analiseestruturas_edificioacoeshorizontais
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FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 91
11.1 MODELOS DE ANÁLISE
Vigas e pilares Elementos de barra com 6 g.l. por nó
Lajes e paredes Elementos finitos de laje e casca
• Modelo Espacial (3D) da Estrutura (Método “exacto” – padrão)
• Elevado nº de g.l. e dificuldade de analisar e sistematizar resultados
SIM
PLI
• Nº razoável (baixo) de g.l. (3 x Nº de pisos)
• Consideração de comportamento 3D
• Análise e sistematização de resultados mais fácil (por pórtico)
Associação de sub-estruturas planas de contraventamento (pórticos e/ou paredes) numa só direcção
Compatibilização pelo piso rígido, apenas segundo o deslocamentohorizontal do plano
• Associação plana (estrutura comboio)
• Facilidade de utilização com um programa de pórticos planos
• Consideração de comportamento numa só direcção
• Facilidade de análise e sistematização de resultados (por pórtico)
11. ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE EDIFÍCIOS SOB ACÇÕES HORIZONTAIS
1111. ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE EDIFÍCIOS SOB . ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE EDIFÍCIOS SOB ACÇÕES HORIZONTAISACÇÕES HORIZONTAIS
FIC
AÇ
ÃO
• Modelo de 3 g.l. por piso
Associação de sub-estruturas planas de contraventamento (pórticos e/ou paredes) em qualquer direcção
Compatibilização pelo piso rígido, segundo 3 deslocamentos horizontais (X, Y e rotação)
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 92
11.2 ANÁLISE PLANA DE ESTRUTURAS PÓRTICO-PAREDE SOB ACÇÕES ESTÁTICAS HORIZONTAIS
11.2.1 Notação de forças globais e locais
∑=
=n
ij
pi
pi fF
H3
iH T i
2H
1H
3HT3 =
T2 = H3 + 2H
2+ H1 3H=T H1+
SOB O PISO
ALÇADO
PLANTA
NO PISO
1
2
+
NO PISO SOB O PISO
f3
=3F
p
pf
pf
p pf3
3fpp
F =2pf2
2fp
1 =Fp pf3 + + pf1
LOCAL (Piso i)
(Pórtico p)
GLOBAL (Piso i)
∑=
=n
ijji HT
ptiR = forças de corte sob o piso i (ou na base), no grupo de
pórticos iguais de tipo pt, devido apenas ao movimento de translação.
piI = força de corte sob o piso i (ou na base), no pórtico p,
devido apenas ao movimento de translação.
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11.2.2 Estruturas simétricas com solicitação simétrica
• Associação em comboio (ligação de pórticos/paredes por bielas rígidas)
• Distribuição de forças e esforços proporcional à rigidez dos pórticos
• Não há torção global
• Pisos rígidos no próprio plano
Deslocamentos horizontais iguaisnos pórticos e nas paredes (compatibilização de deformadas)
H
1
2
3
4
5
6
PLANTA
• Modelação
CORTEPISOS
5
4
3
2
1
0
BIELAS AXIALMENTE
RÍGIDAS
H5
3H
1H
4xPT1 2xPT2
EA ≅ ∞
EI ≅ 0
EA = 1000 EAvig
EI = EIvig / 1000Exemplo:
• 4 pórticos “simples” (1,2,5,6) PT1
• 2 pórticos “mistos” (3,4) PT2
ATT:
A deformabilidade axial das vigas pode introduzir erros.
Para os evitar, incrementá-la, condicionando as dimensões das secções.
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 94
• A modelação adoptada permite obter directamente as forças de corte , para cada grupo de pórticos pt sob o piso i, através da soma dos esforços transversos dos correspondentes pilares/paredes que suportam esse piso.
ptiR
4xPT1
H1
H3
H5
2xPT2
4H
2H
R11
2R1
1R3
1R4
1R5
RT1
2
3
4
5R2
R2
R2
2R
1R2
T2R
• Para cada pórtico p, as forças de corte sob o piso i, obtêm-se dos anteriores dividindo pelo número de pórticos do grupo em que aquele se insere.
piI
==→
====→
2/2PT
4/1PT243
16521
iii
iiiii
RII
RIIII
• Para cada pórtico p, as forças no piso obtêm-se das anteriores por equilíbrio, subtraindo as forças de corte em entre-pisos sucessivos, i.e.:
pif
pi
pi
pi IIf −= +1
Claro que também pode ser feito logo ao nível das forças (e ) e depois dividido pelo número de pórticos do grupo.
ptiR pt
iR 1+
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 95
• Se a rigidez for uniforme em altura, a obtenção daquelas forças no piso pode ser feita pela relação da rigidez na base, i.e., pela razão dos cortes basais nos vários pórticos.
Designando por a fracção de corte basal total que é equilibrada pelos pórticos de tipo pt, i.e.
pif
ptr
b
ptTpt
RRr =
então as forças de corte sob o piso i, assim como as forças no mesmo piso, num dado pórtico p, vêm dadas por
pt
ptip
ipt
ptip
i NrHf
NrTI ×=×= ;
em que é o número de pórticos do tipo pt e é a força global de corte sob o piso i.
ptN iT
piI
• Se a rigidez variar em altura para troços (conjuntos de pisos) este processo pode ser adoptado apenas nos troços em que a rigidez semantém. Nos pisos com transição de rigidez, as forças de corte e de piso têm de ser obtidas atendendo a essa variação de rigidez.p
if
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11.2.3 Estruturas simétricas com solicitação não-simétrica
• Associação em comboio (ligação de pórticos/paredes por bielas rígidas)
• Distribuição de forças e esforços proporcional à rigidez dos pórticos
• Correcção de efeitos devido à torção global resultante da excentricidade entre a força actuante (por piso) e o centro de rigidez (no eixo de simetria)
i) Só translação (e = 0)
• Modelação (“em comboio”)
4
5
6
H
PLANTA
1
2
3
CR
e
4xPT1
H1
H3
H5
2xPT2
4H
2H
R11
2R1
1R3
1R4
1R5
RT1
2
3
4
5R2
R2
R2
2R
1R2
T2R
a) obtenção de esforços de corte entre pisos e na base, para cada grupo de pórticos tipo:
0
1
2
3
4
5PISOS CORTE
=
=⇒
basalcorte
pisodoabaixocorte1PT
1
1
T
i
R
iR
=
=⇒
basalcorte
pisoosobcorte2PT
2
2
T
i
R
iR
b) Repartição pelos pórticos de cada grupo
==→
====→
2/2PT
4/1PT243
16521
iii
iiiii
RII
RIIII • 4 pórticos “simples” (1,2,5,6) PT1
• 2 pórticos “mistos” (3,4) PT2
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ii) Correcção com efeito da torção (H.e)
• As forças obtidas para cada pórtico p abaixo do piso i (devidas só à translação) dão uma medida da rigidez desse pórtico ao nível desse piso (porque foram obtidos por imposição de iguais deslocamentos de piso).
• Podem assim ser usadas como “rigidez” para quantificar o efeito da rotação!!
piI
4
6
5
RC
3
2
1
4I
5I
3
2
1I
I
I
6I 6
5
∆I1
2
3
4
∆I
∆I
∆I
∆I
∆I
5
1d
d6
d2
d4
3d
H d
e
CRu
θ
Pd
θ
Pδ =u+θ dP
Pk ~ PI
u = TRANSLACÇÃO ROTAÇÃO = θ
• Admite-se por simplicidade, a situação em que a rigidez é uniforme em altura, e trabalha-se então ao nível da base (se não for, há que atender às variações de rigidez).
∑=p
pIH
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Só devido à rotação (θ) provocada pelo momento (H.e), i.e. para translação nula (u = 0), vem, em cada pórtico:
( ) pp
pp
ppp dIdIkI ⋅⋅=⋅=⋅=∆ θαθαδ
pp IK ~ pp d⋅+= θδ 0
pp IK ⋅=⇔ α
Por equilíbrio tem-se:
( )
( )∑
∑ ∑=
=⋅=⋅∆=⋅
pp
p
p pp
pp
p
dI
dIdIeH
2
2
θα
θα ( ) ( )∑
⋅=∴
pp
pdIeH
2θα
donde:
pp
pp
pp dI
dIeHI ⋅⋅⋅=∆
∑ 2
A força total em cada pórtico vem então
pp
pp
ppppp dI
dIeHIIIF ⋅⋅⋅+=∆+=
∑ 2
⋅
+×=⇔∑∑
p
pp
pp
p
pp ddI
IeIF 21
∑=p
pIHou seja, atendendo a que
Designando por
( )∑∑
⋅
+=
pp
pp
pp
p
dI
Ide
21ξ
o factor de agravamento devido à excentricidade das forças horizontais, e sendo uniforme a rigidez em altura, pode obter-se directamente as forças ao nível do piso i através da força global nesse piso, segundo a expressão:
p
pt
pt
ip
i NRHf ξ××=
factor de repartição para o pórtico p.
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11.2.4 Estruturas não-simétricas com solicitação qualquer (simétrica ou não)
• Associação em comboio (ligação de pórticos/paredes por bielas rígidas)
• Distribuição de forças e esforços proporcional à rigidez dos pórticos
• Determinação da posição do centro de rigidez
• Correcção de efeitos devido à torção global resultante da excentricidade entre a força actuante (por piso) e o centro de rigidez
i) Só translação (e = 0)
0
H
x
4
5
3
PLANTA
1
2
PT1
H
PT2
PT2
PT1
PT1
x+
• Modelação (“em comboio”)
5H
4H
3H
2H
1H
3xPT1R1
T2xPT2
TR2
0
1
2
3
4
5PISOS CORTE
=→
==→32
541
2PT
1PT
ii
iii
II
III
obtenção de esforços de corte entre pisos e na base, nos pórticos tipo e repartição pelos pórticos de cada grupo como no caso das estruturas simétricas
• 3 pórticos PT1 (1,4,5)
• 2 pórticos PT2 (2,3)
==→===→
2/23/1
232
1541
iii
iiii
RIIPTRIIIPT
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 100
ii) Obtenção da posição do centro de rigidez
• Com base nas forças que são uma medida da rigidez do pórtico psob o piso i.
• O centro de rigidez encontra-se na linha de acção da resultante dessas forças.
piI
4
I
(+)d
PT15
PT1
PT2
PT2
PT1
0
2
1
3
RC
+x
4
x5
x4
x3
1x
2x
Cx
I 5
4I
I 3
I 2
I1
R
∑∑ ⋅=⋅p
pp
p
pC xIIx
R
∑∑ ⋅
=
p
pp
pp
C I
xIx
R
iii) Correcção com efeito de torção
Redefinição prévia de coordenadas, agora em relação ao centro de rigidez:
RCpp xxd −=• De cada pórtico
• Dos pontos de aplicação das forças totais (H):(excentricidade)
RCH xxe −=
p/ piso
Aplicação directa da expressão já atrás obtida:
⋅
⋅+×=∑∑
p
pp
pp
p
pp ddI
IeIF 21 força de corte sob o piso i
ou da sua equivalente para as forças ao nível do piso.pif
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11.3 ANÁLISE SÍSMICA PLANA DE ESTRUTURAS PÓRTICO / PAREDE
Baseada no Método de Rayleigh
11.3.1 Estruturas simétricas (em termos de rigidez e massa)
i) Modelação “em comboio” e cálculo para a totalidade das cargas gravíticas Gi em cada piso. Obtém-se os deslocamentos de piso di.
ii) Cálculo da frequência e das acelerações espectrais regulamentares
),(max21
2 III aaaii
ii SSSdGdG
gf =→=∑∑
π ... ASR
iia
i dGg
wSfη2
2
=iii) Determinação das forças sísmicas
iv) Cálculo da associação de pórticos para as forças sísmicas fi :
- os esforços obtidos são os devidos à acção sísmica e
- os deslocamentos devem ser multiplicados por η.
v) Os esforços e deslocamentos finais obtêm-se multiplicando os anteriores pelo factor correctivo de torção
(válido se a rigidez for uniformemente distribuída em planta)a
x6.01+=ξ
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11.3.2 Estruturas não-simétricas (em termos de rigidez e/ou massa)
1ª Fase: Como nas estruturas simétricas – só translação
i) Modelação “em comboio” e cálculo para a totalidade das cargas gravíticas Gi em cada piso. Obtém-se os deslocamentos de piso di.
ii) Cálculo da frequência (estando-se a desprezar o efeito de torção na determinação da frequência) e da aceleração espectral regulamentar Sa .
iii) Determinação das forças sísmicas globais fi
iv) Cálculo da associação de pórticos para as forças sísmicas globais fi
2ª Fase: Correcção com o efeito de torção
v) Cálculo da rigidez relativa dos pórticos e do centro de rigidez, com base nos resultados da análise para as forças sísmicas globais fi
vi) Correcção da excentricidade relativa ao centro de rigidez com asexcentricidades definidas no Art.º 32.2 do RSA
aeabe
i
ii
05.005.05.0
2
1
=+=
a
bi
CRie2i 1ie
Cgi
iFiCRG bxxii=−=
p
pp
pp
p
ddI
Ie
∑∑⋅
+ 2.1v) Agravamentos das forças nos pórticos pelo factor
sendo conforme o que for mais gravoso para o elemento considerado, mas considerando em todos os pisos simultaneamente.
iGiG exeexeii 21 ou −=+=
ii ee 21 ou
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11.4 ANÁLISE TRIDIMENSIONAL DE EDIFÍCIOS
- MODELO DE 3 GRAUS DE LIBERDADE POR PISO
vi
ui
iθ
yz
x
RIGIDEZ INFINITA NO PLANO
3 graus de liberdade / piso
11.4.1 ANÁLISE ESTÁTICA.
DESLOCAMENTOS, FORÇAS E EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
iuiv
iθ
− Deslocamento do andar i na direcção x
− Deslocamento do andar i na direcção y
− Rotação do andar i
[ ]nnnT vuvuvua θθθ ...222111~
=
[ ]nynxnyxyxT MFFMFFMFFF ...222111~
=
~K ( )nn 33 ו Matriz de rigidez
~~~FaK =
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 104
11.4.1.1 Matriz de Rigidez e Vector Solicitação Global
A matriz de rigidez da estrutura global é devida:
- aos pórticos e paredes que só têm rigidez no seu plano e
- às caixas de escadas, que têm rigidez nos 2 planos e rigidez à torção
i) Contribuição da rigidez dos pórticos e paredes nos seus planos
A matriz de rigidez pode ser obtida:~ pK
d iQ i − Pela via Directa (impondo deslocamentos unitários num dos andares e zero nos outros)
− Através da matriz de flexibilidade
(impondo forças unitárias sucessivamente em cada andar).
~~~QdK p =
Uma força f na direcção do pórtico é equivalente a:
na direcção xαcosfy
xα
ρ0
f. ρ
f sen α
f
f cos α
na direcção yαsenf
momento em relação a Oρf
e corresponde ao sub-vector:
321
~
sen
cos
t
f
⋅
ρ
α
αOXY é o referencial global da estrutura.
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 105
Também ao nível dos deslocamentos se tem:
iiii vud θραα ++= sencosy
xα
θi
ui
iv
di
[ ]iiiT
ivua θ=
~
~~ iT
i atd =
~~
~~~
aT
QdK
T
p
↑
=
⋅⋅ ~~ TT
~~~~~~QTaTKT T
p =
~~~aTd T=
=
~
~2
~1
~
ma
a
a
aM
~~~ pGp FaK =
Contribuição da rigidez do pórtico p para a matriz de rigidez global
Contribuição da solicitação no pórtico p para a solicitação global.
=
~~
~
~~
0
0
T
T
T
T
t
t
t
T
e definindo o seguinte sub-vector:
vem
Ou seja, em termos dos vectores relativos a todos os pisos
Pelo que a relação de rigidez local se pode transformar do seguinte modo
}com
⇔
Relativamente à rigidez de translação, as paredes dos núcleos de caixa de escadas e/ou elevadores também podem (geralmente, devem) entrar deste modo, especialmente quando se encontram ligadas a outros elementos verticais através de vigas com rigidez à flexão significativa.
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 106
ii) Contribuição da rigidez à torção dos núcleos
Se forem núcleos abertos, essa rigidez é praticamente desprezável.
Se forem fechados ou ligados por padieiras com rigidez elevada pode usar-se a teoria de Sain-Venant para estimar a rigidez de torção
( )vEGGIM tt +== 12//θ
Procura-se substituir a zona das aberturas por uma parede mais delgada devidamente calibrada para ter uma espessura que garanta ao conjunto uma rigidez equivalente à do núcleo com as aberturas.
s
++⋅
=
cN
N
GAl
IIhIl
EIlhG
ls
22
12
2A espessura da parede fictícia pode ser estimada por
− Vão da viga padieiral
− Distância entre meios pisos vizinhosh
− Área reduzida de corte da viga padieiracA
− Momento de inércia da parcela da parede vertical do núcleo que está ligada à padieira.
NI
o que permite calcular o momento de inércia de torção It e a respectiva rigidez de torção GIt.
Estes termos de rigidez de torção são adicionados aos termos da diagonal principal da matriz global correspondentes a cada piso da estrutura.
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 107
11.4.1.2 Resposta Global e Repartição pelos Elementos Estruturais
~~~FaK =
permite obter os deslocamentos globais que, depois, ao nível de cada piso permitem calcular os locais de cada pórtico ou parede dados por
~a
A resolução do sistema de equações global
As forças que provocam os deslocamentos nos pórticos são:
~~ iT
i atd =
~d
~~~dKQ p ⋅=
que aplicadas no pórtico inicial permite a sua resolução em conjunto com outras acções.
11.4.2 ANÁLISE DINÂMICA
11.4.2.1 Matriz de massa
Ao nível de cada piso
x
y
0
G
−
−=
pGG
G
G
i
Imxmymxmmym
M 00
As várias sub-matrizes de cada piso são espalhadas na matriz de massa global ao longo da diagonal principal de blocos de 3x3.
11.4.2.2 Determinação de frequências, modos de vibração, etc.
Da forma habitual usando a matriz de rigidez e massa com 3g.l./piso.
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 108
11.4.2.3 Factores de participação modal
Para cada modo de vibração gnYgynXg
xnnnnnnn LuLuLywywy θξ θ &&&&&&&&& ++=++ 22
[ ]~~~~~
/....001001 nTn
TTn
xn MML φφφ=
[ ]~~~~~
/....010010 nTn
TTn
yn MML φφφ=
[ ]~~~~~
/....100100 nTn
TTnn MML φφφθ =
11.4.2.4 Espectros de resposta
Máxima coordenada modal n relativa à direcção de vibração j ( j= x,y,θ):
jn
jdnj LSy
n⋅= 222 ;; nadn
Ya
Ydn
Xa
Xd wSSwSSwSS
nnnnnn
θθ ===
deslocamento espectral para o modo n e devido à direcção j
( )∑∑ ⋅⋅=n j
jn
jdini LSQQ
n
2
max
Recorrendo à combinação quadrática simples (CQS), a resposta máxima vem
valor da quantidade genérica Qi para a configuração do modo n
ou usando uma combinação quadrática completa (CQC)
( ) ( )∑∑∑∑ ===j
jd
jninin
j
jd
jmimim
m ninimmni nm
SLQqSLQqqqQ 22 ;;max
ρ
Valor máximo da contribuição do m-ésimomodo para a i-ésima resposta
( )( ) ( ) ( ) m
n
nmnm
nmnmmn w
wrc/rrrr
rr=
++++−
+= ;
4141
8222222
2/3
ξξξξξξξξ
ρ
− valores regulamentares de aceleração espectral (modo n)nnn aYa
Xa SSS ==
cwS
Sn
aa
n
n 22=θ − aceleração espectral de rotação (modo n)
− velocidade de propagação do movimento sísmicoc
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 109
Este processo de combinação de respostas corresponde a:
C.Q.S.DIRECÇÕES DA ACÇÃO
POR MODO
C.Q.C.CONTRIBUIÇÕES MODAIS
SEGUIDA DE:
C.Q.S.COMBINAÇÃO QUADRÁTICA SIMPLES
C.Q.C.COMBINAÇÃO QUADRÁTICA COMPLETA
Alternativamente pode-se (deve-se) usar outra sequência:
C.Q.S.CONTRIBUIÇÕES TOTAIS
POR DIRECÇÃO
SEGUIDA DE:C.Q.C.
CONTRIBUIÇÕES MODAIS POR DIRECÇÃO
ou seja, para a resposta genérica :iQ
( ) ( )∑∑= =
⋅=N
n
N
m
jninmn
jmim
ji yQyQQ
1 1max
ρ
( ) ( ) ( )222
maxmaxmaxmax θ
iYi
Xii QQQq ++=
!! SINAIS !!
Máximo por direcção da acção
θ,,YXj =
Este processo (C.Q.C. → C.Q.S.) é mais correcto:
• atende à “eventual dependência entre modos (sinais; ρmm);
• preserva a “independência” entre efeitos de direcções de acção distintas;
• … dá resultados mais realistas!!
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