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7/17/2019 AREAS I
http://slidepdf.com/reader/full/areas-i 1/7
SEMANA 11
ÁREAS I
1. En un triángulo rectángulo BACrecto en A, el ángulo B mide 75° yla distancia de A a la hipotenusamide 6 2 cm. Calcule el área de laregin ABC.
A! 1"" cm2 B! #6 cm2
C! $% cm2 &! 1%%cm2 E! 72cm2
RESOLUCIÓN
Propiedad (75º; 75º)
BCA'
% =
→ AC 2% 2
∴ 2BAC
2% 2 6 2A 1%%cm
2= =
RPTA.: D
2. (os catetos AB y AC de untriángulo rectángulo ABC recto enA, miden 21cm y 2$cm. )etra*an las +isectrices C y A-, lascuales se cortan en el punto .Calcule el área de la regin C-.
A! 2"cm2 B! #" cm2
C! %5 cm2 &! 7"cm2 E! 75 cm2
RESOLUCIÓN
Propiedad de la Bisectriz:
7/ #5 → 0 5...
Teorema de Poncelet:21 2$ #5 2r
=
→ r 7 .
C-
%0 rA
2=
Remplazando y en:
∴ 2C-
7 2"A 7"cm
2= =
RPTA.: D
#. El triángulo ABC tiene como lados
AB 3 2"cm, AC 3 6 5 cm yBC 3 1"cm. )e tra*a la altura CEy por E se tra*a E4 perpendicular
aAC . Calcule el área de la reginE4C.
A! 1" cm2 B! 5,5 cm2
C! $ cm2 &! 7,2 cm2 E! 6,2 cm2
RESOLUCIÓN
Teorema de Euclides:2
2 21" 2" 6 5 2 2" AE
→ AE 12 → CE 6
AEC
5a 6 5→
6 5a
5
2E4C
2a aA a
2= =
∴
2
2E4C
6 5A 7,2cm
5
= =
RPTA.: D
a
4 a
6 5
1
2
3
1 2 3
45º45º
28I
P21
Q CB
K4k
αα
r
A
3 k
35
6 2
2% 2
7/17/2019 AREAS I
http://slidepdf.com/reader/full/areas-i 2/7
%. )e da un triángulo issceles ABCAB 3 BC!, en donde AC 3 5m yla altura A' mide %m. Calcule elárea de la regin B' siendo 89la interseccin de las alturas A' yB
A! 25:6 m2 B! 7 m2
C! 7:$ m2 &! %;:;6 m2
E! 1%m2
RESOLUCIÓN
A 5#<#7°
→ 15
$
BC 5#<#7°
15 2"50
$ 6=
→ 7
02%
..
→ 2
'B
#0 %0A 60
2= =
Reemplazando: a :
∴ 2
2'B
7 %;A 6 m
2% ;6
= =
RPTA.: D
5. En un triángulo ABC recto en B, setra*a la +isectri* interior A y enAC se u+ica el punto -, de modo=ue m<A- 3 %5°. Calcule el áreade la regin -C, si B!C!32"
u2.
A! 5 u2 B! 1" u2 C! 12,5 u2 &! 15 u2 E! 2" u2
RESOLUCIÓN
&ato a + 3 2"i
)e >ra*a' -C→ ' 3 B a ropiedad de la
+isectri*!
-C∆ sscelesC 3 -C 3 +
∴ 2-C
a+ 2"A 1"
2 2 µ
∆
= = =
RPTA.: B
6. En un triángulo ABC se tra*a lamediana B4, de modo =uem< B4A 3 %5°. Calcule el área dela regin ABC, si BC2 ? AB2 32"
u2
A! 5 u2 B! 7,5 u2 C! 1" u2 &! 12,5 u2 E! 15 u2
RESOLUCIÓN
Dato: 2 2a c 2"=
..Teorema de la proyección de lamediana
2 2a c 2 AC '4− = × ..
3
2C '4 2"× = AC B' 1"× =
∴ ABC!@rea 3 2AC B' 1"2 2×
= µ
53º
37º37º
3 KH
4 K
5/25/237º
A CP
B
53º
O
5 K
3
αα
;"A α
%5 α
%5 α
2ℓℓ
ℓ +
ℓ
1
2
1 2
I
II
II I
7/17/2019 AREAS I
http://slidepdf.com/reader/full/areas-i 3/7
( )2
ABC@rea 5= µ
RPTA.: A
7. En un triángulo ABC se tra*a la+isectri* interior C& y en eltriángulo &BC se tra*a la ceianaB4, de modo =ue m < CB4 3m < BAC. )i el área de la regin
4BC es 5 cm
2
y AC 3 2BC!,calcule el área de la regin B4A.
A! 5 cm2 B! 1" cm2 C! 15 cm2 &! 2" cm2 E! 25 cm2
RESOLUCIÓN
Propiedad de la Bisectriz:A& 3 2B&!
B4C A&C ∆ ∆∼ 2
2
5 a
2) 1" 2a
→ 2" 25 1"
→ ) 3 5∴ 2
A4BA # 5 # 5 15cm= = =
RPTA.: C
$. En un triángulo issceles ABCAB3BC!, se inscri+e un cuadradoel cual tiene un lado contenido en
la +ase AC del triángulo< calcule elárea de la regin ABC si el+aricentro de este es el centro delcuadrado y la +ase del triángulomide 6m.
A! 16 m2 B! 1% m2 C! $ # m2 &! ;m2 E! 1$m2
RESOLUCIÓN
Propiedad del Baricentro:2' B BD D ' a
→ = = =
B) ABC ∆ ∆∼
6 2a a 1#a a
→ =
2ABC
6 #a 6 # 1A ;m
2 2×
= = =
RPTA.: D
;. )e tiene un cuadrado ABC&< en laregin interior se u+ica un punto tal =ue m<BC 3 ;"< y en laprolongacin de B se u+ica alpunto - tal =ue m< -& 3 ;". )iB 3 %u y C 3 6u, calcule el áreade la regin A-&.
A! % u2 B! $ u2
C! 2 1# u2 &! 6 u2 E! 15 u2
RESOLUCIÓN
γ
θ
γ
ααθ
α α
αα
θα
α
θ
α θ
7/17/2019 AREAS I
http://slidepdf.com/reader/full/areas-i 4/7
BC &(C A)&≅
→ ( 2< -& 2 y A) %
∴ 2A-&
2 %A %
2 µ
∆
= =
RPTA.: A
1". )e tiene un triángulo rectánguloABC recto en B. (a mediatri* deBC es tangente a la circunFerenciainscrita cuyo centro es "< calculeel área de la regin AC si AB 36u
A! 2" u2 B! $ 2 u2
C! 6 # u2 &! 5 6 u2 E! 1" u2
RESOLUCIÓN
>C AuGiliar#72
Propiedad de la ediatrizB4 3 4C 3 2r
→ %r $ r 2
2AC
1" D 1" 2A 1"
2 2
µ∆
= = =
RPTA.: E
11. En un triángulo ABC, se u+ican lospuntos 849 en AB y 89 en laprolongacin de AC . 4 y BC seinterceptan en 89 tal =ue lasregiones 4B y C tienen igual
área y A4 3 4B. CalculeACC
A! 1:2 B! 1:% C! 1
&! 1:6 E! 1:5
RESOLUCIÓN
!e Traza: B→ 4B A4A A
∆
"ue#o: ABC BCA A∆ ∆=
AC G1
C y=
RPTA.: C
12. En un cuadrilátero coneGo ABC&,
se toma el punto medio 4 de ladiagonal AC. Calcule el área de laregin 4B& sa+iendo =ue lasáreas de los triángulos AB& y B&Cmiden 5"m2 y #"m2
A! 1" m2 B! ; m2
C! $ m2 &! 15 m2 E! 2" m2
RESOLUCIÓN
Piden B4&A G y=
A4 3 4C→ AB4 B4CA A
∆
A4& &4C&A A∆
Datos:A AB& 5" 2G 2y A B∆
= =
A B&C #" A B∆ = =
Destando 2" 2 G y
∴ G H y 3 1"RPTA.: A
y + B
x +
A
My
x
A
B
C
D A
B
r
B
r
r
O
A C
M
2 r
8
N10
6
r r
r #7
2#7
2
T
7/17/2019 AREAS I
http://slidepdf.com/reader/full/areas-i 5/7
1#. En un triángulo ABC se tra*a laaltura B' y en el triángulo B'C setra*a la +isectri* interior B&.)iendo # A&! 3 % &C!, '& 3 %uy BC 3 12u< calcule el área de laregin AB&.
A! $ µ2 B! 16 µ
2 C! #2 µ
2 &! 2% µ2
E! %" µ
2
RESOLUCIÓN
)e >ra*a &) BC → '&3 &) 3 % ropiedad de la
+isectri*!
Del Dato:
# A& % &C
AB 3 %0&C 3 #0
→ AB&A %)=
B&CA #)=
→ 12 %
#)2×
=
→ ) $
∴ 2AB&A %) % $ #2 µ
∆
= = =
RPTA.: C
1%. En la Figura, m 3 m ,encuentre la ra*n entre las áreade las regiones A y IE.
A! 2:#
B!
3 / 32 C! %:#&!
#:5
E! 6 / 3
RESOLUCIÓN
A
( ) ( )ℓℓ r =2
2 →
r 2ℓ
∴ A
IE
2A 2 #2A ##
2
ℓ
ℓ ℓ
∆
∆
= =
RPTA.: B
15. En un triángulo rectángulo ABCrecto en B, en AC se u+ica elpunto 89 y en el interior de laregin BC el punto 8&9. )iendom∠AB 3 m∠C&, BC 3 C yB 3 & 3 %cm< calcule el área dela regin B&.
A! % # cm2 B! % cm2
C! 2 # cm2 &! $ # cm2 E! $ cm2
RESOLUCIÓN
BEC∆ ssceles
→ m C& m &CB α= < =
→ & B& %
=
B&∆ E=uilátero
∴ 2
2B& % #A % # cm%
= =
RPTA.: A
α ; " α
αα
; " α
ℓ #ℓ
2ℓ
ℓ r 3
2 ℓ
ℓ
ℓ
αα
B
AH D C
3 4
4
!
12
4
4 K 3 K
7/17/2019 AREAS I
http://slidepdf.com/reader/full/areas-i 6/7
16. En la Figura, C 3 6 µ. Calcule alárea de la regin som+reada.
A! 1$ µ2
B! ; µ2
C! 1#,5 µ2
&! 21 µ2
E! 27 µ2
RESOLUCIÓN
C&
( )26 r a=
→ r a
∴
2AB
r a #6A 1$
2 2 µ
∆
= = =
RPTA.: A
17. En la Figura, AC 3 C&,m∠CB& 3 2m∠ B&A y el área dela regin triangular BC& es $µ
2,calcule el área de la regin
som+reada.
A! %µ2
B! 7µ2
C! #µ2
&! 5µ2
E! 6µ2
RESOLUCIÓN
i! BC&
a+A $ sen5#
2= = °
→ a+ 2"
ii! BCA
a+A sen#"
2= °
22" 152 2 µ
= =
RPTA.: D
1$. En la Figura # D-! 3 2 D! 3 Ay DC 3 BC. Calcular la relacin deáreas de las regiones A- y -DC.
A! 1:2 B! 1 C! 1:#
&! 1:% E! 2
RESOLUCIÓN
i! B D #0=
ropiedad de laBisectri*!
ii! DCA #)=
-DCA 2)=
Tam$i%n:
AC BCA 2 A∆ J 5) 2 #)
=
→ J )
αα
B
A D
C
a
a
30º
α#"A α
2 α
" 30º23º
7/17/2019 AREAS I
http://slidepdf.com/reader/full/areas-i 7/7
∴ A-
-DC
A ) 1A 2) 2
∆
∆
= =
RPTA.: C
1;. En un triángulo ABC en AB y BCse u+ican los puntos 89 y 8-9respectiamente de modo =ueA 3 2B! y B- 3 2-C!. Calcule
el área de la regin B-, si el áreade la regin ABC es %5cm2.
A! 5 cm2 B! 1" cm2 C! 15 cm2 &! 2" cm2 E! 25 cm2
RESOLUCIÓN
i! A- B-A 2 A∆
ii! A-B A-CA 2 A∆
→ A-CA #)=
&ato;s %5
→ ) 5
∴ B-A 2) 2 5= =
22 5 1" cm
RPTA.: B
2". En un triángulo ABC
AB 3 2 BC!31" cm. )e tra*a la+isectri* interior B y laperpendicular A- a B - en laprolongacin de B!. Calcule elárea de la regin ABC, si - 3 2cm.
A! 12 cm2 B! 1$ cm2 C! 2% cm2 &! #" cm2 E! #2 cm2
RESOLUCIÓN
i! )e construye ssceles!→ A- 3 ->ii! )e tra*a
CD 3 # >eorema de los puntosmedios!
→ CD> #7< 5#!→ -D 3 % y A- 3$
∴
ABC AB>
1A A
2 ∆
2ABC
1 16 6A 2%cm
2 2×
= =
RPTA.: C
α α
CE A>
AB> ∆
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