5_büyük m yöntemi

B Ü Y Ü K M Y Ö N T E M İ

V E D U Y A R L ı L ı K A N A L I Z I

Doğrusal Programlama

Büyük M Yöntemi: Eğer bir DP'de > veya = kısıtlar varsa, Simpleks yöntemikullanılarak bir başlangıç temel olurlu çözümü (bfs) oluşturulamaz.Bu durumda Büyük M (Big M) yöntemi veya İki Evreli (Two Phase) Simpleksyöntemi kullanılmalıdır.

Büyük M yöntemi Simpleks Algoritmasının bir türüdür: Soruna yapay (artificial)değişkenler de eklenerek bir bfs bulunur. DP'nin amaç fonksiyonu da sonuçtayapay değişkenlerin katsayıları 0 olacak şekilde yeniden düzenlenir.

Eğer DP bir minimizasyon problemi ise, her yapay değişken için amaçfonksiyonuna bir Mai değişkeni eklenir. Eğer DP bir maksimizasyon problemi iseher yapay değişken için amaç fonksiyonuna -Mai eklenir. Burada M çok büyük birgerçel sayıyı ifade etmektedir.

Yapay Değişken: Problemin içinde bir anlam ifade etmeyen fakat DP’nin başlangıç çözümünün oluşturulması için kullanılan değişkendir. ≥ veya = şeklinde verilen kısıtlar içinde kullanılırlar.

MİNİMİZASYON PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ

I. DP Problemi standart formda yazılırII. Tüm > veya = kısıtların sol tarafına bir yapay değişken ai

eklenir. Aynı zamanda yapay değişkenler için işaretsınırlaması (ai > 0) da eklenir.

III. M çok büyük bir sayı olsun. Eğer DP enküçükleme sorunuise, amaç fonksiyonuna (her yapay değişken için) Mai eklenir. Eğer DP enbüyükleme sorunu ise, amaç fonksiyonuna (her yapay değişken için) -Mai eklenir.

IV. Her yapay değişken başlangıç temel çözümünde olacağı içinamaç fonksiyonundan (0. satır) elenmelidir (katsayıları sıfırolacak şekilde düzenleme yapılmalıdır). Daha sonra simpleksalgoritmasının adımları kullanılarak çözüme gidilir.

Oranj Meyve Suyu:(Winston 4.10., s. 164)

Bevco şirketi, portakal gazozu ile portakal suyunu karıştırarak Oranjismiyle portakallı meyve suları üretmektedir. Portakal gazozunun bir100 gramında 50 gr. şeker ve 1 mg C vitamini vardır. Portakalsuyunun bir 100 gramında ise 25 gr. şeker ve 3 mg C vitaminivardır. Bevco bir 100 gr. portakal gazozu üretmek için 2 TL, 100 gr. portakal suyu üretmek için ise 3 TL harcamaktadır. Şirketinpazarlama bölümü Oranj'ı 1 kg’lik şişelerde satmak istemektedir. Bevco'nun her bir şişede en az 20 mg C vitamini bulunmasını ve en çok 400 gr. şeker olması şartını en az maliyetle karşılamasınısağlayınız.

Oranj Meyve Suyu:

X1 : Kullanılan portakallı gazoz miktarı (gr.x100)X2 : Kullanılan portakal suyu miktarı (gr.x100)

Model:

0,10203

441

21

32

21

21

21

21

21min

≥=+≥+

≤+

+=

xxxxxx

xx

xxZ

Simplex için uygun forma dönüştürme

0,,,,,10

203

441

21

0032

322121

321

2221

121

322121min

≥=++

=+−+

=++

+++++=

aaesxxaxx

aexx

sxx

MaMaesxxZ

Başlangıç Simpleks Tablo

2 3 0 0 M MX1 X2 s1 e2 a2 a3

0 s1 1/2 ¼ 1 0 0 0 4M a2 1 3 0 -1 1 0 20M a3 1 1 0 0 0 1 10

zj 2M 4M 0 -M M M 30Mcj-zj 2-2M 3-4M 0 M 0 0

Başlangıç Simpleks Tablo

2 3 0 0 M MX1 X2 s1 e2 a2 a3

0 s1 1/2 ¼ 1 0 0 0 4M a2 1 3 0 -1 1 0 20M a3 1 1 0 0 0 1 10

zj 2M 4M 0 -M M M 30Mcj-zj 2-2M 3-4M 0 M 0 0

2. Simpleks Tablo

2 3 0 0 M MX1 X2 s1 e2 a2 a3

0 s1 5/12 0 1 1/12 -1/12 0 7/33 X2 1/3 1 0 -1/3 1/3 0 20/3M a3 2/3 0 0 1/3 -1/3 1 10/3

zj 1+2M/3 3 0 -1+M/3 1-M/3 M 20+10M/3

cj-zj 1-2M/3 0 0 M/3-1 4M/3-1

2. Simpleks Tablo

2 3 0 0 M MX1 X2 s1 e2 a2 a3

0 s1 5/12 0 1 1/12 -1/12 0 7/33 X2 1/3 1 0 -1/3 1/3 0 20/3M a3 2/3 0 0 1/3 -1/3 1 10/3

zj 1+2M/3 3 0 -1+M/3 1-M/3 M 20+10M/3

cj-zj 1-2M/3 0 0 M/3-1 4M/3-1

3. Simpleks Tablo: Optimal

2 3 0 0 M MX1 X2 s1 e2 a2 a3

0 s1 0 0 1 -1/8 1/8 -5/8 1/43 X2 0 1 0 -1/2 1/2 -1/2 52 X1 1 0 0 1/2 -1/2 3/2 5

zj 2 3 0 -1/2 1/2 3/2 25

cj-zj 0 0 0 1/2 M-1/2 M-3/2

Optimal Çözüm

X1=5, X2=5, s1=1/4,

e2= a2=a3 = 0

Z= 25 TL.

Simpleks Tablosunun Ekonomik Yorumu

4 5 0 0 0X1 X2 S1 S2 S3

5 X2 0 1 1 -1/6 0 44 X1 1 0 -1 1/3 0 20 S3 0 0 4 -2 1 8Zj 4 5 1 1/2 0 28

Cj-Zj 0 0 -1 -1/2 0

Gölge Fiyat

DP modelinin i. kısıdının gölge fiyatı (shadow price), sözkonusu kısıdın sağ taraf değerinin 1 birim çoğaltılmasıdurumunda, en iyi amaç fonksiyon değerinin ne kadariyileştiğini (enbüyükleme sorununda ne kadar arttığını,enküçükleme sorununda ne kadar azaldığını) gösterir.

Bu tanım sadece değişimden önceki çözümün değişimdensonra da aynı kalması durumunda geçerlidir!

Örnek Zmax= 4X1 + 5X2X1 + 2X2 ≤ 10 (işgücü kısıtı)

6X1 + 6X2 ≤ 36 (hammadde kısıtı)8X1 + 4X2 ≤ 40 (alan kısıtı)

X1 , X2 ≥ 0

Gölge Fiyat

Başlangıç Simpleks Tablo

4 5 0 0 0X1 X2 S1 S2 S3

0 S1 1 2 1 0 0 100 S2 6 6 0 1 0 360 S3 8 4 0 0 1 40Zj 0 0 0 0 0 0

Cj-Zj 4 5 0 0 0

Gölge Fiyat

4 5 0 0 0X1 X2 S1 S2 S3

5 X2 0 1 1 -1/6 0 44 X1 1 0 -1 1/3 0 20 S3 0 0 4 -2 1 8Zj 4 5 1 1/2 0 28

Cj-Zj 0 0 -1 -1/2 0

Optimal Simpleks Tablo

Gölge Fiyat

İşgücü kısıtında Δ saat büyüklüğünde bir artış olduğunu varsayalım:

Zmaks= 4X1 + 5X2X1 + 2X2 ≤ 10 +Δ (işgücü kısıtı)

6X1 + 6X2 ≤ 36 (hammadde kısıtı)8X1 + 4X2 ≤ 40 (alan kısıtı)X1 , X2 ≥ 0

-Bu değerleri tabloda yerine koyup, çözümü yineleyebiliriz.

Gölge Fiyat

B1 üstünde Δ kadar değişiklik sonucu optimal simpleks tablo

Optimal Tablo Δ = 2 (b1=12)

4 5 0 0 0X1 X2 S1 S2 S3

5 X2 0 1 1 -1/6 0 64 X1 1 0 -1 1/3 0 00 S3 0 0 4 -2 1 16Zj 4 5 1 1/2 0 30

Cj-Zj 0 0 -1 -1/2 0

4 5 0 0 0X1 X2 S1 S2 S3

5 X2 0 1 1 -1/6 0 34 X1 1 0 -1 1/3 0 30 S3 0 0 4 -2 1 4Zj 4 5 1 1/2 0 27

Cj-Zj 0 0 -1 -1/2 0

Optimal Tablo Δ = -1 (b1=9)

4 5 0 0 0X1 X2 S1 S2 S3

5 X2 0 1 1 -1/6 0 54 X1 1 0 -1 1/3 0 10 S3 0 0 4 -2 1 12Zj 4 5 1 1/2 0 29

Cj-Zj 0 0 -1 -1/2 0

Optimal Tablo Δ = 1 (b1=11)

Başlangıç simpleks tablo (b1=10+Δ)

4 5 0 0 0X1 X2 S1 S2 S3

0 S1 1 2 1 0 0 10 +1Δ0 S2 6 6 0 1 0 36 + 0Δ0 S3 8 4 0 0 1 40 + 0ΔZj 0 0 0 0 0 0

Cj-Zj 4 5 0 0 0

Optimal Simpleks Tablo (b1=10+Δ)

4 5 0 0 0X1 X2 S1 S2 S3

5 X2 0 1 1 -1/6 0 4 +1Δ4 X1 1 0 -1 1/3 0 2 -1Δ0 S3 0 0 4 -2 1 8 + 4ΔZj 4 5 1 1/2 0 28+Δ

Cj-Zj 0 0 -1 -1/2 0

∆ S1sütunu + ÇS = Yeni Değer1 4 = 4+ ∆-1 2 = 2-∆4 8 = 8+4∆

Mevcut çözümün geçerli olması için sağ taraf değerlerinin pozitif olarak korunması gerekir:

4 +1Δ ≥ 0X2 çözümde kalacaktır.

2 -1Δ ≥ 0X1 çözümde kalacaktır.

8 +4Δ ≥ 0S3 çözümde kalacaktır.

Sağ taraf değerleri için duyarlılık analizi

4 +1Δ ≥ 0 ∆ ≥ -42 -1Δ ≥ 0 ∆ ≤ 28 + 4Δ ≥ 0 ∆ ≥ -2

8 ≤ b1 ≤12 için mevcut çözüm geçerli, dolayısıyla optimal olacaktır.

Sağ taraf değerleri için duyarlılık analizi

Bu durumda;

-Saati 0.7 TL maliyetle fazla mesai olanağı varsa bu kurum kabul etmeli midir?

-Saati 1.5 TL maliyetle fazla mesai olanağı varsa bu kurum kabul etmeli midir?

-Saati 2.5 TL maliyetle fazla mesai olanağı varsa bu kurum kabul etmeli midir?

Zmaks= 6X1 + 4X2 (kar)2X1 + 6X2 ≤ 12 (işgücü)4X1 + 4X2 ≤ 16 (hammadde)X1 , X2 ≥ 0

Optimal Tablo

6 4 0 0X1 X2 S1 S2

0 S1 0 4 1 -1/2 46 X1 1 1 0 1/4 4

Zj 6 6 0 3/2 24Cj-Zj 0 -2 0 -3/2

Amaç fonksiyonu katsayısındaki değişimler için duyarlılık analizi

C2’de Δ birim değişim sonrası Optimal Tablo

6 4+ Δ2 0 0

X1 X2 S1 S2

0 S1 0 4 1 -1/2 46 X1 1 1 0 1/4 4

Zj 6 6 0 3/2 24Cj-Zj 0 -2 + Δ2 0 -3/2

cj-zj ≤ 0 olduğu sürece mevcut çözüm optimal kalacaktır.

-2 +1Δ ≤ 0 ∆≤ 2[-∞ ≤ c2 ≤6]

İndirgenmiş Maliyet

Herhangi bir temel dışı değişkenin indirgenmişmaliyeti (reduced cost), değişkenin temel değişkenolması (DP'nin en iyi çözümüne girmesi) için amaçfonksiyon katsayısında yapılacak iyileştirmemiktarıdır.

Çözümde bulunan bir değişkenin katsayısının değişitirilmesi:Zmaks= (6 + Δ1)X1 + 4X22X1 + 6X2 ≤ 124X1 + 4X2 ≤ 16X1 , X2 ≥ 0

Başlangıç Simpleks Tablo (C1=6 + Δ1):

6+ Δ1 4 0 0

X1 X2 S1 S2

0 S1 2 6 1 0 120 S2 4 4 0 1 16Zj 0 0 0 0 0

Cj-Zj 6+ Δ1 4 0 0

Optimal Simpleks Tablo (C1=6 + Δ1)

6+ Δ1 4 0 0

X1 X2 S1 S2

0 S1 0 4 1 -1/2 4(6+ Δ1)X1 1 1 0 1/4 4

Zj 6+ Δ1 6+ Δ1 0 3/2+ Δ1/4 24+ 4Δ1

Cj-Zj 0 -2 - Δ1 0 -3/2- Δ1/4

Verilen çözümün optimal kalması için Cj-Zj negatif veya sıfır olarak kalması gerekir.

-2 -1Δ ≤ 0 ∆≥-2

-3/2 - Δ1/4 ≤ 0 ∆≥-6[4 ≤ c1 ≤∞]

Optimal Tablo Δ2= -1, (C2=3)

6 3 0 0X1 X2 S1 S2

0 S1 0 4 1 -1/2 46 X1 1 1 0 1/4 4Zj 6 6 0 3/2 24

Cj-Zj 0 -3 0 -3/2

Optimal Tablo Δ2=1, (C2=5)

6 5 0 0X1 X2 S1 S2

0 S1 0 4 1 -1/2 46 X1 1 1 0 1/4 4

Zj 6 6 0 3/2 24Cj-Zj 0 -1 0 -3/2

Optimal Tablo Δ1= -1, (C1=5)

5 4 0 0X1 X2 S1 S2

0 S1 0 4 1 -1/2 45 X1 1 1 0 1/4 4

Zj 5 5 0 5/4 20Cj-Zj 0 -1 0 -5/4

Optimal Tablo Δ1=3, (C1=9)

9 4 0 0X1 X2 S1 S2

0 S1 0 4 1 -1/2 49 X1 1 1 0 1/4 4

Zj 9 9 0 9/4 36Cj-Zj 0 -5 0 -9/4

Örnek: Aşağıda verilen DP modeli için optimal simpleks tabloyu kullanarak;

a) Mevcut çözümün korunması için tüm değişkenlerin Cj değer aralığını hesaplayınız.

b) Mevcut çözümün korunması için tüm sağ taraf değerlerinin (bi) değer aralığını hesaplayınız.

Zmin= 14X1 + 10X2+4X3 + 8X4X3 ≥ 40

X1 + X2 + X3 + X4 = 852X1 + 3X2 + 4X3 + 5X4 ≤ 3203X1 + 4X2 + 5X3 + 6X4 ≤ 410

X1 , X2, X3 , X4 ≥ 0

Optimal Tablo:

14 10 4 8 0 M M 0 0X1 X2 X3 X4 E1 A1 A2 S3 S4

4 X3 0 ½ 1 3/2 0 0 -1 1/2 0 7514 X1 1 ½ 0 -1/2 0 0 2 -1/2 0 100 E1 0 ½ 0 3/2 1 -1 -1 1/2 0 350 S4 0 0 0 0 0 0 -1 -1 1 5Zj 14 9 4 -1 0 0 24 -5 0 440

Cj-Zj 0 1 0 9 0 M M-24 5 0

Optimal tablo (b1=39)

14 10 4 8 0 M M 0 0X1 X2 X3 X4 E1 A1 A2 S3 S4

4 X3 0 1/2 1 3/2 0 0 -1 1/2 0 7514 X1 1 1/2 0 -1/2 0 0 2 -1/2 0 100 E1 0 1/2 0 3/2 1 -1 -1 1/2 0 360 S4 0 0 0 0 0 0 -1 -1 1 5Zj 14 9 4 -1 0 0 24 -5 0 440

Cj-Zj 0 1 0 9 0 M M-24 5 0

Optimal tablo (b2=84)

1410 4 8 0 M M 0 0

X1 X2 X3 X4 E1 A1 A2 S3 S4

4 X3 0 1/2 1 3/2 0 0 -1 1/2 0 7614 X1 1 1/2 0 -1/2 0 0 2 -1/2 0 80 E1 0 1/2 0 3/2 1 -1 -1 1/2 0 360 S4 0 0 0 0 0 0 -1 -1 1 6Zj 14 9 4 -1 0 0 24 -5 0 416

Cj-Zj 0 1 0 9 0 M M-24 5 0

Optimal tablo (b3=319)

14 10 4 8 0 M M 0 0X1 X2 X3 X4 E1 A1 A2 S3 S4

4 X3 0 1/2 1 3/2 0 0 -1 1/2 0 74½14 X1 1 1/2 0 -1/2 0 0 2 -1/2 0 10½0 E1 0 1/2 0 3/2 1 -1 -1 1/2 0 34½0 S4 0 0 0 0 0 0 -1 -1 1 6Zj 14 9 4 -1 0 0 24 -5 0 445

Cj-Zj 0 1 0 9 0 M M-24 5 0

Optimal tablo (b4=409)

1410 4 8 0 M M 0 0

X1 X2 X3 X4 E1 A1 A2 S3 S4

4 X3 0 1/2 1 3/2 0 0 -1 1/2 0 7514 X1 1 1/2 0 -1/2 0 0 2 -1/2 0 100 E1 0 1/2 0 3/2 1 -1 -1 1/2 0 350 S4 0 0 0 0 0 0 -1 -1 1 4Zj 14 9 4 -1 0 0 24 -5 0 440

Cj-Zj 0 1 0 9 0 M M-24 5 0