aula 13 - rnp
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13Aprendendo a calcular a média
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META
OBJETIVO
PRÉ-REQUISITOS
Introduzir o conceito de medidas de tendência central e apresentar os cálculos de média aritmética.
Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de:
1. calcular média aritmética simples;
2. calcular média aritmética ponderada;
3. calcular a média de dados agrupados.
Para esta aula é importante que você reveja os conceitos de população, amostra e freqüência que foram apresentados nas Aulas 6 e 7. Também é importante ter uma calculadora à mão para fazer as atividades propostas.
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FAZENDO UMA MÉDIA
Como Técnico em Segurança do
Trabalho você está apto a sugerir e implantar
programas de prevenção de acidentes no
trabalho. Para tanto, é importante que
você seja capaz, entre outras coisas, de
analisar informações contidas em grá-
ficos e tabelas.
Imagine que você já é um Técnico
em Segurança no Trabalho. Ao chegar
ao trabalho, encontrou sobre sua mesa a
tabela a seguir.
Tabela 13.1: Valores ano a ano, durante três décadas (70, 80 e 90), do número total de trabalhadores; de ACIDENTES ocorridos (tanto TÍPICOS quanto ocorridos durante o trajeto para o trabalho); de doenças relacionadas ao trabalho; de acidentes relacionados ao trabalho; de acidentes ocorridos a cada 100 mil trabalhadores; de óbitos relacionados ao trabalho; de óbitos a cada 100 mil trabalhadores e de óbitos a cada 10 mil acidentes ocorridos.
ACIDENTES TÍPICOS
Todos os acidentes que ocorrem no
desenvolvimento do trabalho, na própria
empresa ou a serviço dela.
Fonte: http://www.pucsp.br/cipa/
artigos/seguranca_trabalho.html
Ano Trabalha-dores
AcidentesDoenças Total
Acidentes
Acidentes/ 100mil
trabalhadoresÓbitos
Óbitos /100 mil
trabalhadores
Óbitos/10mil acidentesTípico Trajeto
1970 7.284.022 1.199.672 14.502 5.937 1.220.111 16.750 2.232 31 18
1971 7.553.472 1.308.335 18.138 4.050 1.330.523 17.614 2.587 34 19
1972 8.148.987 1.479.318 23.389 2.016 1.504.723 18.465 2.854 35 19
1973 10.956.956 1.602.517 28.395 1.784 1.632.696 14.900 3.173 29 191974 11.537.024 1.756.649 36.273 1.839 1.796.761 15.573 3.833 33 21
1975 12.996.796 1.869.689 44.307 2.191 1.916.187 14.743 4.001 31 21
1976 14.945.489 1.692.833 48.394 2.598 1.743.825 11.667 3.900 26 22
1977 16.589.605 1.562.957 48.780 3.013 1.614.750 9.733 4.445 27 28
1978 16.638.799 1.497.934 48.511 5.016 1.551.461 9.324 4.342 26 28
1979 17.637.127 1.388.525 52.279 3.823 1.444.627 8.190 4.673 26 32Média anos 70 12.428.828 1.535.843 36.497 3.227 1.575.66 13.696 3.604 30 23
1980 18.686.355 1.404.531 55.967 3.713 1.464.211 7.835 4.824 26 33
1981 19.188.536 1.215.539 51.722 3.204 1.270.465 6.620 4.808 25 38
1982 19.476.362 1.117.832 57.874 2.766 1.178.472 6.050 4.496 23 38
1983 19.671.128 943.110 56.989 3.016 1.003.115 5.099 4.214 21 42
1984 19.673.915 901.238 57.054 3.233 961.575 4.887 4.508 23 47
1985 21.151.994 1.010.340 63.515 4.006 1.077.861 5.095 4.384 21 41
1986 22.163.827 1.129.152 72.693 6.014 1.207.859 5.449 4.578 21 38
1987 22.617.787 1.065.912 64.830 6.382 1.137.124 5.027 5.738 25 50
Número de acidentes e doenças do trabalho no Brasil de 1970 a 2004
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Analisando as informações contidas na tabela apresentada,
você diria que, com o passar das décadas, o número de acidentes que
ocorrem no trajeto do trabalhador de sua casa ao local de trabalho e o
número de óbitos (mortes) relacionados ao trabalho está aumentando
ou diminuindo? Com base em que informação da tabela fica fácil tirar
essa conclusão?
Se você não conseguiu responder à pergunta, não se preocupe.
Ainda nesta aula vamos voltar a esse ponto, e você, com certeza, vai
descobrir a resposta.
AS MEDIDAS DA ESTATÍSTICA
Olhe atentamente para a Tabela 13.1, com sua grande quantidade
de linhas e colunas. Essa tabela, como você já aprendeu, representa um
grande conjunto de dados. Agora pense em como analisar todos os valores
existentes nesse grande conjunto e compará-los entre si, para então se
chegar a uma conclusão a respeito do que eles estão informando. Parece
trabalhoso, não é mesmo?
Por isso, é indispensável sintetizar adequadamente os dados
estatísticos para termos maior e mais fácil compreensão das informações
sobre o fato ou fenômeno que está sendo estudado. É isso que você vai
aprender nesta aula e na Aula 14 (a próxima). Você aprenderá algumas
formas de resumir os dados de um conjunto por meio de medidas
estatísticas chamadas de medidas de posição.
Tais medidas informam sobre o comportamento da variável que
as originou, isto é, as medidas, sendo um único número, dão a idéia
1988 23.661.579 926.354 60.202 5.025 991.581 4.190 4.616 19 47
1989 24.486.553 825.081 58.524 4.838 888.443 3.628 4.554 18 51
Média Anos 80 21.077.804 1.053.909 59.937 4.220 1.118.071 5.388 4.672 22 42
1990 23.198.656 632.012 56.343 5.217 693.572 2.990 5.355 23 77
1991 23.004.264 579.362 46.679 6.281 632.322 2.749 4.527 20 72
1992 22.272.843 490.916 33.299 8.299 532.514 2.391 3.516 16 66
1993 23.165.027 374.167 22.709 15.417 412.293 1.780 3.110 13 75
1994 23.667.241 350.210 22.824 15.270 388.304 1.641 3.129 13 81
1995 23.755.736 374.700 28.791 20.646 424.137 1.785 3.967 17 94
1996 23.830.312 325.870 34.696 34.889 395.455 1.659 4.488 19 113
1997 24.104.428 347.482 37.213 36.648 421.343 1.748 3.469 14 82
1998 24.491.635 347.738 36.114 30.489 414.341 1.692 3.793 16 92
1999 24.993.265 326.404 37.513 23.903 387.820 1.552 3.896 16 100
Média Anos 90 23.648.341 414.686 35.618 19.706 470.210 1998 3.925 17 85
Fonte: BEAT, INSShttp://www.protecao.com.br/novo/imgbanco/imagens/Re-Anuario%202006/20_Estatisticas_Tabelas.pdf
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL: NA METADE DO CAMINHO, OU BEM PRÓXIMA DELA...
Entre os vários tipos de medidas de posição, as medidas de tendência
central são as mais comuns. O nome já nos dá uma dica de sua função.
Esse tipo de medida determina em torno de que valor os dados tendem
a ser encontrados.
Veja um exemplo para ficar mais claro. Durante o primeiro se-
mestre do ano passado, Clara gastou, por mês, em suas compras de
supermercado, os seguintes valores:
Fonte: www.sxc.hu
Figura 13.1: As medidas de posição são medidas que representam, de forma resumida, um conjunto de dados.
Sanj
a G
jene
ro
da tendência de todo um conjunto de dados. As medidas estatísticas
de posição mais utilizadas são: a média, a moda e a mediana. Todas
funcionam como uma “medida-resumo”, pois passam a idéia do
comportamento geral dos dados estudados. É possível, ainda, dizer que
tais medidas são como valores de referência, em torno dos quais os outros
valores se distribuem.
As médias são as medidas de posição mais populares; já a mediana
é definida como o valor que ocupa a posição central em um conjunto
de dados ordenados; portanto, tem a propriedade de dividir um conjunto de
observações em duas partes iguais. A moda é o valor que aparece mais vezes,
ou seja, é aquele que apresenta a maior freqüência observada. Mas não se
preocupe, você será apresentado, com detalhes, a cada uma delas.
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Em janeiro – R$ 82,00
Em fevereiro – R$ 79,00
Em março – R$ 81,00
Em abril – R$ 80,00
Em maio – R$ 102,00
Em junho – R$ 80,00
Observe que os valores são todos
próximos a R$ 80,00, ou seja, os valores
tendem a estar perto desse valor. Se
colocarmos os valores em ordem crescente,
fica fácil visualizar que R$ 80,00 é um valor
mais central nessa distribuição. Veja:
79,00 80,00 80,00 81,00 82,00
102,00
Mesmo existindo um valor distante de
R$ 80,00, que é R$ 102,00, todos os outros
cinco estão perto dele. Por isso, dizemos que
Clara costuma gastar em torno de R$ 80,00
em compras, porque todos os outros valores
estão próximos desse valor.
Fonte: www.sxc.hu
Mac
iek
PELC
Fonte: www.sxc.hu
Figura 13.2: A medida de tendência central é o valor em torno do qual os outros valores de um conjunto de dados estão posicionados.
Sanj
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jene
ro
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No exemplo anterior, determinamos o valor de R$ 80,00 como
sendo o valor central, usando nosso bom senso. Mas há métodos mais
confiáveis de se chegar ao valor central. Existem três tipos de medidas
de tendência central: média, mediana e moda.
Cada uma dessas medidas possui uma maneira específica de
estabelecer o valor central de um conjunto de dados. Nesta aula, você
vai aprender sobre as médias.
MÉDIA: UM POR TODOS E TODOS POR UM!
Existem vários tipos de média, como, por exemplo,
média aritmética, média geométrica e média harmônica.
Você vai estudar apenas a média aritmética, que é a mais
utilizada.
Existem dois tipos de média aritmética: média aritmética
simples e média aritmética ponderada. Vamos começar pela
média aritmética simples.
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES
Vamos voltar ao exemplo da Clara e ao valor de
suas compras durante os seis primeiros meses do ano. Ela
agora está querendo colocar uma parte do seu salário na
poupança. Para isso, ela tem que calcular quanto, aproximadamente,
vai gastar durante o mês, para saber o que conseguirá poupar.
Figura 13.3: Clara quer poupar, mas para isso ela deve ter uma idéia de quanto vai gastar durante o mês.
Joha
nna
Ljun
gblo
m
Fonte: www.sxc.hu
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Mas como saber os valores das contas que ela ainda não recebeu?
Uma boa idéia para resolver esse problema é fazer a média simples dos
valores pagos nos últimos meses. Assim, ela pode ter a idéia aproximada
de quanto serão suas despesas.
A média aritmética simples é o valor obtido quando somamos
todos os valores de um determinado conjunto de dados e dividimos esse
valor total pela quantidade de dados (valores).
Entendeu? Não? Vamos voltar aos valores das compras da Clara.
Veja como se faz o cálculo da média das compras que Clara fez nos
últimos seis meses:
Veja que Clara gastou em média R$ 84,00 nas compras de
supermercado. O X = + + + + + =82 79 81 80 102 806
84 (lê-se X barra) é o símbolo de média.
Fonte: www.sxc.hu
Figura 13.4: Que estratégia Clara deve utilizar para prever quanto vai gastar? Uma boa idéia é calcular a média aritmética simples dos últimos gastos que teve.
Yosh
i Aka
X = + + + + + =82 79 81 80 102 806
84
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Lembra que, apenas utilizando o bom senso, tínhamos concluído
que Clara gastava aproximadamente R$ 80,00 por mês em compras?
Chegamos a esse valor sem fazer nenhuma conta, ou seja, observamos que
esse era o valor mais próximo de todos os outros. Ao fazermos essa análise
descartamos o valor R$ 102,00 porque era muito diferente dos outros.
Quando calculamos a média, levamos em consideração todos os
valores; por isso, o valor encontrado foi maior (R$ 84,00). Neste caso, o
valor R$ 102,00 influenciou o resultado, pois fez com que a média ficasse
maior. Veja como ficaria a média se o valor R$ 102,00 não existisse:
O valor encontrado foi R$ 80,00, exatamente o que tínhamos
concluído sem fazer qualquer tipo de cálculo. Agora, sem o valor distante,
a média fica próxima de todos os valores do conjunto de dados.
A média é utilizada quando desejamos obter um valor geral que
represente diversos resultados dentro de um conjunto.
X = + + + + ≅82 79 81 80 805
80
Fonte: www.sxc.hu
MULTIMÍDIA
A estatística dos ETs
Que tal uma história de ficção científica que
mistura boa dose de suspense e uma pitada de...
estatística?
No livro Vultos sobre o Sol, de Chad Oliver,
você vai conhecer um antropólogo americano
que, ao fazer um levantamento demográfico
dos Estados Unidos, fica intrigado com uma
pequena cidade do sul do Texas. A tal cidade, à
primeira vista, passaria despercebida já que seus índices
são absolutamente normais: taxa de natalidade, número de idosos, infra-estrutura, postos de serviços,
distribuição etária e de sexo, tudo exatamente na média.
No entanto, como ele descobre mais tarde, tudo era normal demais. Parecia que os dados haviam
sido manipulados para que parecessem ideais, exatamente para que a cidade não chamasse atenção.
O personagem então vai até a cidade e descobre coisas estranhas que envolvem inclu-
sive a existência de vida extraterrestre.
Este é um livro bem antigo, talvez você só o encontre em um SEBO, mas vale a pena tentar.
Rena
ude
Hat
seda
kis
Fonte: www.sxc.hu
SEBO
Lojas que vendem livros usados.
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Vamos ver mais um exemplo? Observe a Tabela 13.2, que apresenta
o número de acidentes, a incapacidade temporária e as mortes em
vários setores de atividade econômica do Estado de São Paulo no ano
de 2005:
Acidentes de trabalho por setor de atividade econômicaTrabalho realizado pelo INST-CUT – São Paulo, abril de 2005
SetorNº Médio de vínculos
Total de acidentes
Incapacidade temporária
Nº de mortes
Faixa etária: 16 a 34 anos
Indústria de transformação 4.959.814 110.130 79.315 437 58.046
Comércio de reparação de veículos automotores, objetos pessoais e domésticos 4.734.552 40.674 39.460 471 27.594
Agricultura, pecuária e serviços relacionados com essas atividades 1.332.974 29.754 28.871 207 15.594
Atividades imobiliárias, aluguéis e serviços prestados às empresas 2.980.400 27.878 25.025 253 16.032
Saúde e serviços sociais 960.580 25.202 12.800 21 12.952
Transporte, armazenagem e comunicações 1.404.873 23.399 21.349 419 11.435
Construção 1.088.177 21.972 20.030 310 10.676
Outros serviços coletivos, sociais e pessoais 1.265.481 14.692 12.507 85 7.518
Administração pública, defesa e seguridade social 1.956.510 6.942 6.311 54 2.397
Alojamento e alimentação 792.363 6.799 6.631 38 4.154
Intermediação financeira 550.251 4.160 3.636 16 1.266
Educação 762.539 3.834 2.885 9 1.618
Produção e distribuição de eletricidade, gás e água 188.434 2.773 2.245 46 836
Indústrias extrativas 112.628 2.260 1.632 27 1.125
Pesca 23.108 911 944 10 507
Tabela 13.2: Apresenta as colunas: diversos setores de atividade econômica (primeira coluna); número médio de vínculos empregatícios, ou seja, de pessoas empregadas (segunda coluna); total de acidentes relacionados ao trabalho (terceira coluna); número de trabalhadores incapacitados temporariamente (quarta coluna); número de mortes relacionadas ao trabalho (quinta coluna) e número de trabalhadores com idades entre 16 e 34 anos (sexta coluna). Os valores referentes a cada coluna estão divididos por vários setores de atividade econômica do estado de São Paulo (primeira coluna).
Fonte: Previdência Social – Anuário Estatístico 2005
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A coluna destacada em cinza traz o número de mortes de
trabalhadores em diversos setores de atividade econômica. Veja como é
feito o cálculo da média dos valores dessa coluna.
X15 1= + + + + + + + + + + + + + + =10 27 46 9 16 38 54 85 310 419 21 253 207 471 43715
660 2, mortes
Ou seja, somamos todos os valores e dividimos pelo número de
valores que foram somados. Podemos dizer, então, que, em 2005, no
estado de São Paulo, morreram em média 160,2 trabalhadores devido
a acidentes de trabalho.
Volte agora à Tabela 13.1 e veja se você consegue responder àquelas
perguntas. Comece observando as colunas de número de acidentes no
trajeto (quarta coluna) e a de número de óbitos (oitava coluna). Note que,
ao final de cada dez anos (uma década), existe uma média dos valores.
Essa média funciona como um resumo do período. Compare o valor de
uma década com a outra. Esse valor está aumentando ou diminuindo?
Você acha que isso torna a análise mais fácil?
Fonte: www.sxc.hu
Figura 13.5: A média é um valor que representa um conjunto de dados.
Ilker
ATENÇÃOATENÇÃO
Atente para o fato de que a média pode ser um valor
diferente de qualquer um dos valores existente no
conjunto de dados. Neste caso, dizemos que a mé-
dia não tem existência concreta.
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Mas nem tudo na média aritmética é simples. Calma, não é que vá
ficar muito complicado! É porque existe outro tipo de média aritmética
chamada de ponderada. É nosso próximo assunto.
Agora que você viu como se calcula a média aritmética simples,
chegou a hora de praticar. Leia atentamente os exercícios a seguir e faça
os cálculos. É bom que você tenha uma calculadora à mão, para ajudá-lo
nas contas.
ATIVIDADE 1
Atende ao Objetivo 1
Uma aplicação financeira rendeu, em três dias, os seguintes valores:
Primeiro dia: R$ 58,50
Segundo dia: R$ 61,10
Terceiro dia: R$ 57,10
Calcule a média aritmética simples de rendimento dos três dias dessa aplicação.
ATIVIDADE 2
Atende ao Objetivo 1
Um time de futebol jogou sete partidas durante o campeonato. Veja, a seguir, os resultados
de cada partida:
Primeira partida – 3 X 1
Segunda partida – 4 X 2
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Terceira partida – 1 X 1
Quarta partida – 0 X 0
Quinta partida – 3 X 2
Sexta partida – 2 X 1
Sétima partida – 1 X 0
Fonte: www.sxc.hu
Raw
ku5'
Sabendo que o time não perdeu nenhuma das partidas, calcule:
a. A média aritmética simples dos gols marcados pelo time.
b. A média aritmética simples dos gols sofridos pelo time.
ATIVIDADE 3
Atende ao Objetivo 1
Um técnico do INMETRO (Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade
Industrial), ao visitar uma indústria de produtos químicos, pesou 16 potes de soda cáustica
para conferir se as massas eram iguais.
Após a pesagem (em gramas), ele montou no computador (com o auxílio de uma planilha
eletrônica) uma tabela com a massa dos potes. Ao imprimir a tabela, a impressora falhou
e o último número não apareceu. Veja, a seguir, como ficou a tabela.
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Por sorte, ele tinha em mãos a média aritmética simples dos 16 números. A média era
183,75. Com essa informação é possível achar o valor que não apareceu. Ajude o técnico a
calcular o número que está faltando.
Este exercício é um pouco mais desafiador. Para que você possa realizá-lo,
vamos dar algumas dicas:
a. Monte a equação para calcular a média aritmética simples.
b. Substitua pela letra X o número que você não conhece.
c. Ao montar a equação, ela será igual a 183,75 (lembre-se: ele sabe qual é o valor da
média, ela é igual a 183,75).
173 241 184 174 191 178 181 175
177 174 169 215 166 187 173
Fonte: www.sxc.hu
Sigu
rd D
ecro
os
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
Seu garçom faça o favor de me trazer depressa Uma boa média que não seja requentadaUm pão bem quente com manteiga à beçaUm guardanapo e um copo d’água bem gelada...
(Música: "Conversa de Botequim"
Compositores: Francisco Alves, Noel Rosa e Vadico)
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Cristina comprou o jornal para conferir o gabarito das provas
que fez para o concurso de Técnico em Segurança do Trabalho da
CODEVASF (Companhia de Desenvolvimento dos Vales de São Francisco
e Parnaíba).
Ela fez prova de Língua Portuguesa, Legislação da CODEVASF,
Conhecimentos Gerais e Conhecimentos Específicos (de Segurança no
Trabalho). Ao reler o EDITAL, Cristina verificou que as diversas provas
tinham pesos diferentes. É comum as provas terem valores diferentes
quando o domínio de determinados conhecimentos é mais importante
para o desempenho da função do que outros. Assim, as matérias de maior
importância têm peso maior.
Fonte: www.sxc.hu
Figura 13.6: Em concursos é comum encontrarmos pesos diferentes para os diversos tipos de provas.
Clin
ton
Car
dozo
Veja, a seguir, a tabela com as provas, o número de questões e o
peso de cada prova:
EDITAL
Conjunto de informações e normas a respeito da realização de um
concurso público.
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ren
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nd
o a calcu
lar mé
dia
Tabela 13.3: Provas aplicadas no concurso da CODEVASF para nível médio, com o número de questões e o peso de cada prova.
TABELA – NÍVEL MÉDIO(Para todas as áreas de formação do cargo de Assistente Técnico em
Desenvolvimento Regional – ATDR, EXCETO para Designer Gráfico e Técnico em Informática)
Provas Nº de questões Peso de cada prova
Língua Portuguesa 10 2,5
Matemática 5 2,5
Legislação da CODEVASF 5 2,0
Conhecimentos Gerais 5 1,5
Conhecimentos Específicos 15 3,0
TOTAL DE QUESTÕES 40 questões
PONTUAÇÃO MÁXIMA 100 pontos
Ter pesos diferentes significa que algumas provas valem mais que
outras. Observando a Tabela 13.3, você pode perceber que a prova de
Conhecimentos Específicos vale mais do que todas as outras (tem peso
3), enquanto a prova de Conhecimentos Gerais vale menos do que as
outras (tem peso 1,5).
Ao conferir o gabarito, Cristina verificou que tinha acertado sete
questões da prova de Língua Portuguesa, três questões da prova de
Matemática, quatro questões da prova de Legislação da CODEVASF,
três questões da prova de Conhecimentos Gerais e onze questões da
prova de Conhecimentos Específicos. O que devemos fazer para calcular
a nota de Cristina?
É fácil! Devemos multiplicar o número de questões de cada prova
pelo respectivo peso da prova. Veja como ficam os cálculos:
ATENÇÃOATENÇÃO
Fique atento para o fato de que ter um peso maior
significa que as questões daquela prova valem
mais pontos do que as questões das provas com
pesos menores.
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Notas das provas
Ou seja, de um total de 100 pontos,
Cristina fez 68 pontos no concurso.
Para entender o que é média ponderada,
é importante que você tenha entendido que
alguns valores podem ter peso, ou seja, que alguns
valores podem ser mais ou menos importantes
do que outros.
Utilizamos a média ponderada quando
queremos calcular a média de valores que têm
peso. Isso é muito comum quando queremos
calcular a média de nossas notas na escola.
Muitas vezes os professores colocam pesos
para as notas que você tirou em cada bimestre.
Vamos ver mais um exemplo.
Fonte: www.sxc.hu
Figura 13.7: A média ponderada é utilizada quando temos valores com pesos diferentes. É muito comum para calcular a nota final do ano letivo.
Henrique é professor de história em uma escola e vai calcular as
notas finais de quatro alunos. Ele determinou que a nota de cada bimestre
terá um peso diferente e a nota final será a média das notas que o aluno
tirou em cada um dos quatro bimestres do ano letivo.
Sigu
rd D
ecro
os
= × + × + × + × + × = + + + + =7 2 5 2 2 5 4 2 3 1 5 11 3 17 5 5 0 8 0 4 5 33 68, , , , , , ,
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dia
Para calcular a nota final, Henrique vai ter que tirar uma média
ponderada, e não uma média simples, já que as notas terão pesos
diferentes. Veja a tabela que ele montou:
Tabela 13.4: Notas de quatro alunos nos quatro bimestres do ano letivo. Cada bimestre tem um peso específico.
Notas de história do ano letivo
Aluno 1º bimestre(peso 1)
2º bimestre(peso 2)
3º bimestre(peso 3)
4º bimestre(peso 3) Nota Final
1 5 5 6,5 72 5 6 8 9
3 2,5 4 4 6,5
4 4,5 5 5,5 7
A nota final de cada aluno, que é a média ponderada das suas
notas, é resultado da nota total dividida pela soma dos pesos. A nota
final deve ser calculada da mesma forma que o cálculo feito por Cristina
para achar sua nota no concurso. O cálculo fica assim:
Nota final do aluno 1
Nota final do aluno 2
Viu como é fácil? Calcule, no espaço a seguir, a nota final dos
alunos 3 e 4 e complete a Tabela 13.4.
25 1 6 2 8 3 9 3
1 2 3 35 12 24 27
9689
7 5= × + × + × + ×+ + +
= + + + = ≅ ,
15 1 5 2 6 5 3 7 3
1 2 3 35 10 19 5 21
955 5
96 2= × + × + × + ×
+ + += + + + = ≅, , ,
,
Fonte: www.sxc.hu
Ad
am C
iesi
elsk
i
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MULTIMÍDIA
Na Aula 7, você aprendeu que dados repetidos podem ser agrupados
em uma tabela de distribuição de freqüências. Lembra?
Em todos os exemplos que vimos até agora os dados analisados
estão isolados uns dos outros, ou seja, cada valor é levado em consideração
separadamente; não foram agrupados. Então, como calcular a média
aritmética quando os dados estão agrupados? É o que você vai ver na
próxima seção.
Agora que você já aprendeu como calcular a média aritmética
ponderada, faça as atividades a seguir.
Lembra-se de quando foi falado, no começo da aula, que existem quatro tipos de
médias? As mais comuns são a média simples e a ponderada, que você já aprendeu; as outras
duas são as médias geométrica e harmônica.
As médias geométrica e harmônica são menos utilizadas. O cálculo dessas medidas é um pouco
mais complexo e lançamos mão dele em situações bastante particulares.
Ficou interessado em aprender sobre essas medidas? Então, corra para o computador mais
próximo e acesse a internet.
Se quiser entender a média geométrica, digite o endereço:
http://vestibular.uol.com.br/ultnot/resumos/ult2774u33.jhtm
Se quiser saber sobre média harmônica, o endereço é:
http://www.universitario.com.br/ufrgs/media_harmonica_ufrgs.php
Ilker
Fonte: www.sxc.hu
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Atende ao Objetivo 2
Uma pequena empresa da área de segurança no trabalho emprega:
dez funcionários com salário de R$ 2.000,00 mensais;
doze funcionários com salário de R$ 1.500,00 mensais;
oito funcionários com salário de R$ 1.400,00 mensais.
Calcule a média de salários dessa empresa.
ATIVIDADE 4
Fonte: www.sxc.hu
Atende ao Objetivo 2
Bruno é aluno do primeiro ano do Ensino Médio. Ele acabou de receber suas notas de
Biologia do primeiro bimestre. O professor da matéria estabeleceu as seguintes regras:
a nota da prova escrita tem peso 2;
a nota do trabalho em grupo tem peso 2;
a nota da pesquisa sobre reciclagem de lixo tem peso 3;
ATIVIDADE 5
Ann
-Kat
hrin
Reh
se
Afo
nso
Lim
a
Fonte: www.sxc.hu
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a nota do debate sobre meio ambiente que foi realizado em sala de aula tem peso 1.
Sabendo que Bruno tirou as seguintes notas, ajude-o a calcular sua média do bimestre em
Biologia:
Prova escrita – 8,0
Trabalho em grupo – 5,0
Pesquisa – 7,0
Debate – 9,0
ATIVIDADE 6
Atende ao Objetivo 2
Em duas turmas distintas do curso Técnico em Segurança no Trabalho foi aplicada uma
prova. Na primeira turma, que era formada por 30 alunos, a média aritmética das notas
foi 6,40. Na segunda turma, formada por 50 alunos, a média aritmética foi 5,20. Qual a
média aritmética das notas dos 80 alunos?
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DADOS UNIDOS TAMBÉM SERÃO MEDIDOS!
Também é possível calcular a média de dados que estão agrupados
em uma tabela de freqüência, o que pode ser feito, inclusive, quando os
valores da variável estão distribuídos em intervalos de classes. Veja, a
seguir, como isso é possível.
Média de dados agrupados: sem intervalos de classe
Para entender como funciona o cálculo da média aritmética em
dados que estão dispostos numa tabela de freqüência, vamos utilizar
um exemplo.
A secretaria da escola de música NA FREQÜÊNCIA DO SOM
queria traçar um perfil dos alunos da escola. Uma das perguntas era se
havia diferença, entre os sexos, na preferência por determinado tipo de
instrumento.
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Decidiram começar pelo curso de violão, calculando a média
da presença masculina entre as turmas formadas para o estudo desse
instrumento. O curso tem 34 turmas de violão, e cada uma tem, no
máximo, quatro alunos. O primeiro passo foi montar a seguinte tabela
(Tabela 13.5):
Tabela 13.5: As 34 turmas de violão da escola (total da freqüência). A tabela relaciona a quantidade de homens que pode haver em cada turma (variável), com o número de turmas (freqüência) que possuem a respectiva quantidade de homens.
Turmas de violão
Nº de homensQuantidade de turmas
(freqüência)
0 2
1 6
2 10
3 12
4 4
TOTAL 34
Observando atentamente a tabela, é possível perceber que a idéia
de quantidade de alunos homens por turma é a mesma questão abordada
na questão dos diferentes pesos para cada prova da seção anterior.
A freqüência funciona como o peso. Então, para calcular a média
de dados distribuídos em freqüências, basta calcular a média ponderada.
Veja como fica o cálculo:
O resultado da média aritmética ponderada foi, aproximadamente,
2,3. Isso significa dizer que existem 2,3 homens em cada turma. Mas não
existem 2,3 homens, não é mesmo? Pessoas só podem ser representadas
por números inteiros positivos, então como interpretar esse resultado?
X = × + × + × + × + ×+ + + +
= + + + + = ≅0 2 1 6 2 10 3 12 4 42 6 10 12 4
0 6 20 36 1634
7834
2 3,
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A primeira conclusão que podemos tirar, levando em consideração
a informação de que as turmas têm no máximo 4 alunos, é que a maioria
delas tem, em média, 2 alunos homens e 2 alunas mulheres.
A outra conclusão a que podemos chegar é que as turmas de violão
têm, em média, mais homens do que mulheres. Isso porque 2,3 é maior
do que a metade de alunos que cada turma pode ter (a metade de 4 é 2) e
o número de alunos que falta para completar a turma (4 − 2,3 = 1,7) é de
mulheres, que é um número menor do que 2.
Figura 13.8: Não existe meia pessoa. Quando temos uma média referente ao número de pessoas que não é um número inteiro, consideramos que o resultado tende a ser maior que a parte inteira do número.
MULTIMÍDIA
Fonte: www.sxc.hu
Você já parou para pensar de que
forma a estatística se encaixa na sua área?
Então, entre no site www.segurancaetra-
balho.com.br. Este é um PORTAL TEMÁTICO
sobre Segurança no Trabalho. O site, entre
outras coisas, oferece legislação a respeito
desse tema e um banco de dados com
vários indicadores estatísticos relacionados
à área de segurança no trabalho.
Jozs
ef S
zoke
Fonte: www.sxc.hu
Jayl
opez
PORTAL TEMÁTICO
Um site que oferece vínculos, organizados por temas, a outros sites ou serviços.
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Média de dados agrupados: com intervalos de classe
Você aprendeu sobre dados agrupados em intervalos de classe na
Aula 7, lembra? Quando os dados são apresentados sob essa forma, eles
ficam “escondidos” dentro de subconjuntos que chamamos de classes.
Como fazer para calcular a média aritmética desses valores? Se você
entendeu como calcular a média quando os dados estão agrupados em
freqüências, não vai ter dificuldade aqui. O cálculo dos dados agrupados
em intervalos de classes é um pouco mais trabalhoso, mas você não terá
dificuldade em aprender se utilizarmos um exemplo.
Você já deve ter ouvido falar dos problemas causados pelo excesso
de barulho. O grau do risco para a saúde que o ruído (barulho) pode
causar depende do tempo que a pessoa fica exposta ao ruído. Algumas
profissões sofrem com o problema quando o ruído é inerente ao trabalho.
É o caso, por exemplo, de quem trabalha numa serralharia. Nestes casos,
o barulho faz parte do cotidiano do trabalhador.
Pensando nisso, Eduardo, que é um técnico em segurança do tra-
balho, resolveu fazer uma pesquisa sobre o tempo durante o qual alguns
trabalhadores ficam expostos, por dia, a ruídos. O primeiro conjunto
de dados que ele levantou foi em uma das indústrias de montagem de
automóveis de sua cidade. Veja, a seguir, a tabela que ele montou.
Tabela 13.6: Tempo, em horas, durante o qual os trabalhadores de uma montadora de automóveis ficam expostos a ruídos. As horas estão distribuídas em intervalos de classes, e a freqüência é o número de trabalhadores referente a cada intervalo.
Tempo de exposição a ruídos dos trabalhadores da montadora carro forte
ClassesTempo de exposição a ruídos
(intervalos de classes)Número de trabalhadores
(freqüência)
13 4
2
24 5
3
35 6
7
46 7
8
57 8
14
68 9
12
7 9 10
8
Total 54
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Para facilitar o cálculo, devemos montar uma tabela auxiliar.
A tabela deve ser igual à Tabela 13.6, mas com mais duas colunas.
A quarta coluna será para o ponto médio de cada intervalo de
classe. O ponto médio de um intervalo de classe é a média aritmética
simples entre o limite inferior e o limite superior de cada intervalo de
classe. Por exemplo, o ponto médio da primeira classe é:
A quinta coluna será o resultado da multiplicação da freqüência,
no caso o número de trabalhadores, pelo ponto médio. Veja como ficou
a tabela auxiliar:
3 42
72
3 5+ = = ,
Classes Tempo de exposição a
ruídos (intervalos de classes)Nº de trabalhadores
(freqüência)Ponto médio
Freqüência X
Ponto médio
13 4
2 3,5 7,0
24 5
3 4,5 13,5
35 6
7 5,5 38,5
46 7
8 6,5 52,0
57 8
14 7,5 105,0
68 9
12 8,5 102,0
79 10
8 9,5 76,0
Total 54 394,0
Agora, para calcularmos a média de dados agrupados em intervalos
de classes, basta dividir o total (soma) dos valores encontrados na quinta
coluna pelo total (soma) dos valores da terceira coluna (freqüência).
Veja o cálculo:
Esse resultado nos diz que os trabalhadores dessa indústria ficam,
em média, expostos diariamente a 7,3 horas de ruídos.
x_
,= =39454
7 30
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Nosso dia-a-dia está recheado de informações que envolvem o
cálculo de média aritmética. A temperatura diária que os jornais nos
informam é, na verdade, uma média das temperaturas que foram medidas
durante todo o dia. A inflação do mês é uma média das variações diárias.
O número de acidentes de trânsito geralmente é informado como uma
média dos valores mensais, e assim por diante.
Por esse motivo, ter entendido os cálculos apresentados nesta aula
é muito importante. Não deixe de testar se você entendeu o conteúdo
fazendo as atividades a seguir.
Fonte: www.sxc.hu
Figura 13.9: É possível calcular a média de dados que estão distribuídos em freqüência e os que estão agrupados em classes. Nos dois casos, o cálculo que fazemos é a média ponderada.
Sigu
rd D
ecro
ss
ATIVIDADE 7
Atende ao Objetivo 3
Flávia é professora de matemática de uma escola no município de Trabalhópolis (nome
imaginário). Ela ensinou média aritmética aos alunos de uma de suas turmas. Para testar
se eles entenderam, ela passou uma tarefa. Pediu que eles calculassem a média aritmética
das estaturas (alturas) de todos os alunos da turma.
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Depois que todos os alunos tinham sido medidos, ela pediu que fosse montada uma
tabela. Na primeira coluna, ela definiu quatro intervalos de classe em que as alturas
medidas poderiam ser encontradas. Na segunda coluna, eles colocaram a freqüência, ou
seja, o número de alunos com alturas que se encaixavam naquele intervalo. Veja, a seguir,
como ficou a tabela montada por ela:
Estatura dos alunos – em centímetros (classes)
Número de alunos(freqüência)
150,5 156,5 4
156,5 160,5 5
160,5 168,5 8
168,5 178,5 3
Estatura dos alunos – em centímetros
(classes)
Ponto médio da classe
Número de alunos(freqüência)
150,5 156,5 4
156,5 160,5 5
160,5 168,5 8
168,5 178,5 3
Você aprendeu, nesta aula, a calcular média aritmética de dados agrupados. Então, responda
às questões e ajude os alunos da turma de Flávia a realizar a tarefa.
a. Preencha a tabela a seguir com o ponto médio de cada classe.
b. Calcule a média aritmética das alturas dos alunos da classe de Flávia.
c. Quantos alunos existem na sala de Flávia?
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Atende ao Objetivo 2
Esta atividade é um desafio, pois tem grau de dificuldade maior do que as outras. Não
deixe de fazê-la e, ao final, confira a resposta comentada. Boa sorte!
A tabela a seguir mostra as notas que o aluno de um determinado colégio tirou em algumas
disciplinas.
1° bim. 2° bim. 3° bim. 4° bim.
Matemática 6,0 7,5 5,0 6,0
Física 4,5 7,0 5,5 ?
Química 8,0 ? 6,5 5,5
ATIVIDADE 8
Você percebeu que estão faltando duas notas na tabela?
Calcule as notas que estão faltando. Para isso, você precisará das seguintes informações:
a. As notas que estão faltando são iguais.
b. A média final de Química foi 0,5 ponto maior do que a média final de Física.
c. Neste colégio, a média final de cada disciplina é calculada atribuindo-se os seguintes
pesos:
A nota do primeiro bimestre tem peso 1.
A nota do segundo bimestre tem peso 2.
A nota do terceiro bimestre tem peso 3.
A nota do quarto bimestre tem peso 3.
Fonte: www.sxc.hu
Bria
n La
ry
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dia
INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, você vai aprender mais sobre as outras medidas de
posição: a mediana e a moda. Aprenderá a calculá-las tanto para dados
que não estão agrupados como para aqueles que estão agrupados.
Não perca. Até lá!
RESUMINDO...
• Medidas de posição são medidas estatísticas que representam um conjunto de dados mostrando-nosa posição da distribuição dos valores desse conjunto em relação à freqüência com que eles (os valores) aparecem. As medidas de tendência central são as medidas de posição mais comuns.
• As medidas de tendência central são: a média, a mediana e a moda.
• A média pode ser: aritmética, geométrica e harmônica.
• Existem dois tipos de média aritmética: simples e ponderada.
• A média aritmética simples é o valor obtido somando-se todos os valores existentes em um determinado conjunto e dividindo-se esse valor total pelo número de valores. É representada por (leia-se “x barra”).
• A média aritmética ponderada é o valor obtido somando-se todos os valores existentes em um determinado conjunto. Cada valor deve estar multiplicado pelo seu respectivo peso. Ao final, divide-se o resultado pela soma dos pesos.
• A média aritmética para dados agrupados sem intervalos de classe é uma média ponderada. Basta somar cada elemento do conjunto multiplicado pelo seu respectivo peso, que, no caso, é a freqüência com que esse elemento aparece na série. Depois, divida o resultado pela soma das freqüências (soma dos pesos).
• A média aritmética para dados agrupados em intervalos de classe é calculada com o auxílio de duas colunas na tabela de distribuição de freqüência: a primeira nova coluna com o ponto médio de cada intervalo de classe; a segunda coluna com o resultado da multiplicação do ponto médio pela freqüência. A média será a divisão da soma dos elementos dessa segunda coluna pela soma das freqüências.
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ATIVIDADE 1
Para calcular a média simples, você deve somar todos os rendimentos e dividir pela
quantidade.
Calculando a média aritmética (X = + + + + + + =3 4 1 0 3 2 17
2) entre essas três quantias, temos:
ATIVIDADE 2
O time não perdeu nenhuma das partidas jogadas, quer dizer: ou ele ganhou ou empatou
a partida. Então, o maior número de gols é sempre desse time, ou o número de gols é igual
(nos casos de empate).
a. Média dos gols marcados
b. Média dos gols sofridos
ATIVIDADE 3
Para resolver esta atividade, siga as dicas que foram dadas.
• Monte a equação para calcular a média aritmética simples e substitua, na equação, o
número que você não sabe pela letra X. Veja como fica:
RESPOSTAS DAS ATIVIDADES
X = + + + + + + =3 4 1 0 3 2 17
2
X = + + = =58 50 61 10 57 103
176 73
58 9, , , ,
,
X = + + + + + + =1 2 1 0 2 1 07
1
173 241 184 174 191 178 181 175
177 174 169 215 166 187 173
173 241 184 174 191 178 181 175 177 174 169 215 166 187 17+ + + + + + + + + + + + + + 3316
+ X
173 241 184 174 191 178 181 175 177 174 169 215 166 187 17+ + + + + + + + + + + + + + 3316
183 75+ =X
,
• Ao montar a equação, ela será igual a 183,75, pois ele sabe que esse é o valor da média.
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Portanto, o número que foi apagado é o 182.
ATIVIDADE 4
Usamos a média ponderada para calcular a média dos salários porque cada salário tem
uma quantidade diferente de empregados que o recebe.
Assim, o salário médio dos funcionários é de R$ 1.640,00.
ATIVIDADE 5
Para calcular a média aritmética ponderada das notas do aluno, basta fazer a seguinte
conta:
ATIVIDADE 6
Calculamos a média aritmética de todos os alunos somando todas as notas e dividindo pelo
número total de alunos. O problema é que não sabemos qual a soma das notas de cada turma.
Como temos o valor da média aritmética de cada turma, é possível encontrar esse valor.
É preciso saber que para cada turma temos a seguinte equação:
Assim, a soma das notas da primeira turma é:
X X= − ⇒ =2 940 2 758 182. .
X = × + × + × + ×+ + +
= + + + = =8 2 5 2 7 3 9 12 2 3 1
16 10 21 98
568
7
6 4030
192,_ _ _
_ _ _= ⇒ =NOTAS DA PRIMEIRA TURMANOTAS DA PRIMEIRA TURMA
2 75816
183 75 2 758 183 75 16 2 758 2 940.
, . , . .+ = ⇒ + = × ⇒ + =X
X X
x = × + × + ×+ +
=10 2 000 12 1 500 8 1 40010 12 8
1 640 00. . .
. ,
XSOMA DE TODAS AS NOTAS DA TURMA
NUMERO DE ALUNOS DA TURMA= _ _ _ _ _ _
_ _ _ _´
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A soma das notas da segunda turma é:
Portanto, a média de todos os alunos é:
ATIVIDADE 7
a. O ponto médio de cada classe é a média aritmética simples de cada intervalo.
b. Para calcular a média aritmética de valores agrupados em classes, devemos calcular
a média aritmética ponderada dos números 153,5; 158,5; 164,5 e 173,5 (ponto médio
de cada classe), com pesos respectivamente iguais a 4, 5, 8 e 3 (valores das freqüências).
Assim, temos:
Logo, a estatura média dos alunos da turma de Flávia é 162,15 cm.
c. A turma de Flávia tem 20 alunos, que é igual à freqüência total.
Estatura dos alunos – em centímetros (classes)
Ponto médio da classeNúmero de
alunos(freqüência)
150,5 156,5 4
156,5 160,5 5
160,5 168,5 8
168,5 178,5 3
5 2050
260,_ _ _
_ _ _= ⇒ =NOTAS DA SEGUNDA TURMANOTAS DA SEGUNDA TURMA
X = + = =192 26080
45280
5 65,
150 5 156 52
153 5, ,
,+ =
156 5 160 52
158 5, ,
,+ =
160 5 168 52
164 5, ,
,+ =
168 5 178 52
173 5, ,
,+ =
153 5 4 158 5 5 164 5 8 173 5 34 5 8 3
614 792 5 1 316 520, , , , , .× + × + × + ×+ + +
= + + + ,, .,
520
3 24220
162 15= =
370
e-Tec Brasil – Estatística Aplicada
371
Au
la 13 • Ap
ren
de
nd
o a calcu
lar mé
dia
ATIVIDADE 8
No desenvolvimento da resposta a seguir, sempre que você encontrar a letra N ela estará
representando a palavra Nota (nota do aluno).
Dados a serem encontrados (pergunta da atividade): Nfísica e Nquímica
1ª informação: N4ºbimestre de Física = N2ºbimestre de Química as notas procuradas são iguais).
2ª informação: = + 0,5 (a média das notas de Química é igual à média das
notas de Física mais 0,5 pontos)
Calculando as médias aritméticas de Física e Química:
A 2ª informação nos diz que: Maritmética_Química = Maritmética_Física + 0,5.
Então:
MN
aritmØtica F sicabim
_”,
=+ ×35 0 3
94
MN
aritmØtica Qu micabim
_”, , ,
=× + × + × + ×1 8 0 2 3 6 5 3 5 5
92
MN
aritmØtica Qu micabim
_”, , ,
=+ × + +8 0 2 19 5 16 5
92
MN
aritmØtica Qu micabim
_”, ,
=+ × +8 0 2 36 0
92
MN
aritmØtica Qu micabim
_”,
=+ ×44 0 2
92
44 0 29
35 0 39
0 52 4, ,,” ”+ ×
=+ ×
+N Nbim bim
Maritmética_Química
Maritmética_Física
Maritmética_Física
Maritmética_Física
Maritmética_Física
Maritmética_Química
Maritmética_Química
Maritmética_Química
Maritmética_Química
MN N N N
aritmØtica Qu micabim bim bim bim
_” ” ” ”=
× + × + × + ×+
1 2 3 31 2
1 2 3 4
++ +3 3oooo
MN N N N
aritmØtica F sicabim bim bim bim
_” ” ” ”=
× + × + × + ×+ +
1 2 3 31 2
1 2 3 4
33 3+o o o o
o
o
o
o
o
o o
MN
aritmØtica F sicabim
_”, , ,
=× + × + × + ×1 4 5 2 7 0 3 5 5 3
94o
MN
aritmØtica F sicabim
_”, , ,
=+ + + ×4 5 14 0 16 5 3
94o
Maritmética_Química
370
e-Tec Brasil – Estatística Aplicada
371
Au
la 13 • Ap
ren
de
nd
o a calcu
lar mé
dia
Como N2ºbim = N4ºbim (1ª informação), podemos substituir cada nota cujo valor não sabemos
pela variável y. Veja como fica a equação:
, multiplicando ambos os membros por 18, ficamos com:
, multiplicando ambos os membros por (-1)
Quer dizer, as duas notas que faltam na tabela são iguais a 4,5.
Obs. 1: 0 512
, = . Por isso ele foi substituído na segunda equação da série anterior.
Obs. 2: Quando temos duas ou mais equações com o mesmo denominador, podemos
multiplicar todas pelo mesmo valor desse denominador e ele desaparecerá. Isso foi feito na
quarta equação da série anterior.
44 29
35 39
0 5+ = + +y y
,
44 29
35 39
12
+ = + +y y
2 44 218
2 35 318
9 118
× + = × + + ×( ) ( )y y
88 418
70 6 918
+ = + +y y
88 4 70 6 9+ = + +y y
4 6 79 88y y− = −
− = −2 9y
y = 4 5,
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BUSSAB, Wilton O.; MORETTIN, Pedro A. Estatística básica. 5. ed.
São Paulo: Saraiva, 2003.
MAGALHÃES, Marcos N.; LIMA, Antonio C. P. Noções de pro-
babilidade e estatística. 6. ed. São Paulo: EDUSP, 2005.
MARTINS, Gilberto A. Estatística geral e aplicada. 3. ed. São Paulo: Atlas. 2005.
MILONE, Giuseppe. Estatística geral e aplicada. São Paulo: Thomson
Learning, 2003.
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