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Universita degli Studi di GenovaFacolta di Ingegneria - Polo di Savona
via Cadorna 7 - 17100 SavonaTel. +39 019 264555 - Fax +39 019 264558
Analisi Matematica 1
Testi d’esame e Prove parziali
1a prova - 21 Ottobre 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2
2a prova - 25 Novembre 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 4
3a prova - 16 Dicembre 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 6
Esame - 20 Gennaio 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 8
Esame - 8 Febbraio 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 10
Esame - 24 Febbraio 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 12
Esame - 14 Giugno 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 13
Esame - 12 Luglio 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 14
Esame - 10 Settembre 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 16
1a prova - 5 Novembre 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 18
2a prova - 26 Novembre 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 20
3a prova - 17 Dicembre 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 22
Esame - 10 Gennaio 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 24
Esame - 31 Gennaio 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 26
Esame - 21 Febbraio 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 28
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2 Analisi Matematica I
ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 21 Ottobre 1998 - (1a prova parziale) 1h
a) Si consideri l’insieme
A ={
2x− 1x2 + 2
, x ∈ R}
.
- Determinare supA.- E vero che supA = maxA ?
Si osservi che 2x−1x2 +2 e definito per ogni x reale.
Per determinare l’estremo superiore di A cerchiamone i maggioranti: m e un maggiorante di A se e solose
2x− 1x2 + 2
≤ m ∀x ∈ R .
Sviluppando i calcoli si ottiene (essendo x2 + 2 sempre positivo)
mx2 − 2x+ 2m+ 1 ≥ 0
che e verificata per ogni x ∈ R se e solo se il primo coefficiente e maggiore di zero ed il discriminante e minoreod uguale a zero, ovvero {
m > 0−2m2 −m+ 1 ≤ 0
cioe {m > 0m ≤ −1 ∪ m ≥ 1
2
Pertanto m e maggiorante di A se e solo se m ≥ 12 ; ne segue che il minimo dei maggioranti, ovvero
l’estremo superiore di A e 12 .
Per quanto riguarda la seconda domanda, poiche l’equazione
2x− 1x2 + 2
=12
ha come soluzione x = 2, si ha che 12 ∈ A ovvero 1
2 e anche il massimo di A.
2) Sia f : R→ R una funzione il cui grafico e quello in figura:
Disegnare i grafici di
f1(x) = |f(x)| , f2(x) = f(|x|) , f3(x) = 2f(x) , f4(x) = f(x+ 1)
Per quanto riguarda f1 sara sufficiente ribaltare la parte negativa di f .
Analisi Matematica I 3
Per quel che riguarda f2 si osservi che, se x ≥ 0 risulta f2(x) = f(x), ed inoltre f2 e pari, per cui il suografico sara simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.
Per disegnare il grafico di f3 e sufficiente moltiplicare per 2 la scala delle ordinate.Infine, il grafico di f4 sara semplicemente la traslazione di un’unita verso sinistra del grafico di f .I quattro grafici richiesti saranno pertanto
4 Analisi Matematica I
ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 25 Novembre 1998 - (2a prova parziale) 1h
a) Si consideri la successione {an+1 = 1
12 a2n + 3
a1 = 2
- Provare che an e crescente.- Determinare il limite di an .
La successione an e crescente se e solo se an+1 ≥ an per ogni n, ovvero se e solo se
112a2n + 3 ≥ an ∀n ∈ N .
Sviluppando i calcoli cio e vero se e solo se
a2n − 12an + 36 ≥ 0 ∀n ∈ N
che risulta sempre vero, essendo il primo membro uguale ad (an − 6)2 .
Per quanto riguarda la seconda domanda, poiche lasuccessione e crescente, esistera sicuramente il limite dian ; tale limite (che coincide con l’estremo superiore) puoessere a ∈ R oppure +∞. (Dalla figura a fianco si puofacilmente desumere che il limite e reale e vale 6)
Proviamo pertanto che an e limitata superiormenteda 6, ovvero che
an ≤ 6 ∀n ∈ N
Utilizzando l’induzione si ha, per n = 1, a1 = 2 ≤ 6che e vero.
Supponendo poi an ≤ 6 proviamo che an+1 ≤ 6; latesi e vera se e solo se 1
12 a2n + 3 ≤ 6 ovvero se e solo se
a2n ≤ 36 che risulta vera per l’ipotesi (ricordando che an
e crescente e quindi maggiore di a1 = 2 > 0).Pertanto essendo an limitata, si ha lim an = a ∈ R.
Per calcolare il valore di a sara sufficiente passare al limite nella relazione di ricorrenza (ricordandoche lim an+1 = a) dalla quale si ottiene
a =112a2 + 3 ovvero a = 6 .
b) Sia f : R→ R definita da
f(x) =
−x2 + 4 , x ≤ 0x+ 4 , 0 < x ≤ 3−x+ 13 , 3 < x ≤ 61− (x− 6)2 , x > 6
- Disegnare il grafico di f .- Determinare il piu grande intervallo che contiene l’origine in cui f e invertibile, disegnare
il grafico dell’inversa g e trovare, se possibile, g(9).- Determinare una espressione esplicita di g.
Analisi Matematica I 5
Il grafico di f risulta
Si noti che f : (−∞, 6)→ (−∞, 10) e iniettiva (e non lo e su intervalli piu grandi contenenti l’origine);infatti f : (−∞, 3]→ (−∞, 7] e strettamente crescente, mentre f : (3, 6)→ (7, 10) e strettamente decrescente.
Pertanto l’intervallo richiesto e (−∞, 6).Il grafico dell’inversa g : (−∞, 10)→ (−∞, 6) e
e, poiche f(4) = 9, risulta g(9) = 4.Una espressione esplicita di g e (trovando l’inversa sui vari intervalli)
g(x) =
−√
4− x , x ≤ 4x− 4 , 4 < x ≤ 7−x+ 13 , 7 < x < 10
6 Analisi Matematica I
ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 16 Dicembre 1998 - (3a prova parziale) 1h
1) Calcolare, se esiste, al variare del parametro α ∈ R
limx→0+
arctan(αx)− 2x3 + 1− cos(2x)sin(x3)− x2 +
√αx
Intanto deve essere α ≥ 0 affinche la funzione sia definita.Consideriamo prima il caso α > 0:il numeratore e la somma di tre funzioni infinitesime:
arctanαx di ordine 1
− 2x3 di ordine 31− cos(2x) di ordine 2
mentre il denominatore e la somma di tre funzioni infinitesime:
sin(x3) di ordine 3
− x2 di ordine 2√αx di ordine 1
Pertanto
limx→0+
arctan(αx)− 2x3 + 1− cos(2x)sin(x3)− x2 +
√αx
= limx→0+
arctan(αx)√αx
= limx→0+
arctan(αx)αx
√α =√α
Se invece α = 0 allora il limite diventa
limx→0+
−2x3 + 1− cos(2x)sin(x3)− x2
e per le considerazioni fatte sopra si ha, (tenendo come sempre gli ordini inferiori)
limx→0+
−2x3 + 1− cos(2x)sin(x3)− x2 = lim
x→0+
1− cos(2x)−x2 = lim
x→0+−4
1− cos(2x)(2x)2 = −4
12
= −2
2) Si consideri, al variare di a, b ∈ R, la funzione
f(x) ={
ln(1 + x− x2) x ≤ 0−3x2 + (2a− b+ 3)x− (a+ b− 2) x > 0
a) Determinare a e b in modo che f risulti continua sul suo dominio.b) Determinare a e b in modo che f risulti derivabile sul suo dominio.c) Per i valori di a e b per i quali f e derivabile, disegnare il grafico di f .
Per quel che riguarda il dominio di f dovra essere, per x ≤ 0, 1 + x− x2 > 0 ovvero x ∈ ( 1−√
52 , 0].
Essendo formata a tratti da funzioni continue, f risulta quindi continua in ( 1−√
52 , 0) ed in (0,+∞).
Resta da verificare la continuita in 0. Poiche
limx→0−
ln(1 + x− x2) = 0
limx→0+
−3x2 + (2a− b+ 3)x− (a+ b− 2) = 2− a− b
Analisi Matematica I 7
dovra risultare 0 = 2− a− b ovveroa+ b = 2 .
Per quanto riguarda la derivabilita, ancora come sopra f risulta derivabile (in quanto formata da funzioniderivabili) in ( 1−
√5
2 , 0) ed in (0,+∞).Nell’origine si ha
limx→0−
f ′(x) = limx→0−
1− 2x1 + x− x2 = 1
limx→0+
f ′(x) = limx→0+
−6x+ (2a− b+ 3) = (2a− b+ 3)
Dovra quindi risultare 2a− b+ 3 = 1, che unita alla condizione di continuita sopra trovata, fornisce
a = 0 , b = 2 .
Disegnamo ora (nel caso a = 0 e b = 2) il grafico di
f(x) ={
ln(1 + x− x2) 1−√
52 < x ≤ 0
−3x2 + x x > 0
Si halim
x→ 1−√
52
f(x) = limx→ 1−
√5
2
ln(1 + x− x2) = −∞
limx→+∞
f(x) = limx→+∞
−3x2 + x = −∞
Intersezioni con gli assi: per x = 0, f(0)=0; inoltre per x ≤ 0, ln(1 + x− x2) = 0 fornisce 1 + x− x2 = 1ovvero x = 0 (e x = 1 non accettabile); infine, per x > 0, −3x2 + x = 0 fornisce x = 1
3 (e x = 0).Crescenza e decrescenza: essendo
f ′(x) ={
1−2x1+x−x2
1−√
52 < x ≤ 0
−6x+ 1 x > 0
dallo studio di f ′(x) ≥ 0, si ha, per x ≤ 0, 1−2x1+x−x2 ≥ 0, e ricordando che il denominatore e sempre positivo,
risulta x ≤ 12 , ovvero sempre verificato (essendo x ≤ 0); infine, per x > 0, si ha −6x+ 1 ≥ 0 ovvero x ≤ 1
6 .In conclusione f risulta crescente in ( 1−
√5
2 , 16 ] (il suo massimo si ha per x = 1
6 e vale 112 ) e quindi il
grafico e:
8 Analisi Matematica I
ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 20 Gennaio 1999 1h
• Si consideri la funzionef(x) =
1e(x−1) 2 − 4
.
a) Disegnare il grafico di f .
f risulta definita per e(x−1) 2 − 4 6= 0, ovvero per x 6= 1±√
ln 4.Si ha f(0) = 1
e−4 mentre f non si annulla mai.Inoltre
f(x) > 0 se e solo se x ∈ (−∞, 1− 1−√
ln 4) ∪ (1 +√
ln 4,+∞)
elim
x→ (1−√
ln 4)−f(x) = +∞ , lim
x→ (1−√
ln 4)+f(x) = −∞
limx→ (1+
√ln 4)−
f(x) = −∞ , limx→ (1+
√ln 4)+
f(x) = +∞
limx→−∞
f(x) = 0 , limx→+∞
f(x) = 0
Calcolando la derivata prima
f ′(x) = − 1(e(x−1) 2 − 4)2 2(x− 1)e(x−1) 2
essa risulta positiva per x < 1, x 6= 1−√
ln 4 ; pertan-to f sara crescente in (−∞, 1−
√ln 4)∪(1−
√ln 4, 1).
Il grafico di f risultera pertanto:
(Si poteva piu semplicemente disegnare la fun-zione pari ex
2, quindi traslarla a sinistra di 1 ed in
basso di 4, e infine disegnarne la reciproca).
b) Calcolare, se esiste, l’equazione della retta tangente al grafico di f , per x = 0.
f e derivabile in 0 e quindi l’equazione della retta richiesta e
y = f(0) + f ′(0)x =1
e− 4+
2e(e− 4)2 x
c) Determinare, se esiste, l’inversa di f su [0, 1].
Poiche si e gia visto che f risulta strettamente crescente in [0, 1], allora f : [0, 1]→ [ 1e−4 ,−
13 ] e invertibile
e risolvendo x = f(f−1(x)) = 1e( f − 1 (x )− 1) 2 −4
si ottiene
f−1(x) = 1−
√ln(
4 +1x
)x ∈
[1
e− 4,−1
3
]ove si e scelto il segno negativo della radice perche f−1(x) ∈ [0, 1].
Analisi Matematica I 9
• Si consideri la successione {an+1 = 2an − 1a1 = 3
a) Verificare che, per ogni n naturale, an = 1 + 2n .
Per n = 1 si ha a1 = 1 + 21 = 3, che risulta vero.Supponendo ora an = 1 + 2n , si ottiene
an+1 = 2(1 + 2n )− 1 = 1 + 2n+1
e quindi il risultato e provato per induzione.
b) Calcolare, se esiste, l’ordine di infinito di ln an .
Per quanto visto sopra
ln an = ln(1 + 2n ) = ln[2n (1 + 2−n ] = ln(2n ) + ln(1 + 2−n ) = n ln 2 + ln(1 + 2−n )
Poiche ln(1 + 2−n )→ 0, la parte che e infinita risulta n ln 2, che ha ordine 1.(In altre parole ln(1 + 2n ) si comporta all’infinito come ln(2n ) = n ln 2).
10 Analisi Matematica I
ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 8 Febbraio 1999 1h
• Si consideri la funzione
f(x) ={ax2 + x+ b , se x ≥ 0ex + c , se x < 0
a) Determinare a, b, c ∈ R in modo che f sia continua su R.
f risulta sicuramente continua per x 6= 0. Inoltre
limx→0−
f(x) = limx→0−
ex + c = c+ 1 , limx→0+
f(x) = limx→0+
ax2 + x+ b = b = f(0)
per cui f sara continua su tutto R se e solo se b = c+ 1.
b) Determinare a, b, c ∈ R in modo che f sia derivabile su R.
f risulta sicuramente derivabile per x 6= 0 e vale
f ′(x) ={
2ax+ 1 , se x > 0ex , se x < 0
Supponiamo ora, come visto al punto precedente, che sia b = c + 1, e studiamo la derivabilita in x = 0.Poiche i limiti delle derivate esistono e valgono
limx→0−
f ′(x) = limx→0−
ex = 1 , limx→0+
f ′(x) = limx→0+
2ax+ 1 = 1
allora f ′(0) = 1 e f e derivabile su tutto R se e solo se b = c+ 1.
• Si consideri la funzioneg(x) =
1ln(1 + x2)− 1
a) Disegnare il grafico di g.
g risulta definita per ln(1 + x2)− 1 6= 0, ovvero per x 6= ±√
e− 1.Si ha g(0) = −1 mentre g non si annulla mai.Inoltre
g(x) > 0 se e solo se ln(1 + x2) > 1
ovvero1 + x2 > e se e solo se x ∈ (−∞,−
√e− 1) ∪ (
√e− 1,+∞)
elim
x→ (−√
e−1)−g(x) = +∞ , lim
x→ (−√
e−1)+g(x) = −∞
limx→ (
√e−1)−
g(x) = −∞ , limx→ (
√e−1)+
g(x) = +∞
limx→−∞
g(x) = 0 , limx→+∞
g(x) = 0
Calcolando la derivata prima
g′(x) = − 1(ln(1 + x2)− 1)2
11 + x2 2x
Analisi Matematica I 11
essa risulta positiva per x < 0, x 6= −√
e− 1 ; pertan-to g sara crescente in (−∞,−
√e− 1)∪(−
√e− 1, 0).
Il grafico di g risultera pertanto:
(Si poteva piu semplicemente disegnare la fun-zione pari ln(1 + x2), quindi traslarla in basso di 1,e infine disegnarne la reciproca).
b) Calcolare, se esiste, l’equazione della retta tangente al grafico di g, per x = 1.
g e derivabile in 1 e quindi l’equazione della retta richiesta e
y = g(1) + g′(1)(x− 1) =1
ln 2− 1− 1
ln 2− 1(x− 1)
c) Determinare, se esiste, l’inversa di g su [−1, 0].
Si e gia visto che g risulta strettamente crescente in [−1, 0], allora g : [−1, 0]→ [ 1ln 2−1 ,−1] e invertibile
e risolvendo x = g(g−1(x)) = 1ln(1+( g− 1 (x)) 2−1 si ottiene
g−1(x) = −√
e1+ 1x − 1 x ∈
[1
ln 2− 1,−1
]ove si e scelto il segno negativo della radice perche g−1(x) ∈ [−1, 0].
12 Analisi Matematica I
ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 24 Febbraio 1999 1h
• Si consideri la successione definita da{an+1 = a2
n − an + 1a1 = 2
a) Stabilire se an e crescente.
an e crescente se e solo se an+1 ≥ an per ogni n ∈ N, ovvero se e solo se
a2n − an + 1 ≥ an ⇔ (an − 1)2 ≥ 0
che e vero per ogni n ∈ N.Pertanto an e crescente.
b) Calcolare, se esistono, lim an , inf{an}, sup{an}, min{an}, max{an}.Poiche an e crescente esiste il lim an = sup{an} e tale limite puo essere o +∞ o reale (= a).Se e reale, passando al limite nella definizione di an , si ha
a = a2 − a+ 1 ovvero a = 1
che e impossibile perche a1 = 2 e an e crescente.Pertanto lim an = +∞; da cui sup{an} = +∞ e non esiste max{an}.Inoltre, sempre per la crescenza di an , inf{an} = min{an} = a1 = 2.
• Si consideri la funzionef(x) = 2− 3x+ 2 ln(x+ 1)
a) Disegnare il grafico di f .
f e definita per x+ 1 > 0 ovvero x > −1. Inoltre f(0) = 2 e
limx→− 1
2− 3x+ 2 ln(x+ 1) = −∞ , limx→+∞
2− 3x+ 2 ln(x+ 1) = −∞
Calcolando la derivata prima si ha
f ′(x) = −3 +2
x+ 1
che e positiva (essendo x > −1), per −1 < x < − 13 .
f risulta pertanto crescente in (−1,− 13 ] e decre-
scente in [− 13 ,+∞) e il suo grafico e:
b) Determinare il piu grande intervallo contenente 0 in cui f e invertibile.
Si e gia visto che f e strettamente decrescente in [− 13 ,+∞) e quindi e ivi invertibile (e non su intervalli
piu grandi).
c) Calcolare, se esiste, (f−1)′(2).
Poiche f(0) = 2 ed f ′(0) = −1 si avra, per il teorema di derivazione della funzione inversa
(f−1)′(2) =1
f ′(0)= −1
Analisi Matematica I 13
ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 14 Giugno 1999 1h
• Si consideri la successione definita da{an+1 = 6− an
2a1 = 3
2
a) Verificare che an = 2 + (−1)n
2n
E possibile verificare quanto richiesto per induzione: infatti si ha a1 = 2− 12 = 3
2 e
an+1 =6− an
2=
6− 2− (−1)n
2n
2= 2− (−1)n
2n+1 = 2 +(−1)n+1
2n+1
b) Calcolare lim an
Risulta lim an = 2 (poiche (−1)n
2n → 0).
• Si consideri la funzione definita da
f(x) = x+ arctan(x+ 1) + arctan1
x+ 1
c) Disegnare il grafico di f ′.
f e definita per x 6= −1 e si ha, essendo composta difunzioni derivabili,
f ′(x) = 1 +1
1 + (x+ 1)2 −1
(x+ 1)2
11 + 1
(x+1) 2
= 1
d) Disegnare il grafico di f .
Per quanto visto sopra risultera
f(x) ={x+ a , se x < −1x+ b , se x > −1
Poiche si ha f(−2) = −2 + arctan(−1) + arctan(−1) = −2− π2
e f(0) = arctan(1) + arctan(1) = π2 avremo che
f(x) ={x− π
2 , se x < −1x+ π
2 , se x > −1
e) Determinare, se esiste, l’inversa di f .
Essendo f : (−∞,−1)∪(−1,+∞)→ (−∞,−1− π2 )∪(−1+ π
2 ,+∞) strettamente monotona, essa risultainvertibile e si ha
f−1(x) ={x+ π
2 , se x < −1− π2
x− π2 , se x > −1 + π
2
14 Analisi Matematica I
ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 12 luglio 1999 1h
• Si consideri la funzione definita da
f(x) = x3 + x
a) Verificare che f e invertibile su R
Poiche f e la somma di due funzioni strettamente crescenti (x3 ed x) risultera strettamente crescente,e quindi invertibile, su tutto il suo dominio, che e R.
b) Detta g l’inversa di f su R, calcolare, se esiste g′(2)
Poiche f e derivabile su R, 2 = f(1) e f ′(1) = 4, per il teorema di derivazione della funzione inversa, siha
g′(2) =1
f ′(1)=
14
c) Calcolare l’ordine di infinitesimo di g(x)− g(2) in x = 2
La funzione considerata si annulla per x = 2 ed inoltre la sua derivata prima vale g ′(2) = 14 6= 0, per
cui l’ordine di infinitesimo e 1 (ordine della prima derivata non nulla).
• Si consideri la funzione h il cui grafico e
d) Disegnare il grafico di k(x) = h(x2 + 1).
Il grafico cercato si ottiene, prima traslando a sinistra di una unita il grafico di h, ottenendo in tal modoil grafico di h(x+ 1), e quindi disegnando, per x > 0 un grafico analogo a quello di h (essendo x2 crescenteper x > 0), e facendo poi il simmetrico rispetto all’asse delle ordinate, essendo la funzione k una funzionepari.
Si noti che k(0) = h(1) = 0 e che l’asintoto verticale per x > 0, si ha per x2 + 1 = 3, ovvero per x =√
2.Inoltre, nell’origine, k deve essere derivabile e quindi non vi puo essere una ‘punta’ nel grafico.
Analisi Matematica I 15
e) Disegnare il grafico di k′.
Essendo k una funzione pari, k′ sara una funzione dispari.E quindi sufficiente disegnarla per x > 0 (essendo poi il grafico simmetrico rispetto all’origine).Si ha k′(0) = 0 e k′(x) < 0 per ogni x > 0, x 6=
√2. Inoltre limx→
√2 k′(x) = −∞ e limx→+∞ k′(x) = 0.
Infine, essendo k convessa per x >√
2 risultera k′ crescente per x >√
2 (e decrescente per 0 < x <√
2).In definitiva il grafico richiesto e
16 Analisi Matematica I
ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 10 settembre 1999 1h
• Si consideri la successione
an =n2 + 3n2 + 1
a) Verificare che an e decrescente.
an e decrescente se e solo se an+1 ≤ an per ogni n, ovvero
(n+ 1)2 + 3(n+ 1)2 + 1
≤ n2 + 3n2 + 1
e sviluppando i calcoli, ne segue 4n+ 2 ≥ 0, che e sempre vero per ogni n naturale.Piu rapidamente si poteva notare che
an =n2 + 1 + 2n2 + 1
= 1 +2
n2 + 1
che risulta decrescente.
b) Determinare, se esistono, il massimo, il minimo, l’estremo superiore e l’estremo inferioredella successione data.
Essendo an decrescente si ha
max{an} = sup{an} = a1 = 2 , inf{an} = lim an = 1
mentre non esiste il minimo, non essendo alcun termine della successione uguale a 1.
• Si consideri la funzione f : R→ R, il cui grafico e:
c) Disegnare il grafico di f(1− x)
Il grafico richiesto si ottiene traslando a sinistra di 1 e quindi ribaltando orizzontalmente il grafico di f .
Analisi Matematica I 17
d) Disegnare il grafico di f ′(x)
La funzione f e decrescente (e quindi f ′ e negativa per x < 0 e per a < x < b, ove si sono indicati cona e b i punti di massimo e di minimo relativo di f per x > 0.
Inoltre limx→ infty f′(x) = 0 poiche la perdenza tende a diventare nulla.
Infine, sempre dall’esame del grafico di f , si ha limx→0− f′(x) ≈ −1 e limx→0+ f ′(x) ≈ 2.
Si noti che non sono richieste considerazioni sulla derivata seconda di f ; in ogni caso si avrebbe f ′
crescente (cioe f convessa) per x maggiore del punto di flesso vicino ad 1.Un grafico ragionevole sara pertanto
e) Disegnare il grafico di g(|x|), dove g e l’inversa di f su [3,+∞).
Per x > 0, sara sufficiente considerare la parte di grafico di f con x ≥ 3 e disegnarne il simmetricorispetto alla bisettrice del 1o e 3o quadrante; essendo poi g(|x|) una funzione pari, ci sara anche il ramosimmetrico rispetto all’asse delle ordinate.
18 Analisi Matematica I
ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 5 Novembre 1999 - (1a prova parziale) 1h
a) Provare che, per ogni n naturale,
n∑k=0
3k =3n+1 − 1
2
E possibile provare cio per induzione: per n = 1 si ha
1∑k=0
3k = 30 + 31 = 1 + 3 = 4 =32 − 1
2
e quindi la formula risulta vera.Supponiamo ora che
∑nk=0 3k = 3n +1 −1
2 e proviamo che∑n+1
k=0 3k = 3n +2 −12 ; si ha
n+1∑k=0
3k =n∑
k=0
3k + 3n+1 =3n+1 − 1
2+ 3n+1 =
3n+1 − 1 + 2 3n+1
2=
3n+2 − 12
e quindi la formula e valida per ogni naturale.
• Si consideri la funzionef(x) =
1x2 − 2x+ 2
b) Determinare l’estremo superiore di f .
Osserviamo intanto che x2 − 2x+ 2 non si annulla mai.Determiniamo quindi l’insieme dei maggioranti, ovvero degli m ∈ R tali che
1x2 − 2x+ 2
≤ m ∀x ∈ R
Risolvendo la disequazione (ricordando che il denominatore della frazione e sempre positivo) si ottiene
mx2 − 2mx+ 2m− 1 ≥ 0
Tale disequazione sara verificata per ogni x reale se e solo se m e positivo ed il discriminante e negativo onullo, ovvero se e solo se {
m > 0m−m2 ≤ 0 ⇔
{m > 0m ≤ 0 oppure m ≥ 1
che fornisce come soluzione m ≥ 1.Pertanto l’estremo superiore (minimo dei maggioranti) e 1.
c) Disegnare il grafico di f .
Il grafico di x2 − 2x+ 2 e una parabola di vertice (1,1) con la concavita rivolta verso l’alto.Da tale grafico e immediato dedurre quello di f (reciproco del precedente).
Analisi Matematica I 19
d) Verificare che f e invertibile su (−∞, 0).
f e sicuramente invertibile su (−∞, 0) essendo ivi strettamente crescente (lo si deduce dal grafico, o dalfatto che e la reciproca di una funzione strettamente decrescente e positiva).
e) Determinare l’inversa di f su (−∞, 0).
Poiche f : (−∞, 0)→ (0, 12 ), si avra f−1 : (0, 1
2 )→ (−∞, 0) ed essendo
y =1
x2 − 2x+ 2⇔ x = 1±
√1y− 1
si ricava facilmente l’espressione dell’inversa (ricordando che il rango di f−1 e (−∞, 0) )
f−1(x) = 1−√
1x− 1
• Dato il grafico della funzione g : R→ R
f) Disegnare il grafico di g(x+ 3) , |g(x)| e g(|x|).
Il grafico di g(x + 3) si ottiene traslando a sinistra di 3 unita quello di g; il grafico di |g(x)| si ottieneribaltando in alto la parte negativa del grafico di g; il grafico di g(|x|) si ottiene ribaltando a sinistra la partedel grafico di g avente ascissa positiva:
20 Analisi Matematica I
ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 26 Novembre 1999 - (2a prova parziale) 1h
• Si consideri la successione definita da{an+1 = an
1 + ana1 = 5
a) Provare che, per ogni n naturale, si ha an > 0.
Per n = 1 si ha a1 = 5 > 0. Supponendo poi an > 0 si ha
an+1 =an
1 + an> 0
(essendo positivi sia il numeratore che il denominatore).Pertanto quanto richiesto e provato per induzione.
b) Provare che an e decrescente.
an e decrescente se e solo se an+1 ≤ an , ∀n, se e solo se
an1 + an
≤ an , ∀n
se e solo se (essendo 1 + an > 0)
an ≤ an + a2n ovvero 0 ≤ a2
n ∀n
che e banalmente vero.
c) Determinare, se esiste, il lim an .
Essendo an decrescente, esiste sicuramente lim an = a ∈ R (essendo a = inf{an} si ha che a ∈ R oppurea = −∞, ma il secondo caso e impossibile poiche an e sempre positiva).
Pertanto, passando al limite nella relazione di ricorrenza, si ottiene
a =a
1 + ada cui a = 0 .
d) Calcolare, se esistono, i seguenti limiti
limn
3 + n2
1 + n+ n2 , limx→0
x(1− cos(2x))(sin(3x))3 , lim
x→1
x3 − 2x+ 1x2 + 2x− 3
.
Tutti e tre i limiti risultano forme indeterminate ∞∞ o 00 . Si ha
limn
3 + n2
1 + n+ n2 = limn
3n2 + 1
1n2 + 1
n + 1= 1
limx→0
x(1− cos(2x))(sin(3x))3 = lim
x→0x (2x)2 1
(3x)3
(1− cos(2x))(2x)2
(3x)3
(sin(3x))3 =427
12
=227
limx→1
x3 − 2x+ 1x2 + 2x− 3
= limx→1
(x− 1)(x2 + x− 1)(x− 1)(x+ 3)
= limx→1
x2 + x− 1x+ 3
=14
Analisi Matematica I 21
e) Verificare, utilizzando la definizione di limite, che
limx→+∞
x
x+ 1= 1
Si tratta di verificare che
∀ε > 0 ∃δε > 0 : x ∈ Io(+∞, δε) ⇒x
x+ 1∈ I(1, ε)
ovvero
∀ε > 0 ∃δε > 0 : x > δε ⇒∣∣∣∣ x
x+ 1− 1∣∣∣∣ < ε
Si ha ∣∣∣∣ x
x+ 1− 1∣∣∣∣ =
1|x+ 1|
< ε se e solo se |x+ 1| > 1ε
ovvero se x > 1ε − 1 e la tesi, scegliendo (se ε < 1), δε = 1
ε − 1.
22 Analisi Matematica I
ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 17 Dicembre 1999 - (3a prova parziale) 1h
• Determinare, al variare di α ∈ R, α ≥ 0
limx→0+
1− cos(3x) + 2x2 sin(2x)x3 cos(x) + ln(1 + αx2)
Si tratta di una forma indeterminata 00 ; esaminando gli ordini di infinitesimo, si ha
1− cos(3x) e infinitesima di ordine 2
2x2 sin(2x) e infinitesima di ordine 3
x3 cos(x) e infinitesima di ordine 3
ln(1 + αx2) e infinitesima di ordine 2 se α > 0
Pertanto, se α > 0, il limite richiesto e uguale a
limx→0+
1− cos(3x)ln(1 + αx2)
= limx→0+
1− cos(3x)(3x)2
αx2
ln(1 + αx2)(3x)2
αx2 =12
19α
=9
2α.
Se invece α = 0, sempre per le considerazioni fatte sugli ordini, il limite risulta +∞, essendo il numeratoredi ordine inferiore al denominatore.
• Si consideri la funzione definita da
f(x) =
{a+ arctan(2x) , se x < 0b
x+ 1 , se x ≥ 0
a) Stabilire per quali a, b ∈ R f risulta continua su R.
f e sicuramente continua per x 6= 0, essendo formata da composte di funzioni continue. Per quel cheriguarda x = 0, si ha limx→0− a+ arctan(2x) = a e limx→0+
bx+1 = b = f(0) per cui f sara continua su R
se e solo sea = b
b) Stabilire per quali a, b ∈ R f risulta derivabile su R.
f e sicuramente derivabile per x 6= 0, essendo formata da composte di funzioni derivabili e
f ′(x) =
2
1+4 x2 , se x < 0
− b(x+ 1)2 , se x > 0
Per quel che riguarda x = 0, si ha limx→0−2
1+4 x2 = 2 e limx→0+−b
(x+1) 2 = −b per cui f sara derivabile suR se e solo se
a = b = −2
c) Per i valori di a e b per i quali f risulta derivabile in R disegnarne il grafico.
Si tratta di disegnare il grafico di
f(x) =
{−2 + arctan(2x) , se x < 0− 2x+ 1 , se x ≥ 0
Analisi Matematica I 23
d) Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f in x = 0.
Essendo f(0) = −2 e f ′(0) = 2, l’equazione della retta tangente risulta
y = f(0) + f ′(0)(x− 0) = −2 + 2x
e) Detta f−1 l’inversa di f , determinare (f−1)′(1).
Si noti che f risulta invertibile su tutto R essendo strettamente crescente; inoltre, essendo f(0) = −2,si ha
(f−1)′(−2) =1
f ′(0)=
12
24 Analisi Matematica I
ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 10 Gennaio 2000 - 1h
• Si consideri la successione definita da{an+1 = 2an − 1a1 = 7
a) Determinare α, β ∈ R tali che, per ogni n, si abbia an = β αn + 1.
Se an = β αn + 1 si ha, sostituendo nell’equazione che definisce la successione
β αn+1 + 1 = 2β αn + 2− 1
da cui, semplificando e dividendo per βαn (βα 6= 0 in quanto se fosse nullo si avrebbe an identicamente 1),
α = 2
Dalla condizione a1 = 7 si ha poi βα+ 1 = 7 ovvero 2β + 1 = 7 e quindi β = 3.
b) Determinare, se esiste, l’ordine di infinito di ln(an ).
Poiche an = 3 2n + 1 si ha ln(an ) = ln(3 2n + 1) che tende all’infinito con lo stesso ordine di ln(3 2n ) =ln 3 + n ln 2, ovvero di ordine 1.
• Si consideri la funzione definita daf(x) =
ex
x2
c) Disegnare il grafico di f , precisando dominio, limiti, continuita, derivabilita e crescenza.
La funzione risulta definita per x 6= 0 e sul suo dominio e continua e derivabile, in quanto composta dafunzioni derivabili.
Inoltre, utilizzando per il secondo limite gli ordini di infinito,
limx→−∞
ex
x2 = 0 , limx→+∞
ex
x2 = +∞ , limx→0
ex
x2 = +∞
Si ha poi, per x 6= 0,
f ′(x) = exx2 − 2xx4
da cui f risulta crescente per x2 − 2x > 0 ovvero per x < 0 oppure per x > 2.Nel punto di minimo si ha f(2) = e2
4Il grafico di f sara pertanto:
Analisi Matematica I 25
d) Scrivere, se esiste, l’equazione della retta tangente al grafico di f per x = 1.
L’equazione della retta richiesta e
y = f(1) + f ′(1)(x− 1) = e− e(x− 1) = e(2− x)
e) Determinare, al variare di k ∈ R, il numero degli zeri dell’equazione ex = kx2 .
L’equazione data e equivalente, per x 6= 0, a
k =ex
x2
(d’altra parte per x = 0 l’equazione diventa 1 = 0 per ogni k e quindi x = 0 non e mai soluzione).Dal grafico della funzione al punto c) si deduce pertanto che si avranno
nessuna soluzione per k ≤ 0una soluzione per 0 < k < e2
4
due soluzioni per k = e2
4
tre soluzioni per k > e2
4
26 Analisi Matematica I
ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 31 Gennaio 2000 - 1h
• Si consideri la successione definita da{an+1 = 3an + 4a1 = 1
a) Determinare α, β ∈ R tali che, per ogni n, si abbia an = β αn − 2.
Se an = β αn − 2 si ha, sostituendo nell’equazione che definisce la successione
β αn+1 − 2 = 3β αn − 6 + 4
da cui, semplificando e dividendo per βαn (βα 6= 0 in quanto se fosse nullo si avrebbe an identicamente -2),
α = 3
Dalla condizione a1 = 1 si ha poi βα− 2 = 1 ovvero 3β − 2 = 1 e quindi β = 1.
b) Determinare, se esiste, l’ordine di infinito di ln(an ).
Poiche an = 3n − 2 si ha ln(an ) = ln(3n − 2) che tende all’infinito con lo stesso ordine di ln(3n ) = n ln 3,ovvero di ordine 1.
• Si consideri la funzione definita daf(x) =
ex
x3
c) Disegnare il grafico di f , precisando dominio, limiti, continuita, derivabilita e crescenza.
La funzione risulta definita per x 6= 0 e sul suo dominio e continua e derivabile, in quanto composta dafunzioni derivabili.
Inoltre, utilizzando per il secondo limite gli ordini di infinito,
limx→−∞
ex
x3 = 0 , limx→+∞
ex
x3 = +∞ , limx→0−
ex
x3 = −∞ , limx→0+
ex
x3 = +∞
Si ha poi, per x 6= 0,
f ′(x) = exx3 − 3x2
x6
da cui f risulta crescente per x3 − 3x2 > 0 ovvero per x > 3.Nel punto di minimo si ha f(3) = e3
27Il grafico di f sara pertanto:
Analisi Matematica I 27
d) Scrivere, se esiste, l’equazione della retta tangente al grafico di f per x = 1.
L’equazione della retta richiesta e
y = f(1) + f ′(1)(x− 1) = e− 2e(x− 1)
e) Determinare, al variare di k ∈ R, il numero degli zeri dell’equazione ex = kx3 .
L’equazione data e equivalente, per x 6= 0, a
k =ex
x3
(d’altra parte per x = 0 l’equazione diventa 1 = 0 per ogni k e quindi x = 0 non e mai soluzione).Dal grafico della funzione al punto c) si deduce pertanto che si avranno
una soluzione per k < 0nessuna soluzione per 0 ≤ k < e3
27
una soluzione per k = e3
27
due soluzioni per k > e3
27
28 Analisi Matematica I
ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 21 Febbraio 2000 - 1h
Si consideri la successione
an =n∑i=1
12i
a) Provare che, per ogni n naturale, si ha
an = 1− 12n
Utilizzando il principio di induzione si ha, per n = 1
a1 =1∑i=1
12i
=12
= 1− 121 .
Supponendo ora vera la formula per n,
an+1 =n+1∑i=1
12i
=n∑i=1
12i
+1
2n+1 = 1− 12n
+1
2n+1 = 1− 12n+1
e quindi il risultato e provato anche per n+ 1.
b) Calcolare, se esiste, lim an +1an
.
Si ha
liman+1
an= lim
1− 12n +1
1− 12n
= 1
Si consideri la funzione definita da
f(x) =1
x2 − 2x
c) Determinare il rango di f .
Dal grafico della funzione (facilmente ottenibile da quello di x2 − 2x)
si deduce che il rango e (−∞,−1] ∪ (0,+∞).
Analisi Matematica I 29
In altro modo si possono cercare i valori di y per cui l’equazione
y =1
x2 − 2x
ha soluzioni (diverse da 0 e -2). Risolvendo si ottiene
yx2 − 2yx− 1 = 0 da cui x =y ±
√y2 + y
y
e quindi affinche esistano soluzioni deve essere y2 + y > 0, con y 6= 0, ed il risultato precedente.
d) Determinare, se esiste, l’inversa di f in (−∞, 0).
f : (−∞, 0)→ (0,+∞) e invertibile in quanto strettamente crescente.Dai calcoli del punto precedente, scegliendo quindi la soluzione negativa, si ha
f−1(y) =y −
√y2 + y
y, y > 0 .
e) Calcolare, se esistelim
x→+∞
√x2 + x−
√x2 − x
Si ha
limx→+∞
√x2 + x−
√x2 − x = lim
x→+∞
x2 + x− x2 + x√x2 + x+
√x2 − x
=
= limx→+∞
2x√x2 + x+
√x2 − x
=
= limx→+∞
2√1 + 1/x+
√1− 1/x
= 1
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