ค ำน ำ - wordpress.com...ตรรกยะบวกและศ นย เท าน น...

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 1

เอกสารประกอบการเรยน รายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท

2 เรอง อตราสวนตรโกณมต จดท าขนตามตวชวดและมาตรฐานการเรยนร กลมสาระการเรยนร

คณตศาสตร หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 ส าหรบใชประกอบการ

เรยนการสอนของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ของโรงเรยนพานพทยาคม อ าเภอพาน จงหวด

เชยงราย ใหความรความเขาใจน าไปสทกษะการคดวเคราะห ตามความสามารถและความ

แตกตางระหวางบคคล ของผเรยนได มตวอยางทนาสนใจ และมแบบฝกทกษะเพอใหนกเรยน

ฝกมากมาย ในการจดการเรยนการสอนคณตศาสตร ดวยภาษาองกฤษ ( mathematics teaching-

learning with English) จงมเนอหา ตวอยาง และแบบฝกหด เปนภาษาองกฤษ ในการจดท า

หนงสอเลมน ไดรบความรวมมอจากคณะครกลมสาระคณตศาสตร โรงเรยนพานพทยาคม และ

ฝายบรหารทใหการสนบสนนในการผลตหนงสอเลมนเปนอยางด

ขาพเจาหวงเปนอยางยงวาหนงสอเลมนจะเปนประโยชนตอการจดการเรยนร เพอ

ประยกตใชพฒนาการเรยนรของนกเรยนไดอยางเหมาะสม ขอขอบคณทกทานทมสวนเกยวของ

ในการจดท าหนงสอไว ณ โอกาสน

(นายเชวง จตรประสาร)

ครช านาญการ กลมสาระคณตศาสตร

โรงเรยนพานพทยาคม อ าเภอพาน จงหวดเชยงราย

ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 36

ค ำน ำ

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 2

อตราสวนตรโกณมต Trigonometry...................................................................................... 2

Pythagoras of Samos ……………. ………………………………………………………….3

Thales of Miletus ……………….. …………………………………………………………..4

Trigonometric ratios ………………………………………………………………………..5

Using the ratios ……………………………………………………………………………...9

Practice 2.1 …………………………………………………………………………………..9

Trigonometric tables ………………………………………………………………………..15

Practice 2.2 …………………………………………………………………………………..17

Practice 2.3 …………………………………………………………………………………..21

Practice 2.4 …………………………………………………………………………………..25

การประยกตของอตราสวนตรโกณมต ………………………………………………………..30

Practice 2.5 …………………………………………………………………………………..34

Test ……….…………………………………………………………………………………..37

สำรบญ

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 3

พทาโกรส แหงซามอล (Pyhagoras of \ Samos, ประมาณ 580 – 496 ปกอน

ครสตศกราช) เปนนกคณตศาสตรชาวกรก เกดทเมองอเจยน เกาะซามอส พทาโกรสเปนผกอตง

ส านกพทาโกเรยน ทเมองโคร โทนา ซงอยทางตอนใตของประเทศอตาลในปจจบน โดยเปด

สอนทงหลกปรชญา ทฤษฎจ านวนเรขาคณต ดนตร ดาราศาสตร ธรรมชาตวทยา พทาโกเรยนม

หลกปรชญาทส าคญคอ “ทกสรรพสงลวนแทนไดดวยจ านวน” ซงจ านวนในทนหมายถงจ านวน

ตรรกยะบวกและศนยเทานน พทาโกรสเปนทรจกในฐานะผพสจนทฤษฎบทพทาโกรส แตทงน

ยงมหลกฐานทยนยนไดวาชาวบาบโลน และชาวอยปตรจกความสมพนธระหวางความยาวดาน

ทงสามของรปสามเหลยมมมฉากมากอนแลว ในปจจบนยงมผสนใจศกษา และคนหาบทพสจน

ของทฤษฎบทพทาโกรสในรปแบบทแตกตาง โดยสามารถรวบรวมไดกวา 300 วธเลยทเดยว

อตราสวนตรโกณมต

Pythagoras of Samoa

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 4

ทาเลสแหงมเลตส (Thales of Miletus, ประมาณ 640 – 546 ปกอนครสตศกราช)

นกปราชญชาวกรกจากเมองมเลตส ซงปจจบนอยในประเทศตรก ทาเลสไดรบการยอมรบวา

เปนบคคลแรกทค านวณความสงของพรามดโดยใชแสงเงา เขายงมผลงานดานเรขาคณต ดารา

ศาสตร การเดนเรอ นอกจากนทงอรสโตเตลและเบอรแทรนด รสเซลล ตางยกยองใหทาเลสเปน

บคคลคนส าคญดานปรชญา

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 5

𝑠𝑖𝑛 𝐴 =ความยาวของดานตรงขามมม 𝐴

ความยาวของดานตรงขามมมฉาก

𝑐𝑜𝑠 𝐴 =ความยาวของดานประชด 𝐴

ความยาวของดานตรงขามมมฉาก

𝑡𝑎𝑛 𝐴 =ความยาวของดานตรงขามมม 𝐴

ความยาวของดานประชดมม 𝐴

trigonometric ratios

)

ดานประชดมม A

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 6

อตราสวน/มม 30° 45° 60° อตราสวน/มม 30° 45° 60°

Sin 1

2

1

2 3

2 Cosec 2 2

2

3

Cos 3

2

1

2 1

2 Sec 2

3 2 2

Tan 1

3 1 3 Cot 3 1 1

3

Trigonometric ratios

trigonometric ratios

In the diagram

Remember

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 7

Find the value of sin A, cos A, tan A , sin B, cos B and tan B for the following image

𝑠𝑖𝑛 𝐴 =opposite of 𝐴

ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒 𝑜𝑓 𝐴=

3

5=

ขามฉาก 𝑐𝑜𝑠 𝐴 =

adjacent of 𝐴

ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒 𝑜𝑓 𝐴=

4

5=

ชดฉาก

𝑡𝑎𝑛 𝐴 =opposite of 𝐴

adjacent 𝑜𝑓 𝐴=

3

4=

ขามชด 𝑠𝑖𝑛 𝐵 =

opposite of 𝐵

ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒 𝑜𝑓 𝐵=

4

5=

ขามฉาก

𝑐𝑜𝑠 𝐵 =adjacent of 𝐵

ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒 𝑜𝑓 𝐵=

3

5=

ชดฉาก 𝑡𝑎𝑛 𝐵 =

opposite of 𝐵

adjacent 𝑜𝑓 𝐵=

4

3=

ขามฉาก

Find the value of sin A cos A tan A for the following image

𝐴𝐵2 = 𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2

132 = 52 + 𝑥2

𝑥2 + 52 = 132

𝑥2 = 132 − 52

𝑥2 = 169 − 25

𝑥2 = 144

𝑥 = 12

EXAMPLE-1

A C

B

3 5

4 Solution

EXAMPLE-2

B

Solution C A

13

5

x

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 8

𝑠𝑖𝑛 𝐴 =opposite of 𝐴

ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒 𝑜𝑓 𝐴=

12

13=

ขามฉาก

𝑐𝑜𝑠 𝐴 =adjacent of 𝐴

ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒 𝑜𝑓 𝐴=

5

13=

ชดฉาก

tan 𝐴 =opposite of 𝐴

adjacent 𝑜𝑓 𝐴=

12

13=

ขามชด

for each of the following Trigonometric ratios find of x is M or N angles

1) sin 𝑥 =𝑀𝑂

𝑀𝑁 , 𝑥 = 𝑁

2) sin 𝑥 =𝑁𝑂

𝑀𝑁 , 𝑥 = 𝑀

3) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 =𝑁𝑂

𝑀𝑁 , 𝑥 = 𝑁

4) cos 𝑥 =𝑀𝑂

𝑀𝑁 , 𝑥 = 𝑀

5) tan 𝑥 =𝑁𝑂

𝑀𝑂 , 𝑥 = 𝑀

6) tan 𝑥 =𝑀𝑂

𝑁𝑂 , 𝑥 = 𝑁

EXAMPLE-3

M

N

O

tan 𝜃 =sin 𝜃

cos 𝜃

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 9

1) Find the value of sin A cos A tan A sin B cos B and tan B for the following image

1)

sin A = ……………… sin B = …………………………

cos A = ……………… cos B = ……………………..

tan A = ………………tan B = ………………..

B

C A

7 25

24

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 10

2)

sin A = ……………… sin B = …………………………

cos A = ……………… cos B = ……………………..

tan A = ………………tan B = …………….…..

3)

sin A = ……………… sin B = …………………………

cos A = ……………… cos B = ……………………..

tan A = ………………tan B = …………….…..

4)

sin A = ……………… sin B = …………………………

cos A = ……………… cos B = ……………………..

tan A = ………………tan B = …………….…..

5)

sin A = ……………… sin B = …………………………

cos A = ……………… cos B = ……………………..

tan A = ………………tan B = …………….…..

B

C A

5

B

C A

4

3

1

1

B C

A

B

C A

6

17

7 15

7

8

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 11

2) for each of the following Trigonometric ratios Inserting the correct A or B In the box

1) sin 𝑥 =𝐵𝐶

𝐴𝐵 , 𝑥 =

2) sin 𝑥 =𝐴𝐶

𝐴𝐵 , 𝑥 =

3) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 =𝐴𝐶

𝐴𝐵 , 𝑥 =

4) cos 𝑥 =𝐵𝐶

𝐴𝐵 , 𝑥 =

5) tan 𝑥 =𝐴𝐶

𝐵𝐶 , 𝑥 =

6) tan 𝑥 =𝐵𝐶

𝐴𝐶 , 𝑥 =

2) for each of the following Trigonometric ratios Inserting the correct Sin or Cos In the box

1) A = 𝑎

𝑐

2) B = 𝑎

𝑐

3) A = 𝑏

𝑐

4) B = 𝑏

𝑐

B

A

C

A

B

a b

c

C

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 12

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 13

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 14

Angles Sin Cos Tan

𝐴

𝐵𝐶

𝐴𝐵

𝐵𝐶

𝐴𝐵

𝐵𝐶

𝐴𝐵

30°

1

2

3

2

3

3

45°

2

2

2

2

1

60°

3

2

1

2

3

A

B

C

A

B

C

A

A

B

C

B

C

30

2

3

1

1

45°

60°

3

1

2

1 1

1

1

2

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 15

Trigonometric tables

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 16

For the trigonometric tables find the value of trigonometry

1. sin 34 ° = 0.559 2. cos 55 ° = 0.574 3. tan 77 ° = 4.331 4. sin 62 ° = 0.883 5. cos 75 ° = 0.259 6. tan 32 ° = 0.625

7. sin 62 . 5° = ?

sin 62 ° = 0.883

sin 63 ° = 0.891

มมของ sin เพมขน 1 องศา คาเพมขน 0.891-0.883 = 0.008

มมของ sin เพมขน 0.5 องศา คาเพมขน 0.5×0.008

1= 0.004

ดงนน 7. sin 62 . 5° = 0.883 + 0.004 = 0.887

Find the 𝜃 , give the value of trigonometry

1)sin 𝜃 = 0.998 , 𝜃 = 4°

2)Cos 𝜃 = 0.927 , 𝜃 = 22°

3)sin 𝜃 = 0.438 , 𝜃 = 64°

4)tan 𝜃 = 3.732 , 𝜃 = 75°

5)sin 𝜃 = 0.914 , 𝜃 = 66°

6)cos 𝜃 = 0.391 , 𝜃 = 67°

7)𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 0.391 , 𝜃 = 23°

8)tan 𝜃 = 0.017 , 𝜃 = 1°

EXAMPLE-4

Solution

EXAMPLE-5

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 17

9)sin 𝜃 = 0.7

sin 44 ° = 0.695

sin 45 ° = 0.707

คาของ sin ตางกน 0.012 (0.707-0.695) คาของมมตางกน 1 องศา

คาของ sin ตางกน 0.005 (0.7 – 0.695) คาของมมตางกน 0.005×1

0.012= 0.417 องศา

ดงนน เมอคาของ sin เทากบ 0.7 คาของ 𝜃 จะมคาประมาณ sin 44 ° + 0.417 ≈ 44.42

1) Find the value of Trigonometric ratios for Trigonometric tables

1)sin 44 ° = ………………………………………..2)sin 4 ° = ………………………………………

3)cos 81 ° = ………………………………………..4)sin 17 ° = ………………………………………

5)sin 29 ° = ………………………………………..6)cos 18 ° = ………………………………………

7)sin 81 ° = …………………………………

.8)sin 51.5 ° = …………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

Solution

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 18

9)sin 67.5 ° = …………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

10 )sin 42.5 ° = …………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 19

2) for each of the following value sin A ,Find A angles

1) sin A = 0.530 A = ……………….

2)cos A = 0.407 A = ……………….

3) sin A = 0.156 A = ……………….

4) cos A = 0.777 A = ……………….

5) sin A = 0.961 A = ……………….

3) for each of the following value cos B , Find B angles

1) cos B = 0.961 B = ……………….

2) cos B = 0.993 B = ……………….

3) cos B = 0.070 B = ……………….

4) cos B = 0.875 B = ……………….

5) cos B = 0.707 B = ……………….

4) for each of the following value tan A , Find A angles

1) tan A = 0.404 A = ……………….

2) tan A = 0.488 A = ……………….

3) tan A = 1.881 A = ……………….

4) tan A = 0.141 A = ……………….

5) tan A = 5.145 A = ……………….

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 20

In the diagram 𝐴 = 35° 𝑎𝑛𝑑 𝐴𝐵 = 12 𝑐𝑚 𝑓𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 𝐵𝐶

BC = a cm

We use the sine ratio

sin 35° °=𝑎

12 𝑎 = 12 sin 35 °

sin 35 °° = 0.574

𝑎 ≈ 12 (0.574) 𝑎 ≈ 6.89

𝐵𝐶 ≈ 6.89

AB = a cm

We use the cos ratio

𝑐𝑜𝑠52°°=8

𝑎

, 𝑎 =8

sin 52° °

sin 52° °= 0.616

𝑎 ≈8

0.616 , 𝑎 ≈ 12.99 AB ≈ 12.99 cm

EXAMPLE-6

35°

12 cm

A

B

C

Solution

52°

8 cm A C

B

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 21

1) In the diagram find value of x , y , z

1) 2)

3) 4)

…………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………….

x 14

45 30

y x

5 3

45 60

y

x z

60

30

x

y

8

8

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 22

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………..

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 23

2) In the diagram C is the right angled and cos 𝐴 =1

2

Find the value of

1) Sin A = ………………………………..

2) Tan A = ……………………………….

3) Sin B = ………………………………..

4) Cos B = ……………………………….

5) Tan B = ………………………………..

3) In the diagram C is the right angled and cos 𝐵 =3

5

Find the value of

1) Sin A = ………………………………..

2) Tan A = ……………………………….

3) Sin B = ………………………………..

4) Cos B = ……………………………….

5) Tan B = ………………………………..

จากความหมายของอตราสวนตรโกณมต เมอสงเกตจะพบสมบตบางประการ ดงน

𝑠𝑖𝑛𝐴 = cos 90° − 𝐴

𝑐𝑜𝑠𝐴 = sin(90° − 𝐴)

𝑡𝑎𝑛𝐴 =1

tan(90° − 𝐴)

𝑡𝑎𝑛𝐴 =𝑠𝑖𝑛𝐴

𝑐𝑜𝑠𝐴 เมอ cos 𝐴 ≠ 0

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 24

𝑠𝑖𝑛30° = cos 90° − 30 = 𝑐𝑜𝑠60°

𝑐𝑜𝑠30° = sin 90° − 30 = 𝑠𝑖𝑛60°

𝑡𝑎𝑛30° =1

tan(90° − 30)=

160°

.ให 𝑠𝑖𝑛6° = 0.105 และ 𝑐𝑜𝑠6° = 0.995

จงหาคาของ 1) 𝑐𝑜𝑠84° 2) 𝑠𝑖𝑛84° 3) 𝑡𝑎𝑛 6°

1)จาก 𝑐𝑜𝑠𝐴 = sin 90° − 𝐴

จะได 𝑐𝑜𝑠84° = sin 90° − 84 = sin 6° = 0.105

2)จาก 𝑠𝑖𝑛𝐴 = cos 90° − 𝐴

จะได 𝑠𝑖𝑛84° = cos 90° − 84 = cos 6° = 0.995

3) 𝑡𝑎𝑛6° =𝑠𝑖𝑛6°

𝑐𝑜𝑠6°=

0.105

0.995≈ 0.105

EXAMPLE-7

EXAMPLE-8

Solution

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 25

1) It is given 𝑠𝑖𝑛14° = 0.242 and 𝑐𝑜𝑠14° = 0.970

Find the value 1) 𝑐𝑜𝑠76° 2) 𝑠𝑖𝑛76° 3) 𝑡𝑎𝑛 14°

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 26

2) It is given 𝑠𝑖𝑛 40° = 0.643 and 𝑐𝑜𝑠40° = 0.766

Find the value 1) 𝑐𝑜𝑠50° 2) 𝑠𝑖𝑛50° 3) 𝑡𝑎𝑛 40°

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

\

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 27

In the diagram 𝑓𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 𝐵𝐶 𝑎𝑛𝑑 𝐴𝐶

30°

60°

BC = a AC = b

𝑆𝑖𝑛 60° = 𝑎

10

3

2=

𝑎

10

𝑎 = 3

2× 10

𝑎 = 5 3

𝐶𝑜𝑠 60° = 𝑏

10

1

2=

𝑎

10

𝑎 = 1

2× 10

𝑎 = 5

BC = 5 3 and AC = 5

EXAMPLE-9

B

A C

10

Solution

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 28

EXAMPLE-10

EXAMPLE-11

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 29

In the diagram 𝑓𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 𝐵𝐶 𝑎𝑛𝑑 𝐴𝐶

50°

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

A C

24

EXAMPLE-12

B

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 30

ในการเลนวาวนน ถาตองการวาวลอยอยสงจากพนดนเทาไร เราสามารถหาค าตอบ จากการทฤษฎบทพ

ทาโกรสไดดงน

𝐴𝐵2 = 𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 , AC = 𝐴𝐵2 − 𝐵𝐶2 ,

เราจะไดความสงของวาว มคาประมาณ AC + ความสงของผเลน

EXAMPLE-13

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 31

น าฝนอยากทราบวาบานทเธอก าลงยนอย มความสงเทาไร โดยจะใชความรเรองอตราสวนตรโกณมตชวย

แตมขอจ ากดวา อตราสวนตรโกณมตททราบ ในตอนนเปนอตราสวนของมม 30° 45° และ 60° เทานน น าฝน

จงเดนหางออกจากตวบานนไประยะหนง แลวหนกลบไปมองขนไปบนหลงคาบาน ถาเธอเดนหางจากตว

บานไป 11 เมตร แลวมมเงยทมองหลงคาบานเทากบ 60° จากขอมลทงสองน ท าใหเธอหาความสงของ

บานหลงนไดดงน

ให A เปนต าแหนงหลงคาบานทน าฝนมองอย

B เปนต าแหนงตวบานแนวเดยวกบระดบสายตาของน าฝน

C เปนต าแหนงทน าฝนหยดมองหลงคาบาน

แลว BC = 11 เมตร และ 𝐵𝐶 𝐴 = 60°

จากความรเรองอตราสวนตรโกณมต ไดวา tan 60° =𝐴𝐵

𝐵𝐶

นนคอ 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 tan 60° ≈ 11 3 เมตร

จงสรปไดวาบานนสงประมาณ

11 3 + ความสงของน าฝน ≈ 19.05 + 1.63 ≈ 20.67

EXAMPLE-14

Solution

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 32

EXAMPLE-15

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 33

พราวยนอยบนหนาผาแหงหนง เธอมองไปยงทะเลขางลาง เหนเรอล าหนงก าลงเลนเขามาใกล หนาผา

ในแนวตงฉากกบหนาผา ตอนแรกมมกมของเธอทมองเรอล านเทากบ 30° แตพอเรอเลนตอไปอก 40

เมตร เธอจะมองเหนเรอล านเปนมมกมเทากบ 45° จงหาวาหนาผาสงจากระดบน าทะเลเทาไร (เนองจาก

หนาผาสงมาก เราจะไมคดความสงของพราว)

ให A เปนต าแหนงหนาผาทพราวยนอย

B เปนต าแหนงทหนาผาตรงระดบน าทะเล

C เปนต าแหนงบของเรอทเธอมองเหนในครงแรก

D เปนต าแหนงของเรอทเธอมองเปนในครงหลง

แลว 𝐵𝐶 𝐴 = 30 และ 𝐵𝐷 𝐴 = 45° และ 𝐷𝐶 = 40 เมตร

แลวพจารณา ∆𝐴𝐵𝐷 , tan 45° =𝐴𝐵

𝐵𝐷แลว 𝐵𝐷 = 𝐴𝐵

แลวพจารณา ∆𝐴𝐵𝐶 , tan 30° =𝐴𝐵

𝐵𝐷 + 40แลว 𝐵𝐷 + 40 = 𝐴𝐵 3

ดงนน 𝐴𝐵 + 40 = 𝐴𝐵 3 แลว 𝐴𝐵 = 40

3−1≈

40

0.732≈ 54.65

EXAMPLE-16

Solution

นนคอ หนาผาสงกวาระดบนาทะเลประมาณ 54.65 เมตร

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 34

1.ตนไมตนหนงทอดยาว 100 เมตร แนวของเสนตรงทลากผานจดปลายของเงาตนไมและยอดตนไมท ามม

30 องศา กบเงาตนไม จงหาความสงของตนไม

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 35

2. ชายคนหนงมองตนไมซงอยหางจากบานเปนระยะทาง 12 เมตร ถามมกมซงมองไปยงโคนตนไมม

ขนาด 60 องศา จงหาความสงของตนไมตนน

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 36

3.จากรป ครเชวง ยนอยหางจากตวหนอน 170 เซนตเมตร (A) มม A กาง 45 องศา จงหา

ความสงของครเชวง

……………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

A 170

45°

C

B

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 37

In the diagram 𝑓𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 𝑜𝑓 3 𝑐𝑜𝑠𝑐𝑒𝑐 𝐴 − 2 sec 𝐴

In the diagram, 𝑓𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 𝐵𝐶

A

C

B 12

ก. 13

30

ข. 169

30

ค. 1

ง.1

2

13

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 38

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 39

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 40

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตร : ครผสอน:นายเชวง จตรประสาร หนา 41

นายเชวง จตรประสาร ครช านาญการ กลมสาระคณตศาสตร โรงเรยนพานพทยาคม

อ าเภอพาน จงหวดเชยงราย จบการศกษา ระดบปรญญาตร วชาเอกคณตศาสตร

มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช เรมรบราชการ โรงเรยนเวยงปาเปาวทยาคม ยายมาปฎบต

หนาท โรงเรยนพานพทยาคม เมอ ป พ.ศ.2530 จนถงปจจบน (2555)

ผลงานทางวชาการ

ไดจดท าบทเรยนคอมพวเตอรชวยสอน ( CAI )

1.เรอง เซตและการด าเนนการ

2. เรอง อตราสวนตรโกณมต

3. เรองเลขยกก าลง

ไดจดท าเวปไซด การเรยนการสอนวชา คณตศาสตร ระดบชน ม.4

ผสนบสนนการจดท าเอกสารประกอบการสอน

นางละมย อนนตรงสรรค หวหนากลมสาระคณตศาสตร

นายสนอง สจรต ผอ านวยการโรงเรยนพานพทยาคม

ขอขอบคณ ฝายผลตเอกสาร โรงเรยนพานพทยาคม