apostila de matematica
Post on 29-Jun-2015
11.588 Views
Preview:
TRANSCRIPT
MATEMÁTICA
1. CONJUNTOS ............................................................................................. MAT 1
2. NÚMEROS NATURAIS ................................................................................ MAT 9
3. SÍNTESE PARA AUTO AVALIAÇÃO ......................................................... MAT 15
4. O USO DAS EXPRESÕES ALGÉBRICAS .................................................. MAT 17
5. EQUAÇÃO DO 1 GRAU ............................................................................ MAT 25
6. SÍNTESE PARA AUTO AVALIAÇÃO .......................................................... MAT 31
7. EQUAÇÃO DO 2 GRAU ............................................................................ MAT 33
8. LOGARITMO ........................................................................................... MAT 41
9. SÍNTESE PARA AUTO AVALIAÇÃO .......................................................... MAT 51
10. O PLANO CARTESIANO .......................................................................... MAT 53
11. DERIVADAS ............................................................................................. MAT 57
12. LIMITES .................................................................................................. MAT 63
13. DERIVADAS ............................................................................................. MAT 65
14. TÁBUA DE INTEGRAIS ............................................................................ MAT 69
15. SÍNTESE PARA AUTO AVALIAÇÃO .......................................................... MAT 73
SUMÁRIO
APOSTILA INTERNET
ATIVIDADE ASSUNTO ATIVIDADE ASSUNTO
1 CONJUNTOS 1 Vídeo Aula 1
2 NÚMEROS NATURAIS 2 Vídeo Aula 2
3 SÍNTESE PARA AUTO-AVALIAÇÃO
3 Auto-avaliação
4 O USO DAS EXPRESSÕESALGÉBRICAS
4 Vídeo Aula 3
5 EQUAÇÃO DO 1º GRAU 5 Vídeo Aula 4
6 SÍNTESE PARA AUTO-AVALIAÇÃO
6 Auto-avaliação
7 TEORIA CLÁSSICA DAADMINISTRAÇÃO
7 Vídeo Aula 5
8 EQUAÇÃO DO 2º GRAU 8 Vídeo Aula 6
9 LOGARITMO 9 Auto-avaliação
10 SÍNTESE PARA AUTO-AVALIAÇÃO
10 Vídeo Aula 7
11 DERIVADAS 11 Vídeo Aula 8
12 LIMITES 12 Auto-avaliação
13 DERIVADAS 13 Vídeo Aula 9
14 TÁBUA DE INTEGRAIS 14 Vídeo Aula 10
15 SÍNTESE PARA AUTO-AVALIAÇÃO
15 Auto-avaliação
REFERÊNCIA CRUZADA
MATEMÁTICA
Matemática
MAT 1
OBJETIVOS
O aluno será capaz de identificar e relacionar os conceitos envolvendo
conjuntos.
TEXTO
Teoria dos Conjuntos, que tem
sua origem nos trabalhos do Matemático russo
Georg Ferdinand Ludwig Phillipp Cantor,
nascido em S. Petersburgo (1845-1918), e
são decorrência de três axiomas ou noções
primitivas - noções cuja verdade é de si
evidente:
a) Conjuntos
A noção de conjunto em
Matemática é praticamente a mesma utilizada
na linguagem cotidiana: agrupamento, classe,
coleção. Por exemplo:
Conjunto das letras maiúsculas do alfabeto;
Conjunto dos números inteiros ímpares;
Conjunto dos dias da semana;
Conjunto dos Prefeitos da cidade de Franca na ultima década.
b) Elemento
Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto. Assim:
V, I, C, H, E são elementos do primeiro conjunto acima;
3,5,7 são elementos do segundo;
Sábado, Domingo do terceiro; e
CONJUNTOS ATIVIDADE 1
MAT 2
Matemática
Gilmar, Sidnei o último.
c) Pertinência entre elemento e conjunto
Por exemplo, V é um elemento do conjunto das letras maiúsculas do
alfabeto, ou seja, V pertence àquele conjunto. Enquanto que v não pertence.
Como se vê são conceitos intuitivos e que se supõe sejam entendidos
por todos.
NOTAÇÃO
Conjunto: Representado, de forma geral, por uma letra maiúscula A, B, C,
…
Elemento: Por uma letra minúscula a, b, c, x, y, z, …
Pertinência: Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x é um elemento
de A (ou x pertence a A) indicamos por:
x ∈ A
Caso contrário, ou seja, se x não é um elemento de A (ou x não pertence
a A) escrevemos
x ∉ A
REPRESENTAÇÕES DE CONJUNTOS
a) Extensão ou Enumeração
Quando o conjunto é representado por uma listagem ou enumeração de
seus elementos. Devem ser escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-
vírgula.
Exemplos:
Conjunto dos nomes de meus filhos:
{Elinaldo, Edilene, Emiliane,Igor};
Conjunto dos meses com menos de 31 dias:
{fevereiro, abril, junho, setembro, novembro};
Conjunto dos números ímpares inteiros maiores do que 12 e
ATIVIDADE 1
Matemática
MAT 3
menores do que 20:
{11; 13; 15; 17; 19}.
b) Propriedade dos Elementos
Representação em que o conjunto é descrito por uma propriedade
característica comum a todos os seus elementos. Simbolicamente:
A = {x | x tem a Propriedade P}
e lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade P. ( |
lê-se tal que )
Exemplos:
A = {x | x é um time de futebol do Campeonato Brasileiro de
2006};
B = {x | x é um número inteiro ímpar e 9 < x < 21}.
C = {x | x é um deputado federal eleito em 2006}.
c) Diagrama de Euler-Venn
Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha fechada e não
entrelaçada, como mostrado na figura abaixo.
CONJUNTO UNITÁRIO E CONJUNTO VAZIO
A existência de conjunto com apenas um elemento, são chamados de
conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquer elemento, chamado de conjunto vazio
(Ø).
Exemplos de Conjuntos Unitários:
ATIVIDADE 1
MAT 4
Matemática
Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: {fevereiro};
Conjunto dos números inteiros maiores do que 20 e menores do
que 22: {21};
Exemplos de Conjuntos Vazios:
{x | x >1 0 e x <1 0} = Ø;
{x | x2 = -100 e x é um número real} = Ø.
CONJUNTO UNIVERSO
É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual
estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto.O conjunto
universo é representado por uma letra U.
IGUALDADE DE CONJUNTOS
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B
e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A:
A={ a,b,c,d} e B= { d,c,b,a} ⇒ A ⊂ B ou B ⊃ A logo A=B .
SUBCONJUNTO
Um conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se, e somente
se, todo elemento x pertencente a A também pertence a B.
A= { a,b,c,d} e B={a,b, c,d,e ,f} então A ⊂ B ou B ⊃ A
EXERCÍCIOS : GRUPO 1
1) Escreva em notação simbólica:
a) a é elemento de B
b) M é subconjunto de N .
c) L contém P
d) H não está contido em J .
ATIVIDADE 1
Matemática
MAT 5
e) H não contém J.
f) n não é elemento de M
2) Enumere os elementos de cada um dos conjuntos :
a) o conjunto dos números naturais entre 15 e 20 .
b) o conjunto dos números naturais menores que 5 .
c) o conjunto dos números pares entre 10 e 23 .
d) o conjunto dos números ímpares menores que 12 .
e) o conjunto dos números das frações próprias positivas de
denominador 5.
f) { x | x é letra da palavra Amora }
g) { x| x 2 = 9 e x – 4 = - 7 }
h) { x| x é algarismo do numero 2007 }
3) Escreva os conjuntos abaixo usando o método da propriedade
característica :
a) { 0,2,3,4,5,...,20}
b) { 2,8}
c) o conjunto dos números pares entre 5 e 13 .
d) o conjunto dos números reais entre -3 e 9 incluindo -3 e excluindo 9.
e) o conjunto dos números naturais entre 5 e 15 .
4) Seja M = { 3,5,7,9,11,12 }.Enumere cada um dos conjuntos abaixo:
a) { x ∈ M | x2 ≠ 9 }
b) { x ∈ M | x + 6 = 9 }
c) { x ∈ M | x é primo}
d) { x ∈ M | x é par }
e) { x ∈ M | s é impar }
5) Se N = { a , e ,i , o } ,diga se as proposições abaixo são corretas :
a) a ∈ N
ATIVIDADE 1
MAT 6
Matemática
b) a Ì N
c) { a } ∈ N
d) { a } Ì N
6) Construa todos os subconjuntos dos conjuntos abaixo:
a) { 1,2,3}
b) { 0,2,4}
c) { F,R,A N,C,A}
7) Dados os conjuntos M = { x | x é impar e positivo e menor que 10} e N
={ 1,3,5,7 ,9} assinale V ( verdadeiro) ou F ( falso) :
a) M ⊂ N b) M ⊃ N c) M = N
8) Diga se as proposições abaixo são corretas ou não:
a) { a,b,c}= { b,a ,c } b) ∅ ⊂ { 0,2,4,6} c) { 2 ,3 } ⊃ { x| x2-5x+6=0 }
9) Classifique os conjuntos em finitos ou infinitos:
a) o conjunto dos números pares
b) o conjunto dos números pares menores que 100.
c) { x | x ∈ N e x < 10 }
d) { x | x ∈ R e x > 0 }
10) Verifique se as afirmações são falsas ou verdadeiras :
a) Se M = { 0,5 ; 0; 3; 5 } e N = {0,5 ; 5 } , então N ⊂ M .
b) Se M = { 1,2,3,4} e N = { 1,3, 4} , então N ⊂ M .c) Se M = { 0,3 } e N = { 0,1,2,3} , então N ⊄ M .d) Se M = { 1,3,5} e N = { x ∈ ℜ| x – 1 = 2 } , então N ⊂ M .
ATIVIDADE 1
Matemática
MAT 7
REFERÊNCIAS
Silva, Sebastião Medeiros da, Matemática básica para cursos superiores. São Paulo:
Atlas, 2001.
Silva,Fernando César Marra e. Matemática básica para decisões administrativas.
São Paulo:Atlas,2007
ANOTAÇÕES
ATIVIDADE 1
MAT 8
Matemática
ATIVIDADE 1
ANOTAÇÕES
Matemática
MAT 9
OBJETIVOS
O aluno será capaz de relacionar os vários conjuntos apresentados.
TEXTO
O conjunto dos números naturais é representado pela letra N
maiúsculo, e estes números são feitos com algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Qualquer número que resulte de uma contagem de unidades é chamado de número
natural. O conjunto dos números naturais é representado por e o conjunto dos
números naturais não-nulos, é representado por *.
= {0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
* = {1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
Todo número natural tem um sucessor (número que vem depois do número dado).
Exemplo:
O sucessor de 0 é o 1.
O sucessor de 3 é o 4.
O sucessor de 10 é o 11.
Se um número natural é sucessor de outro, então, os dois números juntos são
chamados de consecutivos.
NÚMEROS NATURAIS ATIVIDADE 2
MAT 10
Matemática
Exemplo:
2 e 3 são números consecutivos.
18 e 19 são números consecutivos.
55 e 56 são números consecutivos.
Números Inteiros
A subtração nem sempre é possível em , por exemplo, não existe número natural
que represente a diferença 3 - 5.
Por isso, foi criado o conjunto dos números inteiros. Nesse conjunto a diferença 3 –
5 é representada por -2. Indica-se por o conjunto dos n[úmeros inteiros e por *
o conjunto dos números não-nulos:
= { ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
* = { ..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...}
Podemos ver que todo número natural é inteiro. Por isso, escrevemos (lê-se
“está contido em ou é o subconjunto de ").
Uma forma de representar geometricamente o conjunto é construir uma reta
numerada, considerar o número 0 como a origem, e o número 1 em algum lugar,
tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros
da seguinte maneira:
Observando ainda na reta numerada, podemos afirmar que todos os números
ATIVIDADE 2
Matemática
MAT 11
Números Racionais
A divisão nem sempre é possível em , por exemplo, não existe
número inteiro que represente o quociente -3 : 2.
Por isso, foi criado o conjunto dos números racionais. Nesse conjunto o quociente -3
: 2 é indicado por ou por –1,5. Indica-se por o conjunto dos números racionais
e por o conjunto dos números racionais não-nulos:
Observe, portanto que número racional é todo aquele que pode ser
representado com a razão entre dois números inteiros, com o segundo não-nulo.
Assim, entendemos que todo número inteiro também é racional, pois pode ser
considerado como uma razão de denominador 1, por exemplo: 5 = ; por isso,
escrevemos .
Como , temos também que .
Essas relações entre e podem ser resumidas pelo diagrama:
ATIVIDADE 2
MAT 12
Matemática
Números Irracionais
Dentre os números decimais existem as dízimas não-periódicas, que
são números com infinitas casas decimais e não-periódicos.
Esses números são chamados de irracionais, e o conjunto formado por eles é
indicado por ', isto é:
Números Reais
Qualquer número racional ou irracional é chamado de número real.
Podemos dizer, portanto que número real é todo número decimal, finito ou infinito.
Indica-se por * o conjunto dos números reais não-nulos, isto é:
As relações entre os conjuntos numéricos até agora apresentados
podem ser feitos em um diagrama:
ATIVIDADE 2
Matemática
MAT 13
Veja a seguir as notações para representar alguns subconjuntos
especiais de :
Representação geométrica de
A cada ponto de uma reta podemos associar um único número real, e a cada
número real podemos associar um único ponto na reta.
Dizemos que o conjunto é denso, pois entre dois números reais existem infinitos
números reais (ou seja, na reta, entre dois pontos associados a dois números reais,
existem infinitos pontos).
Veja a representação na reta de :
REFERÊNCIAS
Silva, Sebastião Medeiros da, Matemática básica para cursos superiores. São Paulo:
Atlas, 2001.
ATIVIDADE 2
MAT 14
Matemática
Silva,Fernando César Marra e. Matemática básica para decisões administrativas.
São Paulo:Atlas,2007
ANOTAÇÕES
ATIVIDADE 2
Matemática
MAT 15
OBJETIVOS
O aluno será capaz de reconhecer e associar as operações entre
conjuntos.
TEXTO
Na teoria dos conjuntos, um conjunto é descrito como uma coleção de
objetos bem definidos. Estes objetos são chamados de elementos ou membros do
conjunto. Os objetos podem ser qualquer coisa: números, pessoas, outros conjuntos,
etc
Os conjuntos podem ser representados por:
1-) Números Naturais
2-) Números Inteiros
3-) Números Racionais
4-) Números Irracionais
5-) Números Reais
SÍNTESE PARAAUTO-AVALIAÇÃO ATIVIDADE 3
MAT 16
Matemática
ANOTAÇÕES
ATIVIDADE 3
Matemática
MAT 17
OBJETIVOS
O aluno será capaz de relacionar e reconhecer uma expressão algébrica
dentre outras.
TEXTO
No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as
mesmas representam expressões algébricas ou numéricas.
Numa papelaria, quando calculamos o preço de um livro somado ao preço
de duas canetas, usamos expressões como 1a+2b, onde a representa o preço do livro e
b o preço de cada caneta.
Na cantina da faculdade, ao comprar um lanche, somamos o preço de um
refrigerante com o preço de um salgado, usando expressões do tipo 1r+1s onde s
representa o preço do salgado e r o preço do refrigerante.
Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se S é o
valor total de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expressão
algébrica do tipo S-(1r+1s)=T.
As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas
matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras
planas.
O USO DAS EXPRESSÕES ALGÉBRICAS ATIVIDADE 4
MAT 18
Matemática
Elementos históricos
Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representação de
números e relações. De acordo com fontes históricas, os gregos Euclides e Aristóteles
(322-384 a.C), usaram as letras para representar números. A partir do século XIII o
matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre Liber
Abaci (o livro do ábaco) sobre a arte de calcular, observamos alguns cálculos
algébricos.
O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o cálculo algébrico
passou a ser estudado pelo matemático alemão Stifel (1486-1567), pelos matemáticos
italianos Germano (1501-1576) e Bombelli (autor de Álgebra publicada em 1572), porém,
foi com o matemático francês François Viéte (1540-1603), que introduziu o uso ordenado
de letras nas analogias matemáticas, quando desenvolveu o estudo do cálculo
algébrico.
Expressões Numéricas
São expressões matemáticas que envolvem operações com números. Por
exemplo:
m = 7+5+4
q = (5×4)+15
Expressões Algébricas
São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter
números. São também denominadas expressões literais. Por exemplo:
M = 2a+7b
P = 23c+4
As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o
valor de cada letra pode ser substituído por um valor numérico.
Prioridade das operações numa expressão algébrica
Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte
ordem:
ATIVIDADE 4
Matemática
MAT 19
1. Potenciação ou Radiciação
2. Multiplicação ou Divisão
3. Adição ou Subtração
Observações quanto à prioridade:
1. Antes de cada uma das três operações citadas, deve-se realizar a
operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.
2. A multiplicação pode ser indicada por × ou por um ponto · ou às vezes
sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.
3. Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis
por valores negativos.
Exemplos:
1. Consideremos X=2A+10 e tomemos A=5. Assim
X = 2.5+10 = 10+10 = 20
2. Seja M=4A+2+B-7 e tomemos A=5 e B=7. Assim:
M = 4.5+2+7-7 = 20+2-0 = 22
Se A=5 e B=7, o valor numérico de M=4A+2+B-7, muda para 22.
Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido
na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico.
Exemplos:
1. Um triângulo eqüilátero possui os três lados com mesma medida. Calcular
o perímetro de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 5 cm, sabendo-se
que o perímetro de um triangulo eqüilátero pode ser representado por uma
expressão algébrica da forma: P=a+a+a=3a. Substituindo a=5cm nesta
expressão, obtemos P=3×5cm=15cm.
2. Para obter a área do quadrado cujo lado mede 7cm, devemos usar a
expressão algébrica para a área do quadrado de lado L que é A=L×L=L².
ATIVIDADE 4
MAT 20
Matemática
Assim, se L=7cm, então A=7×7=49cm².
Observação: Mudando o valor do lado para L=8cm, o valor da área mudará
para A=8×8=64cm².
3. Se a letra y representa um número natural, escreva a expressão algébrica
que representa cada um dos seguintes fatos:
a. O dobro desse número.
b. O sucessor desse número.
c. O antecessor desse número (se existir).
d. Um terço do número somado com seu sucessor.
4. Como caso particular do exercício anterior, tome a=9 e calcule o valor
numérico:
a. do dobro de a
b. do sucessor de a
c. do antecessor de a
d. da terça parte de a somado com o sucessor de a
Monômios e Polinômios
São expressões matemáticas especiais envolvendo valores numéricos e
literais, onde podem aparecer somente operações de adição, subtração ou
multiplicação.
Identificação das expressões algébricas
Com muita freqüência, as expressões algébricas aparecem na forma:
3x²y
onde se observa que ela depende das variáveis literais x e y, mas é
importante identificá-las com nomes como:
p(x,y) = 3x²y
para deixar claro que esta é uma expressão algébrica que depende das
ATIVIDADE 4
Matemática
MAT 21
variáveis x e y.
Esta forma de notação é muito útil e nos leva ao conceito de função de
várias variáveis que é um dos conceitos mais importantes da Matemática.
Valor numérico de uma expressão algébrica identificada
É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por
valores numéricos.
Exemplo: Tomando p(x,y)=3x²y, então para x=7 e y=2 temos que:
p(7,2) = 3 × 7² × 2 = 294
Se alterarmos os valores de x e de y para x=-1 e y=5, teremos outro valor
numérico:
A regra dos sinais (multiplicação ou divisão)
(+1) x (+1) = +1 (+1) ÷ (+1) = +1
(+1) x (-1) = -1 (+1) ÷ (-1) = -1
(-1) x (+1) = -1 (-1) ÷ (+1) = -1
(-1) x (-1) = +1 (-1) ÷ (-1) = +1
Regras da Potenciação
Para todos os números reais x e y diferentes de zero, e, m e n números
inteiros, tem-se que:
ATIVIDADE 4
MAT 22
Matemática
Operações com expressões algébricas de Monômios
1. Adição ou Subtração de Monômios
Para somar ou subtrair de monômios, devemos primeiramente eliminar os
parênteses e depois realizar as operações.
Exemplos:
A = -(4x)+(-7x) = -4x-7x = -11x
2. Multiplicação de Monômios
Para multiplicar monômios, deve-se primeiramente multiplicar os valores
numéricos observando com muito cuidado a regra de multiplicação dos sinais, multiplicar
as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
A = -(4x²y).(-2xy) = +8x³y²
3. Divisão de Monômios
Para dividir monômios, deve-se primeiramente dividir os valores numéricos
observando com muito cuidado a regra de divisão dos sinais, dividir as potências literais
de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
A = -(4x²y)÷(-2xy) = 2x
4. Potenciação de Monômios
Para realizar a potenciação de um monômio, deve-se primeiramente realizar
a potenciação do valor numérico levando em consideração o sinal, tomar as potências
literais e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
A =(+4x²y)³= 4³ x²y x²y ²y = 256 x6 y³
B =(-4x²y)³ = -4³x²y x²y x²y = -256x6 y³
ATIVIDADE 4
Matemática
MAT 23
Alguns Produtos Notáveis
1. Quadrado da soma de dois termos
Sabemos que x²=x.x, y²=y.y, mas não é verdade que
x² + y² = (x+y)²
a menos que um dos dois termos seja nulo. Este é um erro muito comum,
mas o correto é:
(x+y)² = x² + 2xy + y²
Isto significa que o quadrado da soma de dois números sem sempre é
igual à soma dos quadrados desses números.
(x+y)² = x² + 2xy + y²
Exemplos:
(x+8)² = x²+2.x.8+8² = x²+16x+64
(1+x/5)² = 1+ 2x/5 +x²/25
Exercícios: Desenvolver as expressões:
(a+8)² =
(4y+2)² =
2. Quadrado da diferença de dois termos
Como um caso particular da situação anterior, o quadrado da diferença de
x e y é igual ao quadrado de x somado com o quadrado de y menos duas vezes xy.
Resumindo:
(x-y)² = x² - 2xy + y²
Exemplos:
(x-4)² = x²-2.x.4+4² = x²-8x+16
ATIVIDADE 4
MAT 24
Matemática
Exercícios: Complete o que falta.
(5x-9)² =[ ]
(k-6s)² =[ ]
(p-[ ])² = p²-10p+[ ]
3. Produto da soma pela diferença de dois termos
Em geral, o produto da soma de x e y pela diferença entre x e y é igual ao
quadrado de x menos o quadrado de y.
(x+y)(x-y) = x² - y²
Exemplos:
(x+2)(x-2) = x²-2x+2x-4 = x²-4
Exercícios: Complete as expressões:
(6-m)(6+m) =
(b+6)(b-6) =
(6+b)(b-6) =
(6+b)(6-b) =
(100-u)(100+u) =
(u-100)(100+u) =
REFERÊNCIAS
Silva, Sebastião Medeiros da, Matemática básica para cursos superiores. São Paulo:
Atlas, 2001.
Silva,Fernando César Marra e. Matemática básica para decisões administrativas.
São Paulo:Atlas,2007
ATIVIDADE 4
Matemática
MAT 25
OBJETIVOS
O aluno será capaz de conhecer e relacionar uma equação ou
inequação do 1º grau.
TEXTO
Equação é qualquer igualdade que só é satisfeita para alguns valores
dos seus domínios.
Ex: 2x – 5 = 3 » o número desconhecido x recebe o nome de incógnita
De princípio, sem conhecer o valor da incógnita x, não podemos afirmar
se essa igualdade é verdadeira ou falsa.
Porém podemos verificar facilmente que a equação acima se torna
verdadeira para x = 4.
2x – 5 = 3 » 2x = 8 » x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto solução (S) é 4.
Equação do 1º grau
Chamamos equação do 1º grau na incógnita x a toda equação que pode
ser escrita na forma
ax + b = 0 , onde a é diferente de 0.
ax + b = 0 ( a e b são números reais e a ≠ 0 )
Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando a propriedade:
ax + b = 0 » ax = -b
x = -b / a
* Convém lembrar que podemos transformar uma equação em outra
equação equivalente mais simples. Podemos adicionar ou subtrair um mesmo número
EQUAÇÃO DO 1º GRAU ATIVIDADE 5
MAT 26
Matemática
a ambos os membros da igualdade. E multiplicar ou dividir ambos os membros de
uma equação por um número diferente de zero.
Ex: x – 5 = 0 » x –5 + 3 = 0 + 3 » x = 5
4x = 8 » 3.4x = 3.8 » x = 2
Resolução de equações do 1º grau:
Resolver uma equação significa encontrar valores de seus domínios que
a satisfazem.
Para resolver equações do 1º grau, basta colocar as incógnitas de um
lado do sinal (=) e os “números” do outro.
Para assimilarmos, vamos resolver alguns exemplos.
Determine o valor da incógnita x:
a) 2x – 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 » V = {9}
b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9)
3 –7 + 14x = 5 – x – 9
14x + x = 5 – 9 – 3 + 7
15x= 0
x = 0 » V= {0}
O método de resolução de equações do 1º grau, no qual coloca-se os
valores de um lado do sinal (=) e as incógnitas do outro é apenas um “macete”. Vamos
ATIVIDADE 5
Matemática
MAT 27
ver o que realmente ocorre:
Numa equação:
2x + 8 = 10
Adicionamos -8 a ambos os lados, afim de deixarmos o valor de 2x
“sozinho”. Observem:
2x + 8 - 8 = 10 - 8
2x = 2
x = 1
V={1}
Desigualdades do primeiro grau (1 variável)
Relacionadas com as equações de 1o. grau, temos as desigualdades de
primeiro grau, (também denominadas inequações) que são expressões matemáticas
em que os termos estão ligados por um dos quatro sinais:
Nas desigualdades, deseja-se obter um conjunto de todas os possíveis
valores que pode assumir uma ou mais incógnitas na equação proposta.
Exemplo: Determinar todos os números inteiros positivos para os quais
vale a desigualdade:
2x + 2 < 14
Para resolver esta desigualdade, deveremos seguir os seguintes passos:
ATIVIDADE 5
MAT 28
Matemática
Concluímos que o conjunto solução é formado por todos os números
inteiros positivos menores do que 6:
S = { 1, 2, 3, 4, 5 }
Para obter todos os números pares positivos satisfazendo à
desigualdade
2x + 2 < 14
o conjunto solução será:
S = { 2, 4 }
Observação: Quando aparece mais do que um dos quatro de
desigualdade, temos várias desigualdades “disfarçadas” em uma.
Exemplo: Determinar todos os números inteiros positivos para os quais
valem as desigualdades:
12 < 2x + 2 < 20
Para resolver estas desigualdades, poderemos seguir o seguinte
processo:
Concluímos que o conjunto solução é:
S = { 6, 7, 8, 9 }
ATIVIDADE 5
Matemática
MAT 29
Para obter todos os números inteiros negativos satisfazendo às
desigualdades
12 < 2x + 2 < 20
teremos apenas o conjunto vazio, como solução, isto é:
S = Ø = { }
REFERÊNCIAS
Silva, Sebastião Medeiros da, Matemática básica para cursos superiores. São Paulo:
Atlas, 2001.
Silva,Fernando César Marra e. Matemática básica para decisões administrativas.
São Paulo:Atlas,2007
ANOTAÇÕES
ATIVIDADE 5
MAT 30
Matemática
ATIVIDADE 5
ANOTAÇÕES
Matemática
MAT 31
OBJETIVOS
O aluno será capaz de reconhecer e relacionar os conjuntos numéricos e
suas aplicações.
TEXTO
Em matemática, uma equação é uma sentença aberta expressa por
uma igualdade envolvendo expressões matemáticas. As equações normalmente
propõem um problema sobre sua validade. Grosseiramente falando, uma equação é
composta por incógnitas e coeficientes. Os coeficientes são entidadades
matemáticas conhecidadas. Resolver a equação, ou seja, ou problema por ela
proposto consiste em determinar quem são os elementos de um determinado
conjunto (o das possíveis soluções) que tornam a equação verdadeira.
As entidades matemáticas envolvidas na equação podem , números
inteiros, conjuntos, funções entre outros.
DESIGUALDADES DO PRIMEIRO GRAU (1 VARIÁVEL)
Relacionadas com as equações de 1o. grau, temos as desigualdades de
primeiro grau, (também denominadas inequações) que são expressões matemáticas
em que os termos estão ligados por um dos quatro sinais:
Nas desigualdades, deseja-se obter um conjunto de todas os possíveis
valores que pode assumir uma ou mais incógnitas na equação proposta.
Exemplos:
A relaçao entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto
é dada pela equação q = 100 – 2 p .Determine os valores de p para os quais a
quantidade vendida é de no mínimo 40 unidades .
SÍNTESE PARAAUTO-AVALIAÇÃO ATIVIDADE 6
MAT 32
Matemática
Resolução :
q ≥ 40 , logo 100 - 2 p ≥ 40 ( realizando as operações imversas)
- 2 p ≥ 40 – 100
- 2 p ≥ - 60 ( – 1 ) → 2 p ≤ 60 → p ≤ 30
Resposta : O preço mínimo será de R$ 30,00 .
Um produto teve seu preço aumentado em 20% para pagamento a prazo,
resultando um total de R$600,00.Qual era o preço a vista?
Resolução:
Vamos chamar o preço a vista de x
O acréscimo correspondente a 20% de x ou 0,20 x .
O valor acrecido é : x + 0,20 x = 600
Resolvendo a equação temos : 1,2 x = 600 → x = 600 : 1,2
x = R$500,00.
Resposta : O valor à vista era de R$500,00.
ANOTAÇÕES
ATIVIDADE 6
Matemática
MAT 33
OBJETIVOS
O aluno será capaz de reconhecer e relacionar as situações problemas
envolvendo equação e ou inequação do 2º grau.
TEXTO
Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo
ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com .
Exemplos:
Equação a b c
x²+2x+1 1 2 1
5x-2x²-1 -2 5 -1
Classificação:
- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma
equação do 2º grau incompleta.
1º caso: b=0
Considere a equação do 2º grau incompleta:
x²-9=0 » x²=9 » x= » x=
EQUAÇÃO DO 2º GRAU ATIVIDADE 7
MAT 34
Matemática
2º caso: c=0
Considere a equação do 2º grau incompleta:
x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0 » x=0,9
3º caso: b=c=0
2x²=0 » x=0
Resolução de equações do 2º grau:
A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada
acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo
ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.
- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser
determinadas pela fórmula de Bháskara.
Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações
do 2º grau?
Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de
Bháskara:
Multiplicamos os dois membros por 4a:
4a²x²+4abx+4ac=0
4a²x²+4abx=-4ac
Somamos b² aos dois membros:
4a²x²+4abx+b²=b²-4ac
ATIVIDADE 7
Matemática
MAT 35
Fatorando o lado esquerdo e chamamos de (delta) ∆ = b²-4ac:
(2ax+b)²= 2ax+b= 2ax=-b
Logo:
ou
Fórmula de Bháskara:
Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:
1) 3x²-7x+2=0
a=3, b=-7 e c=2
= (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25
Substituindo na fórmula:
=
e
ATIVIDADE 7
MAT 36
Matemática
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:
2) - x² + 4x -4=0
a = -1, b= 4 e c= -4
∆ = b2 – 4ac = 42 -4( -1)(-4)= 16-16= 0
Substituindo na fórmula de Bháskara:
X= - 4 ± 0 = 2
- 2
- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais.
( )
3) 5x²-6x+5=0
a=5 b=-6 c=5
= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64
Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a
equação não possui nenhuma raiz real.
Logo:V = φ » vazio
ATIVIDADE 7
Matemática
MAT 37
Propriedades:
Duas raízes reais e diferentes
Duas raízes reais e iguais
Nenhuma raiz real
Relações entre coeficientes e raízes
Vamos provar as relações descritas acima:
Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são:
e
A soma das raízes será:
Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:
O produto das raízes será:
ATIVIDADE 7
MAT 38
Matemática
Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:
Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.
Obtendo:
Substituindo por e :
Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:
x² - Sx + P = 0
Exemplos:
1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:
a) x² - 4x + 3=0
[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:
b) 2x² - 6x -8 =0
Sendo a=2, b=-6 e c=-8
c) 4-x² = 0
Sendo a=-1, b=0 e c=4:
ATIVIDADE 7
Matemática
MAT 39
Resolução de equações fracionárias do 2º grau:
Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o
processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias.
Exemplos resolvidos:
a) Onde , pois senão anularia o denominador
[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x
Então:
Eliminando os denominadores, pois eles são iguais:
»
Aplicando a fórmula de Bháskara:
Logo, x = 2 e x` = 4. » S={2,-4}
REFERÊNCIAS
Silva, Sebastião Medeiros da, Matemática básica para cursos superiores. São Paulo:
ATIVIDADE 7
MAT 40
Matemática
Atlas, 2001.
Silva,Fernando César Marra e. Matemática básica para decisões administrativas.
São Paulo:Atlas,2007
ANOTAÇÕES
ATIVIDADE 7
Matemática
MAT 41
OBJETIVOS
O aluno será capaz de reconhecer e comparar os conceitos e
propriedades de um logaritmo.
TEXTO
Na Matemática, o logaritmo de base b, maior que zero e diferente de
1, é uma função de domínio e imagem , bijetora e contínua que retorna o
expoente na equação bn = x. Usualmente é escrito como logb x = n. Por exemplo:
. Em termos simples o logaritmo é o expoente
que uma dada base deve ter para produzir certa potência. No último exemplo o
logaritmo de 81 na base 3 é 4, pois 4 é o expoente que a base 3 deve usar para
resultar 81.
O logaritmo é uma de três funções intimamente relacionadas. Com bn =
x, b pode ser determinado utilizando radicais, n com logaritmos, e x com
exponenciais.
Um antilogaritmo é usado para mostrar o inverso de um logaritmo. Ele
é escrito da seguinte maneira: antilogb(n) e significa o mesmo que bn.
Um logaritmo duplo é a inversa da exponencial dupla. Um super-
logaritmo ou hiper-logaritmo é a inversa da função super-exponencial. O super-
logaritmo de x cresce ainda mais lentamente que o logaritmo duplo para x grande.
Um logaritmo discreto é uma noção relacionada na teoria finita de
grupos. Para alguns grupos finitos, acredita-se que logaritmo discreto seja muito
difícil de ser calculado, enquanto exponenciais discretas são bem fáceis. Esta
assimetria tem aplicações em criptografia
LOGARITMO ATIVIDADE 8
MAT 42
Matemática
Logaritmos e exponenciais: inversas
Logaritmos em várias bases: uma linha representa a base e, outra a
base 10, e outra a base 1.7. Note como logaritmos de todas as bases passam pelo
ponto (1, 0).
Para cada base (b em bn), existe uma função logaritmo e uma função
exponencial; elas são as funções inversas. Com bn = x:
• Exponenciais determinam x quando dado n; para
encontrar x, se multiplica b por b (n) vezes.
• Logaritmos determinam n quando dado x; n é o número
de vezes que x precisa ser dividido por b para se obter 1.
Para diferenciar o gráfico da função logarítmica do gráfico da função
exponencial, pode-se utilizar a Regra da Mão Direita:
Bases não especificadas
• Matemáticos geralmente entendem "ln(x)" ou "log(x)"
como significando loge(x), i.e., o logaritmo natural de x, e escrevem "log10(x)"
se o logaritmo na base-10 de x é procurado.
Engenheiros, biólogos e outros escrevem apenas "ln(x)" ou (ocasionalmente)
"loge(x)" quando se trata do logaritmo natural de x, e tomam "log(x)" para log10(x) ou,
no contexto da computação, log2(x).
ATIVIDADE 8
Matemática
MAT 43
• Algumas vezes Log(x) (L maiúsculo) é usado significando
log10(x), pelas pessoas que usam log(x) com l minúsculo significando loge(x).
• A notação Log(x) também é usada pelos matemáticos
para se referir ao ramo principal da função logaritmo natural.
• Nas linguagens de programação mais usadas, incluindo
C, C++, Pascal, Fortran e BASIC, "log" ou "LOG" significa o logaritmo natural.
A maior parte das razões para se pensar em logaritmos na base 10
tornaram-se obsoletas logo após 1970 quando calculadoras de mão se tornaram
populares (para mais sobre esse assunto, veja logaritmo comum). Não obstante,
uma vez que calculadoras são feitas e normalmente usadas por engenheiros, as
convenções usadas por eles foram incorporadas nas calculadoras, agora a maioria
dos não-matemáticos tomam "log(x)" como o logaritmo na base 10 de x e usam
"ln(x)" para se referir ao logaritmo natural de x. A notação "ln" foi introduzida em
1893 por Irving Stringham, professor de matemática da Universidade de Berkeley.
Até 2005, alguns matemáticos adotaram a notação "ln", mas a maioria usa "log". Em
Ciência da Computação o logaritmo na base 2 é escrito como lg(x) para evitar
confusão. Este uso foi sugerido por Edward Reingold e popularizado por Donald
Knuth.
Quando "log" é escrito sem uma base (b faltando em logb), o significado
pode normalmente ser determinado através do contexto:
• logaritmo natural (loge) em Análise;
• logaritmo binário (log2) com intervalos musicais e em
assuntos que lidam com bits;
• logaritmo comum (log10) quando tabelas de logaritmos são
usadas para simplificar cálculos manuais;
• logaritmo indefinido quando a base é irrelevante.
ATIVIDADE 8
MAT 44
Matemática
Mudança de base
Apesar de existirem identidades muito úteis, a mais importante para o
uso na calculadora é a que permite encontrar logaritmos com bases que não as que
foram programadas na calculadora (normalmente loge e log10). Para encontrar um
logaritmo com uma base b usando qualquer outra base a:
PROVA DA FÓRMULA DE MUDANÇA DE BASE
por definição
aplica-se em ambos os lados
simplifica-se o lado esquerdo da
igualdade
divide-se por logk(b)
Tudo isso implica que todas as funções logaritmo (qualquer que seja
sua base) são similares umas às outras.
Logaritmos são úteis para se resolver equações cujos expoentes são
desconhecidos. Eles possuem derivadas simples, por isso eles são comumente
usados como soluções de integrais . Além disso, várias quantidades na ciência são
expressas como logaritmos de outras quantidades.
Algumas vezes (especialmente em análise) é necessário calcular
funções exponenciais arbitrárias f(x)x usando se apenas a exponencial natural ex:
ATIVIDADE 8
Matemática
MAT 45
= exlog(f(x))
Logaritmos trocam números por expoentes. Mantendo-se a mesma
base, é possível tornar algumas poucas operações mais fáceis:
OPERAÇÃO
COM NÚMEROS
OPERAÇÃO COM
EXPOENTESIDENTIDADE LOGARÍTMICA
Demonstração da identidade log(a) + log(b) = log(ab)
Por definição, se: log(a) = x então a = 10x. Logo, considerando-se b =
10y, tem-se:
Observa-se em ambos os lados da expressão acima que x + y = x + y,
o que comprova a identidade.
Antes da calculadora eletrônica, isto fazia com que operações difíceis
de dois números fossem muito mais fáceis. Simplesmente se achavam os logaritmos
dos dois números (multiplique e divida) ou o primeiro número (potência ou raiz, onde
um número já é um expoente) em uma tabela de logaritmos comuns, realizava-se
uma operação mais simples neles, e se encontrava o resultado numa tabela. Réguas
de cálculo realizavam as mesmas operações usando logaritmos, mas mais
rapidamente e com menor precisão do que usando tabelas. Outras ferramentas para
realizar multiplicações antes da invenção da calculadora incluem Napier's bones e
calculadoras mecânicas.
ATIVIDADE 8
MAT 46
Matemática
História
Joost Bürgi, um relojoeiro suíço a serviço do Duque de Hesse-Kassel,
foi o primeiro a formar uma concepção sobre logaritmos. O método dos logaritmos
naturais foi proposto pela primeira vez em 1614, em um livro intitulado Mirifici
Logarithmorum Canonis Descriptio escrito por John Napier, Barão de Merchiston na
Escócia, quatro anos após a publicação de sua memorável invenção. Este método
contribuiu para o avanço da ciência, e especialmente a astronomia, fazendo com
que cálculos muito difíceis se tornassem possíveis. Anterior à invenção de
calculadoras e computadores, era uma ferramenta constantemente usada em
observações, navegação e outros ramos da matemática prática. Além de sua
imensa utilidade na realização de cálculos práticos, os logaritmos também têm um
papel muito importante em matemática teórica.
De início, Napier chamou os logaritmos de "números artificiais" e os
antilogaritmos de "números naturais". Mais tarde, Napier formou a palavra logaritmo,
para significar um número que indica uma razão: ?o?o? (logos) que significa razão, e
a???µo? (arithmos) significando número. Napier escolheu dessa forma porque a
diferença entre dois logaritmos determina a razão entre os números dos quais eles
são tomados, de forma que uma série aritmética de logaritmos corresponde a uma
série geométrica de números. O termo antilogaritmo foi introduzido no final do século
XVII e, apesar de nunca ter sido usado muito na matemática, persistiu em coleções
de tabelas até não ser mais usado.
Napier não usou uma base como a concebemos hoje, mas seus
logaritmos eram na base . Para facilitar interpolações e cálculos, é útil fazer a razão
r na série geométrica próximo de 1. Napier escolheu r = 1 ? 10 ? 7 = 0.999999, e
Bürgi escolheu r = 1 + 10 ? 4 = 1.0001. Os logaritmos originais de Napier não tinham
log 1=0, ao invés disso tinham log 107 = 0. Desse modo se N é um número e L é seu
logaritmo tal qual calculado por Napier, N = 107(1 ? 10 ? 7)L. Uma vez que (1 ? 10 ? 7)
é aproximadamente 1 / e, L é aproximadamente 107log1 / eN / 107.
ATIVIDADE 8
Matemática
MAT 47
Tabelas de logaritmos
Antes do advento do computador e da calculadora, usar logaritmos
significava usar tabelas de logaritmos, que tinham de ser criadas manualmente.
Logaritmos de base-10 são úteis em cálculos quando meios eletrônicos não são
disponíveis. Veja logaritmo comum para detalhes, incluindo o uso de características
e mantissas de logaritmos comuns (i.e., base-10).
Em 1617, Briggs publicou a primeira versão de sua própria lista de
logaritmos comuns, contendo os logaritmos com 8 dígitos de todos os inteiros
inferiores a 1.000. Em 1624 ele publicou ainda outra, "Aritmética Logaritima",
contendo os logaritmos de todos os inteiros de 1 a 20.000 e de 90.000 a 100.000,
juntos com uma introdução que explicava a história, a teoria e o uso dos logaritmos.
O intervalo de 20.000 a 90.000 foi preenchido por Adrian Vlacq; mas em sua tabela,
que apareceu em 1628, os logaritmos eram de somente 10 dígitos.
Foram descobertos mais tarde 603 erros na tabela de Vlacq, mas "isso
não pode ser considerado uma grande quantidade, quando se é considerado que a
tabela foi um resultado de um cálculo original, e que é possível haver erros quando
mais de 2.100.000 números são utilizados." (Athenaeum, 15 de Junho de 1872. Veja
também as "Notícias Mensais da Sociedade Real de Astronomia" de Maio, 1872.)
Uma edição do trabalho de Vlacq, contendo diversas correções, foi publicado em
Leipzig, 1794, titulado de "Thesaurus Logarithmorum Completus" por Jurij Vegal.
A tabela de 7 dígitos de Callet (Paris, 1795), ao invés de parar em
100.000, dava os logaritmos de oito dígitos dos números entre 100.000 e 108.000,
visando diminuir os erros de interpolação, que eram grandes no início da tabela; e
essa adição era geralmente incluída em tabelas de 7 dígitos. A única extensão
publicada importante da tabela de Vlacq foi feita por Mr. Sang, em 1871, cuja tabela
tinha os logaritmos de 7 casas de todos os números abaixo de 200.000.
Briggs e Vlacq também publicaram tabelas originais de logaritmos de
funções trigonométricas.
ATIVIDADE 8
MAT 48
Matemática
Além das tabelas mencionadas acima, uma grande coleção, chamada
Tables du Cadastre, foi feita sob a direção de Prony, por um cálculo original, sob a
ajuda do governo republicano francês. Esse trabalho, que continha os logaritmos de
9 dígitos de todos os números até o 100.000, e de 24 dígitos dos números entre
100.000 e 200.000, existe apenas no manuscrito in seventeen enormous folios, no
observatório de Paris. Esse trabalho foi iniciado em 1792, e para garantir uma
grande precisão de todos os cálculos, o trabalho foi realizado de duas formas
diferentes, e ambos os manuscritos foram subsequentemente e cuidadosamente
unidos, tendo todo o trabalho sido realizado em um período de dois anos (English
Cyclopaedia, Biography, Vol. IV., artigo "Prony"). Interpolação cúbica poderia ser
utilizada para encontrar o valor dos logaritmos, com uma precisão similar.
Para os estudantes de hoje, que contam com a ajuda de calculadoras,
o trabalho a respeito das tabelas acima mencionada, é pequeno para o avanço dos
logaritmos.
Algoritmo
Para calcular logb(x) se b e x são números racionais e x ? b > 1:
Se n0 é o maior número natural tal que bn0 ? x ou, alternativamente,
então
Este algoritmo recursivamente produz a fração contínua
ATIVIDADE 8
Matemática
MAT 49
REFERÊNCIAS
Silva, Sebastião Medeiros da, Matemática básica para cursos superiores. São Paulo:
Atlas, 2001.
Silva,Fernando César Marra e. Matemática básica para decisões administrativas.
São Paulo:Atlas,2007
ANOTAÇÕES
ATIVIDADE 8
MAT 50
Matemática
ATIVIDADE 8
Matemática
MAT 51
OBJETIVOS
O aluno será capaz de relacionar e interpretar corretamente os conceitos
de função.
TEXTO
Função quadrática (Parábola)
A função quadrática f:R->R é definida por
f(x)=ax²+bx+c
onde a, b e c são constantes reais, sendo que Dom(f)=R, Im(f)=R. Esta
função também é denominada função trinômia do segundo grau, uma vez que a
expressão
a x² + b x + c = 0
representa uma equação trinômia do segundo grau ou simplesmente
uma equação do segundo grau. O gráfico cartesiano desta função polinomial do
segundo grau é uma curva plana denominada parábola.
A função do segundo grau mais simples é a função . Todo ponto de
seu gráfico é da forma , ou seja, a ordenada de cada ponto é o quadrado da abscissa.A curva obtida denomina-se parábola
SÍNTESE PARAAUTO-AVALIAÇÃO ATIVIDADE 9
MAT 52
Matemática
O objetivo aqui é o de descobrir como é o gráfico da função do
segundo grau y=ax2+bx+c, onde , quando comparado ao gráfico de y=x2,
observando as transformações realizadas, dependendo dos parâmetros a, b e c.
Para adquirir essa compreensão, começamos com situações mais simples, tendo
sempre como referência o gráfico de y=x2.
ANOTAÇÕES
ATIVIDADE 9
Matemática
MAT 53
OBJETIVOS
O aluno será capaz de relacionar e entender os conceitos de função do
primeiro e segundo graus.
TEXTO
O PLANO CARTESIANO
Referência histórica: Os nomes Planos Cartesiano e Produto
Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes (1596-1650), filósofo e
matemático francês. O nome de Descartes em Latim era Cartesius, daí vem o nome
cartesiano. plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y
perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das
abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando
a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano
cartesiano ortogonal.
Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado por um par
ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada
respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.
O primeiro número indica a medida do deslocamento a partir da origem
para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo).
ATIVIDADE 10
MAT 54
Matemática
O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima
(se positivo) ou para baixo (se negativo). Observe no desenho que: (a,b) (b,a) se
a b.
Funções quadráticas
Sejam a, b e c números reais, com o não nulo. A função quadrática é
uma função f:R R que para cada x em R, f(x)=ax²+bx+c.
Exemplos:
1. f(x)=x²
2. f(x)=-4 x²
3. f(x)=x²-4x+3
4. f(x)=-x²+2x+7
O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada
parábola.
Construção gráfica de uma parábola.
ATIVIDADE 10
Matemática
MAT 55
Seja y = x²+2x-3
Temos: a = 1 , b = 2 e c= -3 , logo ∆= b2 – 4 a c = 2 2- 4 ( 1)(-3)=16
x1= 1
x = - b ± ? ∆ = - 2 ± 4 = raízes ou zeros da função( 1,0) e ( -3,0)
2 b 2(1) x 2= -3
Vértice da parábola : V = ( - b , -∆ )
2a 4a
Assim temos :
x v = -2 = -1 y v = -16 = - 4 , logo V = ( -1, -4 )
2 4
Agora observe como ficou o gráfico que representa a parábola:
Construir, usando o procedimento apresentado acima, para a
representação gráfica das funções quadráticas :
a) y = x 2- 4 x + 3
b) y= -x 2+ 10 x -16
c) y = x 2
d) y = x 2 – 6 x + 9
ATIVIDADE 10
MAT 56
Matemática
Construir, usando o procedimento apresentado acima, para a
representação gráfica das funções quadráticas :
a) y = x 2- 4 x + 3
b) y= -x 2+ 10 x -16
c) y = x 2
d) y = x 2 – 6 x + 9
2) Expressar a área de um círculo em função de seu raio r .Qual é o
domínio desta função?
3) O comprimento de um dos lados de um campo de futebol de forma
regular é 40% maior que o comprimento do outro lado. Um jogador deve percorrer a
diagonal do campo. Qual é o modelo funcional que descreve a distância a ser
percorrida pelo jogador em função:
a) do comprimento maior do campo?
b) do comprimento menor do campo?
4) Construir um modelo funcional que descreva a área de um triângulo
eqüilátero em função do seu lado.
5) O comprimento dos lados iguais de um triângulo isósceles é de 10 cm.
Construa um modelo funcional que descreva a área desse triângulo em função do
terceiro lado.
REFERÊNCIAS
Silva, Sebastião Medeiros da, Matemática básica para cursos superiores. São Paulo:
Atlas, 2001.
Silva,Fernando César Marra e. Matemática básica para decisões administrativas.
São Paulo:Atlas,2007
ATIVIDADE 10
Matemática
MAT 57
OBJETIVOS
O aluno será capaz de relacionar os conceitos de limites e derivadas e
aplicações.
TEXTO
A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da
tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva
representativa de
y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao
gráfico da função no ponto x0.
DERIVADAS
A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também
pelos símbolos:
y' , dy/dx ou f ' (x).
A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é dada por:
São comuns as interpretações da derivada: geométrica e
trigonométrica, isto é, geometricamente, a derivada é a reta tangente à uma curva
de uma função qualquer y = f(x), em um ponto x0 da mesma (daí a importância de se
definir derivada em um ponto x0), enquanto que trigonometricamente, seu valor é
igual à tangente que essa reta faz com o eixo dos x. É importante deixar claro que
não são duas interpretações independentes como parece, mas são formas de
interpretar que se complementam.
ATIVIDADE 11
MAT 58
Matemática
Exemplos
a) Queremos estudar o comportamento da função y= x2 + 4 próximo
ao ponto p = 3. Para isso, vamos calcular a taxa média de variação no intervalo de
extremos 3 e x ,
b = x y = f (x ) = x2 + 4
a = 3 y = f( 3 )= 3 2 + 4 = 13
∆ x = x – 3 ∆ y = x2 + 4 – 13 = x2 – 9 ∴ TMV = ∆ y = x2 – 9
∆ x x – 3
Se queremos o comportamento da TMV próximo ao ponto p = 3 devemos calcular o
limite:
Lim x 3 = x2 – 9
x – 3
que é o limite que conduz a uma fração do tipo 0 .
0
Portanto devemos construir tabelas :
x y x y2
2,9
2,99
2,999
5
5,9
5,99
5,999
4
3,1
3,01
3,001
7
6,1
6,01
6,001
3 6 3 6
Logo o valor do limite é, L = 6
ATIVIDADE 11
Matemática
MAT 59
A derivada de y x2 + 4 no ponto p=3 vale 6, e indicamos: y ´= (3) = 6.
Interpretação : próximo ao ponto p= 3, a tendência da função é crescer 6.
Cálculo da função derivada
1) Derivada da potência
Se y = x α , com α∈R ,então sua derivada é y ´= (x α ) ´= α x α- 1 .
Exemplos
a) y = 3 x 2 y ´= 6 x 1
b) y = 5x 6 y´ = 30 x 5
c) y = x -3 y ´= -3 x -4
Regras de derivação
R1 Derivada do produto de uma constante k por uma função.
Se y =k x α , com α∈R ,então sua derivada é y ´= k(x α ) ´= kα x α- 1 .
Exemplos :
a) y = 3 y´ = ( 3x -2) ´ = -6 x -3
x 2
b) y = 5 √ x y ´= ( 5 x ½)´= 5 ( x ) -1/2
2
ATIVIDADE 11
MAT 60
Matemática
R2 Derivada da soma (ou diferença) de funções
Se f e h são funções deriváveis e y = f ± h ,então sua derivada é: y ´= ( f ± h)´= f ´±
h´.
Exemplos:
a) y = x 3 + x 2 y ´= 3 x 2 + 2 x
b) y = x 6 + x 8 y´= 6 x 5 + 8 x 7
2) Derivada de uma constante
Seja y = k , sua derivada é y ´= ( k) ´
Exemplos:
a) y – 12 y ´= 0
b ) y = - 0,56 y ´= 0
3) Derivada de um produto de duas funções .
Se y = f (x ) . h( x) y´= f(x) + h(x)´+ f ( x) ´h(x)
Exemplos : y = 3 x2 . (6x + 1) y ´= 3 x2 .6 + 6x .( 6x + 1) = 54 x2 + 6
ATIVIDADE 11
Matemática
MAT 61
REFERÊNCIAS
Silva, Sebastião Medeiros da, Matemática básica para cursos superiores. São Paulo:
Atlas, 2001.
Silva,Fernando César Marra e. Matemática básica para decisões administrativas.
São Paulo:Atlas, 2007.
ANOTAÇÕES
ATIVIDADE 11
MAT 62
Matemática
ATIVIDADE 11
Matemática
MAT 63
LIMITES
OBJETIVOS
O aluno será capaz de relacionar e interpretar corretamente os conceitos
de função.
TEXTO
DEFINIÇÃO
Dizer que o limite de uma função y= f(x),em um ponto p ,é um número L,é
afirmar que, à medida que x se aproxima de pós valores da função aproxima-se do
número L.
Calcular limites desse tipo não gera problema algum, pois a função dada
está definida no ponto para o qual a variável x está tendendo. Nesse caso, usamos o
Teorema sobre as propriedades dos limites, que nos permite calcular o limite da
soma, produto ou quociente de funções, desde que algumas hipóteses estejam
satisfeitas.
DEFINIÇÃO DE DERIVADA
Quando os dois pontos da curva se aproximam indefinidamente, a
secante (reta que passa por esses dois pontos) acaba por transformar-se na tangente
à curva no ponto a, ou seja calculamos o limite da razão incremental quando a
distância entre os dois pontos tende para zero.
Geometricamente, a derivada é o declive da reta r no ponto a quando h
tende para zero. Por outras palavras: calcular a derivada duma função num ponto a é
determinar a tangente trigonométrica da tangente geométrica a curva nesse ponto.
ATIVIDADE 12
MAT 64
Matemática
Definição analítica. : f é derivável em a se existe eescreve-se :
outra forma menos usual de apresentar esta definição é
onde representa o acréscimo da variável
Do que foi visto anteriormente, a derivada duma função exprime o coeficiente de variação da função no ponto a.
ANOTAÇÕES
ATIVIDADE 12
Matemática
MAT 65
OBJETIVOS
O aluno será capaz de reconhecer e relacionar os conceitos de
derivadas.
TEXTO
Observando a fig. ao abaixo onde está representada uma função f(x),
verifica-se que quando o valor de x aumenta de a para b a função f(x) também passa
de f(a) para f(b). Portanto à variação de para b sucede a variação de f(a) para f(b).
Para calcular a variação média da função basta fazer o quociente entre estas duas
variações. No fundo estamos a calcular o declive da reta secante à curva em a e b
É, por exemplo, o que se passa quando se quer calcular a velocidade
média de um móvel cuja trajetória é a curva f(x)
DERIVADAS ATIVIDADE 13
MAT 66
Matemática
Definição de derivada
Quando os dois pontos da curva se aproximam indefinidamente, a
secante (reta que passa por esses dois pontos) acaba por transformar-se na
tangente à curva no ponto a, ou seja calculamos o limite da razão incremental
quando a distância entre os dois pontos tende para zero.
Geometricamente, a derivada é o declive da reta r no ponto a
quando h tende para zero. Por outras palavras: calcular a derivada duma
função num ponto a é determinar a tangente trigonométrica da tangente
geométrica a curva nesse ponto.
Definição analítica. : f é derivável em a se existe eescreve-se
outra forma menos usual de apresentar esta definição é
onde representa o acréscimo da variável
ATIVIDADE 13
Matemática
MAT 67
Exemplo 1:
1- Determinar, usando a definição , a derivada de v(x) = x2 - x no ponto 3
Notação de Leibniz
Até aqui temos designado a derivada de uma função f por f '(x) ( ou
também como D(f(x)) ). Mas existe outra notação, devida a Leibniz, para traduzir a
derivada duma função:
Algumas derivadas básicas
Nas fórmulas abaixo, u e v são funções da variável x.
a, b, c e n são constantes.
Derivada de uma constante
Derivada da potência
Portanto:
ATIVIDADE 13
MAT 68
Matemática
Soma / Subtração
Produto por uma constante
Derivada do produto
Derivada da divisão
Potência de uma função
Derivada de uma função composta
REFERÊNCIAS
Silva, Sebastião Medeiros da, Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2001.
Silva,Fernando César Marra e. Matemática básica para decisões administrativas.São Paulo:Atlas,2007
ATIVIDADE 13
Matemática
MAT 69
TÁBUA DE INTEGRAIS
OBJETIVOS
O aluno será capaz de reconhecer e aplicar corretamente os conceitos
de integral.
TEXTO
Integração é uma das duas operações básicas em cálculo. Como, ao
contrário da diferenciação, é uma operação não-trivial, existem tabelas de integrais
conhecidas que frequentemente se mostram úteis. Esta página relaciona algumas das
antiderivadas mais comuns.
Usa-se C como constante arbitrária de integração que só pode ser
determinada se tivermos conhecimento do valor da integral em algum ponto específico.
Cada função tem infinitas antiderivadas, diferenciadas entre si pelo valor específico de
C.
O uso do sinal ( ‘ ) denota a derivada da função em ordem a x.
Estas fórmulas são apenas outra forma de apresentação das asserções
da tabela de derivadas.
INTEGRAL DE RIEMANN
Definição
Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e a = xo < x 1 < x2 < ....< x n =b,
a subdivisão do intervalo[a,b] em intervalos parciais.Em cada um desses intervalos
parciais, escolhemos um ponto p.
A soma :
Σ f( pi) .∆xi= f (p1) .∆x1+ f (p2) .∆x2+…..+ f(pn) .∆xn
recebe o nome de Soma de Riemann da função f sobre o intervalo [a,b] para as
ATIVIDADE 14
MAT 70
Matemática
divisão adotada e para a escolha dos pontos p em cada intervalo.
Cálculo da integral definida
Exemplo
Dado y = f(x),calcular sua primitiva F(x).
Seja y = 5 ,x ÎR
A função F(x)= 5x é uma primitiva de f, pois :F´(x) =(5 x)´= 5
A função F(x)= 5x + 10 é uma primitiva de f, pois :F´(x) =(5 x + 10)´= 5
A função F(x)= 5x - 4 é uma primitiva de f, pois :F´(x) =(5 x- 4 )´= 5
INTEGRAL INDEFINIDA
∫ f (x) dx = F( x) + C
Exemplo:
Calcular a integral indefinida da função: y = 4x + 5 , x ∈ R .
∫ (4x + 5) dx = 2 x2 + 5 x + c
Cálculo da integral indefinida
Fórmulas básicas de integração
Sejam f e g funções que tenham primitivas
P1 – A integral da soma ou diferença de duas funções.
P2-A integral do produto de duas funções
ATIVIDADE 14
Matemática
MAT 71
Integrais de Funções Simples
Logaritmos
Caso particular:
Funções Exponenciais
Caso particular:
Funções Trigonométricas
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Calcular as integrais indefinidas
a) ∫ 4 dx
b) ∫ -6 dx
c) ∫0,5 dx
d) ∫ ¾ dx
e) ∫(x 2 – x ) dx
f)∫10x 4 dx
g) ∫6x 2 + 3x – 7)dx
h) ∫ 2 ex dx
i) ∫ 3 sen x dx
j) ∫ ( 3x – 2 cox ) dx
l) ∫ ( (1 – 2 cos x) dx
ATIVIDADE 14
MAT 72
Matemática
REFERÊNCIAS
Silva, Sebastião Medeiros da, Matemática básica para cursos superiores. São Paulo:
Atlas, 2001.
Silva,Fernando César Marra e. Matemática básica para decisões administrativas. São
Paulo:Atlas, 2007
ANOTAÇÕES
ATIVIDADE 14
Matemática
MAT 73
OBJETIVOS
O aluno será capaz de resolver e relacionar derivadas e integral.
TEXTO
Regras de integração de funções em geral
ou, de outra forma,
INTEGRAIS DE FUNÇÕES SIMPLES
Logaritmos
Caso particular:
SÍNTESE PARAAUTO-AVALIAÇÃO ATIVIDADE 15
MAT 74
Matemática
Funções Exponenciais
Caso particular:
Funções Trigonométricas
Uma aplicação da integral indefinida
1) A integral indefinida funciona como uma espécie de inversa para a derivada. Se f(x)=x², então:
x² dx = x³/3 + C
Algumas regras das integrais indefinidas
Como a derivada de f(x)=xn+1/(n+1) é igual a g(x)=xn, segue que:
xn dx = xn+1/(n+1) + C
ATIVIDADE 15
Matemática
MAT 75
É fundamental que n seja diferente de -1, pois a derivada da função
logarítmica f(x)=ln(x) é a função g(x)=1/x, assim:
(1/x) dx = ln(x) + C
Como a derivada da função exponencial f(x)=exp(x)=ex é a própria
f(x)=ex, então:
ex dx = ex + C
2)Se a taxa de crescimento da população de uma cidade daqui a x
anos pode ser considerada como f(x)=117+200x e hoje existem 10.000 pessoas na
cidade, qual será o número total de pessoas da cidade daqui a 5 anos? Como:
P’(x) = 117 + 200x
então:
P(x)= P’(x)dx= (117+200x)dx=117x+100x²+C
assim, podemos obter o valor de C pois P(0)=10.000. Realmente:
10000 = P(0) = 117×0 + 100×0² + C
logo
P(x) = 117x + 100x² + 10000
e daqui há 5 anos, a população da cidade será:
P(5)=117×5 + 100×5² + 10000 = 13085
ATIVIDADE 15
MAT 76
Matemática
ANOTAÇÕES
ATIVIDADE 15
top related