7/30/2005 simpleks yagn direvisi, created by hotniar siringoringo...
Post on 29-Apr-2019
240 Views
Preview:
TRANSCRIPT
7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 1
7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 2
Menawarkan peningkatan efisiensi dan keakuratan perhitungan
Menggunakan langkah-langkah yg sama dgn primal simpleks
Perbedaan hanya pd perhit. Variabel masuk dan keluar.
Standar model LP dalam matriksMaks/min z = CX
Terhadap
(A,I)X=b
X ≥ 0
7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 3
I = matriks identitas
X = (x1, x2, …, xn)T dan C = (c1, c2, …, c3)
a ... a a
a a a
a a a
m-nm,m2m1
m-n2,2221
m-n1,1211
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=ΜΜΜ
Κ
Κ
A⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
mb
bb
bΜ 2
1
Contoh 1:
Maksimumkan z = 2x1+3x2+4x3
Terhadap
x1+x2+x3 ≥ 5
x1+2x2 = 7
5x1-2x2+3x3 ≤ 9
x1,x2,x3 ≥ 0
7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 4
Bentuk standar matriks
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
7
6
5
4
3
2
1
xxxxxxx
( )0 M,- M,- 0, 4, 3, 2, z =nmaksimumka
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
terhadap
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
975
0 0 0 3 2- 51 0 0 0 2 10 1 1- 1 1 1
7
6
5
4
3
2
1
xxxxxxx
xj ≥ 0 dimana j = 1, 2, …, 7
7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 5
X = (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7)T, C = (2, 3, 4, 0, -M, -M, 0),
b= (5, 7, 9)T
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
1 0 00 1 00 0 1
I ,0 3 2- 50 0 2 11- 1 1 1
A
Solusi dasar dan basis
•Titik ekstrim solusi dasar
•Secara matematis : ∑=
=n
jjj xPXIA
1),(
• Pj vektor kolom (A,I)
• Sembarang vektor Pj independen linear akan berhub dgnsolusi dasar (A,I)X=b dan oleh karenanya merupakan titikekstrim ruang solusi. Dalam hal ini, m vektor yg terpilihmembentuk basis dimana matriks kuadrat yg sesuai pastinonsingular.
7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 6
Menggunakan contoh 1 di atas:
m=3 dan n=7, maka basis 3 (m) vektor dengan 4 (n-m) variabel.
Vektor :
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
301
,2
21
,511
321 PPP
Bersesuaian dengan x1, x2 dan x3 akan membentuk basis jikadan hanya jika: singular
3 2- 50 2 11 1 1
),,( 321⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛== PPPB
Krn determinan B ≠0 (-9), kondisi dipenuhi dan solusi persamaan:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
975
3 2- 50 2 11 1 1
3
2
1
xxx
7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 7
Tabel simpleks dalam bentuk matriks:
Basic XI XII
z CBB-1A-CI CBB-1-CII
B-1
CBB-1bXB B-1A B-1b
XII elemen X yg merupakan basis awal B=I
CI = koefisien tujuan XI, CII = koefisien tujuan XII
CB = koefisien tujuan basis
XB = variabel basis
Def Im=(e1, e2, …, em)
7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 8
Langkah-langkah metode Revised (primal) simpleks:
1. Penentuan vektor masuk (Pj), untuk setiap Pj non-basic hit:
zj-cj=Ypj-cj
pilih Pj yang mempunyai nilai zj-cj positif terbesar jikaminimisasi dan negatif terbesar jika maksimisasi
2. Penentuan vektor keluar (Pr), hit:
•hitung nilai variabel basis XB = B-1b
•Koefisien pembatas variabel masuk αj = B-1Pj
•Vektor keluar berhub dgn ( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
>=−
0,min1
jkj
k
kk
bBα
αθ
jkα( )kbB 1− dan adalah elemen ke-k dari B-1b dan αj
7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 9
jrα
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
+
−
−
=
jr
jm
jr
jr
jj
r
j
αα
α
αα
αα
ξ
Μ
Μ
1
2
1
2. Penentuan basis berikutnya, hit:
Dimana E = (e1, …, er-1, ξ, er+1, em)
11 −− = EBBnext
adalah perpotongan vektor masuk dan keluar
Elemen pivot pd primal simpleks
7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 10
Contoh 2:
Maksimumkan z = 3x1+2x2
Terhadap
x1+2x2 ≤ 6; 2 x1+x2 ≤ 8; - x1+x2 ≤ 1, x2 ≤ 2, x1,x2 ≥ 0
Penyelesaian
Solusi awal :
XB = (x3, x4, x5, x6)T, CB = (0, 0, 0, 0), B = (P3, P4, P5, P6) = I, B-1 = I
654321 P P P P P P
0 1 0 0 1 1-0 0 1 0 1 2 0 0 0 1 2 1
↓↓↓↓↓↓
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=A
7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 11
Iterasi 1:
• Penentuan vektor masuk, untuk P1 dan P2 hit: zj – cj = Ypj- cj
Y=CBB-1 = (0, 0, 0, 0)I = (0, 0, 0, 0)
(z1-c1, z2-c2)=Y(P1,P2)-(c1, c2)=
=(-3, -2), maka vektor masuk adalah P1
penentuan vektor keluar : XB = B-1b=Ib=b = (6 8 1 2)T
α1 = B-1P1=IP1= P1
θ = min {6/1, 8/2, _, _), berhub dgn x4, maka vektor keluaradalah P4
( ) )2,3(
1 01 1-1 22 1
0,0,0,0 −
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 12
Penentuan Inverse basis berikutnya:
Karena P1 menggantikan P4 dan α1=(1, 2, -1, 0)T, maka:
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−−
+−
=0 2121
21
2021
2121
ξ dan
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛==
== −−
1 0 0 00 1 1/2 00 0 1/2 00 0 1/2- 1
11
E
EIEBBnext
Basis berikutnya adalah XB = (x3, x1, x5, x6) dan CB=(0, 3, 0, 0)
7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 13
Iterasi-2
•Penentuan vektor masuk, untuk vektor non basic P2 dan p4.
( ) ( )0,0,2/3,01 0 0 00 1 1/2 00 0 1/2 00 0 1/2- 1
0,0,3,01 =⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=−BCB
( ) ( ) ( ) ( )2/3,2/10,20 10 11 10 2
0,0,2/3,0, 4422 −=−⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=−− czcz
P2 adalah vektor masuk
•Penentuan vektor keluar, diberikan P2 sebagai vektor masuk:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
2542
2186
1 0 0 00 1 1/2 00 0 1/2 00 0 1/2- 1
BX
7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 14
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛== −
12/32/12/3
1112
1 0 0 00 1 1/2 00 0 1/2 00 0 1/2- 1
212 PBα
3412,
235,
214,
232min =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=θ bersesuaian dengan x3, mk vektorkeluar adalah P3
•Penentuan basis berikutnya. Karena P2 menggantikan P4 danα2=(3/2,1/2,3/2,1)T, maka:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−+
=32
131
32
2/312/32/32/32/1
2/31ξ
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=−
1 0 1/3 2/3-0 1 1 1-0 0 2/3 1/3-0 0 1/3- 2/3
1 0 0 00 1 1/2 00 0 1/2 00 0 1/2- 1
1 0 0 2/3-0 1 0 1-0 0 1 1/3-0 0 0 2/3
1nextB
7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 15
Basis baru berhubungan dengan XB = (x2,x1,x5,x6) danCB=(2,3,0,0)Iterasi-3•Penentuan vektor masuk
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )3/4,3/10,00 00 01 00 1
0,0,3/4,3/1,
0 0, 4/3, ,3/11 0 1/3 2/3-0 1 1 1- 0 0 2/3 1/3-0 0 1/3- 3/2
0,0,3,2
4433
1
=−⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=−−
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛== −
czcz
BCY B
Karena zj-cj > 0, maka solusi optimal sudah diperoleh, yaitu:
( ) 3/383/2
33/10
3/40,0,3,2
3/23
3/103/4
2186
1 0 1/3 2/3-0 1 1 1- 0 0 2/3 1/3-0 0 1/3- 2/3
1
6512
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛==
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛==
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
BB XCz
bBxxxx
top related