apostila controle - 23 - modelagem de estado
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MODELAGEM DE ESTADO
Conceito de Estado Caractersticas e Vantagens Modelo Geral Diagrama de Blocos Formas de Representao Modelo Fsico Exerccios
Controle de Sistemas Mecnicos
Conceito de estadoO estado de um sistema o menor conjunto de variveis que permita uma descrio completa do sistema, ou seja, conhecida sua equao dinmica e respectivas entradas, os seus estados futuros podem ser previstos. Por exemplo, para que o deslocamento da massa em um sistema MMA seja previsto necessrio que se conhea o deslocamento e velocidade iniciais e a fora exercida ao longo do tempo. Portanto um possvel vetor de estado o deslocamento e velocidade, ou diferentes combinaes destas variveisControle de Sistemas Mecnicos
Caractersticas do modelo de estadoDomnio do tempo Notao matricial Vamos trabalhar com sistemas lineares invariantes no tempo (LIT), mas pode representar, da mesma forma, sistemas: no lineares variantes no tempo de mltiplas entradas e sadas
Controle de Sistemas Mecnicos
Vantagens do Modelo de Estadoequaes mais adaptadas soluo computacional, por ser matricial equaes de primeira ordem, onde a soluo conceitualmente simples e conhecida em particular para o caso de sistemas LIT, a mesma estrutura matricial aplica-se a todos os sistemas
Controle de Sistemas Mecnicos
Modelo de estado geralConsiderando um sistema de ordem n com p entradas e q sadas
u1 u2
y1 y2Planta
M up
M yq
o modelo mais geral dado por
yk (t ) = g k [x1 , x2 K xn , u1 , u2 Ku p , t ] k = 1,2K qControle de Sistemas Mecnicos
& xi (t ) = fi x1, x2 K xn , u1, u2 Ku p , t
[
]
i = 1,2Kn
Sistemas LITAs equaes podem ser resumidas: equaes de estado & x ( t ) = f ( x ( t ), u ( t ), t )
y ( t ) = g ( x ( t ), u ( t ), t )
equaes de sada
Ou ainda, na forma matricial linearizada p/ parmetros constantes e invariantes no tempo (LIT):
& x (t ) = A x (t ) + B u (t ) y (t ) = C x (t ) + D u (t )Onde A n x n, B n x p, C q x n e D q x p.
Controle de Sistemas Mecnicos
Diagrama de Blocos Modelo de Estado
r (t )Kp
u (t )B
-
A
x(t )C
y (t )
& x = Ax + Bu y = CxK
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Representao no Espao de EstadosMuitas tcnicas esto disponveis para obteno da representao Representao no espao de estados de no nica sistemas descritos por equaes diferenciais lineares Modelo Fsico modelo com variveis fsicas Formas cannicas Controlvel Observvel Diagonal JordanControle de Sistemas Mecnicos
Exerccio MMAPara um sistema MMA, determine o modelo de estado fsico correspondente e o seu diagrama de blocos. c k u && + y + y = & y m m m c k o vetor de estado m x1 y y
x= = & x2 y
respostay = deslocamentoControle de Sistemas Mecnicos
Exerccio MMA continuao& x1 x2 = 0 c k u & x2 + x2 + x1 = m m m
vetor de estado
x1 y x= = & x2 y
respostay = x1
na forma matricial 0 & x1 x = k &2 my = [1
1 0 x1 c + 1 u x2 m m x1 0] x2
Controle de Sistemas Mecnicos
Exerccio MMA continuaona forma matricial padronizada1 0 0 0 0 1 A= M M M a0 a1 a2 0 L 0 O M L an1 L 0 0 B= M 1
c k u && + y + y = & y m m mT
(b0 bn a0 ) (b b a ) C= 1 n 1 M (bn 1 bn an-1 )
D = bn
0 A= k m
1 c m
0 B= 1
1 C = m
0
D = [0 ]
Controle de Sistemas Mecnicos
Exerccio MMA: Diagrama de blocosDiagrama de blocos do sistemau 1/m + c/m
&& = x2 y &
z
& y = x2
z
y y = x1
k/m
notar que as sadas dos integradores so as variveis de estadoControle de Sistemas Mecnicos
Exerccio MMA: MatlabConsiderando m=2kg, c=3 N/m/s, k=10 N/m, montar o modelo de estado anterior usando Matlab. Usar os comandos ss, eig, damp, tf, roots e mostrar que os autovalores e os plos do sistema so os mesmos.
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Matlab: programa p/ o Exerccio MMAm=2; c=3; k=10; A=[0 1;-k/m -c/m]; B=[0;1/m]; C=[1 0]; D=0; sys=ss(A,B,C,D); impulse(sys)np=1/m; dp=[1 c/m k/m]; sys2=tf(np,dp); figure(2), impulse(sys2) eig(A) roots(dp) damp(A) damp(sys2)
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Exerccio 2DGLDetermine o modelo de estado fsico para o sistema abaixo, com 2 GDL.m1 = 2 c1 = 3 k1 = 10m2 = 50 c2 = 3 k 2 = 10
k1
c1
mk2
1
c2
& y 1 , y 1 , && 1 y
f (t ) = 10sen(2t ) N
mf (t )
2
y
2
& , y
2
, && 2 y
Controle de Sistemas Mecnicos
Exerccio 2DGL : soluoAplicando-se a lei de Newton a cada massa chega-se s seguintes equaes:& & m1 &&1 + 2cy1 cy2 + 2ky1 ky2 = 0 y & & m2 &&2 cy1 + cy2 ky1 + ky2 = f y
A partir dessas equaes deduzir os modelos de estado. Usar como vetor de estado o deslocamento e a velocidade de cada massa.
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Exerccio 2DGL : soluoDefinindo-se o vetor de estado como x1 = y1 x3 = y2& x2 = y1 & x4 = y 2
as equaes ficam ou ainda
& m1 x2 + 2cx2 cx4 + 2kx1 kx3 = 0 & m2 x4 cx2 + cx4 kx1 + kx3 = f
2c 2k k c & x3 x1 + x4 x2 = x2 + m1 m1 m1 m1 c c k k 1 & x4 = f+ x2 x4 + x1 x3 m2 m2 m2 m2 m2
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Exerccio 2DGL : soluoOrdenando os termos x &= k c 2k 2c x1 x2 + x3 + x4 m1 m1 m1 m1
2
& x4 =
k c k c 1 x1 + x2 x3 x4 + f m2 m2 m2 m2 m2
e lembrando que o modelo fica
& & x1 = y1 = x2 & & x3 = y2 = x4
0 & x1 2k x & 2 = m1 & x3 0 & k x4 m2
1 2c m1 0 c m2
0 k m1 0 k m2
0 0 x1 c x2 0 m1 u + 1 x3 0 c 1 x4 m2 m2
Controle de Sistemas Mecnicos
Exerccio 2DGL : soluoConsiderando a sada como a posio da massa 1:
y = x1 = y1
x1 x y = [1 0 0 0] 2 x3 x4 x1 1 0 0 0 x2 y= 0 0 1 0 x3 x4 Controle de Sistemas Mecnicos
Se desejarmos as duas posies:
Exerccio IRCPara o circuito abaixo, determine um modelo de estado fsico onde as variveis de estado so tenses no capacitores C1 e C2, a entrada uma fonte de tenso e a sada a tenso no segundo capacitor.R1K
R2 vo C1 C2
vi
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Exerccio IRC : SoluoAplicando as leis de Kirchhoff e as relaes de cada componente:
vi = R1i1 + vC1
R1K
R2
v2 = KvC1 v2 = R2i2 + vC 2vo C2
vi C1
v2
i1 = C1
dvC1 dt dvC 2 i2 = C2 dt v0 = vC 2
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Exerccio IRC : continuandoAdmitindo como variveis de estado e sada:
x1 = vC1vi = R1i1 + vC1 v2 = R2i2 + vC 2 v2 = KvC1 dvC1 dt dvC 2 i2 = C2 dt i1 = C1
x2 = vC 2 u = vi1 1 dx1 = x1 + u dt R1C1 R1C1 dx2 K 1 x1 x2 = dt R2C2 R2C2
y = vC 2
dx u = R1C1 1 + x1 dt dx2 + x2 Kx1 = R2C2 dt
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Exerccio IRC : concluindoO modelo de estado na forma matricial portanto1 1 dx1 = x1 + u dt R1C1 R1C1 dx2 K 1 x1 x2 = dt R2C2 R2C2 1 & x1 R1C1 x = K &2 R2C2 x1 1 + R1C1 u 1 x2 0 R2C2 0
y = x2
x1 y = [0 1] x2
O sistema acima chamado de modelo de estado com variveis fsicas.Controle de Sistemas Mecnicos
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