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A. Castelletti, MCSA, 2004/05
L12 Modelli empirici
Rodolfo Soncini Sessa
MODSSCopyright 2004 © Rodolfo Soncini Sessa.
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 2
Mappa didattica
COMPONENTE Serbatoio Bacino imbrifero
TIPOLOGIE di MODELLI
Reti Bayesiane Meccanicistici
Empirici
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 3
Il bacino imbrifero
sezione di chiusura
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 4
t
P
impulso di pioggia unitario
Il metodo razionale (Mulvany, 1850)
d(t)
pioggia
P
t
scalino di pioggia unitario
t
A d
tc
ttc
dAd
dt
t+dtA(t)
dA
t
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 5
L’idrogramma unitario (Sherman, 1932)
Postulati
Per un dato bacino:
a) la durata del deflusso superficiale è uguale per precipitazioni di ugual durata, indipendentemente dal volume totale della stessa.
b) precipitazioni con ugual distribuzione temporale producono al tempo dal loro inizio, deflussi con rapporto pari al rapporto dei volumi totali delle precipitazioni.
c) la distribuzione temporale del deflusso è indipendente dalla storia precedente del bacino.
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 6
Integrale di convoluzione :
L’idrogramma unitario (Sherman, 1932)
d(t) = h(τ )
0
t
∫ P(t - τ )dτ
t
P
d
ttc
somma di idrogrammi successivisomma di idrogrammi successivi idrogrammaunitario
( )h τ
pioggia
( - )P t τ
Il bacinoè un sistema lineare.
Il bacinoè un sistema lineare.
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 7
Modello di Nash, 1957
PtPt
dtdt
Interpreta il bacino come una sequenza di serbatoi in cascata.
Equazione di transizione di stato
xt+11 =(1- k1)xt
1 +h1Pt
xt+12 =(1- k2 )xt
2 +k1xt1 +h2Pt
.....................xt+1
n =(1- kn)xtn+kn−1xt
n−1 +hnPt
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
h1Pt
k1xt1
x1
h2Pt
k2xt2
x2
h3Pt
k3xt3
x3
x4
h4Pt
k4xt4
= dtdt
Trasformazione di uscita
dt=knxt
n
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 8
Modello di Nash, 1957
Interpreta il bacino come una sequenza di serbatoi in cascata.
Equazione di transizione di stato
xt+11 =(1- k1)xt
1 +h1Pt
xt+12 =(1- k2 )xt
2 +k1xt1 +h2Pt
.....................xt+1
n =(1- kn)xtn+kn−1xt
n−1 +hnPt
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
Trasformazione di uscita
dt=knxt
n
1 2 1 21 1 1 1 1..... .....n n
t t t t n t t t nd a d a d a d b P b P b P
Sistema lineare Sistema lineare
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 9
Modelli ARX (anni 70)
dt+1 = dt ipotesi di persistenza
dt+1 = 2dt - dt-1 AR(2)
dt+1 = a1 dt +….+an
dt-n+1 AR(n)
ARX
dt+1 = Pt-n+1 n legato al tempo di corrivazione
dt+1 = b1Pt+ …+bnPt-n+1
3) modello completo:
1) previsione deflusso con dati di precipitazione :
2) previsione deflusso con dati di deflusso :
t
d
t-2 t-1 t t+1
misuratocalcolato
1 2 11 1 1 1 + n n
t t t t n t t nd a d a d a d b P b P 1 2 11 1 1 1 + n n
t t t t n t t nd a d a d a d b P b P
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Considerazioni
•ARX Sherman : un modello lineare, descritto tramite la risposta all’impulso.
•ARX Mulvany : il bacino è un sistema lineare ( la risposta allo impulso è la derivata della risp. allo scalino).
I quattro modelli fin qui visti sono matematicamente identici.
Corrispondono tutti a una stessa equazione: un sistema lineare.
•ARX è la relazione ingresso-uscita di un modello discreto lineare
RX Nash
11 21 1 1 1 + n n
t t t t n t t nd a d a d a d b P b P
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 11
Considerazioni
I quattro approcci differiscono solo per il metodo di taratura dei parametri
Mulvany : effettua una stima qualitativa partendo da considerazioni topografiche.
Sherman : attribuisce all’ idrogramma unitario forme data a priori, oppure lo stima a partire da eventi impulsivi realmente accaduti.
Nash : classicamente stima i parametri per tentativi ed errori.
ARX : adotta algoritmi di stima parametrica ai minimi quadrati.
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 12
ma allora... Perchè non identificare direttamente la struttura del modello senza preoccuparsi di ricostruire le relazioni causali che caratterizzano il processo fisico?
Più precisamente, si potrebbe identificare la relazione che lega gli ingressi all’uscita senza preoccuparsi di cosa avviene all’interno del sistema!Si potrebbe ad esempio descrivere la dinamica
dell’uscita con una relazione della forma
yt1 y(yt,...,yt−(p−1),ut,...,ut−(r '−1),wt,...,wt−(r ''−1),εt1,...,εt−(q−1))
detta forma ingresso-uscita o rappresentazione esterna
modelli empirici
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 13
Modelli empirici
Si limitano a riprodurre il legame intercorrente tra ingressi e uscite del sistema.
Serie storica delle piogge
Modello empirico
Serie storica delle portate
non permettono di descrivere cambiamenti nella struttura del sistema idrico.
Svantaggi:
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 14
Modelli empirici
Siamo certi che esista sempre una rappresentazione esterna? La Teoria dà risposte, ma ... inutili. In pratica si procede così:• si assume “empiricamente” che esista;• si fissa a priori una struttura e l’ordine (p,r’,r’’,q) e si tarano
i parametri con opportuni algoritmi;• se l’aderenza alla realtà è buona si è trovata la forma
cercata; altrimenti si torna al passo precedente aumentando l’ordine e ...
• ... si continua fino a che la si trova o l’ordine raggiunto è “troppo” elevato.
ht=h(st)
st+1 = f (st,ut,wt,εt+1) rappresentazione interna del serbatoio
rappresentazione esterna ht1 h(ht,...,ht−(p−1),ut,...,ut−(r '−1),wt,...,wt−(r ''−1),εt1,...,εt−(q−1))
Esempio
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Modelli empirici
Questi modelli non si propongono di capire come il sistema funzioni (scopo scientifico), ma solo di predire l’uscita che si otterrà in risposta a dati ingressi (scopo ingegneristico).
modelli a scatola nera (black-box models)Si cerca la forma esterna in una classe di funzioni fissata a priori
Se le variabili sono tutte scalari viene spesso adottata la forma lineare
yt1 αt
1yt ...αtpyt−(p−1) βt
1'ut ...βtr 'ut−(r '−1)
βt1''wt ...βt
r ''wt−(r ''−1) εt1 γt1εt ...γt
qεt−(q−1)
classe PARMAX
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 16
Modelli empiriciLa forma lineare è semplice ed esistono potenti algoritmi per la
stima dei suoi parametri, ma non è sempre la più adatta...
st1 αst −βut γ(wt εt1) ma...
s
t
N(g)
r
t+1
u
t
s
non-lineare!
NO!
Conviene utilizzare una classe di funzioni non-lineare, come le
RETI NEURALI ARTIFICIALI
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 17
Modelli empirici stocastici
Conviene, inoltre, considerare la forma stocastica
st1 αst −βut γ(wt εt1) νt1
O a volte
s
t1 αst −βut γ(wt εt1)νt1 δt1νt ...δt
qνt−(q−1)
yt1 y(yt,...,yt−(p−1),ut,...,ut−(r '−1),wt,...,wt−(r ''−1),
,εt1,...,εt−(q'−1),νt,...,νt−(q''−1))νt1
In generale
rumore di processo
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Osservazioni
La forma esterna può essere identificata solo se sono disponibili serie storiche abbastanza lunghe di ingressi e uscite.
I modelli empirici non possono essere adottati quando le alternative comportano modifiche alla struttura interna del sistema, perchè non possono descriverne gli effetti.Non esistono ovviamente serie storiche che risentano di tale modifica.
La capacità predittiva di un modello empirico dipende fortemente dalla classe di funzioni adottata a priori.
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 19
Modelli concettuali
Realtà
Modelli empirici
Modelli concettuali e empirici
come trovarlo?
spazio dei modelli
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 20
Ricapitolando I modelli meccanicistici rischiano di essere troppo complicati e
spesso descrivono particolari irrilevanti ai fini del progetto, che non influenzano, cioè, la relazione ingresso-uscita.
L’identificazione dei modelli empirici richiede di specificare a priori la classe di funzioni in cui cercare la loro forma definitiva e questa scelta condiziona fortemente la qualità del modello.
IDEA (1994)
Utilizzare un modello meccanicistico, ma individuare la forma della relazione che lo definisce non da conoscenze a priori (la Fisica, l’Idraulica, ...), ma direttamente dai
dati.
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 21
Un esempioCunning river - Australia
?
Il suolo asciutto assorbe la pioggia.
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 22
deflusso misurato
deflusso stimato
Un primo modello del fiume Cunning
yt1 αtyt βtwt εt1proviamo con un PARMAX
precipitazione
NO
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 23
Modelli meccanicistici basati sui dati (DBM)
yt1 αyt β(yt)wt εt1proviamo con un DBM
Il valore del parametro β dipende dalla portata di deflusso, che a sua volta dipende dall’umidità del terreno.
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 24
deflusso misurato
deflusso stimato
Modelli meccanicistici basati sui dati (DBM)
yt1 αyt β(yt)wt εt1proviamo con un DBM
ora la previsione è molto buona
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 25
Mappa didattica
COMPONENTE Serbatoio Bacino imbrifero
TIPOLOGIE di MODELLI
Reti Bayesiane Meccanicistici
Empirici
Modello del disturbo
• Meccanicistici basati sui dati
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 26
I disturbi
Lo scopo ultimo è simulare il comportamento del sistema in presenza di una alternativa.
xt+1 = ft(xt,u
p,ut,wt,εt+1)
yt+1 =ht(xt,up,ut,wt,εt+1)
Per simulare occorrono le traiettorie degli ingressi.
definito dalla politicadeterministicamente noto al tempo t, ma al
momento del progetto?
casuale: chi lo fornisce?
N.B.
I disturbi di cui parlia
mo sono quelli del
sistema globale, non del componente.
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 27
xt+1 = ft(xt,u
p,ut,wt,εt+1)
yt =ht(xt,up,ut,wt,εt+1)
per simulare occorrono le traiettorie degli ingressi.
deterministicamente noto al tempo t, ma al momento del progetto?
casuale: chi lo fornisce?
I disturbi
Lo scopo ultimo è simulare il comportamento del sistema in presenza di una alternativa.
definito dalla politica
N.B.
I disturbi di cui parlia
mo sono quelli del
sistema globale, non del componente.
Mare Adriatico
Fucino
VILLA VOMANO
PIAGANINI
PROVVIDENZA
CAMPOTOSTO
MONTORIO (M)
SAN GIACOMO (SG)
Distretto irriguo(CBN)
S. LUCIA (SL)
PROVVIDENZA (P)
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 28
Chi li fornisce?
Due possibilità:1. adottare la traiettoria storica
ma potrebbe essere troppo breve.
2. identificare un modellonon deve avere disturbi tra gli ingressi altrimenti ...
... si cade in un circolo vizioso ...
... che, però, è a volte utile.
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 29
Chi li fornisce?
Due possibilità:1. adottare la traiettoria storica
ma potrebbe essere troppo breve.
2. identificare un modellonon deve avere disturbi tra gli ingressi altrimenti ...
... si cade in un circolo vizioso ...
... che, però, è a volte utile.
Prima o poi il disturbo deve essere spiegato senza introdurre altri ingressi e, quindi, solo in base ai valori che ha assunto negli istanti precedenti o, al più, delle variabili di stato e di controllo del sistema.
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 30
εt1 yt(εt,...,εt−(p−1),ut,...,ut−(r '−1),xt,...,xt−(r ''−1),υt,...,υt−(q−1))υt1
yt1 yt(yt,..., yt−(p−1),ut,...,ut−(r '−1),xt,...,xt−(r ''−1),εt,...,εt−(q−1))εt1
Il modello deve dunque essere empirico
meglio cambiare notazione
NO!circolo vizioso!
a meno che ...
… non debba e non possa essere spiegato perché è
un rumore bianco
rumore di processo
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 31
Il rumore bianco
Se una serie di dati ammette un modello si dice che è
algoritmicamente comprimibile.
Una serie non algoritmicamente comprimibile è un rumore bianco
Quando il disturbo è stocastico ciò equivale a dire che il suo correlogramma è identicamente nullo.
Conclusione:
i disturbi devono essere bianchiVedremo in seguito come descriverli.
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 32
Tipi di modelli
Rete Bayesiane di credenza (BBN)
Modelli meccanicistici
Modelli empirici Modelli meccanicistici basati sui dati (DBM) Modelli dei disturbi (Catene di Markov)
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 33
Leggere
MODSS Cap. 4
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 34
Bacini imbriferi del Vomano
Utilizziamo dei modelli PARMA
1. Identificazione di una distribuzione di probabilità che descriva i dati
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 35
Carta probabilistica LognormaleGronda a quota 1100m.s.l.m.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Ln(Portata)
Va
ria
bil
e r
ido
tta
Lo
gn
orm
ale
Lognormale campionaria
Lognormale teorica
Prov. 30.1 / seca m
Prov.
Pr
7200sec0.98
amm
Sδ
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 36
Bacini
Utilizziamo dei modelli PARMA
yt1 αt
1yt αt2yt−1 K αt
nyt−n1 εt1 γt1εt K γt
pεt−p1
εt1 : N(0,σ ε22)
1. Identificazione di una distribuzione di probabilità che descriva i dati
xt lνat
xt : N(μt,σ t2)
2. Normalizzazione
3. Standardizzazione
4. Modello PARMA
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 37
Bacini
Definizione dell’ordine del modello PARMA (n, p)
Si procede iterativamente, provando diverse combinazioni di n e p e verificando per ognuna se il residuo è bianco
Se il residuo è bianco ci si ferma: il modello spiega completamente i dati
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 38
Bacini
Nel caso del Vomano per tutti e tre i bacini si è scelto un PAR(0)
11
iti
ta eε
definito dunque solo da media μt e deviazione standard σt
ciclostazionario di periodo 365: media e varianza sono diverse ogni giorno
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 39
PAR(0) Campotosto
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 40
PAR (0) Provvidenza
A. Castelletti, MCSA, 2004/05 41
PAR(0) Piaganini
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