bab i. pengantar metode...
Post on 22-Apr-2018
329 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
BAB I. PENGANTAR METODE NUMERIK
Metode numerik merupakan metode pemrosesan dari data numerik
(diskret) menjadi hasil numerik, dimana metode ini mampu menangani
sistem persamaan besar, ketidaklinearan dan kasus dengan geometri yang komplek yang biasa dijumpai di kasus rekayasa dan seringkali
sulit untuk diselesaikan dengan cara analitis.
Analisa numerik dapat diartikan sebagai analisa mempergunakan
algoritma dari metode numerik.
Analisa numerik memunculkan dua sisi yang menarik yaitu dapat
menjadi : IPTEK (science) : Bagian dari matematika dimana algoritma
yang dipakai dikembangkan dari
persamaan-persamaan matematika
tertentu.
Seni (art) : Berkaitan dengan penentuan cara terbaik
untuk menyelesaikan suatu persoalan matematika.
Penyelesaian persoalan matematika dapat diselesaikan dengan cara
analitis (eksak), grafis dan numerik. Metode analitis mempunyai
keunggulan dalam hasilnya yang eksak, tetapi biasanya terbatas untuk
kemudahan penyelesaian pada masalah yang dengan asumsi linear dan pada kasus geometri yang sederhana. Metode grafis bertujuan
untuk menggambarkan perilaku system dalam bentuk gambar atau
nomograf dengan keterbatasan hanya mampu maksimal menguraikan
masalah dengan menggunakan gambar tiga dimensi.
Jenis persoalan Matematika yang akan diselesaikan dengan cara
numerik dapat digolongkan sebagai berikut: 1. Akar-akar persamaan
2. Persamaan aljabar linear serentak
3. Interpolasi
4. Pencocokan kurva (curve fitting)
5. Persamaan differensial biasa
6. Persamaan differensial parsial 7. Integrasi Numerik
Penyelesaian suatu persoalan matematika dengan metode numerik
umumnya dapat diselesaikan dengan lebih dari satu metode sehingga
harus dipilih metode terbaik yang dapat menghasilkan penyelesaian
yang efisien dan efektif serta tidak menghasilkan error yang besar.
Cara memilih metode terbaik :
1. Mengetahui jenis-jenis metode yang ada
2. Mengetahui bagaimana metode-metode tersebut bekerja.
2
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
3. Mengetahui kelemahan dan kelebihan metode-metode.
4. Mempunyai faktor intuisi dan pengalaman dalam menerapkan
metode-metode di atas.
Dengan mempelajari metode numerik akan memberikan sarana
langsung dalam belajar pemrograman komputer. Dengan
perkembangan hardware dan software saat ini sangat mendukung
ketrampilan dalam memanfaatkan komputer sebagai alat bantu dalam
menyelesaikan kasus rekayasa di bidang teknik mesin. Dengan
memahami dan terbiasa dengan metode numerik akan memberikan kemampuan lebih untuk merancang program sendiri tanpa harus
membeli program paket yang mahal. Beberapa bahasa program yang
umum digunakan adalah FORTRAN, PASCAL, DELPHI, VISUAL BASIC,
C++ dan banyak bahasa program lainnya.
Ciri-ciri pemrograman terstruktur harus mempunyai kriteria yaitu : Benar
Mudah Difahami
Mudah Dimodifikasi
Salah satu yang menjadi kelemahan metode numerik adalah
munculnya galat atau error dikarenakan metode ini melibatkan suatu
pendekatan/aproksimasi hasil dari metode analitis.
Galat yang umum dijumpai meliputi : 1. Galat Sintaksis Melanggar kaidah bahasa pemrograman
2. Galat waktu running Terjadi selama eksekusi program
3. Galat logika Kesalahan logika program
4. Galat pembulatan Komputer hanya mampu mempertahankan sejumlah angka
tetap angka benar selama perhitungan.
Galat pembulatan merupakan galat yang paling sering dijumpai
terutama dalam perhitungan metode numerik secara manual untuk
latihan, quiz maupun ujian kuliah. Contoh pada bilangan-bilangan
seperti dan 5 tidak dapat diekspresikan sebagai sejumlah tetap
angka benar. Untuk itu yang harus diperhatikan dalam latihan metode
numerik adalah penggunaan yang konsisten jumlah angka di belakang
koma selama perhitungan.
Kontrol kualitas program numerik mencakup pekerjaan dalam : 1. DEBUGGING
Perbaikan galat yang diketahui
2. PENGUJIAN Mendeteksi galat yang tidak diketahui
3
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
Berikut disajikan flowchart tahapan-tahapan dalam merancang dan
mengembangkan program yang berbasis metode numerik.
RANCANG BANGUN ALGORITMA Pengembangan yang mendasari logika program
KOMPOSISI PROGRAM Penulisan program dalam bahasa komputer
PENCARIAN DAN PENGUJIAN Pemastian bahwa program bebas Galat dan andal
DOKUMENTASI Membuat program mudah digunakan dan dipahami
PENYIMPANAN DAN PERAWATAN Menyimpan program dan memperbaikinya sesuai
pengalaman dan kebutuhan pasar
4
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
BAB II. AKAR-AKAR PERSAMAAN
Penyelesaian kasus akar-akar persamaan dapat digolongkan menjadi
dua metode yaitu :
1. Metode pengurung (Bracketing Methods) Mulai dengan terkaan awal yang mengurung atau memuat akar
dan kemudian secara bersistem mengurangi lebar kurungan.
Contoh : Bisection, Regula Falsi.
2. Metode terbuka (Open Methods) Iterasi coba-coba yang sistematis.
Contoh : Newton Raphson, Secant.
2.1. Metode Bagi Dua (Bisection Methods)
Perumusan mencari akar : xmid = 2
1 nn xx
Evaluasi : f (xmid) = 0 |f (xmid)|
Misal : Tentukan nilai nol dari suatu fungsi y = x3 - 7 x + 1
Pertama tentukan nilai awal untuk x1 dan x2 sehingga didapatkan f (x1) dan f (x2) yang berbeda tanda, yang berarti titik penyelesaian ada di
sekitar itu.
Buat tabel untuk mempermudah pembacaan prosesnya.
No x1 x2 f(x1) f(x2) xmid f(xmid)
1 2,5 2,6 -0,875 0,376 2,55 -0,269
f(x1) dan f(xmid) sama tanda x1 = xmid
2 2,55 2,6 -0,269 0,376 2,575 0,049
x1
xmid x2
y
x
y = f(x)
f(x2)
f(x1)
f(xmid)
5
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
f(x2) dan f(xmid) sama tanda x2 = xmid
3 2,55 2,575 -0,269 0,049 2,562 -0,117
f(x1) dan f(xmid) sama tanda x1 = xmid
4 2,562 2,575 -0,117 0,049 2,568 -0,041
f(x1) dan f(xmid) sama tanda x1 = xmid
5 2,568 2,575 -0,041 0,049 2,572 0,010
f(x2) dan f(xmid) sama tanda x2 = xmid
6 2,568 2,572 -0,041 0,010 2,570 -0,015
f(x1) dan f(xmid) sama tanda x1 = xmid
7 2,570 2,572 -0,041 0,010 2,571 -0,003
Sehingga salah satu akar yang dicari adalah 2,571.
Algoritma Metode Biseksi
Hitung xmid = 2
1 nn xx , f (xmid)
f(xn), f(xmid)
sama tanda ?
A
p
a
k
a
h
f (xn), f (xmid)
sama tanda
xn+1 = xmid
f (xn+1) = f (xmid)
|f (xmid)| A
pa
k
a
h
|f (xmid)|
STOP
xn = xmid
f (xn) = f (xmid)
START
Tidak
Tidak
Ya
Ya
Cari posisi akar f(xn) dan f(xn+1)
beda tanda
6
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
2.2. Metode Posisi Palsu (False Position Methods)
Berdasar interpolasi linear antara 2 harga f(x) yang mempunyai tanda berbeda f(x1) . f(x2) < 0
Konvergensi yang dihasilkan cepat.
f(x1) dan f(x2) berbeda tanda berarti ada akar antara x1 dan x2.
Perumusan mencari akar :
x* = xn – f(xn)
)()( 1
1
nn
nn
xx
xx
ff
Evaluasi suatu akar : | f(x*) |
Algoritma Metode Posisi Palsu = Algoritma Metode Biseksi hanya
tinggal mengganti rumusan xmid = 2
1 nn xx menjadi x* = xn – f(xn)
)()( 1
1
nn
nn
xx
xx
ff
No x1 x2 f(x1) f(x2) x* f(x*)
1 2,5 2,6 -0,875 0,376 2,57 -0,015
f(x1) dan f(xmid) sama tanda x1 = xmid
2 2,57 2,6 -0,015 0,376 2,571 0,003
Sehingga salah satu akar yang dicari adalah 2,571. Terlihat dengan
metode ini hanya dibutuhkan 2 iterasi sehingga konvergensi lebih cepat dibandingkan dengan metode biseksi.
x1 x3
x2
x4
y
x
y = f(x)
f(x2)
f(x1)
7
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
2.3. Metode Newton
Tidak perlu mencari 2 harga f(x) yang mempunyai tanda
berbeda. Konvergensi yang dihasilkan cepat.
Perlu menghitung turunan fungsi f’(x).
Kelemahan : - tidak selalu menemukan akar (divergen).
- kemungkinan mencari f’(x) sukar.
- Penetapan harga awal sulit.
Dari deret Taylor :
f(xn + h) = f(xn) + h f’(xn) + 2
h2
f’’(x) + …..
Jika xn + h adalah akar f(xn + h) = 0
0 = f(xn) + h f’(xn) h = -)(x
)(x
n
n
f'
f
Perumusan mencari akar :
xn+1 = xn + h = xn - )(x
)(x
n
n
f'
f
Algoritma Metode Newton
diabaikan
Cari xn+1, f (xn+1)
xn + 1 = xn - )(x
)(x
n
n
f'
f
|f (xn + 1)| A
p
a
k
a
h
|f (xn + 1)|
STOP
xn = xn+1
START START
Tidak
Ya
Pilih Xn yang cocok
8
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
2.4. Metode Secant
Tidak perlu mencari 2 fungsi dengan tanda berbeda.
Kombinasi Metode Newton dan Metode Posisi Palsu. Tanpa mencari turunan fungsi f’(x).
x0 dan x1 dipilih
x2 = x1 +
Segitiga ABC segitiga DEA
x - x
)(x)(x
01
10 ff- =
)(x1
f- = - f(x1)
)()( 01
01
xx
xx
ff
maka : x2 = x1 - f(x1)
)()( 01
01
xx
xx
ff
Perumusan : xn+1 = xn – f(xn)
)()( 1
1
nn
nn
xx
xx
ff
Algoritma Metode Secant = Algoritma Metode Newton, hanya
tinggal mengganti rumusannya. Penggantian nilai dilakukan menurut
urutan yang ketat, dengan nilai baru xn+1 menggantikan xn dan nilai xn
menggantikan xn-1. Sehingga kadang dua nilai tersebut dapat pada posisi yang sama kemungkinan divergen.
SUMMARY
JENIS KELEBIHAN KEKURANGAN
Metode
pengurung
Bisection
Regula Falsi - Selalu
Konvergen
-Laju konvergen
lambat
Metode
terbuka
Newton-Raphson
Secant -Laju konvergen
cepat
- Cukup satu
terkaan awal
- Turunan harus
dicari secara
analitis
- Bisa divergen
B
x0 x1 x2 x3
y
x
y = f(x)
A C
E
D
9
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
TUGAS :
Selesaikan dengan cara manual dan Buat program komputer dengan
menggunakan metode di atas dan Uji hasil program dengan
menyelesaikan fungsi sebagai berikut : y = x4 + 3 x3 + 2 x2 + 5 x
Berikut listing program dengan menggunakan metode posisi palsu.
program posisi_palsu;
uses crt; var
j,k,l,m,n,maxit,x1,x2,nb,na,xa,gmax : real;
function f( a,b,c,d,e,x :real):real;
begin
f:=a*sqr(sqr(x))+b*x*sqr(x)+c*sqr(x)+d*x+e;
end;
{prosedur pengisian data}
procedure data;
begin
clrscr;
writeln('Menghitung akar persamaan ');
writeln('f(x)=A x^4 + B x^3 + C x^2 + D x + E '); writeln('dengan metode Posisi Palsu ');
writeln;
writeln;
write('Masukan nilai A = '); readln(j);
write('Masukan nilai B = '); readln(k);
write('Masukan nilai C = '); readln(l); write('Masukan nilai D = '); readln(m);
write('Masukan nilai E = '); readln(n);
writeln;
write('Batas Error = '); readln(gmax);
write('Jumlah Iterasi Maks. = '); readln(maxit);
write('Nilai bawah = '); readln(nb);
write('Nilai atas = '); readln(na); clrscr;
end;
{prosedur perhitungan posisi palsu}
procedure pospalsu;
var iterasi : integer;
galat,uji : real;
x:real;
begin
writeln;
10
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
writeln('
==========================================');
write(' Iterasi ke-');write(' ');
write('Hasil');writeln; write('
==========================================');
x1:=nb; x2:=na; iterasi:=0;
xa:=x1-((f(j,k,l,m,n,x1)*(x2-x1))/(f(j,k,l,m,n,x2)-f(j,k,l,m,n,x1)));
repeat
iterasi:=iterasi+1; uji:=f(j,k,l,m,n,x1)*f(j,k,l,m,n,xa);
if uji= 0 then xa:=0
else if uji < 0 then
begin
x1:=nb; x2:=xa;
xa:=x1-((f(j,k,l,m,n,x1)*(x2-x1))/(f(j,k,l,m,n,x2)- f(j,k,l,m,n,x1)));
writeln;write(' ');
write(iterasi);
write(' ',xa:3:5);
end
else if uji>0 then
begin x1:=xa; x2:=na;
xa:=x1-((f(j,k,l,m,n,x1)*(x2-x1))/(f(j,k,l,m,n,x2)-
f(j,k,l,m,n,x1)));
writeln;write(' ');
write(iterasi);write(' ',xa:3:5);
end; until (abs(f(j,k,l,m,n,xa))<=gmax) or (iterasi=maxit);
writeln;
writeln('
==========================================');
writeln;
writeln('Persamaan : ',j:2:2,'X^4 + (',k:2:2,')X^3 + (',l:2:2,')X^2 + (',m:2:2,')X + (',n:2:2,')');
writeln('Jumlah Iterasi = ',iterasi,' Batas Error = ',gmax:3:5);
writeln('Batas Bawah = ',nb:3:2,' Batas Atas = ',na:3:2);writeln;
write('Salah satu akarnya adalah = ',xa:3:5);
end;
{prosedur / program utama}
begin
data;
pospalsu;
readln;
end.
11
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
HHAASSIILL RRUUNNNNIINNGG PPRROOGGRRAAMM
Menghitung akar persamaan
f(x)=A x^4 + B x^3 + C x^2 + D x + E dengan metode Posisi Palsu
Masukan nilai A = 1
Masukan nilai B = 3
Masukan nilai C = 2
Masukan nilai D = 5 Masukan nilai E = 0
Batas Error = 0.01
Jumlah Iterasi Maks. = 100
Nilai bawah = -3.5
Nilai atas = -1.5
=========================================
Iterasi ke- Hasil
==========================================
1 -2.34464
2 -2.62648 3 -2.78083
4 -2.85257
5 -2.88317
6 -2.89572
7 -2.90078
8 -2.90281 9 -2.90362
10 -2.90395
==========================================
Persamaan : (1.00)X^4 + (3.00)X^3 + (2.00)X^2 + (5.00)X + (0.00)
Jumlah Iterasi = 10 Batas Error = 0.01000 Batas Bawah = -3.50 Batas Atas = -1.50
Salah satu akarnya adalah = -2.90395
12
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
BAB III. PERSAMAAN ALJABAR LINEAR SERENTAK
Bentuk umum persamaan aljabar linear serentak :
a11 x1 + a12 x2 + ..... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ..... + a2n xn = b2
.
.
an1 x1 + an2 x2 + ..... + ann xn = bn
dimana a adalah koefisien-koefisien konstanta, b adalah konstanta-
konstanta dan n adalah banyaknya persamaan.
Penyelesaian persamaan linear serentak dapat dilakukan cara : 1. Eliminasi Eliminasi Gauss, Gauss Jordan.
2. Iterasi Iterasi Jacobi, Gauss siedel.
3. Dekomposisi Dekomposisi lower-upper (LU), Cholesky.
3.1. Eliminasi Gauss
Eliminasi bilangan unknown dengan menggabungkan persamaan-
persamaan. Strategi : mengalikan persamaan dengan konstanta agar salah satu
bilangan unknown akan tereliminasi bilamana dua
persamaan digabungkan.
Kebutuhan : pemahaman Operasi Matrik
Skema langkah eliminasi Gauss
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
3
2
1
3
2
1
33
2322
131211
''
'
''00
''0
b
b
b
x
x
x
a
aa
aaa
Upper Triangular System
x3 = b’’3 / a’’33
x2 = (b’2 - a’23 x3) / a’22
x1 = (b1 - a12 x2 - a13 x3) / a11
…… (E1)
…… (E2)
…… (E3)
n
2
1
n
2
1
nnn2n1
2n2221
1n1211
b
b
b
x
xx
aaa
aaaaaa
.
.
.
.
.........
.
.........
.........
Back Substitution
Forward Elimination
13
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
Langkah eliminasi maju :
1. Eliminasikan x1 dari (E2) dan (E3), asumsi a11 0
m21 = 11
21
a
a ; m31 =
22
32
a'
a'
kurangkan (m21 x (E1)) pada (E2) dan kurangkan (m31 x (E1))
pada (E3), sehingga :
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
a’22 x2 + a’23 x3 = b’2
a’32 x2 + a’33 x3 = b’3
NB : tanda petik satu berarti persamaan telah dimodifikasi satu kali.
2. Eliminasikan x2 dari (E3), asumsi a22 0
m32 =
22
32
a'
a'
kurangkan (m32 x (E2)) pada (E3), sehingga :
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
a’22 x2 + a’23 x3 = b’2
a’’33 x3 = b’’3
NB : tanda petik dua berarti persamaan telah dimodifikasi dua kali.
Langkah substitusi mundur :
x3 = b’’3 / a’’33
Sehingga dapat dirumuskan : xn = 1)-(n
nn
1)-(nn
a
b
Untuk menghitung x sisanya :
x2 = (b’2 - a’23 x3) / a’22
x1 = (b1 - a12 x2 - a13 x3) / a11
Sehingga dapat dirumuskan : xi = 1)-(i
ii
n
1ijj
1)-(i
ii
1)-(ii
a
xab
dengan i = n – 1, n – 2 , …. , 1
NB : Persamaan (E1) disebut Pivot Equation, a11 disebut koefisien Pivot dan operasi perkalian baris pertama dengan a21/a11
disebut sebagai Normalisasi.
14
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
Untuk kemudahan dapat dipakai matrik dalam bentuk kombinasi yang
disebut dengan Augmented Matrix (matrik yang diperbesar).
3333231
2232221
1131211
baaa
baaa
baaa
Masalah harus menghindari pembagian dengan nol, sehingga
muncul sebutan untuk metode ini yaitu Eliminasi Gauss Naif.
Teknik untuk memperbaiki penyelesaian Eliminasi Gauss :
1. Pivoting Sebelum tiap baris dinormalkan, maka dilakukan penentuan
koefisien terbesar yang tersedia. Kemudian baris-baris tersebut
dipertukarkan sehingga elemen terbesar tersebut merupakan
elemen pivot.
2. Scaling berguna dalam peminimalan galat pembulatan untuk kasus
dimana beberapa persamaan mempunyai koefisien-koefisien yang jauh lebih besar dari lainnya.
Contoh soal :
Selesaikan persamaan simultan berikut ini.
27 x1 + 6 x2 – x3 = 85 ….. (1a) 6 x1 + 15 x2 + 2 x3 = 72 ….. (1b)
x1 + x2 + 54 x3 = 110 ….. (1c)
Penyelesaian :
Gunakan matrik dalam bentuk Augmented Matrix (matrik yang diperbesar).
1105411
722156
851-627
106,85254,0370,7780
53,1112,22213,6670
851-627
103,82953,91100
53,1112,22213,6670
851-627
dengan menggunakan substitusi mundur akan diperoleh x1, x2, dan x3.
x3 = 103,829 / 53,911 = 1,926
E2 - 6/27 E1
E3 - 1/27 E1
E3 – 0,778/13,667 E2
15
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
13,667 x2 + 2,222 x3 = 53,111 x2 = 3,573
27 x1 + 6 x2 - x3 = 85 x1 = 2,425
3.2. Eliminasi Gauss-Jordan
Merupakan Variasi dari Eliminasi Gauss dengan kebutuhan untuk
menghitung matrik invers.
Strategi : Langkah eliminasi menghasilkan matrik satuan, sehingga
tidak diperlukan proses substitusi mundur.
Skema langkah eliminasi Gauss-Jordan
3333231
2232221
1131211
baaa
baaa
baaa
*b100
*b010
*b001
3
2
1
Selesaikan soal yang sama pada metode Eliminasi Gauss :
1105411
722156
851-627
1105411
722156
3,1480,337-0,2221
106,85254,0370,7780
53,1112,22213,6670
3,1480,337-0,2221
106,85254,0370,7780
3,8860,16310
3,1480,337-0,2221
Elimination
Matrik
Satuan
x1 = b*1 x2 = b*2
x3 = b*3
NO Back Substitution
…… (E1)
…… (E2)
…… (E3)
1/27 E1
E3 – E1
E2 – 6 E1
1/13,667 E2
16
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
103,82853,91100
3,8860,16310
2,2850,073-01
1,926100
3,8860,16310
2,2850,073-01
1,926100
3,572010
2,426001
3.3. Iterasi Gauss-Siedel
Bentuk umum persamaan linear serentak :
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ................... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ................... + a2n xn = b2
.
.
.
an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + .................. + ann xn = bn
Dapat diubah bentuknya menjadi :
x1 = 11a
1( b1 - a12 x2 + a13 x3 - .................... - a1n xn)
x2 = 22a
1( b2 - a21 x1 + a23 x3 - .................... - a2n xn)
x3 = 33a
1( b3 - a31 x1 + a32 x2 - .................... - a3n xn)
xn = nna
1( bn - an1 x1 - an2 x2 - .................... - an(n-1) x(n-1))
Langkah-langkah Iterasi Gauss-Siedel
1. Asumsikan x2 = x3 = ….. = xn = 0, sehingga dapat diperoleh :
x1 = 11
1
a
b
2. Hasil dari “x1” tersebut dimasukkan persamaan 2 untuk mendapatkan harga x2 (dimana x3 = … = xn = 0), maka akan
diperoleh :
x2 = 22a
1( b2 - a21 x1 )
3. Langkah 1 dan 2 dilakukan terus sampai diperoleh nilai xn dan
selesailah proses iterasi yang pertama. Kemudian hasil proses
tersebut dimasukkan kembali pada persamaan untuk mendapatkan harga “unknown” dari x1, x2, x3. ….. xn pada proses iterasi kedua,
ketiga dan seterusnya.
E3 – 0,778 E2
E1 – 0,222 E2
1/53,911 E3
E2 – 0,163 E3
E1 –(- 0,073 E3) x1 = 2,426
x2 = 3,572 x3 = 1,926
17
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
4. Proses iterasi berakhir bila hasil dari iterasi terakhir sama dengan
atau hampir sama dengan iterasi sebelumnya. Ini merupakan
kelemahan metode iterasi gauss-siedel yaitu proses akhir iterasi
menjadi meragukan.
Contoh soal :
Selesaikan persamaan simultan berikut :
27 x + 6 y – z = 85 ….. (1a)
6 x + 15 y + 2 z = 72 ….. (1b)
x + y + 54 z = 110 ….. (1c) Penyelesaian :
Persamaan di atas dapat diubah bentuknya menjadi :
x = 27
1( 85 - 6 y + z ) …… (2a)
y = 15
1( 72 - 6 x - 2 z ) …… (2a)
z = 54
1( 110 - x - y ) …… (2a)
Iterasi pertama
1. Asumsikan y = z = 0, sehingga dari persamaan (2a) akan diperoleh
: x1 = 27
85 = 3,15
2. Hasil dari “x1” tersebut dimasukkan persamaan (2b) untuk
mendapatkan harga y1 (asumsi z = 0)
y1 = 15
1( 72 - 6 (3,15) ) = 3,54
3. Masukkan hasil “x1” dan “y1” ke dalam persamaan (2c)
z1 = 54
1( 110 – 3,15 – 3,54) = 1,91
Iterasi kedua
x2 = 27
1( 85 - 6 (3,54) + 1,91 ) = 2,43
y2 = 15
1( 72 - 6 (2,43) – 2 (1,91) ) = 3,57
z2 = 54
1( 110 – 2,43 – 3,57) = 1,926
Iterasi selanjutnya dapat ditabelkan sebagai berikut :
Iterasi ke - x y z
1 3,15 3,54 1,91
2 2,43 3,57 1,926
3 2,423 3,574 1,926
4 2,425 3,573 1,926
5 2,425 3,573 1,926
Jadi hasil penyelesaiannya adalah : x =2,425 ; y=3,573 ; z = 1,926
18
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
3.4. Iterasi Jacobi
Melalui proses iterasi dengan menggunakan persamaan :
xi(n+1) =
ii
i
a
b -
n
j ii
ij
a
a
1
xj (n) ; j i
Keuntungan metode ini adalah langkah penyelesaiannya yang
sederhana, sedangkan kelemahannya adalah :
1. Proses iterasinya lambat. Terutama untuk persamaan linear
serentak dengan ordo tinggi.
2. Hanya dapat digunakan menyelesaikan persamaan linear serentak
yang memenuhi syarat berikut :
iia >
n
j
ija1
; j i dan i = 1, 2, ….., N
Contoh soal :
Selesaikan persamaan simultan berikut :
27 x + 6 y – z = 85 ….. (1a)
6 x + 15 y + 2 z = 72 ….. (1b)
x + y + 54 z = 110 ….. (1c)
Penyelesaian :
Persamaan di atas dIbentuk menjadi :
x(1) = 27
1( 85 - 6 y(0) + z(0) ) …… (2a)
y(1) = 15
1( 72 - 6 x(0) - 2 z(0) ) …… (2b)
z(1) = 54
1( 110 - x(0) - y(0) ) …… (2c)
Iterasi pertama
Asumsikan x(0) = y(0) = z(0) = 0, sehingga dari persamaan (2a, 2b dan
2c) akan diperoleh :
x(1) = 27
85 = 3,148
y(1) = 15
72 = 4,800
z(1) = 54
110 = 2,037
Iterasi kedua
x(2) = 27
1( 85 - 6 (4,8) + 2,037 ) = 2,157
y(2) = 15
1( 72 - 6 (3,148) – 2 (2,037) ) = 3,269
z(2) = 54
1( 110 – 3,148 – 4,8) = 1,890
19
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
Iterasi selanjutnya dapat ditabelkan sebagai berikut :
Iterasi ke - X Y z
1 3,148 4,800 2,037
2 2,157 3,269 1,890
3 2,492 3,685 1,937
4 2,401 3,545 1,923
5 2,432 3,583 1,927
6 2,423 3,570 1,926
7 2,426 3,574 1,926
8 2,425 3,573 1,926
9 2,426 3,573 1,926
10 2,425 3,573 1,926
11 2,425 3,573 1,926
Jadi hasil penyelesaiannya adalah :
x = 2,425 ; y = 3,573 dan z = 1,926
3.5. Dekomposisi LU
Dengan cara membentuk matrik segitiga atas (Upper) dan matrik
segitiga bawah (Lower) dari matrik koefisien A serta membentuk
vektor matrik dari matrik hasil dengan aturan tertentu.
Kelebihannya adalah sangat efektif untuk menyelesaikan persamaan
linear serentak ordo tinggi, dengan hasil yang sangat mendekati nilai eksaknya. Tentu saja konsekuensinya metode ini memerlukan cara
yang cukup kompleks.
[A] {X} = {B}
Dekomposisi
[U] [L]
[L] {D} = {B}
{D}
[U] {X} = {D}
{X}
Maju
Mundur
Pensubtitusian
20
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
Langkah-langkah Dekomposisi LU
1. Membentuk matrik koefisien [A], matrik variabel {X} dan matrik
hasil {B} dari persamaan simultan.
[A] {X} = {B} 2. Mencari matrik segitiga bawah [L] dan matrik segitiga atas [U] dari
matrik koefisien [A] dengan aturan berikut :
li1 = ai1 ; i = 1,2, … , n
u1j = 11
1
l
a j =
11
1
a
a j ; j = 2,3, … , n
- untuk j = 2,3, … , n-1
lij = aij -
1
1
.j
k
kjik ul ; i = j, j+1, … , n
ujk = jj
j
i
ikjijk
l
ula
1
1
.
; k =j+1, j+2, … ,n ; lnn = ann -
1
1
.n
k
knnk ul
3. Mencari matrik {B’} dengan aturan berikut :
b’1 = 11
1
l
b ; b’i =
ii
i
j
jiji
l
blb
1
1
'.
untuk i = 2, 3, … , n
4. Membentuk Augmented Matrix {UB’} dan penyelesaiannya diperoleh :
xn = b’n dan xj = b’j -
n
jk
kjk xu1
Berikut disajikan contoh listing program VISUAL BASIC untuk
menghitung persamaan linear serentak kasus di atas dengan metode
Iterasi Jacobi.
LISTING PROGRAM
Begin VB.Form Form1
Caption = "MENGHITUNG INTERASI JACOBI"
ClientHeight = 6030
ClientLeft = 60 ClientTop = 345
ClientWidth = 9510
LinkTopic = "Form1"
ScaleHeight = 6030
ScaleWidth = 9510
StartUpPosition = 2 'CenterScreen Begin VB.CommandButton Command3
Caption = "Masukkan Variabel"
BeginProperty Font
21
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
Name = "Nadall"
Size = 12
Charset = 0
Weight = 700 Underline = 0 'False
Italic = 0 'False
Strikethrough = 0 'False
EndProperty
Height = 495
Left = 3840 TabIndex = 38
Top = 5400
Width = 1215
End
Begin VB.CommandButton Command1
Caption = "Hitung Interasi" BeginProperty Font
Name = "Nadall"
Size = 11.25
Charset = 0
Weight = 700
Underline = 0 'False
Italic = 0 'False Strikethrough = 0 'False
EndProperty
Height = 495
Left = 720
TabIndex = 31
Top = 3000 Width = 1695
End
Begin VB.Frame Frame1
Caption = "Masukkan Angka"
BeginProperty Font
Name = "Palatino Linotype"
Size = 12 Charset = 0
Weight = 700
Underline = 0 'False
Italic = 0 'False
Strikethrough = 0 'False
EndProperty Height = 2415
Left = 720
TabIndex = 0
Top = 240
Width = 6495
Begin VB.TextBox Text4
22
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
Height = 375
Index = 2
Left = 5160
TabIndex = 12 Top = 1800
Width = 975
End
Begin VB.TextBox Text3
Height = 375
Index = 2 Left = 3480
TabIndex = 11
Top = 1800
Width = 495
End
Begin VB.TextBox Text2 Height = 375
Index = 2
Left = 1920
TabIndex = 10
Top = 1800
Width = 495
End Begin VB.TextBox Text1
Height = 375
Index = 2
Left = 360
TabIndex = 9
Top = 1800 Width = 495
End
Begin VB.TextBox Text4
Height = 375
Index = 1
Left = 5160
TabIndex = 8 Top = 1080
Width = 975
End
Begin VB.TextBox Text3
Height = 375
Index = 1 Left = 3480
TabIndex = 7
Top = 1080
Width = 495
End
Begin VB.TextBox Text2
23
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
Height = 375
Index = 1
Left = 1920
TabIndex = 6 Top = 1080
Width = 495
End
Begin VB.TextBox Text1
Height = 375
Index = 1 Left = 360
TabIndex = 5
Top = 1080
Width = 495
End
Begin VB.TextBox Text4 Height = 375
Index = 0
Left = 5160
TabIndex = 4
Top = 360
Width = 975
End Begin VB.TextBox Text3
Height = 375
Index = 0
Left = 3480
TabIndex = 3
Top = 360 Width = 495
End
Begin VB.TextBox Text2
Height = 375
Index = 0
Left = 1920
TabIndex = 2 Top = 360
Width = 495
End
Begin VB.TextBox Text1
Height = 375
Index = 0 Left = 360
TabIndex = 1
Top = 360
Width = 495
End
Begin VB.Label Label6
24
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
Caption = "+"
Height = 375
Index = 2
Left = 3000 TabIndex = 30
Top = 1920
Width = 375
End
Begin VB.Label Label5
Caption = "+" Height = 375
Index = 2
Left = 1440
TabIndex = 29
Top = 1920
Width = 375 End
Begin VB.Label Label3
Caption = "Z"
Height = 375
Index = 2
Left = 4080
TabIndex = 27 Top = 1920
Width = 615
End
Begin VB.Label Label2
Caption = "Y"
Height = 375 Index = 2
Left = 2640
TabIndex = 26
Top = 1920
Width = 495
End
Begin VB.Label Label1 Caption = "X"
Height = 375
Index = 2
Left = 1080
TabIndex = 25
Top = 1920 Width = 495
End
Begin VB.Label Label6
Caption = "+"
Height = 375
Index = 1
25
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
Left = 3000
TabIndex = 24
Top = 1200
Width = 375 End
Begin VB.Label Label5
Caption = "+"
Height = 375
Index = 1
Left = 1440 TabIndex = 23
Top = 1200
Width = 375
End
Begin VB.Label Label4
Caption = "=" Height = 375
Index = 1
Left = 4680
TabIndex = 22
Top = 1200
Width = 495
End Begin VB.Label Label3
Caption = "Z"
Height = 375
Index = 1
Left = 4080
TabIndex = 21 Top = 1200
Width = 615
End
Begin VB.Label Label2
Caption = "Y"
Height = 375
Index = 1 Left = 2640
TabIndex = 20
Top = 1200
Width = 495
End
Begin VB.Label Label1 Caption = "X"
Height = 375
Index = 1
Left = 1080
TabIndex = 19
Top = 1200
26
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
Width = 495
End
Begin VB.Label Label6
Caption = "+" Height = 375
Index = 0
Left = 3000
TabIndex = 18
Top = 480
Width = 375 End
Begin VB.Label Label5
Caption = "+"
Height = 375
Index = 0
Left = 1440 TabIndex = 17
Top = 480
Width = 375
End
Begin VB.Label Label4
Caption = "="
Height = 375 Index = 0
Left = 4680
TabIndex = 16
Top = 480
Width = 495
End Begin VB.Label Label3
Caption = "Z"
Height = 375
Index = 0
Left = 4080
TabIndex = 15
Top = 480 Width = 615
End
Begin VB.Label Label2
Caption = "Y"
Height = 375
Index = 0 Left = 2640
TabIndex = 14
Top = 480
Width = 495
End
Begin VB.Label Label1
27
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
Caption = "X"
Height = 375
Index = 0
Left = 1080 TabIndex = 13
Top = 480
Width = 495
End
Begin VB.Label Label4
Caption = "=" Height = 375
Index = 2
Left = 4680
TabIndex = 28
Top = 1920
Width = 495 End
End
Begin VB.Frame Frame2
Caption = "View Persamaan dan Hasil Interasi"
BeginProperty Font
Name = "Palatino Linotype"
Size = 12 Charset = 0
Weight = 700
Underline = 0 'False
Italic = 0 'False
Strikethrough = 0 'False
EndProperty Height = 5775
Left = 120
TabIndex = 32
Top = 120
Width = 9255
Begin VB.CommandButton Command2
Caption = "CLear" BeginProperty Font
Name = "Nadall"
Size = 12
Charset = 0
Weight = 700
Underline = 0 'False Italic = 0 'False
Strikethrough = 0 'False
EndProperty
Height = 375
Left = 7080
TabIndex = 37
28
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
Top = 5280
Width = 1815
End
Begin VB.ListBox List1 Height = 2205
Left = 240
TabIndex = 33
Top = 3000
Width = 8655
End Begin VB.Label Label9
Alignment = 2 'Center
BorderStyle = 1 'Fixed Single
BeginProperty Font
Name = "Arial"
Size = 14.25 Charset = 0
Weight = 700
Underline = 0 'False
Italic = 0 'False
Strikethrough = 0 'False
EndProperty
Height = 735 Left = 240
TabIndex = 36
Top = 2160
Width = 8655
End
Begin VB.Label Label8 Alignment = 2 'Center
BorderStyle = 1 'Fixed Single
BeginProperty Font
Name = "Arial"
Size = 14.25
Charset = 0
Weight = 700 Underline = 0 'False
Italic = 0 'False
Strikethrough = 0 'False
EndProperty
Height = 735
Left = 240 TabIndex = 35
Top = 1320
Width = 8655
End
Begin VB.Label Label7
Alignment = 2 'Center
29
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
BorderStyle = 1 'Fixed Single
BeginProperty Font
Name = "Arial"
Size = 14.25 Charset = 0
Weight = 700
Underline = 0 'False
Italic = 0 'False
Strikethrough = 0 'False
EndProperty Height = 735
Left = 240
TabIndex = 34
Top = 480
Width = 8655
End End
End
Attribute VB_Name = "Form1"
Attribute VB_GlobalNameSpace = False
Attribute VB_Creatable = False
Attribute VB_PredeclaredId = True
Attribute VB_Exposed = False Dim x(1000) As Single
Dim y(1000) As Single
Dim z(1000) As Single
Dim a(2) As Single
Dim b(2) As Single
Dim c(2) As Single Dim d(2) As Single
Private Sub Command1_Click()
On Error Resume Next
Frame2.Visible = True
Frame1.Visible = False
Command1.Visible = False Label7.Caption = Text1(0).Text & "X" & "+" & Text2(0).Text & "Y" &
"+" & Text3(0).Text & "Z" & "=" & Text4(0).Text
Label8.Caption = Text1(1).Text & "X" & "+" & Text2(1).Text & "Y" &
"+" & Text3(1).Text & "Z" & "=" & Text4(1).Text
Label9.Caption = Text1(2).Text & "X" & "+" & Text2(2).Text & "Y" &
"+" & Text3(2).Text & "Z" & "=" & Text4(2).Text If Text1(0).Text = "" And Text1(1).Text = "" And Text1(2).Text = ""
And Text2(0).Text = "" And Text2(1).Text = "" And Text2(2).Text = ""
And Text3(0).Text = "" And Text3(1).Text = "" And Text3(2).Text = ""
Then
option15 = MsgBox("ANDA BELUM MEMASUKKAN NILAI
VARIABEL", vbOKOnly, "WARNING")
30
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
Frame2.Visible = False
Command3.Visible = True
End If
For I = 0 To 2 a(I) = Text1(I).Text
b(I) = Text2(I).Text
c(I) = Text3(I).Text
d(I) = Text4(I).Text
Next I
x(0) = 0 y(0) = 0
z(0) = 0
jumlah = 0
For I = 1 To 100000
jumlah = jumlah + 1
x(I) = (d(0) - (b(0) * y(I - 1) + c(0) * z(I - 1))) / a(0) y(I) = (d(1) - (a(1) * x(I) + c(1) * z(I - 1))) / b(1)
z(I) = (d(2) - (a(2) * x(I) + b(2) * y(I))) / c(2)
If x(I) = x(I - 1) And y(I) = y(I - 1) And z(I) = z(I - 1) Then
GoTo 2
End If
Next I
2 List1.Clear For I = 1 To jumlah
List1.AddItem I & vbTab & vbTab & x(I) & vbTab & vbTab & y(I) &
vbTab & vbTab & z(I)
Next I
End Sub
Private Sub Command2_Click()
Label7.Caption = ""
Label8.Caption = ""
Label9.Caption = ""
Frame2.Visible = False
Frame1.Visible = True
Command1.Visible = True End Sub
Private Sub Command3_Click()
Frame1.Visible = True
Command1.Visible = True
Command3.Visible = False End Sub
Private Sub Form_Load()
Frame2.Visible = False
Command3.Visible = False
End Sub
31
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
TAMPILAN HASIL PROGRAM
32
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
BAB IV. INTERPOLASI
Umumnya data engineering banyak yang berupa tabulasi. Penampilan
data seperti itu dikarenakan pada kenyataannya data yang bisa
diperoleh adalah bersifat “discrete” atau juga karena keterbatasan dalam pengukuran sehingga hanya sebagian data yang dapat disimpan
atau dicatat.
Contoh data yang discrete
x y
0.2 10.1
0.3 12.5
0.4 14.2
0.5 17.8
0.6 19.3
Menginterpretasikan manipulasi data discrete dapat dilakukan dengan
beberapa cara yaitu : 1. Numerical Interpolation.
2. Curve Fitting.
3. Numerical Differentiation.
4. Numerical Integration.
INTERPOLATION
4.1 Linear Interpolation
Yaitu interpolasi paling sederhana, dengan menganggap
hubungan berupa garis antara dua titik data.
Persamaan garis lurus yang menghubungkan dua titik
data tersebut :
x - x
yy
n
n=
x - x
yy
n1n
n1n
y = yn + x - x
yy
n1n
n1n
(x – xn)
Untuk contoh data di atas misalnya ingin dicari untuk x = 0,25
xn xn+1
y
x
y = f(x) yn+1
yn
Garis Lurus
33
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
y = 10,1 + 0,2 - ,30
1,015,12 (0,25 – 0,2) = 11,3
4.2 Lagrange Interpolation
Membuat hubungan titik dalam tabulasi berupa suatu polinomial dimana masing-masing titik berupa simpul-simpul yang harus dipenuhi
polinomial.
Tabulasi berupa titik-titik xi, yi dimana i = 0,1, …. , n dimana terdapat
n+1 data, akan dipresentasikan y(x) = f(x) pada interval x0 x xn
Polinomial interpolasi mempunyai bentuk :
Pn(x) = y0 b0(x) + y1 b1(x) + y2 b2(x) + …… + yn bn(x)
dengan bj(x) = suatu polinomial derajat “n”.
Polinomial bj(x) dapat dicari dengan menggunakan n+1
persamaan constraint.
Persamaan constraint dapat dibuat sebagai berikut :
Pn(xi) = yi ; i = 0,1,2, … ,n
Sehingga : Pn(x0) = y0 y0 b0(x0) + y1 b1(x0) + ..… + yn bn(x0) = y0
Pn(x1) = y1 y0 b0(x1) + y1 b1(x1) + ..… + yn bn(x1) = y1
.
. Pn(xn) = yn y0 b0(xn) + y1 b1(xn) + ..… + yn bn(xn) = yn
Untuk mempermudah penyelesaian persamaan constraint, maka
dipilih:
bj(xi) =
Pilihan tersebut memenuhi persamaan constraint.
Bentuk persamaan polinomial bj(x) adalah sebagai berikut :
bj(x) = Cj (x - x0) (x - x1) (x - x2) …. (x - xj-1) (x - xj+1) … (x - xn) Sesuai pilihan di atas yang cocok dengan constraint yaitu : bj(xj) = 1
Maka konstanta Cj dapat dicari dengan rumusan berikut :
Cj = ))...()()....()((
1
1110 njjjjjjj xxxxxxxxxx
Dengan demikian semua polinomial bj(x) diperoleh :
b0(x) = C0 (x - x1) (x - x2) ……. (x - xn)
b1(x) = C1 (x - x0) (x - x2) (x - x3) ……. (x - xn)
b2(x) = C2 (x - x0) (x - x1) (x - x3) ……. (x - xn) .
.
bn(x) = Cn (x - x0) (x - x1) ……. (x - xn-1)
1 ; i = j
0 ; i j
34
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
dimana : C0 = ))....()()((
1
0302010 nxxxxxxxx
C1 = ))....()()((
1
1312101 nxxxxxxxx
C2 = ))....()()((
1
2321202 nxxxxxxxx
.
Cn = ))....()()((
1
1210 nnnnn xxxxxxxx
Jadi polinomial bj(x) dapat ditulis secara lengkap :
b0(x) = ))....()((
))....()((
02010
21
n
n
xxxxxx
xxxxxx
b1(x) = ))....()((
))....()((
12101
20
n
n
xxxxxx
xxxxxx
b2(x) = ))....()()((
))....()()((
2321202
310
n
n
xxxxxxxx
xxxxxxxx
.
.
bn(x) = ))....()()((
))....()()((
1210
1210
nnnnn
n
xxxxxxxx
xxxxxxxx
Sehingga persamaan polinomial dari lagrange interpolation dapat
dirumuskan sebagai berikut :
Pn(x) =
n
0jjy
))...()()....()((
))...()()....()((
1110
1110
njjjjjjj
njj
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
Atau jika : Ln(x) = )xx)...(xx)(xx)....(xx)(xx( n1j1j10
Maka : Pn(x) =
n
j
jy0 )(
)(
jj
j
xL
xL= y(x) = f(x)
Contoh Soal : Hitung harga y(1.5) pada data yang disajikan pada tabel berikut ini.
x y
1 0.1
2 0.2
3 0.4
4 0.8
35
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
y(1,5) = y0)x)(1x)(1x(1
)x)(1,5x)(1,5x(1,5
321
321
+ y1)x)(2x)(2x(2
)x)(1,5x)(1,5x(1,5
320
320
+ y2)x)(3x)(3x(3
)x)(1,5x)(1,5x(1,5
310
310
+ y3 )x)(4x)(4x-(4
)x)(1,5x)(1,5x(1,5
210
210
y(1,5) = 0.0313 + 0.1875 – 0.1250 + 0.0500 = 0.1438
4.3 Newton-Gregory Interpolation
Berdasarkan formulasi Beda hingga, dimana dibuat suatu polinomial
dengan titik-titik data sebagai titik simpul.
Bentuk interpolasi polinomialnya adalah :
Pn(x) = C0 + C1 (x - x0) + C2 (x - x0) (x - x1) + ….
+ Cn (x - x0) (x - x1) … (x - xn-1)
dimana : C0, C1, … , Cn suatu konstanta Cj ; j = 0, 1, … , n dapat
dicari dengan memakai persamaan constraint berikut :
Pn(x) = yi ; i = 0, 1, 2, … , n
Yang akan menghasilkan persamaan berikut :
P0(x0) = f(x0) = y0 C0 = y0
P1(x1) = f(x1) = y1 C0 + C1(x1 - x0) = y1
C0 + C1(x1 - x0) + C2 (x2 - x0)(x2 - x1) = y1
C0 + C1(xn - x0)+ … + Cn (xn - x0)(xn - x1) …(xn - xn-1)= yn
Dari persamaan linear simultan tersebut dapat dihitung Cj ; j =
0, 1, 2, … ,n. Dan seterusnya Pn(x) = f(x) = y(x) dapat dicari dan
harga y untuk setiap harga x dapat dihitung.
Harga Cj dapat dirumuskan sebagai berikut :
C0 = y0
C1 = 01
01
xx
Cy
C2 = ))((
)(
1202
02102
xxxx
xxCCy
C3 = ))()((
))(()(
231303
1303203103
xxxxxx
xxxxCxxCCy
dst.
Metode ini menjadi lebih mudah jika inkremen dari x tetap. xi+1 = xi = h atau xi = x0 + ih ; i =1,2,… , n
36
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
Persamaan constraint di atas menjadi :
y0 = C0
y1 = C0 + C1 h
y2 = C0 + C1 (2h) + C2 (2h2) y3 = C0 + C1 (3h) + C2 (6h2) + C3 (6h3)
.
.
yi = C0 + C1 (ih) + C2 (ih)((i-1)h) + C3 (ih)((i-1)h)((i-2)h) …
+ Ci (i !)hi
Kalau persamaan ini diselesaikan akan didapatkan :
C0 = y0
C1 = h
Cy 01 =
h
yy 01 =
h
y0
C2 = 22
1
h[ y2 - C0 – 2h C1 ] =
22
1
h[ y2 - y0 – 2h
h
Cy )( 01 ]
= 22
1
h[ (y2 - y1) – (y1 - y0) ] = 22
1
h[ (y2) ]
= 2
2
2h
y
Secara umum harga Cj dapat dirumuskan :
Cj = j
j
hj
y
)!(
Untuk menghitung Cj secara lebih mudah dapat digunakan tabel
sebagai berikut :
yi = 2yi =
3yi = 4yi =
5yi =
xi yi yi+1 - yi yi+1 - yi 2yi+1 -
2yi 3yi+1 -
3yi 4yi+1 -
4yi
x0 y0 y0
x1 y1 2y0
y1 3y0
x2 y2 2y1
4y0
y2 3y1
5y0
x3 y3 2y2
4y1
y3 3y2 .
x4 y4 2y3 . .
y4 . . .
x5 y5 . . . .
. . . . .
. . . . . . .
Dari tabel tersebut Cj dapat dihitung dengan rumus Cj = j
j
hj
y
)!(
37
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
Makin banyak tingkat Cj yang dipakai dalam menghitung harga y maka
makin teliti interpolasinya.
y(x) = C0 + C1(x - x0) + C2 (x - x0)(x - x1)
akan lebih kurang “teliti” dari y(x) yang dihitung dengan : y(x) = C0 + C1(x - x0) + C2 (x - x0)(x - x1) + C3(x - x0)(x - x1)(x - x2)
dan seterusnya.
Coba selesaikan soal yang sama pada kasus di Interpolasi Lagrange.
Hitung y untuk x = 1.5 dengan interpolasi Newton-Gregory.
Berikut adalah tabel beda hingga untuk kasus di atas.
xi yi yi 2yi
3yi
1 0.1
0.1 2 0.2 0.1
0.2 0.1
3 0.4 0.2
0.4
4 0.8
Jika dipakai “first order difference” saja, maka :
y(1.5)= y0 +h
y0(1.5–x0)
= 0.1 + 1
1.0(1.5 – 1)
= 0.1 + 0.05 = 0.15
Jika dipakai “first-second order difference” maka :
y(1.5)= y0 +h
y0(1.5–x0)+ 2
2
2h
y(1.5–x0)(1.5–x1)
= 0.1 + 1
1.0(1.5 – 1)+
2
1.0(1.5 – 1)(1.5 – 2)
= 0.1 + 0.05 - 0.0125 = 0.1375
Dipakai “first-second-third order difference” maka :
y(1.5)= y0 +h
y0(1.5–x0)+ 2
2
2h
y(1.5–x0)(1.5–x1)
+3
3
6h
y(1.5–x0)(1.5–x1)(1.5 – x2)
= 0.1 + 1
1.0(1.5 – 1)+
2
1.0(1.5 – 1)(1.5 – 2)
+6
1.0(1.5 – 1)(1.5 – 2)(1.5 – 3)
= 0.1 + 0.05 - 0.0125 + 0.0062 = 0.1437
38
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
BAB V. PENCOCOKAN KURVA (CURVE FITTING)
5.1. Curve Linear
Persamaan pendekatan
untuk kurva linear dapat
dirumuskan :
f(x) = a + bx
Metode kuadrat terkecil
Jumlah kuadrat terkecil (D2)
D2 =
n
1i
2iE =
n
1i
2ii )x(fy =
n
1i
2ii bxay
A dan b dicari dengan meminimumkan harga D2.
a
D2
= 0
a
n
1i
2ii bxay = 0
-2
n
1iii bxay = 0
yI - a - b xi = 0
yI - n a - b xi = 0
n a = yI - b xi
a = n
y i- b
n
x i= xby …… (1)
b
D2
= 0
a
n
1i
2ii bxay = 0
-2
n
1iii bxay xi = 0
xi yi - a xi - b xi2 = 0
a xi + b xi2 = xi yi
y
x
y = f(x)
a y1 y2
1
b
39
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
n
y i - b
n
x i xi + b xi2 = xi yi
xi yi - b 2ix + n b xi2 = n xi yi
b { n xi2 - 2ix } = n xi yI - xi yi
b = 2i
2i
iiii
xxn
yxyxn
……… (2)
Untuk melihat derajat kesesuaian dari curve fitting dengan cara
melihat harga (Koefisien Korerlasi).
= 2
t
22t
D
DD (berharga 0 s/d 1)
dengan Dt2 =
n
1i
2
i yy
5.2. Curve Non-Linear
a. y = a ebx Proses Linearisasi ln y = ln a + b x ln e
= ln a + b x
Y = A + b x
xi yi Yi = ln yi xi Yi xi2
x1 y1 ln y1 x1 y1 x12
x2 y2 ln y2 x2 y2 x22
. . . . .
. . . . .
xn yn ln yn xn yn xn2
xi yi yi xi yi xi 2
y
x
y = a ebx
ln y
x
Y = A + bx
1
b
40
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
b = 2i
2i
iiii
xxn
YxYxn
A = n
Yi- b
n
x i= xbY A = ln a a = eA
b. y = a xb Proses Linearisasi log y = log a + b log x
Y = A + b X
xi yi Xi = log xi Yi = log yi Xi Yi Xi2
x1 y1 log x1 log y1 X1 Y1 X12
x2 y2 log x2 log y2 X2 Y2 X22
. . . . . .
. . . . . . xn yn log xn log yn Xn Yn Xn
2
xi yi Xi YI Xi Yi xi 2
b = 2i
2i
iiii
XXn
YXYXn
A = n
Yi- b
n
Xi= XbY
A = log a a = log-1 A
c. Polinomial y = a0 + a1 x + a2 x
2+ ….. + ar xr
Jumlah kuadrat dari kesalahan adalah :
D2 =
n
1i
2rir
2i2i10i xa....xaxaay
Dengan cara yang sama konstanta a dapat dicari dengan
meminimumkan harga D2.
y
x
y = a xb
log y
x
Y = A + bX
1
b
41
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
0
2
a
D
= 0 -2
n
1i
rir
2i2i10i xa....xaxaay = 0
1
2
a
D
= 0 -2
n
1i
rir
2i2i10ii xa....xaxaayx = 0
2
2
a
D
= 0 -2
n
1i
rir
2i2i10i
2i xa....xaxaayx = 0
.
.
r
2
a
D
= 0 -2
n
1i
rir
2i2i10i
ri xa....xaxaayx = 0
Atau dapat ditulis dalam bentuk matrik berikut :
ir
i
i2
i
ii
i
r
2
1
0
nri
2ri
1ri
ri
2ri
4i
3i
2i
1ri
3i
2ii
ri
2ii
yx
.
.
yx
yx
y
a
.
.
a
a
a
x..xxx
......
......
x..xxx
x..xxx
x..xxn
Penyelesaian persamaan ini akan didapat a0, a1, a2, ….. ar
5.3. Curve Multi Linear / Non-Linear
Hubungan antara variabel terikat dengan lebih dari satu veriabel
bebas secara linier dapat dirumuskan sebagai berikut :
y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 + ........ + bk xk
dimana: y = variabel terikat x1 s/d xk = variabel bebas
D2 =
n
1i
2ResponsePredictedResponseObserv ed
D2 =
n
1i
2kiki33i22i110i xb........xbxbxbby
Dengan Metode Kuadrat Terkecil, nilai D2 diturunkan terhadap
konstanta bo s/d bk dan diminimumkan (disamakan dengan nol),
sehingga dapat dicari nilai dari konstanta bo s/d bk.
42
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
Dirumuskan dalam bentuk matrik :
2kikii3kii2kii1ki
kii32
i3i3i2i3i1i3
kii2i3i22
i2i2i1i2
kii1i3i1i2i12
i1i1
kii3i2i1
x...xxxxxxx
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
xx...xxxxxx
xx...xxxxxx
xx...xxxxxx
x...xxxn
k
4
2
1
0
b.
.
b
b
b
b
=
iki
ii3
ii2
ii1
i
yx.
.
yx
yx
yx
y
Contoh kasus di bidang mesin :
Rumuskan persamaan empirik Parameter Pemotongan Proses Pembubutan Terhadap Gaya Pemotongan Material ST 42
Besarnya gaya pemotongan merupakan informasi yang
diperlukan dalam perencanaan mesin perkakas, karena itu merupakan
titik tolak setiap hitungan dan analisa mesin perkakas. Gaya
pemotongan yang bereaksi pada pahat dan benda kerja, yang
selanjutnya diteruskan pada bagian-bagian tertentu mesin perkakas, akan mengakibatkan lenturan. Meskipun lenturan itu kecil tapi
mungkin sudah cukup untuk menjadi penyebab kesalahan geometri
produk maupun sebagai sumber getaran yang dapat memperpendek
umur pahat. Gaya pemotongan teoritis telah dapat dirumuskan, tetapi
karena adanya penyederhanaan dan anggapan yang mendasari
penurunan rumus tersebut, maka tidak dapat dipakai dalam perencanaan proses pemesinan sesungguhnya. Sehingga masih
dibutuhkan suatu bentuk rumus empirik yang menggambarkan
hubungan antara gaya pemotongan dengan variabel-variabel dalam
proses pemesinan. Dengan menetapkan dan mengubah beberapa
variabel proses pemesinan (di eksperimen ini dilakukan pada variabel
a dan f) maka dapat dicari suatu korelasi berupa rumusan empirik
variabel proses a dan f terhadap gaya pemotongan . Variabel yang diukur terdiri dari :
1. Variabel Bebas (Independent Variable)
a) Kedalaman potong (a1 = 0,5 ; a2 = 0,1 ; a3 = 1,0 )
b) Kecepatan pemakanan (f1 = 0,05 ; f2 = 0,16 ; f3 = 0,20)
2. Variabel Terikat (Dependent Variable)
a) Variabel Utama, sebagai variabel yang menjadi pembahasan utama yaitu:
gaya pemotongan (Fv) (N)
b) Data pendukung
Diameter sebelum dan sesudah pemotongan (mm)
Putaran spindel tanpa beban dan dengan beban (rpm)
Waktu pemotongan sebenarnya (detik)
3. Parameter yang dikonstankan pada eksperimen ini adalah : a) Jenis material kerja (ST 42) dan pahat (Karbida).
b) Panjang pemotongan (L) = 30 mm.
43
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
c) Putaran spindel (n) = 494 rpm.
d) Posisi pemotongan Orthogonal (kr =90o).
Hasil eksperimen berupa besar Gaya Pemotongan (Fv) yang terjadi terhadap perubahan parameter a dan f dapat dilihat pada tabel
berikut:
a
(mm)
f (mm/put)
0.05 0.16 0.2
0.5 83.768 202.295 215.205
82.542 192.469 239.084
0.1 16.402 60.704 85.404
18.968 110.964 83.140
1 151.598 380.966 270.679
124.435 370.195 444.666
Model curve fitting yang dipilih adalah :
Fv = c1 ab1 fb2
Model non-linear dilinierisasi menjadi model linear dengan cara
di-log-kan sebagai berikut:
Log Fv = log c1 + b1 log a + b2 log f
Y = b0 + b1 X1 + b2 X2
No Fv a f Y = Log Fv
X1 = Log a
X2 = Log f
X12 X2
2 X1X2 X1Y X2Y
1 2
3
4 5
6
7 8
9
10
11 12
13
14 15
16
17 18
83.768 82.542
16.402
18.968 151.598
124.435
202.295 192.469
60.704
110.964
380.966 370.195
215.205
239.084 85.404
83.14
270.679 444.666
0.5 0.5
0.1
0.1 1
1
0.5 0.5
0.1
0.1
1 1
0.5
0.5 0.1
0.1
1 1
0.05 0.05
0.05
0.05 0.05
0.05
0.16 0.16
0.16
0.16
0.16 0.16
0.2
0.2 0.2
0.2
0.2 0.2
1.923 1.917
1.215
1.278 2.181
2.095
2.306 2.284
1.783
2.045
2.581 2.568
2.333
2.379 1.931
1.920
2.432 2.648
-0.301 -0.301
-1.000
-1.000 0.000
0.000
-0.301 -0.301
-1.000
-1.000
0.000 0.000
-0.301
-0.301 -1.000
-1.000
0.000 0.000
-1.301 -1.301
-1.301
-1.301 -1.301
-1.301
-0.796 -0.796
-0.796
-0.796
-0.796 -0.796
-0.699
-0.699 -0.699
-0.699
-0.699 -0.699
0.091 0.091
1.000
1.000 0.000
0.000
0.091 0.091
1.000
1.000
0.000 0.000
0.091
0.091 1.000
1.000
0.000 0.000
1.693 1.693
1.693
1.693 1.693
1.693
0.633 0.633
0.633
0.633
0.633 0.633
0.489
0.489 0.489
0.489
0.489 0.489
0.392 0.392
1.301
1.301 0.000
0.000
0.240 0.240
0.769
0.769
0.000 0.000
0.210
0.210 0.699
0.699
0.000 0.000
-0.579 -0.577
-1.215
-1.278 0.000
0.000
-0.694 -0.688
-1.783
-2.045
0.000 0.000
-0.702
-0.716 -1.931
-1.920
0.000 0.000
-2.502 -2.494
-1.581
-1.663 -2.837
-2.726
-1.835 -1.818
-1.419
-1.628
-2.054 -2.044
-1.631
-1.663 -1.350
-1.342
-1.700 -1.851
37.820 -7.806 -16.775 6.544 16.888 7.275 -14.129 -34.136
Dari tabel di atas akan didapatkan persamaan berikut ini:
18 b0 + -7.806 b1 + -16.775 b2 = 37.820
-7.806 b0 + 6.544 b1 + 7.275 b2 = -14.129 -16.775 b0 + 7.275 b1 + 16.888 b2 = -34.136
44
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
Dengan prosedur numerik Gauss-Siedel didapatkan :
b0 = 3.2375
b1 = 0.7193
b2 = 0.8847
Y = b0 + b1 X1 + b2 X2 = 3.2375 + 0.7193 X1 + 0.8847 X2
Karena model tersebut dilinearisasikan maka harus dikembalikan ke
model non linearnya yaitu meng-anti log-kan b0-nya.
sehingga c1 = Log-1 3.2375 = 1727.825
Maka : Fv = 1727,825 . a 0,7193 . f 0,8847
45
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
BAB VI. PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA
Persamaan differensial biasa dengan ordo n, merupakan persamaan
dengan satu perubah (variabel) yang dapat dituliskan dalam bentuk :
F(x, y, dx
dy,
2
2
dx
yd, ...... ,
n
n
dx
yd ) = 0
dengan y = f (x)
Penyelesaian persamaan differensial ordo satu dapat lebih dari
satu, sehingga untuk mencari penyelesaian yang unik atau khusus
memerlukan informasi tambahan berupa syarat batas.
Metode untuk penyelesaian Persamaan differensial biasa :
1. EULER’S METHOD
Deret taylor orde 1
Sangat sensitif terhadap besarnya “h”
yn = yn-1 + h . f ( xn-1,yn-1 ) ; n = 1,2, 3, ……
h = n
xxn 0
dengan : xn = nilai x yang ditanya nilai fungsinya.
x0 = nilai x awal.
n = bilangan bulat
2. MODIFIED EULER’S METHOD
Mengurangi kesalahan akibat pemilihan “h”
yn(k+1) = yn-1 +
2
h. ),(),(x
)(
1-n1-n
k
nn yxfyf
Dengan : yn(k) = yn-1 + h. f ( xn-1, yn-1)
k = 0,1,2,… dan n = 1,2, 3, ……
3. RUNGE-KUTTA METHOD
Deret taylor orde 4
Lebih teliti
43211 226
kkkkh
yy nn
dimana : k1 = f (xn, yn) k2 = f (xn+ 0,5h, yn+ 0,5 h . k1)
k3 = f (xn+ 0,5h, yn+ 0,5 h . k2)
k4 = f (xn + h, yn+ h . k3)
Contoh :
dx
dy= 3x2 + 5x + y ; y(1) = 1
Cari nilai y (1,2) dengan Metode Euler, Modified Euler dan Runge Kutta (pakai h = 0,1).
46
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
6.1. Euler’s Method
Dipilih h = 0.1
h = n
xxn 0 n =
h
xxn 0=
1.0
12,1 = 2
Dari data kondisi batas didapatkan x0 = 1 dan y0 = 1
Iterasi Pertama (n = 1)
y1 = y(1,1) = y0 + h. f (x0, y0)
= y0 + h (3 x02 + 5 . x0 + y0)
= 1 + (0,1) (3 . 12 + 5 . 1 + 1) = 1,9
Iterasi Kedua (n = 2)
y2 = y(1,2) = y1 + h. f (x1, y1)
= y1 + h (3 x12 + 5 . x1 + y1)
= 1,9 + (0,1) (3 . 1,12 + 5 . 1,1 + 1,9) = 3,003
Jadi penyelesaian kasus tersebut : y(1,2) = 3,003
6.2. Modified Euler’s Method
Dengan rumusan Euler’s Method
y1(0) = y0 + h. f ( x0, y0)
= y0 + h (3 x02 + 5 . x0 + y0)
= 1 + (0,1) (3 . 12 + 5 . 1 + 1) = 1,9
Proses iterasi dilakukan pada rumusan Modified Euler’s.
Iterasi Pertama (x1 = 1,1 dan k = 0) :
y1(1) = y0 +
2
h. ),(),(x
)0(
1100 yxfyf
= y0 + 2
h )x5x3()x5x3(
)0(
11
2
100
2
0 yy
= 1 + 2
1,0 )9,11,1.51,1.3()11.51 . (3 22
= 2,0015
Iterasi Kedua (x1 = 1,1 dan k = 1) :
y1(2) = y0 +
2
h. ),(),(x
)1(
1100 yxfyf
= y0 + 2
h )x5x3()x5x3(
)1(
11
2
100
2
0 yy
= 1 + 2
1,0 )0015,21,1.51,1.3()11.51 . (3 22
= 2,0066
47
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
Iterasi Ketiga (x1 = 1,1 dan k = 2) :
y1(3) = y0 +
2
h. ),(),(x
)2(
1100 yxfyf
= y0 + 2
h )x5x3()x5x3(
)2(
11
2
100
2
0 yy
= 1 + 2
1,0 )0066,21.1.51,1.3()11.51 . (3 22
= 2,0068
Iterasi Keempat (x1 = 1,1 dan k = 3) :
y1(4) = y0 +
2
h. ),(),(x
)3(
1100 yxfyf
= y0 + 2
h )x5x3()x5x3(
)3(
11
2
100
2
0 yy
= 1 + 2
1,0 )0068,21,1.51,1.3()11.51 . (3 2
= 2,0068
Karena hasil iterasi keempat dan iterasi ketiga (iterasi sebelumnya)
sama maka proses iterasi dihentikan dengan hasil harga y1 = 2,0068
y2
(0) = y1 + h. f ( x1, y1)
= y1 + h (3 x12 + 5 . x1 + y1)
= 2,0068 + (0,1) (3 . 1,12 + 5 . 1,1 + 2,0068) = 3,1205
Iterasi Pertama (x2 = 1,2 dan k = 0) :
y2(1) = y1 +
2
h. ),(),(x
)0(
2211 yxfyf
= y1 + 2
h )x5x3()x5x3(
)0(
22
2
211
2
1 yy
=2,0068+2
1,0 )1205,32,1.52,1.3()0068,21,1.51,1 . (3 22
= 3,2357
Iterasi Kedua (x2 = 1,2 dan k = 1) :
y2(2) = y1 +
2
h. ),(),(x
)1(
2211 yxfyf
= y1 + 2
h )x5x3()x5x3(
)1(
22
2
211
2
1 yy
=2,0068+2
1,0 )2357,32,1.52,1.3()0068,21,1.51,1 . (3 22
= 3,2414
48
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
Iterasi Ketiga (x2 = 0,1 dan k = 2) :
y2(3) = y1 +
2
h. ),(),(x
)2(
2211 yxfyf
= y1 + 2
h )x5x3()x5x3(
)2(
22
2
211
2
1 yy
=2,0068+2
1,0 )2414,32,1.52,1.3()0068,21,1.51,1 . (3 22
= 3,2417
Iterasi Keempat (x2 = 0,1 dan k = 3) :
y1(4) = y0 +
2
h. ),(),(x
)3(
2211 yxfyf
= y1 + 2
h )x5x3()x5x3(
)3(
22
2
211
2
1 yy
=2,0068+2
1,0 )2417,32,1.52,1.3()0068,21,1.51,1 . (3 22
= 3,2417
Hasil iterasi keempat dan iterasi sebelumnya yaitu iterasi ketiga sama
maka proses iterasi dihentikan dengan hasil harga y2 = 3,2417
Jadi penyelesaian kasus tersebut : y(1,2) = 3,2417
6.3. Runge-Kutta Method
Dipilih h = 0,1
Iterasi Pertama ( y1 = y(1,1) )
x0 = 1 ; y0 = 1
k1 = f (x0, y0) = (3 x02 + 5 . x0 + y0) = (3 . 12 + 5 . 1 + 1) = 9
k2 = f (x0+ 0,5h, y0+ 0,5 h . k1)
= 3 (x0+ 0,5h)2 + 5 . (x0+ 0,5h) + (y0+ 0,5 h . k1)
= 3 (1+ 0,5 . 0,1)2 + 5 . (1+ 0,5 . 0,1) + (1+ 0,5 . 0,1 . 9)
= 10,0075 k3 = f (x0+ 0,5h, y0+ 0,5 h . k2)
= 3 (x0+ 0,5h)2 + 5 . (x0+ 0,5h) + (y0+ 0,5 h . k2)
= 3 (1+ 0,5 . 0,1)2 + 5 . (1+ 0,5 . 0,1) + (1+ 0,5 . 0,1 . 10,0075)
= 10,0579
k4 = f (x0 + h, y0+ h . k3)
= 3 (x0+ h)2 + 5 . (x0+ h) + (y0+ h . k3)
= 3 (1+ 0,1)2 + 5 . (1+ 0,1) + (1+ 0,1 . 10,0579) = 11,1358
432101 226
kkkkh
yy
49
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
= 1 +6
1,0(9+ (2 . 10,0075) + (2 . 10,0579) + 11,1358)
= 2,0044
Iterasi kedua ( y2 = y(1,2) )
x1 = 1,1 ; y1 = 2,0044
k1 = f (x1, y1) =(3 x12 + 5 . x1 + y1) = (3 . 1,12 + 5 . 1,1 + 2,0044)
= 11,1344
k2 = f (x1+ 0,5h, y1+ 0,5 h . k1)
= 3 (x1+ 0,5h)2 + 5 . (x1+ 0,5h) + (y1+ 0,5 h . k1)
= 3 (1,1+0,5.0,1)2 + 5.(1,1+0,5.0,1) + (2,0044+0,5.0,1.11,1344) = 12,2787
k3 = f (x1 + 0,5h, y1 + 0,5 h . k2)
= 3 (x1+ 0,5h)2 + 5 . (x1+ 0,5h) + (y1+ 0,5 h . k2)
= 3 (1,1+0,5.0,1)2 + 5.(1,1+0,5.0,1) + (2,0044+0,5.0,1.12,2787)
= 12,3359
k4 = f (x1 + h, y1+ h . k3)
= 3 (x1+ h)2 + 5 . (x1+ h) + (y1+ h . k3) = 3 (1,1+ 0,1)2 + 5 . (1,1+ 0,1) + (2,0044+ 0,1 . 12,3359)
= 13,5580
432112 226
kkkkh
yy
= 2,0044 +6
1,0(11,1344+(2. 12,2787)+(2. 12,3359)+13,5580)
= 3,2356
50
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
BAB VII. PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL
Formulasi matematik dari kebanyakan permasalahan dalam ilmu
pengetahuan dan teknologi dapat dipresentasikan dalam bentuk
persamaan differensial parsial. Persamaan tersebut merupakan laju perubahan terhadap dua atau lebih variable bebas yang biasanya
adalah waktu dan jarak (ruang).
Persamaan differensial dapat dibedakan menjadi tiga jenis yaitu :
A. Persamaan Differensial Parabolik Biasanya merupakan persamaan yang tergantung pada waktu
(tidak permanen) dan penyelesaiannya memerlukan kondisi awal
dan batas. Persamaan parabolik paling sederhana adalah
perambatan panas.
2x
T2K
tT
Penyelesaian dari persamaan di atas adalah mencari temperatur T
untuk nilai x pada setiap waktu t.
B. Persamaan Differensial Eliptik Biasanya berhubungan dengan masalah kesetimbangan atau
kondisi permanen (tidak tergantung waktu) dan penyelesaiannya
memerlukan kondisi batas di sekeliling daerah tinjauan. Seperti
aliran air tanah di bawah bendungan dan karena adanya
pemompaan, defleksi plat akibat pembebanan, dsb.
02y
2
2x
2
C. Persamaan Differensial Hiperbolik Biasanya berhubungan dengan getaran atau permasalahan dimana
terjadi diskontinue dalam waktu, seperti gelombang kejut yang
terjadi discontinue dalam kecepatan, tekanan dan rapat massa.
2x
U22C
2t
U2
51
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
7.1. Penyelesaian Persamaan Parabolik dengan Skema Eksplisit
2x
T2K
tT
……………. (7.1)
dengan : T = temperatur
K = koefisien konduktivitas
t = waktu
x = jarak
Pada skema eksplisit, variabel pada waktu n+1 dihitung
berdasarkan variabel pada waktu n yang sudah diketahui. Dengan menggunakan skema seperti di bawah ini, fungsi f(x,t) dan turunannya
dalam ruang dan waktu didekati oleh bentuk berikut :
f (x, t) = fi n
t
)t,x(f
=
t
ffni
1ni
2
2
t
)t,x(f
=
2
n1i
ni
n1i
t
ff2f
Dari skema di atas, persamaan (7.1) dapat ditulis dalam bentuk
berikut :
t
TTni
1ni
= Ki 2
n1i
ni
n1i
x
TT2T
atau
1n
iT
= n1i
ni
n1i2i
ni TT2T
x
tKT
………… (7.2)
n
n +1
i i - 1 i + 1
52
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
Stabilitas Skema Eksplisit
Dalam skema eksplisit, niT tergantung pada tiga titik
sebelumnya yaitu: 1n
1iT
, 1n
iT dan 1n
1iT
. Keadaan ini dapat menyebabkan
ketidakstabilan dari skema tersebut, yang berupa terjadinya
amplifikasi hasil hitungan dari kondisi awal. Agar stabil dibutuhkan suatu syarat yaitu :
0 < < 1/2 dengan = 2x
t
Contoh:
Dimana : k = 1
x = 0,1
t = 0,001
= 2x
t
=
21,0
001,0 = 0,1 < 0,5 (stabil)
Syarat batas : pada t = 0 T = 2x ; 0 x ½ L
dan T = 2(1-x) ; ½ L x L pada semua t untuk x = 0 T = 0
Dengan menggunakan persamaan (6.2), hitungan dilakukan dari
i = 2 sampai dengan 5 dan dari n = 1 sampai waktu yang dikehendaki
(N).
Untuk n = 1 dan i bergerak dari i = 2 sampai i = 6,
1
2T = 0,2 + 1 . 0,1 . (0 – 2 . 0,2 + 0,4) = 0,2
1
3T = 0,4 + 1 . 0,1 . (0,2 – 2 . 0,4 + 0,6) = 0,4 1
4T = 0,6 + 1 . 0,1 . (0,4 – 2 . 0,6 + 0,8) = 0,6
15T = 0,8 + 1 . 0,1 . (0,6 – 2 . 0,8 + 1) = 0,8
16T = 1 + 1 . 0,1 . (0,8 – 2 . 1 + 0,8) = 0,96
untuk n = 2 dan i bergerak dari i =2 sampai i = 6,
22T = 0,2 + 1 . 0,1 . (0 – 2 . 0,2 + 0,4) = 0,2
23T = 0,4 + 1 . 0,1 . (0,2 – 2 . 0,4 + 0,6) = 0,4
24T = 0,6 + 1 . 0,1 . (0,4 – 2 . 0,6 + 0,8) = 0,6
25T = 0,8 + 1 . 0,1 . (0,6 – 2 . 0,8 + 0,96) = 0,796
26T = 0,96 + 1 . 0,1 . (0,8 – 2 . 0,96 + 0,8) = 0,928
L = 1 m
53
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
Demikian perhitungan terus dilanjutkan s/d waktu yang dikehendaki
(N).
Tabel hasil skema eksplisit
i = 1 2 3 4 5 6 7 x = 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
t = 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.8
t = 0,001 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.96 0.8
t = 0,002 0 0.2 0.4 0.6 0.796 0.928 0.796
t = 0,003 0 0.2 0.4 0.5996 0.7896 0.9016 0.7896 . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
t = N N N N N N N N
7.2. Penyelesaian Persamaan Parabolik dengan Skema Implisit
Dalam skema eksplisit, ruas kanan dari persamaan ditulis pada waktu n yang nilainya sudah diketahui. Sedangkan pada skema
implisit, ruas kanan tersebut ditulis pada waktu n+1 di mana nilainya
belum diketahui.
Gambar di bawah ini menunjukkan jaringan titik simpul dari skema
implisit. Dengan menggunakan skema tersebut, fungsi f(x,t) dan
turunannya dalam ruang waktu didekati oleh bentuk berikut ini.
n
n + 1
i i - 1 i + 1
2
1n1i
1ni
1n1i
2
2
1n1i
1n1i
ni
1ni
1ni
ni
xΔ
ff2f
x
t)f(x,
xΔ2
ff
x
t)f(x,
tΔ
ff
t
t)f(x,
fatauft)(x,f
54
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
B1 C1 0 0 0 . . . . . . . . . 0 T1 D1
A2 B2 C2 0 0 . . . . . . . . . 0 T2 D2
0 A3 B3 C3 0 . . . . . . . . . 0 T3 D3
0 0 A4 B4 C4 . . . . . . . . . 0 T4 D4
. . . . . . . . . . . . . . 0 . = .
. . . . . . . . . . . . . . 0 . .
0 0 0 0 0 . . . . . . AM BM TM DM
Dengan menggunakan skema di atas, maka dapat dibentuk persamaan
dalam bentuk beda hingga :
Apabila persamaan (7.3) ditulis untuk setiap titik hitungan dari i
= 1 sampai M maka akan terbentuk suatu sisten persamaan linier yang
dapat diselesaikan dengan menggunakan metode matriks.
Untuk :
Untuk penyederhanaan penulisan, variabel Tin+1 ditulis Ti (tanpa
menulis n+1). Persamaan di atas dalam bentuk matrik menjadi :
tΔ
TT
xΔ
KT)
xΔ
K2
tΔ
1(T
xΔ
K
tΔ
TT
xΔ
KT
xΔ
K2T
xΔ
KT
tΔ
1
xΔ
TT2TK
tΔ
TT
ni1n
1i2i1n
i2i1n
1i2i
ni1n
1i2i1n
i2i1n
1i2i1n
i
2
1n1i
1ni
1n1i
i
ni
1ni
i = 1 → A1T 0 + B1T1 + C1T2 = D1
i = 2 → A2T 1 + B2T2 + C2T3 = D2
i = 3 → A3T 2 + B3T3 + C3T4 = D3
i = 4 → A4T 3 + B4T4 + C4T5 = D4
.
.
i = M → AMTM-1 + BMTM + CMTM+1 = DM
tΔ
TD;)
xΔ
K2
tΔ
1(B
xΔ
KC;
xΔ
KA
dengan
)3.6(..........DT.CT.BT.A
atau
ni
i2i
i
2i
i2i
i
i1n
1ii1n
ii1n
1ii
55
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan metode
penyelesaian persamaan serentak untuk mendapatkan nilai Ti (i
=1........M).
Penyelesaian dengan menggunakan skema implisit lebih sulit
dibanding dengan skema eksplisit. Kelebihan dari skema implisit
adalah skema tersebut stabil tanpa syarat, langkah waktu Δt dapat
diambil sembarang (besar) tanpa menimbulkan kesalahan pemotongan
dalam batas-batas yang dapat diterima.
7.3. Penyelesaian Persamaan Eliptik
Penyelesaian dilakukan dengan mendiskretisasi suatu
persamaan differensial parsial eliptik dengan kondisi batas untuk dapat
ditransformasikan ke dalam suatu sistem dari N persamaan dengan N bilangan anu.
Penyelesaian persamaan eliptik dilakukan dengan langkah-
langkah berikut ini.
1. Membuat jaringan titik simpul di dalam seluruh bidang yang
ditinjau dan batas-batasnya.
2. Pada setiap titik dalam bidang tersebut dibuat turunan-
turunannya dalam bentuk beda hingga. 3. Ditulis nilai-nilai fungsi pada semua titik di batas keliling bidang
dengan memperhatikan kondisi batas.
Dari persamaan bentuk eliptik berikut :
02y
2
2x
2
Sehingga :
0y
2
x
2
2
1j,ij,i1j,i
2
j,1ij,ij,1i
Untuk x = y, maka persamaan di atas menjadi :
04 1j,i1j,ij,1ij,1ij,i
56
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
Contoh Soal :
Determine the steady state temperature of the following plate
using α = 1 and Δx = 1 ft.
Jawab :
☺ Node 1 ☺ Node 3
Tb
Td
Tc Ta
1 3 5
2 4 6
-4
1
1
1 1
10 + 40 - 4 T1 + T2 + T3 = 0
Ta = 10°F
Tb = 40°F
Td = 20°F
Tc = 0°F
y
x
4 ft
3 ft
1 3 5
2 4 6 Ta = 10°F
Tb = 40°F
Td = 20°F
Tc = 0°F
1 3 5
2 4 6
-4
1
1
1 1
40 + T1 - 4 T3 + T4 + T5 = 0
Tb
Td
Tc Ta
57
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
☺ Node 2 ☺ Node 4
☺ Node 5 ☺ Node 6
Sehingga hasil persamaan-persamaan tersebut dapat dibentuk dalam suatu matrik :
1 3 5
2 4 6 -4
1
1
1 1
10 + 20 + T1 -4 T2 + T4 = 0
Tb
Td
Tc Ta
1 3 5
2 4 6 -4
1
1
1 1
20 + T2 + T3 -4 T4 + T6 = 0
Tb
Td
Tc Ta
1 3 5
2 4 6
-4
1
1
1 1
40 + T3 -4 T5 + T6 = 0
1 3 5
2 4 6
-4
1
1
1 1
Tb
Td
Tc Ta
1 3 5
2 4 6 -4
1
1
1 1
20 + T4 + T5 - 4 T6 = 0
Tb
Td
Tc Ta
-4 1 1 0 0 0 T1 -50
1 -4 0 1 0 0 T2 -30
1 0 -4 1 1 0 T3 -40
0 1 1 -4 0 1 T4 -20
0 0 1 0 -4 1 T5 -40
0 0 0 1 1 -4 T6 -20
= .
T1 = 23,561 °F
T2 = 18,344 °F
T3 = 25,901 °F
T4 = 19,814 °F
T5 = 20,228 °F
T6 = 15,010 °F
58
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
BAB VIII. INTEGRASI NUMERIK Metode Gauss Quadrature merupakan salah satu metode integrasi
numerik yang paling dapat diterima dan dipakai secara intensif untuk
menyelesaikan integrasi matrik kekakuan di Metode Elemen Hingga pada
elemen jenis isoparametrik. Dibandingkan dengan metode Trapezoid
yang hanya terbatas pada penggunaan dengan infromasi data yang equispaced, maka metode Gauss Quadrature lebih luas penggunaannya
pada penyelesaian fungsi yang non-equispaced dan memiliki keakuratan
lebih tinggi.
Rumusan Gauss Quadrature mengubah batas integral dari suatu batas
(misal a s/d b) menjadi -1 s/d +1. Formula dasarnya adalah merupakan penjumlahan dari perkalian koefisien berat dan harga dari fungsi pada
sampling points.
I = b
a
dx)x(f =
n
1kkk )x(fW
Dengan : Wk = Koefisien berat (Weighting Coeff.)
xk = sampling (Gauss) point
untuk menentukan Koefisien berat (Weighting Coeff.) dilakukan
dengan prosedur memindah batas integral dari a s/d b menjadi -1 s/d
+1.
Tabel Gauss Quadrature
Polinomial
Degree
Jumlah
Point
Sampling (Gauss)
Point
Koefisien Berat
1 1 x1 = 0 W1 = 2
3 2 x1 = - 0.5773503 W1 = 1
x2 = 0.5773503 W2 = 1
= 5 3 x1 = - 0.7745967 W1 = 0.5555556
x2 = 0 W1 = 0.8888889
x3 = 0.7745967 W2 = 0.5555556
59
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
Persamaan matrik kekakuan untuk elemen segiempat isoparametrik
dapat ditulis sebagai berikut:
= W1W1 [B(s1, t1)]T [C] [B(s1, t1)] |J(s1, t1)|
+ W1W2 [B(s1, t2)]T [C] [B(s1, t2)] |J(s1, t2)|
+ W2W1 [B(s2, t1)]T [C] [B(s2, t1)] |J(s2, t1)|
+ W2W2 [B(s2, t2)]T [C] [B(s2, t2)] |J(s2, t2)|
Dengan asumsi polynomial degree yang dipakai 3 dan sampling point
2 maka digunakan harga :
s1 = t1 = -0,577 s2 = t2 = 0,577
W1 = W2 = 1
Hitung I = dydxxy
2
0
2
0
22
dengan Gauss Quadrature (point n = 2)
*A
TT J [B][C][B]hdYdX [B][C][B]][ dtdshkA
60
Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012
DAFTAR PUSTAKA
Abd. Munif, (1995), Cara Praktis Penguasaan dan Penggunaan
Metode Numerik, Guna Wijaya, Jakarta.
Chapra, Steven C., (1991), Metode Numerik, Erlangga, Jakarta.
Soehardjo (1985), Analisa Numerik, ITS, Surabaya.
Triatmodjo, Bambang, (1995), Metode Numerik, Beta Offset,
Yogyakarta.
top related