b0. distribuciones de probabilidad€¦ · aproximación de la binomial a la normal sea x una...
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Estadística
B0. Distribuciones de probabilidad
Departamento de Ciencias del Mar y Biología Aplicada
Prof, Dr. Jose Jacobo Zubcoff
Dada una variable aleatoria es el modelo de probabilidad caracterizado por la función de densidad:
• Distribución de probabilidad más importante en estadística
• Modelo general pero no universal
• Su adecuación debe contrastarse siempre que sea posible a través de técnicas de Inferencia Estadística
Estadística Distribución Normal
),( σµNX ≡
ep
xfx
21)(
2
21
σ
σµ
=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
El dominio de la variable es cualquier valor real (-∞, +∞).
Simétrica respecto a la media µ.
Tiene su máximo en la media µ.
Crece hasta la media y decrece a partir de ella.
Estadística Distribución Normal
Propiedades
)1()1( +>=−< µµ XPXP
La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva:
P(µ-σ < X ≤ µ+σ)=0.6826 68.26%
P(µ-2σ < X ≤ µ+2σ)=0.954 95.45 %
P(µ-3σ < X ≤ µ+3σ)=0.997 99.73 %
Estadística Distribución Normal
Distribución Normal Estándar
N(0,1)
Su media µ=0 Su desviación típica σ=1
Estadística Distribución Normal
No se puede mostrar la imagen. Puede que su equipo no tenga suficiente memoria para abrir la imagen o que ésta esté dañada. Reinicie el equipo y, a continuación, abra el archivo de nuevo. Si sigue apareciendo la x roja, puede que tenga que borrar la imagen e insertarla de nuevo.
ep
xf21)( = 2
x−
2
Tipificación de la variable x
Dada una variable X que sigue una distribución N(µ,σ), se transforma en otra variable Z que sigue una distribución N(0,1).
X N(µ,σ) Z N(0,1)
Ventaja: Valores tabulados
Estadística Distribución Normal
No se puede mostrar la imagen. Puede que su equipo no tenga suficiente memoria para abrir la imagen o que ésta esté dañada. Reinicie el equipo y, a continuación, abra el archivo de nuevo. Si sigue apareciendo la x roja, puede que tenga que borrar la imagen e insertarla de nuevo.
σµ−
=xz
Ejercicios propuestos
La longitud X en mm de una población de lubinas sigue una distribución N(3,5). Calcular la probabilidad de que la lubina que pesquemos mida 6 mm o menos. ¿Y la probabilidad de que esté entre 1 y 6 mm?
Estadística Ejercicios
No se puede mostrar la imagen. Puede que su equipo no tenga suficiente memoria para abrir la imagen o que ésta esté dañada. Reinicie el equipo y, a continuación, abra el archivo de nuevo. Si sigue apareciendo la x roja, puede que tenga que borrar la imagen e insertarla de nuevo.
( ) 7257.06.0536
53)6( =≤=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −≤
−=≤ ZPxPXP
Teorema del límite central
Para cualquier variable con E(X) y n lo bastante grande, la distribución de la variable es una normal estándar.
Estadística Normal como aproximación a otras distribuciones
µ( ) )/(errorestX µ−
Binomial Poisson
Normal
1>= λnp
1.0<p
5>λ5>npqnp=µnpq=σ
λµ =
λσ =
A partir de Peña, 2001
Aproximación de la binomial a la normal
Sea X una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros n y p. Si n es grande, entonces la distribución de X es aproximadamente normal con esperanza y varianza
Se suele utilizar esta aproximación cuando np y n(1 – p) son mayores que 5, o bien cuando n > 30.
Como alternativa se puede coger directamente npq > 5
Tener en cuenta que para pasar de discretas a continuas se debe hacer corrección de continuidad:
Estadística Normal como aproximación a otras distribuciones
np=µ ( )pnp −= 12σ
Estadística Normal como aproximación a otras distribuciones
Fuente: Plaza 1999
Aproximación de la binomial a la normal
Estadística Normal como aproximación a otras distribuciones
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
0.2
0.4
0.6
ComparaciÛn B(3,0.1)-N(m,s)
n
Probabilidad
0 5 10 15 20
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
ComparaciÛn B(20,0.1)-N(m,s)
n
Probabilidad
0 20 40 60 80 100
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
ComparaciÛn B(100,0.1)-N(m,s)
nProbabilidad
Aproximación de la poisson a la normal
Estadística Normal como aproximación a otras distribuciones
Ejemplo: Del ejemplo que teníamos para el apartado de distribución binomial, con una población de cetáceos en la que se sabe que el 60% son machos, ahora se extraen un conjunto de 100, ¿cuál es la probabilidad de que en ese conjunto haya 32? X = Nº de hembras en el conjunto n = 100 p = 0.4
Estadística Normal como aproximación a otras distribuciones
0216.06.04.030100
)32( 3010030 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== −XP
Alternativa aproximando por una normal: 1. Comprobamos que podemos aplicar el teorema: 2. Calculamos los parámetros de la normal 3. Calculamos a partir de la Normal
Estadística Normal como aproximación a otras distribuciones
5246.04.0100 >=⋅⋅=npq
90.424
40
===
==
npq
np
σ
µ
)5.0325.032()32( +≤≤−== XPXP
( )
0.0211993699.095818.0
5306.17347.190.4405.32
90.4405.31)32(
=−
=−≤≤−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −≤≤
−== ZPXPXP
Estadística Normal como aproximación a otras distribuciones
¿Y si ajustamos por Poisson? 1. Comprobamos que podemos aplicar el teorema: Apliquémoslo de todos modos, a ver qué sale:
λλλ −= e
kkf
k
!),(
02978.0!32
40)32( 4032
=== −eXP
1.04.01404.0100
>=
>=⋅=
pnp
404.0100 =⋅== npλ
Estadística Normal como aproximación a otras distribuciones
Distribuciones continuas: Normal
Comando a utilizar con R: • dnorm(x,media,sd): Función de densidad
• pnorm(x,media,sd): F. distribución
• qnorm(prob.media,sd): Quantiles
• rnorm(nobs,media,sd): Números pseudoaleatorios
Estadística
Distribuciones discretas: Binomial
Estadística
Comando a utilizar con R: • dbinom(x,tamaño,prob): Función de probabilidad
• pbinom(x,tamaño,prob): F. prob. acumulada
• qbinom(prob,tamaño,prob): Quantiles
• rbinom(nobs,tamaño,prob): Números pseudoaleatorios
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