n
n iCC +⋅= 10
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )nhnh
n
hnh
n
h
h
hn
hn
iCiCC
iiCC
iCC
iCC
+⋅=+⋅=
+⋅+⋅=
+⋅=
+⋅=
−+
−
−
11
11
1
1
00
0
0
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com
�!��������3�:>.:L:":.*.�.��"*�"�<�=:>*>�:�?*�.���*(:@*":A*�:B>��QC(N�3@*&�
��E�+�;;;�R
��E�,��9�
��E�ST� ������������
C0 C1 C2
0 1 2
�� 3������������������������&���
���3�� �������������������������������� ���&
*9��+&
*9��,&
( ) 40,166.108,01000.12
2 =+⋅=C
( ) 00,080.108,01000.11
1 =+⋅=C
( ) 40,166.108,01080.11
2 =+⋅=C
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com
��
"���)�=���� ��������������#� ���������������� ���� �� ���� �������")�� ������������%������������������������ �� ������ ����������� �����#���������������������������������!�� � �� ��( �������������������
t pt+h p+h
( ) ( )
( ) ( ) )(
0
)(
0
))((
0
)(
0
11
11
:
tphthp
hthptp
iCiC
iCiC
queocurrirDebe
−−−+
+−+−
+=+
+=+
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com
��
LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA.
PROBLEMAS
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
�^�?�:�:Q�+&��
N������������������������� �������������� ������� ��������$����8T������� ����� ���� �����������������������������&
D 7�)������ ����������,�;;;�RD *����+8����J�J;;�RD *��������9���[�;;;�R
W���������������� �������������������9��)�����X
PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com
��
<������������!��� ����������������$�������������������������&
N�������������$������� ����� ���� ��������������� ����� ���������^������ ����^V
*������������������ �� ������������$�MD���� ������������� �����V������������ ������ ��&
0075,04
03,0
4
44 ===
Ji
PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTA
0 3,5 años
2.000
13 meses
i4 = 0,75%
Cn5.500
2 años
7.000
45,13
)1342(
45,3 )0075,01(7000)0075,01(5500)0075,01(2000 ⋅
−
⋅+⋅++⋅++⋅=nC
∈=++= 48,453.1597,320.796,911.555,220.2nC
www.clasesuniversitarias.com
Q�����������!��� ����������������$������� ���������������$������ ������ ��H ( ) k
kii )1(1 +=+
03033919,01)0075,01( 4=−+=i
PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTA
5,112
)1342(
5,3 )03033919,01(7000)03033919,01(5500)03033919,01(2000 +⋅++⋅++⋅=
−
nC
∈=++= 48,453.1597,320.796,911.555,220.2nC
0 3,5 años
2.000
13 meses
i = 3,03%
Cn5.500
2 años
7.000
www.clasesuniversitarias.com
��
�^�?�:�:Q�,&��
*�� ������ ��������������� ���������+,�;;;������������������������������$����������8T������� ���������� ������������� ���������+;�;;;������������������������������$����VT������� ����� ���� ���������X
PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com
*���� ����������� ����������� ������������������ ����������� ��������������� �����������������������������������������������������������������������������
0 n años
12.000
i= 3%
Cn
PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTA
0 n años
10.000
J2 = 4%
Cn
02,02
04,0
2
22 ===
Ji
nn 2)02,01(10000)03,01(12000 +⋅=+⋅
www.clasesuniversitarias.com
��
PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTA
nn 2)02,01(10000)03,01(12000 +⋅=+⋅
n
n
)03,01(
)02,01(
10000
12000 2
+⋅
+=
n)03.1
02.1(2,1
2
=
n)01009708,1(2,1 =n)01009708,1ln(2,1ln = )01009708,1ln(2,1ln ⋅= n
14786,18)01009708,1ln(
2,1ln==n +S��9���+���)�,8����
www.clasesuniversitarias.com
�^�?�:�:Q�8&��
N��������������� ������� ������������������������������JT�������$��������� ����������������� ������� ��������������������;�+JT
W���������@*�����������XN�� ������ ��� ���������������� �������#�����������������+;�;;;������������V��9���.���������������������������������W��������������� ����������������������������������� ���X
PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com
��
���������������������� ���� ����� ��������������� �����������������@*����������������������� �������� �������(��������������� �� ��������@*�������%�� ��� �� ������������������$������� ����������������������$� ������� ����������� ����������������
<������� �� ����%����������$������� ������������������� ������ ��&
( ) k
kii )1(1 +=+
N�������������$��������� ������� ���������������� ����� ���������^������ ����^,
*������������������ �� ������������$�MD���� ������������� �����8������������ ������ ��&
025,02
05,0
2
22 ===
Ji
050625,01)025,01( 2=−+=i
(�������������@*���%�������������O�6;P
PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com
��� ������������+;�;;;������������ ������� ������ ��������������������;�+JT���� ����+J������+;�;;;���;�;;+J���(������������� �������� ����������������������\�\SJ������+;�;;;�� +J�
<������� �� ����%�������������&
24)025,01(9985
x
nC +×=
0 4 años
9.985
J2 = 5%
Cn
75,165.12=nC
PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTA
025,02
05,0
2
22 ===
Ji
www.clasesuniversitarias.com
�
10.000 12.165,75
4
(��������� �� �������������� ����������������������������)� �������������� ������ ���������� �������� ����������)���� ���� ���
Y�$��������X��������������������������� ������+;�;;;����&��������������X�������������;
(������������ �� ���� ����%�&
( ) 75,121651100004
=+× i ��5�O�6EP�
Y�$�� ���X�"�� ����������+,�+IJ�[J��������������� ���X�������������V��9�
0
PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com
�^�?�:�:Q�V&��
N��������� �������������������+;��9�������� ��������������+J�;;;����������� ������������ ����)�,8�;;;��������������#����� �������9���"�������������� ���� �������������������� ����IT������� ����� ���� ������������������������9������,T�� ������������������9�������������ST��������� ������� ������������������������������)����VT� ������������ ��������������W���������������������������������#���������� ���X
PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com
�
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 332
1233
2
1223122
04,116,12300004,116,102,1005,115000××××××
××+××××=Cn
0 2 años 10 años
15.000 23.000
7años5 años
i2 = 2% J1/2 = 8%J12 = 6% i3 = 4%
005,012
06,012 ==i 16,0
21
08,02/1 ==i
PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTA
96,3793762,31436 +=nC
58,374.69=nC
www.clasesuniversitarias.com
��
TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS 1Rentas Constantes (teoría)
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
��� ����)� ����� � ���
����������������������� ��!������� ��������������������� ������������� ��������-���������������������� ���������� ������� ���������� ���������
t0 t1 t3t2 tk tn-1tn
a1 a2 ak an
������ � ����� �� ����
• "�� ������� �� ������)���������������������)������&�• *���������������������������� ������� �� �������������������� ����������• 3� ��������������������� �����$��������������������• 3������������� ��������������������������������������$��������
-��������������
3 ������� ����� � �� ���� � �� ������ �� ����� � �� ��� � �� ����� � � ���������� � �$����� �����#���� ��� �) ����� ����
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com
��
��� ����)� ����� � ���
3 ��� *��# � ,*.� � ����� � �� ���� � � ����� � �� ����� �� ����� � ���� �� ��� ������ �� ����� � ������ �� �����#���� � � ������ ��� ���� � ���� ) ��� ��� � �� �����
E 7 �
6 7 E �
&&&&&&&
3 ��� ��� � ,�.� � ����� � �� ���� �� ����� �� ������ ������ � �� ����� 3 �� ��� ������ �� ��� � �� ����� ����� �� �$����� � �� ���� �������#��� ���� � ������ � � $�� �������
a2a1an-1 an
0 1 2 n
.......
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com
��� ����)� ����� � ���
' 3��� �� �����#� �� ��� ��������&' %������ �& ����� �� ������ � �� ���� �� �������' ������# �J ����� �� ������ � �� ���� �� ������������ ����� �$��� �� ���!� ������� � �������
' 3��� � �#� ����J' ������# �& ����� � �� ����� � �$����� � ���� � ���������' ������ ���& ����� � �� ����� ������ � �$������
'3��� �� �# ��< �� ��� �)������&' ����� ����& ����� ���� �� �$����� �� ����� ��� %�' 3 �� '���J ����� ���� �� �$����� � �� ���� ���� ��� ����%� �������
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com
��
��� ����)� ����� � ���
'3��� � ������� ��� $����������&
' ����� � '���& � �� �$����� ���� � �� ������ �� ����� � ��� �������
' ���� � '���J � �� �� ������ � ��� �$����� �� �� ���� ���� � ��� �������
a2a1an-1 an
0 1 2 n
.......
a2a1an.......
0 1 2 nn-1
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com
��� ����)� ����� � ���
• 3��� � ������� �� �$ �# ���� �� ������ � ��� �� ) ��� � �� �$����� �� �� � �� ������ ����&
�� ������ � �& ����� � ��� �� �� ������ ������ ��� �� �� � ������
�� %� ���� �J ����� ��� � ��� �� � �� ���� ) � ����� �$������ ��) �� ������ � ����� 1�2
a2a1an-1 an.......
0 1 2 n
an-1 an
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
a2a1........
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com
��
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*"
Valor actual
�������� � �� ���� ����� ������ �� � ����%� 1�2� � � ���� �� ����� � ����9� ������ � �9�� �� ����� � ���� �� ��� ������ �� ����� � �����#��� � � ������� � ������� ��� ���� � ���� ) ��� ��� � �� �����
aa a
0 1 2 n
.......
[ ]n
n
iiiia
iaiaiaiaA
−−−−
−−−−
++++++++⋅=
=+⋅+++⋅++⋅++⋅=
)1()1()1()1(
)1()1()1()1(
321
321
�
�
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*"
Valor actual
3 ����� � ��� �������� ���$��� �� ���� �)� ��� � ����� ��� � �� ������ �����&
(���� @$����� �(@�
]����� @$����� �N@�
?�#�� �?�
<� � �� ��� � �� �������� ���$��� � & −
−×=
1R
PTRUTPG
1)1( −+= iPT
niUT −+= )1(
1)1( −+= iR
=−+
+−+×+= −
−−−
1)1(
)1()1()1(1
11
i
iiiPG
n
[ ] [ ] [ ][ ] i
i
i
i
i
i
i
i
ii
i
ii nnnnn −−−−−−−+−
=−
−+=
+−
−+=
+
+−
−+×+=
−+
−+×+=
)1(11)1(
)1(1
1)1(
)1(
)1(1
1)1()1(
1)1(
1
1)1()1( 11
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com
��
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*"
Valor actualin
n
aai
iaA ¬
−
×=+−
×=)1(1
�1/�����+�*���J
�� �#! ������ ��� �'���$ � "#� ���� ���# �� #� ������� ���� "#� �� ������ � ���� ��( ��&
ina ¬
:������� ���� ����� ���������� ��� ina ¬
1€1€ 1€
0 1 2 n
[ ]in
n
n
aiiii
iiiiA
⋅=++++++++⋅=
=+⋅+++⋅++⋅++⋅=
−−−−
−−−−
1)1()1()1()1(1
)1(1)1(1)1(1)1(1
321
321
�
�
?����� � ����� � ���� �#� ���� #��� �� ���������� ��������� � ��$����� ���������������� �������� )������� �������� � �� ����� ����$ ����� �������
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*"
Valor final
*���� ��� � �� ���� � ����� ����� � �� ����� � ���� � ������ �� ��� � �� ����� � ���� ���$����� � �� ���� ������ �� ������ � � ������ �� ����� � � � �� � ����� �� �9� ��
aa a a
0 1 2 n
......
[ ]1.....)1()1()1(
.....)1()1()1(
)3()2(1
321
+++++++⋅=
=+++⋅++⋅++⋅=
−−−
−−−
nnn
nnn
iiia
aiaiaiaS
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com
��
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*"
Valor final
3 ����� � ��� �������� ���$��� �� ���� �)� ��� � ����� ��� � �� ������ �����&
(���� @$����� �(@�
]����� @$����� �N@�
?�#�� �?�
<� � �� ��� � �� �������� ���$��� � & −
−×=
1R
PTRUTPG
)1()1( −+=
niPT
1=UT1)1( −
+= iR
=−+
+−+= −
−−
1)1(
)1()1(1
)1(1
i
iiPG
n
[ ] [ ] [ ][ ] i
i
i
i
i
i
i
i
ii
i
ii nnnnn 1)1()1(1
)1(1
)1(1
)1(
)1(1
)1(1)1(
1)1(
1
)1(1)1( 11−+
=−
+−=
+−
+−=
+
+−
+−×+=
−+
+−×+=
−−
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*"
Valor finalin
n
sai
iaS ¬×=
−+×=
1)1(
�1/�����+�*���J
�� �#! ������ ��� �'���$ � "#� ���� ���# �� Q#��� �� �� ������� �� �� "#� $������ >����� �)�����&
ins ¬
:������� ���� ����� ���������� ���ins ¬
1€1€ 1€
0 1 2 n
[ ]in
nnn
nnn
Siii
iiiA
⋅=+++++++⋅=
=+++⋅++⋅++⋅=
−−−
−−−
11)1()1()1(1
1)1(1)1(1)1(1
321
321
�
�
?����� � ����� ����� �#� ���� #��� �� ���������� ��������� � ��$����� ���������������� �������� )������� �������� � �� ����� ����$ ����� �������
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com
��
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*���+��*R*���<�@�C(Q?*"
Valor actualinaaA ¬⋅=
C�����D+
)1( i+×
Valor finalinsaS ¬⋅=
C�������D+
)1( i+×
aa a .......
0 1 2 nn-1
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��%���+�%*��(Q3@(*_*L"� <�@�C(Q?*"
Valor actualinaaA ¬⋅=
C�������
di −+× )1(
Valor finalinsaS ¬⋅=
C�������G�
a a
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
aa ........
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1www.clasesuniversitarias.com
��
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��%���+�%*���+��*R*���<�@�C(Q?*"
Valor actualinaaA ¬⋅=
C�������D+
)1()1( −−+×
di
Valor finalinsaS ¬⋅=
C�������G�D+
a
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
aa ........a
)1( i+×
www.clasesuniversitarias.com
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<���+���1*
Valor actual
aa
0 1 2
.......
i
iLimaaLimaA
n
ninn
−
∞→¬∞→∞
+−⋅=⋅=
)1(1
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1
a
3
i
a
ia
i
ia
i
ia
nnn
n =∞−
⋅=+
−
⋅=+−
⋅=
∞→−
∞→
11
)1(
1lim1
)1(lim1i
aA =∞
www.clasesuniversitarias.com
�
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*��Q>3@*>@���*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<���+���1*
TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1
)1( ii
aA +×=∞
�1/�����+�*���J
�� �#! ������ ��� �'���$ � "#� ���� ���# �� Q#��� �� �� ������� �� �� "#� $������ >����� �)�����& i
a
< � �� ���� ������ ������ HH�
���� � '�� S
dii
aA −
∞ +×= )1(%� ���� S
)1()1( −−
∞ +×=di
i
aA���� � '�� ! �� ���� S
www.clasesuniversitarias.com
�
PROBLEMAS DE RENTAS DISCRETASRentas Constantes I
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
EJERCICIO 1:
El señor Previsor ha conseguido vender un apartamento por 120.000 €. Decide invertir ese importe en una entidad financiera a cambio de recibir una renta constante al final de cada año, durante los 18 años que le restan hasta alcanzar su jubilación. La entidad financiera le ofrece un interés del 3,5% anual.
a) ¿Qué cantidad podría obtener cada año?
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
��
0 3 18
120.000
2 1 17
a
4 5 6
a a aa
iaaA ¬×= 18
035,0
)035,01(1120000
18−+−
×= a
a = 9.098,02 Euros
aaa
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
EJERCICIO 1:
El señor Previsor ha conseguido vender un apartamento por 120.000 €. Decide invertir ese importe en una entidad financiera a cambio de recibir una renta constante al final de cada año, durante los 18 años que le restan hasta alcanzar su jubilación. La entidad financiera le ofrece un interés del 3,5% anual.
b) Si en lugar de recibir el importe obtenido en el apartado a), quisiera recibir una cantidad anual de 12,000 euros, con qué tipo de interés debería trabajar la entidad financiera?
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
��
0 3 18
120.000
2 1 17
a
4 5 6
a a aa
iaaA ¬×= 18
i
i 18)1(112000120000
−+−
×=
aaa
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
Para que a sea igual a 12.000,00 Euros, cuál debe ser el tipo de interés?
i
i 18)1(110
−+−
=
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
No podemos despejar el valor de i, por lo que utilizamos un sistema para su estimación, que se llama INTERPOLACIÓN, y se compone de 3 pasos
i
i18
)1(110
−+−
= ia ¬= 1810
PASO 1: Representar GRÁFICAMENTE la función , y marcar el valor ina ¬ ia ¬= 1810
ina ¬
i
ia ¬18
i
��
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
PASO 2: INVENTARME tipos de interés hasta obtener un ''18'18 10 ii aa ¬¬ ��
ina ¬
i
1018 =¬ ia
i
Por ejemplo, empiezo con un 6% y calculo el importe de 06.018 ¬a
8276,1006.0
)06.01(1 18
06.018 =+−
=−
¬a
8276,1006.018 =¬a
06,0' =i
He encontrado un, por lo que ahora debo encontrar un 10'18 �ia ¬ ''1810 ia ¬�
OJO!!! Debo utilizar un tipo de interés que, COMO MÁXIMO, SEA UN 1% MAYOR O MENOR!!!
En este caso, debo utilizar un tipo de interés mayo, por lo que pruebo con el 7%
0591,1007.0
)07.01(1 18
07.018 =+−
=−
¬a
Sigue siendo un , pero al estar más próximo a este valor, es el que utilizo, descartando el tipo de interés del 6%
10'18 �ia ¬
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
PASO 2: INVENTARME tipos de interés hasta obtener un ''18'18 10 ii aa ¬¬ ��
ina ¬
i
1018 =¬ ia
i
Por ejemplo, empiezo con un 6% y calculo el importe de 06.018 ¬a
8276,1006.0
)06.01(1 18
06.018 =+−
=−
¬a
0591,1007.018 =¬a
07,0' =i
He encontrado un, por lo que ahora debo encontrar un 10'18 �ia ¬ ''1810 ia ¬�
OJO!!! Debo utilizar un tipo de interés que, COMO MÁXIMO, SEA UN 1% MAYOR O MENOR!!!
En este caso, debo utilizar un tipo de interés mayo, por lo que pruebo con el 7%
0591,1007.0
)07.01(1 18
07.018 =+−
=−
¬a
Sigue siendo un , pero al estar más próximo a este valor, es el que utilizo, descartando el tipo de interés del 6%
10'18 �ia ¬
��
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
PASO 2: INVENTARME tipos de interés hasta obtener un ''18'18 10 ii aa ¬¬ ��
ina ¬
i
1018 =¬ ia
i
Sigo intentando obtener un , por lo que pruebo ahora con un 8%
3719,908.0
)08.01(1 18
08.018 =+−
=−
¬a
37,908.018 =¬a
08,0'' =i
De este modo he completado el Paso 2 de la INTERPOLACIÓN, ya que he encontrado lo que buscaba, es decir,
10'18 �ia ¬
06,1007.018 =¬a
07,0' =i
37,91006,10 %8''18%)7('18 == =¬=¬ ii aa ��
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
PASO 3: Aplicar la teoría de los TRIÁNGULOS SEMEJANTES.
ina ¬
i
1018 =¬ ia
i
37,908.018 =¬a
08,0'' =i
Estos dos triángulos son equivalentes si el cociente entre sus catetos coincide, es decir, si06,1007.018 =¬a
07,0' =i
A
B
'A
'B
'
'
B
A
B
A=
Tras realizar el PASO 2 del proceso de INTERPOLACIÓN, en la GRÁFICA aparecen tres triángulos, ¿LOS VES?
��
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
PASO 3: Aplicar la teoría de los TRIÁNGULOS SEMEJANTES.
ina ¬
i
1018 =¬ ia
i
37,908.018 =¬a
08,0'' =i
Estos dos triángulos son equivalentes si el cociente entre sus catetos coincide, es decir, si06,1007.018 =¬a
07,0' =i
A
B
'A
'B
'
'
B
A
B
A=
Tras realizar el PASO 2 del proceso de INTERPOLACIÓN, en la GRÁFICA aparecen tres triángulos, ¿LOS VES?
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
PASO 3: Aplicar la teoría de los TRIÁNGULOS SEMEJANTES.
ina ¬
i
1018 =¬ ia
i
37,908.018 =¬a
08,0'' =i
Estos dos triángulos son equivalentes si el cociente entre sus catetos coincide, es decir, si06,1007.018 =¬a
07,0' =i
A
B
'A
'B
'
'
B
A
B
A=
Tras realizar el PASO 2 del proceso de INTERPOLACIÓN, en la GRÁFICA aparecen tres triángulos, ¿LOS VES?
��
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
PASO 3: Aplicar la teoría de los TRIÁNGULOS SEMEJANTES.
ina ¬
i
1018 =¬ ia
i
37,908.018 =¬a
08,0'' =i
Estos dos triángulos son equivalentes si el cociente entre sus catetos coincide, es decir, si06,1007.018 =¬a
07,0' =i
A
B
'A
'B
'
'
B
A
B
A=
Tras realizar el PASO 2 del proceso de INTERPOLACIÓN, en la GRÁFICA aparecen tres triángulos, ¿LOS VES?
Pues bien, esos tres triángulos SON SEMEJANTES entre sí, lo que quiere decir que el cociente entre suscatetos coincide. Por tanto, cogemos DOS DE ELLOS (siempre uno de ellos debe ser el triánguloGRANDE!!!
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
PASO 3: Aplicar la teoría de los TRIÁNGULOS SEMEJANTES.
ina ¬
i
1018 =¬ ia
i
37,908.018 =¬a
08,0'' =i
06,1007.018 =¬a
07,0' =i
ina ¬
i
1018 =¬ ia
i
37,908.018 =¬
a
08,0'' =i
06,1007.018 =¬a
07,0' =i
''''
18'18''18'18
ii
aa
ii
aa iiii
−
−=
−
−¬¬¬¬
07,0
100591,10
07,008,0
3719,90591,10
−
−=
−
−
i
De donde despejamos el valor de i, que resulta %08,7=i
��
EJERCICIO 1:
El señor Previsor ha conseguido vender un apartamento por 120.000 €. Decide invertir ese importe en una entidad financiera a cambio de recibir una renta constante al final de cada año, durante los 18 años que le restan hasta alcanzar su jubilación. La entidad financiera le ofrece un interés del 3,5% anual.
c) Si no encontrara ninguna entidad financiera que le ofreciera el interés calculado en el apartado b) y decide trabajar con el interés del 3,5% que le ofrece la primera entidad, cuántas extracciones anuales de 12,000 euros podría obtener?
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
0 3 n
120.000
2 1 n-1
a
4 5 6
a a aa
035,0
)035,01(112000120000
n−+−
×=
n = 12,5222398 años
aaa
inaaA ¬×=
65,0ln035,1ln =×− n
035,1ln
65,0ln−=n
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
n−+−= )035,01(135,0 65,0)035,01( =+
− n
65,0ln035,1ln =− n
��
EJERCICIO 1:
El señor Previsor ha conseguido vender un apartamento por 120.000 €. Decide invertir ese importe en una entidad financiera a cambio de recibir una renta constante al final de cada año, durante los 18 años que le restan hasta alcanzar su jubilación. La entidad financiera le ofrece un interés del 3,5% anual.
d) En caso de que se trate de un número de extracciones no enteras, calcular cómo y cuando agotaría los 120.000 euros.
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
0 3 n
120.000
2 1 12
a
4 5 6
a a a
035,0
)035,01(112000120000
12−+−
×≠
aaa
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
12,52
C
5222398,1212
)035,01(035,0
)035,01(112000120000 −
−
+++−
×= C
€37,215.6=C
�
EJERCICIO 1:
El señor Previsor ha conseguido vender un apartamento por 120.000 €. Decide invertir ese importe en una entidad financiera a cambio de recibir una renta constante al final de cada año, durante los 18 años que le restan hasta alcanzar su jubilación. La entidad financiera le ofrece un interés del 3,5% anual.
d) Calcule el valor de la extracción complementaria si se realizara al año de la última extracción de 12.000 euros.
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
0 3 13
120.000
2 1 12
a
4 5 6
a a a
035,0
)035,01(112000120000
12−+−
×≠
aaa
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
C
1312
)035,01(035,0
)035,01(112000120000 −
−
+++−
×= C
€36,318.6=C
�
EJERCICIO 1:
El señor Previsor ha conseguido vender un apartamento por 120.000 €. Decide invertir ese importe en una entidad financiera a cambio de recibir una renta constante al final de cada año, durante los 18 años que le restan hasta alcanzar su jubilación. La entidad financiera le ofrece un interés del 3,5% anual.
e) Calcule el valor de la extracción complementaria si se realizara junto con la última extracción de 12.000 euros.
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
0 3 13
120.000
2 1 12
a
4 5 6
a a a
035,0
)035,01(112000120000
12−+−
×≠
aaa
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
1212
)035,01(035,0
)035,01(112000120000 −
−
+++−
×= C
€70,104.6=C
+C
��
EJERCICIO 1:
El señor Previsor ha conseguido vender un apartamento por 120.000 €. Decide invertir ese importe en una entidad financiera a cambio de recibir una renta constante al final de cada año, durante los 18 años que le restan hasta alcanzar su jubilación. La entidad financiera le ofrece un interés del 3,5% anual.
f) Calcule el valor de la extracción complementaria si la cobrara en el momento inicial.
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
0 3 13
120.000
2 1 12
a
4 5 6
a a a
035,0
)035,01(112000120000
12−+−
×≠
aaa
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
C++−
×=−
035,0
)035,01(112000120000
12
€99,039.4=C
C
��
PROBLEMAS DE RENTAS DISCRETASRentas Constantes II
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
EJERCICIO 2:
Queremos comprar una maquinaria para nuestra empresa y consultamos con tres proveedores diferentes. Cada uno de ellos nos propone una forma de pago diferente. Compare la opción más favorable utilizando un porcentaje de valoración del 5%.
a) El proveedor A nos propone financiar la compra en 14 pagos constantes de 5,000 euros, el primero de ellos al final del primer año.
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
Para poder comparar las diferentes opciones de compra debo calcular el valor de cada una de ellas en el mismo momento, para poder así compararlas. Es decir, debo calcular el valor actual de cada renta.
��
0142 1 134
iaaA ¬×= 14
05,0
)05,01(1000.5
14−+−
×=A
A = 49.493,20 Euros
5.000
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
3
5.000 5.000 5.000 5.000 5.000
EJERCICIO 2:
Queremos comprar una maquinaria para nuestra empresa y consultamos con tres proveedores diferentes. Cada uno de ellos nos propone una forma de pago diferente. Compare la opción más favorable utilizando un porcentaje de valoración del 5%.
b) El proveedor B nos propone un pago inicial del 15,000 euros y siete pagos anuales de 6,500 euros. El primero de ellos, tres años después de la compra
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
��
092 1 84
2
7 )1(000.15 −
¬ +×+= ixaaA i
27
)05,01(05,0
)05,01(1500.6000.15
−−
++−
×+= xA
A = 49.114,67 Euros
15.000
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
3
6.500 6.500 6.500 6.500
5
6.500
7
6.500
6
6.500
EJERCICIO 2:
Queremos comprar una maquinaria para nuestra empresa y consultamos con tres proveedores diferentes. Cada uno de ellos nos propone una forma de pago diferente. Compare la opción más favorable utilizando un porcentaje de valoración del 5%.
c) El proveedor C nos financia la compra de la maquinaria mediante 8 pagos anuales constantes de 7,300 euros, el primero de ellos al momento de la compra.
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
��
082 1 4
)1(8 ixaaA i +×= ¬
)05,01(05,0
)05,01(1300.7
8
++−
×=
−
xA
A = 49.540,53 Euros
7.300
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
3
7.300 7.300
5
7.300
7
7.300
6
7.3007.300 7.300
EJERCICIO 3:
El señor Fortunato ha heredado de su abuelo una finca rústica. Como no sabe nada de campo, decide vender la finca a una empresa agrícola interesada. Si el porcentaje de valoración es del 3% y los rendimientos de la finca se estiman en 16.000 euros anuales, calcule el importe que el señor Fortunato pedirá por dicha finca.
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
��
02 1 4
i
aA =∞
03,0
000.16=
∞A
A = 533.333,33 Euros
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
3
16.000 16.00016.000 16.000
∞
EJERCICIO 4:
Plantee la equivalencia que permita calcular el valor actual y final de las siguientes rentas:
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
0102 1 84 3
a
5 76
aa
9
2a 2a 2a 2a 2a 3a 3a
R1 R2 R3
321 RRR AAAA ++=
i
82
353
)1()1(1
3)1()1(1
2)1(1 −
−−
−−
+⋅+−
⋅++⋅+−
⋅++−
⋅= ii
iai
i
ia
i
iaA
��
EJERCICIO 4:
Plantee la equivalencia que permita calcular el valor actual y final de las siguientes rentas:
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
0102 1 84 3
a
5 76
aa
9
2a 2a 2a 2a 2a 3a 3a
R1 R2 R3
321 RRR SSSS ++=
i
i
iai
i
iai
i
iaS
1)1(3)1(
1)1(2)1(
1)1( 22
57
3−+
⋅++⋅−+
⋅++⋅−+
⋅=
EJERCICIO 4:
Plantee la equivalencia que permita calcular el valor actual y final de las siguientes rentas:
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
0102 1 84 3
a
5 76
aa
9
a a a a a a a
R1 R2
21 RR AAA +=
i’
555
)1('
)'1(1)1(1 −−−
+⋅+−
⋅++−
⋅= ii
ia
i
iaA
i
��
EJERCICIO 4:
Plantee la equivalencia que permita calcular el valor actual y final de las siguientes rentas:
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
0102 1 84 3
a
5 76
aa
9
a a a a a a a
R1 R2
21 RR SSS +=
i’
'
1)'1()'1(
1)1( 55
5
i
iai
i
iaS
−+⋅++⋅
−+⋅=
i
EJERCICIO 4:
Plantee la equivalencia que permita calcular el valor actual y final de las siguientes rentas:
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
0102 1 84 3
a
5 76
aa
9
2a 2a 2a 2a 2a 3a 3a
R1 R2 R4
4321 RRRR AAAAA +++=
532
53
323
)1()'1('
)'1(13)1(
'
)'1(12)1(
)1(12
)1(1 −−−
−−
−−−
+⋅+⋅+−
⋅++⋅+−
⋅++⋅+−
⋅++−
⋅= iii
iai
i
iai
i
ia
i
iaA
i’i
R3
�
EJERCICIO 4:
Plantee la equivalencia que permita calcular el valor actual y final de las siguientes rentas:
www.clasesuniversitarias.com RENTAS CONSTANTES. PROBLEMAS
0102 1 84 3
a
5 76
aa
9
2a 2a 2a 2a 2a 3a 3a
R1 R2 R4
4321 RRRR SSSSS +++=
'
1)'1(3)'1(
'
1)'1(2)'1(
1)1(2)'1()1(
1)1( 22
35
252
3
i
iai
i
iai
i
iaii
i
iaS
−+⋅++⋅
−+⋅++⋅
−+⋅++⋅+⋅
−+⋅=
i’i
R3
TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS Rentas Variables en Progresión
Aritmética (teoría)
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
RENTAS VARIABLES EN PROG. ARITMÉTICA
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*�-*?:*L"���>�(?Q_?�3:B>�*?:@CK@:�*��.��?*AB>�1(2�<�(?:C�?�@K?C:>Q�1�2��*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*"
�3 �4 �9 :!!! ��;3 ��
8 3 4 9 �;3 �
����� ��
�� ��
�� ���
�� �������
�� �������
n
n
n
n iaiaiaiaiaA −−−
−
−−−+⋅++⋅+++⋅++⋅++⋅= )1()1()1()1()1( )1(
1
3
3
2
2
1
1 �
nnipnaipnaipaipaiaA
−−−−−−+⋅−+++⋅⋅−++++⋅+++⋅+++⋅= )1())1(()1())2(()1()2()1()()1(
)1(321�
3�� ������� ���� ����� ��� ���� ���� �� ���� � ����� � �����#��� � �� ���� ������� ��� �� � �� ���%��� �� ���� � ����� � ���� � �� ���� �� �� � ������H
www.clasesuniversitarias.com
�
RENTAS VARIABLES EN PROG. ARITMÉTICA
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*�-*?:*L"���>�(?Q_?�3:B>�*?:@CK@:�*��.��?*AB>�1(2�<�(?:C�?�@K?C:>Q�1�2��*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*"
� �<� �<4� :!!! �<,�;4-� �<,�;3-�
8 3 4 9 �;3 �
(�� ������ ���� � ������ �� ���� � ��� �� � ���� ������ �)� ����� � ���� % �� �� ����H
� � � :!!! � �
8 3 4 9 �;3 �
� � :!!! � �
8 3 4 9 �;3 �� :!!! � �
8 3 4 9 �;3 �
� �
8 3 4 9 �;3 �
�
8 3 4 9 �;3 �
?+
?,
?8
?�D+
?�
inaaA ¬⋅=1
1
12 )1(−
¬− +⋅⋅= iapA in
2
22 )1(−
¬− +⋅⋅= iapA in
)2(
)2(1 )1( −−
¬−−− +⋅⋅=n
innn iapA
)1(
)1( )1( −−
¬−− +⋅⋅=n
innn iapA
www.clasesuniversitarias.com
RENTAS VARIABLES EN PROG. ARITMÉTICA
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*�-*?:*L"���>�(?Q_?�3:B>�*?:@CK@:�*��.��?*AB>�1(2�<�(?:C�?�@K?C:>Q�1�2��*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*"
. ��� ����� � � ����� � ���� � �� ���� ������� � �������� �����$�� � �� ����� � �� ��� � ������� � ���� � ��� ��� � �� ���� ������ � � � � ������ �� ������H
nn AAAAAA +++++= −1321 ...
)1(
)1(
)2(
)2(
2
2
1
1 )1()1(...)1()1(−−
¬−−
−−
¬−−
−
¬−
−
¬−¬ +⋅⋅++⋅⋅+++⋅⋅++⋅⋅+⋅=n
inn
n
innininin iapiapiapiapaaA
)1())1((
)2())2((
2)2(
1)1(
)1()1(1
)1()1(1
...)1()1(1
)1()1(1 −−
−−−−−
−−−−
−−−
−−
¬ +⋅+−
⋅++⋅+−
⋅+++⋅+−
⋅++⋅+−
⋅+⋅=n
nnn
nnnn
in ii
ipi
i
ipi
i
ipi
i
ipaaA
3�����)� �� ������� ��/� ��� � �����H
(�� ������� ��� �����)� ���) ���������� ��� �1)1( −+ i 1)1( −
+= iv
)1())1((
)2())2((
2)2(
1)1( 11
...11 −
−−−
−−−−
¬ ⋅−
⋅+⋅−
⋅++⋅−
⋅+⋅−
⋅+⋅=n
nnn
nnnn
in vi
vpv
i
vpv
i
vpv
i
vpaaA
www.clasesuniversitarias.com
�
RENTAS VARIABLES EN PROG. ARITMÉTICA
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*�-*?:*L"���>�(?Q_?�3:B>�*?:@CK@:�*��.��?*AB>�1(2�<�(?:C�?�@K?C:>Q�1�2��*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*"
3� ���� �� ��� ���� H
( ) ( ) ( ) ( )[ ])1())1(()2())2((2)2()1( 11...11 −−−−−−−−
¬ ⋅−+⋅−++⋅−+⋅−⋅+⋅=nnnnnnnn
in vvvvvvvvi
paaA
C������� ���� �� ���$��� H
( ) ( ) ( ) ( )[ ]nnnnnn
in vvvvvvvvi
paaA −+−++−+−⋅+⋅=
−−
¬
)1()2(2 ...
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]nnnnnnnn
in vvvvvvvvvvi
paaA −+−+−++−+−⋅+⋅=
−−
¬
)1()2(2 ...
?��������H�
( ) ( )[ ]nnnnnnn
in vvvvvvvvvvi
paaA ++−++−+++++⋅+⋅=
−
¬ ...... )1(32
( )[ ]nnn
in vnvvvvvi
paaA ⋅−+++++⋅+⋅=
−
¬
)1(32 ...
�C�DDD
www.clasesuniversitarias.com
RENTAS VARIABLES EN PROG. ARITMÉTICA
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*�-*?:*L"���>�(?Q_?�3:B>�*?:@CK@:�*��.��?*AB>�1(2�<�(?:C�?�@K?C:>Q�1�2��*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*"
(�� ���� ����H
in
nnnn aiiiiivvvvv ¬
−−−−−−−=++++++++++=+++++ )1()1(...)1()1()1(... )1(321)1(32
(�� �����H
[ ]n
inin vnai
paaA ⋅−⋅+⋅= ¬¬
1)1( −+= iv����
��� 1&����� �������� �� 6���� �� � �+������ ������� 6����"��� �� ���*����&� �����+���� �� ��%&� � � �� ���'��� ����� ���1������ �� ������ ��*�= �� ���� ����= �� �>� 8
@����� � ���� �� �������� ���� ����� ���� �� �� ������� � �� ���� �������� �������� ) ��� ������� ��������� ) ��������
www.clasesuniversitarias.com
�
RENTAS VARIABLES EN PROG. ARITMÉTICA
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*�-*?:*L"���>�(?Q_?�3:B>�*?:@CK@:�*��.��?*AB>�1(2�<�(?:C�?�@K?C:>Q�1�2��*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*"
?� �� �� ����� ������ �� ���� � ������ ��� ����� �������� ��� � �������#���� � ����� � �������� � ������ � ���� �� ���� � ����� ����� � �� �����
(�� �����H
[ ] nn
inin
nivna
i
paaiAS )1()1( +⋅�
�
��
�⋅−⋅+⋅=+⋅= ¬¬
1)1( −+= iv����
��� 1&����� �������� �� 6���� �� � �+������ ������� 6����"��� �� ���*����&� �����+���� �� ��%&� � �� ������� �� �� 0��6���� �� $����� �+�����= �� ���� ����= �� ������� �
@����� � ���� �� �������� ���� ����� ���� �� �� ������� � �� ���� �������� �������� ) ��� ������� ��������� ) ��������
[ ] [ ]nnn
inin
nn
in
n
in ivniai
psaivna
i
piaaS )1()1()1()1( +⋅−+⋅⋅+⋅=+⋅−⋅++⋅= ¬¬¬¬
[ ]nsi
psaS inin −⋅+⋅= ¬¬
www.clasesuniversitarias.com
RENTAS VARIABLES EN PROG. ARITMÉTICA
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*�-*?:*L"���>�(?Q_?�3:B>�*?:@CK@:�*��.��?*AB>�1(2�<�(?:C�?�@K?C:>Q�1�2��*>N*"��%���+�%*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*"
[ ] dn
inin ivnai
paaA −
¬¬ +⋅��
��
�⋅−⋅+⋅= )1(
1)1( −+= iv����
a+(n-2)p a+(n-1)p
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
a+pa ........
)()1( ndiAS ++⋅=
www.clasesuniversitarias.com
�
RENTAS VARIABLES EN PROG. ARITMÉTICA
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*�-*?:*L"���>�(?Q_?�3:B>�*?:@CK@:�*��.��?*AB>�1(2�<�(?:C�?�@K?C:>Q�1�2��*>N*"��:>C�.:*@*���+��*R*�� <�@�C(Q?*"
[ ] )1( ivnai
paaA n
inin +⋅��
��
�⋅−⋅+⋅= ¬¬
1)1( −+= iv����
niAS )1( +⋅=
a+pa a+(n-1)p .......
0 1 2 nn-1
www.clasesuniversitarias.com
RENTAS VARIABLES EN PROG. ARITMÉTICA
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*�-*?:*L"���>�(?Q_?�3:B>�*?:@CK@:�*��.��?*AB>�1(2�<�(?:C�?�@K?C:>Q�1�2��*>N*"��%���+�%*���+��*R*��<�@�C(Q?*"
[ ] )1()1( −−
¬¬ +⋅��
��
�⋅−⋅+⋅=
dn
inin ivnai
paaA
1)1( −+= iv����
a+(n-1)p
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
a+pa ........
)()1( ndiAS ++⋅=
www.clasesuniversitarias.com
�
RENTAS VARIABLES EN PROG. ARITMÉTICA
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*�-*?:*L"���>�(?Q_?�3:B>�*?:@CK@:�*��.��?*AB>�1(2�<�(?:C�?�@K?C:>Q�1�2��*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<���+���1*
[ ] [ ]n
ninninn
n
ininn vnLimaLimi
paaLimvna
i
paaLimA ⋅−⋅+⋅=�
�
��
�⋅−⋅+⋅= ∞→¬∞→¬∞→¬¬∞→∞
� �<� �<4� :!!!
8 3 4 9
iii
iLim
i
iLimaLim
nnn
ninn
101)1(
11
)1(1=
−=
+−
=+−
=
∞→−
∞→
¬∞→
∞
∞=
+=+⋅=⋅ ∞→
−
∞→∞→ nn
n
n
n
ni
nLiminLimvnLim
)1()1(
*��� ���� � ������� � 3���#� ��� � ����� �)1()(
)1()(
)(
)(,
)(
)(
−−
−−=
∞
∞= ∞→∞→∞→
nbnb
nanaLim
nb
naLim
nb
naLim nnn
( )[ ]0
1
11)1(
1
)1()1(
)1(
)1( )1()1(=
∞=
−+⋅+=
+−+
−−=
+−∞→−∞→∞→
iiLim
ii
nnLim
i
nLim
nnnnnnn
www.clasesuniversitarias.com
RENTAS VARIABLES EN PROG. ARITMÉTICA
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*�-*?:*L"���>�(?Q_?�3:B>�*?:@CK@:�*��.��?*AB>�1(2�<�(?:C�?�@K?C:>Q�1�2��*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<���+���1*
[ ] ��
��
�−+=⋅−⋅+⋅= ∞→¬∞→¬∞→∞ 0
1
ii
p
i
avnLimaLim
i
paaLimA n
ninninn
3� �� ���� ������ ���� ��������H��
(�� �����H
2i
p
i
aA +=∞
)1(2
ii
p
i
aA +⋅�
�
��
�+=∞
3� �� ���� ������ ���� �������H�� dii
p
i
aA −
∞ +⋅��
��
�+= )1(
2
www.clasesuniversitarias.com
�
TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS Rentas Variables en Progresión
Geométrica (teoría)
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*�-*?:*L"���>�(?Q_?�3:B>�_�QCK@?:�*��.��?*AB>�1 2�<�(?:C�?�@K?C:>Q�1�2��*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*"
�3 �4 �9 :!!! ��;3 ��
8 3 4 9 �;3 �
�����
n
n
n
n iaiaiaiaiaA −−−
−
−−−+⋅++⋅+++⋅++⋅++⋅= )1()1()1()1()1( )1(
1
3
3
2
2
1
1 �
nnnniqaiqaiqaiqaiaA
−−−−−−−−+⋅⋅++⋅⋅+++⋅⋅++⋅⋅++⋅= )1()1()1()1()1(
1)1(23221�
aa =1
qaa ⋅=22
3 qaa ⋅=1−
⋅=k
k qaa
1−⋅=
n
n qaa
nnnn vqavqavqavqavaA ⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+⋅=−−− 112322
�
(�� ������� ��� �����)� ���) ���������� ��� �1)1( −+ i 1)1( −
+= iv
www.clasesuniversitarias.com
�
3� ���� �� ��� ����H
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*�-*?:*L"���>�(?Q_?�3:B>�_�QCK@?:�*��.��?*AB>�1(2�<�(?:C�?�@K?C:>Q�1�2��*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*"
( )1122221 −−−−⋅+⋅++⋅+⋅+⋅⋅=
nnnn vqvqvqvqvaA �
3 ����� � ��� �������� ���$��� �� ���� �)� ��� � ����� ��� � �� ������ �����&
(���� @$����� �(@�
]����� @$����� �N@�
?�#�� �?�
<� � �� ��� � �� �������� ���$��� � & −
−×=
1R
PTRUTPG
1=PT11 −−
⋅=nn vqUT
vqR ⋅=
=−⋅
−⋅⋅⋅=
−−
1
111
vq
vqvqPG
nn
−⋅
−⋅=
1
1
vq
vqPG
nn
www.clasesuniversitarias.com
(�� �� ������
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*�-*?:*L"���>�(?Q_?�3:B>�_�QCK@?:�*��.��?*AB>�1(2�<�(?:C�?�@K?C:>Q�1�2��*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*"
1
1
−⋅
−⋅⋅⋅=
vq
vqvaA
nn
3���� � 1≠⋅vq
)1(1)1(
1)1(1 1 iqi
qiqvq +≠⇔≠
+⇔≠+⋅⇔≠⋅
−
)1( iq +≠
3� � ��� �� ��������� � ��� � ������ � �� ������� �������&1=⋅vq
( )1122221 −−−−⋅+⋅++⋅+⋅+⋅⋅=
nnnn vqvqvqvqvaA �
( ) nvavaA nn⋅⋅=+++++⋅⋅=
−− 122 11111 �
www.clasesuniversitarias.com
�
@���� ��� ������ �� ������� ������� ���� � ����� � ���� � ��� ���� ������� � �����������$��� �
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*�-*?:*L"���>�(?Q_?�3:B>�_�QCK@?:�*��.��?*AB>�1(2�<�(?:C�?�@K?C:>Q�1�2��*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*"
1
1
−⋅
−⋅⋅⋅
vq
vqva
nn
3���� � 1≠⋅vq )1( iq +≠
nva ⋅⋅ 3���� � 1=⋅vq )1( iq +==A
��� 1&����� �������� �� 6���� �� � �+������ ������� 6����"��� �� ���*����&� *���+����� �� ��%&� 0 � �� ���'��� ����� ���1������ �� ������ ��*�= �� ���� ����= �� �>� 8
@����� � ���� �� �������� ���� ����� ���� �� �� ������� � �� ���� �������� �������� ) ��� ������� ��������� ) ��������
www.clasesuniversitarias.com
?� �� �� ����� ������ �� ���� � ������ ��� ����� �������� ��� � �������#���� � ����� � �������� � ������ � ���� �� ���� � ����� ����� � �� �����
(�� �����H
1
)1()1(
1
1)1(
−⋅
+−⋅⋅=+⋅
−⋅
−⋅⋅⋅=+⋅=
vq
iqvai
vq
vqvaiAS
nnn
nnn
��� 1&����� �������� �� 6���� �� � �+������ ������� 6����"��� �� ���*����&� �����+���� �� ��%&� � �� ������� �� �� 0��6���� �� $����� �+�����= �� ���� ����= �� ������� �
@����� � ���� �� �������� ���� ����� ���� �� �� ������� � �� ���� �������� �������� ) ��� ������� ��������� ) ��������
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*�-*?:*L"���>�(?Q_?�3:B>�_�QCK@?:�*��.��?*AB>�1(2�<�(?:C�?�@K?C:>Q�1�2��*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*"
3���� � )1( iq +≠
nninvaiAS )1()1( +⋅⋅⋅=+⋅= 3���� � )1( iq +≠
www.clasesuniversitarias.com
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*�-*?:*L"���>�(?Q_?�3:B>�_�QCK@?:�*��.��?*AB>�1(2�<�(?:C�?�@K?C:>Q�1�2��*>N*"��%���+�%*��(Q3@(*_*L"��<�@�C(Q?*"
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
........
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
2−naq 1−naqaqa
dnn
ivq
vqva −
+⋅−⋅
−⋅⋅⋅ )1(
1
1 3���� � 1≠⋅vq )1( iq +≠
dinva −+⋅⋅⋅ )1(
3���� � 1=⋅vq )1( iq +==A
niAS )1( +⋅=
www.clasesuniversitarias.com
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*�-*?:*L"���>�(?Q_?�3:B>�_�QCK@?:�*��.��?*AB>�1(2�<�(?:C�?�@K?C:>Q�1�2��*>N*"��:>C�.:*@*���+��*R*�� <�@�C(Q?*"
.......
0 1 2 nn-1
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
2−naq 1−naqaqa
)1(1
1i
vq
vqva
nn
+⋅−⋅
−⋅⋅⋅ 3���� � 1≠⋅vq )1( iq +≠
)1( inva +⋅⋅⋅3���� � 1=⋅vq )1( iq +=
=A
niAS )1( +⋅=
www.clasesuniversitarias.com
�
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*�-*?:*L"���>�(?Q_?�3:B>�_�QCK@?:�*��.��?*AB>�1(2�<�(?:C�?�@K?C:>Q�1�2��*>N*"��%���+�%*���+��*R*��<�@�C(Q?*"
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
........
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
2−naq
1−naqaqa
)1()1(1
1 −−+⋅
−⋅
−⋅⋅⋅
dnn
ivq
vqva 3���� � 1≠⋅vq )1( iq +≠
)1()1( −−+⋅⋅⋅
dinva3���� � 1=⋅vq )1( iq +=
=A
niAS )1( +⋅=
www.clasesuniversitarias.com
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*�-*?:*L"���>�(?Q_?�3:B>�_�QCK@?:�*��.��?*AB>�1(2�<�(?:C�?�@K?C:>Q�1�2��*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<���+���1*
8 3 4 9
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
aqa 2aq
1
1
−⋅
−⋅⋅⋅∞→
vq
vqvaLim
nn
n3���� � 1≠⋅vq )1( iq +≠
nvaLimn ⋅⋅∞→
3���� � 1=⋅vq )1( iq +=ALimA n ∞→∞ =
∞=⋅⋅∞→ nvaLimn
1
1)1(
1
1
1
1
−⋅
−+
⋅⋅=−⋅
−⋅⋅⋅=
−⋅
−⋅⋅⋅
∞→
∞→
∞→vq
i
qLim
vavq
vqLimva
vq
vqvaLim
n
n
nnn
nnn
n
=+
∞→ n
n
ni
qLim
)1(
3� ∞=+
→+ ∞→ n
n
ni
qLimiq
)1()1(�
3� 0)1(
)1( =+
→+ ∞→ n
n
ni
qLimiq �
www.clasesuniversitarias.com
��
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*�-*?:*L"���>�(?Q_?�3:B>�_�QCK@?:�*��.��?*AB>�1(2�<�(?:C�?�@K?C:>Q�1�2��*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<���+���1*
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
∞= 3���� � )1( iq +�
∞=3���� � )1( iq +=
ALimA n ∞→∞ =
(�� ������
qi
a
iq
a
i
iq
i
a
i
q
i
a
vq
av
vqva
vq
i
qLim
vaLimn
n
n
n−+
=+−
−=
+
+−
+
−
=
−+
+
−
=−⋅
−=
−⋅
−⋅⋅=
−⋅
−+
⋅⋅=
∞→
∞→1)1(
)1(
)1(
)1(
1)1(
)1(
11
10
1
1)1(
qi
a
−+=
1
3���� � )1( iq +�
www.clasesuniversitarias.com
-*"Q?*�:B>�.��N>*�?�>@*�-*?:*L"���>�(?Q_?�3:B>�_�QCK@?:�*��.��?*AB>�1(2�<�(?:C�?�@K?C:>Q�1�2��*>N*"��:>C�.:*@*��(Q3@(*_*L"��<���+���1*
3� �� ���� ������ ���� ��������H��
(�� �����H
)1(1
iqi
aA +⋅
−+=∞
3� �� ���� ������ ���� �������H��di
qi
aA −
∞ +⋅−+
= )1(1
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
qi
aA
−+=∞
13� )1( iq +�
www.clasesuniversitarias.com
��
PROBLEMAS DE RENTAS DISCRETASRentas Variables
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
EJERCICIO 1:
Acabo de comenzar mis estudios de Administración de Empresas en la Universidad Pablo de Olavide de Sevillaynecesito ahorrar dinero para pagar un Master en un país extranjero que cursaré dentro de cuatro años, cuando finalice el grado. El coste del Master es de 30,000 euros.
Una entidad financiera me ofrece dos opciones de inversión, ambas a un tipo de interés anual del 3%
Primera: Un pago anual creciente en 500 euros cada año.
Segunda: Un pago anual creciente acumulativamente en un 4%
www.clasesuniversitarias.com RENTAS VARIABLES. PROBLEMAS
a) Qué cantidad debo pagar el primer y último año en la Primera Opción?
��
0 1 542 3
a+p a+2p a+4pa+3p
a = 4.680,14 euros
)]([ n
inin vnai
paaA ×−×+×= ¬¬
5555
)03,1()])03,1(503,0
)03,1(1(
03,0
500
03,0
)03,1(1[30000 ××−
−×+
−×=
−−−
a
a
))1(( 1−+= iv
niAS )1( +⋅=
30,000€
a+4p = 6.680,14 euros
www.clasesuniversitarias.com RENTAS VARIABLES. PROBLEMAS
EJERCICIO 1:
Acabo de comenzar mis estudios de Administración de Empresas en la Universidad Pablo de Olavide de Sevillaynecesito ahorrar dinero para pagar un Master en un país extranjero que cursaré dentro de cuatro años, cuando finalice el grado. El coste del Master es de 30,000 euros.
Una entidad financiera me ofrece dos opciones de inversión, ambas a un tipo de interés anual del 3%
Primera: Un pago anual creciente en 500 euros cada año.
Segunda: Un pago anual creciente acumulativamente en un 4%
www.clasesuniversitarias.com RENTAS VARIABLES. PROBLEMAS
b) Qué cantidad debo pagar el primer y último año en la Segunda Opción?
��
0 1 542 3
5
1
551 )03,1(]
1)03,01()04,1(
1)03,01()04,1()03,01([30000 ×
−+⋅
−+⋅⋅+⋅=
−
−−a
))1(( 1−+= iv
niAS )1( +⋅=
30,000€
1
1
−⋅
−⋅⋅⋅=
vq
vqvaA
nn
a aq2aq 3aq 4aq
Como q=1,04 y 1+i=1,03…
eurosa 41,528.5= eurosaq 50,116.64=
www.clasesuniversitarias.com RENTAS VARIABLES. PROBLEMAS
EJERCICIO 2:
Tras el fallecimiento de mi tío Ruperto, recibimos en herencia mi hermano y yo dos fincas rústicas.Ambas generan unos beneficios anuales de 15,000 euros el primer año. Sin embargo se estima que los beneficios de
la primera se incrementen cada año en 1,500 euros, mientras que en la segunda se incrementarán cada año de forma acumulativa en un 2%.
Con qué finca rústica elegirías quedarte?
www.clasesuniversitarias.com RENTAS VARIABLES. PROBLEMAS
��
0 1 42 3
2025,0
500.1
025,0
000.15+=∞A
2i
p
i
aA +=∞
a pa + pa 2+ pa 3+
eurosA 000.300=∞
Finca 1:
∞
000.15=a
500.1=p
%5,2=i
www.clasesuniversitarias.com RENTAS VARIABLES. PROBLEMAS
0 1 42 3
02,1025,01
000.15
−+=∞A
qi
aA
−+=∞
1
a qa ⋅2qa ⋅
eurosA 000.300=∞
Finca 2:
∞
000.15=a
02,1=q
%5,2=i
3qa ⋅
)1( qi �+
www.clasesuniversitarias.com RENTAS VARIABLES. PROBLEMAS
��
TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS Rentas Fraccionadas (teoría)
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
-*"Q?*�:B>�.��?�>@*3�=?*��:Q>*.*3��Q>3@*>@�3
N�� ���� ��� ������ ��� ���#� ��� � � �$����� ���� ��� ������ ���� ������� �� �9�� )�� ������ � ������� �� �9��
aa aa a……………………….
0 1/k 2/k 3/k (k-1)/k 1 1+1)/k
……………………….
������ ���� � �� ���� � ����� � ���� ) � ����� ����� � �� ���� �� ����� ������ � ������������� ��� � � ���� � ����$ ����� �� � ��� ��� �������� �� ���� � �� ������� � ���� ����� � ���� � ������� ���� ���� ���� � @A���� ����
RENTAS FRACCIONADASwww.clasesuniversitarias.com
��
-*"Q?*�:B>�.��?�>@*3�=?*��:Q>*.*3��Q>3@*>@�3
"���� ���� ������������������������� ����������� � �����������)����������� ����� ���� ���������������� ����@A���� ����M �
3��$ ���� ��# � � �� ����������������������������������� ������&
3��$ ���� �� � � �� ����������������������������������� ������&
k
kn
kink
i
iaaaA
k
⋅−
¬
+−⋅=⋅=
)1(1
k
kn
kink
i
iasaS
k
1)1( −+⋅=⋅=
⋅
¬
RENTAS FRACCIONADASwww.clasesuniversitarias.com
-*"Q?*�:B>�.��?�>@*3�=?*��:Q>*.*3��Q>3@*>@�3
3�����������������������$�MD���� ��������������MD����H
3�����������������������$���������������������MD����H
k
kii )1()1( +=+
3�����������������������$�MZD���� ��������������MD����H
1)1(
'
' −+= k
k
kk ii
kinkaaA ¬⋅=kinksaS ¬⋅=
RENTAS FRACCIONADAS
1)1(
1
−+= kk ii
k
k
k
k ii )1()1( '
' +=+
www.clasesuniversitarias.com
��
-*"Q?*�:B>�.��?�>@*3�=?*��:Q>*.*3�-*?:*L"�3��>�(?Q_?�3:B>�*?:@CK@:�*
*&�3 �< ����������@A���� � ���������@A���� � �������������� ����)���
[ ]nk
ink
k
ink vnkai
paaA
kk⋅−⋅+⋅= ¬¬
1)1( −+= kiv����
nnk
k iAiAS )1()1( +⋅=+⋅=
0 1 /k
a+(k-2)pa a+p a+2p
2/k 3/k k-1/k 1 1 /k 2/k 3/k k-1/k 1 /k
a+(nk-2)pa+(nk-3)p
2/k 3/k k-1/k
a+(nk-1)p
n2
RENTAS FRACCIONADASwww.clasesuniversitarias.com
-*"Q?*�:B>�.��?�>@*3�=?*��:Q>*.*3�-*?:*L"�3��>�(?Q_?�3:B>�*?:@CK@:�*
&���������� �������������@A���� � !�$ �< ����� 9����� 9���������������� ����)���
0 1 /k
a a a+pa a a
2/k 3/k k-1/k 1 1 /k 2/k 3/k k-1/k 1 /k
a+(n-1)p
2/k 3/k k-1/k n2
a+p a+p a+p a+p a+(n-1)pa+2p
n-1
a+(n-2)p
������������������������������������� ��������������������������� �� ����������������������� ���������MD����
0 1 /k
S1
2/k 3/k k-1/k 1 1 /k 2/k 3/k k-1/k 1 /k 2/k 3/k k-1/k n2 n-1
S2 Sn-1 Sn
3�����kiksaS ¬⋅=1
kikspaS ¬⋅+= )(2
kikspaS ¬⋅+= )2(3
kikn spnaS ¬⋅−+= ))1((
kiksaS ¬⋅=1
kk ikik spsaS ¬¬ ⋅+⋅=2
kk ikik spsaS ¬¬ ⋅+⋅= 23
kk ikikn spnsaS ¬¬ ⋅−+⋅= )1(
RENTAS FRACCIONADASwww.clasesuniversitarias.com
�
-*"Q?*�:B>�.��?�>@*3�=?*��:Q>*.*3�-*?:*L"�3��>�(?Q_?�3:B>�*?:@CK@:�*
&���������� �������������@A���� � !�$ �< ����� 9����� 9���������������� ����)���
3���� �������������������������X
kiksaS ¬⋅=1
kk ikik spsaS ¬¬ ⋅+⋅=2
kk ikik spsaS ¬¬ ⋅+⋅= 23
kk ikikn spnsaS ¬¬ ⋅−+⋅= )1(
aS =1
paS +=2
paS 23 +=
pnaSn )1( −+=
*������������������������������������$�� �H
"�������������?-(*����������$������1�2�)��� ����1�2
"��������������?-(*����������$�������������������)��� ���kiksa ¬⋅
kiksp ¬⋅
RENTAS FRACCIONADASwww.clasesuniversitarias.com
-*"Q?*�:B>�.��?�>@*3�=?*��:Q>*.*3�-*?:*L"�3��>�(?Q_?�3:B>�*?:@CK@:�*
&���������� �������������@A���� � !�$ �< ����� 9����� 9���������������� ����)���
(������������������� ���������������������������� ����������������������������������������������$�� ��1����2
[ ]n
inin vnai
paaA ⋅−⋅+⋅= ¬¬
<���������� ������������������%����������������������������� ���������������$�����)����� ���
kiksa ¬⋅
kiksp ¬⋅
[ ]n
in
ik
inik vnai
spasaA k
k⋅−⋅
⋅+⋅⋅= ¬
¬
¬¬
3� ������� ���� ����������������� ����%�&kiks ¬
[ ]kik
n
inin svnai
paaA ¬¬¬ ⋅
��
�
�
��
�
⋅−⋅+⋅=
RENTAS FRACCIONADASwww.clasesuniversitarias.com
��
-*"Q?*�:B>�.��?�>@*3�=?*��:Q>*.*3�-*?:*L"�3��>�(?Q_?�3:B>�*?:@CK@:�*
&���������� �������������@A���� � !�$ �< ����� 9����� 9���������������� ����)���
(�����������������������������������9�����9��)� ������������ �����������MD���� ����������������
+���QCQ�3:�3��@?*@*?*�.��N>*�?�>@*�*>N*"�-*?:*L"���>�(?Q_?�3:B>�*?:@CK@:�*
,���QCQ�>Q��3�*>N*"�3:>Q�`D�3:C*"��3���Q??:_�
+
kikS ¬
,
[ ]n
inin vnai
paaA ⋅−⋅+⋅= ¬¬
RENTAS FRACCIONADASwww.clasesuniversitarias.com
-*"Q?*�:B>�.��?�>@*3�=?*��:Q>*.*3�-*?:*L"�3��>�(?Q_?�3:B>�_�QCK@?:�*
*&�3 �< ����������@A���� � ���������@A���� � �������������� ����)���
0 1 /k
aqa aq aq
2/k 3/k k-1/k 1 1 /k 2/k 3/k k-1/k 1 /k
aqaq
2/k 3/k k-1/k
aq
n2
2 3kn-3 kn-2 kn-1
1
1
−⋅
−⋅⋅⋅
vq
vqva
nknk
3���� � 1≠⋅vq )1( kiq +≠
knva ⋅⋅⋅3���� � 1=⋅vq )1( kiq +=
=A
nnk
k iAiAS )1()1( +⋅=+⋅=
RENTAS FRACCIONADASwww.clasesuniversitarias.com
���
-*"Q?*�:B>�.��?�>@*3�=?*��:Q>*.*3�-*?:*L"�3��>�(?Q_?�3:B>�_�QCK@?:�*
&���������� �������������@A���� � !�$ �< ����� 9����� 9��������������������)����
0 1 /k
a a aqa a a
2/k 3/k k-1/k 1 1 /k 2/k 3/k k-1/k 1 /k 2/k 3/k k-1/k n2 n-1
������������������������������������� ��������������������������� �� ����������������������� ���������MD����
0 1 /k
S1
2/k 3/k k-1/k 1 1 /k 2/k 3/k k-1/k 1 /k 2/k 3/k k-1/k n2 n-1
S2 Sn-1 Sn
3�����kiksaS ¬⋅=1
kiksqaS ¬⋅⋅=2
kiksqaS ¬⋅⋅=2
3
kik
n
n sqaS ¬
−⋅⋅=
1
aq aq aq aq aq aq aq2 n-2 n-1
aqn-1
aqn-1
aqn-1
kiksaS ¬⋅=1
qsaSkik ⋅⋅= ¬2
2
3 qsaSkik ⋅⋅= ¬
1−
¬ ⋅⋅=n
ikn qsaSk
RENTAS FRACCIONADASwww.clasesuniversitarias.com
-*"Q?*�:B>�.��?�>@*3�=?*��:Q>*.*3�-*?:*L"�3��>�(?Q_?�3:B>�_�QCK@?:�*
&���������� �������������@A���� � !�$ �< ����� 9����� 9��������������������)����
3���� �������������������������X
*����������������������������������$��� �H
"�������������?-(_����������$������1�2�)��� ����1 2
"��������������?-(_����������$�������������������)��� ����1 2kiksa ¬⋅
kiksaS ¬⋅=1
qsaSkik ⋅⋅= ¬2
2
3 qsaSkik ⋅⋅= ¬
1−
¬ ⋅⋅=n
ikn qsaSk
aS =1
qaS ⋅=2
2
3 qaS ⋅=
1−⋅=
n
n qaS
RENTAS FRACCIONADASwww.clasesuniversitarias.com
���
-*"Q?*�:B>�.��?�>@*3�=?*��:Q>*.*3�-*?:*L"�3��>�(?Q_?�3:B>�_�QCK@?:�*
&���������� �������������@A���� � !�$ �< ����� 9����� 9��������������������)����
(������������������� ���������������������������� ��������������������������������������������$��� ��1����2
<���������� ������������������%����������������������������� ���������������$�����)����� ����1 2
kiksa ¬⋅
1
1
−⋅
−⋅⋅⋅
vq
vqva
nn
3���� � )1( iq +≠
3���� � )1( iq +=
=A
3���� � )1( iq +≠
3���� � )1( iq +=
=A =A1
1
−⋅
−⋅⋅⋅ ¬
vq
vqsva
nn
ik k
nvsakik ⋅⋅⋅ ¬
kik
nn
svq
vqva ¬⋅
−⋅
−⋅⋅
1
1
kiksnva ¬⋅⋅⋅
RENTAS FRACCIONADASwww.clasesuniversitarias.com
-*"Q?*�:B>�.��?�>@*3�=?*��:Q>*.*3�-*?:*L"�3��>�(?Q_?�3:B>�_�QCK@?:�*
&���������� �������������@A���� � !�$ �< ����� 9����� 9��������������������)����
(�����������������������������������9�����9��)� ������������ �����������MD���� ����������������
+���QCQ�3:�3��@?*@*?*�.��N>*�?�>@*�*>N*"�-*?:*L"���>�(?Q_?�3:B>�_�QCK@?:�*
,���QCQ�>Q��3�*>N*"�3:>Q�`D�3:C*"��3���Q??:_�
1
1
−×
−×××=
vq
vqvaA
nn
+
kikS ¬
,
3���� � )1( iq +≠
3���� � )1( iq +=nvaA ××=
+
kikS ¬
,
RENTAS FRACCIONADASwww.clasesuniversitarias.com
���
PROBLEMAS DE RENTAS DISCRETASRentas Fraccionadas
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
EJERCICIO 1:
Unos sellos que mi padre me regaló cuando era pequeño, han incrementado su valor enormemente. Tanto es así que acabo de venderlos por 25,000 euros. Como empiezo en 4 meses un grado en Administración de Empresas de cuatro años de duración, he decidido invertir este importe en una entidad que me abonará una cantidad trimestral, la primera de ellas dentro de cuatro meses.
Calcular la cantidad que cobraré cada vez, si la entidad trabaja con un tipo de interés del 3% efectivo mensual
www.clasesuniversitarias.com RENTAS FRACCIONADAS. PROBLEMAS
���
www.clasesuniversitarias.com RENTAS FRACCIONADAS. PROBLEMAS
0 3
25.000
21
a
T2
1
124 )1(4
−
¬⋅ +⋅×= iaaA in
a
T3
a
T4
a
T5
a
T6
a
T1
a
T15 T16 4 años4
( )ii +=+ 1)1( 4
4
( ) 00741707,0103,111 4
1
4
1
4 =−=−+= ii
( )ii +=+ 1)1( 12
12
( ) 00246627,0103,111 12
1
12
1
12 =−=−+= ii
a
www.clasesuniversitarias.com RENTAS FRACCIONADAS. PROBLEMAS
0 3
25.000
21
a
T1
116
)00246627,1(00741707,0
)00741707,1(1000.25 −
−
⋅−
⋅= a
a
T2
a
T3
a
T4
a
T5
a
T0
a
T15 T16 4 años4
a = 1.666,92 euros
���
EJERCICIO 2:
A consecuencia de los impagos producidos, un cliente nos adeuda un importe que asciende a 18.000 euros. Nos propone para cancelar la deuda, pagar una cantidad trimestral durante cinco años. Utilizando un tipo de interés anual del 4% con liquidaciones semestrales.
Calcular el importe del primer pago si:
a) Las cantidades trimestrales se incrementan en 50 euros cada trimestre.
www.clasesuniversitarias.com RENTAS FRACCIONADAS. PROBLEMAS
www.clasesuniversitarias.com RENTAS FRACCIONADAS. PROBLEMAS
18.000 a
T1
)4( 4
4
4
4 44
⋅
¬⋅¬⋅ ⋅⋅+⋅+×=n
inin vnai
paaA
a+p
T2
a+2p
T3
a+3p
T4
a+4p
T5
a+5p a+18p
T19 T20
5 años
T0 T6
a+19p
En este problema debo tener en cuenta una serie de factores:Me dan un tipo de interés J2
La renta es trimestral
Primero calculo el interés semestral equivalente al J2 02,02
04,0
2
22 ===
Ji
Como hemos visto en la fórmula, necesito calcular el interés trimestral
( ) k
kii )1(1 +=+ 00995049,01)02,01( 4
2
4 =−+=i
���
www.clasesuniversitarias.com RENTAS FRACCIONADAS. PROBLEMAS
18.000 a
T1
))00995049,1(2000995049,0
)00995049,1(1(
00995049,0
50
00995049,0
)00995049,1(1000.18 20
2020−
−−
⋅+−
⋅+−
⋅= a
a+p
T2
a+2p
T3
a+3p
T4
a+4p
T5
a+5p a+18p
T19 T20
5 años
T0 T6
a+19p
a = 538,43 euros
EJERCICIO 2:
A consecuencia de los impagos producidos, un cliente nos adeuda un importe que asciende a 18.000 euros. Nos propone para cancelar la deuda, pagar una cantidad trimestral durante cinco años. Utilizando un tipo de interés anual del 4% con liquidaciones semestrales.
Calcular el importe del primer pago si:
b) Las cantidades se mantienen constantes para cada trimestre se incrementan en 100 euros cada año.
www.clasesuniversitarias.com RENTAS FRACCIONADAS. PROBLEMAS
���
www.clasesuniversitarias.com RENTAS FRACCIONADAS. PROBLEMAS
18.000
)( n
inin vnai
paaA ⋅+⋅+×= ¬¬
año 50 año 4año 3año 2año 1
a a a a a+p a+p a+p a+p a+2p a+2p a+2p a+2p a+4pa+4p
a+4pa+4p
a+3p
En este problema debo tener en cuenta una serie de factores:Me dan un tipo de interés J2
La renta es trimestralLa renta es constante cada trimestre pero variable de año en año en progresión aritmética
Este tipo de rentas variables de año en año y constantes para cada periodo k-esimal se resuelven en dos partes
1 COMO SI SE TRATARA DE UNA RENTA ANUAL VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
2 COMO NO ES ANUAL SINO TRIMESTRAL, SE CORRIGE
kikS ¬
+ ,
www.clasesuniversitarias.com RENTAS FRACCIONADAS. PROBLEMAS
)04,1504,0
)0404,1(1(
04,0
100
04,0
)0404,1(1000.18 5
55−
−−
⋅+−
⋅+−
⋅= a00995049,0
1)00995049,1( 4−
Primero calculo el interés semestral equivalente al J2
( ) k
k
k
k ii )1(1'
' +=+
Como hemos visto en la fórmula, necesito calcular tanto el interés trimestral (periodicidad de la renta) como el interés anual (variabilidad de la renta) equivalentes al tipo de interés semestral
0404,01)02,01( 2=−+=i
Entonces resolvemos en los dos pasos ya comentados:
02,02
04,0
2
22 ===
Ji
00995049,01)02,01( 4
2
4 =−+=i
a = 804,89 euros
���
PRÉSTAMOS I: Préstamos que se amortizan
mediante pago único de capital(teoría)
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
(?K3@*CQ3�YN��3��*CQ?@:A*>�C�.:*>@��(*_Q�]>:�Q�.���*(:@*"
-��� � ������ �� ��������� � ��$���� � ������#�� ������ ���� ��� � � ������&
PRESTAMO PAGO ÚNICO DE CAPITAL
+� (�$���� � ������#� ������ ���� ��� � � ������ �����
,� (�$���� � ������#� ������ ���� ��� � � ������ ) ������ � � �����
(��� ���� ���� � ��$���� �������� �� ������ �� �� ���&
D �� �� ��� ����� ���� �����D �� �� ��� ��� ��� ���� �����
< �����#���� �� �� ��� �� � � ���� � ����$ � �� ��� ��� ��� � �� ����%� � �������� �� �� �� �� ��� ���� �����H
www.clasesuniversitarias.com
��
7&���)�� ���"#����� �����( ����� ����� ���>��������� ��� �������������&
.��� �� ��$���� � ����%� �� � ��� ������#�� � � �9�� ������ ���� ��� � � ������ ����� ���� � � ���� � ����$ �� ����� ������ � �� ������ �����&
0 1 2 nn-1
C niC )1( +⋅
Y�$ ������� ������ � � ������ � � �� ��� � ������#� ��� � ������X
< � �� ��� � ���� � ����X
PRESTAMO PAGO ÚNICO DE CAPITAL
C
CiC n−+⋅ )1(
(?K3@*CQ3�YN��3��*CQ?@:A*>�C�.:*>@��(*_Q�]>:�Q�.���*(:@*"
www.clasesuniversitarias.com
7&���)�� ���"#����� �����( ����� ����� ���>��������� ��� �������������&
��� �� ��� ����� ���� ������
0 1 2 nn-1
C niC )1( +⋅
.��� �� ������ �� ������� �� �� ������ �� ��$���� ��4��� ��� ���� � ���� � ����$ ��� ��� �Z� � ���� ������� �� ��� � ����� ����� ) ���� ����� � ��$�����
PRESTAMO PAGO ÚNICO DE CAPITAL
0 1 2 nn-1
hX
h
(i’)
Situación
Inicial A
Situación
Alternativa B
3��� ����� ������ ��� ���� ��� ������� ����� ���� �� �������
*���EL���
)()'1()1( hn
h
n iXiC −+⋅=+⋅
(?K3@*CQ3�YN��3��*CQ?@:A*>�C�.:*>@��(*_Q�]>:�Q�.���*(:@*"
www.clasesuniversitarias.com
��
7&���)�� ���"#����� �����( ����� ����� ���>��������� ��� �������������&
��� �� ��� ����� ���� ������
Y�$ � ��� � � ���� � ����$ � �� ��� ��)�� � � ���� � ����$ �� ��$����X
PRESTAMO PAGO ÚNICO DE CAPITAL
'ii ��� ��������� ��� � ���� �� ���� ��� ������� � � �� ��� � �� � �������%� ��� �� ��� � ��$����� ��� �� � �� ������%� �� ������
Y�$ � ��� � � ���� � ����$ � �� ��� ����� � � ���� � ����$ �� ��$����X 'ii =
)()1()1( hn
h
n iXiC −+⋅=+⋅
)()1(
)1(hn
n
hi
iCX
−+
+⋅=
h
h iCX )1( +⋅=
hnn
h iiCX +−+⋅+⋅= )1()1( hnn
h iCX +−+⋅= )1(
(?K3@*CQ3�YN��3��*CQ?@:A*>�C�.:*>@��(*_Q�]>:�Q�.���*(:@*"
www.clasesuniversitarias.com
7&���)�� ���"#����� �����( ����� ����� ���>��������� ��� �������������&
��� �� ��� ����� ���� ������
PRESTAMO PAGO ÚNICO DE CAPITAL
�� �������� ��� �������� �� �� �� ��� � � �� ��� ) ����� �� ���� ����������� �� ��%� �� ��$����� ��� �� � ���� ����� ) ��������� ����%� �� ��� ������� � ����� ��������
Y�$ � ��� � � ���� � ����$ � �� ��� ���� � � ���� � ����$ �� ��$����X 'ii �
�� �������� �� �������� �� �� �� ��� ���� ����� � � �� ��� ������� ��� ����������� ��� � � ��%� �� ��$����� ��� �� � ����%� ������� � � ����� ��� ���� � ���� � ��������(�� ����� � ��������� �� ������ �� �������� �������� ��� ������� �������
Y�$ �������X "� � �������� � �� �� ��� � �� � ��� ������ � ����$ � �� ������ ����$�� �H
)()'1()1(
hn
h
niXiC
−+⋅=+⋅
(?K3@*CQ3�YN��3��*CQ?@:A*>�C�.:*>@��(*_Q�]>:�Q�.���*(:@*"
www.clasesuniversitarias.com
���
7&���)�� ���"#����� �����( ����� ����� ���>��������� ��� �������������&
��� �� ��� ��� ��� ���� ������
0 1 2 nn-1
C niC )1( +⋅
.��� �� ������ �� ������� �� �� ������ �� ��$���� ��4��� ��� ���� � ���� � ����$ ��� ��� �Z� � ���� ������� �� ��� ��� ���� �� ��$�����
PRESTAMO PAGO ÚNICO DE CAPITAL
0 1 2 nn-1
hP
h
(i’)
Situación
Inicial A
Situación
Alternativa B
3��� ����� ������ ��� ���� ��� ������� ����� ���� �� �������
*���EL���
n
hn
h
n AiPiC ++⋅=+⋅− )()'1()1(
nA
�� � ��� ��� ��� ����� �� ������ �� ��� ��� ��� � ���� � ����$ � �� ��� ) � ����� ����$ �� ��$����
(?K3@*CQ3�YN��3��*CQ?@:A*>�C�.:*>@��(*_Q�]>:�Q�.���*(:@*"
www.clasesuniversitarias.com
E&���)�� ���"#����� �����( ����� ����� ���>��������� ��� ��!� '��������������������������&
.��� �� ��$���� � ����%� �� � ��� ������#�� � � �9�� ������ ���� ��� � � ������ ) ����������� � � ����� ���� � � ���� � ����$ �� ����� ������ � �� ������ �����&
0 1 2 nn-1
C CiC +⋅
PRESTAMO PAGO ÚNICO DE CAPITAL
iC ⋅iC ⋅iC ⋅
C
iC ⋅
0 1 2 nn-1
C CiC +⋅
Y�$ ������� ������ � � ������ � � �� ��� � ������#� ��� � ������X
< � �� ��� � ���� � ����X
iC ⋅iC ⋅iC ⋅
(?K3@*CQ3�YN��3��*CQ?@:A*>�C�.:*>@��(*_Q�]>:�Q�.���*(:@*"
www.clasesuniversitarias.com
���
��� �� ��� ����� ���� ������
0 1 2 nn-1
C
.��� �� ������ �� ������� �� �� ������ �� ��$���� ��4��� ��� ���� � ���� � ����$ ��� ��� �Z� � ���� ������� �� ��� � ����� ����� ) ���� ����� � ��$�����
PRESTAMO PAGO ÚNICO DE CAPITAL
0 1 2 nn-1
hX
h
(i’)
Situación
Inicial A
Situación
Alternativa B
3��� ����� ������ ��� ���� ��� ������� ����� ���� �� �������
*���EL���
)(
' )'1( hn
hihn iXCsiC −
¬− +⋅=+⋅⋅
E&���)�� ���"#����� �����( ����� ����� ���>��������� ��� ��!� '��������������������������&
CiC +⋅iC ⋅ iC ⋅ iC ⋅
h
iC ⋅
h+1
iC ⋅
(?K3@*CQ3�YN��3��*CQ?@:A*>�C�.:*>@��(*_Q�]>:�Q�.���*(:@*"
www.clasesuniversitarias.com
��� �� ��� ����� ���� ������
Y�$ � ��� � � ���� � ����$ � �� ��� ��)�� � � ���� � ����$ �� ��$����X
PRESTAMO PAGO ÚNICO DE CAPITAL
'ii ��� ��������� ��� � ���� �� ���� ��� ������� � � �� ��� � �� � �������%� ��� �� ��� � ��$����� ��� �� � �� ������%� �� ������
Y�$ � ��� � � ���� � ����$ � �� ��� ����� � � ���� � ����$ �� ��$����X 'ii =
E&���)�� ���"#����� �����( ����� ����� ���>��������� ��� ��!� '��������������������������&
)()1( hn
hihn iXCsiC −
¬− +⋅=+⋅⋅)()1(
1)1( hn
h
hn
iXCi
iiC −
−
+⋅=+−+
⋅⋅
)()1()1)1(( hn
h
hn iXCiC −−+⋅=+−+⋅
)()1()1( hn
h
hn iXCCiC −−+⋅=+−+⋅
)()1()1( hn
h
hn iXiC −−+⋅=+⋅
hXC =
(?K3@*CQ3�YN��3��*CQ?@:A*>�C�.:*>@��(*_Q�]>:�Q�.���*(:@*"
www.clasesuniversitarias.com
���
��� �� ��� ����� ���� ������
PRESTAMO PAGO ÚNICO DE CAPITAL
�� �������� ��� �������� �� �� �� ��� � � �� ��� ) ����� �� ���� ����������� �� ��%� �� ��$����� ��� �� � ���� ����� ) ��������� ����%� �� ��� ������� � ���� � ������� �� � ��� �� �� � �������
Y�$ � ��� � � ���� � ����$ � �� ��� ���� � � ���� � ����$ �� ��$����X 'ii �
�� �������� �� �������� �� �� �� ��� ���� ����� � � �� ��� ������� ��� ����������� ��� � � ��%� �� ��$����� ��� �� � ����%� ������� � � ����� ��� ���� � ���� � ��������(�� ����� � ��������� �� ������ �� �������� �������� ��� ������� �������
Y�$ �������X "� � �������� � �� �� ��� � �� � ��� ������ � ����$ � �� ������ ����$�� �H
E&���)�� ���"#����� �����( ����� ����� ���>��������� ��� ��!� '��������������������������&
)()1(
hn
hihn iXCsiC−
¬− +⋅=+⋅⋅
(?K3@*CQ3�YN��3��*CQ?@:A*>�C�.:*>@��(*_Q�]>:�Q�.���*(:@*"
www.clasesuniversitarias.com
��� �� ��� ��� ��� ���� ������
0 1 2 nn-1
C
.��� �� ������ �� ������� �� �� ������ �� ��$���� ��4��� ��� ���� � ���� � ����$ ��� ��� �Z� � ���� ������� �� ��� � ����� ���� ����� ��� ���� �� ��$�����
PRESTAMO PAGO ÚNICO DE CAPITAL
0 1 2 nn-1
hP
h
(i’)
Situación
Inicial A
Situación
Alternativa B
3��� ����� ������ ��� ���� ��� ������� ����� ���� �� �������
*���EL���
SsiSiPCsiC ihn
hn
hihn +⋅⋅++⋅=+⋅⋅ ¬−
−
¬− '
)(
' )'1(
E&���)�� ���"#����� �����( ����� ����� ���>��������� ��� ��!� '��������������������������&
CiC +⋅iC ⋅ iC ⋅ iC ⋅
h
iC ⋅
h+1
iC ⋅
SiS +⋅iS ⋅iS ⋅
(?K3@*CQ3�YN��3��*CQ?@:A*>�C�.:*>@��(*_Q�]>:�Q�.���*(:@*"
www.clasesuniversitarias.com
���
��� �� ��� ����� ���� ������
Y�$ � ��� � � ���� � ����$ � �� ��� ��)�� � � ���� � ����$ �� ��$����X
PRESTAMO PAGO ÚNICO DE CAPITAL
'ii ��� ��������� ��� � ���� �� ���� ��� ������� � � �� ��� � �� � �������%� ��� �� ��� � ��$����� ��� �� � �� ������%� �� ������
Y�$ � ��� � � ���� � ����$ � �� ��� ����� � � ���� � ����$ �� ��$����X 'ii =
E&���)�� ���"#����� �����( ����� ����� ���>��������� ��� ��!� '��������������������������&
SsiSiPCsiC ihn
hn
hihn +⋅⋅++⋅=+⋅⋅ ¬−
−
¬−
)()1( S
i
iiSiPC
i
iiC
hnhn
h
hn
+−+
⋅⋅++⋅=+−+
⋅⋅
−−
− 1)1()1(
1)1( )(
SiSiPCiC hnhn
h
hn+−+⋅++⋅=+−+⋅
−−− )1)1(()1()1)1(( )(SSiSiPCCiC
hnhn
h
hn+−+⋅++⋅=+−+⋅
−−−)1()1()1(
)(
hnhn
h
hn iSiPiC −−−+⋅++⋅=+⋅ )1()1()1( )( SPC h +=
(?K3@*CQ3�YN��3��*CQ?@:A*>�C�.:*>@��(*_Q�]>:�Q�.���*(:@*"
www.clasesuniversitarias.com
��� �� ��� ����� ���� ������
PRESTAMO PAGO ÚNICO DE CAPITAL
�� �������� ��� �������� �� �� �� ��� ��� ��� � � �� ��� ) ����� �� ���� ����������� � � ��%� �� ��$����� ��� �� � ���� ����� ) � ���� ������ ��� �� �� �� ��� ��� ����%� �� ����� �� ��� �� ����%� �� ��$���� ) � ������ �� ����
Y�$ � ��� � � ���� � ����$ � �� ��� ���� � � ���� � ����$ �� ��$����X 'ii ��� �������� �� �������� �� �� �� ��� ���� ����� ��� ��� � � �� ��� ������� �������������� � �� � � ��%� ��� ������ �� �� �� ����(�� ������ �� ��� ��� � ������ �� ���� ) � ���� ������ �� ��� ������� ������ � �� ����%� �� ��$�����Y�$ �������X "� � �������� � �� �� ��� � �� � ��� ������ � ����$ � �� ������ ����$�� �H
E&���)�� ���"#����� �����( ����� ����� ���>��������� ��� ��!� '��������������������������&
SsiSiPCsiC ihn
hn
hihn +⋅⋅++⋅=+⋅⋅ ¬−
−
¬− '
)(
' )'1(
(?K3@*CQ3�YN��3��*CQ?@:A*>�C�.:*>@��(*_Q�]>:�Q�.���*(:@*"
www.clasesuniversitarias.com
���
PROBLEMAS DE Préstamos que se amortizan
mediante pago único de capital
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
www.clasesuniversitarias.com
EJERCICIO 1:
Un estudiante solicita un préstamo de 30.000 euros para invertirlos en crear su propia empresa. Se compromete a devolver el nominal junto con los intereses en un solo pago a los 15 años. El interés pactado asciende al 5%
a) ¿Qué cantidad debe entregar el prestatario al finalizar la operación?b) Llegado el final del año 5, su empresa generara recursos suficientes para cancelar el préstamo en su totalidad. Si
el tipo de interés de mercado fuera del 3,5%, que cantidad debería abonar para dicha cancelación?c) Si en lugar de cancelar el préstamo de forma total, hubiera entregado a cuenta 25.000 euros, ¿qué cantidad le
quedaría pendiente de abonar al finalizar la operación?
PAGO ÚNICO CAPITAL. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com
���
EJERCICIO 1:
Un estudiante solicita un préstamo de 30.000 euros para invertirlos en crear su propia empresa. Se compromete a devolver el nominal junto con los intereses en un solo pago a los 15 años. El interés pactado asciende al 5%
a) ¿Qué cantidad debe entregar el prestatario al finalizar la operación?
0 1 2 nn-1
C niC )1( +⋅
La cantidad a abonar al finalizar el préstamo sería , que, para los dato de este problema resultaría:niC )1( +⋅
15)05,01(000.30)1( +⋅=+⋅
niC Euros85,367.62=
PAGO ÚNICO CAPITAL. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com
EJERCICIO 1:
Un estudiante solicita un préstamo de 30.000 euros para invertirlos en crear su propia empresa. Se compromete a devolver el nominal junto con los intereses en un solo pago a los 15 años. El interés pactado asciende al 5%
b) Llegado el final del año 5, su empresa generara recursos suficientes para cancelar el préstamo en su totalidad. Si el tipo de interés de mercado fuera del 3,5%, que cantidad debería abonar para dicha cancelación?
0 1 2 nn-1
C niC )1( +⋅
0 1 2 nn-1
hX
h
(i’)
Situación Inicial A
Situación Alternativa B
Sólo podemos cambiar una situación porotra cuando ambas sean equivalentes
A(n)=B(n)
)()'1()1(
hn
h
niXiC
−+⋅=+⋅
PAGO ÚNICO CAPITAL. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com
���
Sustituyendo en la equivalencia los datos del problema, quedaría:
)515(15 )035,1()05,1(30000 −⋅=⋅ hX
EurosX h 74,213.44=
PAGO ÚNICO CAPITAL. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com
EJERCICIO 1:
Un estudiante solicita un préstamo de 30.000 euros para invertirlos en crear su propia empresa. Se compromete a devolver el nominal junto con los intereses en un solo pago a los 15 años. El interés pactado asciende al 5%
c) Si en lugar de cancelar el préstamo de forma total, hubiera entregado a cuenta 25.000 euros, ¿qué cantidad le quedaría pendiente de abonar al finalizar la operación?
0 1 2 nn-1
C niC )1( +⋅
0 1 2 nn-1
hP
h
(i’)
Situación Inicial A
Situación Alternativa B
Sólo podemos cambiar una situación porotra cuando ambas sean equivalentes
A(n)=B(n)
n
hn
h
n AiPiC ++⋅=+⋅− )()'1()1(
PAGO ÚNICO CAPITAL. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com
nA
���
Sustituyendo en la equivalencia los datos del problema, quedaría:
nA+⋅=⋅− )515(15 )035,1(000.25)05,1(30000
EurosAn 88,102.27=
PAGO ÚNICO CAPITAL. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com
EJERCICIO 2:
Un estudiante solicita un préstamo de 30.000 euros para invertirlos en crear su propia empresa. Se compromete a devolver el nominal en un solo pago a los 15 años y los intereses anualmente. El interés pactado asciende al 5%
a) ¿Qué cantidad debe entregar el prestatario al finalizar la operación)b) Llegado el final del año 5, su empresa generara recursos suficientes para cancelar el préstamo en su totalidad. Si
el tipo de interés de mercado fuera del 3,5%, que cantidad debería abonar para dicha cancelación?c) Si en lugar de cancelar el préstamo de forma total, hubiera entregado a cuenta 25.000 euros, ¿cuál el el saldo
pendiente sobre el que pagaría intereses cada año y que tendría que devolver al finalizar la operación?
PAGO ÚNICO CAPITAL. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com
��
EJERCICIO 2:
a) ¿Qué cantidad debe entregar el prestatario al finalizar la operación?
0 1 2 nn-1
C CiC +⋅
La cantidad a abonar al finalizar el préstamo sería , que, para los dato de este problema resultaría:CiC +⋅
000.3005,0000.30 +⋅=+⋅ CiC Euros00,500.31=
PAGO ÚNICO CAPITAL. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com
Un estudiante solicita un préstamo de 30.000 euros para invertirlos en crear su propia empresa. Se compromete a devolver el nominal en un solo pago a los 15 años y los intereses anualmente. El interés pactado asciende al 5%
iC ⋅ iC ⋅ iC ⋅
EJERCICIO 2:
Un estudiante solicita un préstamo de 30.000 euros para invertirlos en crear su propia empresa. Se compromete a devolver el nominal junto con los intereses en un solo pago a los 15 años. El interés pactado asciende al 5%
b) Llegado el final del año 5, su empresa generara recursos suficientes para cancelar el préstamo en su totalidad. Si el tipo de interés de mercado fuera del 3,5%, que cantidad debería abonar para dicha cancelación?
0 1 2 nn-1
hX
h
(i’)
Situación Inicial A
Situación Alternativa B
Sólo podemos cambiar una situación porotra cuando ambas sean equivalentes
A(n)=B(n)
)(
' )'1( hn
hihn iXCSiC −
¬− +⋅=+⋅⋅
PAGO ÚNICO CAPITAL. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com
0 1 2 nn-1
C CiC +⋅iC ⋅ iC ⋅ iC ⋅
h h+1
iC ⋅iC ⋅
��
Sustituyendo en la equivalencia los datos del problema, quedaría:
)515()515(
)035,1(000.30035,0
1)035,1(05,0000.30 −
−
⋅=+−
⋅⋅ hX
EurosX n 47,742.33=
PAGO ÚNICO CAPITAL. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com
)515()035,1(000.3009,597.17 −⋅=+ hX
0 1 2
hP
h(i’)
Situación Inicial A
Situación Alternativa B
Sólo podemos cambiar una situación porotra cuando ambas sean equivalentes
A(n)=B(n)
PAGO ÚNICO CAPITAL. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com
0 1 2 nn-1
C CiC +⋅iC ⋅ iC ⋅ iC ⋅
h h+1
iC ⋅iC ⋅
c) Si en lugar de cancelar el préstamo de forma total, hubiera entregado a cuenta 25.000 euros, ¿cuál el el saldo pendiente sobre el que pagaría intereses cada año y que tendría que devolver al finalizar la operación?
nn-1
SiS +⋅iS ⋅
h+1
iS ⋅
EJERCICIO 2:
Un estudiante solicita un préstamo de 30.000 euros para invertirlos en crear su propia empresa. Se compromete a devolver el nominal en un solo pago a los 15 años y los intereses anualmente. El interés pactado asciende al 5%
���
Sustituyendo en la equivalencia los datos del problema, quedaría:
SS +−
⋅⋅+⋅=+−
⋅⋅−
−−
035,0
1)035,1(05,0)035,1(000.25000.30
035,0
1)035,1(05,0000.30
)515()515(
)515(
EurosS 82,728.7=
PAGO ÚNICO CAPITAL. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com
)1035,0
1)035,1(05,0(97,264.35000.3009,597.17
10
+−
⋅+=+ S
SSiSiPCSiC ihn
hn
hihn +⋅⋅++⋅=+⋅⋅ ¬−
−
¬− '
)(
' )'1(
Sólo podemos cambiar una situación por otra cuando ambas sean equivalentes
A(n)=B(n)
���
PRÉSTAMOS II: Sistema Francés:
anualidad constante(teoría)
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
3:3@�C*�.��*CQ?@:A*�:B>�C�.:*>@��*>N*":.*.�3��Q>3@*>@�3��3:3@�C*�=?*>�K3
-��� � ������ � �� � ���� ��$���� � ������#�� ������ ��������� �������
SISTEMA FRANCÉS
.��� �� ��$���� � ����%� �� � ��� ������#�� � � �9�� ������ ���� � ��������� ������� ���� � � ���� � ����$ �� ����� ������ � �� ������ �����&
0 1 2 nn-1
C a a a a
"� ������� ������ � ������ ��� ��%��� �� ��) ����� ���� � ���� �:M� ��� ���� �������#� ��� � ����� ��� � ������ ��M�
(�� ������ �� � ��� �9�& kk Ima +=
www.clasesuniversitarias.com
���
.���� � � ���� � ��$���� ���� � ������ �� ������ �� ���&
inaaC ¬⋅=
7& *�# ��� � , .
0 1 2 nn-1
C a a a a
ina
Ca
¬
=
i
i
Ca
n−+−
=)1(1
nn iaiaiaiaC −−−−−+⋅++⋅+++⋅++⋅= )1()1(...)1()1( )1(21
3:3@�C*�.��*CQ?@:A*�:B>�C�.:*>@��*>N*":.*.�3��Q>3@*>@�3��3:3@�C*�=?*>�K3
SISTEMA FRANCÉSwww.clasesuniversitarias.com
E& �#�� �� �����( ���� ,�@.
�9� +11 Ima += iCma ⋅+= 1 iCam ⋅−=1
�9� ,22 Ima += imCma ⋅−+= )( 12
imCam ⋅−−= )( 12
imCiam ⋅+−= 12immm ⋅+= 112 )1(12 imm +⋅=
�9� 833 Ima += immCma ⋅−−+= )( 213
imimCam ⋅+⋅−−= 213 )(
immm ⋅+= 223 )1(23 imm +⋅=
1
1 )1( −+⋅=
k
k imm�9� M
2
13 )1( imm +⋅=
3:3@�C*�.��*CQ?@:A*�:B>�C�.:*>@��*>N*":.*.�3��Q>3@*>@�3��3:3@�C*�=?*>�K3
1
1 )1( −+⋅=
n
k imm�9� �
SISTEMA FRANCÉSwww.clasesuniversitarias.com
���
:& ��� � �����( �� ,�@.
3:3@�C*�.��*CQ?@:A*�:B>�C�.:*>@��*>N*":.*.�3��Q>3@*>@�3��3:3@�C*�=?*>�K3
SISTEMA FRANCÉS
kk mmmmT ++++= ...321
1
1
2
111 )1(...)1()1( −+⋅+++⋅++⋅+=
k
k imimimmT
[ ]12
1 )1(...)1()1(1−
+++++++⋅=k
k iiimT
3 ����� � ��� �������� ���$��� �� ���� �)� ��� � ����� ��� � �� ������ �����&
(���� @$����� �(@�
]����� @$����� �N@�
?�#�� �?�
<� � �� ��� � �� �������� ���$��� � & −
−×=
1R
PTRUTPG
1=PT1)1( −
+=kiUT
)1( iR +=
=−+
−+⋅+=
−
1)1(
1)1()1( 1
i
iiPG
k
−+
=i
iPG
k 1)1(
ikk smT ¬⋅= 1
iks ¬=
www.clasesuniversitarias.com
G& � ��� ��������� �� �����( � ,�@.
3:3@�C*�.��*CQ?@:A*�:B>�C�.:*>@��*>N*":.*.�3��Q>3@*>@�3��3:3@�C*�=?*>�K3
SISTEMA FRANCÉS
(�� �� ����� � ������ �� ��$���� ���� �� ����� � ��� ������ � �� ��� � �� )�������#��� �� �� � ��� ��� ������#��� ��� �� �&
kk STC += kk TCS −= ikk smCS ¬⋅−= 1
(�� ���� ����� � ���� ������ � ������#��� � ��� ��� ������ M� �� ����� �� ������ �����#��� � �� ��������� ������ � �� �������
0 1 2 nn-1
kS
k
aaa
k+1
)(21)1(...)1()1(
kn
k iaiaiaS−−−−
+⋅+++⋅++⋅=
iknk aaS ¬−⋅=
www.clasesuniversitarias.com
���
O& �#�� �� �����)� ,�@.
3:3@�C*�.��*CQ?@:A*�:B>�C�.:*>@��*>N*":.*.�3��Q>3@*>@�3��3:3@�C*�=?*>�K3
SISTEMA FRANCÉS
(�� �� ����� ��� �� ��������� ������ ��� �9� ����� � �� ��� � �� ���� � ������#� ��� ) �� ���� � ����$� ����%� ��!�� �� ���� � ����$
kk Ima += kk maI −=
(�� ��������� �� ������ �� ���� � ����$ ��� � ���� ������ � ������#�� ����%��� ������� ��� � ���� � ����$�
iSI kk ⋅= −1 iknk aaS ¬−−− ⋅= )1(13�����
www.clasesuniversitarias.com
3:3@�C*�.��*CQ?@:A*�:B>�C�.:*>@��*>N*":.*.�3��Q>3@*>@�3��3:3@�C*�=?*>�K3
SISTEMA FRANCÉS
�� ����� ����� �� ���� ��� ��� ���� ������� � �� ��$���� � ������#� ��������������� ������� �� �� ������� ���������� �������� Q �����$� ���� ��� ��� ��N*.?Q .� *CQ?@:A*�:B> � � �� ���� �� ������� ��� ������� � � ���� � ��$����
� :M� �M @M 3M
;
+
,
M
�
�
ina
Ca
¬
= iSI ⋅= 01 11 Iam −= 101 mTT += 101 mSS −=
a iSI ⋅= 12 22 Iam −= 212 mTT += 212 mSS −=
11 TCS −=
a iSI kk ⋅= −1 kk Iam −= kkk mTT += −1 kkk mSS −= −1
a iSI nn ⋅= −1 nn Iam −= CTn = 0=nS
www.clasesuniversitarias.com
���
� ����� �#�
in
daaiC ¬⋅=+⋅ )1(
0 d+1 d+2 d+nd+n-1
C a a a a
in
d
a
iCa
¬
+⋅=
)1(
3:3@�C*�.��*CQ?@:A*�:B>�C�.:*>@��*>N*":.*.�3��Q>3@*>@�3��3:3@�C*�=?*>�K3
SISTEMA FRANCÉS
3� ��� �� ������ � ����� ������ � ��� �� ����#� ���� ������ �� � ������#� ��� ������ ��� � ������ �� � ����� ������� � ���� �� (����
"� ��� �� ���� ��� �� ��� ��%�� �&+� >� ���� ���������� ����� �� ������ �� �����,� * �� �� �� � �� �������� � ���� �� ����� � �� ����%� � �� ���� � ��
�����
d1 2 d-1
C(1+i) C(1+i)d
www.clasesuniversitarias.com
3:3@�C*�.��*CQ?@:A*�:B>�C�.:*>@��*>N*":.*.�3��Q>3@*>@�3��3:3@�C*�=?*>�K3
SISTEMA FRANCÉS
� :M� �M @M 3M
;
+
,
�
�G+
�
in
d
a
iCa
¬
+⋅=
)1( iiCI d⋅+⋅= )1(1 11 Iam −=
101 mTT += 11 )1( miCS d−+⋅=
iSI ⋅= 12 22 Iam −= 212 mTT += 212 mSS −=a
a iSI nn ⋅= −1 nn Iam −= d
n iCT )1( +⋅= 0=nS
� ����� �#�
�G,
�G�
)1( iC +⋅
2)1( iC +⋅
diC )1( +⋅
www.clasesuniversitarias.com
���
� ����� ��T�
inaaC ¬⋅=
0 d+1 d+2 d+nd+n-1
C a a a a
ina
Ca
¬
=
3:3@�C*�.��*CQ?@:A*�:B>�C�.:*>@��*>N*":.*.�3��Q>3@*>@�3��3:3@�C*�=?*>�K3
SISTEMA FRANCÉS
3� ��� �� ������ � ����� ������ � ��� �� ����#� ���� ������ � ������#� ��� � ����� ���� ������� ��� % � ����� ������� � ���� �� C�����
"� ��� �� ����� ��� �� ��� ��%�� �&+� >� ������#� ������� ��� % ����� �����,� * �� �� �� � �� �������� � ���� ����� ������
d1 2 d-1
Ci
C
Ci Ci Ci
www.clasesuniversitarias.com
3:3@�C*�.��*CQ?@:A*�:B>�C�.:*>@��*>N*":.*.�3��Q>3@*>@�3��3:3@�C*�=?*>�K3
SISTEMA FRANCÉS
� :M� �M @M 3M
;
+
,
�
�G+
�
ina
Ca
¬
= iCI ⋅=1 11 Iam −= 101 mTT += 11 mCS −=
iSI ⋅= 12 22 Iam −= 212 mTT += 212 mSS −=a
a iSI nn ⋅= −1 nn Iam −= CTn = 0=nS
� ����� �#�
�G,
�G�
iC ⋅
iC ⋅
iC ⋅
�
�
�
www.clasesuniversitarias.com
���
PROBLEMASPréstamos que se amortizan
mediante anualidad constante
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
www.clasesuniversitarias.com
EJERCICIO 1:
Una empresa solicita un préstamo de 50.000 euros para la compra de una maquinaria. Se compromete a devolver el nominal más los intereses mediante anualidades constantes, en 10 años, y con un interés del 5%
Calcule la fila sexta del cuadro de amortización del préstamo (correspondiente al quinto año de amortización)
SISTEMA FRANCES. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com
año Anualidad C. Interés C. Amortización Total Amortizado Saldo Pendiente
5 a I5 m5 T5 S5
��
SISTEMA FRANCES. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com
año Anualidad C. Interés C. Amortización Total Amortizado Saldo Pendiente
5 a I5 m5 T5 S5
Anualidad
ina
Ca
¬
=
05,0
)05,01(1
000.5010−
+−=a Eurosa 23,475.6=
Cuota de Interés
iSI kk ⋅= − 1 iSI ⋅= 45
05,0)410(4 ¬−⋅= aaSiknk aaS ¬−⋅= )( 27,866.3205,0
)05,1(123,475.6
6
4 =−
⋅=−
S
EurosI 31,643.105,027,866.325 =⋅=
SISTEMA FRANCES. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com
año Anualidad C. Interés C. Amortización Total Amortizado Saldo Pendiente
5 a I5 m5 T5 S5
Cuota de amortización
kk Iam −=
Total amortizado
ikk smT¬
⋅= 1
11 Iam −=
i
imT
1)1( 5
15
−+⋅=
31,643.123,475.655 −=−= Iam Eurosm 92,831.45 =
iCam ⋅−=1 23,975.305,0000.5023,475.61 =⋅−=m
EurosT 65,965.2105,0
1)05,1(23,975.3
5
5 =−
⋅=
��
SISTEMA FRANCES. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com
año Anualidad C. Interés C. Amortización Total Amortizado Saldo Pendiente
5 a I5 m5 T5 S5
Saldo pendiente de amortizar
kk STC += 65,965.21000.5055 −=−= TCS EurosS 35,034.285 =
año Anualidad C. Interés C. Amortización Total Amortizado Saldo Pendiente
5 6.475,23 1.643,31 4.831,92 21.965,65 28.034,35
EJERCICIO 2:
Un préstamo se amortiza según el siguiente esquema:- Durante los primeros dos años no se realiza ningún pago- A partir del tercer año, tres anualidades constantes de cuantía a- Después tres anualidades de cuantía ‘2a- Por último, cuatro anualidades de cuantía ‘3ª
a) Plantear la ecuación financiera que permitiría calcular la cuantía del préstamo.
SISTEMA FRANCES. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com
03 12
C
2 1 11
a
4 5 6
a 2a 3a3a
7
2a
8
2aa
9
3a
10
3a
���
SISTEMA FRANCES. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com
03 12
C
2 1 11
a
4 5 6
a 2a 3a3a
7
2a
8
2aa
9
3a
10
3a
Equivalencia en el momento 0
84
53
23
)1()1(1
3)1()1(1
2)1()1(1 −
−−
−−
−
+⋅+−
⋅++⋅+−
⋅++⋅+−
⋅= ii
iai
i
iai
i
iaC
Equivalencia en el momento 2
64
333
2 )1()1(1
3)1()1(1
2)1(1
)1( −−
−−−
+⋅+−
⋅++⋅+−
⋅++−
⋅=+⋅ ii
iai
i
ia
i
iaiC
2)1( iC +
EJERCICIO 2:
Un préstamo se amortiza según el siguiente esquema:- Durante los primeros dos años no se realiza ningún pago- A partir del tercer año, tres anualidades constantes de cuantía a- Después tres anualidades de cuantía ‘2a- Por último, cuatro anualidades de cuantía ‘3ª
b) Si la entidad financiera trabaja con un interés del 4% y el importe del préstamo asciende a 50,000 euros, calcule el importe de la primera anualidad (año 3) y la última (año 12)
SISTEMA FRANCES. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com
���
SISTEMA FRANCES. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com
03 12
C
2 1 11
a
4 5 6
a 2a 3a3a
7
2a
8
2aa
9
3a
10
3a
64
333
2 )1()1(1
3)1()1(1
2)1(1
)1( −−
−−−
+⋅+−
⋅++⋅+−
⋅++−
⋅=+⋅ ii
iai
i
ia
i
iaiC
64
333
2 )04,1(04,0
)04,1(13)04,1(
04,0
)04,1(12
04,0
)04,1(1)04,1(000.50 −
−−
−−
⋅−
⋅+⋅−
⋅+−
⋅=⋅ aaa
))04,1(04,0
)04,1(13)04,1(
04,0
)04,1(12
04,0
)04,1(1()04,1(000.50 6
43
332 −
−−
−−
⋅−
⋅+⋅−
⋅+−
=⋅ a
2)1( iC +
SISTEMA FRANCES. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com
03 12
C
2 1 11
a
4 5 6
a 2a 3a3a
7
2a
8
2aa
9
3a
10
3a
))04,1(04,0
)04,1(13)04,1(
04,0
)04,1(12
04,0
)04,1(1()04,1(000.50 6
43
332 −
−−
−−
⋅−
⋅+⋅−
⋅+−
=⋅ a
)606277,893409,477509,2(080.54 ++⋅= a
Eurosa 65,314.3=
Eurosa 94,943.93 =
2)1( iC +
���
PRÉSTAMOS III: Sistema Uniforme:
Cuota de amortización constante(teoría)
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
*CQ?@:A*�:B>�C�.:*>@���NQ@*3�.��*CQ?@:A*�:B>��Q>3@*>@�3��3:3@�C*�N>:=Q?C�
-��� � ������ � �� � ���� ��$���� � ������#�� ������ ���� ������ �������#� ����
SISTEMA UNIFORME
.��� �� ��$���� � ����%� �� � ��� ������#�� � � �9�� ������ ���� ������ �������#� ���� ���� � � ���� � ����$ �� ����� ������ � �� ������ �����&
0 1 2 nn-1
C a1 a2 an-1 an
"� ��������� � ������ ��� ��%��� �� ��) ����� ���� � ���� �:M� ��� � ���� �������#� ��� � ����� ��� � ������ ������ ���
(�� ������ ���� ��� �9�& kk Ima +=
"� ������� � ������ �� �� ��������� ��� �� ���� � ������#� ���
mmmmmm nn ====== −1321 ...
www.clasesuniversitarias.com
���
.���� � � ���� � ��$���� ���� � ������ �� ������ �� ���&
7& �#�� �� �����( ���� ,�.
0 1 2 nn-1
C m
mnmmmmC ⋅=++++= ...
SISTEMA UNIFORME
*CQ?@:A*�:B>�C�.:*>@���NQ@*3�.��*CQ?@:A*�:B>��Q>3@*>@�3��3:3@�C*�N>:=Q?C�
m m m
n
Cm =
www.clasesuniversitarias.com
E& ��� � �����( �� ,�@.
mmmmTk ++++= ... mkTk ⋅=
SISTEMA UNIFORME
*CQ?@:A*�:B>�C�.:*>@���NQ@*3�.��*CQ?@:A*�:B>��Q>3@*>@�3��3:3@�C*�N>:=Q?C�
:& � ��� ��������� �� �����( � ,�@.
�� ������ �� ��$���� ���� �� ����� � ��� ������ � �� ��� � �� )� ������#��� �� �� � ��� ��� ������#��� ��� �� �&
kk STC += kk TCS −= mkmnSk ⋅−⋅=
mknSk ⋅−= )(
www.clasesuniversitarias.com
���
G& �#�� �� �����)� ,�@.
.������ �� ���� � ����$ ��� � ���� ������ � ������#�� �� ��%��� ������� ��� � ����� ����$�
iSI kk ⋅= −1mknSk ⋅−−=− ))1((13�����
SISTEMA UNIFORME
*CQ?@:A*�:B>�C�.:*>@���NQ@*3�.��*CQ?@:A*�:B>��Q>3@*>@�3��3:3@�C*�N>:=Q?C�
O& *�# ��� � , @.
"� ��������� ����� ��������� ���� ��� ������ ��� �� ��� � �� ���� � ������#� ��� �� �� ���� � ����$ � ���� �������
kk Ima +=
www.clasesuniversitarias.com
�� ����� ����� �� ���� ��� ��� ���� ������� � �� ��$���� � ������#� ��������������� ������� �� �� ������� ���������� �������� Q �����$� ���� ��� ��� ��N*.?Q .� *CQ?@:A*�:B> � � �� ���� �� ������� ��� ������� � � ���� � ��$����
� :M� �M @M 3M
;
+
,
M
�
�
mIa += 1iSI ⋅= 01
n
Cm = mTT += 01 mSS −= 01
mIa += 2iSI ⋅= 12 m mTT += 12 mSS −= 12
11 TCS −=
mIa k += iSI kk ⋅= −1 m mTT kk += −1 mSS kk −= −1
mIa n += iSI nn ⋅= −1 m CTn = 0=nS
SISTEMA UNIFORME
*CQ?@:A*�:B>�C�.:*>@���NQ@*3�.��*CQ?@:A*�:B>��Q>3@*>@�3��3:3@�C*�N>:=Q?C�
www.clasesuniversitarias.com
���
� ����� �#�
mniC d⋅=+⋅ )1(
0 d+1 d+2 d+nd+n-1
C a1 a2 an-1 an
n
iCm
d)1( +⋅=
3� ��� �� ������ � ����� ������ � ��� �� ����#� ���� ������ �� � ������#� ��� ������ ��� � ������ �� � ����� ������� � ���� �� (����
"� ��� �� ���� ��� �� ��� ��%�� �&+� >� ���� ���������� ����� �� ������ �� �����,� * �� �� �� � �� �������� � ���� �� ����� � �� ����%� � �� ���� � ��
�����
d1 2 d-1
C(1+i) C(1+i)d
SISTEMA UNIFORME
*CQ?@:A*�:B>�C�.:*>@���NQ@*3�.��*CQ?@:A*�:B>��Q>3@*>@�3��3:3@�C*�N>:=Q?C�
www.clasesuniversitarias.com
� :M� �M @M 3M
;
+
,
�
�G+
�
mIa += 1iiCI d
⋅+⋅= )1(1
n
iCm
d)1( +⋅= mTT += 01
miCS d−+⋅= )1(1
iSI ⋅= 12 m mTT += 12 mSS −= 12mIa += 2
mIa n += iSI nn ⋅= −1 m d
n iCT )1( +⋅= 0=nS
� ����� �#�
�G,
�G�
)1( iC +⋅
2)1( iC +⋅
diC )1( +⋅
SISTEMA UNIFORME
*CQ?@:A*�:B>�C�.:*>@���NQ@*3�.��*CQ?@:A*�:B>��Q>3@*>@�3��3:3@�C*�N>:=Q?C�
www.clasesuniversitarias.com
���
� ����� ��T�
0 d+1 d+2 d+nd+n-1
C
3� ��� �� ������ � ����� ������ � ��� �� ����#� ���� ������ � ������#� ��� � ����� ���� ������� ��� % � ����� ������� � ���� �� C�����
"� ��� �� ����� ��� �� ��� ��%�� �&+� >� ������#� ������� ��� % ����� �����,� * �� �� �� � �� �������� � ���� ����� ������
d1 2 d-1
Ci
C
Ci Ci Ci
SISTEMA UNIFORME
*CQ?@:A*�:B>�C�.:*>@���NQ@*3�.��*CQ?@:A*�:B>��Q>3@*>@�3��3:3@�C*�N>:=Q?C�
mnC ⋅=n
Cm =
a1 a2 an-1 an
www.clasesuniversitarias.com
� :M� �M @M 3M
;
+
,
�
�G+
�
mIa += 1iCI ⋅=1
n
Cm = mTT += 01 mCS −=1
iSI ⋅= 12 m mTT += 12 mSS −= 12mIa += 2
mIa n += iSI nn ⋅= −1 m CTn = 0=nS
� ����� �#�
�G,
�G�
iC ⋅
iC ⋅
iC ⋅
�
�
�
SISTEMA UNIFORME
*CQ?@:A*�:B>�C�.:*>@���NQ@*3�.��*CQ?@:A*�:B>��Q>3@*>@�3��3:3@�C*�N>:=Q?C�
www.clasesuniversitarias.com
���
*CQ?@:A*�:B>�C�.:*>@���NQ@*3�.��*CQ?@:A*�:B>��Q>3@*>@�3��3:3@�C*�N>:=Q?C�
?�� ��� ��� �� ��������� � ������#�� �� ��$���� ������ ���� � ������#� ��� ������
SISTEMA UNIFORME
-��� � �� �� ������ � ���� �� ��� �� ���������� � ������ � �� ������ ��� �� �����������&
0 1 2 nn-1
C a1 a2 an-1 an
�� �9� +& 11 Ima += iCma ⋅+=1
�� �9� ,& 22 Ima += imCma ⋅−+= )(2 imiCma ⋅−⋅+=2 imaa ⋅−= 12
�� �9� 8& 33 Ima += imCma ⋅−+= )2(3 imiCma ⋅⋅−⋅+= 23 imaa ⋅−= 213
�� �9� M& kk Ima += imkCmak ⋅−−+= ))1(( imkiCmak ⋅⋅−−⋅+= )1(
imkaak ⋅−−= )1(1
www.clasesuniversitarias.com
*CQ?@:A*�:B>�C�.:*>@���NQ@*3�.��*CQ?@:A*�:B>��Q>3@*>@�3��3:3@�C*�N>:=Q?C�
(�� ������ �� ��������� � ������#�� �� ���� �������� ������� ��� ���� ������� ��������� �����$�� �� �� �� ������ ����&
SISTEMA UNIFORME
(���� �$�����?�#��
1a
im ⋅−
(���� ���� ��� ��� ������ �� ������� � ����� � ���� � ��� ���� ������� � �������� �����$�� �0
[ ]n
inin vnai
paaA ⋅−⋅+⋅= ¬¬
1)1( −+= iv����
(��� �� ���� ���� ��� � ����� �$����� ) ��#��&
[ ]n
inin vnai
imaaA ⋅−⋅
⋅−⋅= ¬¬1
1)1( −+= iv����
www.clasesuniversitarias.com
��
PROBLEMASPréstamos que se amortizan
mediante cuotas de amortización constante
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
www.clasesuniversitarias.com
EJERCICIO 1:
Una empresa solicita un préstamo de 50.000 euros para la compra de una maquinaria. Se compromete a devolver el préstamo mediante cuotas de amortización constantes, en 10 años, y con un interés del 5%
Calcule la fila sexta del cuadro de amortización del préstamo (correspondiente al quinto año de amortización)
SISTEMA UNIFORME. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com
año Anualidad C. Interés C. Amortización Total Amortizado Saldo Pendiente
5 ak I5 m T5 S5
��
www.clasesuniversitarias.com
año Anualidad C. Interés C. Amortización Total Amortizado Saldo Pendiente
5 a5 I5 m T5 S5
Cuota de Amortizacón
n
Cm =
10
000.50=m Eurosm 000.5=
Total Amortizado
kmT k ⋅= EurosT 000.25000.555 =⋅=
SISTEMA UNIFORME. PROBLEMAS
Saldo pendiente de amortizar
kk TCS −= mknmkmnS k ⋅−=⋅−⋅= )( EurosS 000.25000.555 =⋅=
www.clasesuniversitarias.com
año Anualidad C. Interés C. Amortización Total Amortizado Saldo Pendiente
5 a I5 m5 T5 S5
Cuota de Interés
iSI kk ⋅= − 1
Anualidad
kk Ima +=
000.30000.56)410(4 =⋅=⋅−= mS
05,0000.305 ⋅=I
SISTEMA UNIFORME. PROBLEMAS
EurosI 500.15 =
500.1000.55 +=a Eurosa 500.65 =
año Anualidad C. Interés C. Amortización Total Amortizado Saldo Pendiente
5 6.500 1.500 5.000 25.000 25.000
���
EJERCICIO 2:
Un préstamo que se amortiza mediante el sistema uniforme, presenta las siguientes características:- Durante los primeros dos años no se realiza ningún pago- A partir del tercer año, tres cuotas de amortización de cuantía m- Después tres cuotas de amortización de cuantía 2m- Por último, cuatro cuotas de amortización de cuantía 3m
a) Plantear la ecuación financiera que permitiría calcular la cuantía del préstamo.
www.clasesuniversitarias.com
03 12
C
2 1 11
m
4 5 6
m 2m 3m3m
7
2m
8
2mm
9
3m
10
3m
SISTEMA UNIFORME. PROBLEMAS
www.clasesuniversitarias.com
03 12
C
2 1 114 5 6 7 8 9 10
mmmmmmmmmmiC 3333222)1( 2+++++++++=+⋅
2)1( iC +
SISTEMA UNIFORME. PROBLEMAS
m m 2m 3m3m2m 2mm 3m 3m
miC ⋅=+⋅ 21)1( 2
���
EJERCICIO 2:
Un préstamo que se amortiza mediante el sistema uniforme, presenta las siguientes características:- Durante los primeros dos años no se realiza ningún pago- A partir del tercer año, tres cuotas de amortización de cuantía m- Después tres cuotas de amortización de cuantía 2m- Por último, cuatro cuotas de amortización de cuantía 3m
b) Si la entidad financiera trabaja con un interés del 4% y el importe del préstamo asciende a 50,000 euros, calcule el importe de la primera cuota de amortización (año 3) y la última cuota de amortización (año 12)
www.clasesuniversitarias.com SISTEMA UNIFORME. PROBLEMAS
www.clasesuniversitarias.com
03 12
C
2 1 114 5 6 7 8 9 10
2)1( iC +
SISTEMA UNIFORME. PROBLEMAS
m m 2m 3m3m2m 2mm 3m 3m
miC ⋅=+⋅ 21)1( 2
m⋅=⋅ 21)04,1(000.50 2
21
080.54=m Eurosm 24,575.2=
Eurosm 71,725.73 =⋅
���
EJERCICIO 2:
Un préstamo que se amortiza mediante el sistema uniforme, presenta las siguientes características:- Durante los primeros dos años no se realiza ningún pago- A partir del tercer año, tres cuotas de amortización de cuantía m- Después tres cuotas de amortización de cuantía 2m- Por último, cuatro cuotas de amortización de cuantía 3m
c) Con los datos del apartado b) calcular la anualidad correspondiente al octavo año.
www.clasesuniversitarias.com SISTEMA UNIFORME. PROBLEMAS
www.clasesuniversitarias.com
03 12
C
2 1 114 5 6 7 8 9 10
2)1( iC +
SISTEMA UNIFORME. PROBLEMAS
m m 2m 3m3m2m 2mm 3m 3m
mIa 288 +=
iSI añoaño ⋅= 78
a8
mmmmmS año 333327 ++++= mS año ⋅= 147
04,024,575.2148 ⋅⋅=añoI 13,442.18 =añoI
mIa 288 += 24,575.2213,442.18 ⋅+=a
Eurosa 61,592.68 =
���
EJERCICIOS REPASO I
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
EJERCICIOS DE REPASO
�^�?�:�:Q�+&��
N���������������������#������������� ��������� ����������������������������������?����������� ����������������� ���� ���
�� N�������������� ���� ���������� ������� ����������������������[��9�����������#����������� ������ ����%��+�;;;������,�J;;�����)�8�;;;����� ����� ��������� �������I����V��9��)�,,������������������������� ������� �����3������������� ���������������$���������������8T���������������9���)������������������������+�,T���������������������������������������������
3��������� �������������� ���������������$� ��������W ������%��������������������X���� ���������������WY�$����� ���������� ��X�?�#�����������
www.clasesuniversitarias.com
���
0 6 meses 7 años
1.000 2.500
4 años
3.000
22 trimestres
0,5 años 5,5 años
3 años
i = 3% i12 = 1,2%
"=�3� �� E��;��+G����E��� +�G���, G���8
��+�E�+�;;;�F��+�G,�J�F�;�;8��F��+�G�V�F�+,�F�;�;+,�
"=�3� ����������������������$
��+�E����G�:�G�:Z�E�+�;;;�G�+�;;;�F�,�J�F�;�;8�G�+�;;;�F�V�F�+,�F�;�;+,�E�+�IJ+�����
:�E����F���F��
��,�E�,�J;;�F��+G�8�F�+,�F�;�;+,���E�8�JS;�����
��8�E�8�;;;�F��+G�+�J�F�+,�F�;�;+,���E�8�IVS�����
�� 5�7&;O7�8�:&OI6�8�:&;GI��5�I&IUV��#���
EJERCICIOS DE REPASOwww.clasesuniversitarias.com
EJERCICIOS DE REPASO
�^�?�:�:Q�+&��
��������������������� ����"�������@������+,��������������� ����%�����������$������������������� ���� ���� ������� ���������� ��� �������;�,T���� ���������;�8T�)���������#� ����)���������;�VT��3������������������������������#� �����������%������������������� ��������8�JT.���������� ��� ���������������3����� ���#� �������������������������8�ST��W ����������� ����������!��������������X
www.clasesuniversitarias.com
���
0
PMa + 2 1,000 - 4
364 días
EJERCICIOS DE REPASO
(��������� �� ��������������������� ����� ������� ����������������8T������������������ ������ ���������� ��������)���� ��� ���
Y�$�����X������ ����%������(C��������� ���������� ��� �����;�,T�����+�;;;���������� ��� ����� 8E��#���&��������������X�������������;
Y�$�� ���X��������������������#� ������ ����$�������������������+�;;;������������� ���������������#� �������;�VT�����+�;;;�����������VV;��#�������������� ���X�������������8IV��%�
(������������ �� ���� ����%�&
4000.1)035,0365
3641()2( −=×+×+PMa �� 5�V;6�G7��#����
www.clasesuniversitarias.com
EJERCICIOS DE REPASO
(���� �� �������(C ����������� ������ ����������� ���������������� �� ���&
000.1)038,0360
3641( =×+×PMe ��� 5�V;:�66��#����
www.clasesuniversitarias.com
���
EJERCICIOS DE REPASO
�^�?�:�:Q�+&��
��(�����+;;��%���������� ��� ������"�������@����� ������������������%������ ��������� ���#� ��������� ����������\S�[JIT��WY�$�������������� �����������%������ ������� ���XW<���������������������������� ����������$����������������������� ����)�����������%������������������#� ���X
*���������������� ��������� ��� ��� ������������ ����%���������� ����� ���������� �������I;�)�\;��%��������� ��������� ���������������������� ����)����� ���� ���������������������������� ����������������+;�;;;����� ����%���������3����������� ������� �������������������� �������� �������������� ��������8T�������)����� ��������� �����#�����;�VT��W�� ������� ��%������������������ ���� ������X
www.clasesuniversitarias.com
0
962,41 983,56
100 días
EJERCICIOS DE REPASO
(��������� �� ��������������������� ��������������������������������������������+;;��%�������� ��� ��������������������� ������ ���������� ��������)���� ��� ���Y�$�����X������ ����%������(���������� ���������� ��� �����;�,T�����+�;;;���������� ��� ���\I;�V+G,��V;E�G7��#���&��������������X�������������;
Y�$�� ���X����������������� ���� ���������� ����$����� �������� ���#� ��������\S�[JIT�����+�;;;��������� ���������������#� ����)���������;�VT�����+�;;;�����������VI:�O;��#�������������� ���X�������������+;;��%�
(������������ �� ���� ����%�&
56,983)365
1001(41,962 =×+× i ��5�I�6E�P�
www.clasesuniversitarias.com
���
990,56 996
364días
EJERCICIOS DE REPASO
(��������� �� ��������������������� ���������������������������������� ������������+;;��%�������� ��� ����)�������������������������#� �������������������� ������ ���������� ��������)���� ��� ���
Y�$�����X������ ����� ���#� �����\S[�JI����������� ��������� �������;�8T�����+�;;;���������� ��� ���\S[�JIG8��VV6�O;��#���&��������������X�������������+;;
(������������ �� ���� ����%�&
996)365
)100364(1(56,990 =×
−+× i ��5�6�U;�P�
Y�$�� ���X��������������������#� ������ ����$�������������������+�;;;������������� ���������������#� �������;�VT�����+�;;;�����������VV;��#���&����������� ���X�������������8IV��%�
100 días
www.clasesuniversitarias.com
C C
90 días
EJERCICIOS DE REPASO
��� ��������������+;�;;;����� ������������ ���������������������������� ��������� �����������������������"�������@����\S8�JI������������� ����� ����������� ������\�;+I�JV
gNdn
NE ×−��
���
×−×=
3601
��5�G&OOG�V;��#����
"������ ������� ���������������������������&
60 días0
004,003,0360
901004,003,0
360
60154,016.9 ×−�
�
���
×−×+×−�
�
���
×−×= CCCC
www.clasesuniversitarias.com
��
EJERCICIOS DE REPASO
�^�?�:�:Q�+&��
���=������������������� ����� �������������������������� �� ��������������������� ��������� ����%�����8;�;;;�R�)�,��� ����� ���������J��\�)�+J���(�������� ���� ������������������������ ���������#����������� �������� ��������������������������IT���� �������������������.������������������� �����������
������� ������������� ����� ���� ���������� �������������������� ���� �������������������(��������������� ���������� ���������� ������������������� ����������� ���� �������������������������� ������� ��������������� �
1529000.305)2000.30( ×+×+×=×++ CCtCC
)2000.30(
1529000.305
CC
CCt
++
×+×+×=
www.clasesuniversitarias.com
EJERCICIOS DE REPASO
�^�?�:�:Q�,&��
?��������#�������������� ����������������� ������������������������ ��������� ���
�� N��������������� ������� ���������������������������������%�������8;�;;;�����������������8T�������$��������� ������� ��������������� ������� ��������������������;�+T�)����� ��������������� ������������������#���������������;�JT���� ���������������
W���������@*�����������XN�� ������ ��� ���������������� �������#�����������������VJ�;;;������������S��9���.�������������������������������������������������� �������������������8T�������$�������������������������������9������� ������� ��������������W��������������� ����������������������������������� ���X
www.clasesuniversitarias.com
��
EJERCICIOS DE REPASO
���������������������� ���� ����� ��������������� �����������������@*����������������������� �������� �������(��������������� �� ��������@*�������%�� ��� �� ������������������$������� ����������������������$� ������� ����������� ����������������
<������� �� ����%����������$������� ������������������� ������ ��&
( ) k
kii )1(1 +=+
N�������������$��������� ������� ���������������� ����� ���������^������ ����^8
*������������������ �� ������������$�MD���� ������������� �����8������������ ������ ��&
01,03
03,0
3
33 ===
Ji
030301,01)01,01( 3=−+=i
(�������������@*���%�������������:�6:P
www.clasesuniversitarias.com
EJERCICIOS DE REPASO
��� ������������VS�;;;������������ ������� ������ ��������������������;�+T���� ����VS������VS�;;;���;�;;+���(������������� �������� ����������������������V[�\J,������VS�;;;�� VS�
<������� �� ����%�������������&
( ) 2533 015,01)01,01(47952××
+×+×=nC
0 8 años
47.952
3 años
J3 = 3% J2 = 3%
Cn
01,03
03,0
3
33 ===
Ji 015,0
2
03,0
2
22 ===
Ji
86,863.60=nC
>������������ ��������� ����%�����������)�� ����������� �����%��������������������������� ������������������;�JT��� ������������������� ����,V;������VS�;;;���;�;;J��(������������ ����%��������������������I;�I,8�SI����
www.clasesuniversitarias.com
���
48.000 60.623,86
8
EJERCICIOS DE REPASO
(��������� �� �������������� ����������������������������)� �������������� ������ ���������� �������� ����������)���� ���� ���
Y�$��������X��������������������������� ������VS�;;;����&��������������X�������������;
(������������ �� ���� ����%�&
( ) 86,606231480008
=+× i ��5�E�V;P�
Y�$�� ���X�"�� ����������I;�I,8�SI��������������� ���X�������������S��9�
0
www.clasesuniversitarias.com
EJERCICIOS DE REPASO
�^�?�:�:Q�,&��
?��������#�������������� ����������������� ������������������������ ��������� ���
������3���������� ��������������������������#�������� �����������+I��9������������������������ ������������ ����)�*��������������#����� �������9���"�������������� ���� �������������������� ����IT������� ����� ���� ������������������������9������,T�� �������������� �������9�������������ST��������� ������� �����������������������������)����\T� ������������ ��������������W���������������������������������#���������� ���X
www.clasesuniversitarias.com
���
EJERCICIOS DE REPASO
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 362
162136
2
1624122
09,116,102,109,116,102,1005,1×××××××
×××+××××= ACCn
0 2 años 18 años
C A
12 años6 años
i2 = 2% J1/2 = 8%
5 años
J12 = 6% i3 = 9%
005,012
06,012 ==i 16,0
21
08,02/1 ==i
www.clasesuniversitarias.com
EJERCICIOS DE REPASO
�^�?�:�:Q�,&��
?��������#�������������� ����������������� ������������������������ ��������� ���
��* ����������3�������� ������������� ������������������� �� ����������� ������%�� ���������J�;;;R��8�J;;R�)�V�J;;R� ����� ���������J��S�)�+;��9���*����������������������������������������� �������������������������������������� �������� ������� �����.������������������� ���������� ���������� �����������������������������$�� ��������������
www.clasesuniversitarias.com
���
EJERCICIOS DE REPASO
4
4
410
4
48
4
45
4 )1()1(4500)1(3500)1(5000 ×−×−×−×−+×=+×++×++×
tiCiii
5
5000
0
. .
3���� ����:�� ���*
3���� ����*���������L
C
3.500 4.500
108
0
. .
3��������� ��������������� ������� ����� ��������� �������������������� ����������������������� �������� ������������� ������� �������
��� ������������������������3���� ����*��������3���� ����L������ �������
"��3���� ����*���� �������������3���� ����L������������������������������������������� ����
*�,6.�5��,6.
t
www.clasesuniversitarias.com
EJERCICIOS DE REPASO
�^�?�:�:Q�8&��
?��������#�������������� ����������������� ���� ��
������������� ��������� ����%���+ )��,��� ����� ���������I�)�+;����:��� ����� ���� ���� ����� ������������ ������� ���������� �������������+,�������� ��������8 ����� ���������[���������������������$������������
www.clasesuniversitarias.com
���
EJERCICIOS DE REPASO
)6
51()
6
21()
6
61( 232221 ×+×=×+×+×+× iCiCiC
6
C1
0
. .
3���� ����:�� ���*
3���� ����*���������L
C2
C3
1210
0
. .
3��������� ��������������� ������� ����� ��������� �������������������� ����������������������� �������� ������������� ������� �������
��� ������������������������3���� ����*��������3���� ����L������ �������
"��3���� ����*���� �������������3���� ����L������������������������������������������� ����
*�,7E.�5��,7E.
7 12
www.clasesuniversitarias.com
EJERCICIOS DE REPASO
�^�?�:�:Q�8&��
?��������#�������������� ����������������� ���� ��
���.�������������������$������� ������� �������� ��������������������� ������ �������#� ������+J��9������� ���� ���������� ������������������������� ��������������������������������9��)����������������$��������� ��������������������� ��9��������
www.clasesuniversitarias.com
���
EJERCICIOS DE REPASO
0 3 años 15 años
i2 J12
1212
12
23
2 )1()1(x
n iiCC +×+×=×
C Cn
15)1( iCC n +×=
151212
12
23
2 )1()1()1( iCiiC x+×=+×+×
×
www.clasesuniversitarias.com
EJERCICIOS DE REPASO
�^�?�:�:Q�8&��
?��������#�������������� ����������������� ���� ��
��������������������������,;��$�������� ����%�� ��� �� ������������������������� ����� ���������� ����#����� �������9����� ����%��E �������������� �����������������������������#������9��+,�)��� ����%��: ��������������������#���������� �����.��������������� �����)�������������������������� �����������������������������$������������ ��� ���������9����W ��������
www.clasesuniversitarias.com
���
EJERCICIOS DE REPASO
152
'9
15
'2
11
4
2
5
)1()'1(3
)1(2)1(2)1(
−−
¬
−
¬
−
¬
−
¬
+×+××+
++××++××++××=
iiaa
iaaiaaiaaA
i
iii
� � � � � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
� � � � � � � � � �� �� �� �� �� �� �� �� � � �� �� �� �� �� ��
i i’
'9
9
'2
11
4
118
5
3)'1(2
)'1(2)'1()1(
ii
ii
saisa
isaiisaS
¬¬
¬¬
×++××+
++××++×+××=
www.clasesuniversitarias.com
EJERCICIOS DE REPASO
�^�?�:�:Q�8&��
?��������#�������������� ����������������� ���� ��
���������������$����������������������� ���������#����������������� ���� �������)�������������������������9�������������������������$���*��������#������9���������������������#�������������� �������?������ ��������������������$����� ������Z�)��� �������������������������������������������������#���������� ����� ������������������� ��������� ��������� ������ ��������3� ���� �����%����������������������������#���������� ���������#�����#��������������� ����3�������9���D,�������#�����#��������������� ������������������� ������ ������������������������W �$� �������������%�����������������������������$����� �������������� ��� ������ ����������$����X
www.clasesuniversitarias.com
���
EJERCICIOS DE REPASO
0 3 ni’
C Ci+C
SiRCsCi hn
ihn ++=+¬×−
−
)(
' )'1(
!
2 1 h h+1 h+2 h+3 n-1
CiCiCiCiCiCiCiCi
0 3 n
i’
S
!
2 1 h h+1 h+2 h+3 n-1
R
)(
' )'1( hn
ihn iRCsCiS −
− +−+¬×=
www.clasesuniversitarias.com
EJERCICIOS DE REPASO
0 3 n
2)''1( iXS +×=
!
2 1 h h+1 h+2 h+3 n-1
0 3 n
i’’
X
!
2 1 h h+1 h+2 h+3 n-1
S
n-2
2)''1( i
SX
+=
www.clasesuniversitarias.com
���
EJERCICIOS REPASO II
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
EJERCICIOS DE REPASO
�^�?�:�:Q�V&��
���3��3��������� ������������� ��������������\;�;;;�R��"��������� ����������� �������������������������������� ����������� ��������������?����������� ����������������� ������ ������������ �������� �������������� ��������� �����������������IT�������$�������
Q� ����:&�.��������,;� �������� ������������������ �����9��������������������������� �������9���W����������� ����%�����������X
www.clasesuniversitarias.com
��
EJERCICIOS DE REPASO
0 3 23
90.000
2 1 22
a
4 5 6
a a aa
3
20 )1( −
¬ +××= iaaA i
320
)06,01(06,0
)06,01(190000 −
−
+×+−
×= a
�5�V&:GO�GG��#����
www.clasesuniversitarias.com
EJERCICIOS DE REPASO
�^�?�:�:Q�V&��
���3��3��������� ������������� ��������������\;�;;;�R��"��������� ����������� �������������������������������� ����������� ��������������?����������� ����������������� ������ ������������ �������� �������������� ��������� �����������������IT�������$�������
Q� ����::&�.���������������������� ���������\;;R��������������� �����������������W�������������������������%������#��X�
����� ������������������������������������������������� ���� ������������ ������%������#������ ����� ������������$����������������� �����������
www.clasesuniversitarias.com
��
EJERCICIOS DE REPASO
0 3 n
90.000
2 1 n-1
a
4 5 6
a a aa
004867551,0
)004867551,01(190090000
n−+−
×=
��5�7:U�:;:O;�������
aaa
12inaaA ¬×=
( ) k
kii )1(1 +=+ 004867551,01)06,01( 12
1
12 =−+=i
5132449,0)004867551,1( =− n 5132449,0ln)004867551,1ln( =×−n
004867551,1ln
5132449,0ln−=n
www.clasesuniversitarias.com
EJERCICIOS DE REPASO
0 3 137
90.000
2 1 136
a
4 5 6
a a Ca
138137
)004867551,1(004867551,0
)004867551,01(190090000 −
−
++−
×= C
��5�:EU�UE��#����
aaa
138
12137 )1(12
−
¬ ++×= iCaaA i
138
a
www.clasesuniversitarias.com
���
EJERCICIOS DE REPASO
�^�?�:�:Q�V&��
���3��3��������� ������������� ��������������\;�;;;�R��"��������� ����������� �������������������������������� ����������� ��������������?����������� ����������������� ������ ������������ �������� �������������� ��������� �����������������IT�������$�������
Q� ����:::&�.��������+J����������� � ������8;;�������������������������������������#����� �������9��
W������%����� ����%����������������������� ���� ����%�X
www.clasesuniversitarias.com
EJERCICIOS DE REPASO
0 3 18
90.000
2 1 17
a
4 5 6
a+p a+2p a+14pa+13p
�5�V&EOI��VG��#����
3)1()]([ −
¬¬ +××−×+×= ivnai
paaA n
inin
3151515
)06,1()])06,1(1506,0
)06,1(1(
06,0
300
06,0
)06,1(1[90000 −−
−−
××−−
×+−
×= a
www.clasesuniversitarias.com
���
EJERCICIOS DE REPASO
�^�?�:�:Q�V&��
(�������������3��3�����������#������������������������������������������� ���������������������+;��9�������#����������� ��������������� ������������IT�������$��������� ����������������
��� ����������� �������������9���3�����������#��������� ���������������SJ;��������������9����� ����������������� ���������8T�������� ����������
������ ���� ����� ��������� �������� ��������������3���3�������������X
www.clasesuniversitarias.com
EJERCICIOS DE REPASO
����������������������� ���������������� ���&C�������������������$�̂ +,"����������������"�������� ������� ��������������������������9�����9����������������$��� �
��������������������������9�����9��)� ������������ �����������MD���� ����������������
+ �QCQ�3:�3��@?*@*?*�.��N>*�?�>@*�*>N*"�-*?:*L"���>�(?Q_?�3:B>�_�QCK@?:�*
, �QCQ�>Q��3�*>N*"�3:>Q�@?:C�3@?*"��3���Q??:_�
1
1
−×
−×××=
vq
vqvaA
nn
+
kikS ¬
,
*������������������������������������������ ���� niAS )1( +×=
www.clasesuniversitarias.com
���
EJERCICIOS DE REPASO
(������ �� ����������$������� �����������^+,
106167781,1(03,1
1)06167781,1(03,1)06167781,1(850
1
10101
−×
−×××=
−
−−A
+
015075125,0
1)015075125,1(4
−
,
( ) k
kii )1(1 +=+
015075125,01)005,01( 4
12
4 =−+=i
005,012
06,0
12
1212 ===
Ji
����������������������������� ���� �� �����������������$����������������� ���������������� ����������$�������������������������������� ����������������������$������
061677811,01)005,01( 12=−+=i
����� ��������������������)�� �������&
*�E�,S�I\;�VV����� 29,52199)06167781,1(44,2869010
=×=S
www.clasesuniversitarias.com
EJERCICIOS DE REPASO
�^�?�:�:Q�J&��
���3���N�a� � ������� ����������$�������I;�;;;��������������������������#�������,;��9���(������������� ���������� ����������������?����������� ����������������� ���� ���
�� N������������ �����������#�������$���������������������� �������� ��������������� ��� ������������ ����������9��
3���������������$��� ���������8T����+;���������9��)����VT�������������������������������������������������� �������������#� ������������9��)���� �����������$�����9��+,
www.clasesuniversitarias.com
���
EJERCICIOS DE REPASO
0 3 20
60.000
2 1 19
a
4 5 6
a a aa
�5�G&;UI��:6��#����
7107
)03,01(04,0
)04,01(1
03,0
)03,01(160000 −
−−
+×+−
×++−
×= aa
Ci Ci Ci
60.000
i = 3% i’ = 4%
10
a
11
a
"�� �������������#� ������������9�&
2
13 )1().( imañosextom +×= 11 ).( Iaañocuartom −=
30,287803,06000030,46781 =×−=m 59,3053)03,01(30,2878 2
3 =+×=m
www.clasesuniversitarias.com
EJERCICIOS DE REPASO
"�� �����������$�����9��+,E���������������������#�������9��++����������������$
71,3478404,0
)04,1(130,4678
)1120(
11 =−
×=¬×=
−−
− ihnaaS
39,139104,071,347841112 =×=×= iSI
�����������������������#�������9��++������������������ �����#������������������������������ ������
www.clasesuniversitarias.com
���
EJERCICIOS DE REPASO
�^�?�:�:Q�J&��
���3���N�a� � ������� ����������$�������I;�;;;��������������������������#�������,;��9���(������������� ���������� ����������������?����������� ����������������� ���� ���
���"���������� ������������ �������������#� ���� ������� ��������������� ��� ����������� ������ �� ���9���3����������������$��� ���������[T�� �� ����� ���������� �������������#� �������� �����������$�����9��+S�)���������������#���������������������9��+;�(�������� �� ���� �����������%�� �� �������������� ������� ������������ ����������� ��������� ��������������������+T�)��������������������+�;;;R���@*����������� ����������� �������������$����X
www.clasesuniversitarias.com
EJERCICIOS DE REPASO
0 3 20
60.000
2 1 194 5 6
m mm
i = 7%
10
m
11
m
"�� �������������#� ���� ���������� �� �������������������������������#��������������������������� ��� ����� ���������������#� ���
5)1(60000 i+×
21,5610)520(
)07,1(60000 5
=−
×=m
"�� �����������$�����9��+S�������������������������������#�������9��+[����������������$
�����������������������#�������9��+[������������� �������� �� ��������������#���������9��+S��+\�)�,;���� ����8����
62,1683021,5610317 =×=S 14,117807,062,1683018 =×=I
www.clasesuniversitarias.com
���
EJERCICIOS DE REPASO
���������������#���������������������9��+;����������������������������������������J��������� �������� ���������#�� �����9�����
05,2805121,5610510 =×=T
(��������������� �� ���� ��������� �� �������������� ������ ���������$���������������������� ������ ���������� ��� ����)���� ������
Y�$�� ���X�����������������$������I;�;;;������3����������� ������������ ����������������)������������+;;;G;�;;+FI;;;;�� ��� �������+�I;;��������� �������� ����������� �������JS�V;;���������������� ���X�������������;
Y�$�����X�(���������������������������������������������%����������&
0 3 202 1 194 5 6
a1 a15a14
10
a5
11
a6
www.clasesuniversitarias.com
EJERCICIOS DE REPASO
�����)��������������������� ��������#��������$���������������������������� ������ ��������� ������������������������������������$�� ������#�����ED��
(���������������#� �� ��������������������������������������+� )� �� ���������������� ����������������������%��������������� �� ��������� ���
5151515
)1()])1(15)1(1
(07,021,5610)1(1
[58400 −−−−
+×+×−+−
××
−+−
×= iii
i
ii
ia
7���%�� �������������������������������������������������������������
(��������������� �������@*�������$����� ��� ����%�� ������������ ����������������� �������������������������� ���������� ����������%������� �� �������������@*�� �������������� ����
www.clasesuniversitarias.com
���
EJERCICIOS DE REPASO
�^�?�:�:Q�J&��
���3���N�a� � ������� ����������$�������I;�;;;��������������������������#�������,;��9���(������������� ���������� ����������������?����������� ����������������� ���� ���
��=��������������� ����� ������������S������������� ����%������������������������������#������� ���9���)��� ����%��,b�����������9��3����������������$��� ���������JT������������������������������������������ �������������#� ��������9��+;����������������#���������������������9��[�)�����������������#������9��+J
www.clasesuniversitarias.com
EJERCICIOS DE REPASO
0 3 20
60.000
2 1 194 5 6
a 2a2a
i = 5%
10
a
11
2a
���������������������������������������������������������� �� ���
2)1(60000 i+×
8
05,01005,08
2)05,01(2)05,1(60000
−+׬×+¬×=× aaaa
.�!������������%�������������������������)������,�
a a a
�� ������ ��������9��,�
10
05,010
2
05,08 )05,01(2)05,1(60000 −−+׬×+׬×= aaaa �� ������ ��������9��;�
��E�8�\+;�J+���� ,���E�[�S,+�;,
www.clasesuniversitarias.com
���
EJERCICIOS DE REPASO
"�� �����������$�����9��+;�������������������������������#�������9��\����������������$
29,61240)05,01(02,782151,3910 1
05,01005,019 =+׬×+¬×=−aaS
01,306205,029,6124010 =×=I
���������������#������������9��[������ �� ����� ��������������������&
ismTañoT ¬×== 313)7(
01,60305,06615051,391011 =×−=−= Iam
99,190005,0
1)05,1(01,603
3
313 =−
×=¬×= ismT
www.clasesuniversitarias.com
EJERCICIOS DE REPASO
�����������������������#����������������9��+J������������� �����#������������������������������ ���������� ���
92,3386002,7821 05,0515 =¬×= aS
www.clasesuniversitarias.com
��
EMPRÉSTITOS. INTRODUCCIÓN
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
EMPRÉSTITOS. INTRODUCCIÓN
Introduccion.
www.clasesuniversitarias.com
Un empréstito es una modalidad especial de préstamo por la cual el prestatario recibe un capital dividido enfracciones llamadas obligaciones y que son representadas por títulos negociables. En las obligaciones secompromete el pago de un interés o cupón y la devolución del principal con unas condiciones pactadaspreviamente.
La emisión puede hacerse
•Por la propia entidad emisora, que directamente pone en circulación los títulos con el riesgo de la nocolocación del total.
•A través de un banco o grupo de bancos que adquiere la totalidad del empréstito e impone un comisión enconcepto de gestión.
Ventajas para el prestatario (EMISOR):
•Se salva la dificultad de encontrar un único prestamista para grandes capitales
•Conveniencia de no depender de un único acreedor
•Facilita la inversión al pequeño ahorrador
Ventajas para el prestamista (OBLIGACIONISTA)
•Supone un posibilidad de inversión diversificando sus riesgos.
��
Introduccion.
www.clasesuniversitarias.com
Para cada obligación hemos de diferenciar los siguientes conceptos de VALOR:
• VALOR NOMINAL, es el valor que aparece impreso en los títulos y representa la fracción de préstamo de la que espropietario el obligacionista. Se utiliza, además, como valor de referencia.
•VALOR DE EMISIÓN, valor al que se ponen en circulación los títulos. Generalmente será igual o inferior al valornominal (prima de emisión).
• VALOR EFECTIVO O DE COTIZACIÓN, valor que tiene el título en el mercado secundario en un determinadomomento.
• VALOR DE REEMBOLSO O DE AMORTIZACIÓN, valor por el que la entidad emisora se compromete a retirar eltítulo de circulación, es decir, a amortizarlo. Generalmente será igual o superior al valor nominal (prima deamortización).
EMPRÉSTITOS. INTRODUCCIÓN
Introduccion.
www.clasesuniversitarias.com
Además, la emisión de un empréstito conlleva gastos de diversa índole:
- Emisor: constitución de garantía real (hipoteca), gastos de protocolo y registro, comisión a intermediarios,publicidad, marketing…
- Obligacionista: impuesto sobre la renta, derechos de custodia…
Llamaremos efectivo de la emisión al producto del nº de títulos por el valor de emisión. Llamaremos líquido de
la emisión al valor anterior deducidos los gastos satisfechos en la emisión.
EMPRÉSTITOS. INTRODUCCIÓN
���
Clasificación de los Empréstitos.
www.clasesuniversitarias.com
•Según el desembolso que realizan los suscriptores,
•A la par
•Sobre la par (prima de emisión)
•Bajo la par
•Según los intereses que reciben las obligaciones
•Interés fijos (periódicos o con cupón, acumulados o sin cupón)
•Interés variable
•Interés fijo y participación en beneficios de la empresa (dividendos)
•Según el plazo de reembolso
•Sin plazo de reembolso
•Sin cancelación escalonada
•Con cancelación escalonada
•Plan de amortización anual establecido a priori
•Plazo máximo de amortización pero sin plan anual
EMPRÉSTITOS. INTRODUCCIÓN
Clasificación de los Empréstitos.
www.clasesuniversitarias.com
•Según el pago por reembolso•A la par•Sobre la par o con prima de amortización•Con premios o lotes
•Según la naturaleza de la entidad emisora•Privados•Públicos
EMPRÉSTITOS. INTRODUCCIÓN
���
Nomenclatura de los Empréstitos.
www.clasesuniversitarias.com
Nh=Número de títulos vivos al inicio del período h, h=1,…,n
N1= Número de títulos emitidos
n= duración de empréstito
Mh= número de títulos amortizado en el período h
mh= pago por amortización del periodo h
C= valor nominal de cada título
C·i= cupón periódico
i= tanto de interés del empréstito
Ih= Pago por cupones del período h
Th= Títulos amortizados hasta el período h
ah= Anualidad o término amortizativo del período h
ah=Ih+mh
ah=C·i·Nh+C·Mh
EMPRÉSTITOS. INTRODUCCIÓN
Empréstitos que vamos a estudiar en este curso.
www.clasesuniversitarias.com EMPRÉSTITOS. INTRODUCCIÓN
Empréstito Normal o Puro: anualidad constante y amortización a la par.
Empréstitos que se amortizan mediante rentas:
Empréstito que se amortiza mediante anualidades variables en progresión aritmética de razón “d”.
Empréstito que se amortiza mediante anualidades variables en progresión geométrica de razón “r”.
(empréstitos de tipo II, operaciones de emisión en las que las anualidades son variables pero los cupones se mantienen constantes durante la vida del empréstito)
Empréstitos Cupón Cero: sólo se pagan intereses a los obligacionistas cuyos títulos amortiza.
Empréstitos con pago de cupón fraccionado.
Empréstitos con amortización única total.
���
Empréstitos que vamos a estudiar en este curso.
www.clasesuniversitarias.com EMPRÉSTITOS. INTRODUCCIÓN
Empréstitos con reducción del nominal: todos los títulos se mantienen vivos hasta el final del empréstito ycada año se amortiza una cantidad del nominal.
Empréstitos no amortizables: el único compromiso por parte del emisor es el pago de cupones de formaindefinida.
Empréstitos con características comerciales: prima de emisión, prima de amortización, lotes y pérdida delúltimo cupón.
Empréstito con prima de amortización y cupón vencido fijo
Empréstito con pago de cupón anticipado
Empréstito con reembolso a la par y pérdida del último cupón vencido (amortización seca)
Empréstitos amortizables a la par, con cupón vencido fijo y lotes.
Tanto efectivo para el obligacionista y para el inversor.
Cuadro de Amortización
www.clasesuniversitarias.com
MÉTODO DE REDONDEO. A partir de los valores teóricos Mh se calculan los valores reales, que seránlos que se incluyan en el cuadro de amortización, por simple redondeo y asegurándonos que suman eltotal de títulos emitidos.
AÑO ah Ih mh Mh Th Nh+1
0 - - - - - N1
1 a1=I1+m1 N1·C·i C·M1 M1 M1 N1-M1
2 a2=I2+m2 N2·C·i C· M2 M2 M1+ M2 N1-(M1+ M2)
… … … … … … …
EMPRÉSTITOS. INTRODUCCIÓN
���
Cuadro de Amortización
www.clasesuniversitarias.com
MÉTODO DE CAPITALIZACIÓN DE LOS RESIDUOS. Aproximamos por defecto la diferencia entre laanualidad teórica y la anualidad práctica o real. La diferencia o residuo se capitaliza para ser utilizada enla amortización del año siguiente.
AÑOAnualidad disponible
Anualidad real
IhAmortización
teóricaMh
Amortización real
Residuos
0 - - - - - - -
1 at1=a a1=I1+m1 N1·C·i at
1-I1 C·M1 R1=a1t-a1
2 at2=a+R1(1+i) a2=I2+m2 N2·C·i at
2-I2 C· M2R2=a2
t-a2
… … … … … … … …
EMPRÉSTITOS. INTRODUCCIÓN
Cuadro de Amortización
www.clasesuniversitarias.com
MÉTODO DE CAPITALIZACIÓN DE LOS RESIDUOS. Aproximamos por defecto la diferencia entre laanualidad teórica y la anualidad práctica o real. La diferencia o residuo se capitaliza para ser utilizada enla amortización del año siguiente.
AÑOResiduos
capitalizadosTh Nh+1
0 - - N1
1 R1(1+i) M1 N1-M1
2 R2(1+i) M1+M2 N1-(M1+M2)
… … … …
EMPRÉSTITOS. INTRODUCCIÓN
���
EMPRÉSTITO NORMAL O PURO
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
EMPRÉSTITO NORMAL O PURO
Amortización mediante Anualidad Constante: Empréstito Normal o Puro.
www.clasesuniversitarias.com
Son los llamados Empréstitos de Tipo I, en los que tanto la anualidad como el interés permanececonstante. En este caso ah=a y la anualidad se calcula a través de la ecuación que establece laequivalencia financiera entre lo que la sociedad emisora está comprometida a pagar en el momento inicialy la actualización financiera del flujo de anualidades, que emplea en la amortización de obligaciones ypago de intereses periódicos
inin a
CNaaaCN
|
1|1
⋅=�⋅=⋅
Segundo calculo el número de títulos amortizado cada año
11 mIa +=Año 1:11 MCiCNa ⋅+⋅⋅=
C
iCNaM
⋅⋅−= 1
1
Año 2:22 mIa +=
22 MCiCNa ⋅+⋅⋅=C
iCMNa
C
iCNaM
⋅⋅−−=
⋅⋅−=
)( 1122
C
iCM
C
iCNaM
⋅⋅+
⋅⋅−= 11
2)1(1112 iMiMMM +⋅=⋅+=
Primero calculo la anualidad
���
EMPRÉSTITO NORMAL O PURO
Amortización mediante Anualidad Constante: Empréstito Normal o Puro.
www.clasesuniversitarias.com
Año 3: 33 mIa +=33 MCiCNa ⋅+⋅⋅=
C
iCMMNa
C
iCNaM
⋅⋅−−−=
⋅⋅−=
)( 21133
C
iCM
C
iCM
C
iCNaM
⋅⋅+
⋅⋅+
⋅⋅−= 211
3iMiMMM ⋅+⋅+= 2113
)1(2223 iMiMMM +⋅=⋅+= 2
13 )1( iMM +⋅=
Año k:)1(
1 )1( −+⋅=
k
k iMM
Para obtener M1: nMMMMN ++++= ...3211
)1(
1
2
1111 )1(...)1()1( −+⋅+++⋅++⋅+=
niMiMiMMN
))1(...)1()1(1( )1(2
11
−+++++++⋅=
niiiMN
inSMN ¬⋅= 11
inS
NM
¬
= 11
EMPRÉSTITO NORMAL O PURO
Amortización mediante Anualidad Constante: Empréstito Normal o Puro.
www.clasesuniversitarias.com
Tercero: calculo el total de títulos amortizados.
hh MMMT +++= ...21
Cuarto: el número de títulos vivos en cada momento puede calcularse a partir de la anterior expresión,teniendo en cuenta en cualquier caso, que Nh está definido al principio de cada año.
11 −−= hh TNN
ihh SMT|1=
1
111 )1(...)1( −+++++=
h
h iMiMMT
Quinto: la cuota de amortización se calcula multiplicando el número de obligaciones que se amortizancada año (Mk) por el Valor Nominal de cada título (C)
CMm hh ⋅=
���
EMPRÉSTITO NORMAL O PURO
Amortización mediante Anualidad Constante: Empréstito Normal o Puro.
www.clasesuniversitarias.com
Sexto: la cuota de interés de cualquier año se calcula multiplicando la cuantía del cupón (Ci) por elnúmero de títulos vivos al principio de ese año.
Séptimo: la suma de la cuota de interés y de la cuota de amortización, determinarán la anualidadconstante
iCNI hh ⋅⋅=
Hay que distinguir entre la anualidad teórica y la anualidad real, derivadas del número de obligaciones realy teórico que se amortizan cada año.
Todo esto difiere por el proceso de redondeo
CMiCNa hh ⋅+⋅⋅=hh mIa +=
EMPRÉSTITO NORMAL O PURO
Ejemplo de Empréstito Normal o Puro.
www.clasesuniversitarias.com
Supongamos que una determinada empresa desea emitir un empréstito con las siguientes características:Se emiten 1000 títulos u obligaciones de 100€ de nominal cada uno de ellos a amortizar mediante anualidad constante durante 10 años y por el que se pagará un cupón anual por título de 8€.
Calculamos la anualidad teórica
inaaCN¬
⋅=⋅1
ina
CNa
¬
⋅= 1
08,0
)08,1(1
100000.110−
−
⋅=a €95,902.14=a
Y calculamos el número de títulos que se amortizan el primer año,
inS
NM
¬
= 11
i
i
NM
n1)1(
11
−+=
08,0
1)08,1(
000.1101
−=M 03,691 =M
���
EMPRÉSTITO NORMAL O PURO
Ejemplo de Empréstito Normal o Puro.
www.clasesuniversitarias.com
Para calcular, a partir de M1, los títulos que se amortizan cada año, )1(1 iMM hh +⋅= −
"�# ���
"�# �����
"�# ����
"�# ����
"�# ���
"�# �����
"�# ����
"�# �����
"# ������
"�# ����
�
��
�
��
�
��
�
���
���
���
�
"�#
"�#
"�#
"�#
"�#
"�#
"�#
"�#
"#
"�#Total
�
�
�
�
�
�
�
��
�
��
�
��
��
���
���
���
�
"�#
"�#
"�#
"�#
"�#
"�#
"�#
"�#
"#
"�#Total
EMPRÉSTITO NORMAL O PURO
Ejemplo de Empréstito Normal o Puro.
www.clasesuniversitarias.com
Podemos resolver el empréstito,
$%� �� &� '� "� (� )�*�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
��
�
��
��
���
���
���
�
���
���
���
��
��
���
���
���
�
��
���
���
��
��
��
���
���
���
�+�,
�+��,
�+�,
�+��,
+��,
�+��,
��+�,
��+��,
��+��,
��+��,
�+�,
�+����,
�+����,
�+���,
�+����,
�+���,
�+���,
�+���,
�+����,
�+���,
��+�,
��+���,
��+����,
��+��,
��+���,
��+���,
��+���,
��+����,
��+���,
��+��,
��
EMPRÉSTITOS CON NÚMERO DE OBLIGACIONES CONSTANTE
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
EMPRÉSTITO NUMERO OBLIGACIONES CONSTANTE
Introduccion.
www.clasesuniversitarias.com
Primero: Se calcula el número de obligaciones constantes que se amortizan cada año.
n
NMMMMM n
1321 ... ======
Segundo: Calculamos el número de obligaciones amortizadas hasta cierto momento se calculafácilmente como
MhMMMTh ⋅=+++= ...
Tercero: El número de obligaciones vivas al principio del período h,
))1((11 −−=−= − hnMTNN hh
Se trata de Empréstitos en los que el interés permanece constante y durante los n períodos que dura elEmpréstito se amortiza el mismo número de obligaciones.
�
EMPRÉSTITO NUMERO OBLIGACIONES CONSTANTE
Introduccion.
www.clasesuniversitarias.com
Cuarto: la cuota de amortización se calcula multiplicando el número de obligaciones que se amortizancada año (M) por el Valor Nominal de cada título (C), que en este caso será una cantidad constante.
CMmh ⋅=
Quinto: la cuota de interés de cualquier año se calcula multiplicando la cuantía del cupón (Ci) por elnúmero de títulos vivos al principio de ese año.
iCNI hh ⋅⋅=
Sexto: la suma de la cuota de interés y de la cuota de amortización, determinarán la anualidad
CMiCNa h ⋅+⋅⋅=hh mIa +=
EMPRÉSTITO NUMERO OBLIGACIONES CONSTANTE
Introduccion.
www.clasesuniversitarias.com
En este tipo de empréstitos la anualidad no es constante. Sin embargo, la variablidad que representan,tiene una concordancia, como podemos ver…
111 mIa +=Año 1: MCiCNa ⋅+⋅⋅= 11
Año 2:222 mIa += MCiCNa ⋅+⋅⋅= 22
MCiCMNa ⋅+⋅⋅−= )( 12
iMCMCiCNa ⋅⋅−⋅+⋅⋅= 12iMCaa ⋅⋅−= 12
Año 3: 333 mIa += MCiCNa ⋅+⋅⋅= 33MCiCMNa ⋅+⋅⋅−= )2( 13
iMCMCiCNa ⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅= 213iMCaa ⋅⋅⋅−= 213
Año h: iMChaah ⋅⋅⋅−−= )1(1
��
Ejemplo de Empréstito con Amortización Constante de Obligaciones.
www.clasesuniversitarias.com
Supongamos que una determinada empresa desea emitir un empréstito con las siguientes características:Se emiten 1000 títulos u obligaciones de 100€ de nominal cada uno de ellos a amortizar el mismo número de títulos durante 10 años y por el que se pagará un cupón anual por título de 8€.
Calculamos el número de títulos que se amortizan cada año,
n
NM 1=
10
000.1=M 100=M
Para estos datos, podemos resolver el Empréstito, en su totalidad, si nos piden que elaboremos el cuadrode amortización, o para un año(s) concretos, de manera similar.
EMPRÉSTITO NUMERO OBLIGACIONES CONSTANTE
www.clasesuniversitarias.com
Podemos resolver el empréstito,
Ejemplo de Empréstito con Amortización Constante de Obligaciones.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�+�,
�+�,
�+�,
�+�,
�+�,
�+�,
�+�,
�+�,
�+�,
�+�,
�+�,
�+��,
�+��,
�+��,
�+��,
�+�,
�+��,
�+��,
�+��,
��,
��+�,
��+��,
��+��,
��+��,
��+��,
��+�,
��+��,
��+��,
��+��,
�+��,
EMPRÉSTITO NUMERO OBLIGACIONES CONSTANTE
��
EMPRÉSTITOS CON CUPÓN CERO Y ANUALIDAD CONSTANTE
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
EMPRÉSTITO CON CUPÓN CERO
Introduccion.
www.clasesuniversitarias.com
Primero: Calculamos la anualidad teórica constante a través de la equivalencia básica, como elempréstito normal,
inaaNC ¬⋅=⋅ 1
Segundo: Calculamos el número de obligaciones que se amortiza cada año, obteniendo en primer lugar, M1
En este empréstito, la entidad emisora sólo paga interés a aquellas obligaciones que son amortizadas.Cada anualidad contiene, por tanto, el pago por la amortización del número de títulos que se amortiza, másel pago por cupones de dichas obligaciones, capitalizadas el número de años que se han mantenido vivas.
Pero en este caso la anualidad es igual ah
h
h MiCa ⋅+⋅= )1(
El año 1,11 )1( MiCa ⋅+⋅= De donde
)1(1
iC
aM
+⋅=
ina
NCa
¬
⋅= 1
��
EMPRÉSTITO CON CUPÓN CERO
Introduccion.
www.clasesuniversitarias.com
A partir de M1, podemos calcular el resto de las Mh, a partir de la equivalencia:
de donde,
1
1
1 )1(
)1(
+
+
+ ⋅+⋅
⋅+⋅=
h
h
h
h
h
h
MiC
MiC
a
a1
1 )1(1
iM
M
a
a
h
h
+⋅==
+
1
1 )1( −
+ +⋅= iMM hh
Generalizando, h
h iMM −
+ +⋅= )1(11
Tercero: Calculamos el número de obligaciones vivas al comienzo de cada año. Lo hacemos teniendo encuenta que, cualquier año, el valor actualizado de las anualidad es pendientes de vencimiento, será igual alnúmero de títulos vivos por el cupón acumulado (cupón cero)
ihnh
h aaNiC ¬−+ ⋅=⋅+⋅ 1)1(h
ihnh
iC
aaN
)1(1
+⋅
⋅= ¬−
+
Introduccion.
www.clasesuniversitarias.com
Cuarto: obtenemos el total de títulos amortizados hasta un momento determinado
hh MMMMT ++++= ...321
EMPRÉSTITO CON CUPÓN CERO
)1(
1
2
1
1
11 )1(...)1()1( −−−−+⋅+++⋅++⋅+=
h
h iMiMiMMT
[ ])1(21
1 )1(...)1()1(1 −−−−+++++++⋅=
h
h iiiMT
)1(1 iaMT ihh +⋅⋅=¬
Como,)1(
1iC
aM
+⋅= y
ina
NCa
¬
⋅= 1 entonces,
)1(
1
1iC
a
NC
M in
+⋅
⋅
= ¬
)1(
11
ia
NM
in +⋅=
¬
Sustituyendo en la formula de Th,1N
a
aT
in
ihh
¬
¬=
��
Introduccion.
www.clasesuniversitarias.com
Quinto: la anualidad real la calculamos mediante la fórmula:
EMPRÉSTITO CON CUPÓN CERO
Séptimo: la cuota de interés de cualquier año se calcula restando a la anualidad real la cuota deamortización ya calculada.
hhh maI −=
Sexto: la cuota de amortización se calcula multiplicando el número de títulos que se amortiza ese año porel nominal.
CMm hh ⋅=
h
h
h MiCa ⋅+⋅= )1(
Ejemplo de Empréstito con Anualidad Constante y Cupón Cero
www.clasesuniversitarias.com
Supongamos que una determinada empresa desea emitir un empréstito con las siguientes características:Se emiten 10.000 títulos u obligaciones de 150€ de nominal cada uno a una tasa de interés anual constante del 5%, que se amortizará en los próximos 5 años mediante anualidad constante y cupón cero.
Calculamos la anualidad constante (teórica),
ina
CNa
¬
= 1
05,0
)05,1(1
150000.105−
−
⋅=a €22,462.346=a
EMPRÉSTITO CON CUPÓN CERO
Y calculamos el número de títulos que se amortizan el primer año,
)1(
11
ia
NM
in +⋅=
¬)05,1(
05,0
)05.1(1
000.1051
⋅−
=−
M76,199.21 =M
��
www.clasesuniversitarias.com
Para calcular, a partir de M1, los títulos que se amortizan cada año, 1
1 )1( −
+ +⋅= iMM hh
Ejemplo de Empréstito con Anualidad Constante y Cupón Cero
"� �+������
"� �+�����
"� �+������
"� �+�����
"� �+������
"� �+� �
"� �+�
"� �+�
"� �+
"� �+� �
(-($. +�
"� �+�
"� �+�
"� �+�
"� �+
"� �+��
(-($. �+
EMPRÉSTITO CON CUPÓN CERO
www.clasesuniversitarias.com
Ejemplo de Empréstito con Anualidad Constante y Cupón Cero
EMPRÉSTITO CON CUPÓN CERO
Podemos resolver el empréstito,
$%� �� &� '� "� (� )�*�
�+
�
�
�
�
�
�+�
�+�
�+�
�+
�+��
�+�
�+��
�+�
�+�
�+
�+�
�+��
�+��
�+��
��+
���+��
�+��
���+
���+�
���+��
���+�����
���+�����
���+�����
���+�����
��+��
��+�����
��+�����
��+�����
��+����
��
EMPRÉSTITO CON REDUCCIÓN DE NOMINAL
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
EMPRÉSTITO CON REDUCCIÓN DE NOMINAL
Empréstito con Reducción de Nominal
www.clasesuniversitarias.com
En este caso todos los títulos permanecen vivos hasta el final del empréstito, y cada año se amortiza unacantidad del nominal, generalmente constante.
Ch = cantidad pendiente de amortizar al inicio del año h
Ah = cantidad que se amortiza el año h
Mh = cuantía total amortizada hasta el año h
Como consideramos que todos los años se amortiza la misma cantidad de nominal…n
CAAh ==
La cuantía total amortizada hasta el año h, sería AhM h ⋅=
Y la cantidad de nominal que queda por amortizar al principio del año h, sería )1(( −−⋅= hnACh
��
EMPRÉSTITO CON REDUCCIÓN DE NOMINAL
Empréstito con Reducción de Nominal
www.clasesuniversitarias.com
Calculamos las cuotas de amortización, que será el número de títulos vivos (todos) por la cantidad que se amortiza decada título.
ANmh ⋅= 1
La cuota de interés se obtendrá multiplicando el interés, por la cantidad de cada título pendiente de amortizar, por elnúmero de títulos vivos.
iCNI hh ⋅⋅= 1
EMPRÉSTITO CON REDUCCIÓN DE NOMINAL
Empréstito con Reducción de Nominal
www.clasesuniversitarias.com
hhh mIa +=
Luego calculamos la anualidad, que sería igual a la cuota de interés más la cuota de amortización.
iCNI hh ⋅⋅= 1
n
CNANmh ⋅=⋅= 11
n
CNiCNa hh ⋅+⋅⋅= 11
Y en este caso, la anualidad representa una Renta Variable en Progresión Aritmética, de razónn
iCN ⋅⋅− 1
Año h:n
CNiCNa hh ⋅+⋅⋅= 11 ))1(((1
n
Cihn
n
CNah +⋅−−⋅⋅=
)1)1(((1 +⋅−−⋅⋅
= ihnn
CNah
��
EMPRÉSTITO CON REDUCCIÓN DE NOMINAL
Empréstito con Reducción de Nominal
www.clasesuniversitarias.com
Año h+1:n
CNiCNa hh ⋅+⋅⋅= ++ 1111 ))((11
n
Cihn
n
CNah +⋅−⋅⋅=+
)1)((1 +⋅−⋅⋅
= ihnn
CNah
Año h+1 – Año h: )1))1((()1)(( 111 +⋅+−⋅
⋅−+⋅−⋅
⋅=−+ ihn
n
CNihn
n
CNaa hh
in
CNaa hh ⋅−⋅
⋅=−+ 11
1n
iCNaa hh
⋅⋅−=−+
11
Por tanto, también podemos calcular la cuantía de cualquier anualidad a partir de la anualidad delprimer año, ya que son variables en progresión aritmética…
Ejemplo de Empréstito con Reducción de Nominal
www.clasesuniversitarias.com
Supongamos que una determinada empresa desea emitir un empréstito con las siguientes características:Se emiten 7,500 títulos u obligaciones de 200€ de nominal cada uno de ellos a una tasa de interés constante del 4,5%, que se amortizará en los próximos 8 años mediante empréstitos con reducción de nominal, siendo la cantidad que se amortiza de cada títulos, constante cada año
EMPRÉSTITO CON REDUCCIÓN DE NOMINAL
Empezamos calculando la cantidad de nominal que se amortiza cada año…
n
CAAh == 25
8
200=== AAh
Y ya estamos en disposición de resolver el cuadro de amortización
�
www.clasesuniversitarias.com
Podemos resolver el empréstito,
EMPRÉSTITO CON REDUCCIÓN DE NOMINAL
Ejemplo de Empréstito con Reducción de Nominal
/0�1��&2)��0�)-"&)$.
$3- �� &� '� $� "� ��*�
���,
�
�
�
�
�
�
�
�
����,
����,
����,
����,
����,
����,
����,
����,
����,
���,
����,
���,
�����,
����,
�����,
���,
�����,
����,
�����,
���,
����,
���,
����,
� ,�
���+���,
���+���,
���+���,
���+���,
���+���,
���+���,
���+���,
���+���,
��+���,
�+�����,
�+�����,
��+������,
��+����,
��+������,
��+�����,
�+������,
���+��,
���+������,
���+�����,
��+������,
���+����,
���+������,
��+�����,
��+�����,
�
EMPRÉSTITO CON PRIMA DE AMORTIZACIÓN
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
EMPRÉSTITO CON PRIMA DE AMORTIZACIÓN
Empréstito con Prima de Amortización y Cupón Vencido Fijo.
www.clasesuniversitarias.com
Este tipo de empréstito se caracteriza porque presenta una prima de amortización como característicacomercial, es decir, las obligaciones se amortizan por un valor superior al nominal
)( PCMm hh +⋅=La cuota de amortización estará formada por,
hhh mIaa +==Y por tanto, la anualidad será igual a )( PCMiCNa hh +⋅+⋅⋅=
Hasta ahora sólo sabemos resolver un Empréstito con una anualidad del tipo.
CMiCNa hh ⋅+⋅⋅=
Por lo que vamos a convertir la anualidad del empréstito con prima de amortización en un empréstito“normal” a través de un proceso de “normalización”.
��
EMPRÉSTITO CON PRIMA DE AMORTIZACIÓN
Empréstito con Prima de Amortización y Cupón Vencido Fijo.
www.clasesuniversitarias.com
)( PCMiCNa hh +⋅+⋅⋅=
Este proceso de normalización consiste en transformar, la anualidad
'CPC =+
Y para ello convertimos,
En una anualidad que sepamos como resolver, del tipo,
''' CMiCNa hh ⋅+⋅⋅=
'' iCiC ⋅=⋅
Con los valores C’ e i’ resolveremos el empréstitocomo si fuera un empréstito normal
''
C
iCi
⋅=�
EMPRÉSTITO CON PRIMA DE AMORTIZACIÓN
Empréstito con Prima de Amortización y Cupón Vencido Fijo.
www.clasesuniversitarias.com
'|
1'|1
''
in
ina
CNaaaCN
⋅=�⋅=⋅
Segundo calculo el número de títulos amortizado cada año
11 mIa +=Año 1:11 ''' MCiCNa ⋅+⋅⋅=
'
''11
C
iCNaM
⋅⋅−=
Año 2:22 mIa +=
22 ''' MCiCNa ⋅+⋅⋅='
'')(
'
'' 1122
C
iCMNa
C
iCNaM
⋅⋅−−=
⋅⋅−=
'
''
'
'' 112
C
iCM
C
iCNaM
⋅⋅+
⋅⋅−= )'1(1112 iMiMMM +⋅=⋅+=
Primero calculamos la anualidad
��
www.clasesuniversitarias.com
Año 3: 33 mIa +=33 ''' MCiCNa ⋅+⋅⋅=
'
'')(
'
'' 21133
C
iCMMNa
C
iCNaM
⋅⋅−−−=
⋅⋅−=
'
''
'
''
'
'' 2113
C
iCM
C
iCM
C
iCNaM
⋅⋅+
⋅⋅+
⋅⋅−= '' 2113 iMiMMM ⋅+⋅+=
)'1(' 2223 iMiMMM +⋅=⋅+= 2
13 )'1( iMM +⋅=
Año k:)1(
1 )'1( −+⋅=
k
k iMM
Para obtener M1: nMMMMN ++++= ...3211
)1(
1
2
1111 )'1(...)'1()'1( −+⋅+++⋅++⋅+=
niMiMiMMN
))'1(...)'1()'1(1( )1(2
11
−+++++++⋅=
niiiMN
'11 inSMN ¬⋅=
'
11
inS
NM
¬
=
EMPRÉSTITO CON PRIMA DE AMORTIZACIÓN
Empréstito con Prima de Amortización y Cupón Vencido Fijo.
www.clasesuniversitarias.com
Tercero: calculo el total de títulos amortizados.
hh MMMT +++= ...21
Cuarto: el número de títulos vivos en cada momento puede calcularse a partir de la anterior expresión,teniendo en cuenta en cualquier caso, que Nh está definido al principio de cada año.
11 −−= hh TNN
ihh SMT|1=
1
111 )'1(...)'1( −+++++=
h
h iMiMMT
Quinto: la cuota de amortización se calcula multiplicando el número de obligaciones que se amortizancada año (Mk) por el Valor Nominal de cada título (C) más la Prima de Amortización (p)
)( PCMm hh +⋅=
EMPRÉSTITO CON PRIMA DE AMORTIZACIÓN
Empréstito con Prima de Amortización y Cupón Vencido Fijo.
��
www.clasesuniversitarias.com
Sexto: la cuota de interés de cualquier año se calcula multiplicando la cuantía del cupón (Ci) por elnúmero de títulos vivos al principio de ese año.
Séptimo: la suma de la cuota de interés y de la cuota de amortización, determinarán la anualidadconstante
'' iCNI hh ⋅⋅=
En el caso de que existieran además Lotes anuales, únicamente habría que incluir en la anualidad elnúmero de Lotes a repartir,
)( PCMiCNa hh +⋅+⋅⋅=hh mIa +=
EMPRÉSTITO CON PRIMA DE AMORTIZACIÓN
Empréstito con Prima de Amortización y Cupón Vencido Fijo.
hhh LPCMiCNa ++⋅+⋅⋅= )(hhh LmIa ++=
Ejemplo de Empréstito con Prima de Amortización.
www.clasesuniversitarias.com
Supongamos que una determinada empresa desea emitir un empréstito con las siguientes características:Se emiten 10.000 títulos u obligaciones de 15€ de nominal cada a una tasa de interés anual constante del 4,5%, que se amortizará en los próximos 5 años mediante anualidad constante, con una prima de amortización de 3€. Se sortean además 10 lotes anuales de 10€
Primero debemos realizar la normalización,
EMPRÉSTITO CON PRIMA DE AMORTIZACIÓN
PCC +='
iCiC ⋅=⋅ ''
€18315' =+=C
18
045,015
''
⋅=
⋅=
C
iCi 0375,0'=i
)( PCMiCNa hh +⋅+⋅⋅=De tal forma que convertimos la anualidad, del tipo,
En una anualidad, del tipo, ''' CMiCNa hh ⋅+⋅⋅=
��
Ejemplo de Empréstito con Prima de Amortización.
www.clasesuniversitarias.com
Y calculamos el número de títulos que se amortizan el primer año,
'
11
inS
NM
¬
=
'
1)'1(
11
i
i
NM
n−+
=
0375,0
1)0375,1(
000.1051
−=M 52,855.11 =M
EMPRÉSTITO CON PRIMA DE AMORTIZACIÓN
h
in
La
CNa +
⋅=
¬ '
1 ' 1010
0375,0
)0375,1(1
18000.105
⋅+−
⋅=
−a €34,249.40=a
Calculamos la anualidad teórica
www.clasesuniversitarias.com
Para calcular, a partir de M1, los títulos que se amortizan cada año, )'1(1 iMM hh +⋅= −
EMPRÉSTITO CON PRIMA DE AMORTIZACIÓN
Ejemplo de Empréstito con Prima de Amortización.
"�# �+������
"�# �+����
"�# �+���
"�# �+����
"�# �+���
"�# �+��� *�
"�# �+��
"�# �+�
"�# �+��
"�# �+�� *�
(-($. +�
"�# �+���
"�# �+��
"�# �+�
"�# �+��
"�# �+��
(-($. �+
��
www.clasesuniversitarias.com
Podemos resolver el empréstito,
EMPRÉSTITO CON PRIMA DE AMORTIZACIÓN
Ejemplo de Empréstito con Prima de Amortización.
$%� �� &� .� '� "� (� )�*�
�+
�
�
�
�
�
�+���
�+��
�+�
�+��
�+��
�+���
�+���
�+���
�+��
�+
�+���
�+��
�+���
�+��
��+���
��+���
��+���
��+���
��+��
�+���
�+����
�+�����
�+�����
�+������
��
��
��
��
��
�+����
�+�����
�+������
�+������
�+������
��
EMPRÉSTITO CON PÉRDIDA DEL ÚLTIMO CUPÓN
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
EMPRÉSTITO CON PÉRDIDA DEL ÚLTIMO CUPÓN
Empréstito con Pérdida del Último Cupón
www.clasesuniversitarias.com
Este tipo de empréstito se caracteriza porque las obligaciones amortizadas pierden el derecho a cobrar elcupón correspondiente a dicho período, por lo que sólo recibirán, en el periodo de su amortización, elnominal (o nominal más prima de amortización, si procede)
Y por tanto, la anualidad será igual a iCMCMiCNa hhh ⋅⋅−⋅+⋅⋅=
Y como sólo sabemos resolver un Empréstito con una anualidad del tipo.
CMiCNa hh ⋅+⋅⋅=
Vamos a convertir la anualidad del empréstito con pérdida del último cupón, en un empréstito “normal” através de un proceso de “normalización”.
De donde,hh MiCiCNa ⋅−⋅+⋅⋅= )1(
��
www.clasesuniversitarias.com
)1( iCMiCNa hh −⋅⋅+⋅⋅=
Este proceso de normalización consiste en transformar, la anualidad
')1( CiC =−⋅
Y para ello convertimos,
En una anualidad que sepamos como resolver, del tipo,
''' CMiCNa hh ⋅+⋅⋅=
'' iCiC ⋅=⋅
Con los valores C’ e i’ resolveremos el empréstitocomo si fuera un empréstito normal
''
C
iCi
⋅=�
Empréstito con Pérdida del Último Cupón
EMPRÉSTITO CON PÉRDIDA DEL ÚLTIMO CUPÓN
www.clasesuniversitarias.com
'|
1'|1
''
in
ina
CNaaaCN
⋅=�⋅=⋅
Segundo calculo el número de títulos amortizado cada año
11 mIa +=Año 1:11 ''' MCiCNa ⋅+⋅⋅=
'
''11
C
iCNaM
⋅⋅−=
Año 2:22 mIa +=
22 ''' MCiCNa ⋅+⋅⋅='
'')(
'
'' 1122
C
iCMNa
C
iCNaM
⋅⋅−−=
⋅⋅−=
'
''
'
'' 112
C
iCM
C
iCNaM
⋅⋅+
⋅⋅−= )'1(1112 iMiMMM +⋅=⋅+=
Primero calculamos la anualidad
Empréstito con Pérdida del Último Cupón
EMPRÉSTITO CON PÉRDIDA DEL ÚLTIMO CUPÓN
��
www.clasesuniversitarias.com
Año 3: 33 mIa +=33 ''' MCiCNa ⋅+⋅⋅=
'
'')(
'
'' 21133
C
iCMMNa
C
iCNaM
⋅⋅−−−=
⋅⋅−=
'
''
'
''
'
'' 2113
C
iCM
C
iCM
C
iCNaM
⋅⋅+
⋅⋅+
⋅⋅−= '' 2113 iMiMMM ⋅+⋅+=
)'1(' 2223 iMiMMM +⋅=⋅+= 2
13 )'1( iMM +⋅=
Año k:)1(
1 )'1( −+⋅=
k
k iMM
Para obtener M1: nMMMMN ++++= ...3211
)1(
1
2
1111 )'1(...)'1()'1( −+⋅+++⋅++⋅+=
niMiMiMMN
))'1(...)'1()'1(1( )1(2
11
−+++++++⋅=
niiiMN
'11 inSMN ¬⋅=
'
11
inS
NM
¬
=
Empréstito con Pérdida del Último Cupón
EMPRÉSTITO CON PÉRDIDA DEL ÚLTIMO CUPÓN
www.clasesuniversitarias.com
Tercero: calculo el total de títulos amortizados.
hh MMMT +++= ...21
Cuarto: el número de títulos vivos en cada momento puede calcularse a partir de la anterior expresión,teniendo en cuenta en cualquier caso, que Nh está definido al principio de cada año.
11 −−= hh TNN
ihh SMT|1=
1
111 )'1(...)'1( −+++++=
h
h iMiMMT
Quinto: la cuota de amortización se calcula multiplicando el número de obligaciones que se amortizancada año (Mk) por el Valor Nominal de cada título (C)
CMm hh ⋅=
Empréstito con Pérdida del Último Cupón
EMPRÉSTITO CON PÉRDIDA DEL ÚLTIMO CUPÓN
�
www.clasesuniversitarias.com
Sexto: la cuota de interés de cualquier año se calcula multiplicando la cuantía del cupón (Ci) por elnúmero de títulos vivos al principio de ese año.
Séptimo: la suma de la cuota de interés y de la cuota de amortización, determinarán la anualidadconstante
iCMiCNI hhh ⋅⋅−⋅⋅=
En el caso de que existieran además Lotes anuales, únicamente habría que incluir en la anualidad elnúmero de Lotes a repartir,
hh mIa +=
hhh LmIa ++=
Empréstito con Pérdida del Último Cupón
EMPRÉSTITO CON PÉRDIDA DEL ÚLTIMO CUPÓN
www.clasesuniversitarias.com
Supongamos que una determinada empresa desea emitir un empréstito con las siguientes características:Se emiten 10.000 títulos u obligaciones de 150€ de nominal cada a una tasa de interés anual constante del 5%, que se amortizará en los próximos 5 años mediante anualidad constante y pérdida del último cupón.
Primero debemos realizar la normalización,
)1(' iCC −⋅=
iCiC ⋅=⋅ ''
€5,142)05,01(150' =−⋅=C
18
045,015
''
⋅=
⋅=
C
iCi 052632,0'=i
iCMCMiCNa hhh ⋅⋅−⋅+⋅⋅=De tal forma que convertimos la anualidad, del tipo,
En una anualidad, del tipo, ''' CMiCNa hh ⋅+⋅⋅=
EMPRÉSTITO CON PÉRDIDA DEL ÚLTIMO CUPÓN
Ejemplo de Empréstito con Pérdida del Último Cupón
��
www.clasesuniversitarias.com
Y calculamos el número de títulos que se amortizan el primer año,
'
11
inS
NM
¬
=
'
1)'1(
11
i
i
NM
n−+
=
052632,0
1)052632,1(
000.1051
−=M 26,800.11 =M
'
1 '
ina
CNa
¬
⋅=
052632,0
)052632,1(1
5,142000.105−
−
⋅=a €43,537.331=a
Calculamos la anualidad teórica
EMPRÉSTITO CON PÉRDIDA DEL ÚLTIMO CUPÓN
Ejemplo de Empréstito con Pérdida del Último Cupón
www.clasesuniversitarias.com
Para calcular, a partir de M1, los títulos que se amortizan cada año, )'1(1 iMM hh +⋅= −
EMPRÉSTITO CON PÉRDIDA DEL ÚLTIMO CUPÓN
Ejemplo de Empréstito con Pérdida del Último Cupón
"�# �+����
"�# �+����
"�# �+����
"�# �+���
"�# �+�����
"�# �+�
"�# �+��
"�# �+� *�
"�# �+ *�
"�# �+��
(-($. +�
"�# �+�
"�# �+��
"�# �+�
"�# �+�
"�# �+��
(-($. �+
���
www.clasesuniversitarias.com
Podemos resolver el empréstito,
EMPRÉSTITO CON PÉRDIDA DEL ÚLTIMO CUPÓN
Ejemplo de Empréstito con Pérdida del Último Cupón
$%� �� &� '� "� (� )�*�
�+
�
�
�
�
�
�+�
�+��
�+�
�+�
�+��
�+�
�+��
�+�
�+�
�+
�+�
�+��
�+��
�+��
��+
���+��
�+��
���+
���+�
��+�����
��+��������
��+�������
��+�������
�
���+�
���+���
���+���
���+���
���+�
���
EMPRÉSTITO CON CUPÓN ANTICIPADO
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
EMPRÉSTITO CON CUPÓN ANTICIPADO
Empréstito con Cupón Anticipado y Anualidad Constante.
www.clasesuniversitarias.com
Los pagos en concepto de cupón se realizan al inicio de cada período y no al final como en el resto de lossistemas de amortización. De esta forma, la amortización al tanto de interés anticipado z, da lugar a lassiguientes anualidades:
hhh mIa += +1 hh MCzCNa ⋅+⋅⋅= +1
Debemos realizar un proceso de normalización para transformar el Empréstito con Cupón Anticipadoanterior, en un Empréstito Normal o Puro, del tipo
CMiCNa hh ⋅+⋅⋅=
Como,hhh MNN −=+1
Podemos sustituir hhh MCzCMNa ⋅+⋅⋅−= )( hhh MCzCMzCNa ⋅+⋅⋅−⋅⋅=
hh MzCCzCNa ⋅⋅−+⋅⋅= )( hh MzCzCNa ⋅−⋅+⋅⋅= )1(
���
www.clasesuniversitarias.com
Este proceso de normalización consiste, por tanto, en transformar la anualidad
)1(' zCC −⋅=
Y para ello convertimos,
En una anualidad que sepamos como resolver, del tipo,
''' CMiCNa hh ⋅+⋅⋅=
zCiC ⋅=⋅ ''
Con los valores C’ e i’ resolveremos el empréstitocomo si fuera un empréstito normal
''
C
zCi
⋅=�
EMPRÉSTITO CON CUPÓN ANTICIPADO
Empréstito con Cupón Anticipado y Anualidad Constante.
hh MzCzCNa ⋅−⋅+⋅⋅= )1(
www.clasesuniversitarias.com
'|
1'|1
''
in
ina
CNaaaCN
⋅=�⋅=⋅
Segundo calculo el número de títulos amortizado cada año
11 mIa +=Año 1:11 ''' MCiCNa ⋅+⋅⋅=
'
''11
C
iCNaM
⋅⋅−=
Año 2:22 mIa +=
22 ''' MCiCNa ⋅+⋅⋅='
'')(
'
'' 1122
C
iCMNa
C
iCNaM
⋅⋅−−=
⋅⋅−=
'
''
'
'' 112
C
iCM
C
iCNaM
⋅⋅+
⋅⋅−= )'1(1112 iMiMMM +⋅=⋅+=
Primero calculamos la anualidad
EMPRÉSTITO CON CUPÓN ANTICIPADO
Empréstito con Cupón Anticipado y Anualidad Constante.
���
www.clasesuniversitarias.com
Año 3: 33 mIa +=33 ''' MCiCNa ⋅+⋅⋅=
'
'')(
'
'' 21133
C
iCMMNa
C
iCNaM
⋅⋅−−−=
⋅⋅−=
'
''
'
''
'
'' 2113
C
iCM
C
iCM
C
iCNaM
⋅⋅+
⋅⋅+
⋅⋅−= '' 2113 iMiMMM ⋅+⋅+=
)'1(' 2223 iMiMMM +⋅=⋅+= 2
13 )'1( iMM +⋅=
Año k:)1(
1 )'1( −+⋅=
k
k iMM
Para obtener M1: nMMMMN ++++= ...3211
)1(
1
2
1111 )'1(...)'1()'1( −+⋅+++⋅++⋅+=
niMiMiMMN
))'1(...)'1()'1(1( )1(2
11
−+++++++⋅=
niiiMN
'11 inSMN ¬⋅=
'
11
inS
NM
¬
=
EMPRÉSTITO CON CUPÓN ANTICIPADO
Empréstito con Cupón Anticipado y Anualidad Constante.
www.clasesuniversitarias.com
Tercero: calculo el total de títulos amortizados.
hh MMMT +++= ...21
Cuarto: el número de títulos vivos en cada momento puede calcularse a partir de la anterior expresión,teniendo en cuenta en cualquier caso, que Nh está definido al principio de cada año.
11 −−= hh TNN
ihh SMT|1=
1
111 )'1(...)'1( −+++++=
h
h iMiMMT
Quinto: la cuota de amortización se calcula multiplicando el número de obligaciones que se amortizancada año (Mk) por el Valor Nominal de cada título (C)
CMm hh ⋅=
EMPRÉSTITO CON CUPÓN ANTICIPADO
Empréstito con Cupón Anticipado y Anualidad Constante.
���
www.clasesuniversitarias.com
Sexto: la primera cuota de interés se paga al principio del primer año y es igual a
Séptimo: la suma de la cuota de interés y de la cuota de amortización, determinarán la anualidadconstante
zCNI hh ⋅⋅=+1
En el caso de que existieran además Lotes anuales, únicamente habría que incluir en la anualidad elnúmero de Lotes a repartir,
CMzCNa hh ⋅+⋅⋅=+1hh mIa +=
hhh LCMzCNa +⋅+⋅⋅=+1hhh LmIa ++=
EMPRÉSTITO CON CUPÓN ANTICIPADO
Empréstito con Cupón Anticipado y Anualidad Constante.
zCN ⋅⋅1
Ejemplo de Empréstito con Cupón Anticipado
www.clasesuniversitarias.com
Supongamos que una determinada empresa desea emitir un empréstito con las siguientes características:Se emiten 10.000 títulos u obligaciones de 150€ de nominal a una tasa de interés anticipado anual constante del 5%, que se amortizará en los próximos 5 años mediante anualidad constante.
Primero debemos realizar la normalización,
)1(' zCC −⋅=
zCiC ⋅=⋅ ''
€5,142)05,01(150' =−⋅=C
50,142
05,0150
''
⋅=
⋅=
C
zCi 0526315,0'=i
CMzCNa hh ⋅+⋅⋅= +1De tal forma que convertimos la anualidad, del tipo,
En una anualidad, del tipo, ''' CMiCNa hh ⋅+⋅⋅=
EMPRÉSTITO CON CUPÓN ANTICIPADO
���
Ejemplo de Empréstito con Prima de Amortización.
www.clasesuniversitarias.com
Y calculamos el número de títulos que se amortizan el primer año,
'
11
inS
NM
¬
=
'
1)'1(
11
i
i
NM
n−+
=
0526315,0
1)0526315,1(
000.1051
−=M 26,800.11 =M
'
1 '
ina
CNa
¬
⋅=
0526315,0
)0526315,1(1
143000.105−
−
⋅=a €26,700.332=a
Calculamos la anualidad teórica
EMPRÉSTITO CON CUPÓN ANTICIPADO
www.clasesuniversitarias.com
Para calcular, a partir de M1, los títulos que se amortizan cada año, )'1(1 iMM hh +⋅= −
Ejemplo de Empréstito con Prima de Amortización.
EMPRÉSTITO CON CUPÓN ANTICIPADO
"�# �+����
"�# �+����
"�# �+����
"�# �+���
"�# �+�����
"�# �+�
"�# �+��
"�# �+�
"�# �+�
"�# �+��
(-($. �+
"�# �+�
"�# �+��
"�# �+� �
"�# �+ �
"�# �+��
(-($. +�
���
www.clasesuniversitarias.com
Podemos resolver el empréstito,
Ejemplo de Empréstito con Prima de Amortización.
EMPRÉSTITO CON CUPÓN ANTICIPADO
$%� �� &� '� "� (� )�*�
�+
�
�
�
�
�
�+�
�+��
�+�
�+�
�+��
�+�
�+��
�+�
�+�
�+
�+�
�+��
�+��
�+��
��+
���+��
�+��
���+
���+�
��+
��+�
��+���
��+���
��+���
���+�
���+���
���+���
���+���
���+�
top related