9. kombinované namáhání - cvut.czmech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp... ·...

9. Kombinované namáhání O kombinovaném namáhání nosníku mluvíme, když průřez namáhán nějakou

kombinací vnitřních sil:

Nx – normálová síla

My,Mz – ohybové momenty

Mx = Mk – kroutící moment

Vnitřní síly dostaneme integrací napětí

A

xy dAzM

A

xy dAyM

A

xx dAN

A

xtkx dAMM

Mx = Mk

My

Mz

z

y

x

Nx

Šikmý ohyb – kombinace namáhání dvěma ohybovými momenty

Jsou-li souřadné osy y a z totožné s hlavními centrálními osami setrvačnosti a

průřez je namáhán ohybovými momenty My a Mz, lze pro výsledné normálové

napětí napsat

z

z

y

y

xxxI

yM

I

zM

Analogie s prostým ohybem pro osu y.

9.1. Kombinace tahu nebo tlaku s ohybem

Výsledný účinek vnějších sil nahrazuje z jedné strany průřezu ekvivalentně síla

N, jejíž paprsek neprochází těžištěm C, ale je kolmý k průřezu.

Tah: A

Nx

Ohyb: je vyvolán dvojicí sil N, jedná se o tzv. šikmý ohyb

z

y

ey

ez

ez

N

C

e

yzzy eNMeNM

eNM

Normálové napětí pro šikmý ohyb:

yI

eNz

I

eN

z

y

y

zx

Výsledné napětí – součet napětí od tahu a šikmého ohybu:

yI

eNz

I

eN

A

N

z

y

y

zx

kde

2yy iAI 2

zz iAI

Potom

y

i

ez

i

e

A

N

z

y

y

zx 22

1

V daném průřezu jsou hodnoty N, A, ey, ez, iy, iz konstantní a proto se

normálové napětí x mění v průřezu lineárně.

Geometrické místo bodů v nichž je normálové napětí nulové - neutrální osa,

určíme z podmínky

0x => 0122

zi

ey

i

e

y

z

z

y

Neutrální osa neprochází tedy těžištěm, může mít obecně šikmý směr a protíná

osy y a z v bodech (p,0) a (0,q) a dělí průřez na část taženou a tlačenou

0102

pi

e

z

y

=>

y

z

e

ip

2

obdobně

0102

qi

e

y

z

=>

z

y

e

iq

2

z

y

(y1,z1)

(y2,z2)

-p

-q

n.o. × P

1

2

Ze znamének úseku je patrno, že neutrální osa protíná každou souřadnicovou

osu na opačné straně těžiště, než je působiště síly N.

Působiště síly N se nazývá dle účinku centrum tahu nebo tlaku.

Z polohy neutrální osy vyplývá, že celý kvadrant, v němž je působiště síly, je

vždy namáhán napětím téhož znaménka jako normálová síla.

Největší (maximální) hodnota tahu a tlaku vzniká v krajních bodech

průřezu, nejvíce vzdálených od neutrální osy.

Označíme-li souřadnice těchto bodů (y1,z1) a (y2,z2) bude max. tahové a tlakové

napětí

tah

1 12121

z

i

ey

i

e

A

N

y

z

z

y

ak tl

1 22222

z

i

ey

i

e

A

N

y

z

z

y

Často žádáme, aby byl celý průřez tlačen. Část průřezu, v němž musí ležet

působiště vnější síly tak, aby byla celá plocha průřezu pouze tlačena (případně

tlačena), se nazývá jádro průřezu.

Def.: Jádro průřezu je množina tlakových center, při kterých je celý

průřez tlačen nebo tažen.

Jádrový obrazec obsahuje těžiště průřezu. Bude-li tlakové (tahové)

centrum ležet na hranici jádra, neutrální osa se bude dotýkat obrysu

průřezu.

Proto strany jádrového obrazce můžeme sestrojit jako neutrální osy

k tlakovým (tahovým) centrům, která umístíme do vrcholů obrysů průřezu.

Je-li průřez mnohoúhelníkem, je mnohoúhelníkem také jádrový průřez.

Při hledání jádra průřezu je třeba doplnit nekonvexní

obrazec průřezu na konvexní obrazec.

nekonvexní

obrazec

konvexní

obrazec

Př.1. Jádro průřezu obdélníka

Tlakové (tahové) centrum

umístíme postupně do vrcholů

1,2,3 a 4 a nalezneme

odpovídající neutrální osy.

Vrchol 1

2

2

he

be zy

Poloměry setrvačnosti

12

12

12

3

2 h

bh

bh

A

Ii

y

y

12

12

12

3

2 b

bh

hb

A

Ii zz

y

z

b

h

n1

n2

n3

n4

1 2

3 4

h/6

b/6

Potom

Obdobně pro vrcholy 2,3 a 4.

6

2

12

2

2h

h

h

e

iq

z

y

6

2

12

2

2b

b

b

e

ip

y

z

Př.2. Jádro průřezu kruhu

Jádro průřezu určíme opět s využitím

duality tak, že neutrální osy k tlakovým

centrům ležících na obrysu průřezu

považujeme za tečny k obrysům jádra.

Např. tlakovému centru v bodě

rzyA ,01 odpovídá neutrální osa n1,

přičemž úseky, které vytíná na hlavních

souřadnicových osách y a z, vyplývají ze

vztahu

0122

zi

ey

i

e

y

z

z

y

Při poloměru setrvačnosti kruhu

44

2

2

422 r

r

rii zy

z

y

r r

Ak nk

A1

r/4

r/4

n1

Potom dostáváme

44

04

2

1

2

1

r

r

r

q

r

p

Neutrální osy odpovídající různým polohám bodu kiAi ,....2,1 a vzdálené o

hodnotu

, který je jádrem daného kruhového průřezu.

Př.3 Jádro rovnoramenného trojúhelníka

z

y

3

1 2

n2 n1

n3 h/12

h/6

b/12 b/12

b/2 b/2

2h/3

h/3

18

24 01

22

22

22

hi

biz

i

ey

i

eyz

y

z

z

y

0102

pi

e

z

y pro 0

2

y

z

e

ipqz

0102

qi

e

y

z pro 0

2

z

y

e

iqpy

Tlaková centra

3,

21

hb ;

12

2

24

2

2b

b

b

e

ip

y

z

6

3

18

2

2h

h

h

e

iq

z

y

3,

22

hb ;

12

2

24

2

2b

b

b

e

ip

y

z

6

3

18

2

2h

h

h

e

iq

z

y

3

2,03

h ;

0

24

2

2

b

e

ip

y

z 12

3

2

18

2

2h

h

h

e

iq

z

y

9.2. Kombinace ohyb a kroucení

Volné kroucení platí pouze pro kruhový průřez a mezikruží.

ohyb zI

M

y

y

x kroucení p

ktx

I

M,

dov

y

xW

M dov

k

ktx

W

M ,

kde

21

64

44p

zy

I

D

dDII

32

1

2

164

4

3

44

D

dD

D

D

dD

W

D

d

16

1

2

132

2

4

3

44

D

dD

D

D

dD

D

IW

p

k

9.3. Kombinace tah nebo tlak a kroucení

tah (tlak) dovxA

N kroucení dov

k

ktx

W

M ,

Pro kruhový průřez

2

4

D

Nx

3max

16

D

M k

64642

44 DDI p

16

2

323

4

D

D

D

Wk