b. eindimensionale stationäre wärmeleitung fourier gesetz
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B1
B. Eindimensionale stationäre Wärmeleitung
Fourier – Gesetz
Grundversuch :
Newton (~1700) und Fourier (1820)
Wärmeaustausch zwischen Reservoiren durch ebene Platte.
1T t 2T t
Thermometer
Isolierung
Rührer
dBad1 Bad2
AQ
B2
Beobachtung
1. HS: 1,0 2,0 1 2U U U U const (17)
1 10 2 20 1 2C T C T (C C ) T (18)
1 10 2 20
1 2
C T C TT
C C (19)
Gleichgewichtstemperatur zwischen Bad1, Bad 2.
Kinetik: 1 2 1T T T 0 (20)
2 1 2T T T 0 (21)
1. HS, Bad1
Wärmedifferential
1 1 1dU dQ C dT 1
dt (22)
(20-22) 2 1Q T T (23)
Kühlkurve
Heizkurve
2T 0
1T 0
T
t
1 2T t , T t
B3
Experiment Newton – Fourier:
Fläche
Wärmestrom 2 1A
Q T Td
… d A Dicke Wand (24)
Wärmeleitfähigkeit Dicke
2 1Q
q T TA d
(25)
W mK … Wärmeleitfähigkeit
Wärme, die durch Würfel (A 1m², d 1m ) bei
2 1T T 1K hindurchtritt.
A3 A5 Messmethode
Physik Molekulare Situation
W mK
Gase Wenige Stöße
Druckunabhängigkeit klein
Flüssigkeiten Größere Dichte mittel
Nichtmetalle Gitterschwingungen
der Atome hoch
Metalle Elektronensee ) T 0 2
1
T
) Beziehung zur elektrischen Leitfähigkeit!
B4
Zahlenwerte W mK
Luft, ruhend (V) 0.025
Wasser ( L) 0,6
Kork (S) 0,05
Fensterglas 0,12
Ziegel (trocken) 0,5
Silber (Ag) 420
Kupfer (Cu) 380
Weitere Daten: VDI Wärmeatlas
2. HS: Wärme fließt immer von Systemen höherer zu Systemen niedrigerer
Temperatur.
Gl. (24): 2 1T T .
Die Wärmeleitfähigkeit hängt von thermodynamischen Parametern,
nämlich
Zusammensetzung (Legierungen)
Temperatur (Mittelwert)
Druck etc.
des wärmeleitenden Stoffes ab!
B5
Wärmeleitfähigkeit
Abhängigkeit von Druck p und Temperatur T
Taylor – Reihe
0 0T p
0 0 0
T T p p1 K K 2
T p
TK pK TTK
Luft 0,891 0,002 …
Wasser 0,823 0,00008 …
0 T 50 °C , 1 < p < 20 bar
Zahlenwerte : VDI – Wärmeatlas
Landolt – Börnstein
ASME – Tables etc.
B6
B7
Literatur: [7,10], Temperatur in Kelvin (K)
B8
Wärmewiderstand
(24) 2 1d
T T QA
(30)
Ohmsches Gesetz
e2 e1 e eU U R Q , ee
dQI
dt (31)
(30): 2 1 wT T R Q (32)
wd
RA
, wK
RW
(33)
Elektrischer Widerstand
Wärmewiderstand
B9
Anwendung von (32)
Wärmeleitung durch inhomogene Platte bzw. Plattensysteme (A = const)
Q
Tn
Tn-1
T2
T1
T0
AA
Q
wn
n
n
R
d
2
2
2
wR
d
1
1
1
wR
d
Q
Tn
Tn-1
T2
T1
T0
AA
Q
wn
n
n
R
d
2
2
2
wR
d
1
1
1
wR
d
Platte i: i i 1 wi iT T R Q i
(34)
Stationarität! 1 2 hQ Q .... Q Q (35)
(34,35) n 0 wT T R Q (36)
B10
n
w wii 1
R R (36a)
wd
RA
(37)
(36a) i
ii
1 1 d
d (38)
Effektive oder äquivalente Wärmeleitfähigkeit der geschichteten Platte
n
ii 1
d d (39)
Siehe auch Aufgabe A8
B11
WL einer Platte mit kontinuierlich veränderlicher
Wärmeleitfähigkeit x
(Legierungen, Verunreinigungen, Feuchte etc.)
Fourier:
dT x
AQ x T x dx T x const
dx (40)
T x T x dx
Q
0T dT
A const
xdx x dx0
B12
Energieerhaltung / Stationarität
dx
Q AdT xx
d
x 0
d
0
dxQ A T d T 0
x
eff d 0A
Q T Td
(41)
effd
0
1
d dx
x
d
eff 0
d dx
x … Def. „effektive“„äquivalente“
WLF: (41a)
B13
Fourier – WL Gesetz :
Lokale Form
Stationarität, 1 – Dimension
Taylor Reihe
xQq T x dx T x
A dx
22
2
T 1 Tdx dx
x 2! x
T x
q xx
(42)
T x T x dx
q
x x dxx
B14
Beispiel:
Temperaturverlauf in ebener Platte, A const , const
const
dTq x
dx
x
x0
dx
0q x x T x T 0
d 0 d 0q
T T x x
0 0
d 0 d 0
T x T x x
T T x x (43)
Verallgemeinerung von (42) auf 3 Dimensionen:
q(x) (x) grad T (44)
x
y
z
q T / x
q (x) T / y
T / zq
(44a)
0T
dT
xT
d0xx
B15
Beispiel:
Wärmeleitung und Temperaturverlauf in einer inhomogenen
Platte, Stationarität!
(42) dT
q (x) constdx
Temperaturverlauf in Platte?
q
dT dx(x)
x,T
x ,T1 1
x
1
x1
qT(x) T dx
(x) (45)
q
1x x 2x0
A A
1T
T x
2T
T
x
B16
Stationarität: Q A q const
(Energiesatz) A const q const! (46)
(45,46)
x
1
x1
dxT(x) T q
(x) (47)
x = x2 :
x2
2 1
x1
dxT T q
(x) (47a)
x
x11 2 1 x2
x1
dx
(x)T(x) T (T T )
dx
(x)
(48)
B17
Stationäre Wärmeleitung durch Kreisrohrwand
Beispiel: Temperaturverlauf in Zylinderwand
const Rohrlänge
Stationarität , Zylindersymmetrie
Fourier für Massenelement r,r dr, , d ,
dA r d
dQ q dA
q T
dA
iT
aT
T r
T r dr
arir
dQ
B18
T 1 T
q ,r r
T,
z
T
dQ r dr
2
0
T
Q 2 r constr
1.HS – Stationarität
U ui u
i
J P
: m r,r r : U Q r r Q r
0 Q r r Q r Q const
dr
Q 2 dTr
r,ra
ri
B19
i iQln r r 2 T r T
ar r :
a i a iQln r r 2 T T ….. Grenzbedingung
i i
a i a i
T r T ln r r
T T ln r r
Temperaturverlauf in Zylinderwand
Aus a ia i
2Q T T
ln r r
T r
rarir
iT
aTi
rln
r
0
B20
Aufgabe A9 / U – Boot
Nährung für dünnwandige Rohre
a ir r d , id r ,
1
a i a iQ 2 ln r r T T
a ii
dln r r
r
ia i
rQ 2 T T
d….. “ Platte “
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