apostila sistemas estruturais ufop
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7/27/2019 Apostila Sistemas Estruturais UFOP
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Departamento de Engenharia Civil
Escola de MinasUniversidade Federal de Ouro Preto
CIV 403
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Programa Analtico
1 Aes e Segurana nas Estruturas
1.1 Introduo
1.2 Mtodo do Coeficiente de Segurana Interno
1.3 Mtodo do Coeficiente de Segurana Externo
1.4 Mtodo das Tenses Admissveis1.5 Introduo aos Mtodos Probabilsticos
1.6 Mtodo dos Estados Limites
1.7 Tipos e Natureza das Aes
1.8 Ao do Vento
2 Tipologia das Estruturas
2.1 Histr ico da Engenharia Estrutural
2.2 Classificao dos Sistemas Estruturais (Dimenses)
2.3 Classificao dos Sistemas Estruturais (Natureza dos Esforos)
2.4 Fios e Cabos
2.5 Arcos
2.6 Trelias
2.7 Vigas
2.8 Pilares
2.9 Grelhas
2.10 Estruturas de Superfcie
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Bibliografia
NBR 8681 Aes e Segurana nas Estruturas Associao Brasileirade Normas Tcnicas (ABNT)
NBR 6321 Foras devidas ao Vento nas Edificaes AssociaoBrasileira de Normas Tcnicas (ABNT)
NBR 8800 Projeto e Execuo de Estruturas de Ao de Edifcios Associao Brasileira de Normas Tcnicas (ABNT)
NBR 6118 Projeto e Execuo de Obras de Concreto Armado Associao Brasileira de Normas Tcnicas (ABNT)
Fundamentos Estatsticos da Segurana das Estruturas Fusco, P.B.
Fundamentos do Projeto Estrutural Fusco, P. B. Probabilidade: Aplicaes Estatstica Meyer, P. L. Vocabulrio de Teoria das Estruturas Associao Brasileira de
Concreto Portland(ABCP) Structural Analysis & Design of Tall Buildings Taranath, B. S. Structural Principles Engel, I. Structural Concepts and Systems for Architects and Engineers Lin,
T. Y and Stotesboury, S. D. Structural Engineering for Architects Lauer, K. R. Structural Analysis for Engineers Willems, N. and Lucas Jr., W. M. Sistemas Estruturais: Segurana nas Estruturas Sles, J. J.;
Gonalves, R. M. e Malite, M. Departamento de Engenharia deEstruturas, Escola de Engenharia de So Carlos, USP. Publicao041/93.
Sistemas Estruturais: Elementos Estruturais - Sles, J. J.; Gonalves,R. M. e Malite, M. Departamento de Engenharia de Estruturas, Escolade Engenharia de So Carlos, USP. Publicao 014/94.
Ao do Vento nas Edi ficaes Sles, J. J.; Gonalves, R. M. eMalite, M. Departamento de Engenharia de Estruturas, Escola deEngenharia de So Carlos, USP. Publicao 015/94.
Construes Metlicas e de Madeira (Notas de Aula) Reis, M. V. M.Departamento d4e Engenharia Civil, Escola de Minas, UFOP.
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APRESENTAO
Estas notas de aula foram elaboradas para a implementao da
disciplina eletiva Sistemas Estruturais, do currculo de graduao do Curso
de Engenharia Civil, oferecido pelo Departamento de Engenharia Civil da
Escola de Minas/UFOP.Exceto por pequenos detalhes e ligeiras correes, a presente verso
ainda a primeira, desenvolvida ao longo do primeiro semestre letivo de
1999.
importante ressaltar que o mesmo baseia-se, quase integralmente,
nas publicaes do Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola
de Engenharia de So Carlos/USP referentes aos assuntos abordados.
Por esta razo, considerando o desprendimento dos autores dasmencionadas publicaes, manifesto meus mais sinceros agradecimentos
aos professores Jos Jairo de Sles, Maximiliano Malite e Roberto Martins
Gonalves.
Ouro Preto, agosto de 1999
Prof. Dr. Luiz Fernando L. Ribeiro
Departamento de Engenharia Civil Escola de Minas
Universidade Federal de Ouro Preto
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1. AES E SEGURANA NAS ESTRUTURAS
1.1 Introduo:
A palavra estrutura tem significado de considervel amplitude,
podendo ser definida, de modo genrico, como o modo de disposio das
diferentes partes que compem um corpo. Assim, referimo-nos estrutura
atmica para definir a disposio de tomos de uma molcula. De modo
figurado, tambm utiliza-se esta palavra para designar a ordem, a disposio
ou a distribuio das diversas partes que compem uma obra literria,
artstica, ou trabalho cientfico (artigo tcnico, monografia, dissertao ou
tese, etc.).
Na Engenharia Civil, a palavra estrutura utilizada para designar a
composio, construo, organizao e disposio arquitetnica de umedifcio, compreendendo todas as partes que o compem, incluindo as
fundaes, lajes, vigas, pilares, paredes, revestimentos, cobertura, pintura,
etc.
De modo ainda mais particularizado, tanto na Engenharia Civil quanto
na Arquitetura, a palavra, por definio, representa as partes que suportam
as cargas de uma construo e as transmitem s fundaes, constituindo-se
nos elementos fundamentais do chamado sistema estrutural.
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A conceituao apresentada, por si s, j caracteriza a importncia do
sistema estrutural de uma edificao. Porm, em inmeras ocasies, a
estrutura tambm explorada sob ponto de vista esttico, assumindo uma
dualidade de funes que impe a necessidade, qualquer que seja o
profissional envolvido no projeto, de slido conhecimento do funcionamento
dos sistemas estruturais, bem como de uma profunda interao entre os
profissionais de diferente formao (arquiteto e projetista estrutural)
envolvidos no projeto.
A necessidade deste conhecimento e/ou desta interao to maisvisvel se imaginarmos que, na etapa criativa, este processo basicamente
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intuitivo, sendo fundamental a ligao da intuio consciente com a
formulao matemtica para a compreenso e a representao da realidade
fsica.
O carter intuitivo daconcepo de uma estrutura
evidente em vrios fatos da vida
cotidiana, como por exemplo, ao
escolhermos o ngulo correto para
posicionarmos uma escada de
mo, bem como ao verificarmos,
intuitivamente, se as dimenses de
suas peas so suficientes parasuportar o nosso peso.
A importncia do sistema estrutural est, portanto, na mesma razo
da compreenso de seu funcionamento quanto de sua concepo, com toda
a simplicidade possvel, mesmo abstendo-nos de recorrer ao conhecimento
formal de frmulas matemticas e questes referentes s caractersticas
fsicas dos materiais, sem que isso signifique tratar o problema de forma
simplificada, mas sim reconhecer, nas situaes arquitetnicas prticas, os
pontos mais delicados do projeto estrutural, proporcionar-lhe as dimenses e
as propores adequadas, deixando para o projetista estrutural a parte
matemtica e o detalhamento.
No projeto de uma estrutura, desde as mais complexas at as mais
simples, como as constitudas por um nico elemento, fundamental que
exista a preocupao de que a mesma desempenhe as funes a que se
destina com o mximo de ECONOMIA e EFICINCIA.
O carter econmico da estrutura deve ser assegurado atravs de
uma anlise dos materiais e das tecnologias disponveis, comparando-se os
custos de matrias primas, distncias de transporte, consumo de materiais e
de mo-de-obra, tempo de execuo, etc. Definido o material e a tecnologia,
deve-se procurar a otimizao do sistema estrutural a ser adotado,
buscando o equilbrio entre o consumo de material e de mo-de-obra.
Em muitos projetos possvel obter bons resultados com a
padronizao das dimenses dos elementos, mesmo que s custas de um
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consumo maior de material, uma vez que, com a padronizao, possvel
diminuir-se consideravelmente o emprego da mo-de-obra.
Centro Esportivo Itaperuna/RJ
Para assegurar a eficincia de uma estrutura deve-se buscar um
projeto econmico mas que permita que a estrutura tenha CONDIES DE
SEGURANA, o que significa apresentar-se resistente, estvel e duradoura.
O conceito de segurana em estruturas costuma ter dois aspectos
que, algumas vezes, podem ser confundidos entre si.
O primeiro qualitativo, dizendo-se que uma estrutura possui ou nopossui segurana. O segundo quantitativo, buscando-se atribuir um valor
ao nvel de segurana alcanado ou desejado.
Qualitativamente, diz-se que uma estrutura segura quando ela
capaz de suportar, sem sofrer danos, todas as aes que vierem a solicit-
la, desde a fase de construo at o final de sua vida til, entendendo-se
como aes as causas externas capazes de produzirem esforos internos e
deformaes na estrutura. Incluem-se nesse caso as foras provenientes
dos pesos prprios dos elementos estruturais e construtivos, a ao do
vento, as variaes de temperatura, a movimentao das fundaes
(recalques de apoios), a circulao de pessoas, veculos, lquidos, gases,
etc.
Em termos de vida til das estruturas, pode-se dizer que ela varia de
acordo com a finalidade da construo. Para as catedrais medievais, por
exemplo, acredita-se que elas possuam vida til da ordem de 1000 anos,
enquanto as usinas hidreltricas so projetadas para durarem, no mnimo,
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100 anos. No caso das construes industriais, como as usinas siderrgicas,
os plos petroqumicos, as fbricas e oficinas so concebidas para uma vida
til de 50 anos, assim como edifcios e demais construes comerciais,residenciais e agrcolas.
Durante o perodo previsto para a sua vida til, uma estrutura no
deve apresentar deformaes e/ou deslocamentos excessivos, trincas,
perda de equilbrio, colapso ou runa ou seja, no deve apresentar falhas
que impeam ou mesmo prejudiquem a utilizao para a qual foi projetada.
A principal questo relativa ao aspecto quantitativo a dificuldade
encontrada na mensurao da segurana oferecida por uma estrutura,verificando-se que vrios mtodos foram desenvolvidos e aperfeioados
para esta finalidade.
Na Antigidade o mtodo utilizado pelos construtores, que pode ser
denominado Mtodo Intuitivo, procurava somente obter construes
seguras, sem a preocupao de quantificar o grau de segurana. Com isso,
introduzia-se um conceito de segurana traduzido por meio de concepes
estruturais baseadas na intuio dos projetistas e construtores, condicionada
puramente nos sucessos e insucesso de construes similares j
executadas.
A aplicao desse mtodo primitivo, via de regra, conduzia a
estruturas que hoje seriam consideradas antieconmicas mas era obrigatria
face ao quase total desconhecimento das teorias quantitativas do
comportamento estrutural.
Com o desenvolvimento da Mecnica das Estruturas, foram sendo
criadas teorias quantitativas que reproduziam, cada vez melhor, os diversos
comportamentos estruturais, tanto na definio do comportamento reolgico
dos materiais, quanto na determinao dos esforos internos, deformaes e
deslocamentos produzidos por um dado carregamento, ou na definio dos
critrios de resistncia dos materiais.
Atravs dessas teorias, empregando-se processos analticos,
numricos ou grficos, pode-se determinar, com vrios graus de realismo, os
esforos internos, as deformaes e os deslocamentos nas estruturas,
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permitindo a sua comparao com os critrios de resistncia.
O desenvolvimento dos mtodos experimentais tambm contribui para
que sejam obtidas definies cada vez mais completas e claras dosaspectos comportamentais dos materiais e das estruturas, permitindo a
verificao experimental das teorias quantitativas, possibilitando, at hoje,
uma integrao circular que proporciona o desenvolvimento dos mtodos
que buscam atribuir valores segurana das estruturas.
Assim, os mtodos experimentais constituem-se em um quarto
processo de anlise de estruturas, podendo ser denominado processo
analgico , proporcionando uma nova alternativa para a determinao dasdeformaes e deslocamentos das estruturas e possibilitando a aferio dos
esforos internos.
importante ressaltar que todas as teorias mencionadas baseiam-se
na hiptese fundamental de que o comportamento estrutural de um certo
elemento determinstico, ou seja:
Para um mesmo elemento, com as mesmas
vinculaes, a aplicao de uma certa solicitao, de
acordo com uma certa lei de variao ao longo do
tempo, se pudesse ser repetida diversas vezes,
produziria, em todas as aplicaes, os mesmos esforos
internos, as mesmas deformaes e os mesmos
deslocamentos
Um outro parmetro, muito importante para a quantificao da
segurana, a intensidade das aes, assumidas como invariveis em
alguns casos. Entretanto, muito fcil de perceber que at mesmo o peso
prprio de uma estrutura pode variar ao longo do tempo ou por influncia de
reformas, manutenes ou mesmo de condies climticas.
Estabelecido o arcabouo quantitativo, surge o problema de como
deve ser introduzida a segurana no projeto estrutural. A seguir so
apresentados os diversos mtodos adotados para esta finalidade,
comentando-se, criticamente, a sua formulao e buscando-se mostrar,
dentro das perspectivas atuais, o potencial desses mtodos.
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1.2 Mtodo do Coeficiente de Segurana Interno
Este mtodo resultou da contnua evoluo experimentada no sculo
XIX pela Teoria da Elasticidade. A introduo da segurana no projeto
estrutural, por este mtodo, feita atravs do coeficiente de segurana
interno , impondo-se a condio de que as maiores tenses que ocorram
por ocasio da utilizao da estrutura no podem ultrapassar o valor das
correspondentes tenses, divididas por , de ruptura ou de
escoamento dos materiais, cujo valor resultante denominado tenso
admissvel de ruptura ou de escoamento, respectivamente.
O mtodo eqivale, portanto, imposio de um limite superior para
as mximas tenses atuantes, as quais no podem ultrapassar as
correspondentes tenses admissveis, ou seja:
Os valores a serem adotados para devem levar em considerao
as inevitveis variabilidades tanto das tenses de ruptura ou de escoamento
dos materiais, quanto das intensidades das aes, assim como expressar a
responsabilidade da estrutura e outros fatores que sero ainda discutidos.A determinao dos coeficientes de segurana internos emprica,
justificando-se seus valores pelos resultados disponveis de estruturas
projetadas com a sua utilizao, os quais tambm orientam a alterao dos
coeficientes, permitindo um progresso gradual e seguro dos critrios de
projeto, de modo a atender aos aspectos econmicos que exigem a
minimizao dos valores de .
Para estados mltiplos de tenses podem ser definidas grandezasque caracterizam os diferentes critrios de resistncia adotados para cada
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tipo de material, relativamente s quais so introduzidos os coeficientes de
segurana internos, verificando-se o mesmo para outros fenmenos como,
por exemplo, a fadiga em estruturas.
Analisando-se criticamente o mtodo, percebe-se que no so feitas
consideraes separadas a respeito das incertezas do sistema ou dos
parmetros, da natureza da estrutura ou das conseqncias da runa. Alm
disso, as aes so, geralmente, especificadas por outras normas, sob a
forma de valores mdios para as cargas permanentes, valores mximos
estimados para as acidentais e valores estatsticos estimados para a ao
do vento.Quanto s incertezas, cabe apenas ao calculista lev-las em
considerao, introduzindo, informalmente, hipteses conservadoras a
respeito do seu modelo terico e, formalmente, atravs da adoo de
valores para as aes e para as tenses admissveis.
Um outro aspecto muito importante a considerar o fato de que as
tenses mximas calculadas na estrutura ocorrem em pontos singulares,
constituindo-se em efeitos isolados. No caso de uma viga biapoiada
submetida a um carregamento uniformemente distribudo, por exemplo, o
momento mximo ocorre no ponto mdio do vo, e a tenso mxima
ocorrer tambm nesse ponto, mas apenas para as fibras longitudinais
superiores e inferiores.
A maioria das estruturas no entra em colapso simplesmente pelo fato
de existirem tenses altamente localizadas, ocorrendo redistribuio dessas
tenses para as regies menos solicitadas da seo transversal ou do
elemento. Esse o caso, por exemplo, de uma viga metlica bi-engastada,
com seo transversal I.
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Observa-se na figura acima que, medida que cresce a solicitao
(momento fletor) na seo transversal, crescem as tenses nos pontos mais
afastados da linha neutra, verificando-se, em determinada situao (M = My),
que a mxima tenso normal na seo transversal igual tenso deescoamento do material (y). Com o aumento da solicitao, ocorre uma
redistribuio de tenses para pontos em que a tenso atuante ainda
menor que y, at que todos os pontos da seo estejam solicitados pela
mesma tenso y, dizendo-se que a seo atingiu a plastificao total, para
solicitao igual ao momento fletor de plastificao total (M = Mp).
Analisando-se o comportamento da viga bi-engastada, observa-se
que o momento fletor mximo nos engastes, ocorrendo ento, nesses
pontos, a formao de rtulas plsticas quando Meng = Mp. A viga, portanto,
considerando-se que no h mais resistncia rotao nos apoios, passa acomportar-se como uma viga biapoiada, transferindo para outras sees
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transversais a responsabilidade pela resistncia ao acrscimo da
solicitao. O valor mximo do carregamento uniformemente distribudo ser
aquele correspondente solicitao de momento fletor de plastificao total
da seo do meio do vo, uma vez que, formada nesse ponto uma nova
rtula, ocorre a formao de um mecanismo e a viga sofre colapso.
Face ao exposto, o coeficiente de seguranai
deve procurar
representar uma srie de incertezas e imprecises que vo definir o grau de
segurana de uma estrutura. No estudo dos fatores que devem ser levados
em considerao na anlise da segurana estrutural, as comparaes entre
solicitaes e resistncias sero feitas por meio dos esforos solicitantes, o
que vlido apenas para as estruturas reticuladas (elementos que podem
ter seu estudo reduzido ao comportamento de seu eixo longitudinal) e de
superfcie (estudo do comportamento do plano mdio dos elementos).
No caso de estruturas que possuam as trs dimenses da mesma
ordem de grandeza, a comparao deve ser feita por meio das aes, sendo
necessrio englobar-se os grupos (a) e (b), descritos a seguir, em um
mesmo grupo de fatores que influenciam a resistncia das estruturas.(a) Fatores que influem nas aes
- variabilidade da intensidade das aes;
- probabilidade da ao simultnea das diversas aes que a
estrutura deve suportar.
(b) Fatores que influem nos esforos solicitantes
- erros da anlise estrutural:
decorrentes da atribuio de um esquema terico
de comportamento estrutura real
- erros numricos de clculo:
decorrentes da anlise de estruturas complexas
que exigem a soluo de grandes sistemas de
equaes, podendo atingir de 5% a 10%.
IMPORTANTE: No se consideram previses
para enganos ou erros nos clculos .
- imprecises geomtricas construtivas:
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decorrentes de deformaes iniciais (ou residuais)
nos eixos das barras ou na superfcies mdias
dos elementos de superfcie (placas, cascas, etc.)
e do posicionamento das armaduras, entre outros.
- variabilidade das caractersticas mecnicas dos materiais em
laboratrio:
so inevitveis e decorrentes dos processos de
caracterizao do material.
- variabilidade das caractersticas mecnicas dos materiais, do
laboratrio para a obra:no caso de estruturas metlicas este fator
praticamente no existe, enquanto para estruturas
de concreto ele depende essencialmente do
controle de qualidade dos materiais recebidos na
obra, da dosagem
(c) Fatores que influem na responsabilidade da estrutura
- tipo e montante dos danos produzidos pela eventual runa da
estrutura
- capacidade de redistribuio dos esforos e de aviso de runa
iminente:
a capacidade de redistribuio dos esforos e de
aviso de runa iminente pode minorara
responsabilidade da estrutura, relativamente a
uma outra que no possua tais caractersticas,
por permitir uma reduo do montante dos danos
e, principalmente, por permitir a eliminao, ou
pelo menos a minimizao de perdas de vidas
humanas, no caso de uma eventual runa
A seguir so apresentados alguns exemplos de estruturas que
permitiro discutir e esclarecer alguns conceitos bsicos ligados segurana
estrutural, considerando-se apenas materiais com comportamento reolgico
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representado pelo diagrama tenso-deformao abaixo representado,
caracterizando um comportamento elasto-plstico perfeito (EP).
Quanto aos critrios de resistncia, admite-se que o material satisfaa
ao Critrio da Mxima Energia de Distoro (Hencky / Von Mises)
Exemplo 1:
Determinar a maior fora P
que pode ser suportada pelo
tirante da figura, com seo
transversal constante, sendo y =
30 kN/cm2 e adotando coeficiente
de segurana i = 3.
Soluo:
Sendo A = b.h, a tenso mxima na estrutura P /A e a condio de
segurana, decorrente do mtodo :
22
1 3 +adm ,
onde 1 a tenso normal mxima e tem valor nulo.
Portanto:
iyadm
adm
AP
e
//max
max
==
Desse modo:
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kNxx
APiy 4000
3
401030/max ==
Exemplo 2:
A viga da figura
constituda por material com sendo
y = 30 kN/cm2. Determinar o
mximo valor de P que pode ser
suportado pela viga, com i = 2.Soluo:
A maior tenso normal na estrutura dada por:
l
hM
2
max
max=
Sabendo-se que o momento mximo ocorre na seo transversal
correspondente ao engaste e vale M x l, tem-se:
kNxx
xxPou
lhbP
hb
lP
i
y
i
y
adm
12024006
401230
6
6
2
max
2
max2
==
==
Uma outra verificao que pode ocorrer aos mais detalhistas, a do
esforo cortante. Entretanto, analisando-se as distribuies de tenses para
as duas solicitaes, encontra-se a distribuio apresentada na figura a
seguir, onde observa-se que, quando uma tenso o seu valor mximo, a
outra nula. Pelo critrio de resistncia adotado, para o cisalhamento, tem-
se:
22_
3 +
e, para 0= , encontra-se: 4,06,03/___
== , que ,
aproximadamente, o valor utilizado em diversas normas.
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Do exemplo, para V = Pmax = 120 kN, tem-se:
bI
QV
.
.max
=
Sendo ( ) ( ) 12/8/4/2/ 3hbIehbhxhbQ === , obtm-se:
2_
2
max
/12304,04,0
/375,05,18
12
cmkNxe
cmkNA
V
bh
V
y===
===
Portanto, no cisalhamento:
32375,0
12
max
_
===
i
Este valor permite a constatao que, nos casos normais de flexo, o
fator limitante a tenso normal ( ) . A tenso de cisalhamento ( ) s
limitante em vigas com vos pequenos, submetidas a aes muito altas e
que possuam pequena largura (b), como no caso de vigas metlicas.
Pode parecer importante, ainda, a verificao em pontos onde ambas
as tenses no so nulas. Entretanto, uma vez que o valor da tenso normal
( ) varia muito mais rapidamente que o da tenso de cisalhamento ( ) ,
conclui-se que somente ocorrem mximos nos pontos mais afastados da
linha neutra.
Exemplo 3:
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Determinar a mxima fora P que pode ser suportada pela viga
mostrada acima, com seo transversal constante, considerando
2/18 cmkNy = e 2=i .
Soluo:
O momento mximo, bem como as tenses mximas, ocorrem na
seo do meio do vo, obtendo-se:
PPxx
x
hbxPl
0125,060204
660006
4 22max
===
A condio de segurana do mtodo permite escrever:
kNP
Pouiy
720
2/180125,0/_
max
= Nos problemas anteriores, conhecia-se o material e as dimenses das
barras e buscava-se o maior valor que a fora aplicada poderia atingir, com
determinado i . Diversos problemas de Engenharia apresentam-se desta
forma, mas, na grande maioria dos casos, conhece-se o carregamento, o
material e o coeficiente de segurana internoi
, buscando-se dimensionar a
seo transversal, como ser apresentado nos problemas a seguir.
Exemplo 4:
Para a viga biapoiada, com seo transversal constante, mostrada na
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figura, determinar a mnima altura h necessria para suportar o
carregamento p, com 4=i , utilizando material com2
/20 cmkNy = .
Soluo:
Tambm neste exemplo o momento mximo e as tenses mximas
ocorrem no meio do vo, obtendo-se:
cmcmh
cmkNh
hxxhbMxWM
cmkNxlpM
iy
1105445,1095
60000
/54/20//60000
20/2000006./6/
.2000008/400108/
2_
2
max
22
maxmaxmax
22
max
=
====
===
===
Exemplo 5:
Determinar o dimetro da viga de seo transversal constante da
figura, confeccionada com material que possui MPay 400= , utilizando
67,1=i .
Soluo:
O momento mximo, neste caso, ocorre nos apoios, sendo calculado
por
kNmxplM 2412/6812/22
max === ,
obtendo-se, para as tenses mximas:
( )max
3
maxmax /32/ MxDWM ==
Substituindo-se os valores e impondo-se a condio de segurana do
mtodo:
67,1
402400
32 _
3max == x
D
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cmx
xxD 100683,10
40
24003267,1==
Exemplo 6:
A estrutura da figura formada por barras iguais, de material com
mlecmkNxEcmAcmkNy 2/102,10,/242422 ==== . Determinar o
mximo carregamento P que pode ser aplicado estrutura, com 3=i .
Soluo:
Neste exemplo essencial a aplicao da teoria de 2 ordem, para
obter-se o equilbrio da estrutura na posio deslocada.
Desse modo, encontra-se:
lflfffl
lLL
//.sen.2===
+=
e, pelas equaes da Esttica, aplicadas na posio de equilbrio:
f
lP
L
lxf
LPNHH
f
LP
f
LxP
lHLVN
PVVV
BA
A
BA
22cos
22
/cos/
2/
====
====
===
Como so desconhecidos os valores de f, L e N, busca-se,
inicialmente no tringulo ACD, as relaes:
EAlNLf
EAlNLffl
/..
/./sen.
2
2
=
===
que, substituda na equao de N, aps elev-la ao quadrado, fornece:
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lN
LAEP
lNL
AELP
f
LPN
444
222
2
222 ===
l
LxAEP
N4
23 =
Admitindo-se que 1/ lL , obtm-se:
3 263,0 AEPN =
Esta equao, pela aproximao feita, conduz a um certo erro, mas
possui resoluo mais simples que a soluo exata, obtida atravs da
soluo de uma equao de 4 grau. O erro cometido fica em torno de 1 a
2%, o que pode ser considerado desprezvel.
Impondo-se que_
max/ ==AN encontra-se:
22
max
3_
/25,0 AExP=
ou, escrevendo-se em funo de Pmax: EAP /2
3_
max
=
e, para os valores numricos do exemplo:
( ) kNxxP 2,3102/3/24102 43max ==
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1.3 Mtodo do Coefic iente de Segurana Externo
Em 1849, dois anos aps o colapso de uma ponte sobre o Rio Dee
(Inglaterra), construda com trelias de ferro fundido, ainda era discutida a
utilizao desse material na construo de pontes. Vrios eminentes
engenheiros deparavam-se com a pergunta: Qual o mltiplo da maior
carga atuante em uma estrutura deve ser considerada como carga deruptura da mesma?. Brunel e Robert Stephenson, entre outros destacados
calculistas da poca, passaram a interessar-se pelo comportamento das
estruturas no caso de ocorrer uma sobrecarga, realizando provas de carga
de modo a assegurar-se de que a estrutura fosse capaz de suportar as
cargas de servio.
Esses engenheiros possuam uma intuio que parece inibida nos
profissionais modernos, distrado pela exatido da teoria da elasticidade e
pelo uso consequente das tenses admissveis. Se, por um lado, no pode
ser negado o sucesso da engenharia atravs da utilizao e do
desenvolvimento da teoria da elasticidade, por outro lamentvel que essa
teoria tenha sido to sufocante. No sculo atual, com o desenvolvimento
cada vez maior da teoria da plasticidade aplicvel s estruturas de ao e da
teoria da ruptura utilizada nas de concreto, tem ocorrido uma espcie de
retorno ao mtodo de avaliao da segurana que se revelou com aquela
pergunta feita em 1849.
A teoria da plasticidade tornou oportuno lembrar que, para avaliar-se
a segurana da estrutura, importante conhecer as condies de colapso.
Decorre da a introduo de um fator de carga em alguns mtodos de
dimensionamento e sua definio como carga de colapso, dividida pela
carga de servio, exatamente a mesma relao utilizada h 150 anos. A
nica diferena que hoje, faz-se uma estimativa da carga de colapso por
clculo terico, enquanto, naquela poca, somente era possvel estimar-se o
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seu valor atravs de provas de carga.
Embora a determinao da carga de colapso, por meios tericos
(adotando-se modelos simplificados), seja menos precisa que a obtida pormeio de provas de carga, hoje pode-se contar com os ensaios em modelos
reduzidos, eliminando-se a necessidade de construo da estrutura para
obter-se a carga de colapso (ou a existncia de estruturas similares, j
construdas, para a execuo da prova de carga).
Se as estruturas apresentassem resposta linear durante toda a sua
histria de carregamento proporcional e crescente, ou seja, se elas
apresentassem, em todas as condies, proporcionalidade entre aintensidade do carregamento e a intensidade das tenses correspondentes,
em todos os pontos e em todos os planos, seria possvel dar uma
interpretao externa ao coeficiente de segurana interno i , que passaria
a ser um coeficiente que, ao multiplicar o carregamento de utilizao da
estrutura, definiria um carregamento proporcional ao mesmo, produzindo
ruptura ou colapso da estrutura.
A resposta linear de uma estrutura, porm, somente existe enquanto
as relaes tenso-deformao do seu material permanecerem lineares
(linearidade fsica), enquanto sua geometria ficar pouco alterada pelos
deslocamentos produzidos pelo carregamento (linearidade geomtrica) e
enquanto todas as aes na estrutura permanecerem proporcionais entre si.
Entretanto, a maioria das estruturas sujeitas a um carregamento
proporcional, mesmo apresentando resposta linear em uma certa faixa
desse carregamento, antes de atingir a ruptura ou o colapso, deixa de
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apresentar tal tipo de resposta, quer por perder, sensivelmente, a linearidade
geomtrica, quer por perder a linearidade fsica, ao deixar de seguir a Lei de
Hooke em alguns de seus pontos.Observa-se que, a rigor, so poucas as estruturas que no perdem
linearidade geomtrica, adotando-se a teoria linear como uma aproximao
do comportamento no-linear das mesmas. No entanto, existem estruturas
em que esse afastamento terico pouco sensvel, at que elas atinjam a
ruptura ou o colapso. Como conseqncia, a interpretao externa que se
poderia dar a i e que, quase certamente, estava implcita na conceituao
de seus introdutores, perde significado.Para medir-se, externamente, a distncia entre as condies de
utilizao da estrutura e as correspondentes condies de ruptura ou
colapso, define-se como coeficiente de segurana externo e de uma
estrutura, sujeita a um certo carregamento, ao valor pelo qual deve-se
multiplicar as intensidades desse carregamento, proporcional ao primeiro, de
forma a produzir a ruptura ou o colapso da estrutura.
Exemplo 7:
Determinar o coeficiente de
segurana externo e da estrutura
do Exemplo 1, agora comprimida,
submetida ao carregamento P =4000 kN. Utilizar 2/30 cmkNe =
e E = 20000 kN/cm2
Soluo:
A tenso normal mxima correspondente ao carregamento de
utilizao especificado ( )2
/101040/4000 cmkNx == . Se a estrutura
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mantivesse resposta linear at a ruptura, teramos 0,3== ei , uma vez
que 0,310/30/ ==e .
No entanto, ao ser atingida a carga de flambagem da estrutura, o
comportamento da estrutura deixa de ser linear, verificando-se um
crescimento das tenses, a partir de ento, muito mais rapidamente que o
das aes.
Assim sendo, a ruptura da estrutura se d com um carregamento
muito pouco superior a flP , podendo ser, na prtica, confundido com este
valor, ou seja:
kNxx
xxxx
l
IEPfl 34,4112
200412
1040102
43
342
2
2
===
e, portanto,
028,14000
34,4112===
P
Pfl
e
Isto mostra que a aplicao do mtodo do coeficiente interno, neste
caso, conduziu a uma distncia insuficiente entre o carregamento de
utilizao da estrutura e o de ruptura, j que ambos foram praticamente
coincidentes. Este fato, devido perda da linearidade geomtrica da
estrutura, produzida pela flambagem, foi o primeiro grande argumento
levantado contra o mtodo do coeficiente de segurana interno, conduzindo,
j de longa data, utilizao de e em estruturas sujeitas flambagem.
A figura seguinte ilustra o comportamento altamente no-linear da
estrutura considerada.
possvel, porm, determinar o valor de P para que se tenha
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0,3=e . Para isto, basta fazer:
kNPPelfadm 13713/34,4112/ ==
Uma outra opo, mantendo-se o valor de P = 4000 kN, seria
redimensionar a seo transversal da barra, para obter-se 0,3=e , ou seja:
kNxPPeadmlf 1200034000. ==
ou kNlIE 120004/ 22
83,972620000/20041200012/223
= xxxbhI
Como h = 40 cm, b = 10 cm e a flambagem ocorrer segundo o eixo
de menor inrcia (paralelo a h), aumentando-se b a inrcia aumenta muitomais rapidamente.
cmb
bxI
29,14
83,972612/403
=
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1.4 Mtodo das Tenses Admissveis:
Este o mtodo que serviu de base s normas de dimensionamento
das estruturas at quase os dias de hoje mas, devido a algumas falhas que
sero discutidas mais adiante, vem sendo substitudo por outros mtodos.
Este mtodo introduz a segurana no dimensionamento, de duas
maneiras distintas:a) Nos elementos submetidos a solicitaes estabilizantes, como as
de trao, utiliza o coeficiente de segurana interno i ;
b) Nos elementos que podem apresentar flambagem, como por
exemplo, em pilares ou vigas que no possuem adequadas
contenes laterais, o mtodo utiliza o coeficiente de segurana
externo, s que dividindo o carregamento terico de ruptura ou de
colapso para obter o valor admissvel.
Exemplo 8:
Determinar a tenso admissvel do pilar calculado no exemplo 7, para
obter 0,2=e .
Soluo:
A tenso admissvel, nesse caso, nada mais do que a tenso deflambagem dividida pelo coeficiente de segurana externo, ou seja:
cmkNxx
e
lf
adm /4895,1023,1440
12000===
Esta tenso conduz a uma carga admissvel (Padm) de:
kNxxAxPadmadm 60003,14404895,10 ==
que corresponde, exatamente, ao valor da carga dividido por e , ou seja:
kNPP elfadm 60002/12000/ ===
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Conforme j visto, atravs dos coeficientes de segurana, o mtodo
das tenses admissveis procura:
a) Estabelecer uma medida da segurana das estruturas;
b) Estabelecer uma sistemtica para a introduo da segurana nos
projetos estruturais.
No que diz respeito medida da segurana introduzida, pode-se, de
imediato, observar que ela bastante deficiente. Como j afirmado, o
coeficiente de segurana i deve depender, entre outros fatores, da
variabilidade das resistncias dos materiais, crescendo com o crescimento
das disperses correspondentes. Este fator justifica a utilizao de 2=i
em uma estrutura metlica e a utilizao de 4=i , por exemplo.
A simples considerao deste exemplo permite concluir quei no
uma boa medida de segurana, uma vez que, quando se projeta uma
estrutura de madeira com 4=i , no se deseja e nem se consegue que ela
tenha uma segurana maior do que a de uma estrutura metlica projetada
com 2=i
, mas sim, que as duas estruturas tenham a mesma segurana
ou, pelo menos, segurana da mesma ordem de grandeza.
Por outro lado, a constatao de que apenas o valor dei no define
a segurana de uma estrutura acaba por mostrar a deficincia de tal medida
de segurana. Para exemplificar, se duas estruturas, uma de madeira e
outra metlica, possurem 2=i , a primeira ter segurana menor que a
Segunda, embora ambas tenham o mesmoi .
No que diz respeito sistemtica para a introduo da segurana nos
projetos estruturais que o mtodo das tenses admissveis estabelece,
podem ser feitas crticas ainda mais contundentes.
Inicialmente, cabe a crtica de que h uma preocupao apenas com
o estabelecimento de uma conveniente distncia entre a situao de
utilizao da estrutura e aquela que corresponderia a uma ruptura da
estrutura (desagregao do material) ou a um colapso da mesma (perda da
capacidade portante da estrutura, por se tornar parcial ou totalmente
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hiposttica). No h preocupao com a verificao de outras condies que
possam invalidar a utilizao da estrutura, como por exemplo o
aparecimento de deformabilidade exagerada da mesma.
Esta crtica no , contudo, a mais grave, pois outras condies que
possam colocar a estrutura inadequada utilizao, poderiam ser satisfeitas
por meio de verificaes adicionais, em separado.
A principal crtica que se pode e que se deve fazer ao mtodo das
tenses admissveis justamente a respeito da distncia que ele introduz
entre a situao de utilizao da estrutura e aquela que corresponderia a
uma ruptura ou a um colapso da mesma. A medida da distncia entre assituaes mencionadas fica muito mais bem definida quando procura-se
estabelecer uma relao entre os carregamentos correspondentes a elas
( )e
do que procurando-se estabelecer a relao entre as tenses
correspondentes a tais situaes ( )i .
As estimativas tericas so seguras, desde que a idealizao do
comportamento da estrutura seja feita de forma conservadora. Alm disso, a
carga de colapso obtida de modo muito mais rpido e econmico que a
obtida por prova de carga. O maior avano do mtodo do coeficiente
externo, em relao ao mtodo do coeficiente interno, que nele, tenta-
se considerar a forma de comportamento da estrutura ou seja, como o
modelo ideal da estrutura se comportaria se essa estrutura fosse construda.
Entretanto, o mtodo ainda apresenta muitos defeitos, como por
exemplo, o fato de no existir uma separao entre as incertezas do sistema
e a incerteza dos parmetros. Alm disso, as aes so especificadas damesma forma que para o mtodo do coeficiente interno ou seja, uma mistura
de mdias, mximas e valores estatsticos estimados. Existe, tambm
neste mtodo, uma confuso filosfica e falta de rigor, no existindo uma
estrutura lgica de raciocnio, por meio da qual possam ser examinados
todos os estados limitativos da estrutura.
Como conseqncia, o mtodo das tenses admissveis no retrata
com boa preciso a condio de colapso, nem permite que seja feita uma
avaliao confivel dessa condio. O mtodo, contudo, representa uma
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sub-estimativa da segurana, ou seja, um limite inferior de segurana, alm
de ser um mtodo simples, direto e de fcil utilizao, desde que os
coeficientes de segurana sejam adequadamente escolhidos.
Entretanto, como no um mtodo realista, poderia apresentar perigo
nos casos em que o calculista, baseando-se em uma anlise mais
sofisticada da estrutura, imaginasse ser possvel a reduo do coeficiente de
segurana. Isso somente seria possvel caso fosse feito um estudo mais
rigoroso a respeito das incertezas do sistema e dos parmetros.
Adicionalmente, bvio que outros efeitos, que no sejam tenses,
dever ser analisados no projeto de uma estrutura, como, por exemplo,deformaes, controle de fissuras, etc. No obstante as normas tratarem
desses efeitos, o mtodo permanece obscuro e desprovido de unidade
filosfica, apresentando uma nfase excessiva s tenses elsticas e pouca
s restries que devem ser impostas utilizao da estrutura. Em resumo,
a moderna Engenharia j ultrapassou este mtodo.
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1.5 Introduo aos Mtodos Probabilst icos
Os conceitos e as anlises apresentadas parecem indicar que um
mtodo de introduo de segurana em uma estrutura deve levar em
considerao a completa conceituao de segurana, observando-se todos
os seus aspectos e adotando-se, para medida de segurana, o coeficiente
de segurana externo.
Um mtodo com estas caractersticas, porm, permite a crtica
fundamental de que, alm da premissa de que o comportamento estrutural
um fenmeno determinstico, considera-se que os parmetros mecnicos
e geomtricos da estrutura tambm o so.
A primeira premissa, relativa ao comportamento estrutural
determinstico lgica e verificada experimentalmente, no se conhecendo
situaes que a contradigam. Entretanto, a hiptese no verificada
experimentalmente no que se refere aos parmetros mecnicos e
geomtricos, observando-se, por exemplo, que a tenso correspondente ao
limite de escoamento de um materialy
uma varivel aleatria
contnua, qual deve-se associar uma lei de distribuio de densidade de
probabilidade.
Esta constatao, inclusive, suficiente para que possa-se formular
uma idia fundamental:e
tambm no uma medida satisfatria da
segurana de uma estrutura uma vez que, mesmo considerando-se que
apenas y no tenha um comportamento determinstico, duas estruturas
geometricamente iguais e igualmente solicitadas, projetadas com o mesmo
e , mas construdas com materiais cujos y apresentam diferentes
disperses, apresentaro nvel de segurana diferente, sendo menor a
segurana da estrutura cujo material apresentary com maior disperso.
Por exemplo, uma estrutura metlica e uma de madeira, geometricamente
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iguais e igualmente solicitadas, ambas projetadas com 3=e , possuem
diferentes nveis de segurana, sendo menos segura a estrutura de madeira
por apresentar maior disperso para y .
A concluso apresentada, obtida com a considerao de que apenas
y comporta-se como varivel aleatria, fica reforada com a considerao
de que todas as caractersticas geomtricas e mecnicas da estrutura
tambm so variveis aleatrias e, ainda mais, com a considerao
adicional de que as aes tambm o so.
Exemplo 9:
Considere a viga do
exemplo 2 construda com um
material comy apresentando
uma distribuio log-normal de
mdia 2/30 cmkNm = e
coeficiente de variao de 15%.
Determinar os valores de P e as
correspondentes probabilidades de
runa, para coeficientes de
segurana internos iguais a 1, 2 e
3.
Soluo:
Suponhamos que, para a determinao dem tenham sido realizados 200
ensaios de caracterizao do material da viga, obtendo-se os resultados
apresentados na tabela.
Dispondo-se os valores em ordem crescente, e tomando-se o nmerode valores encontrados dentro de intervalos, por exemplo de 2 kN/cm2,
pode-se traar um grfico relacionando a freqncia relativa dos valores de
y (nmero de ocorrncias dividido pelo nmero total de valores da
amostra) com os valores mdios de cada intervalo.
Se, no limite, reduzirmos o valor dos intervalos a zero, obtemos a
funo densidade de probabilidade (f.d.p.) dos valores dey , tal que:
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Amostra y Amostra y Amostra y Amostra y1 18,96 51 26,89 101 29,76 151 32,892 20,96 52 26,97 102 29,80 152 32,98
3 21,46 53 27,01 103 29,85 153 33,03
4 21,85 54 27,09 104 29,89 154 33,13
5 22,15 55 27,13 105 29,93 155 33,23
6 22,41 56 27,21 106 30,02 156 33,28
7 22,65 57 27,25 107 30,07 157 33,38
8 22,85 58 27,33 108 30,11 158 33,48
9 23,06 59 27,37 109 30,16 159 33,58
10 23,19 60 27,41 110 30,20 160 33,63
11 23,37 61 27,49 111 30,25 161 33,73
12 23,54 62 27,54 112 30,34 162 33,83
13 23,68 63 27,62 113 30,38 163 33,93
14 23,79 64 27,66 114 30,48 164 34,03
15 23,93 65 27,74 115 30,52 165 34,08
16 24,04 66 27,78 116 30,57 166 34,19
17 24,18 67 27,82 117 30,61 167 34,29
18 24,29 68 27,91 118 30,70 168 34,44
19 24,40 69 27,95 119 30,75 169 34,54
20 24,51 70 28,03 120 30,80 170 34,65
21 24,62 71 28,07 121 30,89 171 34,75
22 24,69 72 28,12 122 30,93 172 34,86
23 24,80 73 28,20 123 30,98 173 34,96
24 24,92 74 28,24 124 31,03 174 35,12
25 24,99 75 28,28 125 31,12 175 35,22
26 25,07 76 28,37 126 31,17 176 35,3827 25,18 77 28,41 127 31,26 177 35,49
28 25,25 78 28,45 128 31,31 178 35,64
29 25,33 79 28,50 129 31,35 179 35,75
30 25,40 80 28,58 130 31,40 180 35,91
31 25,48 81 28,62 131 31,49 181 36,07
32 25,59 82 28,67 132 31,54 182 36,23
33 25,67 83 28,75 133 31,63 183 36,40
34 25,75 84 28,80 134 31,68 184 36,56
35 25,82 85 28,84 135 31,73 185 36,78
36 25,86 86 28,88 136 31,82 186 37,00
37 25,98 87 28,97 137 31,87 187 37,22
38 26,02 88 29,01 138 31,97 188 37,44
39 26,10 89 29,05 139 32,01 189 37,6740 26,17 90 29,10 140 32,11 190 37,89
41 26,25 91 29,14 141 32,16 191 38,23
42 26,29 92 29,23 142 32,21 192 38,52
43 26,37 93 29,27 143 32,30 193 38,87
44 26,45 94 29,32 144 32,35 194 39,27
45 26,53 95 29,40 145 32,45 195 39,75
46 26,57 96 29,45 146 32,54 196 40,28
47 26,65 97 29,49 147 32,59 197 41,01
48 26,73 98 29,54 148 32,64 198 42,00
49 26,77 99 29,62 149 32,74 199 43,60
50 26,85 100 29,67 150 32,79 200 46,42
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=
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distribuio) e a mdia.
15 20 25 30 35 40 45 50
0
10
20
30
40
y
Moda = 29
Mdia = 30,06
f.
d.
p.
Uma distribuio log-normal de densidade de probabilidade para a
varivel aleatriay
uma distribuio tal que ln y apresenta uma
distribuio normal de densidades de probabilidade. A figura a seguir
apresenta a f.d.p para os dados do problema.
3,0 3,2 3,4 3,6 3,80
5
10
15
20
25
30
Mdia = 3,39
ln ()
Sendom
e c, respectivamente a mdia e o coeficiente de variao
da distribuio log-normal. A distribuio normal de ln y apresenta mdia
ln e desvio padro dados por:
-
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( ) 2/2 21 =+= eecnl y
No caso de ter-se c = 0,15 (15%), vem:
( )
39,3ln
cm/kN6681,29ex30
1492,015,01nl
22/)1492,0(
2
2
=
==
=+=
A partir da mxima tenso que ocorre na estrutura pode-se obter o
correspondente valor de P:
l6
hbP
hb
lP6 2
2
==
Fazendo-se iy / == , para os valores de i do problema,
obtm-se:
i (kN/cm2) P (kN)
1,0 30 240
2,0 15 120
3,0 10 80
Para calcularmos as probabilidades de runa correspondentes aos
valores de P obtidos, deve-se considerar a forma reduzida da f.d.p. de y ,
da forma
( )
= 2
e)(lnf 2/uy
2
, onde
= nlnlu .
A probabilidade da varivel y situar-se em um intervalo (a,b) ser
expressa por:
( ) ( )yb
a
2/uy de
2
1bap
2
=
que representada pela rea hachurada da figura, entre os valores a e b.
Analogamente, fixada uma certa probabilidade p, pode ser
-
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determinado o intervalo em torno da mdia (no caso ln ) dentro do qual
devem estar situados todos os valores da varivel, definindo-se tal intervalo
em funo do parmetro u(p%) e do desvio padro .
ba
ln ( ) + u(p%)ln ( ) - u(p%) ln ( )
= =
p %
( )ln y
de
nsidadedeprobabilidade
Entretanto, esta integral no pode ser calculada pelos meios comuns,
uma vez que no possvel encontrar uma funo cuja derivada seja igual a
2/u2e , sendo necessrio recorrer a mtodos de integrao numrica que
permitem a tabulao dos valores de p em funo de u.Por exemplo, para o concreto, as normas prevem que a
probabilidade de que, em apenas 5% dos casos, a resistncia do concreto
possa apresentar valor inferior resistncia caracterstica calculada. Assim,
o quantil de 5% (p = 0,05) deve ser procurado na tabela da distribuio
normal para obter-se o correspondente valor de u.
Utilizando-se, por exemplo, a tabela apresentada por Meyer, P.L.
(Probabilidade: Aplicaes Estatstica, p.369-370), obtm-se:
- para p = 0,9495 u = 1,64
- para p = 0,9505 u = 1,65
Interpolando-se os valores, linearmente, tem-se:
- para p = 0,95 u = 1,645
Portanto, a resistncia caracterstica do concreto deve ser calculada
como:
= 645,1ff cjck
-
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- onde fcj a resistncia mdia dos corpos de prova
ensaiados e o desvio padro do lote ensaiado.
Para o caso do exemplo, utilizando as tabelas, obtm-se:
-
( ) ( )
=
=
==
%97,525297,0p
0745,01492,0
6681,29ln30lnu
cm/kN30 2
-
( ) ( )
=
=
==
%001,010
5712,41492,0
6681,29ln15ln
/15
5
2
p
ucmkN
-( ) ( )
=
===
%000000001,010p
2888,71492,0
6681,29ln10lnucm/kN10
11
2
Deve-se observar que a variao da probabilidade de runa, embora
tenha uma relao direta com o valor da tenso mxima atuante na estrutura
ou carga P aplicada, no diretamente proporcional a ela, ou seja, uma
reduo de 50% na tenso mxima atuante (de 30 para 15 kN/cm2) reduziu
a probabilidade de runa de 52,97% para 0,001%, correspondente a uma
reduo de 99,8%.
Para melhor observao desse fenmeno, vamos considerar ainda os
valores 1,5 e 1,515 para de i , obtendo-se:
i (kN/cm2) P (kN) u p (%)
1,5 20 160 -2,64 0,41
1,515 19,8 158,4 -2,71 0,34
0,8 37,5 300 1,57 94,18
Observa-se que a reduo de 1% na carga aplicada resultou em 17%,
aproximadamente, de reduo da probabilidade de runa.
A ltima linha da tabela acima foi includa para que seja observado
que probabilisticamente, o fato de a tenso mxima atuante ter superado a
tenso mdia 22 /30/5,37 cmkNcmkN m =>= no implica,
necessariamente, em runa da estrutura, havendo 94,18 % de probabilidade
de que isto venha a acontecer.
-
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Existem ainda outras idias fundamentais que podem ser agora
introduzidas, como por exemplo, as interpretaes fsicas da probabilidade
de runa de uma estrutura.
A probabilidade p de um certo evento pode ser entendida como o
limite para o qual tende a freqncia relativa da ocorrncia daquele evento,
quando o nmero de repetio das situaes em que ele pode ocorrer tende
para infinito. Assim sendo, se forem construdas e carregadas n estruturas
igualmente especificadas e controladas, se o nmero de runas for r,
medida que n crescer, a relao r/n tender a p, podendo-se, para um n
suficientemente grande, supor npr = . Por exemplo, se 410p = , para n
suficientemente grande, 1 em cada 10000 estruturas construdas dever
atingir a runa.
Por intermdio da probabilidade de runa de uma estrutura, pode-se
chegar a uma medida conceitualmente perfeita da segurana de uma
estrutura. Sendo p a probabilidade de runa, (1 p) pode expressar a
segurana, levando em considerao todos os fatores que influem na
mesma. Entretanto, devido aos valores assumidos por p, a possibilidade de
sobrevivncia de uma estrutura apresenta uma faixa de variao muito
estreita, por exemplo, entre 0,999 e 0,999999, o que torna inconveniente a
sua utilizao corrente, face sua falta de sensibilidade numrica.
Para contornar esse inconveniente, diversas medidas da segurana
podem ser introduzidas, sendo uma delas, perfeitamente satisfatria, o
ndice de segurana, definido por s = colog p.
Do exemplo 8 pode-se, ento extrair os seguintes valores de s:
i p s
0,8 0,9418 0,026
1,0 0,5297 0,28
1,5 0,0041 2,39
1,515 0,0034 2,47
2 10-5 5
3 10-11 11
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Portanto, dentro da concepo probabilstica que, obrigatoriamente,
deve ser introduzida nos mtodos de dimensionamento, os conceitos de
coeficientes de segurana devem ser abandonados, por no representarem,
efetiva e satisfatoriamente, o conceito de segurana desejado.
Apesar disso, ser visto a seguir, que no estgio atual de
desenvolvimento dos mtodos probabilsticos de dimensionamento, ainda
parecer ser conveniente a manuteno dos coeficientes de segurana,
principalmente em face das grandes dificuldades ainda existentes para o
clculo de s nos casos reais de projeto. No entanto, a sua manuteno s
pode e somente deve ser feita sabendo-se que ela provisria, formalmente imperfeita e deve subordinar-se, sempre que possvel, aos
mtodos probabilsticos.
A concluso de que a segurana estrutural um problema
probabilstico tem implicaes conceituais, ticas e econmicas.
O conceito de que uma estrutura, ao ser projetada e construda,
apresenta sempre uma probabilidade de runa pode parecer chocante a
muitas pessoas e mesmo a muitos engenheiros. Durante muitos e muitos
anos, a teoria das estruturas deu a falsa sensao de que era possvel
alcanar uma segurana absoluta, especialmente se houvesse um controle
operacional das aes que viessem a agir sobre a estrutura.
Embora desde 1936 j estivesse clara a conceituao probabilstica,
apenas recentemente ela vem impondo-se de uma forma mais ampla.
Assim, resta aos engenheiros projetar e construir estruturas que apresentem
baixas probabilidades de runa, comparveis quelas probabilidades de risco
inevitveis, ligados a outras atividades humanas.
Por exemplo, a probabilidade de uma pessoa ser morta em acidentes
de estradas de 0,7%, igual probabilidade de sofrer um acidente uma
pessoa que voa 10 horas por ano. Para uma pessoa que faz 300 viagens de
trem por ano, a probabilidade de acidente de 0,2%, enquanto a
probabilidade de que qualquer pessoa, em perfeitas condies fsicas e
mentais venha a falecer, antes de terminar o dia, da ordem de 10-5.
Consideraes desse tipo acabam por levar concluso de que so
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normalmente admissveis para as estruturas probabilidades de runa entre
10-3 e 10-6, ou seja, valores do ndice de segurana s de 3 a 6.
Sob o aspecto tico, cabe ao engenheiro definir as probabilidades de
runa aceitveis em cada situao, levando em considerao no s os
riscos humanos e materiais envolvidos mas, principalmente, considerando o
fato consumado de que o risco inevitvel. Por outro lado, cabe sociedade
passar a entender e a julgar os engenheiros, considerando a inevitabilidade
desse risco e a no pressupor que eles trabalham com segurana absoluta.
Porm, para que isso possa efetivamente ocorrer, essencial que os
prprios engenheiros distingam, clara e corajosamente, no caso deacidentes, aqueles devidos a erros de projeto ou de execuo, daqueles
devidos aleatoriedade inevitvel dos fatores de que a segurana depende.
Sob o aspecto econmico, cabe ao engenheiro tomar uma deciso
perante a incerteza, fixando a probabilidade de runa p com que ir projetar
e construir uma certa estrutura, levando em considerao os custos da
construo e o montante de danos decorrentes de uma eventual runa da
mesma.
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1.6 Mtodo dos Estados Limi tes
O conceito de dimensionamento nos estados limites foi desenvolvido
na Rssia, de 1947 a 1949, aprovado em 1955 e introduzido na Engenharia
Civil em 1958. Foi a primeira tentativa de disciplinar todos os aspectos da
anlise de estruturas, incluindo a especificao de aes e a anlise da
segurana. um critrio utilizado para definir um limite acima do qual um
elemento da estrutura no poder mais ser utilizado (estado limite de
utilizao), ou acima do qual ser considerado inseguro (estado limite
ltimo). Portanto, quando um elemento da estrutura tornar-se inadequado
para utilizao, ou quando uma estrutura deixar de satisfazer a uma das
finalidades de sua construo, diz-se que ela atingiu um estado limite, ou,
por extenso, que atingiu a runa.
Combinando-se esta definio com a conceituao de segurana,
pode-se dizer que segurana de uma estrutura a capacidade que ela
apresenta de suportar as diversas aes que vierem a solicit-la
durante a sua vida til, sem atingir qualquer estado limite.
Como visto, os estados limites podem ser classificados em duas
categorias:
- estados limites ltimos
- estados limites de utilizao
Os estados limites ltimos so aqueles correspondentes ao
esgotamento da capacidade portante da estrutura, podendo ser originados,
em geral, por um ou vrios dos seguintes fenmenos:
- perda da estabilidade de equilbrio de uma parte ou do
conjunto da estrutura, assimilada a um corpo rgido. Por
exemplo, tombamento, arrancamento de suas fundaes,
etc.;
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- colapso da estrutura, ou seja, transformao da estrutura
original em uma estrutura parcial ou totalmente hiposttica,
por plastificao;- perda da estabilidade de uma parte ou do conjunto da
estrutura, por deformao;
- deformaes elsticas ou plsticas, deformao lenta e
fissurao (no caso de concreto estrutural) que provoquem
uma mudana de geometria que exija uma substituio da
estrutura;
- perda de capacidade se sustentao por parte de seuselementos, ruptura de sees, por Ter sido ultrapassada a
resistncia do material, sua resistncia flambagem,
fadiga, etc.;
- propagao de um colapso que inicia-se em um ponto ou
regio da estrutura, para uma situao de colapso total
(colapso progressivo ou falta de integridade estrutural);
- grandes deformaes, transformao em mecanismo,
instabilidade global.
De forma geral, pode-se dizer que os estados limites ltimos esto
relacionados ao colapso da estrutura ou de parte dela (colapso real ou
convencional), com uma probabilidade muito pequena de ocorrncia, uma
vez que ter como conseqncia a possvel perda de vidas humanas e da
propriedade.
Um estado limite ltimo tambm pode ocorrer devido sensibilidade
da estrutura aos efeitos da repetio das aes, do fogo, de uma exploso,
etc. Estas causas devem ser consideradas por ocasio da concepo da
estrutura e os estados limites ltimos a elas associados devero ser
obrigatoriamente verificados, mesmo no estando previstos explicitamente
nas normas de dimensionamento.
Os estados limites de utilizao esto relacionados interrupo da
utilizao normal da estrutura, aos danos e deteriorao da mesma. Para
esses estados limites poder ser tolerada maior probabilidade de ocorrncia,
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pelo fato de no representarem situaes to perigosas quanto os estados
limites ltimos.
Em ltima anlise, os estados limites de utilizao correspondem sexigncias funcionais e de durabilidade da estrutura, podendo ser
originados, em geral, por um ou vrios dos seguintes fenmenos:
- deformaes excessivas para uma utilizao normal da
estrutura como, por exemplo, flechas ou rotaes que
afetam a aparncia da estrutura, o uso funcional ou a
drenagem de um edifcio, ou que possam causar danos a
componentes no estruturais e aos seus elementos deligao;
- deslocamentos excessivos, sem perda de equilbrio;
- danos locais excessivos (fissurao, rachaduras, corroso,
escoamento localizado ou deslizamento) que afetam a
aparncia, a utilizao ou a durabilidade da estrutura;
- vibrao excessiva que afeta o conforto dos ocupantes da
edificao ou a operao de equipamentos.
O dimensionamento pelo mtodo dos estados limites um processo
que envolve:
1) a identificao de todos os modos de colapso ou maneiras
pelas quais a estrutura poderia deixar de cumprir as
finalidades para as quais foi projetada (estados limites);
2) a determinao de nveis aceitveis de segurana contra a
ocorrncia de cada estado limite;
3) a considerao, pelo calculista da estrutura, dos estados
limites significativos.
No projeto de edifcios comuns, os itens (1) e (2) so contemplados
pelas normas, como por exemplo a NBR 8800/86 Projeto e execuo de
estruturas de ao de edifcios, que indica os estados limites que devem ser
considerados. Para estruturas corriqueiras, o calculista responsvel pelo
item (3), geralmente comeando-se pelo estado limite mais crtico.
Dentre as etapas enumeradas acima, a etapa (2) aquela que
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envolve a introduo da segurana aceitvel ou desejvel, relativamente a
cada estado limite pertinente, baseando-se em mtodos probabilsticos para
levar em considerao a variabilidade das aes e das resistncias, embora,no projeto de uma estrutura, o calculista no tenha que trabalhar,
explicitamente, com o clculo de probabilidades.
As principais vantagens do mtodo de dimensionamento baseado no
conceito de estados limites (mtodo dos estados limites) so as seguintes:
confiabilidade mais coerente entre as vrias situaes de
projeto, uma vez que a variabilidade das resistncias e das
aes representada, de forma explcita e independente,para resistncias e aes;
possibilidade de escolha do nvel de confiabilidade, de tal
forma que possa refletir as consequncias do colapso;
melhor possibilidade de compreenso, por parte do
calculista, dos requisitos a serem atendidos pela estrutura e
do comportamento estrutural necessrio para que esses
requisitos sejam atendidos; simplicidade do processo de dimensionamento;
permite ao calculista a avaliao de situaes no rotineiras
de projeto;
permite, de maneira mais racional, a atualizao das
normas de dimensionamento, em funo dos avanos na
determinao das variabilidades das aes e das
resistncias;
utiliza variveis probabilsticas, refletindo melhor o carter
dos fenmenos envolvidos.
1.6.1 Verificao de projeto
No dimensionamento de uma estrutura, o objetivo do calculista
assegurar-se, com razovel nvel de probabilidade, que, no todo ou em
parte, a estrutura no atingir um estado limite, durante a sua construo ou
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durante o perodo previsto para sua utilizao (vida til). Para alcanar este
objetivo, o dimensionamento pelo mtodo dos estados limites consiste,
essencialmente, na determinao das aes, ou sua combinao, cujosefeitos conduzem a estrutura a um estado limite e garantir que so
superiores s aes, determinadas probabilisticamente, a que ela pode estar
sujeita nesse perodo.
Na prtica, o processo de verificao , no entanto, inverso e baseia-
se no conceito de efeito das aes (Sd) e no conceito de resistncia
correspondente (Rd) e em garantir-se que :
dd RS O carter semi-probabilstico da verificao da segurana e das boas
condies de servio (confiabilidade) introduzido definindo-se as aes e
as resistncias dos materiais atravs de seus valores caractersticos (Sk e
Rk) determinados estatisticamente ou baseados na prtica de projeto.
Por sua vez, os valores de clculo (ou de projeto) das aes (ou
seus efeitos) e das resistncias so obtidos dos correspondentes valores
representativos, afetados por fatores de segurana, respectivamente f e
m , determinados por consideraes probabilsticas para cada tipo de
estado limite, geralmente como produtos de coeficientes parciais.
A subdiviso em coeficientes parciais tem por objetivo quantificar,separadamente, as vrias causas de incerteza, umas quantificveis
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probabilisticamente e outras dependentes de opes subjetivas. O fator f
paras as aes (F) e efeitos S(F) e, geralmente, considerado como produto
de trs fatores:
-1f
para levar em considerao a possibilidade de ocorrncia
de aes que se afastem do valor caracterstico;
-2f
chamado fator de combinao, cuja funo traduzir a
probabilidade reduzida de todas as aes, que atuam
combinadas, atingirem valores elevados simultaneamente.
Este fator , usualmente, identificado como 0 ;-
3f para levar em considerao a impreciso na determinao
dos efeitos das aes (solicitaes ou tenses) e o efeito
da variao das dimenses nos esforos gerados na
montagem ou execuo.
Para quantificao dos vrios f e, para o estabelecimento das
regras de combinao, as aes so classificadas, segundo sua
variabilidade ao longo do tempo, em trs categorias:
- permanentes (G)
- variveis (Q)
- excepcionais (E)
As aes permanentes so aquelas cuja variao no tempo
desprezvel em relao ao tempo mdio de vida til da estrutura, podendo
ser divididas em duas classes:
- diretas so consideradas aes permanentes diretas os
pesos prprios da estrutura e de todos os
elementos construtivos permanentes, os pesos
dos equipamentos fixos e os empuxos devidos
ao peso prprio de terras no removveis e de
outras aes sobre elas aplicadas e, em casos
particulares, os empuxos hidrostticos tambm
podem ser considerados como permanentes;- indiretas so consideradas como aes permanentes
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indiretas a protenso, os recalques de apoio e
a retrao dos materiais.
So consideradas como aes variveis as cargas acidentais dasconstrues, bem como seus efeitos, tais como foras de frenagem, de
impacto e centrfugas, os efeitos do vento, das variaes de temperatura, do
atrito nos aparelhos de apoio e, em geral, as presses hidrostticas e
hidrodinmicas. Em funo de sua probabilidade de ocorrncia durante a
vida til da construo, as aes variveis so classificadas em normais ou
especiais.
As aes variveis normais so aquelas cuja probabilidade deocorrncia suficientemente grande para que sejam, obrigatoriamente,
consideradas no projetos das estruturas de um determinado tipo de
construo, enquanto so classificadas como aes variveis especiais as
aes ssmicas ou cargas acidentais de natureza ou intensidades especiais,
atuantes em tipos particulares de estruturas.
Exemplos:
nos edifcios habitacionais
- sobrecarga devido utilizao da edificao (pessoas, objetos,
mobilirio, etc.) e foras devidas presso do vento.
nos edifcios industriais e comerciais
- sobrecarga de utilizao (equipamentos, pessoas, etc.) e foras
devidas presso do vento
nas pontes e passarelas
- sobrecarga de utilizao (pessoas e veculos) e foras devidas
ao vento
nas barragens e centrais nucleares
- efeitos de natureza ssmica
So consideradas como aes excepcionais as decorrentes
exploses, choques de veculos, incndios, enchentes ou sismos
excepcionais. Os incndios, ao invs de serem tratados como causa de
aes excepcionais, tambm podem ser levados em considerao por
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intermdio de reduo do valor das propriedades fsicas dos materiais
constitutivos da estrutura.
Tendo em vista as diversas aes levadas em considerao no
projeto, o ndice do coeficiente f pode ser alterado para identificar a ao
considerada, resultando nos smbolos g , q , p e , respectivamente
para as aes permanentes, variveis, de protenso e para os efeitos de
deformaes impostas (aes indiretas).
Os valores representativos das aes, como j comentado, podem ser
valores caractersticos, caractersticos nominais, reduzidos de combinao,
convencionais excepcionais, reduzidos de utilizao e valores raros de
utilizao, de acordo com o estado limite em questo.
Assim, para os estados limites ltimos, so considerados os
seguintes valores representativos:
1. valores caractersticos
os valores caractersticos Fk das aes so definidos em
funo da variabilidade de suas intensidades;
os valores caractersticos das aes variveis, estabelecidos
por consenso e indicados em normas especficas,
correspondem a valores que tm 25% a 35% de probabilidade
de serem ultrapassados no sentido desfavorvel, durante um
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perodo de 50 anos;
para as aes permanentes que produzam efeitos
desfavorveis na estrutura, o valor caracterstico correspondeao quantil de 95% da respectiva distribuio de probabilidade
(valor caracterstico superior) e, para as aquelas que produzem
efeitos favorveis o valor caracterstico corresponde ao quantil
de 5% de suas distribuies (valor caracterstico inferior).
2. valores caractersticos nominais
para as aes que no tenham sua variabilidade
adequadamente expressa por distribuies de probabilidade,os valores caractersticos so substitudos por valores
nominais, convenientemente escolhidos.
3. valores reduzidos de combinao
so determinados a partir dos valores caractersticos, pela
expresso k0 F e so empregados nas condies de
segurana relativas a estados limites ltimos, quando existem
aes variveis de diferentes naturezas, levando emconsiderao a baixa probabilidade de ocorrncia simultnea
dos valores caractersticos de duas ou mais dessas aes;
por simplicidade, qualquer que seja a natureza das aes
variveis, o valores de 0 nico.
4. valores convencionais excepcionais
so valores arbitrados para as aes excepcionais,
estabelecidos por consenso entre o proprietrio da construoe as autoridades governamentais que nela tenham interesse.
Para os estados limites de utilizao, os valores representativos
so:
1. valores reduzidos de utilizao
so determinados a partir dos valores caractersticos, pelas
expresses k1 F e k2 F , e empregados, respectivamente,
na verificao da segurana em relao a estados limites de
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utilizao decorrentes de aes que se repetem muitas vezes
e de aes de longa durao;
os valores reduzidos k1 F e k2 F so designados,respectivamente, por valores freqentes e valores quase-
permanentes das aes variveis.
2. Valores raros de uti lizao
Quantificam as aes que podem acarretar estados limites de
utilizao, mesmo que atuem com durao muito curta sobre a
estrutura.
A verificao da segurana em relao aos estados limites ltimos feita em funo das combinaes ltimas de aes e em relao aos
estados limites de utilizao feita em funo das combinaes de
utilizao.
Em termos de carregamentos, durante a vida til da estrutura, podem
ocorrer carregamentos normais, carregamentos especiais ou carregamentos
excepcionais, sendo necessria, em alguns casos particulares, a
considerao do carregamento de montagem ou de construo.O carregamento normal decorre da utilizao prevista para a
construo, admitindo-se que possa ter durao igual ao perodo de
referncia da estrutura (vida til). Este tipo de carregamento deve ser
sempre considerado na verificao da segurana, tanto em relao a
estados limites ltimos quanto em relao a estados limites de utilizao.
O carregamento especial decorre da atuao de aes variveis de
natureza ou intensidade especiais, cujos efeitos superam, em intensidade,
os efeitos produzidos pelas aes consideradas no carregamento normal.
Os carregamentos especiais so transitrios, com durao muito pequena
em relao ao perodo de referncia da estrutura e so, em geral,
considerados apenas na verificao da segurana em relao aos estados
limites ltimos, correspondendo, a cada carregamento especial, uma nica
combinao ltima especial de aes.
O carregamento excepcional decorrente de aes excepcionais
que podem provocar efeitos catastrficos e somente devem ser
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considerados no projeto de estruturas de determinados tipos de construo,
para os quais a ocorrncia de aes excepcionais no possa ser desprezada
e que, alm disso, na concepo estrutural, no possam ser tomadasmedidas que anulem ou atenuem a gravidade das conseqncias dos
efeitos dessas aes. O carregamento excepcional transitrio, com
durao extremamente curta, sendo considerado apenas na verificao da
segurana em relao a estados limites ltimos, por intermdio de uma
nica combinao ltima excepcional de aes.
O carregamento de construo considerado apenas nas
estruturas em que haja risco de ocorrncia de estados limites, durante a fasede construo, portanto transitrio, e sua durao deve ser definida em cada
caso particular. Devem ser consideradas tantas combinaes de aes
quantas sejam necessrias para a verificao das segurana em relao a
todos os estados limites que so de se temer durante a fase de construo.
Portanto, a verificao da segurana para cada tipo de carregamento
deve considerar todas as combinaes de aes que possam acarretar os
efeitos mais desfavorveis na estrutura, observando-se, sempre, que:
- as aes permanentes devem ser consideradas em sua totalidade;
- devem ser consideradas apenas as parcelas das aes variveis
que produzam efeitos desfavorveis;
- as aes mveis devem ser consideradas em suas posies mais
desfavorveis.
As aes includas em cada uma das condies indicadas devem ser
consideradas com seus valores representativos, multiplicados pelos
coeficientes de ponderao, adotando-se os seguintes critrios:
- as aes permanentes devem figurar em todas as combinaes de
aes;
- em cada combinao ltima normal, uma das aes variveis deve
ser considerada como principal, admitindo-se que ela atue com
seu valor caracterstico Fk, enquanto as demais devem ser
consideradas como secundrias, adotando-se os seus respectivos
valores reduzidos de combinao k0 F ;
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- nas combinaes ultimas, especiais ou excepcionais, a ao
varivel, especial ou excepcional, deve ser considerada com seu
valor representativo ( 0,1=f ) e, para as demais aes variveis,
devem ser adotados valores correspondentes a uma probabilidade
no desprezvel de atuao simultnea com a ao varivel
especial ou excepcional.
Os coeficientes de ponderao g (aes permanentes) majoram os
valores representativos que provocam efeitos desfavorveis e minoram os
valores representativos daquelas que provocam efeitos favorveis para a
segurana da estrutura. Nas combinaes ltimas, salvo indicao em
contrrio expressa em norma relativa ao tipo de construo e de material
utilizado, devem ser tomados com os valores bsicos indicados na tabela 1.
Para a determinao do coeficiente de ponderao g as aes
permanentes so divididas em dois grupos:
aes permanentes de grande variabilidade
- so as constitudas pelo peso prprio das estruturas, dos
elementos construtivos permanentes no estruturais e dos
equipamentos fixos, todos considerados globalmente, quando o
peso prprio da estrutura no superar 75% da totalidade desses
pesos permanentes;
aes permanentes de pequena variabilidade
- so as aes permanentes quando o peso prprio da estrutura
supera 75% da totalidade dos pesos permanentes;
A tabela 1 indica, alm dos coeficientes de ponderao das aes
permanentes e variveis, os valores que devem ser adotados para aes
decorrentes de recalques de apoio e de retrao dos materiais.
Os fatores de combinao 0 , salvo indicao em contrrio, expressa
em norma relativa ao tipo de construo e de material utilizado, esto
indicados na tabela 2, juntamente com os fatores de reduo 1 e 2
referentes s combinaes de utilizao.
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Tabela 1 Valores caractersticos de ponderao das aes
Combi-
naes.
Aes PermanentesAes
Variveis
Recalques de
apoio e
retrao
Grande
variabilidade
Pequen
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