anÁlisis dinÁmico de estructuras en el dominio de la frecuencia.pdf
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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE
CAMINOS, CANALES Y PUERTOS
DEPARTAMENTO DE MECÁNICA DE MEDIOS
CONTINUOS Y TEORÍA DE ESTRUCTURAS
ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL
DOMINIO DE LA FRECUENCIA
Trabajo de Investigación Tutelado
Alejandro de Miguel Tejada
Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos
Tutor:
Pablo de la Fuente Martín
Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos
Madrid, Junio de 2011
�
Resumen La aparición de estructuras cada vez más esbeltas en el panorama de la
ingeniería civil, hace que los periodos propios de oscilación sean más largos. Este factor hace que cargas que en otra época podían considerarse estáticas, adquieran un carácter dinámico y por tanto cambien por completo la forma de analizar y calcular la estructura.
Tradicionalmente se ha abordado el cálculo dinámico, mayorando las cargas dinámicas a las que se veía sometida una estructura. A partir de aquí el método seguido para obtener la respuesta, era similar al empleado en el campo de la estática.
Diversas exigencias; crecientes en nuestros días, como el confort, conocimiento de los coeficientes de seguridad..., hacen del análisis dinámico una herramienta fundamental para abordar el problema.
Se centrará este Trabajo de Investigación, en el análisis dinámico de estructuras desde el punto de vista del dominio de la frecuencia, método que ha cobrado una gran importancia por dos motivos fundamentales:
• De un lado, está la llegada de los ordenadores, capaces de reducir los tiempo de análisis hasta límites inimaginados hace no muchos años.
• Por el otro, es el método más eficaz de análisis cuando en el sistema a analizar, existan circunstancias que hagan inabordable el problema desde otro punto de vista, como en el caso de amortiguamientos no proporcionales, o parámetros dependientes de la frecuencia excitadora.
Por último se incluye en este Trabajo de Investigación, una aplicación experimental que ayuda a entender parte de las aplicaciones de un algoritmo tan importante, en lo que a dominio de la frecuencia se refiere, la transformada de Fourier.
kc
'
'
A
0
0±A
T
fT = 1
fu
A2A
60km/h
Tf
h
f = 12⇡
q
km
�t
�⇧H = 0
� (t1, t2)
⇧H =ˆ t2
t1
(Ep � Ec)dt +ˆ t2
t1
Eddt
Ep Ec Ed
mu + cu + ku = p(t)
m
c
k
u
u
u
mu
cu
ku
p(t)
F (t)I + F (t)D + F (t)K = p(t)
m c k
{M}u + {C}u + {K}u = p(t)
u u u
t
p(x, t)
m@2u
@t2+
@2
@x2(EI
@2u
@x2) = p(x, t)
u
@2
@x2(EI
@2v
@x2+ c I
@3v
@t@x2) + m
@2v
@t2+ c
@v
@t= p(x, t)
u(y, t) i(y) �i(t)
u(y, t) =1X
i=1
i(y)�i(t)
i(y)
�i(t)
F (t)I + F (t)D + F (t)K = {p(t)}
{u}{a}i Yi(t)
{u} = [a] {Y }i
[a]{u}
M {u} + C {u} + K {u} = {p(t)}
Yi + 2Di!iYi + !2i Yi =
Pi(t)Mi
Pi(t) = {a}Ti {p(t)}
Mi {a}Ti M {a}i
!i
Di
{u} = {a}1 Y1 + {a}2 Y2 + ... + {a}n Yn
�t
�t �t
�t
T
�t
�tT 1
10�t
x(t)p(t)
H(⌦)P (⌦) H(⌦)P (⌦)
X(⌦)x1(t) p1(t)
x2(t) p2(t)
X1(⌦)P1(⌦)
=X2(⌦)P2(⌦)
= .........Xn(⌦)n(⌦)
= H(⌦)
X1(⌦) P1(⌦)
H(⌦)p(t)
g(t) Tp
g(t) = g(t + nTp)
Tp
g(t) = a0 +1X
n=1
ancos(2⇡nf1t) +1X
n=1
bnsin2⇡(nf1t)
f1 = 1Tp
an = 2Tp
´ Tp2
�Tp2
g(t)cos(n⌦1t)dt
bn = 2Tp
´ Tp2
�Tp2
g(t)sin(n⌦1t)dt
a0 = 1Tp
´ Tp2
�Tp2
g(t)dt
⌦1 = 2⇡f1
g(t) = a0 +1X
n=1
ancos(n⌦1t) +1X
n=1
bnsin(n⌦1t)
g(t)
g(t) (�Tp
2 ,Tp
2 )
g(t)g(↵+0) g(↵�0) ↵
t = 0
p0
u(t) =p0
k
(p0sin⌦1t)
u(t) =p0
k
11� �2
sin(⌦1t)
(p0cos⌦1t)
u(t) =p0
k
11� �2
cos(⌦1t)
� = ⌦1!
! :⌦1 :
(p0sin⌦1t)
u(t) =p0
k
1(1� �2)2 + (2⇠�)2
�
(1� �2)sin(⌦1t)� 2⇠�cos(⌦1t)
(p0cos⌦1t)
u(t) =p0
k
1(1� �2)2 + (2⇠�)2
�
2⇠�sin(⌦1t) + (1� �2)cos(⌦1t)
g(t) = a0 +1X
n=1
ancos(n⌦1t) +1X
n=1
bnsin(n⌦1t)
u(t) =a0
k+
1X
n=1
an
k
11� �2
n
cos(n⌦1t) +1X
n=1
bn
k
11� �2
n
sin(n⌦1t)
�n = n⌦1!
u(t) =a0
k+
1X
n=1
an
k
1(1� �2
n)2 + (2⇠�n)2�
2⇠�nsin(n⌦1t) + (1� �2n)cos(n⌦1t)
+1X
n=1
bn
k
1(1� �2
n)2 + (2⇠�n)2�
(1� �2n)sin(n⌦1t)� 2⇠�ncos(n⌦1t
=a0
k+
1X
n=1
1k
1(1� �2
n)2 + (2⇠�n)2[�
an2⇠�n + bn(1� �2n)
sin(n⌦1t)+
�
an(1� �n)2 � bn2⇠�n
cos(n⌦1t)]
⇠⇠ = c
cc
sin(n⌦1t) =ein⌦1t � e�in⌦1t
2i
cos(n⌦1t) =ein⌦1t + e�in⌦1t
2
g(t) =1X
n=�1cnein⌦1t
p = ei⌦1t
mu + cu + ku = ei⌦1t
u = e�⇠!t(Acos(!ddt) + Bsin(!dt))
!d = !p
1� ⇠2 !
u = Hei⌦1t
u u u
(�m⌦21 + ic⌦1 + k)Hei⌦1t = ei⌦1t
u = e�⇠!t(Acos(!dt) + Bsin(!dt)) +1
�m⌦21 + ic⌦1 + k
ei⌦1t
ei⌦1t
H(⌦1)ei⌦1t
H(⌦1) =1
�m⌦21 + ic⌦1 + k
=1
k(��2 + 2i⇠� + 1)
� = ⌦1!H(⌦1)
g(t) =1X
n=�1cnein⌦1t
u(t) =1X
�1cnH(n⌦1)ein⌦1t
cn =1Tp
ˆ Tp2
�Tp2
g(t)e�in⌦1tdt
g(t) =1X
�1cnein⌦1t
cn =1Tp
ˆ Tp2
�Tp2
g(t)e�in⌦1tdt
Tp
⌦1 = 2⇡Tp
= �⌦ n⌦1 = ⌦n = n�⌦
cn
g(t) =1X
�1cnein⌦1t =
1Tp
1X
�1(cnTp)ei⌦nt =
12⇡
1X
�1(cnTp)ei⌦nt�⌦
cnTp =ˆ Tp
2
�Tp2
g(t)e�in⌦1tdt =ˆ Tp
2
�Tp2
g(t)e�i⌦ntdt
Tp �⌦ n⌦1 = ⌦n = n�⌦ ⌦.
cnTp = G(⌦) =ˆ 1
�1g(t)e�i⌦tdt
g(t) =12⇡
ˆ 1
�1G(⌦)ei⌦td⌦
G(⌦) g(t)G(⌦)
1X
�1cnei⌦nt
u(t) =1Tp
1X
�1(cnTp)H(⌦n)ei⌦nt =
12⇡
1X
�1(cnTp)H(⌦n)ei⌦nt4⌦
Tp
u(t) =12⇡
ˆ 1
�1G(⌦)H(⌦)ei⌦td⌦
�(t)
�(t) = 0 t 6= 0
�(t) t = 0
´1�1 �(t)dt = 1
h(t) =12⇡
ˆ 1
�1G(⌦)H(⌦)ei⌦td⌦
´1�1 f(z)�(z � t0)dt = f(t0)
G(⌦) =ˆ 1
�1�(t)e�i⌦tdt = 1
G(⌦) h(t)
h(t), H(⌦)
U(⌦) u(t)
u(t) =12⇡
ˆ 1
�1U(⌦)ei⌦td⌦
U(⌦) = G(⌦)H(⌦)
g(t) h(t) g(t) ⇤ h(t)
u(t) = g(t) ⇤ h(t) =ˆ 1
�1g(⌧)h(t� ⌧)d⌧
h(⌧)
g(⌧)
g(⌧)
U(⌦) =ˆ 1
�1[ˆ 1
�1g(⌧)h(t� ⌧)d⌧ ]e�i⌦tdt =
ˆ 1
�1[ˆ 1
�1h(t� ⌧)e�i⌦tdt]g(⌧)d⌧
t� ⌧ = y
U(⌦) =ˆ 1
�1[ˆ 1
�1h(y)e�i⌦tdy]e�i⌦⌧g(⌧)d⌧ =
ˆ 1
�1H(⌦)e�i⌦⌧g(⌧)d⌧ = H(⌦)G(⌦)
U(⌦) u(t)
u(t) =12⇡
ˆ 1
�1G(⌦)H(⌦)ei⌦td⌦
Tp
G(⌦) =ˆ 1
�1g(t)e�i⌦tdt
⌦1 = �⌦ =2⇡Tp
Tp �t,tm = m�t.
g(t) =�⌦2⇡
1X
�1G(⌦)ei⌦nt
⌦n = n⌦1
ei⌦nt = ein�⌦m�t = ein 2⇡
Tpm�t = ein 2⇡
N�t m�t = e2⇡in mN
g(tm) =�⌦2⇡
N�1X
n=0
G(⌦)e2⇡in mN
(N � 1)�⌦g(t), G(⌦)
G(⌦) = Tpcn =ˆ Tp
2
�Tp2
g(t)e�i⌦ntdt
G(n�⌦) = �t
N�1X
m=0
g(m�t)e�2⇡in mN
�⌦
Tp = N�t
u(n�t) =N�1X
n=0
g(n�t)h {(m� n)�t}�t
g(t) h(t) �t
g(m�t)h(m�t)
G(n�⌦) =N�1X
m=0
g(m�t)e�2⇡im nN
h(t)h(t)
”T0”
G(n�⌦) H(n�⌦)
U(n�⌦) = G(n�⌦)H(n�⌦)
u(m�t) =12⇡
N�1X
m=0
U(n�⌦)e2⇡im nN �⌦
h(t)H(⌦)
H(⌦)
Tp = 1,6
Tp
m�t m �t = 0,1
G(n�⌦) =N�1X
m=0
g(m�t)e�im�tn�⌦�t =N�1X
m=0
g(m�t)e�2⇡im nN �t
n�⌦n�f �f
�f =�⌦2⇡
=1Tp
Tp = 2⇡�⌦ = 1
�f = 1, 6
�⌦ = 1,25⇡ �f = 0,625
n = N2
n = N2 .
k�⌦
G(k�⌦) =N�1X
m=0
g(m�t)e�2⇡im kN �t
k�⌦ N �⌦2 l�⌦ l = N
2 + (N2 � k) = N � k
G {(N � k)�⌦} =N�1X
m=0
g(m�t)e�2⇡im(N�k)
N �t =
=N�1X
m=0
g(m�t)e2⇡im kN �t
n = �k
G {(�k)�⌦} =N�1X
m=0
g(m�t)e2⇡im kN �t
N �⌦2
N �⌦2
N �⌦2 = ⇡
�t �t
G(⌦) =ˆ t1
0e�i⌦tdt
G(⌦) =ˆ t1
0cos(⌦t)dt� i
ˆ t1
0sin(⌦t)dt =
sin(⌦t1)⌦
+ icos(⌦t1)� 1
⌦
N�⌦N �⌦
2
N �⌦2
�t
⇡�t
�t
�tTp
H(⌦)
H(⌦)
h(t)
G(⌦) =ˆ t1
0e�i⌦tdt =
sin(⌦t1)⌦
+ icos(⌦t1)� 1
⌦
�⌦
N�⌦N �⌦
2
N2
N2
g(m�t) =12⇡
N�1X
n=0
G(n�⌦)e2⇡im nN �⌦
N = 16 �⌦ = 1,25⇡.
N �⌦2
N
H(⌦) =1
m(!2 � ⌦2)
!h(t)
H(⌦)
�⌦ = 0,15625Tp = 64⇥ 0,15625 = 10
H(n�⌦)
H(n�⌦) =1
m(!2 � ⌦2)
H(⌦).
g(m�t) =12⇡
N�1X
n=0
G(n�⌦)e2⇡im nN �⌦
h(m�t) =12⇡
N�1X
n=0
H(n�⌦)e2⇡im nN �⌦
H(⌦)h(t)
h(t) =1
m⌦sin(⌦t) t > 00 t < 0
h(t)
h
H(⌦) h(t)
h(t)”⇠”
h(t)
�⌦
Tp = 2⇡�⌦
h(t) 2⇡r�⌦ r
�1 1
h(t) =1
m!de�⇠!(t� 2⇡
�⌦m)sin!d(t� 2⇡�⌦m)
m
h(t)
h(t)
h(t) =1
m!d
0X
r=�1e�⇠!(t�rTp)sin(!d(t� rTp))
sin✓ = 12(ei✓ � e�i✓)
h(t) =1
m!de�⇠!t
0X
r=�1e⇠!rTp
ei!d(t�rTp) � e�i!d(t�rTp)
2i=
=1
m!d
e�⇠!t
2i
(
ei!dt0X
r=�1e�rTp(�⇠!+i!d) � e�i!dt
0X
r=�1e�rTp(�⇠!�i!d)
)
�r r
h(t) =1
m!d
e�⇠!t
2i
(
ei!dt1X
r=0
erTp(�⇠!+i!d) � e�i!dt1X
r=0
erTp(�⇠!�i!d)
)
h(t) =1
m!d
e�⇠!t
2i
⇢
ei!dt
1� eTp(�⇠!+i!d)� e�i!dt
1� eTp(�⇠!�i!d)
�
h(t) =e�⇠!t
m!d
⇢
sin(!dt)� e�⇠!Tpsin(!d(t� Tp)1� 2e�⇠!Tpcos(!dTp) + e�2⇠!Tp
�
h(t) h(t)Tp Tp h(t)
h(t)
Tp
⇠ = 0
h(t) =1
2m!(sin(!t) +
cos(!t)sin(!Tp)1� cos(!Tp)
h(t)
h(t) h(t) Tp
h(t)
g(t) Tp
h
Th,
h
g h
Tp = p�t Th = q�t T0 T0 = N�t = (p + q + 1)�t
Th
Th
Th
h
Th
Tp +Th
g tp
g
tpTh g
g
0t0p
th
g Tp
Tp
T0 = Tp + T2
T0.
h(t),0 < t < T0
t = 0,�T0,�2T0... h(t)
h(t) =e�⇠!t
m!d
⇢
sin(!dt)� e�⇠!T0sin(!d(t� T0))1� 2e�⇠!T0cos(!dT0) + e�2⇠!T0
�
u(k�t)g(t)
u(m�t) =N�1X
j=0
g(j�t)h {(m� j)�t}�t
u(m�t) =12⇡
N�1X
n=0
G(n�⌦)H(n�⌦)e2⇡im nN �⌦
G(n�⌦) g(m�t) H(n�⌦)h(m�t)
u(m�t) u(m�t)
t = 0 u(m�t) u(m�t)0 < t < T0
T0
u(m�t)
u(m�t)u(m�t)
t = 0 u(0) u(0)u(m�t) u(0)
t = 0 u(0)u(0) u(0)
t = 0 u(0)
u(m�t) =12⇡
N�1X
n=0
G(n�⌦)H(n�⌦)e2⇡im nN �⌦
H(n�⌦) h(t)
h(t) =1
m!d
e�⇠!t
2i
⇢
ei!dt
1� eT0(�⇠!+i!d)� e�i!dt
1� eT0(�⇠!�i!d)
�
U(⌦).
U(⌦).
U(n�⌦) = G(n�⌦)H(n�⌦)
U(n�⌦)�N
2N2 ,
u(m�t) =1T0
N2X
n=�N2
U(n�⌦)e2⇡in tT0
t = m�t
T0 = N�t
�⌦ = 2⇡T0
t = 0 t = 0
u(0) =2⇡i
T 20
N2X
n=�N2
nU(n�⌦) =2⇡i
T 20
N2X
n=�N2
nRe {U(n�⌦)} + inIm {U(n�⌦)}
Re {U(n�⌦)}) U(n�⌦)Im {U(n�⌦)}) U(n�⌦)
Re {U(n�⌦)} nRe {U(n�⌦)}
Im {U(n�⌦)} nIm {U(n�⌦)}
u(0) =�4⇡T 2
0
N2X
n=0
nIm {U(n�⌦)}
�u(0) = u(0)� u(0)
�u(0) = u(0)� u(0)
u(k�t)�u(0) �u(0)
t = 0
r(t) = e�⇠!t(cos(!dt) +⇠!
!dsin(!dt))
t = 0
s(t) =e�⇠!t
!dsin(!dt)
⌘1(t) = �u(0)r(t)
⌘2(t) = �u(0)s(t)
u(m�t) = u(m�t) + ⌘1(m�t) + ⌘2(m�t)
�(t) N � 2u1 �(t) N � 1
u2
�(t) u1 h (N�2)�tu2 h (N � 1)�t
R1 R2
u(m�t) = u(m�t) + R1u1(m�t) + R2u2(m�t)
R1u1(0) + R2u2(0) = u(0)� u(0)R1 ˙u1(0) + R2 ˙u2(0) = u(0)� ˙u(0)
u(0) u(0)
u(0)
u(m�t) =12⇡
N�1X
n=0
G(n�⌦)H(n�⌦)e2⇡im nN �⌦
˙u(0)
˙u(0) = � 4⇡(T0)2
N2X
n=0
nIm {U(n�⌦)}
˙u1(0) ˙u2(0) h(t)
˙h(t) =1
m!d�e�⇠!t
n
!dcos!dt� !de�⇠!T0cos!d(t� T0)
o
� ⇠!h(t)
� = 1� 2e�⇠!T0cos!dT0 + e�2⇠!T0
˙u1(t) ˙h(t) (N � 2)�t
˙u2(t) ˙h(t) (N�1)�t
u1(0) = h(2�t) ˙u1(0) = ˙h(2�t)u2(0) = h(�t) ˙u2(0) = ˙h(�t)
R1 R2
u(n�t) =N�1X
n=0
g(n�t)h {(m� n)�t}�t
G(n�⌦) =N�1X
m=0
g(m�t)e�2⇡in mN �t
G(n�⌦) g(t).
H(n�⌦) =N�1X
k=0
h(k�t)e�2⇧in kN �t
H(n�⌦)h(t).
U(n�⌦) = G(n�⌦)H(n�⌦)
U(n�⌦)
u(m�t) =12⇡
N�1X
n=0
U(n�⌦)e2⇡in mN
u(m�t)
N2
N2
N2
N = 2� �
X(n) =N�1X
m=0
x(m)e�2⇡in mN
�t.� = 3.
W = e�2⇡ iN
n m
n = 4n2 + 2n1 + n0
m = 4m2 + 2m1 + m0
n0 n1 n2 m0 m1 m2
X(n2, n1, n0) =1X
m0=0
1X
m1=0
1X
m2=0
x(m2, m1, m0)Wnm
Wnm
Wnm = W (4n2+2n1+n0)(4m2+2m1+m0) = W (4n2+2n1+n0)4m2W (4n2+2n1+n0)2m1W (4n2+2n1+n0)m0
WmN = e�2⇡im NN = cos(2m⇡)� isin(2m⇡) = 1
W 16n2m2 = W 8n1m2 = W 8n2m1 = 1
Wnm = W 4n0m2W (2n1+n0)2m1W (4n2+2n1+n0)m0
X(n2, n1, n0) =1X
m0=0
1X
m1=0
(
1X
m2=0
x(m2, m1, m0)W 4n0m2
)
W (2n1+n0)2m1W (4n2+2n1+n0)m0
x1(n0, m1, m0) =1X
m2=0
x(m2, m1, m0)W 4n0m2
m1 m0 n0
x1(n0, m1, m0) = x(0, m1, m0)W 0 + x(1, m1, m0)W 4n0
x1 xn0 = 1 m1 = 0 m0 = 1
x1(1, 0, 1) = x1(5) =
x(0, 0, 1)W 4⇥1⇥0 + x(1, 0, 1)W 4⇥1⇥1 = x(1) + x(5)
x x1
x(1) x(5) W 4
x(5) x1(5)4n0m2 m2 = 0 4n0 m2 = 1
W 4n0 , n0 = 0,W 0
x x1
(N � 1)x1
x1(0) x1(4)
x1(0) = x(0) + x(4)W 0
x1(4) = x(0) + x(4)W 4
x1
m1 m0 n0 = m2 = 0n0 = m2 = 1. N
2 = 4W s W s+(N
2 )
W s+(N2 ) = e(2⇡ i
N )(N2 +s) = ei⇡e2i⇡ s
N = �W s
x1(j) = x(j) + x(N2 + j)W s
x1(N2 + j) = x(j)� x(N
2 + j)W s
x x1N2
x2(n0, n1, m0) =1X
m1=0
x1(n0, m1, m0)W (2n1+n0)2m1
n0 n1 m0 x2(n0, n1, m0)x2 x1
W (2n1+n0)2m1
x1 x2N2 N � 1
x3(n0, n1, n2) =1X
m0=0
x2(n0, n1, m0)W (4n2+2n1+n0)m0
X x3
X(n2, n1, n0) = x3(n0, n1, n2)
X
X x3
x1 x2 x3
� = log2NN2 (N
2 )log2N.
m = 0,25
t1 = 0,6
⇠ = 0,06.
⇡2
! = 2⇡
p = sin( 21,2 t)
!d = !p
1� ⇠2
mu + cu + ku = p(t)
mu + cu + ku = 0
u = e�!⇠t[C1sin!dt + C2cos!dt] +p0
k
(1� (⌦! )2)sin⌦t� 2⇠⌦
! cos⌦t
[1� (⌦! )2]2 + 4⇠2(⌦
! )2
C1 C2
�0,2423 0,097
u = e�0,377t � 0,2423sin(6,2718t) + e�0,377t0,097cos(6,2718t) + 0,299sin(5,235t)� 0,097cos(5,235t).
u = e�0,377t(�0,040sin(6,2718t) + 0,1475cos(6,2718t).
t
2,9s0,1s
t u t u
2,9s
¯h(t) g(t)H(⌦)
G(⌦)U(⌦) u(t)
t u u t u u
2,9h(t)
h(t)
5s
h(t) 10s
30s
15s
h(t)
u(m�t) = u(m�t) + ⌘1(m�t) + ⌘2(m�t)
⌘1 µ2
2,9
t u u u t u u u
{u}�n(t)
{u} =MX
n=1
�nyn
[�]M n M
n
yn + 2⇠n!nyn + !2nyn = pn
y0n = �TnMu0
y0n = �TnMv0
n
M ¨{u} + C{u} + K{u} = fg(t)
f
g(t)
H(⌦)ei⌦t
{u} = Hei⌦t
(�⌦2M + i⌦C + K)H = f
⌦ HHR + iHI 2N
N
⌦ H 2N
Hj j
(u)G ⇥Hj, G
g(t)
uj(m�t) =12⇡
L�1X
l=0
Hj(l�⌦)G(l�⌦)e2⇡im lL �⌦
L�t�t
uj G(l�⌦)uj
uj uj
Hj Hj
Hj Hj
Hj(⌦) =1X
s=�1Hj(⌦ + s
2⇡�t
)
s 2⇡�t Hj(⌦)
H(⌦)
⇡�t
Hj(⌦) ⌦ > ⇡�t Hj(⌦) w Hj
Hj(⌦)
uj(m�t) =12⇡
L�1X
l=0
Hj(l�⌦)G(l�⌦)e2⇡im lL �⌦
Rp tpT0
Rp
up(tp) = Rphj(tp)
hj Hj
hj =12⇡
L�1X
l=0
Hj(l�⌦)�⌦
uj(0) = uj(0) +2NX
p=1
Rphj(tp)
2NX
p=1
Rphj(tp) = uj(0)� uj(0)
2NX
p=1
Rp˙hj(tp) = uj(0)� ˙uj(0)
uj(m�t) = uj(m�t) +2NX
p=1
Rphj(tp + m�t)
hj(t)˙hj(t)
hj Hj(l�⌦)˙hj(t)
p
˙hj(tp) =hj(tp + �t)� hj(tp ��t)
2�t
h(t)
✓
p1
p2
◆
=✓
1,000,75
◆
p
m2 = 2 m1 = 3
k1 = 100 k2 = 150
t1 = 1,00
⇠ = 0,00.
p = 20
�t = 0,05
t
M {u} + K {u} = {p(t)}
i
yi + !2i yi = pi
K =✓
250 �100�100 100
◆
M =✓
3 00 2
◆
|K � !2i M | = 0
!1 = 4,75rad/s !2 = 10,52rad/s
(K � !iM) {ai} = 0
a1 =✓
1,001,82
◆
a2 =✓
1,00�0,82
◆
y1 + !21y1 = p1
y2 + !22y2 = p2
!1 = 4,75 !2 = 10,52
hi(t) =1
2Mi!i(sin!it +
cos!itsin!iT0
1� cos!iT0)
Mi i Mi = {ai}T M {ai}
t y y y t y y y
T0 = 3s.
(�⌦2M + K)H = f
f
f =✓
10,75
◆
M K fH
250� 3⌦2 �100�100 100� 2⌦2
�
H =✓
10,75
◆
H(⌦)H(⌦) ⌦
�t = 0,05s.
�⌦ = 2⇡T0
= 2,09N2 �⌦ = 60
2 2,09 = 62,70rad/s
H(⌦)
H(⌦) H1(⌦) H2(⌦)
H1 (⌦) w H1(⌦) H2 (⌦) w H2(⌦)
H1(⌦) H2(⌦)g(k�t)
G(k�⌦)
{U(k�⌦)} = {G(k�⌦)}✓
H1(k�⌦)H2(k�⌦)
◆
R1h1(0,40) + R2h1(0,30) + R3h1(0,40) + R4h1(0,40) = u1(0)
R1h2(0,40) + R2h2(0,30) + R3h2(0,40) + R4h2(0,40) = u2(0)
R1˙h1(0.40) + R2
˙h1(0.30) + R3˙h1(0.20) + R4
˙h1(0.40) = ˙u1(0)
R1˙h2(0.40) + R2
˙h2(0.30) + R3˙h2(0.20) + R4
˙h2(0.40) = ˙u2(0)
u1(0) = �0,049 u2(0) = 0,084 ˙u1(0) = 2,8228 ˙u2(0) = 0,463.
R1 R2 R3 R4
R1 = 458,952 R2 = �972,150 R3 = 994,566 R4 = �444,381
uj(m�t) = uj(m�t) +2NX
p=1
Rphj(tp + m�t)
fn1 =⇡
2
r
EaI
mL4
Ea
I
m
L
Rx(⌧)
Rx(⌧)
DEP (⌦) =12⇡
ˆ +1
�1Rx(⌧)e�i⌦⌧d⌧
Rx(⌧) =ˆ +1
�1DEP (⌦)ei⌦⌧d⌦
m
↵� ↵ �
DEP =1
2⇡�fA(⌦)A⇤(⌦)
�fA(⌦) a(t)
A⇤(⌦) A(⌦)
Ea = 210000 Nmm2
Ixx = 450,10�8m4
m = 20,4kgm
±30g.
N = 26322400Hz
2400
1200Hz.
DEP =1
2⇡�fA(⌦)A⇤(⌦)
357,4Hz
fn1 =⇡
2
r
EaI
mL4
fn1 =⇡
2
s
2,1E11 ⇥ 450E�8
20,4⇥ 0,904= 417,39Hz
R = ku R u
⇠ =�p
4⇡2 + �2
�
(ti, ai),
yi = L(ai).
⌧i = tif f
(⌧i, yi)
y = a⌧ + b
� = �a
�.
� = 0,070⇠ = 0,070p
4⇡2+0,0702= 0,070
6,283 = 0,011 ⇠ = 1,1 %
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