barbu ecuatii diferentiale

Am redaclat anastd luctore auind PrezNrl't in ,ninte

Japtul cd amaliilc diferenliale ret'rezintd, de faft,urr ctr pitol tle ntatcm.alicd aplicatd ;i, cea tnai tnate'parte dintrc ele, t'rottin tlitt, frocesul' de model'arc mate-

ntaticd a unor ftnomtne din nafurd;i societqte. Am cirt-

tat sd oferim cititorului cit mai multe &sem(,nett txrm'

t'te ;i at'l iralii, i lt ' sferatqa cti ele r.tor tre:i int*csttlsi tol constitui o motitalie pukrnicd pentrt slud,iul

teoriei. Un nuntdr tle excrcili i ;i lrobleme, &tit teoretice;it ,i a'llicatiae, ttc cliJicultdli tarittte, au fost plo|use

sprc re;olaare cititorului iftteles&l la sfir;itul fiecdru'icapitol,.

N efiinrl utt tuatat proPli -zis gi |n dorinla de a

mtgtline dimensiune(. acestei cdrli in limite reztttabilt,

orr. -fost omise, ct bund ;tiinld, o serie de frobleme.-$itetne care, de reguld, se gisesc itL te ele clasice co1l'sacrdteecuali'ilor diJcrtnliale ardittave. Unele dintrc &ceslea,

cum ar fi dc exemltrtt: sistelne diJerufiiale periodice,

solulii Carat'heodor)', ecualii diJerenliale cu argNtmenttntrinint, ecualii difercnliale Pe Mvietili, lrobleme de tif

Slurn Liouuill,e tor trcbui, fdrd indoiald, stldiqtc thtr-o

etafd 'titerioard dc cititorul dornic sti sc fcrJecliorte:c.I)c dltfel, bibliogralit conline titlurile mai mullor nnno'grafii ;i tratqtt nnitcrsitare excelente catc lot srtplini

aceste omisittni ;i cotnpldeazd aLrlta sttb cliterse

&s p.ct.,In htcheiere a5 dori sd mullttmesc caltgilor, conf. dt.

)iitola.e I.rtca ;i dr. Clt. Iloropanu, ca/e au citrt

matntscristrl actstei cirli ;i au' t'dctrt ohsertalii ferti-,ttnte., de care aln linrlt staltta.

AU TONLi L

dectr b/ ie 1932

IINELE NOTATII UTILIZATE FRECVENT

1i mul!inr ea_numerelor realc,/ , . . 10, +oof , 1?+: i0 , +col .r - nrul(imca nuilerelor complexci,' - sDatiul liniar dc dimensiunc ,? peste corpul

riu:Lntificator universal (oricare ar fi), i ' i . r n t i f i c a t o r e x i s t e n ! i a l ( e x i s r i )

' i t l ro , luru l scalar et rc l i t l ian in 1 l '- i tor ma errc l id ian i in R'

1n. I - norma spaliului Ii" de{init:! de formuia 1 1. \ n c x a I

,1 "r ' t i ) - c lc r i va ta a , I ( / )

n t/ 1 r) :, 0(/) inseamnr-t

a functiei -r ' : R+]lo

I im f(r) ir =.. 0

C U P R I N S

Pfefal:! \r

Un.r lc r lota l i i Dl i l i?ate I rcc ' rcnt . . , VI I

{ rfdtolu! I INTRODU CERE

{ L No}hrea d6 ecuatie difelenliallt. 1- { 2. Metod€ elomentarc de integrare a €cuatiilor diteretr}ialo 6, ( 3. Llodelo. matematice reprezentate prin ecuatii dilereofiale 74. 6,jD ltogdite$ integrale

! J. Protrletne 2E

( er orul lI EXISTENTA 9I UNICTTATE t!{ PROBLEMA C.{UCHY

.f l l. Teorerna de existertt 9i unicitate pentru ecuatii diferenti.l6de ordinul I 32

$ $ z. Teorema de existcole ti unicitate peltru sistcm6 diteren-

l iale de ordinul l . . 35

4f-{ 3. Teor€ma de existenti ti unicitate pentru ocuafii diferenlialode ordin superior

Teorema rle existenta a lui Pecno,

9i unicitBte Slobaltrnla .onrinu6 a soluljei in rapor t cu dateto inilialc-::_- ---..--_.=-_-\oteren!rare muluvoc9

( at i lolDl I I I SISIIITIE DIfIRENIIAIE LMIAnE

{ l . \otat i i gi rczultate terierale , . 77(tV. Si. teme di lerentiale l jniare crr)osene ?9

Fc. a,r,"-" aitereniiate liniare neomoSene 83

It ' | . gtuat; l di ferentiale l iniare de ordin n, , . 85

39{012

Crdtolol

$rth-tttliz<r*-n-0(r4.J

s 6 .$ 7 .

. . r Ii4$f,yl ic"a1i i di lerel l l i?lc l i r iarc de or, l inul x cu coefi( ie(t i (on-

v stantr .y(6. Sisteme dilerentiale liniare cu coelicienli cons{anti.

$ 7. Sistcmel€ ln variatie ;i derivabilitatea solutiilor in Eportcu datele ini l iale Si para,neir i

S E. Solulii distribrtii ale ecratiilor diferenlialc linjare

$ 9. Probleme

Iv TEoRTA srABrln.{Ttr

Notiunea d€ stabilitates t a b i 1 i t a t e a s i s l e m e l o r d i f c r e n l i a l e l i D i a r e � �Stabilitatea sistemelor liniare perturbatc. . ," ;Iletoda {uncfiei J-iapunovSlabilitalea dHclqelor de tbteandd .siabi\na{Sa sistemei6Frutonoib4lsipauve . . . .\r roDlcme

CapitoIul V INTEGRALE PRIME 'I ECUATII CU DERIi'ATEPARTIALE DE oRDINUL INTIT

n\,$ 1. Integrale p me ale sistemelor difercnliale autonotne.

\ ! 2. InteSrale primo ale sistemelor diferenliale reautonome .

rl{ 3._Ecuatii quasiliniare cu derivate pa4iale de ordiml intii

]$ 4. Ecu atia- tugn' dE- eonservarc

| $ S. n,urt i i ncl iniare cu dcrjvale part iale

\ 6. Ecuali i Hanri l ton- Ja.oL,iS 7. Probleme

C a p i t o h l M A N E X E

$ l. \ 'ectori s; matf ici

$ 2. Teorema lui Arzel l

$ 3. Pdncipiul contracriilor

$ {. Frnclii difcren}iabile ti teor€ma Iunctiilor implicite.

S 5. l lul l imi 9i fun(f i convcxe

D I N L I O G R A F I E .

C a P i t o l u l I

I N T R O D U C E R E

\ r . s t tap i io l (s tc consacra t p rcc izdr i i no{ iun i i dc .so lu [ ie

. ' r , r ( ,1 ,k 'm( i ( Juchy pcn t ru d iversc c lase de ecuaf t l ,d l le -

, , , i i i . , t , - t i

pr .zenrai i i 'unor

i ipur i c lasice de ecuat i i 'J i fereu-t , . , t " r ' , 'zol i abi lc pr in cuadratur i . O partc rmporlanta .a, . 'q , i r , , lu tu i "a1, ' lgTergat i prezent i r i i unor problemc de

' , , r i ru i f iz ic i carc conduc l iccua! i i d i ferenl ia le '

\ l. Notiunea ile ecuafie diferenfiali

In tcrmoni, oarcr-um vagi, o ecualie tliferen{iall este o, n , r t i r ' . r c i re i necunoscut i este o funcf ie de una sau mat

' ' , . ,1 t , ' r 'ar ia l r i le ; i in care in terv in a i i t func l ia necunoscute, i r - r r lc r ivat t le sa ie p in i la un anumit ord ln urd lnul maxlm' l r r r ls lor der ivate ' se numel te ,ord inul ecua{ ie i .DaciI r , r r ( t i i r l rccunoscut I este funct ie de mar lnut te var laDl te '',i,,"ni'i

,.""ti" se numette ct dcri'tatc paliale' Daci funcli.ar ' ' , r t r rosculA r l , 'p indc de un s ingur argun)cnt , a tuancl ecual ra' l r l r , r t i r r l i respecl iv i se nume;te or ' t I t Iqr6 ' . rn- accasra, , r t , . r r ' to tn 6.opa, in pr inc ipal , d l ecual i r d l lercnt la le, ' r , l i r r . r r , ' , c c l r a ! i i l e q u , l ' r i r a l e - p a r t l r l - d , e o r d l n u l r n t l r

t , , i r r r l o L r i , c t r r l u l i i m e i p i r ! i ( L a P r t o l u l v ) ' .l ' , nJ 8(ncra l ,J a ccual ie i d i ferenl ia lc ord i r tare de ordr-

r r r l r r Du cste urmi i toarea:

13113514i150

102106116

162169172178184193199

20'2lL211

221F (t, x, x'):0

, r .1 , 1 , . te argumentu l func l ie i necunoscule t - x( t l '

, t t \ ] .1 . \ t ( t ! {1) cstc der ivata sa, iar l i es le o tunct le rca la' ' t i , , i t , i ne rur rnumit domeniu a1 spal iu lu i R3'

( l .r)

pe 1gi care verificl ecuafia (1.1) pe l adica

F(t, x(t), x'(t)):0, vteI.

De{ini}ia precedenti se Pistreazl daci intervalul 1 estede {orma- la, b l , la , D[ iau ] a ,b l . ln anumite s i tuaf i i ,care pot fi pieciz.i" cu ajutorul teoremei furyfii lor impli-c i te , ccual ia ( l . l ) se poate scr ie sub torma

al axei reale,Vom numi so/ r f ie a ecuat ie i ( l . l ) pe in tervaluL I : l a ,b Iaxei reale. o functie r:.I-+R continuu dilerenliabiliclie x: I--+R l;lH;i;lllx'Tlili;"3,!'",i1,1'lilli,'li;',i"'!oTi"."JJ,:[

,i r,"':i;i a""i-r"a de timj. De excmplu, migc-area unur,,',i, nn traiectorie este complet determin-at6. de coordo-

i i i I i l,,i; I'S'J"; "(.l'l;''#H;{ll I ":'fi :.,.: t,il, " ii"',.';"J; '.;i,;;J. ;;i lr ae- i ' iaivizi

'care o lompun, iar starea

,r r r , ' i rcact i i ch imice poate f i , dup[ caz, temperatura sau

, , ru. , u t ra i ia uneia s lu a mai mul tor substanfe carc

t'.,tti.ini i" ."".tie' Din punct de vedere matcmatic-.stareal;.i:';"li;t-r; ;Ji.iiriJ [" sistemul sau procesul fizic pe,:rr,' i l reorezintd. La rindul siu, starea apare rareorr. ca o

trrncti-e einliciti de timp, ci, aproape in toatc cazurtre, ca'olut'ia un'ei anumite ecuatii care guverncazt fenomen'u

:lili;lk#:l',il"l;*":%"ll?::'lilt^'l:t,n::"ni:t1' cu.rtii. care noate fi de cele mai diverse tiPurr'- dar ln marea

tnrrirr'ritatc a'cazurilor este o ecualie diferentiall semnlrr-

l;;,lill'';:,:'".1"0't:::ui?*Ji;'1""":'iiiilii""T."=T""l;li.\vinJ in .red"te icett fapt, ne-am a$tcpta - ca aceas]l

,,,rrriitic initiali si determine ln mod unic solutra ecualler

r ' r r . " i t i i . i l . bu a l te cuv inte, dat i f i ind perechea i l " : t " ) I

/ ,[i sa existe o solulie qi numai una a ecualrer (r'zl

, . ,n - i i 'er i i ice con. l i l ia ' ( t .31. Din punct de vedere, f iz ic

. ' , , . , . t r rev ine la pr inc ip iu l determin is t , in v i r tu tea c i ruta

( \'olutia unul proces este univoc determinatl de starea'.,, iniiiali. Vom'vcdea c[ ln ipoteze suficient de largi asupra

r , tn , " i . i ' i " . " " . tu are ln t r -adcvi r loc Con! inutu l prec is 9 i.l, tl ionst;atia acestui rezultat cunoscut sub numele ce

, ' , i r i ) 'a1 ' , - l i i r i ld s i un ic i la te vor f i da le ln capi to lu l

x' : f(t, x),

und-e /: O+R, O fiind o mullime deschisS. in.Rr.ln'cele ce urmeazi ne vom'oc.,pa, aproape in exclusivi-

late, de ecua{ii de forma (1.7) , pe care o vom' numl

' Din punct dc vcdere geometric, o solulie a ecua{iei (t.l}

este o curbi in planul iol, avind ln fiecare punct al s6utangenta care viriazl continuu cu punctul. O^ asernenea.rr.6e r" nume$tc nrrbd integrald a ecuiliei (l.l). In general,mul t imea solu l i i lor ecuat ie i ( l . l ) este in f in i t i_ f i o vom

lorma lonnald..

metrr care cara

dilii. Cba mai -uzuali

dintre acestea este condilia inifiali"

x( t " ) :ao ' (1 '3)

unde /oe , f 9 i xocp s in t da te g i sc numesc aa lo r i i t l i l i a le -Prrn problemd Cauchy asociatd' ecualiei (l. l) se infclogePrin broblemd Cauchy asociatd ecualiei (l.l) se infclogedeterminarea unei so)uJii .r:.t(r) a ccua{iei 1l,.lt care siver i f ice condi ! ia in i l ide (1.3) . Din punct dc vedere gcome-tric, problema Cauchy revine la determinarea unei curbeintegia le a ecuaf ie i ( t . t1 care se t rcac i pr in t r -un punctintegiale a ecualiei (1.1) care se trcace printr-undat (lo' xo\ e R'�.

Fenomenele din naturi si societate au, de obicei, unpronun{at caracter dinamic, ele fiind de fapt procese evo-Iirtive i; timp dupi legl propni. lili5carea unui corp petitive ii timp dupi legi propni. liliqcarea unui corp petraiectorie. o reactie chimici, un circuit electric in funcfiune,, o reac{ie chimici, un circuit electric in funcfiune,g-rupurile biologice sa.u sociale sint cele mai simple- exemplede procese dinamice. Studiul unui asemenea proces inseamnide lapt urmf,rirea evolutiei unui numir restrlns de para-metri care caracterizeazl procesul sau sistemul respectiv.

l r n)r_rtof .(ionsidera{iile de mai sus

,i:ttmt tlifercnlial e de ordinul

x i - - f 1( t , x , , . ' . xn) , i : \ ,2 , " ' , n ' te I (1 '4)

ll llf ; -[, l*, " 11.,,1":lil,,3 " f ,i'i.ls,i]t'ffi ,"Tt":l' i1,i. ',,u" in1"l"g" un sistem de iunclii t*,(t)"'r'(l;] continuu

se cxtind in mod natural laI de {orma

procesul sistemul respectiv.

undc ,o€1 9 i { r i ; l :1 , . . . , 1} este un e lement { ixat a lsDatiului Ii".-

Ca ;i in cadrul ccuatiilor difercntiale scah.re, vomnumi problema (1.4)-(1.5) probleml Cauchy asociatb. sis]l c m u l u i d i i e r e n t i a l ( 1 . 4 ) .

Din pun,^ t de r ' "dere gqometr ic , so lu! ia s is iemrr lu i( ' I .4) o51c o curb i in spal iu l R" r . ln d iverse s i tua{ i i saufenornene, modclato dr. sislcme difereniiale de forma( l .a) , ( . r , ( t ) , . . . , . r , ( / ) ) rcproz int i coordonate le s t l r i i unuis is tem f iz ic la momentu l 1 , t ra iector ia t ->(xr( t ) , . . . , x" ( t ) \ ,reprezcntind astfcl cvolutia sistcmului respectiv.

Si consideri.m acum ecuatii diferentiaie ordinare deordin r, adici de forma

diferentiabile pe intervalul 1c1i ;i care verifici ecuatiile(1.4) pe acest intcrval, adici

i ( t ) l , ( t , x t ( t ) , . . . x " ( t : 1 ) , Y t e I : i : 1 , . . . , n

\L( to) :x) , i : t ' . . , t t ,

F( t , x , x ' , . . . , x t " ) ) :g (1.6)

unde F este o funclie dati. Presupunind ci este posibilirezolvarea in rapori cu derivata ile ordinul 2., se poatereduce ecualia (1.6) la forma normall

rk t : f ( t , x , x ' , . . . , x t , - ' ) ) .

Prin so lut ic e ecua' ! ie i (1 .71 pe in ten 'a lu l 1c R vorn in te legco funct ie r de c lasJ ( " pe.1 lad ic i cont inuu d i ferent iab i l ip in i la ord inul - l inc lus iv) eare rcr j f ic i ccua{ ia (1.7) ino l lce punct /e- r .

Pr in probl , . rn i Carrchy asocia15. ecual ie i (1 .71 se in fc lcgcdclernr inarca r rnc i so l r r t i i x -x( i ) a ecuat io i { j .7) care ler i f i i icondlFl le

r ( ro) : r [ , r ' (1 , ) : r ! , . . . , r { " n ( i :xg- . , , (1 .8)

unde l0 €1 ;i :l!, :vf, ..., r$,' slnt fixatc.Pr in t r -o t ransfdrmarc s impld, ecuat ia (1.7) se noate

rcducn la un s is tcm di ferenJia l de forma (1.4) . i renrru ac i :s la ,piecind de la functia nccunoscutl r, introducem noilefunctii necunoscute jr1, ..., rn prin relatii le

accstc notalii,, l i t , rcn l ia l

x2:x i , . . . , xn

ecualia (1.7)

(1.10)

x ' ( t ) : l ( t . x( t ) , x( t -h) \ , te I ' ( 1 . 1 1 )

se trans{orml

(1.e)sistemull n

xl-t: xt

x ' " : l ( t , x , , . . . , x " \ .

I lcc iproc, or ice so lu{ ie (* , , ' . , xJ a s is temulu i . ( l - '10)

, l , . t inr .s t i pr in {ormule lc ( l '9) o so}u{ ie a ecual rc l ( l ' l ) '

I ' r in t ians?ormarea (1.9) condi l i i le in i t ia le devtn

x lUo\ :4 ' , i :1 , . . . , t t -

l 'r 'rrccdoul de mai sus poatc fi folosit 5i pcntru reducerea

:,i\l, rtl i ' lor diferen!iale de ordin fi (adica a slstcmclor orrc-

r, ntialc care conlin derivate plni la ordinul t' in luncllrre

i,,l.i inoscute) Ia iisteme difercn{iale de ordinul l ' ,

I rr tip mai general de ecua{ie diferel}ial5. or'l inariL este

. ' , , 1 . r in care iunc l ia necunoscut i x in terv inc in ecuafre

,,, ".g.r-"ttt" diferite. Ast{el este cazul cu o ecualie dife-

r lrrtirll 'r de forma :

r r r , l ' : I este o constant i poz i t iv i . O ascmcnea ecuat ic d i fe-

r rr.liali. se numegte cu'i 'rl irziere' Ea modeleazi anumite

l,,u,rncne cu ,,me-orie", cu alte cuvinte procese {izice ln

r.rr, comportarea Prezenti a proccsului este determinat;,1 , . tarca sa cu o anumit i pcr ioadi dc t imp in urmi '

l ' i l( un lucru dovedit cl celc mai multe fenomene drn

rrrrrrrriL;i societate intrir in aceastl categorie'-In {izici este

,rli,icni si avem ln vedere fenomenele de histerezis sal

,, lL Viscoclasticc. Este adctdrat totu;i ci uneori lenomenele'u , . r r ,cmor ie" s in t descr ise pr in ecual i i func! ionalc mat

, r r rnPl ica le, , um ar f i ecua! i i le in tegro-d i ferent ia lc dc t ip

\ oltcrra :

' '(r):.tolt.,"ir)l+[ tr(r, s, r(s)) rls, (r.12)

ir cirror denumire provine de la numele matcmaticianuluii ta l iar r [ i t to lo l ter ra (186O-^1940) care le-a in t rodus 5 istur'l irt penrru prirna oari. In cazul ecuafiilor (1.12)termenul integral inglobeazi,,istoria" fenomenului. Dac5.

avem in vedere faptul c5. operatorul dc derivare {-{ se&a

calculeazi ln I cunoscind valorile lui .r la momentul , si lamomentul infiniiesimal vecin I -e, se poate spune c4insigi ccualia diferenliali (1.1) ((1.2)) ,,are memorie"numai cl este vorba in acest caz de fcnomene cu ,.mcmorioscurtE '.

Existl procese sau sisteme fizice pentru care starea nupoate fi complet d€finiti doar printr-un sistem finit doIunctii de timp. Concentrafia unui produs intr-o reacfiechimici, temperatura fntr-un corp solid sau amplitudinc4unui sistem elastic vibrant slnt functii atit de timn ctt;i de punctul domeniului spalial ln care are loc proccsul.Asemenea sisteme se numesc dfslzibrrilc qi matemalic elosint descrise de ecua{ii cu derivate partiale.

$ 2. Metode clem€ntare ile integrare a ?cuatlilof rlifereniialo

Prima ecuatie diferenfiall a fost rez.olvatd o dati cqaparifia cakulului integral in secolul XYIL

r ' : f ( t ) , te l (2 .1)unde / este o functie continui. Dupi curp fine se gtie,solutia este dati de formula

,(r):.r. + !,,,fG)

d,s, t er.

Intreg secolul XVIII .,si o parte din secolul XIX a losldominat de efortul unor matematicieni, printre care L.Euler (1707-1783), J. Bernoulli (1667 -1748), J. Lagrango(l?36-1813) qi altii, de a da solulii prin quadpturi unuinumir clt mai mare de ecualii diferenliale. Cu alte cutinte.se punca problema de a exprima solu!ia generalS a ecuatiilordiferentiale ca funclii elementare sau ca primitive de functii

l , rrr 'rt:rr '(. Firi a lnccrca si impunm analogri ' am pulca

r',rtf,r (omDara acest clort cu cel a'l,algebri;t i loi de.a rezolva

, , , , , r ' r ' a r l i , i l i ecua l i i Jc a lgebr icc de- o rd ln super ror ' r lac i t

i t;, ; :l I lll I i.lii ll',l';"u! Slii:'i l""'$l''::fi *T l"fi 'Jilfil : , i ; i '"; i l : i ; i ; i"" '".o"fi i io' diferentiare ei-a pierdut

iliir,u:'ill'*i:o.l';;"":;?:'"'"."iilx'""'.'.iliil.",ill-I:.i;tiil,"l'"*;."t"i'1:x,'""1".?i"xj"iii,l'$uil"l":{:J:..

""l,,"riiii-.ie"" dr;;L itn".ltente drcoatii rl$fl ;ill[;';,:'ll$*;ffi '1,i3';iil:"'o'J]"::'iiilJi""r,,:*i-t"i..ii*"ii,'ei ^ ecuafici sau de studicrca compor-

ili:;iittiiul;;;.i'":":11"";3lii"Ei*l$i'li;"lili:l"

'Ecualii cu teiabile separabile ' Numim astfel ecualrtle

rltlr'r 'Dliale de forma

'.':lQ) sV), 1et: la,t.bl Q'2).

rrrr,{r'/ cste o funllie. continui pe I' iar g este co''j inui qi

iirf,rii i, ,tc zero pe uo interval l 'r-,, r.[ (eventual n?mat$tut)'

ii,, i"tii. tz.z) si poate scrie sub forma

L: .1p1 at.c(r)

Irt.rrrind de la,lo la, ('o este un punct arbitrar ln 'I1'

f'#:l,.no d's' 'eI (2.3)

sir notl'lnr

G(,):i,"fr. 15e'1x,' xzi' Q'4't

I rrrrr:ti:r C cstc evident continu[. 9i -o\to"i .P", il]:l^-

: li*k tl' [ "un:,u'ir,t r l':'. ::t'#' (i: l:: Ji",t TI:' ,r r l ' lorma

I t:.uoltl autelmgale

"(,):" '(1, /(s)as), r= r. (

Am.ob{inut astfel exprssix soluliei .t a ecuatici (2.2} cucondrlra -(auch) jr(10)-x0. Reciproc, funclia x definitlo-:

_lormut1 (t.5) este- continuu diferenliabili pc 1 9i deri_Tata sa r' este egali cu

.'u,: #,:.f(t) s@).

Cu alte cuvinte, *_este solulie a ecuatiei (2.2). (Desi,eur clrVJ este dclrnrta doar pentru acelc valori ale lui I -pentru

."."). .i{r) ds se afli in domeniul func}iei G ).

z''tie

lulm, spre exemplificare, ecnalia: x':(Z_�x) tgt, tel},Procedind ca ln cazul general vom scrie aceasti bcua_

sub forma *

: tg r dt qi prin integrare

: 5 " O r d s , t e , 0 . | l o l f t n " ^ l n l r ( r ) - 2 1 i: - l n l c o s I l .

i ' iq :J n L - v

x o - z l 1 :

Daci , notiLm C: I xo-} J, rezultl pcntru solulia z(t)

tormrrla

| (t(t)-z) cos , l:C t -lo,il.

Prin urmare, funclia (r(l)-2) cos , are valoare constantip" intervalul 0, 1,- 5i d"ci solutia genr.rali este datl de- 2 '

(C este o constanti. arbitrari)

r ( , ) : C ( c o s t ) r l Z , t e l 0 , a l .

2' Ecualia om.ogend. Si considerim ecualia diferenliali

r , , , ' , r , z . rh i p1 i1 l mctoda ind ica t i ma i su ' T rehu ie-

i i ' ' ' , , ' , , ' r ' , ' ' ' i , l " " f ' . , i

t l i lersr- 'cua! i i ,d i fcr"nl ia l . ' U:, : ld: l*, '; '; i;;;,, J;:;;" "n for-. inttichti mai sus, se re.duc prin

ii. r'rti l i i i i-pte ta ecualii diferenfiale, . cu variabilc,sepa-

i , ' r , : . i " " - , js . " . . Un ixemPlu, cct ra i ia d i fcrent ia ld

s . t * b x ' l c

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bilitatea solufiei_ banale a sistemului (3.t). Cu aceastaI eorema { este demonstrati.

Vom indica, ln continuare, o aplicalie a Teoremeistudiul stabilittfi i solutii lor sistemeloi diferenliale,ata-numi_ta metodi a lrimei aproximalii.Si considerlm pentru iceasta sisternul diferential autonom

(3.11)

4 l nprin

unde/ este o funclie continui impreuni cu derivatele salede ord in I (ad ic i este de c las i C,) in domeniu l {xe R, ;l l r l l<a] .Vom mii presupune in plus ci/(0):0 Ei ci

Malricea l"(0):A este huruitziandlf EOREMA 5. I* ipotezele de mai sus, solulia

sistemului (3.77\ este asiubtotic stabild.Demorstralie. ln domeniil p:{ y e= R"; ll r l lca}relalia (deoarece f - C'(D)),

f(x):f(o) f f ,(o) *rF(x):tr547;".

(3.r2)nulii a .

are loc

(3.13)

ulde ll F(z) ll:o(ll , l i) 11 x ll, a(r): sup {ll/,(0)-/, (o) ll ;l l 0 l l < z ] .Concluzia teoremei este atunci o simplS consecinti aTeoremei 4.

Obseraalie. Teorema 5 admite o generalizarc evidenti incazul sistemelor neautonome.Vom exemplifica rezultatele gcnerale stabilite mai sus incazul ecualiei diferenfiale de ordinul doi (a se vedea, deexemplu, I - . Pontr iaghin I l6 l ) .

Lx" t Rx'tC-lx,:C-, j(x'\, (3.14)

care descrie funcfionarea unui circuit electric de rezistentiR, capacitate C si inductanti Z, avind un element neliniir(in speJd o triodi) de carac{cristici /(.r) cste intensitateacurcntului in circuit). Introducind variabila y:r', ecuatia{3.1a), dupi cum s-a aritat deia, este echivalent5. cu sisie-mul diferenfial

t ' :(ct1-' JU)-(CL)-, x-RL-, y.

(3.rs)

SI observim ctr sistemul (3.15) admite solulia stafionarlx:f(o), t:o. (3.16)

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';- crtt"s- ,tik,+floy-,f *". (3.17)

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- \ Ia t r icea.4(a se vedea

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r - ifi ea va fi hurrvitziani. daci

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(3.r8)este deci suficientd.solu!rel stafionare

I ' (o) <RC.Conform l 'corcmei 5. condiri

I iA ;':.'i'j G ;,Xii,lii'ii.["i).� 4. Metoda func;iei Liapunov

,.,,,f?T pt"r"n,a aici o meto

i#*t;q+nf"tt.1i ifd"'tr::li,"'ff ". :;r.i ;':1.,1," nlT:fr :f ti;:f,#

V(t, t)>,a (:j t i i), V (t, x) ee.

i:i;i,t;otX?,'iu v este negatiu delinitd dacd

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