aplicaciones de la ecuación de bernoulli

MECÁNICA DE FLUIDOS

Ecuación de continuidad. Ecuación de Bernoulli. Aplicaciones: teorema de Torricelli, Teorema de Venturi. Tubo de Pitot. Efecto Magnus. Viscosidad. Teorema de Poisseuille

¿POR QUÉ LA VELOCIDAD DEL RÍO DISMINUYE COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA?

• Un fluido ideal es Incompresibley no tiene fricción interna(viscosidad). El camino de unapartícula individual en un fluidoen movimiento se llama línea deflujo. Si el patrón del flujo nocambia con el tiempo, el flujo esestable.

• El flujo puede ser:

• Laminar, en el que las capasadyacentes de fluido se deslizansuavemente unas sobre otras.

• Turbulento, donde el flujo esirregular y caótico.

FLUJO DE FLUIDOS

Línea de flujo

Tubo de flujo

• El producto de la rapidez del fluidoideal por el área que atraviesa esconstante en todos los puntos.

• Para un fluido incompresible y enflujo estable

• De donde se deduce la ecuación de continuidad,

𝐴1𝑣1 = 𝐴2𝑣2

• El producto Av es la razón del flujo de volumen o la rapidez con que el volumen cruza una sección del tubo,

𝑑𝑉

𝑑𝑡= 𝐴. 𝑣

• También el producto 𝐴𝑣 se conoce como gasto o caudal y se mide en el

SI en 𝑚3/𝑠.

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

𝑑𝑚1 = 𝑑𝑚2𝜌𝐴1𝑣1𝑑𝑡 = 𝜌𝐴2𝑣2𝑑𝑡

• La ecuación de Bernoulli

relaciona la presión p, la rapidezde flujo 𝑣 y la altura 𝑦 de dospuntos 1 y 2 cualesquiera,suponiendo que el trabajorealizado por las fuerzasproducidas por la presiónproducen un cambio en lasenergías cinética y potencial delfluido.

TEOREMA DE BERNOULLI

𝑝1 + 𝜌𝑔𝑦1 +1

2𝜌𝑣1

2 = 𝑝2 + 𝜌𝑔𝑦2 +1

2𝜌𝑣2

2

EC. CONTINUIDAD O EC. BERNOULLI

EC. DE CONTINUIDAD O EC. BERNOULLI

EC. DE CONTINUIDAD O EC. BERNOULLI

¿CÓMO EXPLICAR LA VELA ROTATORIA?

SUSTENTACIÓN DEL ALA DE UN AVIÓN

• Los tornados y los huracanessuelen levantar el techo de lascasas. Explique por quésucede basándose en laecuación de Bernoulli.

¿POR QUÉ AGREGAR ESTE DISPOSITIVO AL MÓVIL?

• Presión de agua en el hogar.Entra agua en una casa portubo con diámetro interior de

2,0 𝑐𝑚 a una presión absolutade 4,0105 𝑃𝑎 (unas 4 𝑎𝑡𝑚 ).Un tubo de 1,0 cm dediámetro va al cuarto del

del segundo piso, 5,0 𝑚 másarriba. La rapidez de flujo entubo de entrada es de

1,5 𝑚/𝑠 . Calcule la rapidez deflujo, presión y razón de flujode volumen en el cuarto debaño.

EJERCICIO

Al segundo piso

(tubo de 1,0 cm)

Medidor de

agua

Tanque de agua

caliente

Del suministro de

agua (tubo de 2,0

cm)

• Si el tanque está cerrado • Si el tanque está abierto

TEOREMA DE TORRICELLI

𝑃𝑎

𝒗𝟐

𝑃0

𝐴2

𝑣1𝐴1

h

𝑃𝑎

𝒗𝟐

𝑃𝑎

𝐴2

𝑣1A1

h

𝑣2 = 2𝑝0 − 𝑝𝑎𝜌

+ 2𝑔 ℎ 𝑣2 = 2𝑔 ℎ

MEDIDOR DE VENTURI I

• Aplicando Bernoulli entre los puntos 1 y 2 (𝑦1 = 𝑦2),

• Y como

𝑣1 =2𝑔 ℎ

𝐴1 𝐴22 − 1

𝑝1 +1

2𝜌 𝑣1

2 = 𝑝2 +1

2𝜌 𝑣2

2

𝑣2 = 𝐴1𝑣1 𝐴2 𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌𝑔ℎ

TUBO DE PITOT

𝑝2 +1

2𝜌𝑔𝑎𝑠 𝑣

2 = 𝑝1

𝑣 =2𝜌𝑔𝑎𝑠𝑔ℎ

𝜌𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜

• La viscosidad es el rozamientointerno entre las capas defluido. A causa de laviscosidad, es necesarioejercer una fuerza para obligara una capa de fluido adeslizarse sobre la otra.

FLUJO VISCOSO

Diferentes niveles de viscosidad en el fluido

• Entre dos capas de fluido queestán separadas por una

distancia dx habrá unadiferencia de velocidad iguala:

• La fuerza por unidad de área quehay que aplicar es proporcional algradiente de velocidad.

• La constante de proporcionalidadse denomina viscosidad (𝜇).

𝐹 = −𝐴𝜇𝑑𝑣

𝑑𝑥

Unidad

• 𝜇 = 𝑃𝑎. 𝑠

• 𝜇 = 𝑃(𝑝𝑜𝑖𝑠𝑒) = 0,1 𝑃𝑎. 𝑠

FLUJO VISCOSO

VISCOSIDAD DE ALGUNOS FLUIDOS

Fluido μ (Pa.s)

Agua 8,91×10-4

Aire 17,4×10-6

Argón 22,9×10-6

Benceno 6,04×10-4

Brea 2,3×108

Etanol (alcohol etílico) 1,074×10-3

Glicerina (glicerol) 1,5

Helio 19,9×10-6

Hidrógeno 8,4×10-6

Mercurio 1,526×10-3

Metano 11,2×10-6

Metanol 5,44×10-4

Nitrobenceno 1,863×10-3

Nitrógeno líquido 1,58×10-4

Propanol 1,945×10-3

Sangre humana 3×10-3 - 4×10-3

Xenón 21,2×10-6

(𝑃1 − 𝑃2)𝜋𝑟2

2𝜋𝑟𝐿= −𝜇

𝑑𝑣

𝑑𝑟

LEY DE POISEUILLE

• Un fluido viscoso circula en régimen laminar por una

tubería de radio interior R, y de longitud L, por ladiferencia de presión existente en los extremos del tubo.

𝑟

𝑝1𝜋 𝑟2 𝑝2𝜋 𝑟

2

𝐿

𝑅

El signo negativo se debe a que v

disminuye al aumentar r.el área lateral de un cilindro de

longitud L y radio r.

𝐹 = (𝑃1 − 𝑃2)𝜋𝑟2

𝐹 = −𝐴𝜇𝑑𝑣

𝑑𝑟

𝐹 = −2𝜋𝑟𝐿𝜇𝑑𝑣

𝑑𝑟

• Integrando la ecuación (de r aR y de v a 0) se obtiene elperfil de velocidades enfunción de la distancia radial,al eje del tubo.

• Se obtiene:

que corresponde a un perfilparabólico.

• La velocidad máxima en el centro del tubo (𝑟 = 0).

• La velocidad mínima se da enlos bordes del tubo (𝑟 = 𝑅).

LEY DE POISEUILLE: PERFIL DE VELOCIDADES

(𝑃1 − 𝑃2)𝜋𝑟2

2𝜋𝑟𝐿= −𝜇

𝑑𝑣

𝑑𝑟

𝑣 𝑟 =(𝑃1 − 𝑃2) (𝑅

2 − 𝑟2)

4𝜇𝐿

• El caudal de fluido 𝑑𝑄 quecircula por el anillo de radio r

y espesor 𝑑𝑟 es:

𝑑𝑄 = 𝑣 𝑟 𝑑𝐴 = 𝑣 𝑟 2𝜋𝑟𝑑𝑟

• El caudal total se obtienetomando en cuenta laexpresión para la velocidad

• Esta ley relaciona la causa, la

diferencia de presiones ∆𝑃, con elcaudal.

LEY DE POISEUILLE: CAUDAL O GASTO

𝑅

r𝑟 + 𝑑𝑟

𝑄 = 0

𝑅 ∆𝑃 (𝑅2 − 𝑟2)

4𝜇𝐿2𝜋𝑟𝑑𝑟

𝑄 =𝜋𝑅4

8𝜇𝐿∆𝑃

• Un bloque de 10 𝑘𝑔 se deslizapor un plano inclinado. Calcularla velocidad terminal del bloquesi se mueve sobre una película de

aceite de 0,10 𝑚𝑚 de espesor.Considere que la viscosidad del

aceite es 0,021 𝑃𝑎. 𝑠 . Considereque la distribución develocidades es lineal y que lasuperficie de contacto del bloque

con el aceite es de 0,10 𝑚2.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

20°0,10 𝑚𝑚𝑣

• Una capa de agua fluye cuestaabajo por un plano inclinado conun perfil de velocidades que semuestra en la figura. Determinela magnitud y dirección delesfuerzo de corte que el aguaejerce sobre la superficie del

plano. Considere que 𝑈 =3,0 𝑚/𝑠 y ℎ = 0,30 𝑐𝑚 . Laviscosidad del agua es 𝜇 = 1,21 ×10−3𝑃𝑎. 𝑠

EJERCICIO

EJERCICIO

• El espacio entre dos cilindros concéntricos de 6 in delargo está lleno de glicerina. El cilindro interior tiene unradio de 3 in y la separación ente cilindros es de 0,10 in .Calcule el torque y la potencia requerida para rotar elcilindro interior. Considere que la distribución de lasvelocidades es lineal.

• La expresión

• La resistencia hidrodinámicaes mayor cuanto mayor es laviscosidad del fluido, y mayorcuanto más largo y másestrecho es el conducto.

• ¿Cuál es la resistencia al aguade una aguja hipodérmica de

20,0 cm de longitud y 0,060 cmde radio interno?

• Solución:

• Reemplazamos valores:

LEY DE POISEUILLE

h 4

8 LR

R

Resistencia

hidrodinámica h 4

8 LR

R

3

H 42

8 1,0 10 0,20R

0,060 10

9h 5

NsR 3,93 10

m

• El número de Reynolds es unamagnitud adimensional quesirve para determinar si elflujo es laminar o turbulento.

• El número de Reynolds paraun flujo de fluido de radio Rse define como:

• Si Re > 1 500, el flujo esturbulento

• Si Re < 1 000, el flujo eslaminar

• La velocidad media de lasangre en la aorta (r=1,19cm) durante la parteestacionaria del latido delcorazón es de unos 35,0cm/s . ¿Es laminar oturbulento el flujo? Laviscosidad de la sangre es2,08 x 10-3 Pa.s

• Solución:

NÚMERO DE REYNOLDS

e

vRR

3 2 2

e 3

1,1 10 35,0 10 1,19 10R

2,08 10

2 203eR

Flujo

turbulento

REPRESA RICOCOCHA

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RÍO MOSCÚ

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TRASVASE DEL RIO TOCANTIS AL SAN FRANCISCO

VENECIA.: PROYECTO MOISÉS

EL GRAN RIO ARTIFICIAL DE LIBIA

MAR ARAL 1973-2014

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. R. Serway, J. Jewett. Física para Ciencias e Ingeniería.

7° edición. Ed.Cengage Learning. Pág. 403-406.

2. J. Wilson, A. Buffa. Física. 6° edición. Ed. Pearson

Educación. Pág. 322-324.

3. Sears Zemansky. Física Universitaria. 12° edición.

Pearson Educación. Pág. 470-472.