balotario de estadistica
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BALOTARIO DE BIOESTADISTICA
1. El gobierno desea averiguar si el número medio de hijos por familia ha descendido respecto de la década anterior. Para
ello ha encuestado a 50 familias respecto al número de hijos, y ha obtenido los siguientes datos:
0 0 1 1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 4 4 4 4 4 4 5 6
Se pide:
a) Construir una tabla de distribución de frecuencias absolutas.
b) ¿Cuál es el número de familias que tiene como máximo dos hijos?
c) ¿Cuántas familias tienen más de 1 hijo pero como máximo 3?
d) ¿Qué porcentaje de familias tiene más de 3 hijos?
Solución:
a) Variable: Número de hijos (discreta)
Dato estadístico: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
b) 27272142 2321 Fófff
c) 36642361521 2443 FFóff
d) ,16,02,02,012,0765 hhh
ix if iF ih iH
0 1 2 3 4 5 6
2 4 21 15 6 1 1
2 6 27 42 48 49 50
0,04 0,08 0,42 0,30 0,12 0,08 0,02
0,04 0,12 0,54 0,84 0,96 0,98 1,00
n=50 00,1ih
2. Los siguientes datos muestran los costos de producción de un determinado artículo
en 65 centros de producción:
487,7 457,2 473,3 475,0 487,2 450,0
511,4 513,0 486,7 452,6 496,7 489,2
448,9 474,7 517,2 488,5 436,8 465,6
514,7 512,6 524,3 462,4 525,6 478,7
513,0 445,7 489,4 484,2 467,2 476,7
477,8 453,4 466,7 505,7 466,8 495,2
503,2 492,3 508,7 439,6 499,7 461,2
438,7 471,7 469,5 482,3 478,3 510,8
483,5 481,2 487,4 457,8 471,2 500,7
468,3 455,6 477,9 493,2 459,3 499,2
471,7 479,2 512,7 483,4 462,0
Elabore una tabla de distribución de frecuencias.
Solución
Para elaborar una tabla de distribución de frecuencias agrupadas, se debe seguir los
siguientes pasos:
i) Cálculo de rengo o recorrido (R): Es la diferencia numérica que hay entre el
dato mayor y el dato menor:
MínMáx XXR
R= 525,6-436,8
R= 88,8
ii) Elección del número de intervalo de clase (NC): Es el número de intervalos en
el que se va a dividir la información.
a) (Regla de Sturges)
NC=1+3,3Logn
Donde n = total de datos de la muestra
Nc=1+3,3log(65)
NC = 1+3,3(1,812913357)
NC =1+5,982614077=6,982614077(se aproxima al entero)
Nc=7 (intervalos de clase)
i) Determinación del tamaño o amplitud de un intervalo de clase (C):
Cuando no se conoce los límites de un intervalo, la amplitud es igual al
cociente del rango entre el número de intervalos de clase:
NC
RC
7,127
8,88C
ii) Formación de los intervalos de clase(LI-LS): Formar los intervalos de
clase, significa hallar los limites inferior y superior de cada intervalo, y para
ello se parte del dato menor y se le suma la amplitud del intervalo de la
siguiente manera:
Limites nominales
LI-LS
Conteo
fj
Fi hi%
436,8-449,4
449,5-462,1
462,2-474,8
474,9-487,5
487,6-500,2
500,3-512,9
513,0-525,6
IIII
IIII IIII
IIII IIII II
IIII IIII IIII
IIII IIII
IIII III
IIII I
5
9
12
15
10
8
6
5
14
26
41
51
59
65
7,69
13,85
18,46
23,08
15,38
12,31
9,23
65jf
3. Supongamos que una empresa ha obtenido durante los primeros seis meses las
siguientes cifras de ventas:
Enero : S/. 240 640 Abril : 320 560
Febrero : 260 600 Mayo : 360 850
Marzo : 285 700 Junio : 385 800
Hallar el promedio aritmético.
Solución:
6
800385850360560320700285600260640240 X
X = S/. 309 025
4. Determinar el número promedio de trabajadores por empresa:
Solución
Luego: n
xf
X
n
i
ii 1
Número de trabajadores
xi
Número de empresas
fj
2 3 4 5 6
1 4 7 5 3
n=20
xi fi fjxj
2 3 4 5 6
1 4 7 5 3
2 12 28 25 18
n=20
5
1
85j
jj xf
425,420
85X Trabajadores por empresa
5. Determine la moda en las series:
1) 6 8 6 9 10 3 6 3
2) 12 15 16 18 23 26
3) 5 6 7 7 7 8 9 9 9 10
Solución
(1) 6 8 6 9 10 3 6 3
Luego M0=6, es una distribución unimodal
(2) 12 15 16 18 23 26
No moda, la distribución de este tipo se llama uniforme
(3) 5 6 7 7 7 8 9 9 9 10
Xi fi
3
6
8
9
10
2
3
1
1
1
xi fi
12
15
16
18
23
26
1
1
1
1
1
1
Luego:
M`0=7; M´´0=9 , es una distribución bimodal
6. Considerando la distribución de frecuencias de la siguiente tabla:
Sueldos (soles) Número de trabajadores
90-119
120-149
150-179
180-209
210-239
240-269
270-299
11
13
20
17
15
3
1
Total n=80
Calcular el valor modal, moda o sueldo más frecuente en los 80 trabajadores.
Solución
CLiM
21
10
Clase modelo (III Clase)
Li=150
1 =20-13=7
2 =20-17=3
C=30
xi fi
5
6
7
8
9
10
1
1
3
1
3
1
Mo =150+30 171/37
7S
7. Hallar la mediana de los valores: 4, 1, 4, 8, 5, 6, 9
Solución
Ordenando los datos en forma ascendente:
1 4 4 5 6 8 9
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
Md=5
8. Si los sueldos de 8 trabajadores, ya ordenados son:
S/ 323, 425, 428, 432, 440, 445, 500,510 (n=8)
Entonces el valor de la mediana es:
SOLUCION
2
440432 Md
436/2
872SMd
9. Calcular el sueldo mediano correspondiente a los 80 trabajadores de la distribución de
frecuencias de la siguiente tabla:
Sueldos fj Fi
90-119
120-149
150-179
180-209
210-239
240-269
270-299
11
13
20
17
15
3
1
11
24
44
61
76
79
80
80
Solución
Cfm
mFn
LiMdi
1
2
i) Calcular la posición de la Md:
402
80
2
n (III clase) y se ubica en Fi
ii) Li= 150
Fi-1m=24
fm=17
C=30
iii) Remplazando los valores en la fórmula:
Md = 150+30
20
2440=s/. 178
10. Dada la siguiente distribución determinar los cuartiles Q1 y Q3
CLASES NOMINALES LI – LS
fj Fi
207,4-220,0
220,1-232,7
232,8-245,4
245,5-258,1
258,2-270,8
270,9-283,5
283,6-296,2
19
22
25
27
20
18
15
19
41
66
93
113
131
146
146
Solución
i) Determinación del Q1:
CfQ
QFn
LiQi
1
11
14
)(1
Posición del Q1: 5,364
146
4
n en fa (II clase)
7,1222
195,361,2201
Q
7,1222
59,171,2201
Q
20,23010,101,2201 Q
ii) Determinación del Q3:
CfQ
QFn
LiQi
3
31
34
)(3
Posición del Q3 : 5,1094
)146(3
4
3
n en fa (V clase)
7,1220
935,1092,2583
Q
68,2684775,102,2583 Q
11. Dada la siguiente distribución determinar los cuartiles D7
CLASES NOMINALES LI – LS
fj Fi
207,4-220,0
220,1-232,7
232,8-245,4
245,5-258,1
258,2-270,8
270,9-283,5
283,6-296,2
19
22
25
27
20
18
15
19
41
66
93
113
131
146
146
SOLUCION:
CfD
DFn
LiDi
7
71
7
10
7
Posición del D7: 2,10210
)146(7
10
7
n en fa (V clase)
04,2647,1220
932,1022,2587
D
12. La siguiente tabla muestra la distribución de salarios de 65 empleados de cierta
compañía (año 2012)
SALARIOS (En miles de soles)
NÚMERO DE EMPLEADOS
Fi
50-59 60-69 70-79 80-89 90-99
100-109 110-119
8 10 16 14 10 5 2
8 18 34 48 58 63 65
TOTAL 65
Calcular P99
Solución
CfP
PFkn
LiPi
99
991
99
100
Posición del P1: 35,64100
)65(99
100
99
n en fa (VII clase)
102
6335,6411099
P
102
35,111099
P
75,11675,611099 P
13. Un ama compara los precios de las chuletas de cerdo en carnicerías de diferentes
mercados de Ica. Observa los siguientes precios por kilogramo: (en nuevos soles, caso
hipotético)
5,6 6,5 4,8 7,3 6,3
Se pide encontrar la varianza.
Solución
1,65
5,30
5
3,63,78,45,66,5
X
5
)1,63,6()1,63,7()1,68,4()1,65,6()1,66,5( 222222 S
5
)2,0()2,1()3,1()4,0()5,0( 222222 S
72,05
58,3
5
04,044,169,116,025,02
S
14. Calcular la varianza de los sueldos de 80 trabajadores, de la tabla:
SOLUCION:
La varianza para datos agrupados: Se define por:
n
XXf
S
n
j
jj
2
12
)(
36,190380
80,1522682 S
Sueldos fi
90-119
120-149
150-179
180-209
210-239
240-269
270-299
11
13
20
17
15
3
1
n=80
Sueldos Xj fi fi Xj (xj- X ) (xj- X )2 fj(xj- X )2
90-119
120-149
150-179
180-209
210-239
240-269
270-299
104,5
134,5
164,5
194,5
224,5
254,5
284,5
11
13
20
17
15
3
1
1149,5
1748,5
3290,0
3306,5
3367,5
763,5
284,5
-69,4
-39,4
-9,4
20,6
50,6
80,6
110,6
4816,36
1552,36
88,36
424,36
2560,36
6496,36
12232,36
52979,96
20180,68
1767,20
7214,12
38405,4
19489,08
12232,36
n=80 13910,0 152268,80
15. Calcular la desviación típica de un trabajador que tuvo las siguientes tardanzas
durante los meses de Enero a Agosto: 10, 10, 8, 10, 10, 12, 10, 10
Solución
(i) Para datos no agrupados: Se definen por:
n
Xx
S
n
i
i
1
2)(
108
80X
118
8S
16. Sea el experimento aleatorio: “Lanzar dos dados simultáneamente’’. Describa el evento A:
’’La suma total en los dados no excede a 6’’
Solución:
Sea el experimento: ‘’Lanzar dos dados simultáneamente’’
Xi (xi- X ) (xi- X )2
10
10
8
10
10
12
10
10
0
0
-2
0
0
2
0
0
0
0
4
0
0
4
0
0
80 xi
8)( 2 Xxi
2do dado
1er dado 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
6,6,...,3,1,2,1,1,1 S
Luego:
6/, yxSyxA
1,5,2,4,1,4,3,3,2,3,1,3,4,2,3,2,2,2,1,2,5,1,4,1,3,1,2,1,1,1
17. Hallar la probabilidad de obtener cara en el lanzamiento de una moneda.
Solución:
i) Sea el experimento: ‘’Lanzar una moneda’’.
ii) Sea el espacio muestral:
S={𝑐, 𝑠}, n(S)=2
iii) Sea el evento:
A={𝑐}, n(A)=1
iv) Cálculo de la probabilidad
2
1
)(
)()(
Bn
AnAP
%505,0 AP
18. Hallar la probabilidad de obtener el número 2 en el lanzamiento de un dado.
Solución:
i) Sea el experimento: ‘’Lanzar un dado’’
ii) Sea el espacio muestral:
6,6,5,4,3,2,1 snS
iii) Sea el evento
A={Obtener el número 2}, 1An
iv) Cálculo de la probabilidad
6
1
Sn
AnAP
%1717,0 AP
19. Una urna contiene 30 bolas coloreadas distribuidas así: 8 bolas blancas, 12 bolas negras y 10
bolas rojas. Calcular la probabilidad de que al extraer una bola, sea:
A) Negra o blanca
B) Blanca o roja
C) No sea roja
Solución:
i) Sea el experimento: ‘’Extraer una bola al azar’’
ii) Espacio muestral:
30,,...,,,,...,,..., 10211221821 snrrrnnnbbbS
iii) Definición de eventos
B: Sacar bola blanca, 8Bn
:N Sacar bola negra, 12Nn
R: Sacar bola roja, 10Rn
iv) Cálculo de probabilidades de los eventos:
30
8)( BP
30
12NP
30
10RP
a) 3
2
30
20
30
8
30
12 BPNPBNP
b) 5
3
30
18
30
10
30
8 RPBPRBP
c) 3
2
30
20
30
1030
30
1011
RPRP
20. Se extraen cinco cartas de una baraja de 52 cartas. Hallar la probabilidad de extraer:
a) 4 ases
b) 4 ases y un rey
Solución:
i) Sea experimento: ‘’Extraer 5 cartas de una baraja de 52’’
ii) Sea el espacio muestral ..........S
5
52
r
n
!4712345
!474849505152
!47!5
5252
5xxxxx
xxxxxCSn
2598960Sn
iii) Sean los eventos:
M: Extraer 4 ases y una carta cualquiera
A: Extraer 4 ases, 14
4 CAn
B: Extraer una carta cualquiera; 4848
1 CBn
48481. xBnAnMn
N: Extraer 4 ases y un rey
C: Extraer 4 ases, 14
4 CCn
D: Extraer 1 rey, 44
1 CDn
441. DnCnNn
iv) Cálculo de la probabilidad
a) 14554
1
9605982
48MP
740649
1
9605982
4NP
21. La siguiente tabla presenta los puntajes de quince trabajadores, correspondiente a dos Test para
selección de personal en las áreas de Personalidad (X) y Aptitud (Y):
Calcular el coeficiente de correlación por el método de Pearson
SOLUCION:
Fórmula de Pearson
2222
.
YYnXXn
YXYXnr
TRABAJADORES X Y
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
Ñ
19
12
15
13
17
07
11
15
09
10
14
18
15
12
08
18
15
12
15
11
18
15
13
16
16
14
19
11
15
17
n=15 195X 225Y
Reemplazando:
22 )225)(3461(15)195()2717(15
)225)(195()2893(15
r
)1290)(2730(
480
)5062551915)(3802540755(
4387543395
r
2558,062,1876
480
3521700
480
r
Luego:
El valor de la correlación de esta distribución es -0,2558, que de acuerdo a la escala
de valores, la correlación es baja y negativa.
TRABAJADORES X Y X.Y X2 Y2
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
Ñ
19
12
15
13
17
07
11
15
09
10
14
18
15
12
08
18
15
12
15
11
18
15
13
16
16
14
19
11
15
17
342
180
180
195
187
126
165
195
144
160
196
342
165
180
136
361
144
225
169
289
49
121
225
81
100
196
324
225
144
64
324
225
144
225
121
324
225
169
256
256
196
361
121
225
289
n=15 195X 225Y 2893XY 27172X 34612Y
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