หน่วยที่nptc.ac.th/files/research/06 อ.ฐาปนีย์...3 9....

1

หน่วยที่ สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

สาระส าคัญ

สมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่แสดงถึงการเท่ากันของจ านวน โดยมีสัญลักษณ์ “=” บอกการเท่ากัน ซึ่งสมการอาจจะมีตัวแปรหรือไม่มีตัวแปรก็ได้

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ สมการที่มีตัวแปรหนึ่งตัว และเลขชี้ก าลังของตัวแปรเป็นหนึ่ง รูปทั่วไปของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวที่มี x เป็นตัวแปร คือ ax + b = 0 เมื่อ a , b เป็นค่าคงตัว โดยที่ a ≠ 0

สมบัติการเท่ากันของจ านวน เป็นการหาค่าของตัวแปรที่ท าให้สมการเป็นจริง ซึ่งแก้สมการโดยใช้สมบัติการเท่ากันของจ านวนจริง ได้แก่ สมบัติสมมาตร สมบัติถ่ายทอด สมบัติการบวกและสมบัติการคูณ

น าสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวไปประยุกต์ใช้ในงานอาชีพ เป็นการน าความรู้เกี่ยวกับสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวไปใช้ในสถานการณ์จริงหรือปัญหาที่ก าหนด โดยน ากระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา 4 ขั้นตอน

สมรรถนะประจ าหน่วย

1. ค านวณการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 2. ประยุกต์ใช้ความรู้เกี่ยวกับสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวในสถานการณ์จริงหรือปัญหา ที่ก าหนด

จุดประสงค์การเรียนรู้

เมื่อศึกษาหน่วยการเรียนนี้แล้ว นักเรียนสามารถ 1. บอกความหมายของสมการและหาค าตอบของสมการได้

2. บอกสมบัติการเท่ากันของจ านวนจริงได้ 3. บอกความหมายของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวได้ 4. แก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวได้ 5. น าสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวไปประยุกต์ใช้ในงานอาชีพได้

2

แบบทดสอบก่อนเรียน

หน่วยที่ 1 สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ค าชี้แจง ให้นักเรียนกากบาท x ลงในกระดาษค าตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงค าตอบเดียว (10 คะแนน) 1. ประโยคสัญลักษณ์ของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวใช้เครื่องหมายข้อใด ก. < ข. ค. = ง. ≠ 2. ข้อใดเป็นสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ก. 7xy = 12 ข. 2x + 5 = 11 ค. x + 4 = x (x + 8) ง. x2 – 3 = 6 3. ถ้า 5(x – 3) = x + 5 ข้อใดกล่าวถูกต้อง ก. ค่าของ x เท่ากับ 5 ข. สมการมีตัวแปรสองตัว ค. ประโยคนี้ไม่ใช่สมการ ง. สมการนี้ไม่มีตัวแปร 4. ข้อใดในวงเล็บ ( ) ท าให้สมการเป็นจริง

ก. 3x = 18 (7) ข. 2x – 3 = 8 (16)

ค. 8 – 2x = 1 (2) ง. 5x + 2 = –13 (–3) 5. ข้อใดเป็นค าตอบของสมการ 2x + 5 = 41 ก. 8 ข. 11 ค. 18 ง. 23 6. ถ้า 9 + y = 21 แล้ว y มีค่าเท่ากับข้อใด ก. 3 ข. 12 ค. 30 ง. 189 7. ถ้า 6m – 12 = 54 แล้ว m + 3 มีค่าเท่ากับข้อใด ก. 7 ข. 10 ค. 11 ง. 14 8. ถ้า 4a – 5 = a + 4 แล้ว a มีค่าเท่ากับข้อใด ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4

3

9. ดาราและเดือนเพ็ญฝากเงินธนาคารออมสิน โดย 43 ของเงินฝากของดารามากกว่าของ

เดือนเพ็ญอยู่ 23,853 บาท ถ้าเดือนเพ็ญมีเงินฝากอยู่ 210,000 บาท จงหาว่าดาราฝากเงิน กับธนาคารออมสินอยู่เท่าใด ก. 139,610.25 บาท ข. 175,389.75 บาท ค. 248,196.00 บาท ง. 311,804.00 บาท 10. ลวดหนามขดหนึ่งยาว 78 เมตร น าไปล้อมรั้วรอบพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านกว้างสั้นกว่า ด้านยาว 3 เมตร ได้พอดี จงหาว่าขนาดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้ ก. กว้าง 18 เมตร และยาว 21 เมตร ข. กว้าง 21 เมตร และยาว 18 เมตร ค. กว้าง 21 เมตร และยาว 24 เมตร ง. กว้าง 24 เมตร และยาว 21 เมตร

4

1.1 สมการและค าตอบของสมการ

สมการคืออะไร

สมการ คือ ประโยคสัญลักษณท์ี่แสดงถึงการเท่ากันของจ านวน โดยมีสัญลักษณ์ “=” บอกถึงการเท่ากัน ซึ่งสมการอาจจะมีตัวแปรหรือไม่มีตัวแปรก็ได้

สมการอาจมีตัวแปรหรือไม่มีตัวแปรก็ได้ เช่น 4x – 2 = 15 เป็นสมการที่มี x เป็นตัวแปร

12 – 25 = – 13 เป็นสมการที่ไม่มีตัวแปร

5 + 5 < 8 ไม่เป็นสมการ

4x – 2 ≠ 10 ไม่เป็นสมการ

การที่จะพิจารณาว่าประโยคสัญลักษณ์ใดเป็นสมการหรือไม่เป็นสมการ จะพิจารณาจากการ

ที่ประโยคนั้นใช้เครื่องหมาย “=” บอกความสัมพันธ์ระหว่างจ านวนในประโยคเท่านั้น โดยที่ประโยค

อาจจะมีตัวแปรหรือไม่มีก็ได้

ประโยคสัญลักษณ์ท่ีไม่เท่ากัน โดยมีสัญลักษณ์ ≠ , < , > , , ฯลฯ แสดงถึงการไม่เท่ากัน เรียกว่า อสมการ เช่น 5 x 3 ≠ 25 x + 4 < 10 y – 3 6

ตัวแปร คือ ตัวที่ไม่ทราบค่า (ไม่ใช่ตัวเลข) ที่ปรากฏอยู่ในประโยคสัญลักษณ์

ซึ่งอาจจะอยู่ในรูปของตัวอักษร หรือสัญลักษณต์่างๆ นิยมแทนตัวแปร

ด้วยสัญลักษณ์ x , y และ z

ค่าคงตัว คือ ตัวเลขใช้แทนจ านวนที่มีค่าแน่นอน

5

ค าตอบของสมการ

ค าตอบของสมการ คือ จ านวนใดๆ ที่แทนค่าตัวแปรในสมการ แล้วท าให้สมการนั้นเป็นจริง

พิจารณาสมการที่ไม่มีตัวแปรหลายๆ สมการต่อไปนี้ มีทั้งสมการที่เป็นจริงและเป็นเท็จ

2 + 8 = 10 เป็นจริง 16 – 5 = 10 เป็นเท็จ

7 + 12 = 18 เป็นเท็จ 31 – 5 = 26 เป็นจริง

จะเห็นว่าสมการที่ไม่มีตัวแปรนั้น สามารถบอกได้ทันทีว่าเป็นสมการเป็นจริง หรือเป็นเท็จ

ดังนั้น สรุปว่า สมการที่เป็นจริง หมายถึง สมการที่มีจ านวนที่อยู่ทางซ้ายของเครื่องหมาย = มีค่า

เท่ากันกับจ านวนที่อยู่ทางขวามือ

พิจารณาสมการที่มีตัวแปร ดังนี้

x – 2 = 6 x + 5 = -7

x + 7 = -3 x – 11 = 4

จะเห็นว่าสมการที่มีตัวแปรนั้น ยังไม่สามารถบอกได้ทันทีว่าเป็นสมการทีเ่ป็นจริงหรือเป็นเท็จ

จากตารางต่อไปนี้ เป็นสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ทีม่ีทั้งสมการที่เป็นจริงและเป็นเท็จ

สมการ ค่าของตัวแปร แทนค่าตัวแปร สมการ

เป็นจริง เป็นเท็จ

1. x + 2 = 7 5 (5) + 2 = 7

2. x + 5 = –3 -2 (–2) + 5 ≠ –3

3. y – 9 = 11 2 (2) – 9 ≠ 11

4. y – (–5) = 19 14 14 – (–5) = 19

จากตารางข้างต้น สามารถสรุปได้ว่าจ านวนที่แทนค่าตัวแปรในสมการแล้ว ท าให้สมการเป็นจริง

เรียกว่า ค าตอบของสมการ และกล่าวได้ว่าจ านวนนั้นสอดคล้องกับสมการ

6

1. จงพิจารณาว่าประโยคสัญลักษณ์ที่ก าหนดให้ต่อไปนี้ เป็นสมการหรือไม่เป็นสมการ

ตัวอย่าง 5 – 3 ≠ 3 – 5 ไม่เป็นสมการ x + 2 = 8 เป็นสมการ

(10 คะแนน)

2. ให้นักเรียนท าเครื่องหมาย ลงในตาราง เพ่ือแสดงว่าค่าของตัวแปรที่ก าหนดให้ในแต่ละข้อท าให้สมการเป็นจริงหรือเป็นเท็จ

สมการ ค่าของตัวแปร แทนค่าตัวแปร

สมการ เป็นจริง เป็นเท็จ

ตัวอย่าง

ก. 19 – x = 7 12 ก. 19 – (12) = 7 ข. y + 3 = 14 10 ข. (10) + 3 = 14

แบบฝึกทักษะ 1. 12 + x = 21 9 1. 12 + ( ) = 21 2. 2y – 5 = 16 12 2. 2( ) – 5 = 16 3. 7n + 5 = 26 3 3. 7( ) + 5 = 26

4. 3z + 1 = 8 21 4.

3+ 1 = 8

5. x + 11 = 2x – 5 7 5. ( ) + 11 = 2( ) – 5 (5 คะแนน)

1. y + 2 = 5 ………………………………

2. 7a > 15 ………………………………

3. 2n +1 = 7 ………………………………

4. 8 – 2 = 6 ………………………………

5. 6b – 5 < 12 ………………………………

6. a – 2 ≠ 10 ………………………………

7. 2 × 8 = 16 ………………………………

8. 3m 12 ………………………………

9. 5 ………………………………

10. 4x = x + 6 ………………………………

แบบฝึกทักษะที่ 1.1

( )

7

1.2 สมบัตกิารเท่ากันของจ านวนจริง

การหาค าตอบของสมการ เป็นการหาค าตอบของสมการโดยวิธีลองแทนค่าตัวแปรในสมการ เพ่ือให้สมการเป็นจริง นอกจากวิธีการดังกล่าวเราสามารถใช้สมบัติของการเท่ากันของจ านวนจริง คือ สมบัติสมมาตร สมบัติถ่ายทอด สมบัติการบวก และสมบัติการคูณ มาช่วยในการหาค าตอบของสมการ

สมบัตสิมมาตร

ถ้า a = b แล้ว b = a เมื่อ a และ b แทนจ านวนจริงใดๆ

เช่น ก. ถ้า x = 9 แล้ว 9 = x ข. ถ้า 5 = 2t แล้ว 2t = 5 ค. ถ้า a + b = c แล้ว c = a + b ง. ถ้า x – 11 = 8 แล้ว 8 = x – 11

สมบัตถิ่ายทอด

ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c เมื่อ a , b และ c แทนจ านวนจริงใดๆ

เช่น ก. ถ้า x = y และ y = 5 แล้ว x = 5 ข. ถ้า a = x + 2 และ x + 2 = 10 แล้ว a = 10 ค. ถ้า x = 7y และ 7y = 14 แล้ว x = 14 ง. ถ้า a = -8b และ -8b = 24 แล้ว a = 24

8

สมบัติการบวก ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c เมื่อ a , b และ c แทนจ านวนจริงใดๆ ถ้า a = b แล้ว a + (–c) = b + (–c) เมื่อ a , b และ c แทนจ านวนจริงใดๆ

ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c เมื่อ a , b และ c แทนจ านวนจริงใดๆ

ถ้า a = b แล้ว a + (–c) = b + (–c) เมื่อ a , b และ c แทนจ านวนจริงใดๆ

สมบัติการคูณ ถ้า a = b แล้ว a x c = b x c เมื่อ a , b และ c แทนจ านวนจริงใดๆ

ถ้า a = b แล้ว a x c1 = b x

c1 เมื่อ a , b และ c แทนจ านวนจริงใดๆ c ≠ 0

ถ้า a = b แล้ว a x c = b x c เมื่อ a , b และ c แทนจ านวนจริงใดๆ เช่น ก. ถ้า 4 + 8 = 12 แล้ว (4 + 8) x 3 = 12 x 3 ข. ถ้า 6 x 3 = 18 แล้ว (6 x 3) x 2 = 18 x 2 ค. ถ้า 7 + 2 = 9 แล้ว (7 + 2) x 5 = 9 x 5 ง. ถ้า 5 x 8 = 40 แล้ว (5 x 8) x 4 = 40 x 4

ถ้า a = b แล้ว a x c1 = b x

c1 เมื่อ a , b และ c แทนจ านวนจริงใดๆ c ≠ 0

เช่น ก. ถ้า 4 + 8 = 12 แล้ว (4 + 8) x 31 = 12 x

31

ข. ถ้า 6 x 3 = 18 แล้ว (6 x 3) x 21 = 18 x

21

ค. ถ้า 7 + 2 = 9 แล้ว (7 + 2) x 51 = 9 x

51

ง. ถ้า 5 x 8 = 40 แล้ว (5 x 8) x 41 = 40 x

41

เช่น ก. ถ้า 2 + 5 = 7 แล้ว (2 + 5) + 3 = 7 + 3 ข. ถ้า 3 x 4 = 12 แล้ว (3 x 4) + 2 = 12 + 2 ค. ถ้า 5 + 8 = 13 แล้ว (5 + 8) + 7 = 13 + 7 ง. ถ้า 2 x 8 = 16 แล้ว (2 x 8) + 9 = 16 + 9

เช่น ก. ถ้า 2 + 5 = 7 แล้ว (2 + 5) + (–3) = 7 + (–3) ข. ถ้า 3 x 4 = 12 แล้ว (3 x 4) + (–2) = 12 + (–2) ค. ถ้า 5 + 8 = 13 แล้ว (5 + 8) + (–7) = 13 + (–7) ง. ถ้า 2 x 8 = 16 แล้ว (2 x 8) + (–9) = 16 + (–9)

9

ค าชี้แจง จงเติมจ านวนลงใน โดยใช้สมบัติการเท่ากันของจ านวนจริง

ตัวอย่าง ถ้า x = 4 แล้ว x + 2 = 4 + 2 .

ถ้า y – 5 = 13 แล้ว (y – 5) – 3 = 13 – 3

แบบฝึกทักษะ

1. ถ้า y = 9 แล้ว y + 8 = 9 +

2. ถ้า x + 3 = 10 แล้ว (x + 3) + = 10 + 8

3. ถ้า x = 7 แล้ว x – = 7 – 2

4. ถ้า y + 6 = 12 แล้ว (y + 6) – = 12 – 6

5. ถ้า (9 x 3) = 27 แล้ว (9 x 3) x = 27 x

6. ถ้า (y x 4) = 20 แล้ว (y x 4) x = 20 x

7. ถ้า 3x = 18 แล้ว 3x = 18

8. ถ้า y x 12 = 48 แล้ว 5

= 48

(8 คะแนน)

แบบฝึกทักษะที่ 1.2

(y x 12)

10

1.3 ความหมายของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวคืออะไร

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ สมการที่มีตัวแปรหนึ่งตัว และเลขชี้ก าลังของตัวแปรเป็นหนึ่ง รูปทั่วไปของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวที่มี x เป็นตัวแปร คือ ax + b = 0 เมื่อ a , b เป็นค่าคงตัว โดยที่ a ≠ 0

เช่น 3x = 0 เป็นสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

สมการที่มี x เป็นตัวแปรหนึ่งตัว และเลขชี้ก าลังเป็นหนึ่ง

เมื่อเทียบรูปทั่วไป a = 3 , b = 0

x + 5 = 13 เป็นสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

สมการที่มี x เป็นตัวแปรหนึ่งตัว และเลขชี้ก าลังเป็นหนึ่ง

เมื่อเทียบรูปทั่วไป a = 1 , b = 5

2x – 6 = 2 เป็นสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

สมการที่มี x เป็นตัวแปรหนึ่งตัว และเลขชี้ก าลังเป็นหนึ่ง

เมื่อเทียบรูปทั่วไป a = 2 , b = -6

พิจารณาสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวต่อไปนี้ ที่เป็นสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวและไม่เป็นสมการ

เชิงเส้นตัวแปรเดียว

ก. 3x + 1 = 16 เป็นสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ข. 6y + 2 = 4y – 8 เป็นสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ค. 5x + y = 3 ไมเ่ป็นสมการเขิงเส้นตัวแปรเดียว

ง. 3x2 + 6 = 0 ไม่เป็นสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

11

ค าชี้แจง จงท าเครื่องหมาย หน้าข้อที่เป็นสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว และ หน้าข้อที่ไม่เป็น สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ตัวอย่าง ก. x – 4 = 3

ข. x + 2y = 6

แบบฝึกทักษะ 1. 3x + 2 = 11

2. 5xy = 0

3. x + 21 = x (x + 5)

4. 3x + y = 6

5. 0.2x + 2.5 = 3.5

6. x2 + 4x + 4 = 0

7. 2x – 1 = x + 6

8. 4x

2x =

43

9. y(y – 4) = 12

10. x9 = 3

(10 คะแนน)

แบบฝึกทักษะที่ 1.3

12

1.4 การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

การแก้สมการ คือ เป็นการหาค่าของตัวแปรที่ท าให้สมการเป็นจริง ซึ่งแก้สมการโดยใช้ สมบัติการเท่ากันของจ านวนจริง ได้แก่ สมบัติสมมาตร สมบัติถ่ายทอด สมบัติการบวก และสมบัติการคูณ

ด าเนินการแก้สมการโดยใช้สมบัติการเท่ากันของจ านวนจริง หรือจะท าอย่างรวดเร็ว โดยการย้ายข้าง การย้ายให้เปลี่ยนเครื่องหมายของตัวที่ย้าย จากบวกเป็นลบ จากลบเป็นบวก จากคูณเป็นหาร จากหารเป็นคูณ โดยจะย้ายจากซ้ายไปขวาหรือขวาไปซ้ายก็ได้ ซึ่งการย้ายข้าง ก็คือ การใช้สมบัติการเท่ากันของจ านวนจริงนั่นเอง

ตัวอย่างท่ี 1 จงแก้สมการ x – 5 = 8

วิธีท า x – 5 = 8 น า 5 บวกท้ังสองข้างของสมการ x – 5 + 5 = 8 + 5 (ใชส้มบัติการบวก) x = 13 ดังนั้น ค าตอบของสมการ คือ 13

ตัวอย่างท่ี 2 จงแก้สมการ 6x + 3 = 15

วิธีท า 6x + 3 = 15 น า 3 ลบทั้งสองข้างของสมการ

6x + 3 – 3 = 15 – 3 (ใช้สมบัติการลบ) 6x = 12

น า 61 คูณทั้งสองข้างของสมการ

6x(61 ) = 12(

61 ) (ใช้สมบัติการคูณ)

x = 2 ดังนั้น ค าตอบของสมการ คือ 2

ตรวจสอบค าตอบ

แทนค่า x = 13 ลงในสมการ

13 – 5 = 8

8 = 8

ดังนั้น ค าตอบของสมการ

คือ x = 13

ตรวจสอบค าตอบ

แทนค่า x = 2 ลงในสมการ

6(2) + 3 = 15

12 + 3 = 15

15 = 15

ดังนั้น ค าตอบของสมการ

คือ x = 2

13

ตัวอย่างท่ี 3 จงแก้สมการ 3

6x = 5

วิธีท า 3

6x = 5

น า 3 คูณทั้งสองข้างของสมการ

(3

6x ) x 3 = 5 x 3 (ใช้สมบัติการคูณ)

x + 6 = 15 น า 6 ลบทั้งสองข้างของสมการ x + 6 – 6 = 15 – 6 (ใช้สมบัติการลบ) x = 9 ดังนั้น ค าตอบของสมการ คือ 9 ตัวอย่างท่ี 4 จงแก้สมการ 3x – 4 = 2x + 6

วิธีท า 3x – 4 = 2x + 6 น า 2x ลบทั้งสองข้างของสมการ 3x – 2x – 4 = 2x – 2x + 6 (ใช้สมบัติการลบ) x – 4 = 6 น า 4 บวกท้ังสองข้างของสมการ x – 4 + 4 = 6 + 4 (ใช้สมบัติการบวก) x = 10 ดังนั้น ค าตอบของสมการ คือ 10

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวที่มีพจน์ตัวแปรและพจน์ค่าคงตัวหลายพจน์ จะต้องจัดสมการให้พจน์ตัวแปรอยู่ด้านใดด้านหนึ่ง (นิยมให้อยู่ด้านซ้ายของสมการ) ด าเนินการบวกลบพจน์ตัวแปร และพจน์ค่าคงตัวที่อยู่อีกด้านหนึ่งให้เรียบร้อย แล้วจึงแก้สมการหาค่าตัวแปร

ตรวจสอบค าตอบ

แทนค่า x = 9 ลงในสมการ

= 5

= 5

5 = 5

ดังนั้น ค าตอบของสมการ

คือ 9

ตรวจสอบค าตอบ

แทนค่า x = 9 ลงในสมการ

3(10) – 4 = 2(10) + 6

30 – 4 = 20 + 6

26 = 26

ดังนั้น ค าตอบของสมการ

คือ 10

14

1. จงแก้สมการในข้อต่อไปนี้ และเติมค าตอบใน และช่องว่างที่เว้นไว้

ตัวอย่าง จงแก้สมการ 2(x + 4) = 20

วิธีท า 2x + 8 = 20

น า 8 ลบทั้งสองข้างของสมการ

2x + 8 – 8 = 20 – 8 (ใช้สมบัติการลบ)

2x = 12 .

น า 21 คูณทั้งสองข้างของสมการ

2x = 12 (ใช้สมบัติการคูณ)

2x(21 ) = 12(

21 )

. x = 6

ดังนั้น ค าตอบของสมการ คือ 6

ตรวจค าตอบ

แทนค่า x = 6 ลงในสมการ 2(x + 4) = 20

2(6 + 4) = 20

2(10) = 20

20 = 20

ดังนั้น ค าตอบของสมการ คือ 6

แบบฝึกทักษะที่ 1.4

15

แบบฝึกทักษะ

1.1 จงแก้สมการ 7x – 6 = 8

วิธีท า 7x – 6 = 8

น า บวกท้ังสองข้างของสมการ

7x – 6 + = 8 + (ใช้สมบัติการบวก)

......................... = ………………

น า คูณทั้งสองข้างของสมการ

......................... = ……………… (ใช้สมบัติการคูณ)

......................... = ………………

ดังนั้น ค าตอบของสมการ คือ …………….

ตรวจค าตอบ

แทนค่า x = ……….. ลงในสมการ 7x – 6 = 8

7(.......) – 6 = 8

……….. – 6 = 8

…….……….. = 8

ดังนั้น ค าตอบของสมการ คือ ..........

(10 คะแนน)

16

1.2 จงแก้สมการ 4

82x = 3

44x

วิธีท า 4

82x = 3

44x

น า ซึ่งเป็น ค.ร.น. ของ 3 และ 4 คูณทั้งสองข้างของสมการ

(4

82x ) x = (3

44x ) x (ใช้สมบัติการคูณ)

3(2x + 8) = 4(4x – 4) 6x + 24 = 16x – 16

น า ลบทั้งสองข้างของสมการ 6x – + 24 = 16x – – 16 (ใช้สมบัติการลบ) ….………… = …………….

น า ลบทั้งสองข้างของสมการ ….………… = ……………. (ใช้สมบัติการลบ) ….………… = …………….

น า คูณทั้งสองข้างของสมการ ….………… = ……………. (ใช้สมบัติการคูณ) ….………… = ……………. ดังนั้น ค าตอบของสมการ คือ ………..

ตรวจค าตอบ

แทนค่า x = ……….. ลงในสมการ 4

82x = 3

44x

4

= 3

4................... =

3...................

…….……….. = …………………

ดังนั้น ค าตอบของสมการ คือ ..........

(10 คะแนน)

2( ) + 8 4( ) – 4

17

2. จงแก้สมการต่อไปนี้ และตรวจค าตอบ

ตัวอย่าง จงแก้สมการ 3

6x = 5

วิธีท า 3

6x = 5

น า 3 คูณทั้งสองข้างของสมการ

(3

6x ) x 3 = 5 x 3

x – 6 = 15

น า 6 บวกท้ังสองข้างของสมการ

x – 6 + 6 = 15 + 6

x = 21

ดังนั้น ค าตอบของสมการ คือ 21

แบบฝึกทักษะ

2.1 จงแก้สมการ 4(x – 2) = 16

วิธีท า 4(x – 2) = 16

............................................................................................................................. ..................................

................................................................................................ ...............................................................

............................................................................................................................. ..................................

.................................................................................................................................................. .............

............................................................................................................................. ..................................

............................................................................................................................. ..................................

................................................................ .................................................................................. .............

............................................................................................................................. ..................................

............................................................................................................................. ..................................

................................................................................................ ...............................................................

............................................................................................................................. ..................................

(10 คะแนน)

ตรวจค าตอบ

ตรวจค าตอบ

ตรวจค าตอบ

แทนค่า x = 21 ลงในสมการ

= 5

= 5

5 = 5

ดังนั้น ค าตอบของสมการ คือ 21

18

2.2 4(x – 3) = 2x + 6

วิธีท า 4(x – 3) = 2x + 6

............................................................................................................................. ..................................

............................................................................................................................. ..................................

................................................................................................ ...............................................................

............................................................................................................................. ..................................

.................................................................................................................................................. .............

............................................................................................................................. ..................................

............................................................................................................................. ..................................

................................................................ .................................................................................. .............

............................................................................................................................. ..................................

............................................................................................................................. ..................................

................................................................................................ ...............................................................

............................................................................................................................. ..................................

............................................................................................................................. ..................................

................................................................................................ ...............................................................

............................................................................................................................. ..................................

.................................................................................................................................................. .............

............................................................................................................................. ..................................

(10 คะแนน)

ตรวจค าตอบ

19

1.5 น าสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวไปประยุกต์ใช้ในงานอาชีพ

นักเรียนสามารถน าความรู้เกี่ยวกับสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวไปใช้ในสถานการณ์จริงหรือปัญหาที่ก าหนด โดยน ากระบวนการแก้ปัญหาที่เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปและนิยมใช้กันอย่างแพร่หลาย คือ กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา ประกอบด้วย ขั้นตอนการแก้ปัญหา 4 ขั้นตอน (Polya’s Four – stage Method)

ขั้นตอนวิธีการแก้โจทย์ปัญหา 4 ขั้นตอนของโพลยา

ขั้นที่ 1 ท าความเข้าใจโจทย์

ขั้นที่ 2 วางแผนแก้ปัญหา ขั้นที่ 3 ปฏิบัติตามแผน ขั้นที่ 4 ตรวจสอบ

รูปที่ 1.1 ขั้นตอนการแก้โจทย์ปัญหาของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ที่มา : บุญน า เกษ.ี (ม.ป.ป.). เอกสารแนะแนวทางที่ 1. เข้าถึงได้จาก : https://www. boonnum. files.wordpress.com/2013/08/03_prism.pdf. (วันที่ค้นข้อมูล : วันที่ 14 มกราคม 2559).

1) โจทย์ถามเกี่ยวกับอะไร

2) โจทย์ต้องการให้หาอะไร

3) โจทย์ให้ข้อมูลอะไรมาบ้าง

1) เปลี่ยนข้อความให้เป็นสัญลักษณ์ หรืออ่ืน

2) ระบุขั้นตอนการแก้ปัญหา

ด าเนินการตามขั้นตอนที่ระบุไว้ใน ขั้นที่ 2 ข้อ 2

1) ตรวจสอบตามขั้นตอนการด าเนินงานทุกขั้นตอน

2) ตรวจสอบความถูกต้องหรือความสมเหตุสมผล

ของค าตอบที่ได้

20

ตัวอย่างที่ 5 ศรรามต้องการสร้างโต๊ะสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านยาวเป็น 4 เท่าของด้านกว้าง

โดยมีความยาวรอบโต๊ะ 320 เซนติเมตร จงหาความยาวของด้านกว้างและด้านยาว

วิธีท า ความยาวของด้านกว้าง เป็น x เซนติเมตร ความยาวของด้านยาวเป็น 4 เท่าของด้านกว้าง เป็น 4x เซนติเมตร โดยมีความยาวรอบโต๊ะ เป็น 320 เซนติเมตร จากเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้า = 2(กว้าง) + 2(ยาว) สามารถเขียนสมการได้ดังนี้ 2x + 2(4x) = 320 2x + 8x = 320 10x = 320 x =

10320

x = 32 ดังนั้น ความยาวของด้านกว้าง เท่ากับ 32 เซนติเมตร

ความยาวของด้านยาว เท่ากับ 4(32) = 128 เซนติเมตร

ตรวจค าตอบ

เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้า = 2(กว้าง) + 2(ยาว)

= 2(32) + 2(128)

= 64 + 256

= 320 เซนติเมตร

ความยาวรอบโต๊ะ เท่ากับ 320 เซนติเมตร

(เป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์)

21

ตัวอย่างที่ 6 คนงานก่อสร้างเทพ้ืนคอนกรีตใช้ปูน ทราย และหินผสมกัน ส่วนผสมของคอนกรีต ใช้หินเป็นสี่เท่าของปูน และทรายเป็นสองเท่าของปูน ได้คอนกรีตผสมเสร็จ 420 คิว จงหาส่วนผสมของคอนกรีตจะต้องใช้ปูน ทราย และหินอย่างละเท่าไร

วิธีท า ก าหนดให้ส่วนผสมของคอนกรีตใช้ ปูน x คิว ทราย 2x คิว หิน 4x คิว ได้คอนกรีตผสมเสร็จทั้งหมด 420 คิว สามารถเขียนสมการได้ดังนี้ x + 2x + 4x = 420 7x = 420 x =

7420

x = 60 ดังนั้น ส่วนผสมของคอนกรีตจะใช้ปูน เท่ากับ 60 คิว ทราย เท่ากับ 2(60) = 120 คิว หิน เท่ากับ 4(60) = 240 คิว

ตรวจค าตอบ

ส่วนผสมของคอนกรีต = ปูน + ทราย + หิน

= 60 + 120 + 240

= 420 คิว

ได้คอนกรีตผสมเสร็จทั้งหมด 420 คิว

(เป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์)

22

ค าชี้แจง จงแสดงวิธีท า และตรวจค าตอบ

ตัวอย่าง ผลบวกของจ านวนเต็มสองจ านวนเป็น 56 ถ้าจ านวนหนึ่งน้อยกว่าอีกจ านวนหนึ่งอยู่ 24 จงหาจ านวนสองจ านวนนั้น

วิธีท า ก าหนดให้ x แทนจ านวนเต็มจ านวนหนึ่ง จ านวนหนึ่งน้อยกว่าอีกจ านวนหนึ่งอยู่ 24 = x – 24 ผลบวกของจ านวนเต็มสองจ านวนเป็น 56 สามารถเขียนสมการได้ดังนี้ x + (x – 24) = 56 2x – 24 = 56 2x = 56 + 24 x =

280

x = 40 จ านวนที่หนึ่ง = 40 จ านวนที่สอง 40 – 16 = 24 ดังนั้น จ านวนเต็มสองจ านวน คือ 40 และ 16

ตรวจค าตอบ

จ านวนเต็มอีกจ านวนหนึ่ง คือ 40 – 24 = 16 ผลบวกของจ านวนเต็มสองจ านวน คือ 40 + 16 = 56 ดังนั้น จ านวนเต็มสองจ านวน คือ 40 และ 16 (เป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์)

แบบฝึกทักษะที่ 1.5

23

แบบฝึกทักษะ

1. แม่ค้าซื้อไข่ไก่มาจ านวนหนึ่งราคาฟองละ 2.25 บาท แบ่งไข่ไก่ให้พ่ีสาวไป 16 ฟอง แล้วขายไข่ไก่ไปราคาฟองละ 3.75 บาท แม่ค้าขายไข่ไก่ท่ีเหลือทั้งหมดยังได้ก าไรอีก 270 บาท อยากทราบว่าแม่ค้าซื้อไข่ไกม่าท้ังหมดก่ีฟอง

วิธีท า

ตรวจค าตอบ

(10 คะแนน)

24

2. สมชายและสมหญิงขับรถยนต์อยู่ห่างกันระยะทาง 528 กิโลเมตร ทั้งสองคันขับรถมาหากันที่จุดนัดพบ สมชายขับรถยนต์ด้วยอัตราเร็ว 96 กิโลเมตรต่อชั่วโมง สมหญิงขับรถยนต์ด้วยอัตราเร็ว 80 กิโลเมตรต่อชั่วโมง อยากทราบว่าสมชายและสมหญิงพบกันที่จุดนัดพบเวลาเท่าไร

วิธีท า

ตรวจค าตอบ

(10 คะแนน)

25

3. ช่างท าตะกั่วบัดกรีในงานอิเล็กทรอนิกส์ใช้โลหะผสมระหว่างดีบุกกับตะกั่ว ใช้ดีบุก 34 เท่าของตะกั่ว

ถ้าต้องการตะก่ัวบัดกรี 189 กิโลกรัม อยากทราบว่าจะต้องใช้ตะกั่วและดีบุกอย่างละกี่กิโลกรัม

วิธีท า

ตรวจค าตอบ

(10 คะแนน)

26

สมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ ที่แสดงถึงการเท่ากันของจ านวน โดยมีสัญลักษณ์ “=” บอกถึงการเท่ากัน ซึ่งสมการอาจจะมีตัวแปรหรือไม่มีตัวแปรก็ได้

ตัวแปร คือ ตัวที่ ไม่ทราบค่า (ไม่ใช่ตัวเลข) ที่ปรากฏอยู่ ในประโยคสัญลักษณ์ ซึ่งอาจจะอยู่ในรูปของตัวอักษร หรือสัญลักษณ์ต่างๆ นิยมแทนตัวแปรด้วยสัญลักษณ์ x , y และ z

ค่าคงตัว คือ ตัวเลขใช้แทนจ านวนที่มีค่าแน่นอน ค าตอบของสมการ คือ จ านวนใดๆ ที่แทนค่าตัวแปรในสมการ แล้วท าให้สมการนั้น

เป็นจริง สมบัติการเท่ากันของจ านวนจริง ถ้า a = b แล้ว b = a เมื่อ a , b และ c แทนจ านวนจริงใดๆ ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c เมื่อ a , b และ c แทนจ านวนจริงใดๆ ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c เมื่อ a , b และ c แทนจ านวนจริงใดๆ ถ้า a = b แล้ว a + (–c) = b + (–c) เมื่อ a , b และ c แทนจ านวนจริงใดๆ ถ้า a = b แล้ว a x c = b x c เมื่อ a , b และ c แทนจ านวนจริงใดๆ

ถ้า a = b แล้ว a x c1 = a x

c1 เมื่อ a , b และ c แทนจ านวนจริงใดๆ ที่ c ≠ 0

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ สมการที่มีตัวแปรหนึ่งตัว และเลขชี้ก าลังของตัวแปรเป็นหนึ่ง รูปทั่วไปของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวที่มี x เป็นตัวแปร คือ ax + b = 0 เมื่อ a , b เป็นค่าคงตัว โดยที่ a ≠ 0

การแก้สมการ เป็นการหาค่าของตัวแปรที่ท าให้สมการเป็นจริง ซึ่งแก้สมการโดยใช้สมบัติการเท่ากันของจ านวนจริง

น าสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวไปประยุกต์ใช้ในงานอาชีพ เป็นการน าความรู้เกี่ยวกับสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวไปใช้ในสถานการณ์จริงหรือปัญหาที่ก าหนด โดยน ากระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา 4 ขั้นตอน ดังนี้

ขั้นที่ 1 ท าความเข้าใจโจทย์ ขั้นที่ 2 วางแผนแก้ปัญหา ขั้นที่ 3 ปฏิบัติตามแผน ขั้นที่ 4 ตรวจสอบ

สรุป

27

แบบทดสอบหลังเรียน

หน่วยที่ 1 สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ค าชี้แจง ให้นักเรียนกากบาท x ลงในกระดาษค าตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงค าตอบเดียว (10 คะแนน) 1. ประโยคสัญลักษณ์ของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวใช้เครื่องหมายข้อใด ก. ≠ ข. = ค. ง. < 2. ข้อใดเป็นสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ก. x2 – 3 = 6 ข. x + 4 = x (x + 8) ค. 2x + 5 = 11 ง. 7xy = 12 3. ถ้า 5(x – 3) = x + 5 ข้อใดกล่าวถูกต้อง ก. สมการนี้ไม่มีตัวแปร ข. ประโยคนี้ไม่ใช่สมการ ค. สมการมีตัวแปรสองตัว ง. ค่าของ x เท่ากับ 5 4. ข้อใดในวงเล็บ ( ) ท าให้สมการเป็นจริง ก. 5x + 2 = –13 (–3) ข. 8 – 2x = 1 (2)

ค. 2x – 3 = 8 (16) ง. 3x = 18 (7)

5. ข้อใดเป็นค าตอบของสมการ 2x + 5 = 41 ก. 23 ข. 18 ค. 11 ง. 8 6. ถ้า 9 + y = 21 แล้ว y มีค่าเท่ากับข้อใด ก. 189 ข. 30 ค. 12 ง. 3 7. ถ้า 6m – 12 = 54 แล้ว m + 3 มีค่าเท่ากับข้อใด ก. 14 ข. 11 ค. 10 ง. 7 8. ถ้า 4a – 5 = a + 4 แล้ว a มีค่าเท่ากับข้อใด ก. 4 ข. 3 ค. 2 ง. 1

28

9. ดาราและเดือนเพ็ญฝากเงินธนาคารออมสิน โดย 43 ของเงินฝากของดารามากกว่าของ

เดือนเพ็ญอยู่ 23,853 บาท ถ้าเดือนเพ็ญมีเงินฝากอยู่ 210,000 บาท จงหาว่าดาราฝากเงิน กับธนาคารออมสินอยู่เท่าใด ก. 311,804.00 บาท ข. 248,196.00 บาท ค. 175,389.75 บาท ง. 139,610.25 บาท 10. ลวดหนามขดหนึ่งยาว 78 เมตร น าไปล้อมรั้วรอบพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านกว้างสั้นกว่า ด้านยาว 3 เมตร ได้พอดี จงหาว่าขนาดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้ ก. กว้าง 24 เมตร และยาว 21 เมตร ข. กว้าง 21 เมตร และยาว 24 เมตร ค. กว้าง 21 เมตร และยาว 18 เมตร ง. กว้าง 18 เมตร และยาว 21 เมตร

29

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน

หน่วยที่ 1 สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ข้อที่ ตัวเลือกที่ถูกต้อง

1 ค 2 ข 3 ก 4 ง 5 ค 6 ข 7 ง 8 ค 9 ง 10 ก

30

เฉลยแบบฝึกทกัษะที่ 1.1

1. จงพิจารณาว่าประโยคสัญลักษณ์ที่ก าหนดให้ต่อไปนี้ เป็นสมการหรือไม่เป็นสมการ

ตัวอย่าง 5 – 3 ≠ 3 – 5 ไม่เป็นสมการ x + 2 = 8 เป็นสมการ

(10 คะแนน)

2. ให้นักเรียนท าเครื่องหมาย ลงในตาราง เพ่ือแสดงว่าค่าของตัวแปรที่ก าหนดให้ในแต่ละข้อท าให้สมการเป็นจริงหรือเป็นเท็จ

สมการ ค่าของตัวแปร แทนค่าตัวแปร

สมการ เป็นจริง เป็นเท็จ

ตัวอย่าง

ก. 19 – x = 7 12 ก. 19 – (12) = 7 ข. y + 3 = 14 10 ข. (10) + 3 = 14

แบบฝึกทักษะ 1. 12 + x = 21 9 1. 12 + ( ) = 21 2. 2y – 5 = 16 12 2. 2( ) – 5 = 16 3. 7n + 5 = 26 3 3. 7( ) + 5 = 26

4. 3z + 1 = 8 21 4.

3+ 1 = 8

5. x + 11 = 2x – 5 7 5. ( ) + 11 = 2( ) – 5 (5 คะแนน)

1. y + 2 = 5 เป็นสมการ

2. 7a > 15 ไม่เป็นสมการ

3. 2n +1 = 7 เป็นสมการ

4. 8 – 2 = 6 เป็นสมการ

5. 6b – 5 < 12 ไม่เป็นสมการ

6. a – 2 ≠ 10 ไม่เป็นสมการ

7. 2 × 8 = 16 เป็นสมการ

8. 3m 12 ไม่เป็นสมการ

9. 5 ไม่เป็นสมการ

10. 4x = x + 6 เป็นสมการ

( )

31

เฉลยแบบฝึกทกัษะที่ 1.2

ค าชี้แจง จงเติมจ านวนลงใน โดยใช้สมบัติของการเท่ากัน

ตัวอย่าง ถ้า x = 4 แล้ว x + 2 = 4 + 2 .

ถ้า y – 5 = 13 แล้ว (y – 5) – 3 = 13 – 3

เฉลยแบบฝึกทักษะ

1. ให้ y = 9 แล้ว y + 8 = 9 + 8

2. ให้ x + 3 = 10 แล้ว (x + 3) + 5 = 10 + 5

3. ให้ x = 7 แล้ว x – 2 = 7 – 2

4. ให้ y + 6 = 12 แล้ว (y + 6) – 6 = 12 – 6

5. ให้ (9 x 3) = 27 แล้ว (9 x 3) x 2 = 27 x 2

6. ให้ (y x 4) = 20 แล้ว (y x 4) x 5 = 20 x 5

7. ให้ 3x = 18 แล้ว 33x =

318

8. ให้ y x 12 = 48 แล้ว 4

= 448

(8 คะแนน)

(y x 12)

32

เฉลยแบบฝึกทกัษะที่ 1.3

ค าชี้แจง จงเขียนเครื่องหมาย หน้าข้อที่เป็นสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว และ หน้าข้อที ่ ไม่เป็นสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ตัวอย่าง ก. x – 4 = 3

ข. x + 2y = 6

เฉลยแบบฝึกทักษะ 1. 3x + 2 = 11

2. 5xy = 0

3. x + 21 = x (x + 5)

4. 3x + y = 6

5. 0.2x + 2.5 = 3.5

6. x2 + 4x + 4 = 0

7. 2x – 1 = x + 6

8. 4x

2x =

43

9. y(y – 4) = 12

10. x9 = 3

(10 คะแนน)

33

เฉลยแบบฝึกทกัษะที่ 1.4

1. จงแก้สมการในข้อต่อไปนี้ และเติมค าตอบใน และช่องว่างที่เว้นไว้

ตัวอย่าง จงแก้สมการ 2(x + 4) = 20

วิธีท า 2x + 8 = 20

น า 8 ลบทั้งสองข้างของสมการ

2x + 8 – 8 = 20 – 8 (ใช้สมบัติการลบ)

2x = 12 .

น า 21 คูณทั้งสองข้างของสมการ

2x = 12 (ใช้สมบัติการคูณ)

2x(21 ) = 12(

21 )

. x = 6

ดังนั้น ค าตอบของสมการ คือ 6

ตรวจค าตอบ

แทนค่า x = 6 ลงในสมการ 2(x + 4) = 20

2(6 + 4) = 20

2(10) = 20

20 = 20

ดังนั้น ค าตอบของสมการ คือ 6

34

เฉลยแบบฝึกทักษะ

1.1 จงแก้สมการ 7x – 6 = 8

วิธีท า 7x – 6 = 8

น า 6 บวกท้ังสองข้างของสมการ

7x – 6 + 6 = 8 + 6 (ใช้สมบัติการบวก)

7x = 14

น า 71 คูณทั้งสองข้างของสมการ

7x(71 ) = 14(

71 ) (ใช้สมบัติการคูณ)

x = 2

ดังนั้น ค าตอบของสมการ คือ 2

ตรวจค าตอบ

แทนค่า x = 2 ลงในสมการ 7x – 6 = 8

7(2) – 6 = 8

14 – 6 = 8

8 = 8

ดังนั้น ค าตอบของสมการ คือ 2

(10 คะแนน)

35

1.2 จงแก้สมการ 4

82x = 3

44x

วิธีท า 4

82x = 3

44x

น า 12 ซึ่งเป็น ค.ร.น. ของ 3 และ 4 คูณทั้งสองข้างของสมการ

(4

) x 12 = (3

) x 12 (ใช้สมบัติการคูณ)

3(2x + 8) = 4(4x – 4) 6x + 24 = 16x – 16 น า 16x ลบทั้งสองข้างของสมการ 6x – 16x + 24 = 16x – 16x – 16 (ใช้สมบัติการลบ) –10x + 24 = –16 น า 24 ลบทั้งสองข้างของสมการ –10x + 24 – 24 = –16 – 24 (ใช้สมบัติการลบ) –10x = –40

น า 101

คูณทั้งสองข้างของสมการ

–10x(101

) = –40(101

) (ใช้สมบัติการคูณ)

x = 4 ดังนั้น ค าตอบของสมการ คือ 4

ตรวจค าตอบ

แทนค่า x = 4 ลงในสมการ 4

82x = 3

44x

4

= 3

4

8 8 = 3

416

4 = 4 ดังนั้น ค าตอบของสมการ คือ 4

(10 คะแนน)

4x – 4 2x + 8

2(4) + 8 4(4) – 4

36

2. จงแก้สมการต่อไปนี้ และตรวจค าตอบ

ตัวอย่าง จงแก้สมการ 3

6x = 5

วิธีท า 3

6x = 5

น า 3 คูณทั้งสองข้างของสมการ

(3

6x ) x 3 = 5 x 3

x – 6 = 15

น า 6 บวกท้ังสองข้างของสมการ

x – 6 + 6 = 15 + 6

x = 21

ดังนั้น ค าตอบของสมการ คือ 21

เฉลยแบบฝึกทักษะ

2.1 4(x – 2) = 16

วิธีท า 4(x – 2) = 16

น า 8 บวกท้ังสองข้างของสมการ

4x – 8 + 8 = 16 + 8

4x = 24

น า 4 หารทั้งสองข้างของสมการ

44 x =

424

x = 6

ดังนั้น ค าตอบของสมการ คือ 6

(10 คะแนน)

ตรวจค าตอบ

แทนค่า x = 6 ลงในสมการ 4x – 8 = 16

4(6) – 8 = 16

24 – 8 = 16

16 = 16

ดังนั้น ค าตอบของสมการ คือ 6

ตรวจค าตอบ

แทนค่า x = 21 ลงในสมการ

= 5

= 5

5 = 5

ดังนั้น ค าตอบของสมการ คือ 21

37

2.2 4(x – 3) = 2x + 6

วิธีท า 4(x – 3) = 2x + 6

4x – 12 = 2x + 6

น า 2x ลบทั้งสองข้างของสมการ

4x – 2x – 12 = 2x – 2x + 6

2x – 12 = 6

น า 12 บวกท้ังสองข้างของสมการ

2x – 12 + 12 = 6 + 12

2x = 18

น า 2 หารทั้งสองข้างของสมการ

22 x =

218

x = 9

ดังนั้น ค าตอบของสมการ คือ 9

(10 คะแนน)

ตรวจค าตอบ

แทนค่า x = 9 ลงในสมการ 4(x – 3) = 2x + 6

4(9 – 3) = 2(9) + 6

4(6) = 18 + 6

24 = 24

ดังนั้น ค าตอบของสมการ คือ 9

38

เฉลยแบบฝึกทกัษะที่ 1.5

ค าชี้แจง จงแสดงวิธีท าและตรวจค าตอบ

ตัวอย่าง ผลบวกของจ านวนเต็มสองจ านวนเป็น 56 ถ้าจ านวนหนึ่งน้อยกว่าอีกจ านวนหนึ่งอยู่ 24 จงหาจ านวนสองจ านวนนั้น วิธีท า ก าหนดให้ x แทนจ านวนเต็มจ านวนหนึ่ง จ านวนหนึ่งน้อยกว่าอีกจ านวนหนึ่งอยู่ 24 = x – 24 ผลบวกของจ านวนเต็มสองจ านวนเป็น 56 สามารถเขียนสมการได้ดังนี้ x + (x – 24) = 56 2x – 24 = 56 2x = 56 + 24 x =

280

x = 40 จ านวนที่หนึ่ง = 40 จ านวนที่สอง 40 - 16 = 24 ดังนั้น จ านวนเต็มสองจ านวน คือ 40 และ 16

ตรวจค าตอบ

จ านวนเต็มอีกจ านวนหนึ่ง คือ 40 – 24 = 16 ผลบวกของจ านวนเต็มสองจ านวน คือ 40 + 16 = 56 จ านวนเต็มสองจ านวน คือ 40 และ 16 (เป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์)

39

เฉลยแบบฝึกทักษะ 1. แม่ค้าซื้อไข่ไก่มาจ านวนหนึ่งราคาฟองละ 2.25 บาท แบ่งไข่ไก่ให้พ่ีสาวไป 16 ฟอง แล้วขายไข่ไก่ไปราคาฟองละ 3.75 บาท แม่ค้าขายไข่ไก่ที่เหลือทั้งหมดยังได้ก าไรอีก 270 บาท จงหาว่าแม่ค้าซื้อไข่ไก่มาท้ังหมดก่ีฟอง วิธีท า ก าหนดให้ แม่ค้าซื้อไข่ไก่มา x ฟอง ซื้อไข่ไก่ราคาฟองละ 2.25 บาท คิดเป็นเงิน 2.25x บาท แบ่งไข่ไก่ให้พ่ีสาวไป 16 ฟอง เหลือไข่ไก่ไว้ขาย x – 16 ฟอง ขายไข่ไก่ไปราคาฟองละ 3.75 บาท คิดเป็นเงิน 3.75(x – 16) บาท แม่ค้าขายไข่ไก่ท่ีเหลือทั้งหมดยังได้ก าไรอีก 270 บาท สามารถเขียนสมการได้ดังนี้ 3.75(x – 16) – 2.25x = 270 3.75x – 60 – 2.25x = 270 3.75x – 2.25x = 270 + 60 1.5x = 330

x = 1.5330

x = 220 ดังนั้น แม่ค้าซื้อไข่ไก่มาทั้งหมด 220 ฟอง

ตรวจค าตอบ

ซื้อไข่ไก่ราคาฟองละ 2.25 บาท คิดเป็นเงิน 2.25(220) = 495 บาท แบ่งไข่ไก่ให้พ่ีสาวไป 16 ฟอง เหลือไข่ไก่ไว้ขาย x – 16 = 220 – 16 = 204 ฟอง ขายไข่ไก่ไปราคาฟองละ 3.75 บาท คิดเป็นเงิน 3.75(x – 16) = 3.75(204) = 765 บาท

ก าไร = ราคาขาย – ราคาซื้อ แม่ค้าขายไข่ไก่ที่เหลือทั้งหมดยังได้ก าไร = 765 – 495 = 270 บาท

(เป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์) (10 คะแนน)

40

2. สมชายและสมหญิงขับรถยนต์อยู่ห่างกันระยะทาง 528 กิโลเมตร ทั้งสองคันขับรถมาหากันที่จุดนัดพบ

สมชายขับรถยนต์ด้วยอัตราเร็ว 96 กิโลเมตรต่อชั่วโมง สมหญิงขับรถยนต์ด้วยอัตราเร็ว 80 กิโลเมตร

ต่อชั่วโมง จงหาสมชายและสมหญิงพบกันที่จุดนัดพบเวลาเท่าไร

วิธีท า ก าหนดให้ สมชายและสมหญิงพบกันที่จุดนัดพบ เวลา t ชั่วโมง สมชายขับรถยนต์ด้วยอัตราเร็ว 96 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ระยะทางท่ีเดินทางได้ 96t สมหญิงขับรถยนต์ด้วยอัตราเร็ว 80 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ระยะทางท่ีเดินทางได้ 80t สมชายและสมหญิงขับรถยนต์อยู่ห่างกันเป็นระยะทาง 528 กิโลเมตร สามารถเขียนสมการได้ดังนี้ 96t + 80t = 528 176t = 528 t =

176528

t = 3 ชั่วโมง ดังนั้น สมชายและสมหญิงพบกันที่จุดนัดพบเวลา 3 ช่ัวโมง

ตรวจค าตอบ

สมชายขับรถยนต์ด้วยอัตราเร็ว 96 กิโลเมตรต่อชั่วโมง

ระยะทางที่เดินทางได้ 96t = 96 x 3 = 288

สมหญิงขับรถยนต์ด้วยอัตราเร็ว 80 กิโลเมตรต่อชั่วโมง

ระยะทางที่เดินทางได้ 80t = 80 x 3 = 240

สมชายและสมหญิงขับรถอยู่ห่างกัน

288 + 240 = 528

528 = 528

สมชายและสมหญิงขับรถยนต์อยู่ห่างกันระยะทาง 528 กิโลเมตร

(เป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์)

(10 คะแนน)

41

3. ช่างท าตะกั่วบัดกรีในงานอิเล็กทรอนิกส์ใช้โลหะผสมระหว่างดีบุกกับตะกั่ว ใช้ดีบุก 34 เท่าของตะกั่ว

ถ้าต้องการตะก่ัวบัดกรี 189 กิโลกรัม อยากทราบว่าจะต้องใช้ตะก่ัวและดีบุกอย่างละกี่กิโลกรัม

วิธีท า ก าหนดให้ ใช้ตะก่ัว x กิโลกรัม ดีบุก

34 x กิโลกรัม

ถ้าต้องการตะกั่วบัดกรี 189 กิโลกรัม สามารถเขียนสมการได้ดังนี้ x +

34 x = 189

3(x + 34 x) = 189 x 3

3x + 4x = 567 7x = 567 x =

7567

x = 81 ดังนั้น ต้องใช้ตะกั่ว 81 กิโลกรัม และดีบุก

34 x 81 = 108 กิโลกรัม

ตรวจค าตอบ

ตะกั่วบัดกรีผสมระหว่างดีบุกกับตะกั่ว

ใช้ตะก่ัว 81 กิโลกรัม

ดีบุก 108 กิโลกรัม

ตะกั่วบัดกรี = ตะกั่ว + ดีบุก

ตะกั่วบัดกรี = 81 + 108 = 189 กิโลกรัม

(เป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์)

(10 คะแนน)

42

เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน

หน่วยที่ 1 สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ข้อที่ ตัวเลือกที่ถูกต้อง

1 ข 2 ค 3 ง 4 ก 5 ข 6 ค 7 ก 8 ข 9 ก 10 ง

43

เอกสารอ้างอิง

จีรวรรณ วรยศ. (ม.ป.ป.). [ออนไลน์]. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เรื่อง การประยุกต์ของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว. เข้าถึงได้จาก : http://rsbs.ac.th/ workteacher/Jirawan%20Innovation.pdf. (วันที่ค้นข้อมูล : 14 มกราคม 2559). ณัฐชญา เพ็งธรรม. (ม.ป.ป.). [ออนไลน์]. เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชา นวัตกรรมและ เทคโนโลยีสารสนเทศเพื่อการเรียนรู้ เรื่อง สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ม.1. เข้าถึงได้จาก : http://www.linearequationof1_.weebly.com/uploads/4/2/3/3/42332107/1.pdf. (วันที่ค้นข้อมูล : 15 มกราคม 2559). นพพร แหยมแสง และทรงศักดิ์ ด่านพานิช. (2552). คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ : ส านักพิมพ์แม็ค จ ากัด. นาถลดา มนต์ทอง. (ม.ป.ป.). [ออนไลน์]. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 เล่มที่ 2. เข้าถึงได้จาก : http://www.blwsc.ac.th/Download/ Vichkarn/ชุดฝึกของนางสาวนาถลดา.pdf. (วันที่ค้นข้อมูล : 15 มกราคม 2559). บุญน า เกษ.ี (ม.ป.ป.). [ออนไลน์]. เอกสารแนะแนวทางที่ 1. เข้าถึงได้จาก : http://boonnum.files. wordpress.com/2013/08/03_prism.pdf. (วันที่ค้นข้อมูล : 14 มกราคม 2559). ประนอม สังการ์พินธ์. (2556). คณิตศาสตร์พื้นฐานอาชีพ หลักสูตรประกาศนียบัตรวิชาชีพ (ปวช.) พุทธศักราช 2556. พิมพ์ครั้งที่ 1. นนทบุรี : ศูนย์หนังสือเมืองไทย จ ากัด. พัศนีย์ นันตา และสุนทรี ภู่พัทธยากร. (2549). คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 ตรงตามจุดประสงค์รายวิชา มาตรฐานรายวิชา และค าอธิบายรายวิชา หลักสูตรประกาศนียบัตรวิชาชีพ พุทธศักราช 2545 (ปรับปรุง พุทธศักราช 2546) ของส านักงานคณะกรรมการการอาชีวศึกษา . พิมพ์ครั้งที่ 2. นนทบุรี : ส านักพิมพ์เอมพันธ์ จ ากัด. มนัส ประสงค์ และสุรพล เสียงสนั่น. (2556). คณิตศาสตร์พื้นฐานอาชีพ รหัส 2000-1402. กรุงเทพฯ : ส านักงพิมพ์จิรวัฒน์ จ ากัด. สุนทรี ภู่พัทธยากร. (2556). คณิตศาสตร์พื้นฐานอาชีพ หลักสูตรประกาศนียบัตรวิชาชีพ (ปวช.) พุทธศักราช 2556. พิมพ์ครั้งที่ 1. นนทบุรี : ส านักพิมพ์เอมพันธ์ จ ากัด. สุริยา ศรีทุมมา. (ม.ป.ป.). [ออนไลน์]. แบบฝึกทักษะ เรื่อง สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว. เข้าถึงได้จาก : http://www.pdd.ac.th/book/tan.pdf. (วันที่ค้นข้อมูล : 14 มกราคม 2559).