aut valdymo teorija1
Post on 27-Apr-2015
1.331 Views
Preview:
TRANSCRIPT
3
Literatūra
Literatūra
1. V. Januševičius. Automatinis valdymas: teorija, uždaviniai, sprendimai. Kaunas, Technologija, 2003.
2. B. C. Kuo, F. Golnaragi. Automatic control systems, 8/e, – Wiley, 2002, 624 p. 3. G.F.Franklin, J.D. Powell., Abbas Emami-Naeini.Feedback control of dynamic systems.
Prentice Hall, 2002, 910p. 4. Katsuhiko Ogata. Modern control engineering. Prentice Hall, 4/e, 2001, 970 p. 5. R. Rinkevičienė. Automatinio valdymo teorija. Sistemų analizė ir sintezė. Vilnius,
Technika, 1999. – 67 p. 6. Norman S. Nise. Control system Engineering. 4th edition.John Wiley and Sons, Inc.
2004, 983 p. 7. John Van de Vegte. Feedback control systems. Prentice Hall,1994, 452 p.
4
1. Įvadas
Automatika – mokslo ir technikos sritis, nagrinėjanti automatinio valdymo teoriją ir praktiką
bei automatinių sistemų ir sudarančių jas techninių priemonių konstravimo principus.
Mašinos, agregato, technologinio proceso režimas charakterizuojamas eile fizikinių dydžių.
Jeigu techninio įrengimo darbo metu visi dydžiai išlieka nepakitę, tai tokio įrenginio darbas
yra stabilus. Jei šie dydžiai nukrypsta darbo metu nuo užduotų reikšmių, tai prie tokio įrengimo
prijungiami reguliuojantys arba valdantys įtaisai, kurie išėjimo dydį palaiko pastoviu arba keičia
norimu dėsniu.
Išėjimo dydis vadinamas reguliuojamu arba valdomuoju dydžiu. Įrenginys, kuriame vyksta
reguliavimas ar valdymas – vadinamas reguliuojamu arba valdomu objektu. Valdomasis objektas
aprašomas diferencialine lygtimi.
Valdomo objekto darbas priklauso nuo visumos kontroliuojamų (matuojamą darbo proceso
metu) trikdžių ),,...,,( 321 nzzzzZ→
nekontroliuojamų išorinių poveikių ),...,,( 321 nffffF→
, valdymo
poveikį ),...,,( 321 nį xxxxX→
ir valdomų kintamųjų ),...,,( 321 niš xxxxX→
, kurie bendru atveju yra
vektoriai.
Jeigu žinomas objekto matematinis aprašymas, tai žinoma ir lygčių sistema, rišanti
valdomuosius kintamuosius su visais išoriniais poveikiais, veikiančiais objektą. Todėl pagal
išorinius užduotus poveikius galima rasti valdomuosius kintamuosius ),,(→→→→
Ζ XFX iš . Paprastuose
objektuose yra tik vienas valdantysis poveikis xį ir vienas valdantysis dydis xiš.
Esant statiniam režimui, išoriniai poveikiai→
Z , →
F ir valdantieji poveikiai →
X yra pastovūs ir
nekinta laiko bėgyje.
Nagrinėjant objekto dinamiką, aprašomos priklausomybės →→→→
),,( XFZX iš charakterizuojamos
diferencialinėmis objekto lygtimis ir esant užduoties poveikiams ),(tZ→
),(tF→
).(tX→
Bendru atveju objekto diferencialinės lygtys yra netiesinės. Jei šio lygtys yra tiesinės, tai
valdymo objektas vadinamas tiesiniu.
Valdymo objektas gali būti stabilus, nestabilus ir neutralus. Objektas yra stabilus, jei,
pasibaigus išoriniam poveikiui, jis grįžta į nusistovėjusią padėtį, kurią apsprendžia jo statinė
charakteristika. Nestabiliame objekte pasibaigus poveikiui, nežiūrint, koks mažas jis bebūtų,
išėjimo dydis tebekinta ir negrįžta į nusistovėjusią padėtį.
5
Neutralūs – tai tokie objektai, kuriuose pasibaigus poveikiui, nusistovi nauja neapibrėžta
pusiausvyros padėtis, priklausanti nuo įvykdyto poveikio.
Reguliuojamų objektų pavyzdžiai: rezervuaras, kuriame reikia palaikyti pastovų užduotą
skysčio lygį, esant skirtingam skysčio panaudojimui; variklis, kuriame reikia palaikyti pastovų
sukimosi greitį ar momentą; krosnis (elektrinė ar kt.)
2. Automatinės sistemos ir jų teorijos. Pagrindiniai vystymosi etapai
Pirmasis automatinių sistemų vystymosi etapas – tai paprasčiausių automatų sukūrimas
pirmame mūsų eros amžiuje. Heronas Aleksandrietis sukūrė šventyklos durų atidarymo
mechaninį automatą – švęsto vandens automatą.
Viduramžiais buvo kuriami automatai, imituojantys kai kuriuos žmogaus veiksmus.
18 – 19 a. prasideda automatikos diegimas pramonėje. Prie pirmųjų pramoninių automatų
priskiriami I. Polzunovo sukurtas garo katilo vandens reguliatorius (1765 m.), Vato garo mašinos
greičio reguliatorius (1874 m.), Žakardo sukurta audimo staklių programinio valdymo sistema su
perfojuosta (1804 – 1808 m.).
Šiuo metu prasideda automatinio valdymo sistemų teorijos vystymasis. Formuojasi eilė
valdymo principų: Polzunovo – Vato reguliavimo principas pagal nuokrypą, Ponsele reguliavimo
principas pagal apkrovą (trikdį).
Pirmosios AVS buvo paprasčiausios determinuotos sistemos su nekintančia struktūra ir
reguliatorių suderinimu.
Pramoniniams įrenginiams keliant didesnius reikalavimus AVS kokybei ir sudėtingėjant
vykdomų uždavinių klasei, atsirado optimalios ir susiderinančios (adaptyvios) sistemos, kurios
darbo proceso metu automatiškai keičia parametrus ir struktūrą.
Pirmuosius rimtus teorinius netiesinių AVS sistemų tyrimus atliko anglų fizikas Maksvelas.
Stabilumo problemą pirmasis išsprendė Rausas (1877 m.), po to Hurvicas (1895 m.). Jie sukūrė
matematinius stabilumo kriterijus.
Rimtus stabilumo ir AVS kokybės teorinius tyrimus atliko I. Vyšnegradskis, Stodala,
Žukovskis, Žuljaras, Tole ir kiti mokslininkai.
Netiesinių ir tiesinių sistemų bendrąją matematinę stabilumo teoriją sukūrė A. Liapunovas
(1892 m.). Prieš antrąjį pasaulinį karą Naikvistas (1932 m.) ir A. Michailovas (1936 – 1938 m.)
sukūrė dažninius stabilumo kriterijus.
1950 metais iškilo nauja problema – sukurti sistemas, kurių statinės ir dinaminės
charakteristikos būtų nekintančios, keičiantis plačiose ribose objekto charakteristikoms nuo
6
išorinių poveikių veikimo. Tokios sistemos turi prisitaikymo savybių ir vadinamos
susiderinančiomis (adaptyviomis) sistemomis.
Kibernetikos teorijos ir kibernetinių sistemų principų kūrėjas yra žymiausias 20 a.
mokslininkas Norbertas Vyneris.
2. Reguliavimo ir valdymo principai
2.1. Reguliavimo ir valdymo samprata
Automatinio reguliavimo ir valdymo sistemų tikslas yra arba palaikyti pastovią reikšmę, arba
keisti užduotu dėsniu tam tikrą fizikinį dydį, vadinamą reguliuojamu arba valdomuoju
kintamuoju →
.išX Reguliuojamo ar valdomo kintamojo reikšmė, kurią turi priverstinai palaikyti
reguliuojantis įtaisas vadinamas nuostato reikšme Xį.
Sistemos darbo metu objekto išėjimo dydis matuojamas ir sulyginamas su nuostatu
(naudojamas grįžtamojo ryšio principas). Jei atsiranda skirtumas tarp išėjimo dydžio ir nuostato,
tai sistemoje suformuojamas poveikis X∆ , pakeičiantis išėjimo kintamąjį taip, kad jo reikšmė
būtų lygi nuostatui.
Automatiniu reguliavimu vadinamas kokio nors fizikinio dydžio reikšmės palaikymas
specialiais automatiniais reguliatoriais be žmogaus pagalbos.
2.2. Automatinio reguliavimo principai
Kiekvieną automatinio reguliavimo sistemą (ARS) galima pavaizduoti struktūrine schema,
sudaryta iš reguliavimo įtaiso RĮ bei valdymo objekto O (2.3 pav.)
2.1 pav. ARS struktūrinė schema.
Norint valdyti objektą, reikia suformuoti tokį vykdymo poveikį ),(tu kuris reguliuojamąjį
parametrą )(txiš keistų norimu tikslumu pagal tam tikrą dėsnį nepriklausomai nuo trikdančio
poveikio )(tf .
RĮ xį(t) xiš(t)
0 u(t)
f(t)
7
Nors gamybos procesai yra labai įvairūs, dauguma valdymo aparatūros ir ARS sudaroma
remiantis bendrais reguliavimo principais. Pagrindiniai yra šie: reguliavimo pagal nuokrypą,
reguliavimo pagal trikdį, kombinuoto reguliavimo ir adaptacijos.
Automatinio reguliavimo principą lemia tai, kaip ir kokiu pagrindu sistemoje formuojamas
valdymo poveikis. Automatinės sistemos sudarymo principas parenkamas atsižvelgiant į jos
paskirtį, nuostato ir trikdančių poveikių kitimo pobūdį, reguliavimo objekto parametrų stabilumą
ir pan.
2.3. Reguliavimo pagal nuokrypą principas
Jei automatinėje sistemoje valdymo poveikis formuojamas pagal reguliuojamojo parametro
nuokrypą nuo nuostato reikšmės, tai laikoma jog tokia sistema sudaryta reguliavimo pagal
nuokrypą arba grįžtamojo ryšio principu. Tokių sistemų reguliavimo įtaise palyginamos
reguliuojamojo parametro esamosios ir nuostato reikšmės ir pagal gautą skirtumą formuojamas
valdymo signalas. Toks principas pirmą kartą buvo pritaikytas garo katilo vandens lygio
automatiniame reguliatoriuje, J. Polzunovo sukonstruotame 1765 m.
Šis reguliavimo principas taikomas sistemose su grįžtamuoju ryšiu, kurių struktūrinė schema
parodyta 2.2. paveiksle.
2.2 pav. ARS su grįžtamuoju ryšiu struktūrinė schema.
Valdymo poveikis šioje sistemoje formuojamas priklausomai nuo skirtumo )(tx∆ tarp
nuostato )(txį ir esamosios reguliuojamojo parametro )(txiš reikšmių:
)( xFu ∆=
Vadinasi, grįžtamasis ryšys yra automatinių sistemų, veikiančių reguliavimo pagal nuokrypą
principu, būdingas bruožas.
Grįžtamuoju ryšiu vadinamas ryšys, kuriuo informacija apie valdomo objekto būvį
perduodama iš sistemos išėjimo į reguliavimo įtaiso įėjimą. Grįžtamasis ryšys laikomas
Rxį(t) xiš(t) 0 u(t)
f(t)
RĮ
∆x(t)
Grįžtamasis ryšys
8
neigiamu, jei reguliavimo įtaise palyginimo elementas nustato palyginimo elementas nustato
nuokrypą )()()( txtxtx išį −=∆ .
Reguliavimo pagal nuokrypą principas yra universalus ir efektyvus, nes juo galima valdyti
nestabilius objektus, keisti reguliuojamąjį parametrą pagal norimą dėsnį, kai paklaida x∆
pakankamai maža nepriklausomai nuo ją sukėlusių priežasčių.
Grįžtamasis ryšys būdingas ne tik techninėms sistemoms, bet ir gyviems organizmams.
2.4. Reguliavimo pagal trikdį principas
Šiose sistemose valdymo poveikis formuojamas išmatavus objekto trikdantį poveikį.
Sistemos sudarytos šiuo principu neturi grįžtamojo ryšio, t.y. yra atviros. Tokios sistemos
skirstomos į dvi grupes: trikdžio kompensavimo ir programinio valdymo sistemas. Automatinės
trikdžio kompensavimo sistemos struktūrinė schema:
Programinio valdymo sistemos struktūrinė schema:
Valdymo poveikio didumas ir ženklas turi būti tokie, kad visiškai ar gerokai kompensuotų
trikdžio poveikį reguliuojamam objektui.
Pagrindinis šio principo privalumas: didelis kompensavimo grandžių greitaeigiškumas, nes
sistema šiuo atveju reaguoja ne į pasekmę, t.y. reguliavimo parametro nuokrypą, bet į jo priežastį.
Jei sistemą veikia keletas trikdžių, naudojamos kelios kompensavimo grandys. Tačiau ne
visus trikdžius galima išmatuoti ir kompensuoti. Tai pagrindinis šio principo trūkumas.
2.5. Kombinuoto reguliavimo principas
Didelio tikslumo automatinės sistemos sudaromos kombinuoto reguliavimo principu,
panaudojant reguliavimo pagal nuokrypą su reguliavimo pagal trikdį savybes. Struktūrinė
schema:
R xį(t) xiš(t) 0
u(t)
f(t)MĮ
RĮ xį(t) xiš(t) 0
u(t)
9
Kombinuoto valdymo sistemose be pagrindinio grįžtamojo ryšio yra pagrindinio trikdančiojo
poveikio )(tf kompensavimo grandis. Neįvertintų trikdžių poveikį kombinuotose ARS
kompensuoja arba gerokai susilpnina reguliavimo pagal nuokrypą kontūras.
2.6. Automatinio valdymo sistemų funkcinės schemos
AVS funkcinėse schemose visi elementai žymimi blokais, į kurių vidų įrašoma perdavimo
funkcija. Vieno elemento poveikis kitam žymimas strėle. Šis poveikis vadinamas signalu. Pagal
rodyklės kryptį skiriamas įėjimo ir išėjimo signalas.
2.7. Automatinio valdymo sistemų klasifikavimas.
Pagal išėjimo dydžio kitimo dėsnį sistemos klasifikuojamos:
1. stabilizavimo sistema – tai automatinė sistema, kuri duotu tikslumu palaiko pastovų
reguliuojamąjį parametrą, su paklaida, ne didesnę už leistiną.
2. programinio valdymo sistema – tai tokia sistema, kuri keičia reguliuojamąjį parametrą
pagal iš anksto nustatyta programą, priklausančią nuo duotojo poreikio.
3. sekos sistema vadinama ARS, kuri keičia reguliuojamąjį parametrą pagal iš anksto
nežinomą laiko funkciją, apibūdinamą nuostatu.
Šiose sistemose reguliuojamas dydis turi sekti nuostato poveikį, kuris paprastai yra lėtai
kintanti iš anksto nežinoma laiko funkcija.
Pagal automatinių sistemų nusistovėjusios paklaidos didumą sistemos skirstomos į statines ir
astatines. Jeigu, esant pastoviam nuostatui ( )constxį = arba trikdančiam ( )constf = poveikiui
sistemoje, dirbančioje nusistovėjusiu režimu, statinė paklaida nelygi nuliui 0≠∆ stx , tai tokia
ARS nagrinėjamojo poveikio atžvilgiu yra statinė.
Jeigu esant pastoviam poveikiui, paklaida yra lygi nuliui, tada tokia sistema yra astatinė.
Rxį(t) xiš(t) 0 u(t)
f(t)
RĮ
∆x(t)
Grįžtamasis ryšys
MĮ
10
Dar sistemos gali būti klasifikuojamos pagal:
1. Fizikinio dydžio pobūdį (įtampa, lygis, greitis);
2. Naudojamos energijos pobūdį (elektromechaninės, elektroninės, pneumatinės,
hidraulinės);
3. Signalų, veikiančių sistemoje pobūdį (tolydžios, diskrečiosios);
4. Diferencialinių lygčių pobūdį (tiesinės, netiesinės);
5. Sistemos parametrų stabilumą laike (su pastoviais ir kintamais parametrais).Sistemos su
pastoviais parametrais vadinamos determinuotos arba stacionarios, su kintamais laike –
nestacionarios.
6. Valdomų kintamųjų skaičių (vienmatės daugiamatės);
7. Pagal savybę prisitaikyti prie pasikeitusių išorinių darbo sąlygų ir pagerinti savo darbą
dėka sukauptos patirties (paprastos ir susiderinančios).
2.8. Automatinio valdymo teorijos uždaviniai
Automatinės sistemos kuriamos ir projektuojamos tokiais etapais:
1. valdomo objekto analizė (susipažinimas);
2. valdomo objekto charakteristikų, parametrų, darbo sąlygų ir galimų poveikių
nustatymas;
3. sistemai keliamų reikalavimų nustatymas;
4. funkcinės schemos parinkimas;
5. automatinės sistemos principinės schemos sudarymas;
6. schemos elementų skaičiavimas ir parinkimas atsižvelgiant į reikalavimus, keliamus
sistemos statinėms savybėms;
7. struktūrinės schemos sudarymas;
8. sistemos stabilumo tyrimas;
9. koregavimo grandinės parametrų parinkimas atsižvelgiant į reikalavimus, keliamus
dinaminės sistemos savybėms;
10. sistemos tyrimas laboratorijoje, arba jos modelio tyrimas;
11. visos sistemos projektavimas, gamyba ir montavimas;
12. sistemos derinimas realiomis sąlygomis;
13. bandomoji sistemos eksploatacija, jos rezultatų apibendrinimas, bei rekomendacijų
sistemos tobulinimui sudarymas.
Automatinio valdymo teorija nagrinėja:
1. bendrus uždarų automatinių sistemų sudarymo principus;
11
2. sistemų statines ir dinamines savybes;
3. elementų parinkimo metodus;
Praktiškai AVT sprendžia šiuos klausimus:
1. sistemų sintezę – parenkamas sistemos elementų tarpusavio ryšys, jų parametrai ir
charakteristikos turi atitikti statikos ir dinamikos reikalavimus;
2. sistemos analizę – ar sistema tenkina jai keliamus reikalavimus ir numato būdus
dinaminėms savybėms gerinti.
3. Automatinių sistemų statika
3.1. Bendrosios žinios
Nagrinėjant automatinės sistemos darbo režimus statiniu požiūriu, visi sistemos parametrai
laiko atžvilgiu yra pastovūs.
Pagrindiniai klausimai, kuriuos nagrinėja statika yra:
1. sistemos tikslumas;
2. sistemos elementų ir jų statinių charakteristikų analizė.
Sistemos statinė charakteristika – tai jos išėjimo dydžio priklausomybė nuo įėjimo dydžio ar
trikdžio nusistovėjusio režimo atveju.
Pagal charakteristikų pobūdį AVS skirstomos į statines ir astatines.
3.2. Statinis reguliatorius
Statinis reguliatorius yra toks reguliatorius, kuris palaiko nustatytą išėjimo dydį su leistina
statine paklaida. Reguliavimas vyksta pagal nuokrypos principą. Tokie reguliatoriai naudojami
įvairių parametrų stabilizavimui: greičio, įtampos, srovės, lygio ir t.t. Kai reguliatorius atjungtas,
sistema vadinama atvirąja.
Atvirosios sistemos išėjimo ir įėjimo parametrų pokyčių santykis vadinamas atvirosios
sistemos stiprinimo koeficientu:
.į
iša x
xk∆∆
=
Išėjimo dydžio nuokrypa nuo nustatytos reikšmės, atsiradusi veikiant trikdžiui, vadinama
reguliavimo paklaida.
Santykinė statinė paklaida:
12
, viš
iš
xx∆
=δ
čia višx - išėjimo parametro vardinė reikšmė.
Reguliuojamojo dydžio nuokrypos ir užduoto reguliuojamojo dydžio santykis, esant
didžiausiai apkrovai, vadinamas statizmu S.
Atvirajai sistemai:
,1 minmin
išatv
išatv
išatv
atviš
išatv
atvišišatvatv x
xx
xx
xxS ∆=−=
+=
uždarajai sistemai:
.išuzd
išuzduzd x
xS ∆=
Atvirosios sistemos statizmas yra didesnis, negu uždaros. Jei ,0≠uzdS tai reguliavimas
(valdymas) vadinamas statiniu, o sistema statinė, jei ,0=uzdS tai reguliavimas vadinamas
astatiniu, o sistema – astatine.
3.3. Statinis variklio greičio reguliatorius
Išnagrinėsime nuolatinės srovės variklio greičio stabilizavimo sistemą.
13
Statinės reguliatoriaus charakteristikos:
MLMEMS
LM Φ1
LM Φ2 ks U2 ∆U2
+ -
Ue
UTG
Ua + -
BR
δ
∆ωgr.r uždaroji
atviroji
Mmax M
ω
ωmin už
ωmin atv
∆tr=∆ω
ω0
14
Jei sistema yra atviroji, (t.y. reguliatorius yra atjungtas), tai, keičiantis variklio apkrovos
momentui nuo nulio iki maksimalios reikšmės, variklio greitis pasikeičia dydžiu:
čia: 0ω - tuščiosios eigos variklio sukimosi greitis; atv minω variklio sukimosi greitis esant
maksimaliai apkrovai, ∆ω – sukimosi greičio nuokrypa atviroje sistemoje. (t.y. ∆tr – reguliuojamo
parametro nuokrypa atviroje sistemoje).
Kai reguliavimo sistema uždara (esant įjungtam reguliatoriui), variklio greitis negali būti
idealiai pastovus ir keičiantis apkrovai nuo nulio iki maksimalios reikšmės, pakinta dydžiu
δωωω užmin 0už =−=∆ ;
Uždaroje sistemoje šis nukrypimas nuo nustatyto dydžio, atsiradęs veikiant trikdžiui,
vadinamas reguliavimo paklaida δ.
Atvirosios sistemos stiprinimo koeficientas
1k tra −
δ∆
= ;
Apkrovus variklį didžiausiu momentu, variklio greitis sumažėja ∆ω = ∆tr, o veikiant
grįžtamajam ryšiui, padidėja dydžiu
argr k⋅δ=ω∆ .. ; (a)
Statinė paklaida
..rgrtr ω∆−∆=δ ;
Įrašius (a)
atr kδ−∆=δ ;
1k tra −
δ∆
= .
3.4. Astatinis reguliavimas
Sistemos, kurių išėjimo dydis nusistovėjusiame režime palaikomas pastovus, vadinamos
astatinėmis. Išėjimo dydžio kitimo greičio santykis su įėjimo signalu vadinamas astatinėmis
sistemos stiprinimo koeficientu:
į
iša x
xk∆′
= ;
atvmin0 ωωω −=∆=∆
15
čia dt
dxx išiš =′ - išėjimo dydžio kitimo greitis.
Astatinės sistemos pavyzdys yra įtampos kompensatorius. Šiuo pagrindu veikia
teromelektrovaros jėgą matuojantys prietaisai.
+
-
V
R
U
U 0
U
+
-
E
S
+
-
Kompensatorius matuoja įtampos skirtumą ∆U tarp matuojamosios E ir kompensuojančios
įtampos U. Nusistovėjusiame režime UE = ir 0=∆U . Nukrypus įtampai E, skirtumas ∆U stiprinamas stiprintuvo, kuris valdo variklį V, per reduktorių
R stumdantį potenciometro šliaužiklį taip, kad panaikintų atsiradusį skirtumą ∆U.
Statinės charakteristikos:
U0
U
E
tr∆
uždaroji
atviroji
Astatinio reguliavimo atveju 0=∆U . Reguliavimo sistemos tikslumą lemia nejautrumo zona (du
punktyriniai brūkšniai).
3.5. Elementų statinės charakteristikos
Elemento arba sistemos statinis režimas aprašomas lygtimi
)( įiš xfx = .
Pagal šią lygtį nubrėžta charakteristika yra sistemos statinė charakteristika.
Elementų statinės charakteristikos būna tiesinės ir netiesinės. Esant tiesinei charakteristikai
įiš kxx = .
16
Įėjimo ir išėjimo parametrų , turinčių tą pat fizikinę prigimtį, santykis vadinamas sistemos
stiprinimo koeficientu.
αtgxxkį
iš == .
Įėjime ir išėjime, esant skirtingiems fizikiniams dydžiams, jų santykis vadinamas perdavimo
koeficientu.
Tiesinių statinių charakteristikų perdavimo koeficientas yra pastovus, netiesinių – priklauso
nuo xį ir kitų dydžių
3.6. AVS elementų jungimas
AVS elementai gali būti sujungti nuosekliai arba lygiagrečiai, arba apkabinti grįžtamais
ryšiais.
Sujungimas yra nuoseklus, jei kiekvieno prieš tai buvusio elemento išėjimo signalas yra
kiekvieno sekančio elemento įėjimo signalas
į1
111 įxkx =
12xkxiš =
121 įiš xkkx = .
Jei yra nuosekliai sujungta n elementų, tai
∏=
==n
iin kkkkkK
1321 ...
Esant lygiagrečiam elementų sujungimui, visų elementų įėjime yra tas pats signalas Xį , o
išėjimo signalai sumuojasi
17
iš1
į
išnišišiš xxxx +++= ....21
įiš xkx 11 =
įiš xkx 22 =
……………
įnišnišišišišn xkkkkxxxxx )....(.... 321321 ++++=++++=
∑=
=++++=n
iin kkkkkK
1321 .... .
Sistemos daliai, apkabintai grįžtamuoju ryšiu
į ∆
±
..rgrį xxx ±=∆
xkx ∆= 11
12xkxiš =
išrgrrgr xkx .... =
Tuomet išėjimo dydis
įrgr
iš xkkk
kkx21..
21
1+=
paklaida:
įrgr
rgrį xkkk
xxx21..
.. 11
±=−=∆
18
Ženklas “+” rašomas, kai yra neigiamas grįžtamasis ryšys, “-“ teigiamas grįžtamasis ryšys.
4. Sistemų dinamika
4.1. Dinaminių sistemų lygčių sudarymas
Sistemų dinamika tiria pereinamuosius procesus. Pereinamasis procesas – tai objekto išėjimo parametro kitimas laike veikiant nuostatui arba
trikdančiajam poveikiui.
Pereinamasis procesas gali būti surastas žinant visos sistemos elementų diferencialines
lygtis. Iš visų elementų diferencialinių lygčių sudaroma viena bendra sistemos diferencialinė
lygtis, kuri gali būti tiesinė ar netiesinė
),...,',,....,",',(),....,",',( 21nįįį
nišišišiš xxxzzzFxxxxF =
Tiesinėms sistemoms galima taikyti superpozicijos metodą. Tuomet
),...,',(),....,",',(),....,",',( 22121nįįį
nnišišišiš xxxFzzzzFxxxxF += ,
čia nišišišiš xxxx ,....,",', - valdomas dydis ir jo išvestinės;
nįįį xxx ,...,', - įėjimo (nuostato, uždavimo) dydis ir jo išvestinės;
nzzzz ,....,",', - trikdantysis poveikis ir jo išvestinės.
4.2. Diferencialinių lygčių ištiesinimas
Lygčių ištiesinimas - tai netiesinių diferencialinių lygčių pakeitimas apytikrėms tiesinėmis
su prielaida, kad viso reguliavimo proceso metu visi kintamieji mažai nukrypsta nuo
nusistovėjusių reikšmių
∆
∆
19
Bendru atveju, užrašant diferencialines lygtis prieaugiams, naudojamas analitinės funkcijos
skleidimas Teiloro eilute su sąlyga, kad parametrai įgauna mažas nuokrypas nuo nusistovėjusių
reikšmių.
Lygčių ištiesinimas ir jų užrašymas prieaugių forma įgalina gauti nulines pradines sąlygas.
Tiesinant lygtis priimama, kad x =x 0+∆x, x- kintamasis, x0 – jo pradinė reikšmė, ∆x –
prieaugis.
)(!
...)(!2
)(!1
)()( 0)(
0
2
00 xfnxxfxxfxxfxf n
n∆++′′∆
+′∆+= (3.1)
Taikant šią formulę, į antros eilės ir aukštesnius narius neatsižvelgiama, todėl galima laikyti,
kad xxfxfxf ∆′+= )()()( 00 . (3.2)
Toliau iš (3.1) atimamos nusistovėjusio režimo funkcijos reikšmės )( 0xf ir gaunami
funkcijos prieaugiai:
)()()( 0xfxfxf −=∆
)()( 0xfxxf ′⋅∆=∆
α=′ tgxf )( 0 - funkcijos išvestinė pagal įėjimo dydį, randama kaip statinės
charakteristikos polinkio kampo tangentas darbo taške A, esant įėjimo dydžiui x 0 .
α
Pvz.: 2xy = ;
xxy ∆=∆ 02 .
4.3. Dinamikos lygčių sprendimo metodai
Bendruoju atveju n-tos eilės ištiesintą diferencialinę lygtį galima užrašyti:
)(....... 011
1
1011
1
1 tfxbdtdx
bdt
xdb
dtxd
bxadt
dxa
dtxd
adt
xda į
įm
įm
mmį
m
mišiš
niš
n
nniš
n
n +++++=++++ −
−
−−
−
−
20
čia xiš , xį – išėjimo ir įėjimo dydžių santykiniai prieaugiai;
f(t) – trikdantysis poveikis.
Sistemos pereinamąjį procesą galima gauti įvairiais būdais: analitiniu, grafiniu, modeliuojant
kompiuteriu.
Klasikinis diferencialinių lygčių sprendimo metodas leidžia gauti analitinį sprendinį.
Bendrasis diferencialinės lygties sprendinys:
laisvnišiš xxx += ,
čia x iš – bendrasis sprendinys, charakterizuojantis išėjimo dydžio kitimą laike
x iš n – priverstinė nusistovėjusio dydžio reikšmė;
x laisv - laisvasis judesys, aprašomas diferencialine lygtimi, kurios dešinioji pusė
lygi nuliui:
0... 011
1
1 =++++ −
−
− išiš
niš
n
nniš
n
n xadt
dxadt
xdadt
xda
Šios lygties sprendinys:
∑=
αααα =+++=n
i
ti
tn
ttlaisv
in eCeCeCeCx1
21 ...21 ,
čia Ci – integravimo konstantos,
αi – būdingosios lygties šaknys.
Būdingoji lygtis gaunama diferencialinėje lygtyje pakeitus
dtd
→α :
0... 01
11 =+α++α+α −− aaaa n
nn
n
Aukštos eilės lygčių šaknys randamos apytikriais metodais. Naudojant programinį paketą
Matlab, šaknys randamos taip. Sudaroma matricą A iš lygties koeficientų taip:
A = [an an-1 an-2 … a1 a0]
ir panaudojama komanda: roots(A).
21
4.4. Tiesioginio ir atvirkštinio Furje ir Laplaso transformacijų formulės
Kiekviena periodinė funkcija, turinti periodą T, kuriai intervale nuo -∞ iki +∞, galioja
priklausomybė )()( tftf =τ+ ir tenkinanti Dirichle sąlygas, gali būti išskleista Furje eilute:
∑∞
=
ω+ω±=1
0 )sincos(2
)(k
kkkk tBtAAtf (1)
čia k – sveikas teigiamas skaičius;
k
k Tπ
=ω2 k-tosios harmonikos dažnis;
A 0, A k, B k – koeficientai, randami iš formulių:
∫−
=T
T
dttfT
A )(10 , (2)
∫−
ω=T
Tkk dtttf
TA cos)(1 (3)
∫−
ω=T
Tkk dtttf
TB sin)(1 (4)
Automatinio valdymo teorijoje taikomos tiesioginio ir atvirkštinio Furje pakeitimo formulės
neperiodinėms funkcijoms
dtetfjF tj∫∞
ω=ω0
)()( (5)
ωπ
= ∫∞
∞−
ω detFtf tj)(21)( (6)
čia F(jω) – Furje atvaizdas,
f(t) – funkcijos originalas (pirmvaizdis).
Jei į (5) ir (6) po integralu įkeliama rodyklinė funkcija te σ− , tai gaunama nauja kompleksinio
kintamojo ω+σ= js funkcija. Šis integralas vadinamas tiesiogine Laplaso transformacija
dte)t(f)s(F0
st∫∞
−=
arba simboliškai )]t(f[L)s(F = .
22
Atvirkštinis Laplaso pakeitimas
dsesFj
tfj
j
st∫∞+σ
∞−σπ= )(
21)( .
Simboliškai tai žymima: )]s(F[L)t(f 1−= .
4.5. Sistemos operacinių lygčių sudarymas
Sudarant operacines lygtis pagal sistemos diferencialines lygtis reikia žinoti pradines sąlygas
Jei duota diferencialinė lygtis
)()()( txktxdt
tdxT įišiš =+ ,
tai, esant pradinėms nulinėms sąlygoms, operacinė lygtis sudaroma pakeičiant išvestines ir
integralo ženklus operatoriumi:
sdtd= , 2
2
2
sdtd
= , nn
n
sdtd
= , s1dt
t
0
=∫ .
Tuomet gauname
)()()( sXksXsXTs įišiš =+ .
Sudarant AVS, susidedančios iš kelių elementų operacines lygtis, visų pirma, užrašoma
sistemos diferencialinių lygčių sistema, po to taikomas Laplaso pakeitimas ir gaunama operacinių
lygčių sistema, kuri išsprendžiama išėjimo signalo atžvilgiu:
)()...(
)()...()()...(
011
1
011
1011
1
sFCsCsCsC
sXbsbsbsbsXasasasak
kk
k
įm
mm
mišn
nn
n
++++
+++++=++++−
−
−−
−−
Iš šios lygties esant užduotam įėjimo dydžiui X į (t) ar trikdžiui F(t) gauname išėjimo dydžio
operacinę lygtį:
)(
)()()()()(
sAsFsCsXsB
sX įiš
+= ,
čia B(s), C(s), A(s) – kompleksinio kintamojo operaciniai daugianariai.
23
Funkcijos xiš(t) pirmvaizdis randamas naudojant Laplaso transformaciją atskirai kiekvienam
poveikiui. Tam naudojamos atvaizdų lentelės arba Hevisaido skaidybos formulės.
)s(F )t(f
kTse− )( ktt −δ
1 )(tδ
s1 )(1 t
21s
t
1
1+sk
ktk!1
a
Ts ln1
1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
Tt
a
α+s
1 te α−
2)(1α+s
tte α−
)( α+
αss
te α−−1
)(2 α+
αss
α
−α− tet
20
20
ω+ω
s t0sin ω
20
2 ω+ss t0cosω
20
20
ω−ω
s tsh 0ω
btt eba
aeba
bbsass
ab −α−
−+
−+=
++1
))((
24
4.6. Automatinio valdymo sistemų signalai
Vienetinis šuolinis poveikis (vienetinė šuolinė funkcija) – tai poveikis, kuris šuoliu
pasikeičia nuo nulio iki vieneto ir toliau lieka pastovus
⎩⎨⎧
><
=0,10,0
)(1tkaitkai
t
Pereinamoji (arba laiko) charakteristika (funkcija) – tai reakcija grandies išėjime , kai jos
įėjime veikia vienetinis šuolinis poveikis. Pereinamoji charakteristika žymima h(t).
Vienetinis impulsas (vienetinė impulsinė funkcija arba delta funkcija) – tai impulsas, kurio
plotas lygus vienetui, trukmė lygi nuliui ir aukštis lygus begalybei
⎩⎨⎧
≠=∞= 0,0
0,)( tkaitkaitδ ir
1)( =∫∞
∞−
dttδ
Grandies reakcija į vienetinį impulsą vadinama impulsine pereinamąja charakteristika arba
svorine funkcija w(t)
Delta funkcija susieta su vienetine šuoline funkcija taip:
)(1)( tt ′=δ
Ryšys tarp pereinamosios ir svorinės funkcijos
)()( thtw ′= arba dttwtht
∫=0
)()( .
4.7. AVS perdavimo funkcijos
Taikant tiesioginį Laplaso pakeitimą ir esant pradinėms nulinėms sąlygoms galima gauti
operacinę lygtį
25
)()()()()()( sFsCsXsBsXsA įiš +=
Perdavimo funkcija – tai išėjimo dydžio operacinio atvaizdo santykis su operaciniu įėjimo
dydžio atvaizdu esant nulinėms pradinėms sąlygoms. Skiriamos grandies, atviros ir uždaros
sistemų perdavimo funkcijos
)()(
)()()(
sAsB
sXsXsW
į
iš ==
)()(
)()()(
sAsC
sFsXsW iš
z ==
4.8. Dažninės charakteristikos
Sistemų tyrimo dažniniai metodai pagrįsti elementų bei visos sistemos dažninių
charakteristikų sudarymu.
Atjungę tiesinės AVS pagrindinį grįžtamąjį ryšį ir paduodami į sistemos įėjimą sinusinės
formos signalus, ir esant nusistovėjusiam režimui, sistemos išėjime gausime to pat dažnio, bet
kitos amplitudės ir fazės sinusinius svyravimus.
Analizuodami atvirosios sistemos įėjimo ir išėjimo harmoninius svyravimus, galime nustatyti
jos savybes, kurios charakterizuojamos dažnine funkcija
)()(
)()()(
ωω
=ωω
=ωjXjX
jAjBjW
į
iš
W(jω) – vadinama atvirosios sistemos amplitudės fazine charakteristika.
Analitinę amplitudės fazinės charakteristikos išraišką gauname perdavimo funkcijoje pakeitę
ω= js .
)()()( ω+ω=ω jQPjW ,
čia P(ω) ir Q(ω) – realioji ir menamoji dažninės charakteristikos dalys.
Rodikline forma
)()()( ωϕω=ω jeAjW ,
čia )()()()( 22 ω+ω=ω=ω QPjWA
26
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ωω
=ωϕ)()()(
PQarctg .
Amplitudės – fazinės charakteristikos modulis yra išėjimo ir įėjimo signalų amplitudžių
santykis.
Kiekvieną dažnį atitinka tam tikra modulio ir argumento reikšmė, t.y. amplitudės ir fazės
reikšmės.
P(ω)
P(ω)
jQ(ω)
Q(ω)
A(ω)ϕ(ω)
jQ(ω)
P(ω)
ω=0
ω12
ω
ω3
AFD CH
4.9. Amplitudės dažninės charakteristikos
Dažninės funkcijos W(jω) reikšmes esant tam tikram dažniui, galima pavaizduoti vektoriais
kompleksinėje plokštumoje. Amplitudės fazinė charakteristika – tai dažninės funkcijos vektorių
galų geometrinė vieta esant skirtingiems dažniams.
Amplitudės priklausomybė nuo dažnio vadinama sistemos dažnine amplitudės
charakteristika
)()()( 22 ω+ω=ω QPA
Fazės priklausomybė nuo dažnio vadinama dažnine fazės charakteristika
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ωω
=ωϕ)()()(
PQarctg
Pvz.:
27
A(ω)
ω
A(ω)
A(ω)
P(ω)
P(ω)
ω
ϕ(ω)
ωϕ(ω)
ϕ(ω)
ω
Q(ω)
Q(ω)
4.10. Logaritminės dažninės charakteristikos
Dažninių charakteristikų sudarymas supaprastėja, jeigu išlogaritmuojame dažninės funkcijos
išraišką )()()( ωϕω=ω jeAjW :
3.2
)()(lg)(lg ωϕωω jAjW += ;
Logaritminė amplitudinė charakteristika nusako funkcijos modulio logaritmo kitimą, kintant
dažniui. Ji braižoma logaritminiame mastelyje. Ordinačių ašyje atidedamas modulio logaritmas,
abscisių ašyje – dažnio logaritmas.
)(lg20)(lg20)( ωωω AjWL == ;
)(ωP
)(ωjQ
0=ωPi
Qi
AFCH
28
L(ω) matuojamas decibelais. 1 dB lygus vienai dešimtajai Belo. Belas – tai signalo galios
stiprinimo koeficiento dešimtainis logaritmas, t.y. 1 Belas atitinka signalo galios stiprinimą 10
kartų, 2 Belai – 100 kartų, 3 Belai – 1000 kartų. Kadangi signalo galia yra proporcinga
amplitudės kvadratui, tai AA lg2lg 2 = .
Todėl stiprinimas Belais, išreikštas per amplitudžių A santykį lygus 2lgA. Atitinkamai
decibelais jis bus lygus 20 lgA.
Vienas decibelas atitinka amplitudės pasikeitimą 20 10 kartų, =1,12 karto.
Sudarant logaritmines dažnines charakteristikas fazinės dažninės charakteristikos braižomos
pusiau logaritminėse koordinatėse, t.y. ϕ priklausomybė nuo lgω.
Ant abscisių ašies atidedama arba lgω, arba paties dažnio ω reikšmė.
Dažnio pasikeitimas 10 kartų vadinamas dekada:
10=i
n
ωω ;
dek 110lglg ==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
i
n
ωω .
Tam, kad surasti dažnį dekadomis, reikia apskaičiuoti dešimtainį šio dažnio logaritmą.
lg1=0
lg2=0,3 lg3=0,47 lg4=0,6 lg5=0,7
lg6=0.78 lg7=0,85
lg8=09 lg9=0,95
Logaritminę amplitudės dažninę charakteristiką galima apskaičiuoti tiesių atkarpomis.
Logaritminį tinklelį galima sudaryti Matlabu, naudojant šias komandas:
y=1;
x=0.1:1:100
semilogx(y)
L,dB
ωlg
ω0,1 0,2 0,3 0,4 1 2 3 4 5 6 10
29
5 Tipinės dinaminės grandys ir jų charakteristikos
5.1. Grandžių klasifikacija
Tipinė grandis – tai sistemos elementas, charakterizuojamas tam tikromis savybėmis.
Pagal nusistovėjusio režimo išėjimo ir įėjimo dydžių reikšmes visas grandis galima
suskirstyti į 3 grupes: stiprinimo, integravimo ir diferencijavimo.
Pagal pereinamosios charakteristikos xiš(t) pobūdį dinaminės grandys jungiamos į grupes,
vadinamas tipinėmis grandimis.
Pagal dinamines savybes grandys skirstomos į idealias (beinercines), inercines ir grandis su
vėlinimu. Be to, grandys gali būti stabilios ir nestabilios, minimalios ir neminimalios fazės.
Pagal išorinio poveikio pobūdį grandies įėjime skiriamos pereinamosios charakteristikos (kai
veikia vienetinis šuolinis poveikis), impulsinės pereinamosios charakteristikos (esant
impulsiniam δ poveikiui įėjime) ir dažninės charakteristikos (esant įvairių dažnių harmoniniams
poveikiams).
5.2. Ideali (beinercinė, stiprinimo) grandis
Stiprinimo grandies dinamikos lygtis yra:
)()( tkxtx įiš = ;
k – stiprinimo koeficientas.
Tokių grandžių pereinamoji charakteristika savo forma atitinka įėjimo signalą.
Operacinė lygtis
)()( skxsx įiš = ;
Stiprinimo grandies perdavimo funkcija
ksxsxsW
į
iš ==)()()( ;
Dažninė funkcija
kjW =)( ω ;
Stiprinimo grandies LADCH
kL lg20)( =ω ;
30
0)( =ωϕ ;
5.3. Aperiodinė (inercinė) grandis
Aperiodinės grandies dinamikos lygtis:
įišiš kxx
dtdxT =+ ;
T – laiko pastovioji (konstanta), k – stiprinimo koeficientas.
Operacinė lygtis
)()()1( skxsxTs įiš =+ ;
Perdavimo funkcija
.1Ts
k)s(X)s(X)s(W
į
iš
+== ;
Aperiodinės grandies pereinamoji funkcija
[ ])()( 1 sXLtx išiš−= - iš lentelių
);(1
)( sxTs
ksx įiš ⋅+
=
kai xį(t)=1(t), tai ;1)(s
sxį =sTs
ksxiš1
1)( ⋅
+= ;
Grandies pereinamoji funkcija (grandies reakcija į vienetinį šuolinį poveikį):
)1()( Tt
iš ektx−
−= .
Dažninę funkciją gausime perdavimo funkcijoje pakeitę ωjs = :
TjkjWω
ω+
=1
)( ;
Arba, padauginę skaitiklį ir vardiklį iš jungtinio skaičiaus, gauname
221)1(
)1)(1()1()(
ωω
ωωωω
Tjk
TjTjTjkjW
+−
=−+
−= ;
xiš
xiš
xį t
20lgk
0=ϕ ωlg
)(ωL
0=ω
∞=ω
p
jQ
k
31
arba )()()()()( ωϕωωωω jeAjQPjW =+= ;
Realioji šio reiškinio dalis: 221)(
ωω
TkP
+= ;
Menamoji: 221)(
ωωω
TkTQ+
−= ;
Dažninė amplitudės charakteristika: 22
22
1)()()(
ωωωω
TkQpA
+=+= ;
Dažninė fazės charakteristika
TarctgTarctgPQarctg ωωωωωϕ −=−== )(
)()()(
pateiktos pav.
Logaritminę ADCH galima apytikriai nubraižyti iš dviejų tiesių atkarpų – asimptočių. Ji
vadinama asimptotine.
221lg20lg20)(lg20)( ωωω TkAL +−== ;
t
xiš
∞išx
∞išx632,0įiš kxx =∞
T
k
0
ωAjW =∞)(
ω
)(ωϕ
2π
−
0=ω )(ωP
ω
T1
=ω
2k
)(ωjQ
A F D C H
32
Kai dažnis T1
<ω , 1<Tω , ir 122 <<Tω .
Tuomet 11 22 ≈+ ωT , t.y. kL lg20)( =ω - tai tiesė lygiagreti abscisių ašiai.
Kai dažnis T1
>ω , 1>Tω , ir 122 >>Tω , tai ωω TT ≈+ 221 ir ωω TkL lg20lg20)( −= .
Tai tiesės einančios su nuolydžiu dekdB20− lygtis.
Pasikeitus dažniui 1 dekada
10lg20Tlg20klg2010Tlg20klg20)10(L −−=−= ωωω ,
L(ω) reikšmė sumažėja 10lg20 , t.y. 20 dB.
Abi asimptotės kertasi taške T1
=ω . Kai T1
=ω ,
dBkkL 3lg202lg20lg20)( −=−=ω ,
t.y. maksimalus skirtumas tarp tikrosios ir asimptotinės charakteristikos yra 3 dB.
Aperiodinių grandžių pavyzdžiai: elektros krosnis, elektros.variklis, elektrinės RC, RL
grandinėlės.
5.4. Integravimo grandis
2π
−
4π
−
T1
ωlg
20lgk
3dB
dekdB20−
)(ωL
Ui UišR C Ui Uiš
33
Integravimo lygties dinamikos lygtis:
)()( tkxdt
tdxį
iš = ;
∫=t
įiš dttxktx0
)()( ;
Pereinamoji funkcija:
ktth =)( ;
tkxx įiš = ;
Operacinė lygtis:
)s(xsk)s(x įiš = ;
Perdavimo funkcija:
sk
)s(X)s(X)s(W
į
iš == ;
Dažninė funkcija:
ωω
ω kjjkjW −==)( arba )()()()()( ωϕωωωω jeAjQPjW =+= ;
0)( =ωP ;
ω
ω kQ −=)( ;
ω
ω kA =)( ;
constarctg =°−=−∞= 90)(ϕ ;
ωωω lg20lg20)(lg20)( −== kAL ;
xiš
t
xiš
xi
∞=ω PjQ
t
34
Integravimo grandžių pavyzdžiai: beinercinis elektros variklis, jei įėjimas yra maitinamas
įtampa, išėjimo rotoriaus veleno posūkio kampas, stūmoklinis hidraulinis variklis, kurio įėjimas –
skysčio padavimo greitis, o išėjimas stūmoklio eiga.
5.5. Diferencijavimo grandis
Skiriama ideali ir reali diferencijavimo grandys.
Idealios diferencijavimo grandies diferencialinė lytis:
dtdx
kx įiš = ;
Operacinė lygtis:
)()( sksxsx įiš = ;
Perdavimo funkcija:
kssW =)( ;
Amplitudės fazinė dažninė charakteristika:
ωω jkjW =)( ;
Dažninė amplitudinė charakteristika:
ωω kA =)( ;
Dažninė fazės charakteristika:
20)( πωωϕ =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
karctg ;
Pereinamoji funkcija:
)()( tkth δ= ;
Logaritminė ADCH:
2π
−
ωlg
20lgk dekdB20−
)(ωL )(ωL
1 10
)(ωA
ω
0=ω )(ωP
∞→ω
)( ωjW
)(ωjQ
t
j
t
xiš
ωlg
20lgk
L
101=ω
35
ωωω lg20lg20)(lg20)( +== kAL ;
Praktiškai idealią diferencijavimo grandį realizuoti neįmanoma.
Reali diferencijavimo grandis:
dtdx
kTxdt
dxT įiš
iš =+ ;
)()()1( skTsxsxTs įiš =+ ;
1Ts
kTs)s(X)s(X)s(W
į
iš
+== ;
Tj
kTjjWωωω
+=
1)( ;
221
)(ω
ωωT
kTA+
= ;
221lg20lg20)(lg20)( ωωωω TkTAL +−== ;
221lg20lg20lg20)( ωωω TTkL +−−= ;
TarctgQ
ωω 1)( =
Pereinamoji funkcija
Tt
Tt
1 keeTkT
s1
1TskTsL)t(h
−−− ==⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅
+= ;
įTt
iš xketx−
=)( .
0=ω∞=ω p
jQ
k
ω
xiš
t
xiš xikxi
UiUiš
Ui L Uiš
°90 T1
ωlg
20lgk
)(ωL
20lgkT
°45
0
1
)(ωA
ω
36
5.6. Švytavimo grandis
Švytavimo grandies diferencialinė lygtis:
įišišiš kxx
dtdxT
dtxdT =++ 22
22
1 ;
arba
įišišiš kxx
dtdxT
dtxdT =++ 12
22
1 2ξ ;
Operacinė grandies lygtis:
)()()1( 222
1 skxsxsTsT įiš =++ ;
Perdavimo funkcija:
1)(
)()(2
21 ++
==sTsT
ksxsxsW
į
iš ;
Padavus į grandies įėjimą šuolinį signalą išėjimo dydžio kitimo dėsnis priklauso nuo būdingosios lygties šaknų:
01sTsT 222
1 =++ ;
21
21
222
2,1 T2T4TT
s−±−
= ;
Jei 04 21
22 <− TT , tai šaknys bus kompleksinės
ωα js 2,1 ±−= ; 21
2
2TT
=α ; 21
22
1 411
TT
T−=ω ;
Pereinamojo proceso lygtis
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−= −
αωω
αω α arctgtekxtx t
įiš sin11)( 2
2
Jei šaknys bus realios tai pereinamasis procesas bus aperiodinis:
37
⎠
⎞ ⎜ ⎜ ⎝
⎛ +
+ +
+ = 1
21
21) ( 2 1
222
12212
11
t s tįiš e
Ts Ts es
Ts Ts kxt x ;
Amplitudės fazinė charakteristika:
222
2221
222
1
222
1 )1()1(
)1()(
ωωωω
ωωω
TTjkTTk
jTTkjW
++−−
=+−
= ;
Dažninė amplitudės charakteristika:
22
2222
1
22
)1()()()(
ωωωωω
TTkQPA
+−=+= ;
Dažninė fazės charakteristika:
221
2
1)(
ωωωϕ
TTarctg−
−= ;
Logaritminė amplitudės dažninė charakteristika:
222
2221 )1(lg20lg20)(lg20)( ωωωω TTkAL +−−== ;
Logaritminė ADCH susideda iš dviejų asimptočių. Viena iš jų yra lygiagreti abscisių ašiai,
kita – turinti nuolydį dekdB40− . Braižant logaritminę dažninę charakteristiką priimta, kad
1)( 2 12 == ξTT .
Kai 1
1T
<ω , kL lg20)( =ω ,
kai1
1T
>ω , ωω 1lg40lg20)( TkL −≈ .
xiš
t
kxį
1,0=ξ
4,0=ξ
1=ξ
0=ω
ω
∞=ω
)( ωjW
tk
25,0=ξ
5,0=ξ
)(ωA
ω
1,0=ξ
1=ξ 4,0=ξ
1ω
38
5.7. Vėlinimo grandis
Ši grandis išėjime su vėlinimu pakartoja įėjimo signalą.
Grandies lygtis:
įiš xtkx )( τ−= ;
Kai τ<t , xiš=0. Čia τ - vėlinimo laikas
2π
−
π−
T1
ωlg
40)(ωL
0
20
1,0=ξ
1=ξ
1=ξ
5,0=ξ
1,0=ξ
2,0=ξ
7,0=ξ
3,0=ξ
xiš
t
xi įiš xtkx )( τ−=
τ
ωlg
20lgk
)(ωL
0
)(ωϕ
39
Perdavimo funkcija
ske)s(W τ−=
Amplitudės fazinė charakteristika
τωω jke)j(W −= ;
kA =)(ω ;
τωωϕ −=)( ;
Logaritminė dažninė charakteristika
kAL lg20)(lg20)( == ωω ;
Plačiausiai yra paplitęs transportinis vėlinimas atsiradęs pasislenkant elementams erdvėje
(transporterio juosta, valcuojamo metalo juosta).
5.8. Struktūrinių schemų prastinimo taisyklės
Nuoseklus grandžių sujungimas
)()()( 1
1 sxsxsW
į
= ;
)()()(
1
22 sx
sxsW = ;
)()()()(
)()(
)()()( 21
1
1 sWsWsxsx
sxsx
sxsxsW iš
įį
išekv ⋅=== .
Jei nuosekliai sujungta n grandžių, tai
nekv WWWsW ⋅⋅⋅= ......)( 21 .
Lygiagretus grandžių sujungimas:
W1(s) W2(s)xi
x1 xiš
W1(s)
W2(s)xi
xiš1
xiš
Wn(s)
xiš2
xišn
40
)()(11 sxsWx įiš ⋅= ;
)()(22 sxsWx įiš ⋅= ;
)()( sxsWx įnišn ⋅= ;
)(
)(...)()()()()( 21
sxsxsxsx
sxsxsW
į
išnišiš
į
išekv
+++== ;
)(...)()()( 21 sWsWsWsW nekv +++= ;
Grandis, apkabinta grįžtamuoju ryšiu.
)()()( .rgrįiš xxsWsx ±⋅= ;
)()()( ... sxsWsx išrgrrgr ⋅= ;;
[ ])()()()()( . sxsWsxsWsx įrgrįiš ⋅±= ;
)()(1
)()()()(
. sWsWsW
sxsxsW
rgrį
išekv ⋅
==m
.
Pliuso ženklas vardiklyje imamas tuo atveju, kai grįžtamasis ryšys yra neigiamas, minuso –
kai teigiamas.
Kiti pakeitimai:
1. Sumavimo mazgo perkėlimas per išsišakojimo tašką:
2. Sumavimo mazgo perkėlimas per grandį
a) prieš signalo kryptį
W(s)xį
Xgr.r
xiš
Wgr.r(s)Xiš(s)
Xiš(s)Xį+/-Xgr.r
x2
x3
X3=X1+x2
x1
x2
x3
X3=X1+x2
W1(s) W2(s)x1
x3x4 x5
x2
W1(s) W2(s)x1
)(1
1 sW
x3
X1+x2
x2
41
b) pagal signalo kryptį
3. Išsišakojimo taško perkėlimas per grandį:
a) prieš signalo kryptį
b) pagal signalo kryptį
6. Sistemų stabilumas
6.1. Ištiesintų sistemų stabilumas
Paveikus trikdžiui, pagal sistemos pereinamojo proceso pobūdį galima skirti 3 sistemų tipus:
W1(s) W2(s)x1 x3
x2 W2(s)
x4
W1(s) W2(s)x1
x3x2
x2
W1(s) W2(s)x1
x2 x3
W1(s)x2
W1(s) W2(s)x1
x2 x3
x2
)(1
2 sW
42
1. Sistemos išėjimo dydis vis labiau nukrypsta nuo užduoto ir sistema neįgauna pusiausvyros
padėties – tokia sistema vadinama nestabilia.
2. Sistema grįžta į pusiausvyros padėtį, išėjimo dydis įgauna naują nusistovėjusią reikšmę,
besiskiriančią nuo užduotos statine paklaida. Tokia sistema yra stabili.
3. Sistema charakterizuojama nusistovėjusiais periodiniais virpesiais. Toks procesas
vadinamas negęstančiu virpamuoju, o sistema yra ant stabilumo ribos.
Sistemos stabilumas nepriklauso nuo trikdžio dydžio – sistema, stabili esant mažiems
trikdžiams, bus stabili esant ir dideliems.
Bendrąją sistemų stabilumo teoriją sukūrė A. M. Liapunovas 1880 – 1910 m. Jis įrodė, kad:
1. Jei būdingosios lygties šaknys yra neigiamos arba jų realios dalys yra neigiamos, tai tokia
sistema yra stabili.
2. Jei būdingosios lygties bent viena šaknis yra teigiama arba su teigiama realiąja dalimi, tai
sistema nestabili.
3. Jei būdingoji lygtis turi bent vieną nulinę šaknį arba porą jungtinių grynai menamųjų
šaknų, tai joje atsiranda negęstantys virpesiai ir sistema yra ant stabilumo ribos.
Bendru atveju AVS aprašoma diferencialine lygtimi:
įį
mį
m
mmį
m
mišiš
niš
n
nniš
n
n xbdtdx
bdt
xdb
dtxd
bxadt
dxa
dtxd
adt
xda 011
1
1011
1
1 ++++=++++ −
−
−−
−
− LL
Liapunovas įrodė, kad apie sistemos stabilumą galima spręsti iš sistemos laisvojo judesio, t.y.
sistemos išėjimo dydžio kitimo neveikiant trikdžiui.
Laisvasis sistemos judesys aprašomas lygtimi:
xiš
t
xiš
t
1
2
3
43
0011
1
1 =++++ −
−
− išiš
niš
n
nniš
n
n xadt
dxa
dtxd
adt
xda L
Pritaikę Laplaso pakeitimą, gauname sistemos būdingąją lygtį:
0011 =++++ − asasasa n
nn
n L
Laisvojo judesio lygties sprendinys:
( ) ,eCeCeCtx ts
nts
2ts
1išn21 +++= L
čia: nCCCC K321 ,, - integravimo konstantos, n21 s,s,s K - būdingosios lygties šaknys.
Jei šaknys yra kompleksinės iii js βα ±= , tai laisvojo judesio sprendimo dedamosios turi
pavidalą:
( )iit
ii tsineCx i ϕβα +=
Sistema yra stabili, jei šaknys yra neigiamos arba jų realios dalys yra neigiamos.
Jei bent viena šaknis lygi nuliui, o visos kitos neigiamos arba turi neigiamas realias dalis, tai
tokia sistema yra neutrali.
Jei yra bent viena pora jungtinių grynai menamųjų šaknų, tai sistemos išėjime kyla
negęstantys virpesiai.
Todėl būtina ir pakankama sąlyga yra ta, kad šaknys būtų kairėje pusplokštumėje
Jeigu sistemos lygtis yra aukštos eilės, tai rasti jos šaknis sudėtinga. Tuomet stabilumo
tyrimui naudojami netiesioginiai metodai: algebrinis ir dažninis.
+
j
s
p2s
p
44
6.2. Algebriniai stabilumo kriterijai
Sistemų, aprašomų 3–ios eilės lygtimis, stabilumui tirti Višnegradskis suformulavo sąlygas,
esant kurioms sistema yra stabili. Višnegradskis nustatė, kad tiesinė sistema, kurios būdingoji
lygtis
,0012
23
3 =+++ asasasa
yra stabili, jei įvykdomos šios sąlygos:
1) visi būdingosios lygties koeficientai yra teigiami;
2) vidurinių koeficientų sandauga yra didesnė už kraštinių koeficientų sandaugą
3021 aaaa >
6.3. Rauso – Hurvico stabilumo kriterijai
Šis kriterijus skirtas sistemų, aprašomų bet kurios eilės būdingąja lygtimi, stabilumui tirti.
Kriterijų sukūrė anglų matematikas E. Rausas ir šveicarų matematikas A. Hurvicas praeito
amžiaus pabaigoje.
Jis formuluojamas taip: sistema, aprašoma būdingąja lygtimi
,0asasasa 01
1n1n1n
nn =++++ −
−− L
stabili, jei Hurvico determinantas ir visi jo įstrižainiai minorai yra teigiami.
.0,0,;0;0 1121 >=∆=∆>∆>∆ −− nnn aK
Sudarant Hurvico determinantą, pradžioje įstrižainėje surašomi visi koeficientai nuo 1−na iki
0a . Toliau užpildomi determinanto stulpeliai: virš įstrižainės koeficientų rašomi koeficientai su
mažėjančiais indeksais, žemyn – su didėjančiais. Po nulinio ir n – tojo indekso rašomi nuliai.
45
02
1
0
4
531
642
7531
000000
000000000000
aaaa
aaaaaaaaaaaaa
nn
nnn
nnnn
nnnn
−
−−−
−−−
−−−−
=∆
Rauso Hurvico metodą patogu naudoti neaukštos eilės sistemų tyrimui. Pagrindinis metodo
trūkumas – neįvertinama atskirų parametrų įtaka sistemos stabilumui.
6.4. Michailovo stabilumo kriterijus
1938 m. šį kriterijų pasiūlė tarybinis mokslininkas A.V Michailovas. Kairioji sistemos
būdingosios lygties pusė
001
11 =++++ −− asasasa n
nnn L
užrašoma kaip s funkcija
( ) 01
11 asasasasA n
nn
n ++++= −− L
Pakeitę s=jω, gauname
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωωωωωω jIRajajajaA 01
1n1n
nn +=++++= −
− L
Vektoriaus A(ω) galas, kintant dažniui nuo 0 iki ∞ brėžia kreivę, vadinamą Michailovo
hodografu.
Michailovo hodografas prasideda taške, kurio koordinatės R(0)= 0a , jI(0)=0, o n – tajame
kvadrante, dažniui augant į begalybę (ω→∞) auga į begalybę.
3∆
2∆
46
Michailovo kriterijus formuluojamas taip: sistema stabili, jei A(ω) hodografas, prasidėjęs ant
realiosios teigiamos pusašės, prieš laikrodžio rodyklę, aplenkdamas koordinačių pradžią,
nuosekliai apeina n kvadrantų. Čia n – sistemos eilė.
6.5. Naikvisto stabilumo kriterijus
Šį kriterijų 1932 m. pasiūlė amerikiečių mokslininkas Naikvistas. Jis įgalina spręsti apie
uždaros sistemos stabilumą pagal atviros sistemos amplitudės fazinę charakteristiką.
Tam, kad uždara sistema būtų stabili, reikia, kad atviros sistemos AFCH neapkabintų taško
su koordinatėmis (-1; j0)
n=4
n=1
n=5
+1
n=2
n=3
+1
+j
n=3 n=4 n=5
stabilios sistemos nestabilios sistemos
47
Jei sistemoje yra bent viena integravimo grandis, tai jos stabilumas nustatomas taip. AFCH
pradžią reikia mintyse prieš laikrodžio rodyklę sujungti su teigiama realiąja pusaše begalinio ilgio
spinduliu D. Jei taškas –1, j0 neapkabinamas, tai sistema stabili.
Sistemoms, kurios atvirame būvyje yra nestabilios, Naikvisto kriterijus formuluojamas taip:
tam, kad uždara sistema būtų stabili, reikia, kad atviros sistemos AFDCH apkabintų tašką (-1, j0)
su sąlyga, kad ji kirs neigiamą realią ašį kairiau taško (-1, j0) iš viršaus žemyn k/2 kartų daugiau,
negu iš apačios į viršų. Čia k – teigiamų šaknų skaičius.
+1
j
ω=∞0
3
ω=0
1
4
2
1,4 – stabilios sistemos 2 – ant stabilumo ribos 3 – nestabili sistema
j
+-1
I eilės
II eilės
ω=0
2 1
-1 ω=0
stabilios sistemos
1) k=12) k=2
48
6.6. Logaritminis stabilumo kriterijus
Naudojantis Naikvisto kriterijumi, apie sistemos stabilumą galima spręsti ne tik pagal
AFDCH, bet ir kartu pagal atviros sistemos ADCH ir FDCH. Paprastai tam naudojamos
logaritminės charakteristikos.
Pagal Naikvisto kriterijų, sistema, kuri yra stabili atvirame būvyje, bus stabili ir uždara, jei
atviros sistemos AFCH neapkabina taško (-1, j0). Tai bus tuomet, kai esant dažniui, prie kurio
A(ω)=1, absoliuti fazės reikšmė, mažesnė už π.
∆ϕ +1
-j∞
-1
∆L +j
∆ϕ
∆L lgω
-π
L(ω)
49
Logaritminėse charakteristikose amplitudės reikšmė A=1 atitinka L(ω) = 20lgA=0. Logaritminis
Naikvisto kriterijus sistemoms, stabilioms atvirame būvyje, formuojamas taip: LACH turi kirsti
abscisių ašį ankščiau, negu mažėdama fazė įgaus -π reikšmę. Arba: esant kirtimo dažniui, fazė
turi būti mažesnė už -π.
Stabilumo atsarga – tai sistemos nutolimas nuo stabilumo ribos. Fazės atsarga nustatoma
dydžiu ∆ϕ, kuriuo turi išaugti fazė sistemoje, esant dažniui kω , kai LACH lygi nuliui, tam, kad
sistema atsidurtų ant stabilumo ribos.
Amplitudės stabilumo atsarga nusakoma leidžiamu LACH pakilimo dydžiu ∆L, kuriam esant
sistema atsiduria ant stabilumo ribos.
Projektuojant AVS, rekomenduojama parinkti ∆ϕ ≥ 30° ir ∆L ≥ 6dB.
Sistemos, kurios yra nestabilios atvirame būvyje, uždaros bus stabilios tuomet, kai esant
teigiamai LADCH, LFDCH kerta -π lygį iš viršaus žemyn k/2 kartų daugiau, negu priešinga
kryptimi.
6.7. Kritinis stiprinimo koeficientas
Sistemos būdingosios lygties koeficientai priklauso nuo grandžių parametrų (laiko
pastoviųjų, stiprinimo koeficientų). Parametrų pasikeitimas sukelia šaknų persiskirstymą.
Išnagrinėsime atviros sistemos stiprinimo koeficiento įtaką amplitudės – fazinėms
charakteristikoms ir sistemos darbui. Esant eilei nuosekliai sujungtų grandžių, atviros sistemos
perdavimo funkcija lygi visų grandžių perdavimo funkcijų sandaugai, kurios skaitiklyje yra
atvirosios sistemos stiprinimo koeficientas k. Didinant šį koeficientą, didėja vektorius ( )ωjWa ir
AFCH plečiasi, artėdama prie kritinio taško (-1, j0). Todėl stiprinimo koeficiento didinimas gali
taip pat pakeisti AFCH, kad sistema bus nestabili (2 kreivė).
jQ
p
ω=0ω=0
12 -1,j0
ω=∞
a)
ω=∞
jQ
p-1
ω=0
b)
50
Kartais ir stiprinimo koeficiento sumažinimas gali padaryti sistemą nestabilia (b pav.).
Stiprinimo koeficiento reikšmės, kurioms esant AFCH eina per kritinį tašką (-1, j0), vadinamas
atviros sistemos kritiniu stiprinimo koeficientų ir žymimas krk .
Išnagrinėsime sistemą, sudarytą iš 3 inercinių grandžių su laiko pastoviosiomis 321 ,, TTT ir
stiprinimo koeficientais 321 ,, kkk .
( )( )( )111)(
321
321
+++=
sTsTsTkkk
sW
Uždaros sistemos būdingoji lygtis
001
22
33 =+++ asasasa (1)
čia:
3210
3211
3231212
3213
1 kkkаТТТа
ТТТТТТаТТТa
+=++=
++==
00
00
02
13
02
>=∆aa
aaaa
(2)
Pritaikius Hurvico kriterijų, galima rasti kritinę stiprinimo koeficiento reikšmę
0302113
022 =−==∆ aaaa
aaaa
(3)
Į (3) išraišką įrašę koeficientų reikšmes iš (1) ir pažymėję 2321 kkkkk = , gauname
( )( ) ( ) 01321321323121 =+−++++ krkTTTTTTTTTTTT
Atskliaudę ir padaliję iš 3a , gauname
.23
2
3
1
2
3
2
1
1
3
1
2
TT
TT
TT
TT
TT
TTkkr ++++++= (4)
Išvada: Kritinis stiprinimo koeficientas yra laiko pastoviųjų santykio funkcija. Keičiant šį
santykį, galima plačiose ribose keisti krk .
51
Pvz. esant TTTT === 321 , 8=krk , nepriklausomai nuo T (t.y. esant 0<T<∞).
6.8. Pereinamojo proceso kokybės įvertinimas pagal atviros sistemos logaritmines
dažnines charakteristikas
Išnagrinėsime ryšį tarp pirmos eilės sistemos LACH ir pereinamųjų charakteristikų.
sksWa =)(
( ) ( ) ωωω lg20lg20lg20 −== kAL
Kai kk ωω == gauname L(ω) = 0.
Uždaros sistemos perdavimo funkcija ( )Ts1
1
sk1
sk
sWu +=
+=
kk =ω
kk
Tω11
==
Pereinamojo proceso charakteristika:
Pereinamojo proceso laikas .33k
p Ttω
==
sk įx išx
kk =ω klg20
1=ω 10 100
3T
T
t
išx
1,0 5%
52
Pirmos eilės uždaros sistemos pereinamojo proceso laiką nustato atvirosios sistemos
logaritminės amplitudės charakteristikos kirtimo dažnis.
Atvirosios sistemos perdavimo funkcija:
1sT1
sk)s(W
1a +
⋅=
Logaritminė amplitudės charakteristika:
( ) 22
11lg20lg20lg20 ωωω TkL +−−=
Priklausomai nuo parametrų reikšmių, logaritminės amplitudės charakteristikos gali būti
skirtingos.
kT k == ωω ;1
11
Uždarosios sistemos perdavimo funkcija
( ) ( )( ) ( ) 1
111 2
11 ++=
++=
+=
TssTTksTsk
sWsW
sWa
a
čia k
T 1= .
skįx išx
1sT1
1 +
kk =ω klg20
1 10 100
11
1T
=ω
53
Tai yra švytavimo grandies perdavimo funkcija. Praktiškai nustatyta, kad jei 12ωω >k , tai
uždarosios sistemos pereinamasis procesas bus monotoninis. Vadinasi, tam, kad nebūtų išėjimo
signalo virpesių, reikia, kad kirtimo dažnis 1ω būtų LACH zonoje, turinčioje nuolydį –20dB/dek.
AVS su įvairiomis LACH tyrimai parodė, kad pereinamojo proceso švytuojamumas bus
mažiausias, jei LACH kerta dažnių ašį su nuolydžiu –20 dB/dek.
Aukštos eilės sistemų pereinamojo proceso laikas .k
ptωπ
≥
Kuo platesnė LACH dalis su nuolydžiu –20dB/dek, kertanti dažnių ašį, tuo pereinamojo
proceso kreivė artimesnė eksponentei ir tuo mažesnė pereinamojo proceso trukmė.
7. Automatinių sistemų koregavimas
Didelis atvirosios sistemos stiprinimo koeficientas užtikrina aukštą sistemos tikslumą. Tačiau
stiprinimo koeficiento reikšmę riboja jos stabilumas. Dėl to iškyla būtinumas įjungti į sistemą
papildomus įtaisus, užtikrinančius stabilų sistemos darbą.
Koreguojančiais įtaisais vadinami įtaisai, keičiantys sistemos dinamines savybes. Stabilaus ir
kokybiško sistemos darbo užtikrinimas koregavimo įtaisų pagalba vadinamas sistemos
koregavimu.
Koregavimo grandys į sistemą jungiamos nuosekliai, lygiagrečiai ir į grįžtamuosius ryšius.
7.1. Pageidaujamos LACH sudarymas
Pereinamąjį procesą sistemoje vienareikšmiškai lemia logaritminės dažninės
charakteristikos. Todėl koregavimo pradžioje (pirmiausia) sudaro reikiamos (pageidaujamos)
LACH, užtikrinančias norimą (nustatytąjį) pereinamąjį procesą su reikiamu pereinamojo proceso
laiku ir maksimalia leistina dinamine nuokrypa σ.
Pageidaujamoji LACH skirstoma į 3 zonas: žemų dažnių, vidurinių dažnių ir aukštų dažnių.
Žemų dažnių charakteristikos dalis sudaroma pagal nusistovėjusio režimo užduotą tikslumą.
Statinėms sistemoms jį apsprendžia dydis 20lgk (I zona). Vidurinė LACH dalis, kertanti abscisių
ašį, parenkama pagal užduotą pereinamojo proceso trukmę ir maksimalią dinaminę nuokrypą σ.
Tam, kad užtikrinti reikiamą stabilumo atsargą, charakteristika turi kirsti dažnių ašį nuolydžiu –
20 db/dek.
L(ω)
1ω 2ω 3ω lg ω I II
54
Apytikriai σ % ir maxpt reikšmių priklausomybės nuo realiosios charakteristikos maksimumo
maxP gali būti surastos iš grafiko:
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
k
2ωπ
k
3ωπk
4ωπk
5ωπ
kωπ
10
20
30
40
50
σ maxpt
1
2
Pmax
Per apskaičiuotą kirtimo dažnį kω brėžiame su nuolydžiu –20dB/dek pageidaujamos LACH
dažnių zoną. Šią zoną sudaro tik viena atkarpa, turinti nuolydį –20dB/dek. Statinei sistemai žemų
dažnių zona yra tiesė 20lgk.
Turėdami pageidaujamos logaritminės amplitudės charakteristikos žemų ir vidutinių dažnių
zonas, jas sujungiame. Pageidautina, kad tai būtų viena atkarpa, kurios nuolydis skiriasi nuo
žemų dažnių atkarpos –20dB/dek.
Pageidaujamos charakteristikos aukštų dažnių sritis apribojama dažniu ( ) kωω 106 ÷= ir gali
turėti bet kokį nuolydį. Ši sritis neturi įtakos pereinamajam procesui. Vidutinių ir aukštų dažnių
charakteristikų dalys sujungiamos atkarpa su nuolydžiu –20 dB/dek didesniu, negu vidurinių
dažnių dalis. Taip sudaryta pageidaujama logaritminė amplitudinė dažninė charakteristika
atitinka norimą duotąjį pereinamąjį procesą. Ji vadinama tipine. Po to sudaroma logaritminė
fazinė charakteristika ir patikrinama fazės stabilumo atsarga.
7.2. Koregavimo įtaisų sintezė, taikant logaritmines dažnines charakteristikas
Naudojant koreguotos sistemos pageidaujamas LACH, atitinkančias norimą pereinamąjį
procesą, nustatomi koregavimo įtaiso tipai ir parametrai. Koregavimo įtaiso (grandies) parametrai
priklauso nuo jo įjungimo būdo.
55
7.2.1. Nuosekli koregavimo grandis
Nuosekli koregavimo grandis jungiama pagrindinio signalo sklidimo kryptimi nuosekliai
pagrindinėms grandims. Sukoreguotos sistemos perdavimo funkcija, atitinkanti pageidaujamą
LACH
)()()( sWsWsW kgnk ⋅=
ir
).(/)()( sWsWsW nkkg =
Užrašius logaritmine forma:
,)(lg20)(lg20)(lg20 ωωω jWjWjW nkkg −=
arba
)()()( ωωω Nk LLL −=
Nuoseklios koregavimo grandies tipas ir parametrai, taikant LACH gaunami taip:
1. pagal atviros sistemos perdavimo funkciją braižoma nekoreguotos sistemos LACH;
2. pagal užduotus kokybės rodiklius braižoma pageidaujama (sukoreguotos sistemos)
LACH;
3. iš pageidaujamos LACH ordinačių atimamos nekoreguotos sistemos ordinates ir gauname
nuoseklios koregavimo grandies LACH.
4. suprastiname koregavimo grandies LACH, palyginę ją su koregavimo grandžių lentelėse
duotomis tipinėmis grandimis.
Išnagrinėsime sistemos, kurios atviros sistemos perdavimo funkcija
)s03,01)(s1,01)(s5,01)(s1(6)s(Wn ++++
=
koregavimą nuoseklią ja koregavimo grandimi.
Lūžio dažniai:
;s11
11
1 ==ω ;s12
5,01
2 ==ω ;s110
1,01
3 ==ω ;s133
03,01
4 ==ω
dBkL 68,15lg20)(0 ==ω .
Pageidaujama LACH braižoma pagal užduotus %30=σ , st p 8,5= . Iš grafiko randame
kpt
ωπ6,3
= . Iš čia s12K =ω .
Amplitudinė logaritminė dažninė charakteristika braižoma taip:
56
1. Apskaičiuojami lūžio dažniai ir atidedami didėjančia tvarka.
2. Apskaičiuojamas dydis 20lgk ir braižoma horizontali tiesė žemų dažnių zonoje iki
pirmojo lūžio dažnio.
3. Pirmosios eilės grandis, kurios laiko konstanta yra vardiklyje, duoda nuolydį –20dB/dek,
o kurios laiko konstanta skaitiklyje, +20dB/dek. Pereinant nuo vieno lūžio iki kito, nuolydžiai
sumuojasi.
)1sT)(1sT()1sT)(1sT(
)S(W43
21
++++
=
20lgk
-20dB/dek
-40dB/dek
-60dB/dek
ω1
ω2
ω3
0
π/2
-π/2
-π
0
10
20
L(ω)
1
210 100
ω4
T4
φkg(ω)
φk(ω)
φn(ω)
∆φ
-3π/2
R2
R1
C2
C1
Koregavimo grandis
Uį Uiš
57
)s(W1
Xį Xiš)s(W2 )s(W3 )s(W4
)s(Wgr
7.2. Lygiagretus koregavimas
Lygiagrečios koregavimo grandys jungiamos į grįžtamuosius ryšius, apkabinančius dalį
pagrindinių grandžių.
Atviros koreguotos sistemos perdavimo funkcija
)s(W)s(W1
)s(W)s(W
.r.grapk
nk ⋅+
= , (1)
čia )(SWn — nekoreguotos
)s(W)s(W)s(W 32apk ⋅=
Dažnių intervale, kur galioja lygybė
1W)s(W r.grapk >>⋅
galima užrašyti
)]s(W)s(W/[)s(W)s(W r.grapknk ⋅≈ (2)
Logaritminė amplitudinė charakteristika
)(lg20)(lg20)(lg20)(lg20 . ωωωω jWjWjWjW apkknrgr −−= . (3)
Kadangi
)j(Wlg20)j(Wlg20)j(Wlg20 kgnk ωωω =− (2.1)
)(lg20 ωjWkg vadinama ekvivalentine nuoseklia koregavimo grandimi.
(3) lygtį galima užrašyti
)(lg20)(lg20)(lg20 . ωωω jWjWjW apkkgrgr −−=
arba )()()(. ωωω apkkgrgr LkL −−=
Lygiagreti koregavimo grandis skaičiuojama taip:
1. braižoma nekoreguotos atviros sistemos LACH )(ωnL
58
2. braižoma pageidaujama LACH )(ωkL
3. iš pageidaujamos LACH ordinačių atimamos nekoreguotos sistemos ir gauname
ekvivalentinę nuoseklios koregavimo grandies LACH )(ωkgL
4. braižoma grandžių, apkabintų lygiagrečia koregavimo grandimi LACH )(ωapkL
5. grafiškai sumuojamos apkabintų grandžių LACH ir ekvivalentinės nuoseklios koregavimo
grandies LACH ordinates.
6. braižoma priešingo ženklo gautai 5p. LACH. Ji yra lygiagrečios koregavimo grandies
charakteristika )(. ωrgrL .
8. Pereinamojo proceso skaičiavimas
8.1 Operacinis Laplaso metodas
)()()( SXSWSX įiš ⋅=
Jei )t(1)t(X į = , tai s1)s(X į =
s1)s(W)s(X iš ⋅=
Pagal žinoma atvaizdą galima gauti funkcijos pirmvaizdį
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅= −
s1)s(WL)t(X 1
iš .
Tam gali būti panaudota Hevisaido skaidybos formulė arba atvirkštinio Laplaso pakeitimo
lentelės. Bendru atveju )s(A)s(B)s(W = . Hevisaido skaidybos formulė
iSn
1i ii
i1iš e
)s(As)s(B
)0(A)0(B
)s(As)s(BL)t(x ∑
=
− ⋅′⋅
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅
==
Šis metodas tinka funkcijoms, kurioms nesunku rasti būdingosios lygties šaknis.
8.2. Trapecinių charakteristikų metodas
Pereinamąjį procesą, kai sistemos įėjime atsiranda vienetinis šuolinis poveikis ir esant
nulinėms pradinėms sąlygoms, galime rasti apskaičiavus integralą
)s(W
Xį Xiš
59
ωωωω
πtdPh sin)(2
0∫∞
=
Bendru atveju apskaičiuoti šį integralą sunku, todėl naudojamas apytikslis metodas, paremtas
realios dažninės charakteristikos P(ω) skaidymu į tipines trapecijas.
Realiosios dažninės charakteristikos išraiška gauname į uždaros sistemos perdavimo funkciją
įrašius s=jω. Jei
01
1
01
1
......
)(asasabsbsb
sW nn
nn
mm
mm
++++++
= −−
−−
čia m≤n, ir
JDCjBA
ajajabjbjb
sW nn
nn
mm
mm
++
=++++++
= −−
−−
01
1
01
1
...)()(...)()(
)(ωωωω
arba 2222)(DCADBCj
DCBDACjW
+−
+++
=ω
...
...
...
...
55
33
1
44
22
0
55
33
1
44
22
0
−+−=
−+−=
−+−=
−+−=
aaaD
baaC
bbbB
bbbA
ωωω
ωω
ωωω
ωω
Realioji dažninė charakteristika
22)(DCBDACP
++
=ω
yra sudėtinga ir ją integruoti sunku, todėl pagal P(ω) išraišką braižomos realios dažninės
charakteristikos grafikas. Jis skaidomas į tipines trapecijas ir išskaičiuojami nuolydžiai X.
Tipinė trapecija charakterizuojama jos aukščiu P(0), tolygaus signalo pralaidumo dažnių
intervalu ω0, teigiamų dažnių intervalu ωn ir nuolydžio koeficientu X= ω0 /ωn.
Lentelėse duotos pereinamųjų procesų kreivės vienetinėms trapecijoms. Esant žinomam
nuolydžiui X, randame lentelėje vienetinės trapecijos pereinamąją funkciją h0(τ). Po to amplitudę h0 dauginame iš reikšmės P(0), o laiką τ dalijame iš ωn: t= τ /ωn. Rezultatus surašome į lentelę
pagal kurią braižome pereinamąją charakteristiką esant vienetiniam įėjimo poveikiui.
P(ω)
P(0)
ω0 ωn ω
P
1
1 ω
60
Todėl, apskaičiuojant pereinamąją funkciją, būtina:
1. kiekvienos pereinamosios funkcijos ordinates h0i padauginti iš trapecijos aukščio ir
įvertinti ženklą . Šiuo atveju
0333
0222
0111
hHXhHX
hHX
⋅−=⋅−=
⋅=
2. perskaičiuojame kiekvienos trapecijos pereinamojo proceso laiką
1
01
ni ω
ττ =
3. suminę pereinamojo proceso charakteristiką randame grafiškai
∑=
=n
ii txtx
1
).()(
Mūsų atveju )()()()( 321 txtxtxtx −−= .
8.3. Pereinamojo proceso kokybės įvertinimas
Bendru atveju poveikis į sistemą yra sudėtinga laiko funkcija. Vertinant proceso kokybę
paprastai laikome, kad sistemos įėjime yra tipinė funkcija: vienetinė šuolinė, impulsinė,
harmoninė. Labiausiai paplitusi yra šuolinė funkcija.
)s(W Xį Xiš ∆X
ω
H1
h2
h3
ω01ω02
ωn1
ωn3
ω03
ωn2
PP
ω01ω02 ωn2ωn1
ω03 ωn3
top related