analisis numerik metode euler
Post on 07-Jul-2018
241 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
8/18/2019 Analisis Numerik Metode euler
1/18
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Penggunaan matematika dalam kehidupan sangat berguna untuk
meningkatkan pemahaman dan penalaran, serta untuk memecahkan suatu
masalah dan menafsirkan solusi dari permasalahan yang ada. Tanpa
disadari ketika kita mempelajari matematika, kita memiliki ketelitian dan
kecermatan yang sangat baik karena nilai-nilai pada matematika yang
menggunakan nilai yang kompleks sehingga faktor ketelitian sangat
diperlukan untuk menghitung suatu rumusan masalah.
Persamaan diferensial berperan penting dalam kehidupan, sebab
banyak permasalahan pada dunia nyata dapat dimodelkan dengan bentuk
persamaan diferensial. Ada dua jenis persamaan diferensial yang kita
kenal, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.
Yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah persamaan diferensial biasa.
Pesamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan yang melibatkan satu
atau lebih turunan dari sebuah unknown function dan hanya memiliki satu
variabel bebas. olusi dari persamaan diferensial adalah fungsi spesifik
yang memenuhi persamaan. Persamaan dibawah ini merupakan contoh
dari persamaan diferensial biasa yang memiliki solusi. Pada persamaan
dibawah ini, ! merupkan variabel bebas dan y merupakan variabel tetap. y
merupakan nama unknown function dari variabel !.
1.2 Tujuan
Tujuan yang hendak dicapai dalam penulisan ini yaitu sebagai
salah satu syarat untuk memenuhi seluruh praktikum jurusan
Teknik Elektro ITENAS Bandung, antara lainnya:
• Mahasisa dapat menghitung persamaan di!erensial biasa
dengan menggunakan metode euler, baik secara manual
maupun dengan komputer"
-
8/18/2019 Analisis Numerik Metode euler
2/18
1.3 Sistematis Penulisan
BAB I " Pendahuluan
Pada bab ini memuat latar belakang, tujuan yang ingin
dicapai, serta sistematis penulisan
BAB II " Teori #asar
#asar teori yang berisi kajian literatur mengenai materi
dasar dan terkait dengan teori-teori metode euler
BAB III " $andasan Praktikum
Pembahasan tentang langkah-langkah untuk mendapatkan
rumus metode euler
BAB IV " Penutup
%erisi tentang analisa dan kesimpulan dari praktikum
BAB II
TE#$I %ASA$
-
8/18/2019 Analisis Numerik Metode euler
3/18
2.1 Metode Euler
&etode 'uler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling
sederhana. #i banding dengan beberapa metode lainnya, metode ini paling
kurang teliti. (amun demikian metode ini perlu dipelajari mengingat
kesederhanaannya dan mudah pemahamannya sehingga memudahkan dalam
mempelajari metode lain yang lebih teliti.
&etode 'uler dapat diturunkan dari #eret Taylor"
Apabila nilai ∆ x
kecil, maka suku yang mengandung pangkat lebih tinggi dari ) adalah sangat
kecil dan dapat diabaikan, sehingga persamaan diatas dapat ditulis menjadi"
#engan membandingkan persamaan *+. dan persamaan *+.
dapat disimpulkan bahwa pada metode 'uler, kemiringan Φ / / f * xi , yi,
sehingga persamaan *+. dapat ditulis menjadi"
dengan i / 0, ), 1, 2 Persamaan *+.3 adalah metode 'uler, nilai yi 4 0
diprediksi dengan menggunakan kemiringan fungsi *sama dengan turunan
am!ar "et#$e Euler
pertama di titik xi untuk diekstrapolasikan secara linier pada jarak sepanjang
pias ∆ x. 5ambar +.1, adalah penjelasan secara grafis dari metode 'uler.
%esala&an "et#$e Euler
Penyelesaian numerik dari persamaan diferensial biasa menyebabkan
terjadinya dua tipe kesalahan, yaitu"
...6)
7
60
7 )88i
8
ii0i +++=+
x y
x y y y
x y y y 78ii0i +=+
8
i y
x y x f y y 7-,* iii0i +=+
-
8/18/2019 Analisis Numerik Metode euler
4/18
0 9esalahan pemotongan, yang disebabkan oleh cara penyelesaian yang
digunakan untuk perkiraan nilai y,
) 9esalahan pembulatan, yang disebabkan oleh keterbatasan jumlah angka
*digit yang digunakan dalam hitungan.
9esalahan pemotongan terdiri dari dua bagian. Pertama adalah kesalahan
pemotongan lokal yang terjadi dari pemakaian suatu metode pada satu
langkah. 9edua adalah kesalahan pemotongan menyebar yang ditimbulkan
dari perkiraan yang dihasilkan pada langkah-langkah berikutnya. 5abungan
dari kedua kesalahan tersebut dikenal dengan kesalahan pemotongan global.
%esar dan sifat kesalahan pemotongan pada metode 'uler dapat dijelaskan
dari deret Taylor.
:ntuk itu dipandang persamaan diferensial berbentuk"
dengan , sedang x dan y adalah
variabel bebas dan tak bebas.
Penyelesaian dari persamaan tersebut dapat diperkiraan dengan deret Taylor"
Apabila
persamaan *+.; disubstitusikan ke persamaan *+.+, akan menghasilkan"
Ta!el Hasil &itungan $engan met#$e Euler
x y eksak x ' ()*
x ' ()2* y +erk t ,- y +erk t ,-
-
8/18/2019 Analisis Numerik Metode euler
5/18
0,;
),
-
8/18/2019 Analisis Numerik Metode euler
6/18
geometris. %ila fungsi yang terlibat tergantung pada dua atau lebih peubah
bebas. Tidak berlebihan jika dikatakan bahwa hanya sistem fisik yang paling
sederhana yang dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial biasa
mekanika fluida dan mekanika padat, transfer panas, teori elektromagnetik dan
berbagai bidang fisika lainnya penuh dengan masalah-masalah yang harus
dimodelkan dengan persamaan differensial parsial.
:mumnya, jika adalah fungsi dua variable dan, andaikan kita misalkan
hanya saja yang berubah-ubah sedangkan dibuat tetap, katakan dengan
konstanta. %aru sesudah itulah kita sebenarnya meninjau fungsi variable
tunggal, yaitu jika mempunyai turunan di, maka kita menamakannya turunan
parsial dari terhadap di dan menyatakannya dengan. >adi
'rror" ?eference source not found dengan'rror" ?eference source not
found
&enurut definisi turunan, kita mempunyai
ehingga persamaan
nomor 0 menjadi
#engan cara serupa, turunan parsial dari terhadap di dinyatakan dengany /*a,y
diperoleh dengan membuat tetap * / a 'rror" ?eference source not founddan
mencari turunan biasa dari fungsi
>ika 'rror"
?eference source not found adalah fungsi dua variable, turunan parsialnya
adalah fungsi 'rror" ?eference source not found dan 'rror" ?eference source
not found yang didefinisikan oleh
-
8/18/2019 Analisis Numerik Metode euler
7/18
BAB III
LANDASAN P/A%TI%U"
)"* Algoritma
)"*"* Algoritma Metode Euler0. &ulai
). #efinisikan fungsi persamaan data
1. &asukan data input
. @itung panjang vector !
. &emproses nilai dari data masukan sesuai rumusan
3. elesai
)"& +lochart
)"&"* +lochart Metode Euler
-
8/18/2019 Analisis Numerik Metode euler
8/18
)") isting
(rogram
)")"*
isting
Metode
Euler
-include.stdio"h/
-include.math"h/
0oat a,b,c,d,e1
0oat ',g,h,i,j1
0oat k,l,m,n,o1
0oat p,2,r,s,t1
0oat u,3,1
-
8/18/2019 Analisis Numerik Metode euler
9/18
int pilihan1
main 43oid5
6
ulang:
print'47Muhammad I2bal +athurahmaan8n751
print'47**9&*)9;)8n751
print'479999999999999999999999999998n751
print'47Masukkan Nilai < : 751
scan'47='7,>a51
print'47Masukkan Nilai ?@ : 751
scan'47='7,>b51
print'47Masukkan Nilai h* : 751
scan'47='7,>c51
print'47Masukkan Nilai h& : 751
scan'47='7,>d51
print'47Masukkan Nilai h) : 751
scan'47='7,>e51
'444*)5Cb5CaCaCa594bCa51
gbCa1
hbD'1
ib9h1
jbD4'Cc51
kb9j1
lbD4'Cd51
mb9l1
nbD4'Ce51
ob9n1
print'47Nilai y*: =g8n7,j51
print'47Nilai error y*: =g8n7,k51
-
8/18/2019 Analisis Numerik Metode euler
10/18
print'47Nilai y&: =g8n7,l51
print'47Nilai error y&: =g8n7,m51
print'47Nilai y): =g8n7,n51
print'47Nilai error y): =g8n7,o51
print'47Ingin Masukkan data yang ain8n751
print'47F*Gya8n751
print'47F&Gtidak8n751
scan'47=d7,>pilihan51
i'4pilihan*5
6
goto ulang1
H
H
3.0 Sreenst
DATA PENA"ATAN
Ta!el 3.0.1 #ata Pengamatan &etode 'uler
< ? J ? aproksimasi Errorh * h & h )
-
8/18/2019 Analisis Numerik Metode euler
11/18
* "K "* "K
"K "L "K "* "K
-
8/18/2019 Analisis Numerik Metode euler
12/18
* "L "K "* "K
*"K ") "K "* "K
-
8/18/2019 Analisis Numerik Metode euler
13/18
& ) "K "* "K
3.* Tugas Ak&ir
0. %uat grafik *!,y terhadap *'rror" ?eference source not found dan error
0,),1 jelaskan grafiknya
-
8/18/2019 Analisis Numerik Metode euler
14/18
). ebutkan apa
kegunaan metode
euler dalam kehidupan sehari-hari 6
a. menyelesaikan persamaan differensial.
b. memprediksi nilai tegangan dari nilai arus yang diinginkan.
c. memprediksi daya dengan parameter tegangan dan arusnya.
d" mengukur kedalaman benda anomaly tanpa harga kerapatan
massa
e" untuk mengestimasi suatu posisi"
'" pena'siran perubahaan 3ariable stock dalam inter3al aktu"
)" Apa yang dimaksud dengan persamaan di'erensial parsial
-
8/18/2019 Analisis Numerik Metode euler
15/18
(ersamaan di'erensial parsial 4(%(5 adalah persamaan yang di
dalamnya terdapat suku9suku di'erensial parsial, yang dalam
matematika diartikan sebagai suatu hubungan yang mengaitkan
suatu 'ungsiᄃ yang tidak diketahui, dimana merupakan 'ungsi
dari beberapa 3ariabel bebas ᄃ dengan turunan9turunannya
melalui 3ariabel93ariabel yang dimaksud" (%("
+ungsinya digunakan untuk melakukan 'ormulasi dan
menyelesaikan permasalahan yang melibatkan 'ungsi9'ungsi yang
tidak diketahui"
O" Pelaskan perbedaan metode euler dengan di'erensial parsial
Metode euler: yang terdiri dari satu variabel bebas saja
#iferensial parsial" yang terdiri dari dua atau lebih variabel bebas
BAB IQ
ANAISA %AN RESIM(AN
O"* Analisa
&etode 'uler adalah salah satu dari metode satu langkah yang
paling sederhana. &etode euler atau disebut juga metode orde pertama,
&isalnya diberikan P#% orde satu,
'rror" ?eference source not found / dyd! / f*!,y dan nilai
awal y*!
-
8/18/2019 Analisis Numerik Metode euler
16/18
&eskipun metode 'uler sederhana, tetapi ia mengandung dua
macam galat, yaitu galat pemotong *truncation error dan galat longgokan
*cumulative error. 5alat pemotong dapat langsung ditentukan dari
persamaan berikut"
5alat
pemotongan ini sebanding dengan kuadrat ukuran langkah h sehingga
di sebut juga galat +er langka& *error per step atau galat local.
emakin kecil nilai h *yang berarti semakin banyak langkah
perhitungan. (ilai pada setiap langkah *yr dipakai lagi pada langkah
berikutnya. 5alat solusi pada langkah ke-r adalah tumpukan galat dari
langkah-langkah sebelumnya. 5alat yang terkumpul pada akhir
langkah ke-r ini di sebit galat l#ngg#kan *cumulative error . >ika
langkah dimulai dari !< / a dan berakhir di !n / b maka total galat yang
terkumpul pada solusi akhir *yn adalah
5alat
longgokan total ini sebenarnya adalah
(erbedaan metode euler dengan di'erensial parsial adalah:
Metode euler: yang terdiri dari satu variabel bebas saja
#iferensial parsial" yang terdiri dari dua atau lebih variabel bebas
0.2 %esim+ulan
%apat menghitung persamaan di!erensial biasa dengan
menggunakan metode euler, baik secara manual maupun
dengan komputer"
) C )0 *
-
8/18/2019 Analisis Numerik Metode euler
17/18
Datar Pustaka
Agus etiawan, T, &T, )
-
8/18/2019 Analisis Numerik Metode euler
18/18
'rwin 9reysFig, Advance 'ngineering &athematics, 3th 'dition, >ohn
Giley H ons, Enc, 0=++.
top related