algebra linear - aula 19 -autovalores e autovetores
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
Matemtica para Economia III
Marcelo Farias
UFRRJ
23/06/2015
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
Contedo da Aula
Autovalores e Autovetores de uma Transformao Linear;
Autovalores e Autovetores de uma Matriz;
O Polinmio Caracterstico.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
Contedo da Aula
Autovalores e Autovetores de uma Transformao Linear;
Autovalores e Autovetores de uma Matriz;
O Polinmio Caracterstico.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
Contedo da Aula
Autovalores e Autovetores de uma Transformao Linear;
Autovalores e Autovetores de uma Matriz;
O Polinmio Caracterstico.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
AUTOVALORES E AUTOVETORES
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
Introduo
Estudaremos agora as transformaes lineares de um espao V sobre ele mesmo.
Taisfunes so chamadas de operadores lineares.
Seja V um espao vetorial de dimenso n e T : V V um operador linear.
Estaremos interessados em determinar uma matriz que represente T, em relao a al-guma base de V de forma que ela seja muito simples.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
Introduo
Estudaremos agora as transformaes lineares de um espao V sobre ele mesmo. Taisfunes so chamadas de operadores lineares.
Seja V um espao vetorial de dimenso n e T : V V um operador linear.
Estaremos interessados em determinar uma matriz que represente T, em relao a al-guma base de V de forma que ela seja muito simples.
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Introduo
Estudaremos agora as transformaes lineares de um espao V sobre ele mesmo. Taisfunes so chamadas de operadores lineares.
Seja V um espao vetorial de dimenso n e T : V V um operador linear.
Estaremos interessados em determinar uma matriz que represente T, em relao a al-guma base de V de forma que ela seja muito simples.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
Introduo
Estudaremos agora as transformaes lineares de um espao V sobre ele mesmo. Taisfunes so chamadas de operadores lineares.
Seja V um espao vetorial de dimenso n e T : V V um operador linear.
Estaremos interessados em determinar uma matriz que represente T, em relao a al-guma base de V de forma que ela seja muito simples.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
Introduo
Sejam V um espao vetorial e T um operador linear sobre V. Podemos fazer a colocaodo seguinte problema:
Quais so os elementos v V tais que T(v) = v?
Exemplo:Considere o espao R2 e o operador linear
T : R2 R2(x, y) 7 (x,y)
Podemos verificar facilmente que T(x, y) = (x,y) = 1(x, y).Portanto, todo elemento v = (x, y) R2 satisfaz a condio acima.
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Introduo
Sejam V um espao vetorial e T um operador linear sobre V. Podemos fazer a colocaodo seguinte problema:
Quais so os elementos v V tais que T(v) = v?
Exemplo:Considere o espao R2 e o operador linear
T : R2 R2(x, y) 7 (x,y)
Podemos verificar facilmente que T(x, y) = (x,y) = 1(x, y).Portanto, todo elemento v = (x, y) R2 satisfaz a condio acima.
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Introduo
Sejam V um espao vetorial e T um operador linear sobre V. Podemos fazer a colocaodo seguinte problema:
Quais so os elementos v V tais que T(v) = v?
Exemplo:Considere o espao R2 e o operador linear
T : R2 R2(x, y) 7 (x,y)
Podemos verificar facilmente que T(x, y) = (x,y) = 1(x, y).Portanto, todo elemento v = (x, y) R2 satisfaz a condio acima.
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Introduo
Sejam V um espao vetorial e T um operador linear sobre V. Podemos fazer a colocaodo seguinte problema:
Quais so os elementos v V tais que T(v) = v?
Exemplo:Considere o espao R2 e o operador linear
T : R2 R2(x, y) 7 (x,y)
Podemos verificar facilmente que T(x, y) = (x,y) = 1(x, y).
Portanto, todo elemento v = (x, y) R2 satisfaz a condio acima.
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Introduo
Sejam V um espao vetorial e T um operador linear sobre V. Podemos fazer a colocaodo seguinte problema:
Quais so os elementos v V tais que T(v) = v?
Exemplo:Considere o espao R2 e o operador linear
T : R2 R2(x, y) 7 (x,y)
Podemos verificar facilmente que T(x, y) = (x,y) = 1(x, y).Portanto, todo elemento v = (x, y) R2 satisfaz a condio acima.
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Introduo
Exemplo: Considere o espao R2 e o operador linear
T : R2 R2(x, y) 7 (x + 2y,y)
Podemos verificar que
T(x, y) = (x,y) (x + 2y,y) = (x,y) {
x + 2y = xy = y ,
cujas solues so da forma (x,x), com x R.Portanto, todo v = (x,x) R2, com x R, satisfaz a condio acima.
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Introduo
Exemplo: Considere o espao R2 e o operador linear
T : R2 R2(x, y) 7 (x + 2y,y)
Podemos verificar que
T(x, y) = (x,y)
(x + 2y,y) = (x,y) {
x + 2y = xy = y ,
cujas solues so da forma (x,x), com x R.Portanto, todo v = (x,x) R2, com x R, satisfaz a condio acima.
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Introduo
Exemplo: Considere o espao R2 e o operador linear
T : R2 R2(x, y) 7 (x + 2y,y)
Podemos verificar que
T(x, y) = (x,y) (x + 2y,y) = (x,y)
{
x + 2y = xy = y ,
cujas solues so da forma (x,x), com x R.Portanto, todo v = (x,x) R2, com x R, satisfaz a condio acima.
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Introduo
Exemplo: Considere o espao R2 e o operador linear
T : R2 R2(x, y) 7 (x + 2y,y)
Podemos verificar que
T(x, y) = (x,y) (x + 2y,y) = (x,y) {
x + 2y = xy = y ,
cujas solues so da forma (x,x), com x R.Portanto, todo v = (x,x) R2, com x R, satisfaz a condio acima.
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Introduo
Exemplo: Considere o espao R2 e o operador linear
T : R2 R2(x, y) 7 (x + 2y,y)
Podemos verificar que
T(x, y) = (x,y) (x + 2y,y) = (x,y) {
x + 2y = xy = y ,
cujas solues so da forma (x,x), com x R.
Portanto, todo v = (x,x) R2, com x R, satisfaz a condio acima.
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Introduo
Exemplo: Considere o espao R2 e o operador linear
T : R2 R2(x, y) 7 (x + 2y,y)
Podemos verificar que
T(x, y) = (x,y) (x + 2y,y) = (x,y) {
x + 2y = xy = y ,
cujas solues so da forma (x,x), com x R.Portanto, todo v = (x,x) R2, com x R, satisfaz a condio acima.
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Introduo
Generalizando esta problemtica, temos a seguinte pergunta:
Quais so os elementos v V,nonulos, que so levados pelo operador T em um mlti-plo de si mesmo?
Isto , estamos procurando elementos v V, nonulos, e escalares R tais que
T(v) = v.
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Introduo
Generalizando esta problemtica, temos a seguinte pergunta:
Quais so os elementos v V,nonulos, que so levados pelo operador T em um mlti-plo de si mesmo?
Isto , estamos procurando elementos v V, nonulos, e escalares R tais que
T(v) = v.
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Introduo
Generalizando esta problemtica, temos a seguinte pergunta:
Quais so os elementos v V,nonulos, que so levados pelo operador T em um mlti-plo de si mesmo?
Isto , estamos procurando elementos v V, nonulos, e escalares R tais que
T(v) = v.
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Autovalores e Autovetores
DefinioSejam V um espao vetorial e T : V V um operador linear. Se existirem v Vnonulo e R tais que
T(v) = v,
ento
dito um autovalor de T; ev dito um autovetor de T associado a .
Observao: Note que para todo R, T(0V) = 0V = 0V.No classificamos o vetor nulo como sendo um autovetor pois seno todo nmero real seria um autovalor.
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Autovalores e Autovetores
DefinioSejam V um espao vetorial e T : V V um operador linear. Se existirem v Vnonulo e R tais que
T(v) = v,
ento
dito um autovalor de T; e
v dito um autovetor de T associado a .
Observao: Note que para todo R, T(0V) = 0V = 0V.No classificamos o vetor nulo como sendo um autovetor pois seno todo nmero real seria um autovalor.
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Autovalores e Autovetores
DefinioSejam V um espao vetorial e T : V V um operador linear. Se existirem v Vnonulo e R tais que
T(v) = v,
ento
dito um autovalor de T; ev dito um autovetor de T associado a .
Observao: Note que para todo R, T(0V) = 0V = 0V.No classificamos o vetor nulo como sendo um autovetor pois seno todo nmero real seria um autovalor.
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Autovalores e Autovetores
DefinioSejam V um espao vetorial e T : V V um operador linear. Se existirem v Vnonulo e R tais que
T(v) = v,
ento
dito um autovalor de T; ev dito um autovetor de T associado a .
Observao: Note que para todo R, T(0V) = 0V = 0V.
No classificamos o vetor nulo como sendo um autovetor pois seno todo nmero real seria um autovalor.
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Autovalores e Autovetores
DefinioSejam V um espao vetorial e T : V V um operador linear. Se existirem v Vnonulo e R tais que
T(v) = v,
ento
dito um autovalor de T; ev dito um autovetor de T associado a .
Observao: Note que para todo R, T(0V) = 0V = 0V.No classificamos o vetor nulo como sendo um autovetor pois seno todo nmero real seria um autovalor.
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Autovalores e Autovetores
(a) Considere o operador linear:
T : R2 R2(x, y) 7 (x + 2y,y)
Como verificamos anteriormente T(x, y) = (x,y) = 1(x, y) se, e somente se,
(x + 2y,y) = (x,y) {
x + 2y = xy = y y = x.
Portanto, todo elemento v = (x,x) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (x,x) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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Autovalores e Autovetores
(a) Considere o operador linear:
T : R2 R2(x, y) 7 (x + 2y,y)
Como verificamos anteriormente T(x, y) = (x,y) = 1(x, y) se, e somente se,
(x + 2y,y) = (x,y) {
x + 2y = xy = y y = x.
Portanto, todo elemento v = (x,x) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (x,x) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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Autovalores e Autovetores
(a) Considere o operador linear:
T : R2 R2(x, y) 7 (x + 2y,y)
Como verificamos anteriormente T(x, y) = (x,y) = 1(x, y) se, e somente se,
(x + 2y,y) = (x,y)
{
x + 2y = xy = y y = x.
Portanto, todo elemento v = (x,x) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (x,x) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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Autovalores e Autovetores
(a) Considere o operador linear:
T : R2 R2(x, y) 7 (x + 2y,y)
Como verificamos anteriormente T(x, y) = (x,y) = 1(x, y) se, e somente se,
(x + 2y,y) = (x,y) {
x + 2y = xy = y
y = x.
Portanto, todo elemento v = (x,x) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (x,x) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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Autovalores e Autovetores
(a) Considere o operador linear:
T : R2 R2(x, y) 7 (x + 2y,y)
Como verificamos anteriormente T(x, y) = (x,y) = 1(x, y) se, e somente se,
(x + 2y,y) = (x,y) {
x + 2y = xy = y y = x.
Portanto, todo elemento v = (x,x) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (x,x) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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Autovalores e Autovetores
(a) Considere o operador linear:
T : R2 R2(x, y) 7 (x + 2y,y)
Como verificamos anteriormente T(x, y) = (x,y) = 1(x, y) se, e somente se,
(x + 2y,y) = (x,y) {
x + 2y = xy = y y = x.
Portanto, todo elemento v = (x,x) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (x,x) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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Autovalores e Autovetores
(a) Considere o operador linear:
T : R2 R2(x, y) 7 (x + 2y,y)
Como verificamos anteriormente T(x, y) = (x,y) = 1(x, y) se, e somente se,
(x + 2y,y) = (x,y) {
x + 2y = xy = y y = x.
Portanto, todo elemento v = (x,x) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (x,x) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.9 / 48
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Autovalores e Autovetores
(b) (Reflexo em torno do eixo x) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (x,y)
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y) (x,y) = (x, y) {
x = xy = y y = 0 e x R.
Portanto, todo elemento v = (x, 0) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (x, 0) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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Autovalores e Autovetores
(b) (Reflexo em torno do eixo x) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (x,y)
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y)
(x,y) = (x, y) {
x = xy = y y = 0 e x R.
Portanto, todo elemento v = (x, 0) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (x, 0) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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Autovalores e Autovetores
(b) (Reflexo em torno do eixo x) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (x,y)
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y) (x,y) = (x, y)
{
x = xy = y y = 0 e x R.
Portanto, todo elemento v = (x, 0) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (x, 0) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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(b) (Reflexo em torno do eixo x) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (x,y)
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y) (x,y) = (x, y) {
x = xy = y
y = 0 e x R.
Portanto, todo elemento v = (x, 0) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (x, 0) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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Autovalores e Autovetores
(b) (Reflexo em torno do eixo x) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (x,y)
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y) (x,y) = (x, y) {
x = xy = y y = 0 e x R.
Portanto, todo elemento v = (x, 0) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (x, 0) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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(b) (Reflexo em torno do eixo x) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (x,y)
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y) (x,y) = (x, y) {
x = xy = y y = 0 e x R.
Portanto, todo elemento v = (x, 0) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (x, 0) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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(b) (Reflexo em torno do eixo x) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (x,y)
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y) (x,y) = (x, y) {
x = xy = y y = 0 e x R.
Portanto, todo elemento v = (x, 0) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (x, 0) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.10 / 48
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(c) (Reflexo em torno do eixo y) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (x, y)
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y) (x, y) = (x,y) { x = x
y = y y = 0 e x R.
Portanto, todo elemento v = (x, 0) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (x, 0) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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(c) (Reflexo em torno do eixo y) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (x, y)
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y)
(x, y) = (x,y) { x = x
y = y y = 0 e x R.
Portanto, todo elemento v = (x, 0) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (x, 0) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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(c) (Reflexo em torno do eixo y) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (x, y)
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y) (x, y) = (x,y)
{ x = x
y = y y = 0 e x R.
Portanto, todo elemento v = (x, 0) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (x, 0) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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(c) (Reflexo em torno do eixo y) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (x, y)
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y) (x, y) = (x,y) { x = x
y = y
y = 0 e x R.
Portanto, todo elemento v = (x, 0) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (x, 0) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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(c) (Reflexo em torno do eixo y) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (x, y)
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y) (x, y) = (x,y) { x = x
y = y y = 0 e x R.
Portanto, todo elemento v = (x, 0) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (x, 0) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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Autovalores e Autovetores
(c) (Reflexo em torno do eixo y) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (x, y)
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y) (x, y) = (x,y) { x = x
y = y y = 0 e x R.
Portanto, todo elemento v = (x, 0) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (x, 0) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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Autovalores e Autovetores
(c) (Reflexo em torno do eixo y) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (x, y)
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y) (x, y) = (x,y) { x = x
y = y y = 0 e x R.
Portanto, todo elemento v = (x, 0) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (x, 0) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.11 / 48
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Autovalores e Autovetores
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y)
(x, y) = (x, y) { x = x
y = y x = 0 e y R.
Portanto, todo elemento v = (0, y) R2, com y R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (0, y) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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Autovalores e Autovetores
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y) (x, y) = (x, y)
{ x = x
y = y x = 0 e y R.
Portanto, todo elemento v = (0, y) R2, com y R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (0, y) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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Autovalores e Autovetores
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y) (x, y) = (x, y) { x = x
y = y
x = 0 e y R.
Portanto, todo elemento v = (0, y) R2, com y R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (0, y) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y) (x, y) = (x, y) { x = x
y = y x = 0 e y R.
Portanto, todo elemento v = (0, y) R2, com y R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (0, y) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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Autovalores e Autovetores
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y) (x, y) = (x, y) { x = x
y = y x = 0 e y R.
Portanto, todo elemento v = (0, y) R2, com y R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (0, y) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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Autovalores e Autovetores
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y) (x, y) = (x, y) { x = x
y = y x = 0 e y R.
Portanto, todo elemento v = (0, y) R2, com y R, satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, todo elemento v = (0, y) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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Autovalores e Autovetores
(d) (Rotao em um ngulo de 90) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (cos(90)x sen(90)y, sen(90)x + cos(90)y) = (y, x)
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y) (y, x) = (x,y) { y = x
x = y y = 0 e x = 0.
Portanto, v = (0, 0) o nico elemento de R2 que satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, no existe autovetor associado ao autovalor = 1.
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Autovalores e Autovetores
(d) (Rotao em um ngulo de 90) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (cos(90)x sen(90)y, sen(90)x + cos(90)y) = (y, x)
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y)
(y, x) = (x,y) { y = x
x = y y = 0 e x = 0.
Portanto, v = (0, 0) o nico elemento de R2 que satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, no existe autovetor associado ao autovalor = 1.
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Autovalores e Autovetores
(d) (Rotao em um ngulo de 90) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (cos(90)x sen(90)y, sen(90)x + cos(90)y) = (y, x)
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y) (y, x) = (x,y)
{ y = x
x = y y = 0 e x = 0.
Portanto, v = (0, 0) o nico elemento de R2 que satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, no existe autovetor associado ao autovalor = 1.
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Autovalores e Autovetores
(d) (Rotao em um ngulo de 90) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (cos(90)x sen(90)y, sen(90)x + cos(90)y) = (y, x)
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y) (y, x) = (x,y) { y = x
x = y
y = 0 e x = 0.
Portanto, v = (0, 0) o nico elemento de R2 que satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, no existe autovetor associado ao autovalor = 1.
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(d) (Rotao em um ngulo de 90) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (cos(90)x sen(90)y, sen(90)x + cos(90)y) = (y, x)
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y) (y, x) = (x,y) { y = x
x = y y = 0 e x = 0.
Portanto, v = (0, 0) o nico elemento de R2 que satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, no existe autovetor associado ao autovalor = 1.
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(d) (Rotao em um ngulo de 90) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (cos(90)x sen(90)y, sen(90)x + cos(90)y) = (y, x)
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y) (y, x) = (x,y) { y = x
x = y y = 0 e x = 0.
Portanto, v = (0, 0) o nico elemento de R2 que satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, no existe autovetor associado ao autovalor = 1.
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(d) (Rotao em um ngulo de 90) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (cos(90)x sen(90)y, sen(90)x + cos(90)y) = (y, x)
Queremos verificar quais vetores satisfazem
T(x, y) = 1 (x, y) (y, x) = (x,y) { y = x
x = y y = 0 e x = 0.
Portanto, v = (0, 0) o nico elemento de R2 que satisfaz:
T(v) = 1 v,
Ou seja, no existe autovetor associado ao autovalor = 1.13 / 48
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Autovalores e Autovetores
(e) (Determinando os autovalores) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (2x + 2y, y)
Queremos verificar quais so os autovalores de T e seus respectivos autovetores.
Seja R. Para que um vetor (x, y) seja um autovetor associado a devemos ter:
T(x, y) = (x, y) (2x + 2y, y) = (x, y) {
(2 )x + 2y = 0(1 )y = 0 .
Para resolver o sistema, devemos lembrar que:
(1 )y = 0 y = 0 ou = 1.
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(e) (Determinando os autovalores) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (2x + 2y, y)
Queremos verificar quais so os autovalores de T e seus respectivos autovetores.
Seja R. Para que um vetor (x, y) seja um autovetor associado a devemos ter:
T(x, y) = (x, y) (2x + 2y, y) = (x, y) {
(2 )x + 2y = 0(1 )y = 0 .
Para resolver o sistema, devemos lembrar que:
(1 )y = 0 y = 0 ou = 1.
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(e) (Determinando os autovalores) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (2x + 2y, y)
Queremos verificar quais so os autovalores de T e seus respectivos autovetores.
Seja R. Para que um vetor (x, y) seja um autovetor associado a devemos ter:
T(x, y) = (x, y) (2x + 2y, y) = (x, y) {
(2 )x + 2y = 0(1 )y = 0 .
Para resolver o sistema, devemos lembrar que:
(1 )y = 0 y = 0 ou = 1.
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(e) (Determinando os autovalores) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (2x + 2y, y)
Queremos verificar quais so os autovalores de T e seus respectivos autovetores.
Seja R. Para que um vetor (x, y) seja um autovetor associado a devemos ter:
T(x, y) = (x, y)
(2x + 2y, y) = (x, y) {
(2 )x + 2y = 0(1 )y = 0 .
Para resolver o sistema, devemos lembrar que:
(1 )y = 0 y = 0 ou = 1.
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(e) (Determinando os autovalores) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (2x + 2y, y)
Queremos verificar quais so os autovalores de T e seus respectivos autovetores.
Seja R. Para que um vetor (x, y) seja um autovetor associado a devemos ter:
T(x, y) = (x, y) (2x + 2y, y) = (x, y)
{
(2 )x + 2y = 0(1 )y = 0 .
Para resolver o sistema, devemos lembrar que:
(1 )y = 0 y = 0 ou = 1.
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(e) (Determinando os autovalores) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (2x + 2y, y)
Queremos verificar quais so os autovalores de T e seus respectivos autovetores.
Seja R. Para que um vetor (x, y) seja um autovetor associado a devemos ter:
T(x, y) = (x, y) (2x + 2y, y) = (x, y) {
2x + 2y = xy = y .
Para resolver o sistema, devemos lembrar que:
(1 )y = 0 y = 0 ou = 1.
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(e) (Determinando os autovalores) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (2x + 2y, y)
Queremos verificar quais so os autovalores de T e seus respectivos autovetores.
Seja R. Para que um vetor (x, y) seja um autovetor associado a devemos ter:
T(x, y) = (x, y) (2x + 2y, y) = (x, y) {
(2 )x + 2y = 0(1 )y = 0 .
Para resolver o sistema, devemos lembrar que:
(1 )y = 0 y = 0 ou = 1.
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(e) (Determinando os autovalores) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (2x + 2y, y)
Queremos verificar quais so os autovalores de T e seus respectivos autovetores.
Seja R. Para que um vetor (x, y) seja um autovetor associado a devemos ter:
T(x, y) = (x, y) (2x + 2y, y) = (x, y) {
(2 )x + 2y = 0(1 )y = 0 .
Para resolver o sistema, devemos lembrar que:
(1 )y = 0
y = 0 ou = 1.
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(e) (Determinando os autovalores) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (2x + 2y, y)
Queremos verificar quais so os autovalores de T e seus respectivos autovetores.
Seja R. Para que um vetor (x, y) seja um autovetor associado a devemos ter:
T(x, y) = (x, y) (2x + 2y, y) = (x, y) {
(2 )x + 2y = 0(1 )y = 0 .
Para resolver o sistema, devemos lembrar que:
(1 )y = 0 y = 0 ou = 1.
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(e) (Determinando os autovalores) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (2x + 2y, y)
Queremos verificar quais so os autovalores de T e seus respectivos autovetores.
Seja R. Para que um vetor (x, y) seja um autovetor associado a devemos ter:
T(x, y) = (x, y) (2x + 2y, y) = (x, y) {
(2 )x + 2y = 0(1 )y = 0 .
Para resolver o sistema, devemos lembrar que:
(1 )y = 0 y = 0 ou = 1.
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Autovalores e Autovetores
Se = 1, da primeira equao do sistema temos:
(2 )x + 2y = 0
x + 2y = 0 y = x2.
Portanto, todo elemento v = (x, x2 ) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v.
Ou seja, todo elemento v = (x, x2 ) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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Se = 1, da primeira equao do sistema temos:
(2 )x + 2y = 0 x + 2y = 0
y = x2.
Portanto, todo elemento v = (x, x2 ) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v.
Ou seja, todo elemento v = (x, x2 ) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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Se = 1, da primeira equao do sistema temos:
(2 )x + 2y = 0 x + 2y = 0 y = x2.
Portanto, todo elemento v = (x, x2 ) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v.
Ou seja, todo elemento v = (x, x2 ) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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Se = 1, da primeira equao do sistema temos:
(2 )x + 2y = 0 x + 2y = 0 y = x2.
Portanto, todo elemento v = (x, x2 ) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v.
Ou seja, todo elemento v = (x, x2 ) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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Se = 1, da primeira equao do sistema temos:
(2 )x + 2y = 0 x + 2y = 0 y = x2.
Portanto, todo elemento v = (x, x2 ) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v.
Ou seja, todo elemento v = (x, x2 ) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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Se = 1, da primeira equao do sistema temos:
(2 )x + 2y = 0 x + 2y = 0 y = x2.
Portanto, todo elemento v = (x, x2 ) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 1 v.
Ou seja, todo elemento v = (x, x2 ) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.
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Autovalores e Autovetores
Se y = 0, ento temos que considerar x 6= 0 (pois seno (x, y) = (0, 0)).
E da primeiraequao do sistema temos:
(2 )x = 0 (2 ) = 0 = 2.
Portanto, todo elemento v = (x, 0) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 2 v.
Ou seja, todo elemento v = (x, 0) R2 um autovetor associado ao autovalor = 2.
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Se y = 0, ento temos que considerar x 6= 0 (pois seno (x, y) = (0, 0)). E da primeiraequao do sistema temos:
(2 )x = 0
(2 ) = 0 = 2.
Portanto, todo elemento v = (x, 0) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 2 v.
Ou seja, todo elemento v = (x, 0) R2 um autovetor associado ao autovalor = 2.
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Se y = 0, ento temos que considerar x 6= 0 (pois seno (x, y) = (0, 0)). E da primeiraequao do sistema temos:
(2 )x = 0 (2 ) = 0
= 2.
Portanto, todo elemento v = (x, 0) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 2 v.
Ou seja, todo elemento v = (x, 0) R2 um autovetor associado ao autovalor = 2.
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Se y = 0, ento temos que considerar x 6= 0 (pois seno (x, y) = (0, 0)). E da primeiraequao do sistema temos:
(2 )x = 0 (2 ) = 0 = 2.
Portanto, todo elemento v = (x, 0) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 2 v.
Ou seja, todo elemento v = (x, 0) R2 um autovetor associado ao autovalor = 2.
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Se y = 0, ento temos que considerar x 6= 0 (pois seno (x, y) = (0, 0)). E da primeiraequao do sistema temos:
(2 )x = 0 (2 ) = 0 = 2.
Portanto, todo elemento v = (x, 0) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 2 v.
Ou seja, todo elemento v = (x, 0) R2 um autovetor associado ao autovalor = 2.
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Autovalores e Autovetores
Se y = 0, ento temos que considerar x 6= 0 (pois seno (x, y) = (0, 0)). E da primeiraequao do sistema temos:
(2 )x = 0 (2 ) = 0 = 2.
Portanto, todo elemento v = (x, 0) R2, com x R, satisfaz:
T(v) = 2 v.
Ou seja, todo elemento v = (x, 0) R2 um autovetor associado ao autovalor = 2.
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Autovalores e Autovetores
TeoremaSejam V um espao vetorial, T um operador linear sobre V.
Se v um autovetor associado ao autovalor , ento todo mltiplo nonulo de v umautovetor de T associado a , tambm.
DEMONSTRAO: Seja w V um mltiplo de v, isto ,w = a v, para algum a R.
Pela linearidade de T,
T(w) = T(a v) = a T(v) = a (v) = (a v) = w.
Logo w tambm um autovetor associado a .
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TeoremaSejam V um espao vetorial, T um operador linear sobre V.
Se v um autovetor associado ao autovalor , ento todo mltiplo nonulo de v umautovetor de T associado a , tambm.
DEMONSTRAO: Seja w V um mltiplo de v, isto ,w = a v, para algum a R.
Pela linearidade de T,
T(w) = T(a v) = a T(v) = a (v) = (a v) = w.
Logo w tambm um autovetor associado a .
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TeoremaSejam V um espao vetorial, T um operador linear sobre V.
Se v um autovetor associado ao autovalor , ento todo mltiplo nonulo de v umautovetor de T associado a , tambm.
DEMONSTRAO: Seja w V um mltiplo de v, isto ,w = a v, para algum a R.
Pela linearidade de T,
T(w) = T(a v) = a T(v) = a (v) = (a v) = w.
Logo w tambm um autovetor associado a .
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TeoremaSejam V um espao vetorial, T um operador linear sobre V.
Se v um autovetor associado ao autovalor , ento todo mltiplo nonulo de v umautovetor de T associado a , tambm.
DEMONSTRAO: Seja w V um mltiplo de v, isto ,w = a v, para algum a R.
Pela linearidade de T,
T(w) = T(a v)
= a T(v) = a (v) = (a v) = w.
Logo w tambm um autovetor associado a .
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TeoremaSejam V um espao vetorial, T um operador linear sobre V.
Se v um autovetor associado ao autovalor , ento todo mltiplo nonulo de v umautovetor de T associado a , tambm.
DEMONSTRAO: Seja w V um mltiplo de v, isto ,w = a v, para algum a R.
Pela linearidade de T,
T(w) = T(a v) = a T(v)
= a (v) = (a v) = w.
Logo w tambm um autovetor associado a .
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TeoremaSejam V um espao vetorial, T um operador linear sobre V.
Se v um autovetor associado ao autovalor , ento todo mltiplo nonulo de v umautovetor de T associado a , tambm.
DEMONSTRAO: Seja w V um mltiplo de v, isto ,w = a v, para algum a R.
Pela linearidade de T,
T(w) = T(a v) = a T(v) = a (v)
= (a v) = w.
Logo w tambm um autovetor associado a .
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TeoremaSejam V um espao vetorial, T um operador linear sobre V.
Se v um autovetor associado ao autovalor , ento todo mltiplo nonulo de v umautovetor de T associado a , tambm.
DEMONSTRAO: Seja w V um mltiplo de v, isto ,w = a v, para algum a R.
Pela linearidade de T,
T(w) = T(a v) = a T(v) = a (v) = (a v)
= w.
Logo w tambm um autovetor associado a .
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TeoremaSejam V um espao vetorial, T um operador linear sobre V.
Se v um autovetor associado ao autovalor , ento todo mltiplo nonulo de v umautovetor de T associado a , tambm.
DEMONSTRAO: Seja w V um mltiplo de v, isto ,w = a v, para algum a R.
Pela linearidade de T,
T(w) = T(a v) = a T(v) = a (v) = (a v) = w.
Logo w tambm um autovetor associado a .
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TeoremaSejam V um espao vetorial, T um operador linear sobre V.
Se v um autovetor associado ao autovalor , ento todo mltiplo nonulo de v umautovetor de T associado a , tambm.
DEMONSTRAO: Seja w V um mltiplo de v, isto ,w = a v, para algum a R.
Pela linearidade de T,
T(w) = T(a v) = a T(v) = a (v) = (a v) = w.
Logo w tambm um autovetor associado a . 17 / 48
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TeoremaSejam V um espao vetorial, T um operador linear sobre V.
Se v1 e v2 so autovetores associados ao autovalor , ento v1 + v2 tambm umautovetor de T associado a .
DEMONSTRAO: Sejam v1 e v2 autovetores associados ao autovalor . Temos queT(v1) = v1 e T(v2) = v2.
Pela linearidade de T,
T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = v1 + v2 = (v1 + v2).
Logo v1 + v2 tambm um autovetor associado a .
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TeoremaSejam V um espao vetorial, T um operador linear sobre V.
Se v1 e v2 so autovetores associados ao autovalor , ento v1 + v2 tambm umautovetor de T associado a .
DEMONSTRAO: Sejam v1 e v2 autovetores associados ao autovalor . Temos queT(v1) = v1 e T(v2) = v2.
Pela linearidade de T,
T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = v1 + v2 = (v1 + v2).
Logo v1 + v2 tambm um autovetor associado a .
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TeoremaSejam V um espao vetorial, T um operador linear sobre V.
Se v1 e v2 so autovetores associados ao autovalor , ento v1 + v2 tambm umautovetor de T associado a .
DEMONSTRAO: Sejam v1 e v2 autovetores associados ao autovalor .
Temos queT(v1) = v1 e T(v2) = v2.
Pela linearidade de T,
T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = v1 + v2 = (v1 + v2).
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TeoremaSejam V um espao vetorial, T um operador linear sobre V.
Se v1 e v2 so autovetores associados ao autovalor , ento v1 + v2 tambm umautovetor de T associado a .
DEMONSTRAO: Sejam v1 e v2 autovetores associados ao autovalor . Temos queT(v1) = v1 e T(v2) = v2.
Pela linearidade de T,
T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = v1 + v2 = (v1 + v2).
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Autovalores e Autovetores
TeoremaSejam V um espao vetorial, T um operador linear sobre V.
Se v1 e v2 so autovetores associados ao autovalor , ento v1 + v2 tambm umautovetor de T associado a .
DEMONSTRAO: Sejam v1 e v2 autovetores associados ao autovalor . Temos queT(v1) = v1 e T(v2) = v2.
Pela linearidade de T,
T(v1 + v2)
= T(v1) + T(v2) = v1 + v2 = (v1 + v2).
Logo v1 + v2 tambm um autovetor associado a .
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Autovalores e Autovetores
TeoremaSejam V um espao vetorial, T um operador linear sobre V.
Se v1 e v2 so autovetores associados ao autovalor , ento v1 + v2 tambm umautovetor de T associado a .
DEMONSTRAO: Sejam v1 e v2 autovetores associados ao autovalor . Temos queT(v1) = v1 e T(v2) = v2.
Pela linearidade de T,
T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)
= v1 + v2 = (v1 + v2).
Logo v1 + v2 tambm um autovetor associado a .
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Autovalores e Autovetores
TeoremaSejam V um espao vetorial, T um operador linear sobre V.
Se v1 e v2 so autovetores associados ao autovalor , ento v1 + v2 tambm umautovetor de T associado a .
DEMONSTRAO: Sejam v1 e v2 autovetores associados ao autovalor . Temos queT(v1) = v1 e T(v2) = v2.
Pela linearidade de T,
T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = v1 + v2
= (v1 + v2).
Logo v1 + v2 tambm um autovetor associado a .
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TeoremaSejam V um espao vetorial, T um operador linear sobre V.
Se v1 e v2 so autovetores associados ao autovalor , ento v1 + v2 tambm umautovetor de T associado a .
DEMONSTRAO: Sejam v1 e v2 autovetores associados ao autovalor . Temos queT(v1) = v1 e T(v2) = v2.
Pela linearidade de T,
T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = v1 + v2 = (v1 + v2).
Logo v1 + v2 tambm um autovetor associado a .
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TeoremaSejam V um espao vetorial, T um operador linear sobre V.
Se v1 e v2 so autovetores associados ao autovalor , ento v1 + v2 tambm umautovetor de T associado a .
DEMONSTRAO: Sejam v1 e v2 autovetores associados ao autovalor . Temos queT(v1) = v1 e T(v2) = v2.
Pela linearidade de T,
T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = v1 + v2 = (v1 + v2).
Logo v1 + v2 tambm um autovetor associado a . 18 / 48
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Autovalores e Autovetores
Consequncia:
Se V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e R um autovalor de T,ento
V = {v V;T(v) = v} um subespao vetorial de V.
V dito o subespao associado ao autovalor .
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Autovalores e Autovetores
Consequncia:
Se V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e R um autovalor de T,ento
V = {v V;T(v) = v} um subespao vetorial de V.
V dito o subespao associado ao autovalor .
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Autovalores e Autovetores
Teorema (Invarincia de subespaos associados a autovalores)Se V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e R um autovalor de T.Considere o subespao V associado a .
Ento
T(V) V.
DEMONSTRAO: Decorre dos fatos vistos nos dois ltimos teoremas:
Se v1, v2 V e R:
v1 V;
v1 + v2 V.
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Teorema (Invarincia de subespaos associados a autovalores)Se V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e R um autovalor de T.Considere o subespao V associado a .Ento
T(V) V.
DEMONSTRAO: Decorre dos fatos vistos nos dois ltimos teoremas:
Se v1, v2 V e R:
v1 V;
v1 + v2 V.
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Teorema (Invarincia de subespaos associados a autovalores)Se V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e R um autovalor de T.Considere o subespao V associado a .Ento
T(V) V.
DEMONSTRAO: Decorre dos fatos vistos nos dois ltimos teoremas:
Se v1, v2 V e R:
v1 V;
v1 + v2 V.
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Teorema (Invarincia de subespaos associados a autovalores)Se V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e R um autovalor de T.Considere o subespao V associado a .Ento
T(V) V.
DEMONSTRAO: Decorre dos fatos vistos nos dois ltimos teoremas:
Se v1, v2 V e R:
v1 V;
v1 + v2 V.
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Teorema (Invarincia de subespaos associados a autovalores)Se V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e R um autovalor de T.Considere o subespao V associado a .Ento
T(V) V.
DEMONSTRAO: Decorre dos fatos vistos nos dois ltimos teoremas:
Se v1, v2 V e R:
v1 V;
v1 + v2 V.
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Autovalores e Autovetores
Teorema (Invarincia de subespaos associados a autovalores)Se V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e R um autovalor de T.Considere o subespao V associado a .Ento
T(V) V.
DEMONSTRAO: Decorre dos fatos vistos nos dois ltimos teoremas:
Se v1, v2 V e R:
v1 V;
v1 + v2 V.
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Autovalores e Autovetores
ProposioSe V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e R um autovalor de T.Ento
V = ker(T I),onde I : V V a identidade.
DEMONSTRAO: Seja v V.Isto significa que v um autovetor associado a , isto , T(v) = v. Temos que
T(v) = v T(v) = I(v) T(v) I(v) = 0V (T I)(v) = 0V.
Ou seja, v ker(T I).
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ProposioSe V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e R um autovalor de T.Ento
V = ker(T I),onde I : V V a identidade.
DEMONSTRAO: Seja v V.
Isto significa que v um autovetor associado a , isto , T(v) = v. Temos que
T(v) = v T(v) = I(v) T(v) I(v) = 0V (T I)(v) = 0V.
Ou seja, v ker(T I).
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ProposioSe V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e R um autovalor de T.Ento
V = ker(T I),onde I : V V a identidade.
DEMONSTRAO: Seja v V.Isto significa que v um autovetor associado a , isto , T(v) = v.
Temos que
T(v) = v T(v) = I(v) T(v) I(v) = 0V (T I)(v) = 0V.
Ou seja, v ker(T I).
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Autovalores e Autovetores
ProposioSe V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e R um autovalor de T.Ento
V = ker(T I),onde I : V V a identidade.
DEMONSTRAO: Seja v V.Isto significa que v um autovetor associado a , isto , T(v) = v. Temos que
T(v) = v
T(v) = I(v) T(v) I(v) = 0V (T I)(v) = 0V.
Ou seja, v ker(T I).
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Autovalores e Autovetores
ProposioSe V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e R um autovalor de T.Ento
V = ker(T I),onde I : V V a identidade.
DEMONSTRAO: Seja v V.Isto significa que v um autovetor associado a , isto , T(v) = v. Temos que
T(v) = v T(v) = I(v)
T(v) I(v) = 0V (T I)(v) = 0V.
Ou seja, v ker(T I).
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Autovalores e Autovetores
ProposioSe V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e R um autovalor de T.Ento
V = ker(T I),onde I : V V a identidade.
DEMONSTRAO: Seja v V.Isto significa que v um autovetor associado a , isto , T(v) = v. Temos que
T(v) = v T(v) = I(v) T(v) I(v) = 0V
(T I)(v) = 0V.
Ou seja, v ker(T I).
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ProposioSe V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e R um autovalor de T.Ento
V = ker(T I),onde I : V V a identidade.
DEMONSTRAO: Seja v V.Isto significa que v um autovetor associado a , isto , T(v) = v. Temos que
T(v) = v T(v) = I(v) T(v) I(v) = 0V (T I)(v) = 0V.
Ou seja, v ker(T I).
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ProposioSe V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e R um autovalor de T.Ento
V = ker(T I),onde I : V V a identidade.
DEMONSTRAO: Seja v V.Isto significa que v um autovetor associado a , isto , T(v) = v. Temos que
T(v) = v T(v) = I(v) T(v) I(v) = 0V (T I)(v) = 0V.
Ou seja, v ker(T I). 21 / 48
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Autovalores e Autovetores
ProposioSe V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e , R so autovaloresdistintos de T. Ento
V V = {0V}.
DEMONSTRAO: Sejam 6= e v V V.Isto significa que v um autovetor associado a e , isto , T(v) = v e T(v) = v. Temosque
v = v v v = 0V ( )v = 0V v = 0V.
Logo V V = {0V}.
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Autovalores e Autovetores
ProposioSe V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e , R so autovaloresdistintos de T. Ento
V V = {0V}.
DEMONSTRAO: Sejam 6= e v V V.
Isto significa que v um autovetor associado a e , isto , T(v) = v e T(v) = v. Temosque
v = v v v = 0V ( )v = 0V v = 0V.
Logo V V = {0V}.
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Autovalores e Autovetores
ProposioSe V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e , R so autovaloresdistintos de T. Ento
V V = {0V}.
DEMONSTRAO: Sejam 6= e v V V.Isto significa que v um autovetor associado a e , isto , T(v) = v e T(v) = v.
Temosque
v = v v v = 0V ( )v = 0V v = 0V.
Logo V V = {0V}.
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Autovalores e Autovetores
ProposioSe V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e , R so autovaloresdistintos de T. Ento
V V = {0V}.
DEMONSTRAO: Sejam 6= e v V V.Isto significa que v um autovetor associado a e , isto , T(v) = v e T(v) = v. Temosque
v = v
v v = 0V ( )v = 0V v = 0V.
Logo V V = {0V}.
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Autovalores e Autovetores
ProposioSe V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e , R so autovaloresdistintos de T. Ento
V V = {0V}.
DEMONSTRAO: Sejam 6= e v V V.Isto significa que v um autovetor associado a e , isto , T(v) = v e T(v) = v. Temosque
v = v v v = 0V
( )v = 0V v = 0V.
Logo V V = {0V}.
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Autovalores e Autovetores
ProposioSe V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e , R so autovaloresdistintos de T. Ento
V V = {0V}.
DEMONSTRAO: Sejam 6= e v V V.Isto significa que v um autovetor associado a e , isto , T(v) = v e T(v) = v. Temosque
v = v v v = 0V ( )v = 0V
v = 0V.
Logo V V = {0V}.
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Autovalores e Autovetores
ProposioSe V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e , R so autovaloresdistintos de T. Ento
V V = {0V}.
DEMONSTRAO: Sejam 6= e v V V.Isto significa que v um autovetor associado a e , isto , T(v) = v e T(v) = v. Temosque
v = v v v = 0V ( )v = 0V v = 0V.
Logo V V = {0V}.
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Autovalores e Autovetores
ProposioSe V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e , R so autovaloresdistintos de T. Ento
V V = {0V}.
DEMONSTRAO: Sejam 6= e v V V.Isto significa que v um autovetor associado a e , isto , T(v) = v e T(v) = v. Temosque
v = v v v = 0V ( )v = 0V v = 0V.
Logo V V = {0V}.
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AUTOVALORES E AUTOVETORES DE UMA MATRIZ
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Seja A uma matriz quadrada de ordem n.
Considere o operador linear TA : Rn Rn definido por
TA(v) =
a11 a12 a1na21 a22 a2n...
.... . .
...an1 an2 ann
x1x2...xn
, onde [v] =
x1x2...xn
so as coordenadas de v na base cannica.
DefinioUm nmero real dito autovalor de A se um autovalor do operador TA.Um vetor v Rn dito autovetor de A se um autovetor do operador TA.
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Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Seja A uma matriz quadrada de ordem n.
Considere o operador linear TA : Rn Rn definido por
TA(v) =
a11 a12 a1na21 a22 a2n...
.... . .
...an1 an2 ann
x1x2...xn
, onde [v] =
x1x2...xn
so as coordenadas de v na base cannica.
DefinioUm nmero real dito autovalor de A se um autovalor do operador TA.Um vetor v Rn dito autovetor de A se um autovetor do operador TA.
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Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Seja A uma matriz quadrada de ordem n.
Considere o operador linear TA : Rn Rn definido por
TA(v) =
a11 a12 a1na21 a22 a2n...
.... . .
...an1 an2 ann
x1x2...xn
, onde [v] =
x1x2...xn
so as coordenadas de v na base cannica.
DefinioUm nmero real dito autovalor de A se um autovalor do operador TA.
Um vetor v Rn dito autovetor de A se um autovetor do operador TA.
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Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Seja A uma matriz quadrada de ordem n.
Considere o operador linear TA : Rn Rn definido por
TA(v) =
a11 a12 a1na21 a22 a2n...
.... . .
...an1 an2 ann
x1x2...xn
, onde [v] =
x1x2...xn
so as coordenadas de v na base cannica.
DefinioUm nmero real dito autovalor de A se um autovalor do operador TA.Um vetor v Rn dito autovetor de A se um autovetor do operador TA.
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Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Exemplo: Determine os autovalores da matriz A =[1 12 1
].
O operador linear TA : R2 R2 definido por
TA(x, y) =[1 12 1
][xy
]=
[x + y2x + y
]
Ou seja, TA(x, y) = (x + y, 2x + y).
Sejam (x, y) R2 e R tais que
TA(x, y) = (x, y).
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Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Exemplo: Determine os autovalores da matriz A =[1 12 1
].
O operador linear TA : R2 R2 definido por
TA(x, y) =[1 12 1
][xy
]
=
[x + y2x + y
]
Ou seja, TA(x, y) = (x + y, 2x + y).
Sejam (x, y) R2 e R tais que
TA(x, y) = (x, y).
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Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Exemplo: Determine os autovalores da matriz A =[1 12 1
].
O operador linear TA : R2 R2 definido por
TA(x, y) =[1 12 1
][xy
]=
[x + y2x + y
]
Ou seja, TA(x, y) = (x + y, 2x + y).
Sejam (x, y) R2 e R tais que
TA(x, y) = (x, y).
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Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Exemplo: Determine os autovalores da matriz A =[1 12 1
].
O operador linear TA : R2 R2 definido por
TA(x, y) =[1 12 1
][xy
]=
[x + y2x + y
]
Ou seja, TA(x, y) = (x + y, 2x + y).
Sejam (x, y) R2 e R tais que
TA(x, y) = (x, y).
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Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Exemplo: Determine os autovalores da matriz A =[1 12 1
].
O operador linear TA : R2 R2 definido por
TA(x, y) =[1 12 1
][xy
]=
[x + y2x + y
]
Ou seja, TA(x, y) = (x + y, 2x + y).
Sejam (x, y) R2 e R tais que
TA(x, y) = (x, y).
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Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Ento
TA(x, y) = (x, y)
Se = 1, a nica soluo do sistema x = 0 e y = 0, pois{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0
{y = 02x = 0 x = 0 e y = 0.
Logo = 1 no autovalor de T.
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Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Ento
(x + y, 2x + y) = (x, y)
{
x + y = x2x + y = y
{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0 .
Se = 1, a nica soluo do sistema x = 0 e y = 0, pois{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0
{y = 02x = 0 x = 0 e y = 0.
Logo = 1 no autovalor de T.
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Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Ento
(x + y, 2x + y) = (x, y) {
x + y = x2x + y = y
{
(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0 .
Se = 1, a nica soluo do sistema x = 0 e y = 0, pois{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0
{y = 02x = 0 x = 0 e y = 0.
Logo = 1 no autovalor de T.
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Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Ento
(x + y, 2x + y) = (x, y) {
x + y = x2x + y = y
{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0 .
Se = 1, a nica soluo do sistema x = 0 e y = 0, pois{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0
{y = 02x = 0 x = 0 e y = 0.
Logo = 1 no autovalor de T.
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Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Ento
(x + y, 2x + y) = (x, y) {
x + y = x2x + y = y
{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0 .
Se = 1, a nica soluo do sistema x = 0 e y = 0, pois{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0
{
y = 02x = 0 x = 0 e y = 0.
Logo = 1 no autovalor de T.
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Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Ento
(x + y, 2x + y) = (x, y) {
x + y = x2x + y = y
{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0 .
Se = 1, a nica soluo do sistema x = 0 e y = 0, pois{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0
{y = 02x = 0
x = 0 e y = 0.
Logo = 1 no autovalor de T.
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Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Ento
(x + y, 2x + y) = (x, y) {
x + y = x2x + y = y
{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0 .
Se = 1, a nica soluo do sistema x = 0 e y = 0, pois{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0
{y = 02x = 0 x = 0 e y = 0.
Logo = 1 no autovalor de T.
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Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Ento
(x + y, 2x + y) = (x, y) {
x + y = x2x + y = y
{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0 .
Se = 1, a nica soluo do sistema x = 0 e y = 0, pois{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0
{y = 02x = 0 x = 0 e y = 0.
Logo = 1 no autovalor de T.
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Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Vamos resolver o sistema, assumindo que 6= 1.
{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0 .
Passando matriz associada ao sistema:[1 12 1
]
[1 12
1 1]
[1 120
2+2+12
].
J que um autovalor de T, o sistema acima deve ser possvel e indeterminado, poisV um subespao vetorial (e deve conter infinitos vetores).
Isso ocorrer se, e somente se,2 + 2+ 1
2= 0.
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Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Vamos resolver o sistema, assumindo que 6= 1.{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0 .
Passando matriz associada ao sistema:[1 12 1
]
[1 12
1 1]
[1 120
2+2+12
].
J que um autovalor de T, o sistema acima deve ser possvel e indeterminado, poisV um subespao vetorial (e deve conter infinitos vetores).
Isso ocorrer se, e somente se,2 + 2+ 1
2= 0.
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Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Vamos resolver o sistema, assumindo que 6= 1.{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0 .
Passando matriz associada ao sistema:[1 12 1
]
[
1 121 1
]
[1 120
2+2+12
].
J que um autovalor de T, o sistema acima deve ser possvel e indeterminado, poisV um subespao vetorial (e deve conter infinitos vetores).
Isso ocorrer se, e somente se,2 + 2+ 1
2= 0.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Vamos resolver o sistema, assumindo que 6= 1.{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0 .
Passando matriz associada ao sistema:[1 12 1
]
[1 12
1 1]
[1 120
2+2+12
].
J que um autovalor de T, o sistema acima deve ser possvel e indeterminado, poisV um subespao vetorial (e deve conter infinitos vetores).
Isso ocorrer se, e somente se,2 + 2+ 1
2= 0.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Vamos resolver o sistema, assumindo que 6= 1.{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0 .
Passando matriz associada ao sistema:[1 12 1
]
[1 12
1 1]
[1 120
2+2+12
].
J que um autovalor de T, o sistema acima deve ser possvel e indeterminado, poisV um subespao vetorial (e deve conter infinitos vetores).
Isso ocorrer se, e somente se,2 + 2+ 1
2= 0.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Vamos resolver o sistema, assumindo que 6= 1.{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0 .
Passando matriz associada ao sistema:[1 12 1
]
[1 12
1 1]
[1 120
2+2+12
].
J que um autovalor de T, o sistema acima deve ser possvel e indeterminado,
poisV um subespao vetorial (e deve conter infinitos vetores).
Isso ocorrer se, e somente se,2 + 2+ 1
2= 0.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Vamos resolver o sistema, assumindo que 6= 1.{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0 .
Passando matriz associada ao sistema:[1 12 1
]
[1 12
1 1]
[1 120
2+2+12
].
J que um autovalor de T, o sistema acima deve ser possvel e indeterminado, poisV um subespao vetorial (e deve conter infinitos vetores).
Isso ocorrer se, e somente se,2 + 2+ 1
2= 0.
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Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Vamos resolver o sistema, assumindo que 6= 1.{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0 .
Passando matriz associada ao sistema:[1 12 1
]
[1 12
1 1]
[1 120
2+2+12
].
J que um autovalor de T, o sistema acima deve ser possvel e indeterminado, poisV um subespao vetorial (e deve conter infinitos vetores).
Isso ocorrer se, e somente se,2 + 2+ 1
2= 0.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Resolvendo a equao
2 + 2+ 12
= 0
2 + 2+ 1 = 0.
= 22 4(1)(1) = 8 = 28
2 = 12 ou = 1 +
2.
Logo os autovalores de T so = 12 e = 1 +2.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Resolvendo a equao
2 + 2+ 12
= 0 2 + 2+ 1 = 0.
= 22 4(1)(1) = 8 = 28
2 = 12 ou = 1 +
2.
Logo os autovalores de T so = 12 e = 1 +2.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Resolvendo a equao
2 + 2+ 12
= 0 2 + 2+ 1 = 0.
= 22 4(1)(1) = 8
= 28
2 = 12 ou = 1 +
2.
Logo os autovalores de T so = 12 e = 1 +2.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Resolvendo a equao
2 + 2+ 12
= 0 2 + 2+ 1 = 0.
= 22 4(1)(1) = 8 = 28
2 = 12 ou = 1 +
2.
Logo os autovalores de T so = 12 e = 1 +2.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Resolvendo a equao
2 + 2+ 12
= 0 2 + 2+ 1 = 0.
= 22 4(1)(1) = 8 = 28
2 = 12 ou = 1 +
2.
Logo os autovalores de T so = 12 e = 1 +2.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
Vimos no exemplo anterior que a determinao dos autovalores de um operador linearrecaiu na resoluo de uma equao polinomial.
Este polinmio desempenha um papel central na teoria.
Antes de defin-lo vejamos um resultado sobre resoluo de sistema lineares.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
Vimos no exemplo anterior que a determinao dos autovalores de um operador linearrecaiu na resoluo de uma equao polinomial.
Este polinmio desempenha um papel central na teoria.
Antes de defin-lo vejamos um resultado sobre resoluo de sistema lineares.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
Vimos no exemplo anterior que a determinao dos autovalores de um operador linearrecaiu na resoluo de uma equao polinomial.
Este polinmio desempenha um papel central na teoria.
Antes de defin-lo vejamos um resultado sobre resoluo de sistema lineares.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
Resoluo de Sistemas Utilizando Determinantes
Considere o sistema linear de n incgnitas e n equaes:a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2an1x1 + an2x2 + + annxn = bn
Podemos escrev-lo como uma equao matricial:a11 a12 a1na21 a22 a2n...
.... . .
...an1 an2 ann
x1x2...xn
=
b1b2...bn
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Resoluo de Sistemas Utilizando Determinantes
Considere o sistema linear de n incgnitas e n equaes:a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2an1x1 + an2x2 + + annxn = bn
Podemos escrev-lo como uma equao matricial:a11 a12 a1na21 a22 a2n...
.... . .
...an1 an2 ann
x1x2...xn
=
b1b2...bn
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Resoluo de Sistemas Utilizando Determinantes
Se a matriz A possui inversa, esta equao matricial tem soluo nica:x1x2...xn
=
a11 a12 a1na21 a22 a2n...
.... . .
...an1 an2 ann
1
b1b2...bn
.
Um resultado sobre matrizes diz que: A possui inversa se, e somente se, o determinantede A no nulo.
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Resoluo de Sistemas Utilizando Determinantes
Se a matriz A possui inversa, esta equao matricial tem soluo nica:x1x2...xn
=
a11 a12 a1na21 a22 a2n...
.... . .
...an1 an2 ann
1
b1b2...bn
.
Um resultado sobre matrizes diz que: A possui inversa se, e somente se, o determinantede A no nulo.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
Relembrando a Definio de Determinantes
Matriz de ordem 2:
A =[a bc d
]
det(A) = a bc d
= ad bc.Por exemplo:
det(A) = 1 23 4
= 1 4 2 3 = 4 6 = 2.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
Relembrando a Definio de Determinantes
Matriz de ordem 2:
A =[a bc d
] det(A) =
a bc d
= ad bc.
Por exemplo:
det(A) = 1 23 4
= 1 4 2 3 = 4 6 = 2.
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Relembrando a Definio de Determinantes
Matriz de ordem 2:
A =[a bc d
] det(A) =
a bc d = ad bc.
Por exemplo:
det(A) = 1 23 4
= 1 4 2 3 = 4 6 = 2.
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Relembrando a Definio de Determinantes
Matriz de ordem 2:
A =[a bc d
] det(A) =
a bc d = ad bc.
Por exemplo:
det(A) = 1 23 4
= 1 4 2 3 = 4 6 = 2.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
Relembrando a Definio de Determinantes
Matriz de ordem 2:
A =[a bc d
] det(A) =
a bc d = ad bc.
Por exemplo:
det(A) = 1 23 4
= 1 4 2 3 = 4 6 = 2.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
Relembrando a Definio de Determinantes
Matriz de ordem 3: Seja A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
.
det(A) =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
Relembrando a Definio de Determinantes
Matriz de ordem 3: Seja A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
.det(A) =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33.
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Relembrando a Definio de Determinantes
Matriz de ordem 3: Seja A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
.det(A) =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
DefinioSeja A uma matriz de ordem n. O polinmio caracterstico de A
pA() = det(A I) =
a11 a12 a1na21 a22 a2n...
.... . .
...an1 an2 ann
DefinioSejam V um espao vetorial de dimenso finita n e T um operador linear de V. Opolinmio caracterstico de T o polinmio caracterstico da matriz A associada a T (emrelao a qualquer base de V).
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O Polinmio Caracterstico
DefinioSeja A uma matriz de ordem n. O polinmio caracterstico de A
pA() = det(A I) =
a11 a12 a1na21 a22 a2n...
.... . .
...an1 an2 ann
DefinioSejam V um espao vetorial de dimenso finita n e T um operador linear de V. Opolinmio caracterstico de T o polinmio caracterstico da matriz A associada a T (emrelao a qualquer base de V).
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O Polinmio Caracterstico
DefinioSeja A uma matriz de ordem n. O polinmio caracterstico de A
pA() = det(A I) =
a11 a12 a1na21 a22 a2n...
.... . .
...an1 an2 ann
DefinioSejam V um espao vetorial de dimenso finita n e T um operador linear de V. Opolinmio caracterstico de T o polinmio caracterstico da matriz A associada a T (emrelao a qualquer base de V).
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
TeoremaSejam V um espao vetorial de dimenso finita n e T um operador linear de V. Osautovalores de T so as razes do polinmio caracterstico de T.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
Exemplos: Nos exemplos abaixo consideremos a base cannica do espao em ques-to.
(a) (Reflexo em torno do eixo x) Considere a funo:
Rx : R2 R2(x, y) 7 (x,y)
Sabemos que a matriz do operador :
[Rx] = A =[1 00 1
].
Queremos calcular seus autovalores.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
Exemplos: Nos exemplos abaixo consideremos a base cannica do espao em ques-to.
(a) (Reflexo em torno do eixo x) Considere a funo:
Rx : R2 R2(x, y) 7 (x,y)
Sabemos que a matriz do operador :
[Rx] = A =[1 00 1
].
Queremos calcular seus autovalores.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
Exemplos: Nos exemplos abaixo consideremos a base cannica do espao em ques-to.
(a) (Reflexo em torno do eixo x) Considere a funo:
Rx : R2 R2(x, y) 7 (x,y)
Sabemos que a matriz do operador :
[Rx] = A =[1 00 1
].
Queremos calcular seus autovalores.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
Exemplos: Nos exemplos abaixo consideremos a base cannica do espao em ques-to.
(a) (Reflexo em torno do eixo x) Considere a funo:
Rx : R2 R2(x, y) 7 (x,y)
Sabemos que a matriz do operador :
[Rx] = A =[1 00 1
].
Queremos calcular seus autovalores.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
Os autovalores de Rx so as razes do polinmio caracterstico de Rx.
p() = det(A I) =[1 00 1
]= (1 )(1 ) = 1 + 2.
Determinando as solues do polinmio caracterstico:
2 1 = 0 = 1 ou = 1.
Logo os autovalores de Rx so = 1 e = 1.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
Os autovalores de Rx so as razes do polinmio caracterstico de Rx.
p() = det(A I) =[1 00 1
]
= (1 )(1 ) = 1 + 2.
Determinando as solues do polinmio caracterstico:
2 1 = 0 = 1 ou = 1.
Logo os autovalores de Rx so = 1 e = 1.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
Os autovalores de Rx so as razes do polinmio caracterstico de Rx.
p() = det(A I) =[1 00 1
]= (1 )(1 ) = 1 + 2.
Determinando as solues do polinmio caracterstico:
2 1 = 0 = 1 ou = 1.
Logo os autovalores de Rx so = 1 e = 1.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
Os autovalores de Rx so as razes do polinmio caracterstico de Rx.
p() = det(A I) =[1 00 1
]= (1 )(1 ) = 1 + 2.
Determinando as solues do polinmio caracterstico:
2 1 = 0
= 1 ou = 1.
Logo os autovalores de Rx so = 1 e = 1.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
Os autovalores de Rx so as razes do polinmio caracterstico de Rx.
p() = det(A I) =[1 00 1
]= (1 )(1 ) = 1 + 2.
Determinando as solues do polinmio caracterstico:
2 1 = 0 = 1 ou = 1.
Logo os autovalores de Rx so = 1 e = 1.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
Os autovalores de Rx so as razes do polinmio caracterstico de Rx.
p() = det(A I) =[1 00 1
]= (1 )(1 ) = 1 + 2.
Determinando as solues do polinmio caracterstico:
2 1 = 0 = 1 ou = 1.
Logo os autovalores de Rx so = 1 e = 1.
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O Polinmio Caracterstico
(b) (Reflexo em torno do eixo y) Considere a funo:
Ry : R2 R2(x, y) 7 (x, y)
Sabemos que a matriz do operador :
[Ry] = B =[ 1 0
0 1
].
Queremos calcular seus autovalores.
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O Polinmio Caracterstico
(b) (Reflexo em torno do eixo y) Considere a funo:
Ry : R2 R2(x, y) 7 (x, y)
Sabemos que a matriz do operador :
[Ry] = B =[ 1 0
0 1
].
Queremos calcular seus autovalores.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
(b) (Reflexo em torno do eixo y) Considere a funo:
Ry : R2 R2(x, y) 7 (x, y)
Sabemos que a matriz do operador :
[Ry] = B =[ 1 0
0 1
].
Queremos calcular seus autovalores.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
Os autovalores de Ry so as razes do polinmio caracterstico de Ry.
p() = det(B I) =[ 1 0
0 1 ]
= (1 )(1 ) = 1 + 2.
Determinando as solues do polinmio caracterstico:
2 1 = 0 = 1 ou = 1.
Logo os autovalores de Ry so = 1 e = 1.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
Os autovalores de Ry so as razes do polinmio caracterstico de Ry.
p() = det(B I) =[ 1 0
0 1 ]
= (1 )(1 ) = 1 + 2.
Determinando as solues do polinmio caracterstico:
2 1 = 0 = 1 ou = 1.
Logo os autovalores de Ry so = 1 e = 1.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
Os autovalores de Ry so as razes do polinmio caracterstico de Ry.
p() = det(B I) =[ 1 0
0 1 ]
= (1 )(1 ) = 1 + 2.
Determinando as solues do polinmio caracterstico:
2 1 = 0 = 1 ou = 1.
Logo os autovalores de Ry so = 1 e = 1.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
Os autovalores de Ry so as razes do polinmio caracterstico de Ry.
p() = det(B I) =[ 1 0
0 1 ]
= (1 )(1 ) = 1 + 2.
Determinando as solues do polinmio caracterstico:
2 1 = 0
= 1 ou = 1.
Logo os autovalores de Ry so = 1 e = 1.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
Os autovalores de Ry so as razes do polinmio caracterstico de Ry.
p() = det(B I) =[ 1 0
0 1 ]
= (1 )(1 ) = 1 + 2.
Determinando as solues do polinmio caracterstico:
2 1 = 0 = 1 ou = 1.
Logo os autovalores de Ry so = 1 e = 1.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
Os autovalores de Ry so as razes do polinmio caracterstico de Ry.
p() = det(B I) =[ 1 0
0 1 ]
= (1 )(1 ) = 1 + 2.
Determinando as solues do polinmio caracterstico:
2 1 = 0 = 1 ou = 1.
Logo os autovalores de Ry so = 1 e = 1.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
(c) (Reflexo em torno da origem) Considere a funo:
RO : R2 R2(x, y) 7 (x,y)
Sabemos que a matriz do operador :
[RO] = C =[ 1 0
0 1].
Queremos calcular seus autovalores.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
(c) (Reflexo em torno da origem) Considere a funo:
RO : R2 R2(x, y) 7 (x,y)
Sabemos que a matriz do operador :
[RO] = C =[ 1 0
0 1].
Queremos calcular seus autovalores.
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O Polinmio Caracterstico
(c) (Reflexo em torno da origem) Considere a funo:
RO : R2 R2(x, y) 7 (x,y)
Sabemos que a matriz do operador :
[RO] = C =[ 1 0
0 1].
Queremos calcular seus autovalores.
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O Polinmio Caracterstico
Os autovalores de RO so as razes do polinmio caracterstico de RO.
p() = det(C I) =[ 1 0
0 1 ]
= (1 )(1 ) = 1 + 2+ 2.
Determinando as solues do polinmio caracterstico:
2 + 2+ 1 = 0 = 1.
Logo o nico autovalor de RO = 1.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
Os autovalores de RO so as razes do polinmio caracterstico de RO.
p() = det(C I) =[ 1 0
0 1 ]
= (1 )(1 ) = 1 + 2+ 2.
Determinando as solues do polinmio caracterstico:
2 + 2+ 1 = 0 = 1.
Logo o nico autovalor de RO = 1.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
Os autovalores de RO so as razes do polinmio caracterstico de RO.
p() = det(C I) =[ 1 0
0 1 ]
= (1 )(1 ) = 1 + 2+ 2.
Determinando as solues do polinmio caracterstico:
2 + 2+ 1 = 0 = 1.
Logo o nico autovalor de RO = 1.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
Os autovalores de RO so as razes do polinmio caracterstico de RO.
p() = det(C I) =[ 1 0
0 1 ]
= (1 )(1 ) = 1 + 2+ 2.
Determinando as solues do polinmio caracterstico:
2 + 2+ 1 = 0
= 1.
Logo o nico autovalor de RO = 1.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
Os autovalores de RO so as razes do polinmio caracterstico de RO.
p() = det(C I) =[ 1 0
0 1 ]
= (1 )(1 ) = 1 + 2+ 2.
Determinando as solues do polinmio caracterstico:
2 + 2+ 1 = 0 = 1.
Logo o nico autovalor de RO = 1.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
Os autovalores de RO so as razes do polinmio caracterstico de RO.
p() = det(C I) =[ 1 0
0 1 ]
= (1 )(1 ) = 1 + 2+ 2.
Determinando as solues do polinmio caracterstico:
2 + 2+ 1 = 0 = 1.
Logo o nico autovalor de RO = 1.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
(d) (Rotao em um ngulo de 90) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (cos(90)x sen(90)y, sen(90)x + cos(90)y) = (y, x)
Sabemos que a matriz do operador :
[R90 ] = D =[0 11 0
].
Queremos calcular seus autovalores.
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Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores
O Polinmio Caracterstico
(d) (Rotao em um ngulo de 90) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (cos(90)x sen(90)y, sen(90)x + cos(90)y) = (y, x)
Sabemos que a matriz do operador :
[R90 ] = D =[0 11 0
].
Queremos calcular seus autovalores.
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O Polinmio Caracterstico
(d) (Rotao em um ngulo de 90) Considere o operador:
T : R2 R2(x, y) 7 (cos(90)x sen(90)y, sen(90)x + cos(90)y) = (y, x)
Sabemos que a matriz do operador :
[R90 ] = D =[0 11 0
].
Queremos calcular seus autovalores.
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O Polinmio Caracterstico
Os autovalores de R90 so as razes do polinmio caracterstico de R90 .
p() = det(D I) =[ 1
1 ]
= ()2 (1 1) = 2 + 1.
O polinmio caracterstico no possui soluo. Logo R90 no possui autovalores.
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O Polinmio Caracterstico
Os autovalores de R90 so as razes do polinmio caracterstico de R90 .
p() = det(D I) =[ 1
1 ]
= ()2 (1 1) = 2 + 1.
O polinmio caracterstico no possui soluo. Logo R90 no possui autovalores.
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