aula de matrizes. jorge marcio
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Prof.: Jorge Marcio1
MATRIZES
Prof.: Jorge MarcioProf.: Jorge Marcio
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Representação de uma MatrizRepresentação de uma Matriz
Matrizes especiais Matrizes especiais
Igualdade de MatrizesIgualdade de Matrizes
Adição e SubtraçãoAdição e Subtração
Multiplicação de um número real por uma Multiplicação de um número real por uma MatrizMatriz
Multiplicação de Matrizes Multiplicação de Matrizes
Matriz Inversa Matriz Inversa
MATRIZES
Prof.: Jorge Marcio3
Quando abrimos jornais e revistas, encontramos com
frequência informações numéricas organizadas na forma
de tabelas com linhas e colunas. Em matemática essas
tabelas são chamadas de matrizes.
Vejamos um exemplo clássico de matriz que usamos constantemente.
MATRIZES
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Colocação Time PG J V E D GP GC SG %
1º São Paulo 77 38 23 8 7 55 19 36 68%
2º Santos 62 38 19 5 14 57 47 10 54%
3º Flamengo 61 38 17 10 11 55 49 6 54% Fluminense 61 38 16 13 9 57 39 18 54%
5º Cruzeiro 60 38 18 6 14 73 58 15 53%
6º Grêmio 58 38 17 7 14 44 43 1 51%
Palmeiras 58 38 16 10 12 48 47 1 51%
8º Atlético-MG 55 38 15 10 13 63 51 12 48%
Botafogo 55 38 14 13 11 62 58 4 48%
10º Vasco 54 38 15 9 14 58 47 11 47%
Internacional 54 38 15 9 14 49 44 5 47%
Atlético-PR 54 38 14 12 12 51 50 1 47%
13º Figueirense 53 38 14 11 13 57 56 1 46%
14º Sport 51 38 14 9 15 54 55 -1 45%
15º Náutico 49 38 14 7 17 66 63 3 43%
16º Goiás 45 38 13 6 19 49 62 -13 39%
17º Corinthians 44 38 10 14 14 40 50 -10 39%
18º Juventude 41 38 11 8 19 43 65 -22 36%
Paraná 41 38 11 8 19 42 64 -22 36%
20º América-RN 17 38 4 5 29 24 80 -56 15%
BRASILEIRÃO 2007BRASILEIRÃO 2007
MATRIZES
Prof.: Jorge Marcio 5
MATRIZES
Representação de uma Representação de uma MatrizMatriz
Consideremos uma matriz A do tipo m x n. Um elemento qualquer dessa Consideremos uma matriz A do tipo m x n. Um elemento qualquer dessa matriz será representado pelo símbolo amatriz será representado pelo símbolo aij, ij, no qual o índice i refere-se à no qual o índice i refere-se à linha em que se encontra tal elemento e o índice j refere-se à coluna em linha em que se encontra tal elemento e o índice j refere-se à coluna em que se encontra tal elemento.que se encontra tal elemento.
A =
a11 a12a13 a14 ............a1n
a21 a22a23 a24 ............a2n
a31 a32a33 a34 ............a3n
a41 a42a43 a44 ............a4n.....
.....
.....
.....
.....
am1 am2am3 am4 ............amn
m x n
Escreve-se matriz A= (aij)m
x n
com “m” linhas e “n” colunas
Prof.: Jorge Marcio6
MATRIZES Exemplo :
Como construir uma matriz A= (aij)2x3 onde aij= 2i + j
Solução:
aij= 2i + j
a11= 2(1) + 1 = 3a12= 2(1) + 2 = 4a13= 2(1) + 3 = 5a21= 2(2) + 1 = 5a22= 2(2) + 2 = 6a23= 2(2) + 3 = 7
A=
a11
a21
a12
a22
a13
a23
=3
5 6 7
4 5
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Matrizes especiaisMatrizes especiais
MATRIZES
Matriz LinhaMatriz LinhaMatriz ColunaMatriz ColunaMatriz IdentidadeMatriz Identidade
Matriz nulaMatriz nula
Matriz quadrada Matriz quadrada
a11 a12a13 a14 .....
.a1na11
a21
a31
a41.....am1
a21
a31
a41.....am1
m x 1
1 x n
a11 a12 a13 a14............a1m
a21 a22 a23 a24............a2m
a31 a32a33 a34............a3m
a41 a42 a43 a44............a4m..... ..... ..... ..... .....
am1am2am3am4............amm
m x m
0 0 0 0 0 .... 0 0 0 0 0 0 .... 0 0 0 0 0 0 .... 0 0 0 0 0 0 .... 0 ...
.........
...
...0 0 0 0 0 .... 0
1 0 0 0 0 ....0 0 1 0 0 0 ....0 0 0 1 0 0 ....0 0 0 0 1 0 ....0 ...
.........
......
0 0 0 0 0 ....1
Prof.: Jorge Marcio8
MATRIZES
Matriz TranspostaMatriz Transposta
Dada uma matriz A de ordem m x n, a matriz transposta dela será representada por At de ordem “invertida” n x m, isto é, troca-se linha por coluna.
A =a b c e f g i j k m n o
Então At =
4 x 3
a
b
c
e
f
g
i
j
k
m
n
o 3 x 4
Prof.: Jorge Marcio9
MATRIZES
Igualdade de MatrizesIgualdade de Matrizes
Duas matrizes A e B são iguais se todos os termos correspondentes são iguais.
A=
a11
a21
a12
a22
a13
a23
Sendo A = B então :
a11
a21
a12
a22
a13
a23
=10
11 16 3
6 9
B=10
11 16 3
6 9
a11=
a21
a12
a22
a13
a23
10
11163
6
9
=
====
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MATRIZES
Adição e SubtraçãoAdição e Subtração
Só podemos somar ou subtrair duas matrizes se as mesmas tiverem mesma ordem.
Sejam as matrizes eA = B =
EXEMPLO:
A + B =
2 35 8
3 12
+ = =
-2 143 1
2 3
2 35 8
3 12
-2 143 1
2 3
2-2 3+14
5+3 8+1
3+2 12+3
0 178 9
5 15
Prof.: Jorge Marcio11
MATRIZES
Multiplicação de um número real por uma MatrizMultiplicação de um número real por uma Matriz
B=10
11 16 3
6 9Seja a matriz
Então
2.B =20
22 32 6
12 18
3.B =30
33 48 9
18 27
1/2.B =5
11/2 8 3/2
3 9/2
Prof.: Jorge Marcio12
Multiplicação de MatrizesMultiplicação de Matrizes
MATRIZES
Para que possamos multiplicar duas matrizes A e B, teremos que ter o número de colunas da primeira igual ao número de linhas da segunda.Exemplo:
Sejam as matrizes A e B , calcule se for possível A.BA = 2 5 6 4 3 8
B = 1
9
6
7
8
2
A.B = 2 5 6 4 3 8
1
9
6
7
8
2=
2.1 + 5.9
=
472.6 + 5.72 5 6 4 3 8
1
9
6
7
8
2
472.8 + 5.2 26
6.1 + 4.96.6 + 4.76.8 + 4.2
3.1 + 8.93.6 + 8.73.8 + 8.2
42 64 56
75 74 40
23x 2 3x
3 x 3
colunas linhas
Prof.: Jorge Marcio13
MATRIZES
Matriz InversaMatriz Inversa
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Uma matriz B é chamada inversa de A se, e somente se, A.B = B.A = In
MATRIZ IDENTIDADE
DE ORDEM n
Exemplo: Encontre a matriz inversa de A, sabendo que
A = 2 0
1 3
Prof.: Jorge Marcio14
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIOSOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
A .A-1 = I2 1 3
1 0
0 1 =
1 0
0 1 =
2a - b
a + 3b
2c -d
c + 3d
2 -1 a
b
c
d
2a – b = 1
a + 3b = 0
(-2)
2a – b = 1
-2a -6b = 0
(+)
-7b = 1
A A-1 I2
b=-1/7
2a – b = 12a - (-1/7) = 1
2a = 1 + (-1/7)
2a = 1 - 1/7
2a = 6/7 a = 3/7
2c - d = 0
c + 3d = 1
(3)
6c - 3d = 0
c + 3d = 1(+)
7c = 1c = 1/7
2(1/7) - d = 0
2/7 - d = 0
2c - d = 0
d = 2/7
a
b
c
d =A-1 =
3/7
-1/7
1/7 2/7
2 -1 a
b
c
d 1 3
Prof.: Jorge Marcio15
Três barracas de frutas, B1, B2‚ e B3, são propriedade de uma mesma empresa. Suas vendas são controladas por meio de uma matriz, na qual cada elemento bij representa a soma dos valores arrecadados pelas barracas Bi e Bj em milhares de reais, ao final de um determinado dia de feira. x 1,8 3,0
a y 2,0
d c 7
B=
VESTIBULAR UERJ 2006
Calcule, para esse dia, o valor, em reais:a) arrecadado a mais pela barraca B3 em relação à barraca B2;b) arrecadado em conjunto pelas três barracas.
Prof.: Jorge Marcio16
SOLUÇÃO
x 1,8 3,0
a y 2,0
d c 7
=
b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
Sabemos que a Matriz B é em sua essência :
Pelo enunciado bij = Bi+ Bj ,
Então b12 = 1,8 = B1+ B2
E também b13 = 3,0 = B1+ B3
o que a barraca B3 arrecadou a mais que a barraca B2 será o resultado de
b13 – b12 = ( B1+ B3 ) – (B1+ B2 ) = B3 – B2 = 3,0 – 1,8 = 1,2 = 1.200,00
Letra a:
Prof.: Jorge Marcio17
Letra b:
SOLUÇÃO
x 1,8 3,0
a y 2,0
d c 7
=
b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
Calcule, para esse dia, o valor, em reais arrecadado em conjunto pelas três barracas.
b13 + b12 + b23 = ( B1+ B3 ) + (B1+ B2 ) + (B2 + B3) = 1,8 + 3,0 + 2,0
2B1+ 2B3 + 2B2 = 6,8
logo B1+ B3 + B2 = 3,4 = 3.400,00
Prof.: Jorge Marcio18
Uma fábrica de guarda-roupas utiliza três tipos de fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para guarda-roupas em mogno e cerejeira, nos modelos básico, luxo e requinte. A tabela 1 mostra a produção de móveis durante o mês de outubro de 2005, e a tabela 2, a quantidade de fechaduras utilizadas em cada tipo de armário no mesmo mês.
A quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte nesse mês foi dea) 170 b) 192. c) 120. d) 218. e) 188.
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