8. 입체도형의 성질

8. 입체도형의 성질

다면체

다면체 : 몇 개의 다각형으로

둘러싸인 입체도형을

다면체라고 한다 .

다면체는 면의 개수에 따라

사면체 , 오면체 , 육면체 , …

로 나눈다 .

꼭지점

모서리

면

오면체

★ 각기둥 : 두 밑면이 평행하고 합동인 다각형이며 옆면이 모두 직사각형인 다면체

각기둥은 밑면인 다각형의 모양에 따라 삼각기둥 , 사각기둥 , 오각기둥 ,… 으로 나뉜다 .

삼각기둥 사각기둥

밑면

옆면

밑면

사각뿔

사각뿔

사각뿔대

각뿔 : 밑면이 다각형이고 , 옆면이 모두 삼각형인 다면체각뿔대 : 각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라서

생기는 두 입체도형 중 각뿔이 아닌 쪽의 다면체

다면체 면의 개수

꼭짓점의 개수

모서리의 개수

n 각기둥

n 각뿔

n 각뿔대

n+2

n+1

n+2

2n

n+1

2n

3n

2n

3n

각 다면체의 옆면의 모양을 짝지어 놓은 것이다 .

옳게 짝지어진 것은 ?

① 삼각뿔 - 삼각형

② 사각뿔 - 사각형

③ 오각기둥 - 오각형

④ 오각뿔대 - 삼각형

⑤ 육각뿔대 - 직사각형

아래의 조건을 모두 만족하는 입체도형은 ?

두 밑면이 평행하다 .

옆면은 사다리꼴이다 .

꼭짓점이 10 개다 .

면의 개수는 7 개이다 .

정사면체 , 정육면체 , 정팔면체 ,

정십이면체 , 정이십면체

종 류

정다면체 : 각 면이 합동이 정다각형이고 ,

각 꼭지점에 모이는 면의 개수가 같은 다면체

정다면체

정사면체 정육면체 정팔면체

정이십면체정십이면체

정사면체

정사면체의 전개도

정육면체

정육면체의 전개도

정팔면체

정육면체의 전개도

정십이면체

정십이면체의 전개도

정이십면체

정이십면체의 전개도

정사면체 정육면체

정팔면체

전개도를 그려서 정다면체를 만들어 보세요 !

전개도를 그려서 정다면체를 만들어 보세요 !

정십이면체

정이십면체

정다면체

면의 모양

한 꼭지점에 모이는

면의 개수

꼭짓점의 총 개수

모서리의 총 개수

정 4 면체

정 6 면체

정 8 면체

정 12면체

정 20면체

3

3

4

3

5

3×4÷3=4

4×6÷3=8

3×8÷4= 6

5×12÷3=20

3×20÷5=12

3×4÷2 = 6

4×6÷2=12

3×8÷2= 12

5×12÷2=30

3×20÷2=30

한 꼭짓점에 6 개의 정삼각형이 모이는

정다면체를 만들 수 있나요 ?

한 꼭짓점에 4 개의 정사각형이 모이는

정다면체를 만들 수 있나요 ?

한 꼭짓점에 3 개의 정육각형이 모이는

정다면체를 만들 수 있나요 ?

한 꼭짓점에 4 개의 정사각형이 모이는

정다면체를 만들 수 있나요 ?

한 꼭짓점에 4 개의 정오각형이 모이는

정다면체를 만들 수 있나요 ?

정다각형으로 평면을 채울 때 ,

가능한 정다각형에는 무엇이 있을까요 ?

자연 속에도 과학이 !

벌집의 단면의 모양이 정육각형인 이유는 ?

한 걸음 더 !정다면체의 각면의 중점을 이어서 얻어지는

다면체는 무엇일까 ?

정사면체 정팔면체 정육면체 정십이면체정이십면체

회전체 : 평면도형을 직선을 축으로 하여 1

회전 시킬 때 생기는 입체도형

( 예 ) 원뿔 , 원기둥 , 원뿔대 , 구 등

ghl

회전축

회전축

1. 회전체를 그 회전축에 수직인 평면으로 자르면 그 단면은 항상 원이다 .

2. 회전체를 그 회전축을 포함한 평면으로 자르면 그 단면은 모두 합동이며 , 회전축에 대하여 선대칭도형이다 .

회전체의 성질

회전체를 회전축을 포함하는 평면으로

자른 단면의 모양을 옳게 짝지은 것은 ?

① 구 — 타원 ② 반구 — 원

③ 원뿔 — 직각삼각형 ④ 원기둥 — 사각형

⑤ 원뿔대 — 사다리꼴

회전체의 성질

2cm

6cm

원뿔의 옆면의 부채꼴에 대한 호의 길이와 중심각의 크기는 ?

4 cm

6cm

2cm

기둥의 겉넓이와 부피

( 기둥의 겉넓이 )= ( 옆넓이 ) + ( 밑넓이 ) 2

★ 전개도를 이용한다 .

( 기둥의 부피 )= ( 밑넓이 ) ( 높이 )

원기둥의 전개도

h

r

2rh

r

각기둥의 겉넓이의 예 ( 단위 cm)

)(1122)44(4)54( 2cmS

4 4

5 5

44

4

각기둥의 부피의 예 ( 단위 cm)

)(60=5×)4×3(=×= 3cm높이밑넓이부피

43

5

( 원기둥의 겉넓이 ) = ( 옆넓이 ) + ( 밑넓이 ) 2

222 rrhS

h

r

2rh

r

원기둥의 부피

( 원기둥의 부피 ) = ( 밑넓이 ) (높이 )

hrV 2h

r

그림의 직사각형을 직선 l 을 축으로 1 회전하여

얻어지는 입체도형의 겉넓이와 부피는 ?

3cm

2cm

l

다음 입체도형의 겉넓이와 부피를 구하여라 .

6cm

4cm

3cm5cm

다음 입체도형의 겉넓이와 부피를 구하여라 .

6cm

4cm

r

l

원뿔의 전개도

2r

l

r

1

6

2

6

1

그림과 같이 점 A 에서 출발하여 원뿔의 표면을 따라 한 바퀴 돌아서 다시 A 로 오는 최단 거리는 ?

뿔의 겉넓이

( 뿔의 겉넓이 )= ( 밑넓이 ) + ( 옆넓이 )

r

l

2r

l

r

그림의 직사각형을 직선 l 을 축으로 1 회전하여

얻어지는 입체도형의 겉넓이와 부피는 ?

6cm

3cm

l

그림의 삼각뿔의 부피는 ?

5cm4cm

6cm

1. 다음 원뿔의 겉넓이를 구하여라 .

2. 원뿔대의 겉넓이를 구하여라 .

10

6

4cm

6cm

5cm

2cm8

각뿔의 겉넓이의 예

5cm

8cm

5cm 5cm5cm

8cm

높이밑넓이부피기둥의부피뿔의 3

1

3

1

밑넓이와 높이가 같은 뿔과 기둥에서 뿔에 물을

가득 채운 후 기둥에 부으면 기둥높이의 만큼

물이 차게 된다 .

3

1

데모크리토스 ( 그리스 BC460?-BC370?) 의 실험

직육면체의 그릇에 물을 붓고 그림처럼 기울였다 . 이 때 , 그릇에 있는 물의 부피를 구하여라 .

5cm

6cm

3cm

구의 겉넓이와 부피

24 r( 구의 겉넓이 ) =( 구의 부피 ) =

3

3

4r

그림과 반구와 원뿔을 붙여서 만든 입체도형이다 .

겉넓이와 부피를 구하여라 .

3cm

4cm5cm

원기둥에 원뿔과 구가 그림과 같이 들어 있다 .

원뿔 : 구 : 원기둥의 부피의 비는 ?

< 아르키메데스 >

r2r

다음 반구의 겉넓이와 부피를 구하여라 .

3cm O