barem culegere bac m2

Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro B BA AR RE EM M C CU UL LE EG GE ER RE E O ON NL LI IN NE E B BA AC CA AL LA AU UR RE EA AT T L LA A M MA AT TE EM MA AT TI IC C 2 20 01 12 2 M Mo od de el le e d de e s su ub bi ie ec ct te e c cu u b ba ar re em me e r re ea al li iz za at te e d du up p m mo od de el lu ul lu ui i o of fi ic ci ia al l www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro T To oa at te e d dr re ep pt tu ur ri il le e p pr re ez ze en nt te ei i e ed di i i ii i a ap pa ar r i in n s si it te e- -u ul lu ui i w ww ww w. .m ma at te ei in nf fo o. .r ro o & & w ww ww w. .b ba ac cm ma at te em ma at ti ic c . .r ro o r re ep pr re ez ze en nt ta at te e p pr ri in np pr ro of f. . A An nd dr re ei i O Oc ct ta av vi ia an n D Do ob br re e C Cu ul le eg ge er re ea a e es st te e o of fe er ri it t G GR RA AT TU UI IT T d do oa ar r p pe e s si it te e- -u ul l w ww ww w. .m ma at te ei in nf fo o. .r ro o i i w ww ww w. .b ba ac cm ma at te em ma at ti ic ca a. .r ro o i i n ni ic ci io o p pa ar rt te e a a a ac ce es st te ei i e ed di i i ii i n nu u p po oa at te e f fi i r re ep pr ro od du us s f fa ar r a ac co or rd du ul l s sc cr ri is s a al l w ww ww w. .m ma at te ei in nf fo o. .r ro o i i w ww ww w. .b ba ac cm ma at te em ma at ti ic ca a. .r ro o ( (A An nd dr re ei i O Oc ct ta av vi ia an n D Do ob br re e) ) D Da ac c o ob bs se er rv va a i i a ap pa ar ri i i ia a a ac ce es st te ei i c cu ul le eg ge er ri i s sa au u p p r r i i d di in n a ac ce ea as st ta a c cu ul le eg ge er re e p pe e a al lt t s si it te e ( (s sa au u c cu ul le eg ge er ri i) ) v v r ru ug g m m s s n ne e a an nu un n a at ti i p pe e d do ob br re e. .a an nd dr re ei i@ @y ya ah ho oo o. .c co om m s sa au u o of ff fi ic ce e@ @m ma at te ei in nf fo o. .r ro op pe en nt tr ru u a a f fa ac ce e d de em me er rs su ur ri il le e l le eg ga al le e. . 1BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 1 Prof: Andone Elena. +Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. +Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. +Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. 163=0,(015873) Stabilete a 2012-a zecimal ca fiind 1 3p 2p 2. f(2)=- 3 ( )(2) ( (2)) ( 3) f f f f f = = f(-3)=1121p 2p 2p 3. Notm 3x=t Ecuaia devine 5t2-2t-3=0 cu soluiile t1=1, t2=353x=1 x=0, 3x=35nu are soluii n mulimea numerelor reale 1p 2p 2p 4. 6!=1 2 3 4 5 6 =7202p 3p 5. 0 4 41 2 3B AABB Ay yx xm = = = 2p 3p 6. raza cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este egal cu jumtate din ipotenuz2p 2BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro Se calculeaz ipotenuza cu ajutorul teoremei lui Pitagorai=10 R=51p 2p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) A2=3 44 3 | | | \ . 22 23 4 2 4 5 02 54 3 4 2 0 5A A I O | | | | | | + = + = ||| \ . \ . \ . 2p 2p 1p b) det A=5 A este inversabil 11 21 215 5, ,2 1 2 1 det5 5A A A AA- - | | | | |= = =| | | \ . |\ . 3p 2p c) 2 22 2 22 2( ) 2 5 44 040 4A I A A I IO I = + = | | =|\ . 3p 2p 2.a) xy=xy-x-y+7=x(y-1) (y-1) +6=(x-1)(y-1)+6 xy=(x-1)(y-1)+6 1p 3p 1p b) Relaia ce trebuie demonstrat reprezint asociativitatea legii de compoziiex (yz)=(x-1)(y-1)(z-1)+5x+1 (xy)z=(x-1)(y-1)(z-1)+5z+1 Egalitatea celor dou expresii nu se realizeaz pentru orice numere reale x, y, z legea nu este asociativ 3p 2p c) xx=31 xx=(x-1)2+6 (x-1)2=25 2p 2p 3BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro x=6 sau x=- 4 1p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) limx(x) = groicul uncici nu oJmitc osimptot orizontol lo +Studiem existena asimptotei oblice y=mx+ni n m=n=1 y= x+1 este asimptot oblic la + 2p 2p 1p b) f(x)=x2-2x(x-1)2 f(x)=0 x=0, x=2 se realizez tabelul de variaie al funciei funciafeste strict cresctoare pe intervalul( ) ,0 i pe intervalul( ) 0, ;funciafeste strict descresctoare pe intervalul( ) 0,1i pe intervalul( ) 1,2 . 1p 1p 1p 2p c) Se calculeaz derivata a doua 32"( 1)fx= se realizeaz tabelul de semn al derivatei a douape intervalul (-,1) f este negativ deci funcia f va fi concav 1p 1p 1p 2p 2.a) ls(0)=ld(0)=f(0)=0 f este continu n punctul x=0 Pe mulimea numerelor reale nenule f este continu fiind compunere de funcii elementaref continu pe f admite primitive pe 2p 2p 1p 4BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro b) 2121ln( 1) , 0( ) 2, 0xx c xFxe x c x+ + >= + s

Din continuitatea funciei F n punctul x=0 c1=1+c2

F(1)=0 1 110 ln221ln22c c = = +21 1ln( 1) ln2, 02 2( )1ln2 1, 02xx xFxe x x+ >= s 1p 1p 1p 2p c) ( ) ( ) ( )3 0 32 2 0f x dx f xdx f x dx = + =} } } ( ) ( )302 2201 1ln 1 1 2 ln102 2xe x x e= + + = + =21ln10 12e= 2p 1p 2p 5BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 2 Prof: Andone Elena. +Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. +Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. +Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. 1 = 1p 2p 2p 3. Scriem relaiile lui Viete 1 2 1 23, 8 x x x x + = = 2 21 29 16 25 x x + = + =1p 2p 2p 4. { , , },{ , , },{ , , },{ , , } a b c a b d a c d b c d 2p 3p 6BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 5. 0 23 21 0 5 2B BA B A By y x x y xy xy y x x = = = 2p 3p 6. cos(1800-x)=- cosx= 232p 1p 2p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) Ecuaia dreptei A2A3 este: 14 9 1 08 27 1x y=Dezvoltnd determinantul se obine 9x-2y-18=0 2p 2p 1p b) aria triunghiului A2A4A6 este egal cu 12 A2 24 46 62 3 1 1 1 12 3 1 36 4 9 1 43202 3 1 16 81 1A = = =A=2160 1p 3p 1p c) Calculm 1 12 22 3 1 1 1 12 3 1 2 3 2 3 12 3 2 0,( )2 3 1 4 9 1n nn n n n n nn nn+ ++ +A = = = eN cele trei puncte un sunt coliniare 1p 2p 2p 2.a) 2 4 4 3 2 ( 2) 4( 2) 52( 2)( 2) 5x y xy x y xy yx y- = + + + = + + + == + + 1p 3p 1p b)S verificm dac exist e, numr real astfel nct xe=ex=x, oricare ar fi x numr real3p 7BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro xe=2xe+4x+4e+3 Dac xe=x, oricare ar fi x numr real 2xe+3x+4e+3=0, oricare ar fi x numr real x(2e+3) +4e+3=0, oricare ar fi x numr real2e+3=0 i 4e+3=0 contradicie nuexist element neutru 2p c) 232( 2) 54( 2) 6( 2) 5x x xx x x x x- = + - - = + + Ecuaia cerut devine : 3 334( 2) 6( 2) 5 7 4( 2) 6( 2) 2 02( 2) 3( 2) 1 0x x x xx x+ + = + + + = + + + = Notm x+2=t, ecuaia2t3 3t +1 =0 are soluiile t=1x= - 1, 1 3 5 32 2t x = =i 1 3 5 32 2t x + += =2p 2p 1p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) 20 0 02ln( ) ( ln ) 01lim lim limx x xxf x x xx = = = , se aplic regula lui LHospital 2p 2p 1p b) Se aplic regula de derivare a unui produs (lnx)= 1x (x2)=2x f(x)=2xlnx+x 1p 1p 1p 2p c) f(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1) f(x)=0 x=0 i x=12e se realizez tabelul de variaie al funciei 1p 1p 1p 8BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro pe intervalul (0, 12e ) f este monoton descresctoare i pe intervalul (12e,) f este monoton cresctoare 2p 2.a) 1 10 011( ) ln( 2)0 23ln3 ln2 ln2f xdx dx xx= = + =+ =} } 2p 2p 1p b) V=22021 1( )0 ( 2) 2 4dxx x = =+ +} 3p 2p c) Fie F o primitiv a funciei f. F(x)=f(x)=12 x +>0, oricare x> 0 F strict crectoare 2p 1p 2p 9BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 3 Prof: Andone Elena +Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. +Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. +Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. 31 12 233 331log 8 log 3227 3 364 4 41 12 83 134 8| |= = |\ .| | = = |\ .| | = |\ . < < 1p 1p 1p 2p 2. f este bijectiv deci este inversabil pentru a determina inversa procedm astfel: f(x)=y -2x+3=y x=32y f-1(x)=32y 1p 2p 2p 3. Impunem condiiile de existen : x-1>0, x-1 1,x+2>0 xe(1,) {2}21 1 1log ( 2) 2 log ( 2) log ( 1)x x xx x x + = + = Utiliznd injectivitatea funciei logaritm x+2=(x-1)2 Soluia convenabil este x=3 132+ 1p 2p 2p 10BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 4. 3 25 4 460 6 24 42 A C P + = + =2p 3p 5. Fie M mijlocul segmentului AB,M(0,1) ; 0 211 1BABAB Ay yx xm = = = , panta mediatoarei va fi -1 Ecuaia mediatoarei : y-1=- x 2p 3p 6. sinx=13cosx= 2 23sincosxtgxx= 12 2tgx = 2p 1p 2p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) A+B=1 80 4| | |\ . det (A+B)=4 2p 2p 1p b) detA=8 A este inversabil 11 54 52 80 2 104A A- | | | | |= =| | | \ . |\ . 3p 2p c) nmulim egalitatea AX=B,la stnga cu A-1 X=A-1B X=1 32 20 0| | | | |\ . 1p 2p 2p 11BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2.a) f(2)=0, f(1)=2 - 2a+b=- 5, a-b=1 a=4, b=3 1p 3p 1p b) 1 2 31 2 2 3 1 3 1 2 31 1 12x x x ax x x x x x x x x+ ++ + = = Din relaiile lui Viete, x3 +x2 +x1 =o i x1x2x3 = 2 3p 2p c) f(X)=X3-4X2+3X+2 mprim polinomul f la x-2 i obinem ctulC(X)=X2-2X-1 ecuaia de gradul al doilea asociat polinomul C are discriminantul pozitiv polinomul fare toate rdcinile reale. 2p 2p 1p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) 00( )( ) 0limlimxxf xf x= =

( se aplic regula lui LHospital) 2p 2p 1p b) Ecuaia tangentei: y-f(x0)=f(x0)(x-x0) f(x0)=0 f(x)=21 lnxx ,f(x0)=1 y=x-1 1p 1p 1p 2p c) f(x)= 21 lnxx=0 lnx-1=0 x=e se ntocmete tabelul de variaie al funciei 1p 1p 1p 2p 12BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro din tabel se observ c punctul de coordonate (e,1e) este punct de maxim 2.a) 2' 2 222 22 22 264 64( ) 64 646464 64ln( 64)2 64 64ln( 64)1( 64 64ln( 64))2xI f x dx x x dx x x dxxx x I x xI x x x xI x x x x+ = = + = + =+= + + + += + + + += + + + +} } } 2p 2p 1p b) Utilizm metoda schimbrii de variabil: x2+64=t 2xdx=dt 22 21 1( ) 642 31( 64) 643xf xdx x x dx t dt t tx x= + = = =+ +} } } 1p 1p 1p 2p c) 1 3201193( 64) ( 64 )0 3 3xV x dx x = + = + =} 2p 1p 2p 13BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 4 Prof: Andone Emanuel +Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. +Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. +Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. a10=a1+9r =7+27=34 1 1010( ) 102052a aS+ = =3p 2p 2. O ecuaie de gradul al doilea are rdcini reale distincte dac i numai dac >0 =4m2+1 4m2+1>0 oricare ar fi mnumr real, deoarece reprezint o sum de ptrate 1p 2p 2p 3. GfOy: f(0)=5-2-1=2425GfOx: rezolvm ecuaia f(x)=05x-2=1x-2=0x=2 A(0, 2425 ) , B(2,0) 1p 2p 2p 4. P3=3!=6 244!122!A = = , 24 33 12 18 6 A P = = 2p 3p 5. Doi vectori sunt perpendiculari dac produsul lor scalar este 0 2(5+a)+ 2a=0 a=522p 3p 14BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 6. sin28 16 sin 332 3 sin2 2ABCABAC AAAA = = = Msura unghiului A este egal cu 600 sau 1200 1 1cos cos2 2A sau A = = 1p 2p 1p 1p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) O matrice este inversabil dac i numai dac determinantul su este nenul, det A=3a4-a2 3 2det A 3a a = deci 1a {0, }3R e A este inversabil pentru orice a1a {0, }3R e 2p 2p 1p b) 22 4 120 2 186 4 8A AA | | |= = | |\ . (A2)T=2 0 64 2 412 18 8 | | | | |\ . 3p 2p c) 0 3 33 9 12 93 3 0a aA aa a | | |= | |\ . 2 2 22 2 22 23 4 33 12 3 3 16 93 4 2a a a a aA a a a aa a a a| | + |= + | | + \ .

A2-3A+2I3=2 2 22 232 23 2 3 33 3 3 3 6 00 2 2a a a a a aa a a Oa a a| | + + + | + = | | + \ ., deci, a=1 1p 2p 2p 15BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2.a) a*(-b)=-ab+a2+b2 a*(-b)-ab=-ab+a2+b2-ab=(a-b)2 finalizare 1p 3p 1p b) Din definiia monoidului legea * trebuie sfie asociativ Din relaia x*(y*z)=(x*y)*z, oricare ar fi x,y,z numere reale rezult xz(a+b)+x(a2-a)-zb(b+1)=0, oricare ar fi x,y,z numere reale a+b=0, a2-a=0 i b(b+1)=0 a=b=0 sau a=1 i b= - 1 3p 2p c) Utiliznd rezultatul obinut la punctul anterior, se disting dou cazuri a=b=0x*y=xy, mulimea elementelor inversabile fiind-Ra=1 i b= -1 x*y= xy+x+y elementul neutru al acestei legi este 0 mulimea elementelor inversabile este{ 1} R 2p 2p 1p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) 2'( )xxf xe=f(x)+f(x)=1 11xe = x=0 2p 2p 1p b) 2'( )xxf xe= =0x=2 Se realizeaz tabelul de variaie al funciei Se precizeaz semnul primei derivate Pe intervalul( ,2) f este strict crectoare i pe intervalul(2, ) cstc monoton descresctoare 1p 1p 1p 2p 16BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro c) f(0)=-1 f(0)=2 ecuaia tangentei :y- f(0)=f(0)(x-0) y+1=2x 1p 1p 1p 2p 2.a) g(x)=(x-1)3 43( 1)( ) ( 1)4xgx dx x dx C= = +} } 2p 2p 1p b) 2( )1bx cf x x ax x+= + ++ + x3-3x2+3x-1=x3+(a+1)x2+x(a+b+1)+a+c a+1=-3; a+b+1=3; a+c=-1 a=-4; b=6; c=3 1p 1p 1p 2p c) 2223(2 1)4 4 3ln( 1)1 2x xx dx x x x Cx x+ + = + + + ++ +} (x2 +x+1)=2x+1 22(2 1)ln( 1)1xdx x x Cx x+= + + ++ +} 2223(2 1)4 4 3ln( 1)1 2x xx dx x x x Cx x+ + = + + + ++ +} 2p 1p 2p 17BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 5 Prof: Andone Emanuel. +Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. +Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. +Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. 575 5log 25 2log 25log 7 log 7= =log57log725=2,deci este numr natural 3p 2p 2. x2+x+m 4 > x2+x+m 4 0 + >o funcie de gradul al doilea are semn constant, semnul coeficientului lui x2 , pe R dac i numai dac0, 4 15 m A s A = 154 15 0 [ , )4m m s e 1p 2p 2p 3. 155xx=Ecuaia devine 45 5x =x=4 1p 2p 2p 4. 2( 1) 56nA nn = =Se rezolv ecuaia de gradul doi i se alege soluia natural n=8 2p 3p 5. Se calculeaz fiecare latur a triunghiului cu formula 2 2( ) ( )A B A BAB x x y y = + AB=AC=1, BC= 2 PABC=2+ 2 2p 3p 18BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 6. 2sinBCRA =cos A=12 sin A=32 R=8 33 2p 1p 2p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) 22222 00 22 020 22AIA I| |=|\ .| |=|\ .= 2p 2p 1p b) 21 11 1xA xIx | | =| \ . 22det( ) 2 0 A xI x = =2 x = 2p 2p 1p c) 4 2 2 224 2 2 224 4( ) (2 ) 4( ) (2 ) 4A X A X I X XX A X A X I XA X X A = = = = = = = 2p 2p 1p 2.a) 2 este rdcin a polinomului f ( 2) 0 f =( 2) f = 16+4 2-a 2=0 a=4+8 2 1p 3p 1p b) Se scriu relaiile lui Viete 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 43ax x x x x x x x x x x x + + + =3p 19BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1 2 3 423x x x x =1 2 3 41 1 1 12ax x x x+ + + = 2p c) (x-1)2=x2-2x+1 Ctul este 3x2+8x+14 irestul este x(20-a)-12 2p 2p 1p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) 00( ) 0limxxf x x>= = este asimptot vertical la dreapta( )limxf x= graficul funciei nu admite asimptot orizontal ( )limxf xx= graficulfunciei nu admite asimptot oblic 2p 2p 1p b) 23 322( ) ( 1)ln( 1) ln0lim limlimx xxf x x x xx xx x xx x += = += = 2p 3p c) Ecuaia tangentei : y-y0=f(x0)(x-x0) x0=1, y0=f(1)=0 f(x)=(2x-1)lnx+2( 1) x xx +, f(1)=1 y=x-1 1p 1p 2p 1p 2.a) Explicitnd cele dou module se obine 20BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro | |( 2) , ( ,0)( ) ( 2) , 0,2( 2) , (2, )xxxx e xf x x e xx e x + e = + e e se studiaz continuitatea funciei f n punctele 0 i 2, n rest f fiind continu deoarece este compunere de funcii elementare ls(0)=ld(0)=f(0)=2; ls(2)=ld(2)=f(2)=0 f este continu n punctele x=2 i x=0 f admite primitive pe mulimea numerelor reale deoarece orice funcie continu admite primitive 2p 2p 1p b) Utiliznd integrarea prin pri se obine12( 2) ( 1)( 2) (3 )( 2) ( 3)x xx xx xx e dx x ex e dx x e cx e dx x e c + = + = + = +}}} Din continuitatea primitivei c1 =4 i c2=2e2-4 Deci primitiva funciei f va fi | |2( 1) , ( ,0)( ) (3 ) 4, 0,2( 3) 2 4, (2, )xxxx e xFx x e xx e e x e = e + e Primitiva care trece prin origine este G(x)=F(x)+c, G(0)=0c=1 1p 1p 1p 2p c) 5445( ) ( 3) (2 1) 324xf x dx x e e e = = >} 20,oricare ar fi x numr real ( ) Q a =Q(a), oricare ar fi a numr real 1p 3p 1p b) Ctul mpririi este x6-9x4+81x2-729 irestul 6570 3p 2p c) x2+9=x2-9i2= 2p 23BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro =(x-3i)(x+3i)2p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) 2 2(1) 1, (1) , (1) 1s dl a a l a f a a = + + = = + + f este continu n punctul x=1 dac ls(1)=ld(1)=f(1)21 a a a + + = ridicnd la ptrat se obine : 2 21 a a a + + =a=- 1 2p 2p 1p b) Pentru a=-1 funcia f devine: 21, 1( )1 , 1x x xf xx xx + s= + > fs(1)=12, fd(1)= f nu este derivabila n punctul x=1, acesta fiind punct unghiular pentru graficul funciei f 1p 1p 1p 2p c) ( ) 1lim lim 22 2x xf x x xx x += =+ + 1p 2p 2p 2.a) 1 1 12 20 0 023 1 2( 3)( 3) ( )( 3) 1 2 ( 3) 111 1 1 17ln( 6 10) (ln17 ln10) ln0 2 2 2 10x xx f x dx dx dxx xx x+ ++ = = =+ + + += + + = =} } } 2p 2p 1p b) | | | |21 120 011 1'( ) ''( ) { '( ) } '( )0 2 2f x f x dx f x dx f x = =} } 1p 1p 24BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2 22 6 8 3( ) , (1) , (0)( 6 10) 289 50xf x f fx x+' ' ' = = = + + 2 22 6'( )( 6 10)xf xx x +=+ + 4'(1)289f = ; 3'(0)50f = ; 12 201 8 3'( ) ''( ) [( ) ( ) ]2 289 50f x f x dx = } 1p 1p 1p c) 2 221 12( 3)'( ) ( 3) 5 41 ( 3) 1xf x dx dx arctgx arctg arctgx+= = + = + +} } 2p 1p 2p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 7 Prof: Andrei Lenua +Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. +Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. +Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. 3 382x x + +=16 2 8 x x = =3p 2p 2. ( ) ( ) 0 0 2012 2012, 1 1 2012 2011 f f = = = = ( ) 2012 2012 2012 0 f = =0 p =2p 2p 1p 3. 2 3 33 3x x=2 3 3 x x = 3 x =1p 2p 2p 25BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 4. p=numrul cazurilor favorabile/numrul cazurilor posibile Avemtrei cazuri favorabile i cinci cazuri posibile ( prin verificri , se obin propoziii adevrate pentru n=1,2,3) 35p =1p 2p 2p 5. 12ABCAA= A , unde 1 12 23 3111x yx yx yA =0 2 11 1 12 0 1A ==8,4ABCAA=2p 3p 6. ( )0 0 0 0sin70 sin 90 20 cos20 = =2 2sin cos 1 x x + =innd cont de relaia de mai sus obinem 2 0 2 0cos 20 sin 20 1 + = 2p 1p 2p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) Folosim relaia 1 2 3bx x xa+ + = 1 2 30 x x x + + =2p 3p b) ix ( )1,3 i =rdcin a ecuaiei 3 34 3 0 4 3, 1,3i i i ix x x x i + = = =( )3 3 31 2 3 1 2 34 9 4 0 9 9 x x x x x x + + = + + = = 3p 2p c) ( )3 3 31 2 3 1 2 33 d x x x x x x = + +1 2 33 x x x = ( ) 3 3 9 0 d = + =Obs. Determinantul se poate rezolva usor folosind proprietile determinanilor, i anume se adun toate liniile (coloanele) se obine suma rdcinilor care este egal cu 0 i astfel determinantul este egal cu 0. 3p 1p 1p 2.a) 2012 0 2012 00 1 0 1x yx yA A| | | | = ||\ . \ . 2012 2012 0 2012 00 1 0 1x y x yx y x yA A A++| | | | = = = ||\ . \ . 2p 3p b) (M,) grup abelian (comutativ) dac sunt ndeplinite urmtoarele axiome asociativitate, comutativitate, element neutru, elemente simetrizabile Asociativitate ( ) ( ), , ,x y z x y z x y zA A A A A A A A A M = e( )( ) ( )( )x y z x y z x y z x y z x y zA A A A A A A A A A+ + + + + = = = = Comutativitate, ,x y y x x yA A A A A A M = ex y x y y x y xA A A A A A+ + = = = Element neutru ( )eA M - eastfel nct x e xA A A = ,xA M e1p 1p 1p 1p 26BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 0x e xA A x e x e+ = += = ,deci elemental neutru este 0AElemente simetrizabile 00x ex x xA A A A A x x x x' '+ = = + ' = ' = 1p c) ( )x yf x y A ++ =x y x yA A A+ = ( ) ()x yA A f x f y = 2p 2p 1p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) ( )21 111xx'| | = |+\ . + ( )( )21 1 11 1 11 11f x x xx xx' '' ' '| | | |= + + = + + = ||+ +\ . \ . + ( )( )2221x xf xx'+=+ 2p 2p 1p b) Monotonia funciei este dat de semnul derivatei nti ( )( )22220 0 2 01x xf x x xx'+= = + =+ 1 22, 0 x x = = ,( ) 0 f x'>pentru | ( ) , 2 0, x e + ,( ) 0 f x'spentru| | { } 2,0 1 xe Pentru| ( ) , 2 0, x e + f este cresctoare, iar pentru| | { } 2,0 1 xe f este descresctoare 1p 1p 2p 1p c) ( ) ( )111 limsxxl f x = = + Ecuaia asimptotei verticale este1 x = 2p 2p 1p 2.a) ( )2255xxx'+ =+ ( )( )2 2 222 2200 0 05 55x xdx dx x dx xf xx'= = + = ++} } } 2205 3 5 x + = 2p 2p 1p b) ( )422V f x dx = } ( )( )4 422 22 25 5 V x dx x dx = + = +} } 1p 2p 2p 27BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro V =43264 8 865 20 103 3 3 3xx | || |+ = + = ||\ .\ . c) 2 0 22 2 22 2 05 5 5 x x dx x x dx x x dx + = + + +} } } 0 22 22 05 5 x x dx x x dx+ = +} } 2 0 2 2 22 2 2 2 22 2 0 0 05 5 5 5 5 0 x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx + = + + + = + + + =} } } } } 2p 2p 1p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 8 Prof: Andrei Lenua +Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. +Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. +Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. 3510 C =10 10 0 =3p 2p 2. 5 6 0 x + > 65x > 6,5x| |e + |\ . 5 6 36 6 x x + = =66 ,5| |e + |\ ., deci soluia ecuaiei este6 x =1p 2p 2p 3. Ecuaia are rdcini reale egale dac0 A =( )22 2 24 3 2 4 9 24 4 4 9 24 b ac m m m m m A = = + = + + = +21 249 12 0 0,3m m m m + = = = i 20 m =1p 2p 2p 4. Fie x preul iniial al produsului, atunci5190100x x =95190100x =190 10095x=200 x = lei 2p 1p 1p 1p 5. 1 12 1 2 1x x y yx x y y = 5 40 5 2 4x y = 2p 3p 28BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro ( ) ( ) 2 5 5 4 2 5 10 0 x y x y = + =6. Formula pentru aria triunghiului este sin2DEFDEDF DAA =012 6 sin602DEFAA=036 sin60 = 336 18 32DEFAA= =2p 1p 2p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) 21 1 1 1 4 43 3 3 3 12 12A| | | | | |= = |||\ . \ . \ . 4 4 1 14 412 12 3 3A| | | |= = ||\ . \ . 2p 3p b) ( ) ( ) ( )( )22 2 2X a X b aA I bA I abA aA bA I = + + = + + +innd cont c 24 A A =( ) ( ) ( ) ( )2 24 4 4 X a X b abA aA bA I ab a b A I X a b ab = + + + = + + + = + +3p 2p c) ( ) X ainversabil( ) ( ) ( )det 0 X a X a =( ) ( ) ( )( )21det 1 3 1 33 3 1a aX a a a aa a+= = + + + ( ) ( )2 2det 3 3 1 3 4 1 0 X a a a a a a = + + + = + = , pentru oriceaeZ1p 2p 2p 2.a) Aplicm relaiile lui Viete 1 2 34 x x x + + = i 1 2 1 2 2 310 x x x x x x + + = ( ) ( )22 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 2 2 32 x x x x x x x x x x x x + + = + + + + ( ) ( )24 2 10 = 2 2 21 2 316 20 36 x x x + + = + = , este o constant, deci nu depinde de m 1p 3p 1p b) ix ( )1,3 i = rdcin a lui( )3 20 4 10i i i if f x x x x m = = + ( ) ( )3 3 3 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 34 10 3 x x x x x x x x x m + + = + + + + + nlocuind 1 2 34 x x x + + = i 2 2 21 2 326 x x x + + =se obine 144 3 9 3 135 45 m m m = = = 3p 2p c) 1 2 3 1 2 2 3 3 2 1 2 34, 10, x x x x x x x x x x x x m + + = + + = = ( )1 2 3 2 3 2 31 2 3 3 1 1 2 3 3 11 2 3 1 2 1 2111x x x x x x xd x x x x x x x x x xx x x x x x x+ += + + = + + =+ + ( )( )2 2 21 2 3 1 2 1 3 3 2 1 2 3x x x x x x x x x x x x + + + + ( ) ( ) 4 10 26 4 36 144 d = = = eN 2p 2p 1p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 29BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1. a) ( )( )( )222222 2xf x xx'''+= + =+ 2 222 2 2x xx x= =+ + 3p 2p b) ( ) limxf x= + funcia nu admite asimptot orizontal y mx n = + , ( )22lim lim 1x xf x xmx x += = =( ) ( )( )2 222 22 2lim lim 2 lim lim 02 2x x x xx xn f x mx x xx x x x | | | |+ = = + = = = ||+ + + +\ . \ . Ecuaia asimptotei ablice estey x =1p 1p 2p 1p c) fconvex dac( ) 0, f x x''> eR ( )( )( )2 22222 222x x x xxf xxx''''''+ +| |= = = |+\ .+222222xx xxx+ ++ ( ) ( )2 22 2 2 22 20,2 2 2 2x xxx x x x+ = > e+ + + +R 1p 2p 2p 2.a) ( ) ( )219 99x dx x dxx+ = ++} } 29 92xxdx dx x C + = + +} } 2p 3p b) ( )2 219f xx=+ ( )21 12 20 0919 2 9xxdx dxx x'+=+ +} } ( )1201ln 92x = +( ) ( ) ( )1 1 10ln 1 9 ln 0 9 ln2 2 9= + + = 1p 2p 1p 2p c) Aria este egal cu( )120120f x dx} 2012 20120 1 0 1 9 9 10 x x x s s s s s + s ( )2012 20121 1 1 1 110 9 9 10 9f xx s s s s+ ( )1201201 110 9f x dx s s} 1p 2p 1p 1p 30BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 9 SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. a=3 3 3 364 4 4 b = = = a !N( )355605 3 2A5! != = = ! ! 2p 3p 5. ( )2,4 1 Am m+ se afl pe dreapta d dac i numai dac coordonatele punctului A verific ecuaia dreptei d. n ecuaia dreptei punem 2x m = i4 1 y m = + , obinem( )224 4 0 2 0 2 m m m m + + = + = = 2p 3p 6.2 2sin cos 1 x x + =1p 3p 31BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2 21 24cos 1 sin 125 25x x = = =24 2 6cos5 5x = = Cumx este msura unui unghi ascuit, rezult 2 6cos5x = 1p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) 2 0 2det 0 2 00 0 2A =det 8 0 0 0 0 0 A=++ det 8 A =1p 3p 1p b) 1A este inversa lui A dac 13A A I =131 0 00 1 00 0 1A A I| | | = = | |\ . 2p 3p c) Am vzut la punctul a c 1A este inversa lui A Deci, 12 2 24 4 46 6 6X A| | |= | |\ . 2 2 22 2 23 3 3X | | |=| |\ . 1p 2p 2p 2.a) 2012 2012 2012 =2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 - = + +1p 3p 32BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro Rezultatul final2012 2012 2012 - =1p b) 2012 2012 x y xy x y - = ( ) ( )2012 2012 2012 2012 x y y = + ( )( )2012 2012 2012 x y x y - = +3p 2p c) ( )( )2012 2012 2012 x a a x a a - = + =( )( ) ( )( )2012 2012 2012 0 2012 2012 1 0 x a a a x + = =Cum x este un numr real oarecare2012 a =2p 2p 1p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) fcontinu n( ) ( ) ( )01 1 1 1s dx l l f = = =( ) ( ) ( )1 11 11 lim lim 2 1 1sx xx xl f x x < e 2p 2p 1p b) ( ) ( )| |( ) ( )| | ( )( ) ( ) ( )20 1 0, 1 1 0 continu pe0,1 are cel puin o rdcin n0,11 strict cresctoare pe0,1 21 , 2are o singur rdcin n0,1f f effff= < = > 1p 1p 1p 1p 1p 42BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )'' 2 ''' 3 231' '1 2 1 22 2 1 , 2 I2 2II DinIiII , 3x xk kk k k x k xnf x e f x e P AP A P Af x f x e e AP A n n++ += + = = = = e > N 2p 2p 1p 2.a)( )( )( )303 333113 3lim lim1 11lim3 3xx xxxf t dtx xxx += =+ = =}= 3p 2p b) ( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )2 221 11 11 1 1ln 11 111Fieln 1 ,10 1 1 1 21ln 1 21xxdx dxx xdx xx xxH x x cxH c cH x xx+ = =+ + = + + ++ ++= + + ++= + = = = + + +} }}C 1p 1p 1p 1p 1p c)( )( )12051015315|V f x dxx= =+= ==} 1p 2p 2p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 13 Prof: Badea Ion +Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. +Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. +Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 43BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1. { }2 1 3 3 2 1 31 2dar1,0,1,2card 4x xxx AA s s s s se = =Z 2p 1p 1p 1p 2. ( ) ( )( )20,3 0 3 31 222 3fA G f baaf x x xe = = = = = + 2p 2p 1p 3. ( ) ( ){ }22CE1 2CE: 2 0 ,0 2,2 3 01,3 1,3x x xx xx x S > e == = = 1p 2p 2p 4. 310C120== 3p 2p 5. 1 2 1 2202 1 01x x y ym mm+ = + == 2p 2p 1p 6. ( )00cos 180 coscos90 00x xS = == 2p 1p 2p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) 22A 2I =2012 10062A 2; I = 3p 2p b) ; 2finalizarex yX XA AXz tt xy z| |= = |\ .= =` 1p 3p 1p c) ( )( )( ) ( )( ) ( )2k22k+13 5 2011 2 10052 1005 10062 4 6 2012 2 1006 10062 2A 2 ,A 2 ,A+A +A +....+A 2 2 ... 21 2 2 ... 2 2 1A +A +A +....+A 2 2 ... 2 2 2 1 .kkI kA kA A A AA AI I-= e= e= + + + + == + + + + = = + + + = NN 1p 1p 2p 1p 2. Definiia elementului neutru2p 44BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro a) 5 e =eZ 3p b) Definiia elementului simetrizabil 3' 3 = eZ 2p 3p c) ( )( )( )4 4 44 4 4x y x yS a b b- = += - - = - = 2p 3p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) ( )( )( )( )' '2,141: 1 4 02 4xxe ef x fxe et y x ex y e= =+ = + = 2p 3p b) ( )( )11lim =limxxxf xf x>= 3p 2p c) concluzia 4p 1p 2.a) ( ) ( )( ) ( )'' 2Fie:primitiv pentru derivabil pe i 3 1 0 strict cresctoare pe F fF F x f xF x x xF == + > e R RRRR 2p 2p 1p b) ( )( )( ) ( )( )333Fie: , 1,3 1 3 2 3 11Ff x dx x xF F x x x cA G F c cF x x x= + + = + +e = + = == + +}R RC 2p 1p 1p 1p c) | | ( ) ( )( ) ( )11 10 00: 0,1 , 112 1 1| |xx xg g x x eg x dx x e ee e e = += + == + =}R 1p 3p 1p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 14 Prof: Badea Ion 45BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro +Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. +Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. +Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. ( )1210 progresie aritmetic,2, 3 155 3 310 0, 1029.nnna a rS n n n nx a-e-= == + = e == =NN1p 3p 1p 2. 1 21 21 22 21 22 21 2 1 2111 22 11 2 2 1 0x xx x mx xx x mx x x xm m m + = = = + = + = = = 2p 2p 1p 3. 1 051,5 2 0 2xxx > (e ( > Prin ridicare la ptrat se obine 24 21 26 0 x x + ={ }1252 1,213 51,4 22xxS (= e ( (= e ( = 1p 1p 1p 1p 1p 4. 210210310 9 905 9 453 3 6 18N 9 17 17ACP= == == == . 1p 1p 1p 2p 5. 1,21 12 1 1 30 0 13 222xx xxxA = A= == 2p 2p 1p 46BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 6. ( )MN=MB BN1 2AB BC3 31 2AB AB AC3 31 2AB AC.3 3+ == + == + + == +, , ,, ,, , ,, , 1p 2p 1p 1p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) Demonstrarea relaiei5p b)( ) ( ) ( )1, , ,n n nA a b Aa na b n -= eNDemonstrarea prin inducie sau cu metoda binomial 3p 2p c) ( )( )201220111 12012 20121 1 1,11 1 1, 1a aa ba b Aa b A= = == = = = 2p 1p 1p 1p 2.a) ( )( )1 01 40 12 1ffa b aa b b = = + = = = = 2p 3p b) Relaiile lui Viette 21 2 3 32 2 2 21 2 321,21 1 1+ =1+ 22 1 3sx x x sx x x aa a+ =+ = = = 2p 1p 1p 1p c) ( )( )2 2 21 2 1 2 3+11 1 2s s x x x (A = + = = + = 3p 2p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) ( )( | | )( )222;, 1 2,2;1,2x x xf xx x x e = + + e f derivabil pe{ } \ 1,2 R (funcii elementare) i 1p 1p 47BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro ( )( ) ( )( )( ) ( ){ }'' ''2 1;, 1 2,2 1;1,21 3, 1 3,nu e derivabil n1analog nu e derivabil n 2D \ 1,2s dx xf xx xf f ff e = + e = = = R 1p 1p 1p b) Concluzia conformtabelului 3p 2p c) ( )( )( ) ( )limnu are asimptot orizontallim 11lim21:asimptot oblic spre 2xxxh x hh xmxn h x xd y x= = == = = 1p 1p 2p 1p 2.a) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) continu pe0,e ,- funcii elementare1continu n continu pe0,admite primitive pe0,s df ef e f e f e f ef f= = = 2p 1p 2p b) ( ) ( )1112 211220 ,1lnIntegrnd prin priln4 234|eeh x x eA x xdxx xA xee ( s e = | | = = |\ .=} 1p 1p 2p 1p c) ( ) | |( ) | |( ) ( ) | || |( )20122012220121ln 11,2iln 0, 1 01, 2ln 1 1,2prin integrare pe1,212013x x xx x xx x xf x dxs e> > e s e s} 1p 1p 1p 1p 1p 48BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 15 Prof: Badea Ion +Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. +Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. +Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. ( ) ( ) 2 2 2 2 22log 5 3 log 5 3 log 11 log 22 log 11log 2 1 + + = == = 3p 2p 2. ( )22 1 2 3 ... 2012 20122012 20132 201222012S = + + + + == == 2p 2p 1p 3. { }250,5222 22 02,1x xx xx+ += + = e 1p 2p 2p 4. ,2 10 x x e s s NFormula de calcul a combinrilor { }66,7,8,9,10xx>e 1p 1p 2p 1p 5. Formula pentru coordonatele mijlocului unui segment ( ) ( ) ( ) A 2,2 ,B 2, 2i C 4,0 2p 3p 6. 2 22cos 1 sin5 13, cos 025cos13 = =| |= |\ .| |e < |\ . = 1p 1p 1p 2p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) ( ) ( )( )2det 3 inversabil Ax x xAx x-= +eR 3p 2p 49BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro b) ( ) ( )( )( ) ( )1det 1 4 1inversabil2 2 01 = 0 2 22 0 21 102 21 1 11 = 1 = 0d 2 21 102 2A AAA A- -= | | | | |\ .| | | | | | | | |\ . 1p 2p 2p c) ( )111 11111xy Az| | | | ||= = || ||\ . \ .| | |= | |\ . 3p 2p 2.a) ( ){ }( )` `{ }66 6U 1,5U 0,2,3,43 S= ==``Z` `Z Z` 2p 1p 2p b) ``{ }`{ }det 3 4det 1 3 4 1 3 3 1,3,5det 5 3 4 5 3 11,3,5A xA x x xA x x xx= += + = = e= + = = eue`` ` ` ` ` `` `` ` ` ` ``` ` 2p 1p 1p 1p c)( )`( ) { }, 1,2 xy e` 5p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) ( )25 7lim limxx xx xl f xe + += =Se aplic regula lui lHospital de dou ori i se obine 0: 0 asimptot orizontal spre ld y= = 1p 2p 1p 1p b) F derivabil pe( ) ( )' 2 i3 2xf x e x x = + R( ) { } ( ) ( )' 20 1,2 , 1 3 ,2 f x x f e f e = e = =1p 1p 50BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1 maximlocal, 2 minimlocal 2p 1p c) ( ) ( ) ( )220 7, 1 3 ,27f f e f ee= = =s Conformtabelului de la b)( ) ( ) | | 7 3 ,0,2 f x e x s s e1p 1p 3p 2.a) fcontinu ( )0111 10 00sin 1 cos12ln 2231 2ln23cos1 2ln2| |xdxxdx x xxI= += + =+= = }} 1p 1p 1p 1p 1p b) ( )020 0 22 2sin2sin2I xdxIV f x dx xdx === = =}} } 2p 1p 2p c) ( ) ( )( )002ln 2 2ln21lim 1xxxf t dt x xf t dtx= + +=}} 2p 3p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 16 Prof:Bcu Cornelia+Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. 51BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro +Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. +Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. 2331 1 1 116, ,log 34 8 2 21 116 162 2| |= = = |\ .| | = e |\ .N 3p 2p 2. a,a+2,a+8 n prog. geom. rezult2( 2) ( 8) a aa + = +2 24 4 8 ,4 41a a a a aa+ + = + == 1p 2p 2p 3. ( )( )( ) 3(3 2) 2 9 8( ) ( ) 6 66 6 0, 1f f x x xf f x f x xx x= = = = =2p 2p 1p 4. 21010!452!(10 2)!C= 2p 3p 5. ( )3 2 02 3 52, 3x yx yA = = 2p 3p 6. 0 00 00 0 01 2cos60 cos452 2cos120 cos602cos60 cos45 cos1202= == + + = 2p 2p 1p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) A1(-1.1), A2(-2,2):2p 2p 52BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1 12 21 21 21: 1 01:A AA Ax yA A x yx yA A x y== 1p b) 2 3 2 23 32 311, 12132A AAAA A AA AAAAx yA x yx yA= A A == 3p 2p c) A2011(-2011,2011),A2012(-2012,2012) 2011 20112012 201211 01O OA AA Ax yx yx y=Deci O, A2011,A2012 coliniare 1p 2p 2p 2.a) 2012 201202012 ( 2012) 20122012 1 = == 5p b) 222 22 122 20122012 20122 1, 1x xx xx xx x x++ ==+ = = 3p 2p c) 20122012 201220122012 20121x yx yzz zx y zx y++++ +==+ = 2p 2p 1p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 53BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1. a) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )2 22 2224 4 32 1 2 1 2 1 2 1(2x-1)(x -2x+1)2 12 1 2 2 1 1 1 2 2 4 221 1 1x x x x x xx xx x x x x xxx x x''' + +| | = = |\ . + += = 3p 2p b) ( )( )( )( )| ) ( ) ( )332120 0 01( ) 0, 0,1 , ( ) 0, ,0 1,lim ( ) 0,1min, (1) 1 ( ) 1xxf xxxf x xxf x x f x xf xx f f x' =' = = =' ' > e < e == = > 1p 1p 1p 2p c) ( ) ( )( ) ( )1 11 1lim ,lim 1 asimptot vertical spre lim 0, lim 0 0 asimptot orizontal spre Funcia admite asimptot vertical, asimptot orizontal i nu admite asimptot oblicx xx xx xf x f x xf x f x y > < = = = = = = . 2p 2p 1p 2.a) 0000lim ( ) 1lim ( ) 1( ) 1. . .xxxxf xf xf xfcont fadprim= = = 1p 1p 1p 2p b) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 0 121 1 00 12 3 21 02 1 3 2 12 1 1| |f x dx x dx x x dxx x x x x = + + + = + + == + = } } } 2p 2p 1p c) ( ) ( ) ( )( )( )2 222 3 23 223 23 2 1 910 91 0 1 1 011; 1, ,2 13|aa af x dx x x dx x x xa a aa a a a aa a a a= + = + = + = + = + = (= = e = ( } } 2p 1p 1p 1p 54BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 17 Prof:Bcu Cornelia+Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. +Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. +Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. 2 1 145 3 32 1 145 3 325 65,2 6xxx = = e ` ) 2p 2p 1p 55BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2. ( ) ( ) ( )( ) ( ){ }22 23 3 3 31 1 3 3 1 3 2 02, 1f f x a ax ax af f a a a aa= = = = + + = e 2p 2p 1p 3. 112130abcda b c d= = = =< < < 1p 1p 1p 1p 1p 4. nr.caz.fav.nr.caz.posibilenr.caz.posibile 90nr.caz.fav 6115PP==== 1p 1p 2p 1p 5. 2sin sin3212 2 23 2, 3MN NPRP MNPRNP R= == == = 2p 2p 1p 6. 224040MNNPMN NP MNPis=== A 2p 2p 1p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) 23 2 1det 1 11 2det 7A aaA a a== + 2p 3p b) { }det 5 05, 5, 51,1,1x y zAd d dS= == = == 1p 3p 1p 56BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro c) 221,2det 77 0 29 . .det 0,A a aa a p pa A a= ++ = A = =e = e R 1p 2p 2p 2.a) ( ) 2012 2012( 2012) 2012( 2012)( 2012) 2012x y x y yx y= + = + 3p 2p b) . . ,( 2012)( 2012) 20122013e a i x e e x x xx e x x e xe- e = = e= + = = eR RR 1p 2p 2p c) 2012 2012 2012,1 2 ... 2012 2013 2012 2013 2012x x xx= = e= =R 3p 2p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) 2012 20112011( ) 2012(2012 ) 2012 ln2012( ) 2012 2012 ln2012x xxx xf x x' =' =' = + 2p 2p 1p b) 0 0 00 0( )( )1, 1(1) 2012(1 ln2012)1 0y y f x x xx yf aax y a' = = =' = + = + = 1p 1p 1p 2p c) 2010 22010( ) 2012 2011 2012 ln 20120,2012 0( ) 0 .xxf x xxf x fconv pe'' = +> >'' > R 2p 1p 2p 2.a) 4 42 2421 1( ( ) )2ln 23ln6 ln4 ln2f x dx dxx xx = =+= + == =} } 2p 2p 1p 57BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro b) | )| )2 2. ( ) ( ), 1,1 1( ) ( ) 0( 2)( ) 0 . 1,Fprim f F x f x xF x f xx xF x Fconc pe' = e '' ' = = > e = =e = 1p 1p 1p 1p 1p 5. (2,0), (4,2), (6, 4),3 32(4, )3A B C A B CG GA B Cx x x y y yx yG+ + + += = 2p 2p 1p 6. 2 22( 2 ) (1 4)2 10 13 130, 5AB a aa aa a= + + + == = 2p 2p 1p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) 21 0 1 0( 1) , (1)0 1 0 10 0( 1) (1)0 0f fF f O | | | | = = ||\ . \ .| | + = = |\ . 2p 3p b) 2 0(2 )0 22 0 1 00 2 0 112xf xxxxx| |=|\ .| | | |= ||\ . \ .= 2p 2p 1p 59BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro c) ( )( )2220122012201220122012201320130( ) ( )00( ) ,02 0 2 0(2) ... (2) ...0 2 0 22 .. 2 00 2 .. 22 2 00 2 2nnnxf x f xxxf x nxf f-| | =|\ .| |= e |\ .| | | |+ + = + + = ||\ . \ .| | + += |+ +\ .| | |\ .N 1p 1p 1p 1p 1p 2.a) 2 0 3 2 034g x xxx= + + === 1p 2p 2p b) 4 4 (3) 0, (4) 0 3 1,4 1 1 0 4gf f gc f fa a = = == =+ = = 2p 2p 1p c) { }{ }44551 0,1 , ( ) 1,2 ,f xa af a a= +e ee eZZ 1p 2p 2p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) 0( ) (0)lim (0)( ) ln2012(2012 2012 )(0) 2ln2012xx xf x ffxf xf' =' = +' = 2p 2p 1p b) 2012 0,( ) ln2012(2012 2012 ) 0,xx xxf x x> e' = + > eRR 2p 3p c)D f = R nu admite as.vericale1p 60BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro lim ( ) , lim ( )x xf x f x = = deci fc.nu admite asimptote orizontale ( ) ( )lim , limx xf x f xx x = = deci fc.nu admite as.oblice 2p 2p 2.a) 121111 1ln2 11 ( 1)ln2 ( 2)( 1)eeeedxxxxe ee e++== =+++ } 2p 2p 1p b) 232( ) ( 1)( )3gx xxgx dx x x C= = + +} 2p 3p c) ( )( )( )( ) ( )( )3223'22231 1 1221211111 1 1 1, , 21 8 31 1|nnn n nx dxxx dxxn nnn x = =| |= = e > | \ . + }}N 1p 2p 2p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 19 Prof: Brabeceanu Silvia +Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. +Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. +Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 61BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1. { }3 31 1 12 25 15, 4, 3, 2, 1x xxxx+ +s s s s s e `e)Z 3p 2p 2. ( ) 0 0 0fA G f c e = =212444fbaaV Gba == e A = = Finalizare( )24 f x x x = 1p 3p 1p 3. Condiii 2 5 05,3 0 2xxx+ > |e +|+ > . ( )222 5 3 4 4 0 x x x x + = + + + =52 ,2x|= e +| . 1p 2p 2p 4. ( )244!62! 4 2 !C = = ( )255!205 2 !A = = Finalizare 3 6 5 20 118 + =2p 2p 1p 5. 1v,i 2v,sunt coliniari 31 2aa = 1 2236 02aa aa= = = ;0 3 a a > =2p 3p 6. 2 2 2cos2BC BA ACBBCBA+ = 9cos16B =3p 2p 62BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) 31 2 32 1 1 42 3 1A I | | | = | |\ . ( )3det 2 12 A I = 2p 3p b) ( ) det 2 A = ( ) ( ) det 2 0 3 A rang A = = =3p 2p c) Din b).( )1det 2 0 A A= = - inversa matriceiA 1 1 13A AX A I X A = = ,113 7 1119 5 721 1 1A | | |= | |\ . Soluia ecuaiei este inversa matriceiA 2p 1p 1p 1p 2.a) 6 e =elementul neutru al legii de compoziie dac6 6 , x x x x - =- = eR 6 6 6 , x x x x - = + = eR 6 6 6 x x x - = + = x eR3p 1p 1p b) ( )( )2 2 23 1 2 6 0 3 2 1 0 x x x x x x + - + > + > 1 2213 2 1 0 16 31xx xx=+ = A = = Folosind semnul funciei de gradul doi, soluia inecuaiei este( |1, 1 ,3x |e | . 2p 2p 1p c) 2 7 2 71 1 1 1 1 16 62 22 2 2 2- - - = + + + 2p 1p 63BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro Formula 11, 11nnqS a qq= = a progresiei geometrice de raie 12q =Calcule care vor conduce la 77 71 112 21 136 35 35 012 22 (| | ( |\ .(| | = = + < |\ . 2p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) Condiia ca o funcie s fie continu ntr-un punct 0x ( ) ( )0 02 2; lim lim3 3 x xf x f x = = _ ( )203f f = continu n 00 x =2p 2p 1p b) ( )( )( )221, 031, 03xxf xxx 0se alege pentru derivare f(x) =43++xx. 2') 4 ()' 4 )( 3 ( ) 4 ( )' 3 ()43(++ + + +=++xx x x xxx. f(x) =2) 4 (1+ xif(2) =2) 4 2 (1+=361. 1p 1p 1p 2p c)Asimptota orizontal se determin pentru x .1p 84BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro l x fx= ) ( lim , l finit. 143lim =++ xxx. 143lim = xxx f admite asimptot orizontal de ecuaie y =1 la . 1p 1p 2p 2.a) f0(x) =112+ x,dx x f ) (0}= dxx}+112. dxx}+112=arctg x +cidxx}+21211=arctg x21| . arctg x21| =arctg 2-4.2p 2p 1p b) I2010 = dx x f}102010) ( = dxxx}+10220101 . I2012 = dx x f}102012) ( = dxxx}+10220121. I2010 +I2012 = dx x f x f ) ) ( ) ( (102012 2010}+ = dxxx x}++1022012 20101. I2010 +I2012 = dxxx x}++1022 20101) 1 (= dx x}102010=102011|2011x=20111. 1p 1p 1p 2p c) f2(x) =122+ xx,A(f) = dxxx}+10221. Calculul 122+ xx=11 122+ +xx=1- 112+ x. A(f) = dx x f}102) ( = dxx}+102)111 (=(x - arctg x)21| =1- arctg 2 +4. 2p 1p 2p 85BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 25 (ascuns - pentru teste) BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 26 Prof:Dogaru IonSUBIECTUL I (30 de puncte) 1. 169 A = 11x7= ;2x 2 =1x [ ,2]7e1p 2p 2p 2. N =Numrul submulimilor cu 3 elemente ale mulimii A care conine elementul 5 este egal cu numrul submulimilor cu 2 elemente ale mulimii A\{5}; N =29C 36 =3p 2p 3. Nr.caz.fav. =81; Nr.caz.posib.=90; p =nr.caz.fav.0,9nr.caz.posib.=2p 2p 1p 4. x 1 06x 5 0 > >x (1, ) e + ; 6x2 11x 95 =0; 2401 A = ; x1=5(1, ) e + ; x2 =19(1, )6e + 1p 1p 1p 1p 1p 5. d2(A,B) =(m +5)2 +( - m-7)2 =100; m2 +12m 13 =0;196 A = ; m1 =- 13 ; m2 =1 2p 2p 1p 6. u v 6i 3j + = , ,, ,; u v 3 5 + =, , 2p 3p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) rangA 2 x \{1} > eR ; rangA 2 detA 0 > = ; rangA =2x 2 = 1p 2p 2p b) Pentru x =- 2 3 3 3A 3 3 33 3 3-| | | = | |\ .; 3p 86BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro detA* =0 2p c) Y1,3( ) eM R ( ) Y x y z ;x,y,z = eR; x =- 1 i YA =B x y z 1 = = = , Y = ( ) 1 1 12p 3p 2.a) f =x3 9x2 x +9 =(x2 1)(x 9); q =x 9; r =0 3p 2p b) x1, x2, x3 rdcinif(x1) =f(x2) =f(x3) = 0 i x1 +x2 +x3 =9; 3 3 3 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3x x x 9(x x x ) (x x x ) 27 9(x x x ) 18 + + = + + + + + = + + 2p 3p c)f(3x) =0 (3x 1)(3x +1)(3x 9) =0; 3x 1 =0 x =0; 3x +1 =0 ecuaie imposibil;3x 9 =0 x =22p 1p 1p 1p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) 3 3xlim x 3x 4+ = Gfnu are AO xf (x)lim 1x= ; xlim[f (x) x] 1 = ; y =x +1 , asimptot oblic; f cotinu pe RfG nu are AV 1p 1p 1p 1p 1p b) 3 2x 3x 4 0 x 1,x 2 + = = = ; 23 3 2x 2xf (x) , xx 3x 4+' = e+ R\{-2,1}; 2f (x) f (x) x 2x, x ' = + e R\{-2,1} 1p 2p 2p c) f(-2) =0f nu este derivabil n x0 =- 2; 3 3 23sx 2 x 2x 3x 4 x 1d lim limx 2 x 2 + = = = ++ + ; 3 3 23dx 2 x 2x 3x 4 x 1d lim limx 2 x 2 + = = = + +_ _ 1p 2p 2p 2.a) 2f (x) 3(x 1);f (x) 0 x 1 ' ' = = = ; f este strictcresc. f (x) ' >0 x ( , 1),respectiv(1, ) e + ; f este strictdescresc. f (x) 0 ' < x ( 1,1) e 1p 2p 2p b) I =3 322 2f (x)dx (x x 2)dxx 1= + } }; I =33 22x x2x3 2+ =416 2p 3p c) 22x 13 2 4 1, x [ 1,0]f (x) x 1 (x 1) x 2= e +; I =20113( )xdxf x}=0142ln x 1 ln x 2x 1 + +; I =- 2 3ln2 2p 2p 1p 87BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 27 Prof:Dogaru IonSUBIECTUL I (30 de puncte) 1. (1 +i)4 =- 4 ; (1 - i)4 =- 4 ; (1 +i)2012 -(1 i)2012 =(- 4)503 - (- 4)503 =0 1p 1p 3p 2. 11x 4 0x 2 0+ > >x 2 > ; x2 15x =0 x =0 i x = 15; Soluia ecuaiei: x = 15 2p 2p 1p 3. a6=a3 +3r; a16 =a19 3r; a3 +a19 =a6 +a16 =2012 1p 1p 3p 4. x2 1 =0x 1 = ;x +2 =0x 2 = ; x-2 -1 1+ x +2-- - - - 0+ + ++ ++ + +++ x2 1+++++++0- - 0++ + +(x +2)(x2- 1)- --- - 0++ +0 ---0+ ++++| | | | x 2, 1 1, e +2p 2p 1p 5. Fie M mijlocul segmentului [AB] M(-1,2); mAB =- 1 m' =1 Ecuaia mediatoarei lui [AB]:x y +3 =0 1p 2p 2p 6. 2 2 2sin x cos x cosx 2cos x cosx 1 0 = + = ; cosx 1 x { 2k ,k } = e t + t eZ ; 1cosx x { 2k ,k }2 3t= e + t eZ ; 5x [0,2 ] x { , , }3 3t te t e t1p 1p 2p 1p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) 2 11, rangM 2, m3 1= > eR; detM =m2 6m +5; rangM =2detM =0 m =1 sau m =5 2p 2p 1p b) A,B,C sunt necoliniaredetM 0 = ; m2 6m +5= 0 m \{1,5} eR3p 2p c) AABC =21 1detM m 6m 52 2= + ; 2m [1,5] 0 m 6m 5 4 e > + > ; AABCmaxim = 2 2p 2p 1p 88BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2.a) Observm c| |1x y (5x 6)(5y 6) 6 ; x,y5- = + + e; | |1(x y) z (5x 6)(5y 6)(5z 6) 6 x (y z)5- - = + + + = - - ,x,y,z e; -este asociativ 1p 3p 1p b) Elementul neutru al operaiei-este e =- 1 e ; 1x x e [(5x 6)(5x 6) 6] 15' ' - = = + + = ; 15x 65x 6' + =+ Cum1x 5x 6 { 1,1}5x 6' e e +e + ; 5x { 7, 5} e .Deci x =-1 este simetrizabil ix 1 ' = 1p 1p 1p 1p 1p c) Observm c 21x x (5x 6) 6 ; x5- = + e( ; Inductivobinem 2012de2012ori1x x ... x (5x 6) 65- - - = + ( _; 20121(5x 6) 65+ ( =-1 ; 5x 6 1 x 1 + = = e 1p 2p 1p 1p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) xf (x) (x 2)e , x ' = + eR; f (x) 0 x 2 ' = = ; Pe ( , 2] f este strict descresctoare; Pe [ 2, ) +f este strict cresctoare 2p 1p 1p 1p b) xf (x) (x 3)e , x '' = + eR; f (x) 0 x 3 '' = = ; Pe( , 3] f este concav; Pe[ 3, ) +f este convex 1p 2p 2p c) xxx x xx 1limf (x) lim(x 1)e lim 0e += + = = ; y =0 ;AOspre 3p 2p 2.a) F(x) =3x2 +2lnx +C ;x e[1, ) + ; F(1) =2012 C =2009; F(x) =3x2 +2lnx +2009 2p 2p 1p b) 222 3 111V f (x)dx (12x 24x 4x )= t = t + }; V 110 = t 3p 2p c)xf (x)lim 6 mx= = ; | |x x2limf (x) mx lim 0 nx = = = ; y =6x este asimptota oblic ctre+ a graficului funciei f. 2p 1p 2p 89BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 28 Prof:Dogaru Ion SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. (1 +i)4 =- 4 ; (1 +i)4 =- 4 ; (1 +i)2012 -(1 i)2012 =(- 4)503 - (- 4)503 =0 1p 1p 3p 2. Notm3x =y 3y2 10y +3 =0 y1 =3; y2 =1/3; 3x =3 x =1; 3x =1/3 x =- 13p 1p 1p 3. a6=a3 +3r; a16 =a19 3r; a3 +a19 =a6 +a16 =2012 1p 1p 3p 4. 1 2n 1 n 1C C 36+ ++ = (n +1)(n +2) =72; n +1 =8 n =7 3p 2p 5. Fie M mijlocul segmentului [AB] M(-1,1); mAB =- 3/4 m' =4/3 Ecuaia mediatoarei lui [AB]:4x 3y +7 =0 2p 1p 2p 6. 2 2 2sin x cos x cosx 2cos x cosx 1 0 = + = ; cosx 1 x { 2k ,k } = e t + t eZ ; 1cosx x { 2k ,k }2 3t= e + t eZ ; 5x [0,2 ] x { , , }3 3t te t e t1p 1p 2p 1p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) t tlnt 0H (t) 0 t 0 ; t 00 0 1- | | |= > | |\ .; detH*(t) =t2 3p 2p b) H(x) H(y) =1 lnx lny 00 1 00 0 xy+ | | | | |\ .;x,y (0, ) e + ; DeciH(x) H(y) =H(xy);x,y (0, ) e + 3p 2p 90BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro c) H(1)+H(2)+H(3)+.+H(10) =10 ln(1 2 ... 10) 00 10 00 0 55 | | | | |\ .; det[H(1)+H(2)+H(3)+.+H(10)] =5500 3p 2p 2.a) x 2 x 2 0xy 2x 2y 4 0y 2 y 2 0> > + >`> >); x y xy 2x 2y 6 - = +eG;x,y eG; G este parte stabil fa de operaia * 3p 1p 1p b) Observm c operaia * este comutativ; Elementul neutru: e =3; x x 3 x(x 2) 2x 3, x ' ' - = = eG; 1x 2 0, xx 2' = + > eG 1p 1p 1p 2p c) ( 2)( 2)( 2) 2, , , - - = + e x y z x y z xyz G 1 2 82 3 9- - -3 4 10... 2 72 3 9 = + =2p 3p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) 2011( ) 2012 2012, ' = + eR f x x x ; f(1) =0; f (0) =2012; f(1) +f (0) =2012 2p 1p 1p 1p b) (1) (1)( 1) ' = y f f x ; y =4024(x 1) 3p 2p c) 2010( ) 2012 2011 , '' = eR f x x x ; ( ) 0, '' > e R f x x f este convex 3p 2p 2.a) f(x) =x3 +3x, xeR(1) 14 21 130 003( ) ( 3 )4 2= = + = +} }x xI f x dx x x dx ; I =74 1p 3p 1p b) f5(-x) =[(-x)3 +3(-x)]5 =- f5(x), xeR; f 5 este funcie impar151( ) 0=}f x dx3p 2p c) 4 200( 1) 3( 1)( 1)4 2 = +}xxt tf t dt =4 2( 1) 6( 1) 74 + x x; 4 204 4( 1)( 1) 6( 1) 7 1lim lim4 4 + = =}xx xf t dtx xx x 3p 1p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE 91BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro Varianta 29 Prof: Gaga Loghin +Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. +Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. +Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. Se observ c, n irul 1,5,9,, ntre oricare 3 termeni 1 1, ,k k ka a a + ai irului exist relaia 1 1 1 11842 2k k k kk k ka a a aa a a + + + += = = + = , deci irul reprezint o progresie aritmetic, cu 11, 4 a r = = .( ) ( )111 61; 1 61 1 4 1 162 2nna aS n n a a n r n n+ += = = + = + = . Deci3116 496 S = =3p 2p 2. Se vede c obinem( ) 4 fdac facem 12x =( )21 1 2 34 2 3 5 5 42 2 4 2f| | = + = + = |\ . 2p 3p 3. 2 2 2 2 2log 2 log 8 log 2 3log 2 4log 2x x x x x + = + = .Deci 2 24log 2 4 log 2 1 2 2 4x xx x = == =3p 2p 4. Dac elementul 1 intr n toate submulimile, numrul de submulimi va fiformat din combinrile de 9 luate cte k, unde{ } 0,1,2, ,9 k =.Deci numrul de submulimi este 0 1 9 99 9 92 512 C C C + + = =. 3p 2p 5. Doi verctori sunt perpendiculari dac produsul lor scalar este nul, adic 1 20 v v =( ) ( )1 20 4 2 3 1 0 11 v v m m m = + = = . 2p 3p 6. sin2ABCABBC BA = ;( )( )( ), 92ABCAB BC ACA p p a p b p c undep+ += = =( )( )( ) 9 9 8 9 6 9 4 3 15ABCA = =2p 1p 92BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro Deci, 2 6 15 3 15sin32 16ABCABABBC= = = 2p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) 223 0 3 0 3 00 1 0 1 0 1M MM| | | | | |= = = |||\ . \ . \ .. Observm c 3 0,0 1nnM n-| |= e |\ .N . Demonstrm prin inducie. Presupunem adevrat c 3 00 1kkM| |=|\ . i demonstrm 113 00 1kkM++| |=|\ . 113 0 3 0 3 00 1 0 1 0 1k kk kM M M++| | | | | |= = = |||\ . \ . \ .. Deci 3 0,0 1nnM n-| |= e |\ .N2p 2p 1p b) 3 0 3 0det 30 1 0 1n nn| |= = |\ . ( )1 67 det 4 3 729 7 3 4 3 729 3 3 5n n n n nM n+ = = = =2p 3p c) 2 2012 2 20122 20123 0 3 0 3 0 3 3 3 00 1 0 1 0 1 0 2012M M M| | | | | | + + + | |+ + + = + + + = ||||\ . \ . \ . \ . 2012 20122 20123 1 3 13 3 3 3 33 1 2 + + + = = , fiind suma unei progresii geometrice cu raia 3 i primul termen 3. Deci ( )20123 3 1020 2012S| | |=| |\ . 2p 2p 1p 2.a) ( )( )( )( )1 0 2 1 2 02 3 54 2 12 42 0 16 4 1 2 0f m nm n mm n nf m n = + + = + = = = == + + = 5p b) ( ) ( )22 2 31 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 34 2 4 x x x x x x x x x x x x + + = + + + + =1 2 31 2 1 3 2 3120mx x xx x x x x x+ + + =+ + = 2p 1p 93BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro ( )( ) ( )( )22214 1 4 3 5 0 34mm m m m+ = + = + = =2p c) 4 2 4 22 625 6 25 8 0 2 5 6 5 8 0 5 3 5 4 0x x x x x x + = + = + =Notez 2 25 0 3 4 0; 9 16 0xt t t => + = A = = = = + . Deci1 y = este asimptot orizontal la+. Asimptot oblic. Nu exist 2p 2p 2p 1p 98BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2.a) ( )1 1 11121 2 2 2 000 0 01 1 2 1 1ln 1 ln 21 2 1 1 2 4x xI dx dx dx x arctgxx x x += = + = + + = ++ + +} } } 5p b) ( )21 1 1 3 33 2 2 20 0 01201 11 11 1 11 11 ln2 1 ln 21 2 4 4x x xx x x xI dx dx dxx x xxx dxx + ++ + += = = =+ + + + | |= + = + = + |+\ .} } }} 1 3I I ln2 1 = ) 2p 2p 1p 5. Dreptele 1: 2 3 7 0 d mx y + = i 2:3 8 2 0 d x y + =sunt perpendiculare1 2 1 20 a a b b + =( ) 2 3 3 8 04mm + = = 2p 2p 1p 6. 5cos cos6 65 3cos6 2 = = 2p 3p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) ( ) ( )1 36, 1 , 8,3 A A 2p 107BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro Ecuaia dreptei este : 1 13 1 3 1x x y yx x y y = 6 12 4x y +=2 13 0 x y =este ecuaia dreptei 1 3A A . 1p 1p 1p b) 1 2 1 20 01 12 21 0 0 11 11 6 1 12 21 7 1 1OA A OA Ax yA x y Ax yA A= = 1 21132OA AAA= 3p 2p c) Considerm punctele ( ) ( ) ( )*5,2 3 , 5,2 3 , 5,2 3 , , ,n m pA n n A m m A p p nmp N + + + eCalculm 5 2 3 15 2 3 1 05 2 3 1n nm mp p+ + =+ folosind proprietile determinanilor i se obin punctele ( ) 5,2 3nA n n + coliniare *n N e1p 4p 2.a) Din relaiile lui Viete obinem 1 2 33bx x xa+ + = =i 1 2 1 3 2 313cx x x x x xa + + = = Folosim ( ) ( )22 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 32 x x x x x x x x x x x x + + = + + + + + i obinem2 2 21 2 39 26 35 x x x + + = + =2p 1p 2p b) Se determin rdcinile : 1 2 33, 1, 5 x x x = = =Care verific relaia : 1 323 512 2x xx+ += =3p 2p c) Ecuaia25 3 5 13 15 5 0x x x + =se rezolv folosind notaia5 , 0xt t = > . Ecuaia devine: 2 3 2153 13 0 3 13 15 0 t t t t tt + = + =care are soluiile determinate anterior. Revenind la notaie obinem soluia ecuaiei iniiale: { } 0,1 x e1p 2p 2p 108BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) Funciafeste derivabil pe R i ( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )' '2 2 2 2'222 2'22'224 4 4 442 4 4 24164x x x xf xxx x x xf xxxf xx + +=++ =+=+ 2p 2p 1p b) Calculm( )224lim lim 14x xxf xx+ += =+ Rezulty=1 este ecuaia asimptotei orizontale la + la graficul funciei f. 3p 2p c) ( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )' '''0'' 2 2'2 2''2 42 2''40lim 016 4 16 4164 416 16 00 14xf x ffxx x x xxf xx xf=| | + + |= = |+ +\ . = = 1p 2p 2p 2.a) f continu pe ( ) ,0 fiind funcie elementar f continu pe ( ) 0,+fiind compunere de funcii elementare f continu n ( )01 0 1 1 1S Dx l l f = = = = = adevrat f continu pe R fadmite primitive pe R.2p 2p 1p b) ( ) ( ) ( )1 0 122 2 03 2 210 1132 0 3 2 2 6xxf x dx x x dx e x dxx x xx e e = + + + +| | | |= + + + + = + ||\ . \ .} } } 2p 3p c) ( ) ( ) ( )ln1 1 1 1 1ln ln ln lne e e e exf x dx e x dx x x dx xdx xdx = + = + = +} } } } } 2p 109BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro ( )1ln ln 11eexdx x x x = =} ( )2 211 1ln 12 2 2 2ee ef x dx = + = +} 2p 1p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 34 Prof:Isofache Ctlina Anca,C.N.Al..Cuza Ploie ti +Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. +Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. +Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. 1+212 10 8 6 4 22 2 2 2 2 + + + + + =( )1 21 2272. Deci S=5461 3p 2p 2. f(x)=0 x2+6x-7=0 cu solu iile7 ; 12 1 = = x x .Deci A(1 ;0) i i B B( (- -7 7 ; ;0 0) ) f f( (0 0) )= = 7 C C( (0 0 ; ;- -7 7) ) 3p 2p 3. Condi ii de existen :> > +0 20 7xx) ; 2 ( e x1p 110BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro lg(x+7)-lg(x-2)=11027127lg =+ =+xxxx x=10 ) ; 2 ( e3p 1p 4. P=posibile cazuri nrfavorabile cazuri nr... Nr.cazuri posibile=2012:2=1006 2012:6=335,rest 2.Deci 335 numere divizibile cu 6. c.m.m.m.c.al numerelor 4 si 6=12 2012:12=167,rest 8. 335-167=168 numere divizibile cu 6,nedivizibile cu 4. P=503841006168 =1p 1p 1p 1p 1p 5. Din reciproca teoremei lui Pitagora ,rezult c triunghiul ABC este dreptunghic n n A A. . c co os sB B= =BCAB. .D De ec ci i c co os sB B= =2610= =135. . 2p 3p 6. sin(3600-x) = sinx,R x e Aplic nd proprietatea de mai sus pentru x=10 0 0179 ;...; 2 ; ;sin1800=0 i i s si in n3 36 60 00= =0 0 S S= =0 0 2p 2p 1p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) A||.|\|=0 00 02 detA=0 3p 2p b) X=||.|\|d cb a;XA=||.|\|ca00;AX=||.|\|0 0d c. 3p 2p 111BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro Rezult c c=0 i i a a= =d d. . D De ec ci i X=||.|\|ab a0. c) Inmul i im m l la a s st t n ng ga a i i l la a d dr re ea ap pt ta aecua i ia aY2=A cu Y,ob i in ne em m Y YA A= =A AY Y. . Y Y= =||.|\|ab a0. Y||.|\|=2220 aab a.Rezult a=0,deci Y||.|\|=0 00 02.Fals. Ecua i ia a n nu u a ar re e s so ol lu u i ii i. . 1p 2p 2p 2.a) xy=2xy+2x+2y+1=2xy+2x+2y+2-1==2(xy+x+y+1)-1=2(x+1)(y+1)-1 2p 3p b) (x y) z=4(x+1)(y+1)(z+1)-1 x (y z)=4(x+1)(y+1)(z+1)-1 (x y) z =x (y z), x;y ;zeR. 2p 2p 1p c) x 1 ) 1 ( = i i1 ) 1 ( = x ; R x e [(-2012) (-2011)] ) 1 ( [0 1 2012]= 1 nIn ; 4I1 + n+3In 17+>nI) 1 ( 711+> +nIn. Deci ) 1 ( 7171+s snInnn . Rezult 177+s snnIn.Ob inem nlimnIn.=71. 1p 2p 1p 1p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 35 Prof: IVNESCU-GLIGA LILIANA 113BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro +Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. +Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. +Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. x x =30 =3 x x =3 x = 1,5 S ={1,5}2p 2p 1p 2. A=25 x1 =2, x2 =3 3 31 2x x + =19 1p 2p 2p 3. 5 46 6A A =6543 4 35 5A A =543 E =6 2p 2p 1p 4. 5Z ={` `0,1,2,3,4` ` `} Verificarea elementelor din 5ZS =C P =0 1p 2p 2p 5. OA,=( 5, 0) AB,=(3, 2) OM,=(7,12 ) 1p 2p 2p 6. ( )120 mA =, fie AD BC nAABD: 3 3sin sin 2AD BDADB A= =1p 2p 114BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro SABC =9 3 2p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) 12 21a a = 3 11 22aa =2m S = (3 +2m) 2p 2p 1p b) det A = 1 = Sm= 2 2p 3p c) 11*detA AA=m=1 det A =1 A* =1 13 2 | | |\ .=A 1 1p 1p 3p 2.a) r =0 Verificare f (2) =0 2p 3p b) f =(X2 2)(X2 4) f =(X2 2)(X 2)(X +2) 3p 2p c) f =(X 2)(X + 2)(X 2)(X +2) x1 = 2, x2 = 2, x3 =2, x4 =2 1p 4p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 115BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1. a) f ' (x) =e x (1 x) f ' (0) =1 3p 2p b) ( ) limxf x= 0 ==limxxxe===1limxxe=0 2p 1p 2p c) f '' (x) =e x (x 2) x =2 un singur punct de inflexiune 3p 2p 2.a) F(x) =32ln2 3xxxe C + + +F1(0) =1C =1ln2F1: R R, F1(x) =32 1ln2 3 ln2xxxe + + 2p 2p 1p b) ( )10f x dx}=F(x)10 = 1 2ln2 3e = + 3p 2p c) Aria ( )21g xdx}==221x dx} Aria( )73gI = 1p 2p 2p 116BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 36 Prof: IVNESCU-GLIGA LILIANA +Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. +Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. +Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. an =a1 +(n 1)r 2012 =1 +3(n 1) n =20143eN( )12012nna> e1p 1p 2p 1p 117BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2. 1 x =0 xe{-1, 1} 2p 3p 3. 0 1...nn n nC C C + + + = 2n 2n =64 n =6,, 1 n n e > N2p 2p 1p 4. Formula lui P Cazuri favorabile =7 Cazuri posibile =7 P =1 1p 2p 1p 1p 5. m= 1 d: y 1 = (x 1) d: x +y 2 =0 2p 2p 1p 6. AOAOB =2AABO AABO =6 AOAOB =12 2p 2p 1p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) tA =3 10 1| | |\ . det (tA) = 3 2p 3p b) 2A =6 02 2| | |\ . B =223 12 1b | | |\ .= 1 2p 3p 118BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro c) A2 =9 02 1| | |\ . A3 =A2 A =27 07 1| | |\ . S =26 2p 2p 1p 2.a) a0 = f (0) f (0) =1 2p 3p b) a0 +... +a15 = f (1) f (1) =1 3p 2p c) X2 1 =(X 1)(X +1) f (1) =1= 0 f ( 1) =1= 0 1p 2p 2p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) ( )( )2221xf xx' =+ f (1) =12,f ' (1) =12,f (1) +f ' (1) =1 2p 3p b) ( ) limxf x=1 (gradele sunt egale) y =1 as. orizontal 3p 2p c) f ' (x) = 0 i monotonia lui fx =0 un singur punct de extrempentruf3p 2p 119BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2.a) f continu pe( ) ,0 i pe( ) 0, pt. c sunt funcii elementare f continu n 0 ls(0) =ld(0) =f (0) =1 f continu pe R f admite primitive peR2p 2p 1p b) ( )11x f x dx}=01xxe dx}+ ( )101 x x dx =}12 56ee 012xexe dxe =} ( )10116x x dx =} 3p 1p 1p c) V(Cg) = ( )120g x dx =}( )1201 x dx =} =32 103xx x | | + |\ . V(Cg) =3 2p 2p 1p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 37 Prof: IVNESCU-GLIGA LILIANA +Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. +Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. 120BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro +Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. A =0 A =(m 1)(5m 9) m91,5 e ` ) 1p 2p 2p 2. 23 201xx x >+ + 21 0, x x x + + > eR23x A < = C 2p 1p 2p 3. 1k n k kk nT C a b+ = , n =6, k =3 T4 =20 2p 3p 4. x2 =t, t2 10t +9 =0 t1 =1, t2 =9 x1 = 1, x2 =1, x3 = 3, x4 =31p 2p 2p 5. (AB): x +4y 9 =0 1 =44 aa =2p 3p 6. BC2 =AC2 +AB2 2AC AB cos60 BC = 39 2p 3p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 121BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1. a) d =13 2 22 2 2m m | | | | |\ . d =10m 10 2p 3p b) d= 0 m= 1 meR {1} 2p 2p 1p c) m=2d =10 dx =14, dy =24, dz =20 x =1,4; y =2,4; z =2 1p 3p 1p 2.a) 2x =16 x =4 3p 2p b) e =1 2 2' =1 2' =0eR2p 1p 2p c) x2 +x 2s0 x1 =1, x2 = 2 xe[ 2; 1] adevarat 2p 2p 1p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) ( ) ( )00limxf x fx= f ' (0) = 3 f ' (x) =6x2 3 3p 2p 122BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro b) f ' (x) =0, x1 =22, x2 = 22 f cresc. pentru x2 2, ,2 2| (|e | ( |\ . ,f descresc. pentru x2 2,2 2 (e ( 3p 2p c) f '' (x) =12x,( ) ( ) ( ) f x f x f x ' '' + = 2x3 6x2 +9x +3 (x 3)( 2x2 +9) =0 x =3eR2p 2p 1p 2.a) ( )2f xdxx}= lnxdx =} ( ) ln 1 x x C = + 2p 3p b) ( )31 1lne ef xxdx dxx x=} } lnx =t11 0lnexdx tdtx=} }=102= > 1p 2p 2p c) ( )2425lnf xdxx} =10442x dx}==26(25 1) adevrat 3p 2p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 38 Prof: LEFTERIU IOANA. 123BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro +Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. +Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. +Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. 2(2 3) 7 4 3 + = + 2(1 2 3) 13 4 3 = ( )22(2 3) 1 2 3 + + =20, 20eN 3p 2p 2. 8 252a+= = (orice termen al unei progresii aritmetice,ncepnd cu al doilea,este media aritmetica a termenilor vecini) 5 2 3, 8 3 11 r b = = = + =b-a=11-5=6 2p 2p 1p 3. 3 2 12 2x x + =Din injectivitatea funciei exponeniale3 2 1 x x += 4 x =2p 2p 1p 4. 1 3 93 3 3log 0;log 1;log 2 = = = p=numrulnumrulcazurilorcazurilorfavorabilepozibile;35p =3p 2p 5. ( ) 4; 1 4,12 2B C B CM Mx x y yx y M++= = = = AM: 1 0 1A AM A M Ax x y yy yx x y y = = = 3p 2p 6. ( )sin110 sin 180 70 sin70; = = ( )cos110 cos 180 70 cos70 = = 0 0sin110 cos110 sin70 cos70 0 x x x x + = = = 2p 2p 1p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 124BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1. a) C= ( )2 2 4 63 1 2 3 3 6 94 4 8 12tAB || | ||| = = ||||\. \ . 2p 2p 1p b) Coloanele a doua i a treia sunt proporionale cu prima. det C =2 4 63 6 94 8 12=0 3p 2p c) ( )3 31 2 4 6D(x)=xC+I 3 1 6 8 ; 04 8 1 12x x xx x x D Ix x x+ | | |= = | | +\ ..Matricea D(x)este inversabil,dac ', x - eR astfel nct( ) ( )'3Dx Dx I = =D(0) ( ) ( )' '8 0 D x x x x D + + =' '8 0 x x x x + + = ;'1;8 1 8xx xx= = +1\8x e ` )R1p 2p 2p 2.a) ( )( )7 7 49 77 7 7x y xy x yx y- = + += + 3p 2p b) ( )27 7; x x x - = +din asociativitate: ( )37 7 x x x x - - = +Dinx x x x - -= ( ) ( )( )( )31 2 37 7 ; 7 6 8 0; 6; 7; 8 x x x x x x x x + = = = = =2p 3p c) ( ) ( ) ( )( ) 7 7 7 7 7 7 ; x a x a a x a x x - = + = + = - eZ( )( ) 7 8 0, 7 x a a a x x a - = = e = Z 7 7 7 x x - = - =Din asociativitate: ( )( ) ( ) ( ) 10 9 6 7 8 10 7 E = - - - - - - - = . .2p 2p 1p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 125BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1. a) ( )22lim lim 0;4x xx af xx += =+ 0 y = este ecuaia asimptotei orizontale la+ 3p 2p b) a=1;( )22 14xf xx+=+; 0( ) (0)limxf x fx=( )'102f =( )( )2'222 2 84x xf xx +=+ 1p 2p 2p c) a=3; ( )22 34xf xx+=+ ( )( )2'222 6 84x xf xx +=+; 22 6 8 x x + =0;1 24; 1 x x = = ; ( )144f = ; ( ) 1 1 f =Din tabel,114,4A | | |\ .este punct de minim;( )21,1 A este punct de maxim 1p 1p 1p 2p 2.a) b) Funcia f este continu pentru( ) ( ) ,0 0, xe (1) n x=0; ( ) ( )20 0lim lim 3 5 5x xf x x x = + = ( ) ( )0 0lim lim 4 5xx xf x e x = + + =_ _; ( ) 0 5 f = (2)Din (1)i(2) functia f este continu pe Ratunci,fadmite primitive pe R( ) ( )1 0 121 1( ) 3 5 4xof x dx x x dx e x dx = + + + +} } } 313e =+2p 2p 1p 2p 3p c) ( )21 12 20 02 ( ) 2 4xxf x dx xe x dx = + +} }= 2p 3p 126BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro =72e + BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 39 Prof: LEFTERIU IOANA +Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. +Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. +Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. 336 9 81 3 64 + =0 2p 3p 2. 23 2 4; 2,3x x x s s s eZ A={0,1,2} 3p 2p 3. 22 1 2 3 1 x x x + = + ; 22 5 2 0 x x + =112x = ;22 x =1p 2p 2p 127BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 4. Condiii de existen:02 0xx> >; ( ) 2, xe +Din proprietile logaritmilor:( ) 22log 3xx= 22 8 0 x x = ;1 22; 4 x x = = ; ( ) 2 2, e S={4} 1p 3p 1p 5. ( ) ( )3 2 3 2 3 2 a i j i j = + , , , ,, 13 a j =, , 2p 3p 6. sin2ABCAB AC BAC =. 9ABC =. 2p 3p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) 3 33 0 0 0 0 03 0 3 0 0 0 00 0 3 0 0 0a b cA I O x y zu v w| | | | | | |||+ = + = ||| |||\ . \ . \ . 3 0 0 03 0 0 03 0 0 0a b cx y zu v w+ | | | | ||+ = || ||+\ . \ . 3, , 0 a b o c = = = ; 0, 3, 0 x y z = = = ; 0, 0, 3 u v w = = = . 2p 2p 1p b) ta x uA b y vc z w| | |=| |\ . 000tb x c uB A A x b z vu c v z | | |= = | | \ . 1p 2p 2p 128BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro ( )( )( ) ( )( )( )0det 0 00b x c uB x b z v x b v z c u x b v z c uu c v z = = = . c) 0; a y w = = = 1 b c x z u v = = = = = =0 1 11 0 11 1 0A| | |=| |\ . 22 1 11 2 11 1 2A| | |= | |\ . 2p 3p 2.a) 3, 1 a b = = 4 3 23 5 4 f x x x x = + +3 25 9 13 c x x x = + + +30 r =1p 2p 2p b) 1 21, 1 x x = = rdcini ( ) ( ) 1 0; 1 0 f f = =( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 3 21 1 1 1 5 1 4 10 f a b a b = + + + = + +( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 3 21 1 1 1 5 1 4 f a b a b = + + + = +10 00a ba b + + = + =5; a = 5 b = . 1p 2p 2p c) 3, 1 a b = = 4 4 23 5 4 f x x x x = + +Din 1 2 3 4, , , x x x xrdcini, ( ) ( )( )( ) ( )1 2 3 4f x x x x x x x x x = ( )( )( )( ) ( )1 2 3 41 1 1 1 1 2 P x x x x f = = = 2p 3p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) ( ) ( ) ( )0 0 0lim lim limx x x x x xf x f x f x- = _ 1p 3p 129BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro ( )21 16lim lim1x xx xf xx + = = + ( )21 16lim lim1x xx xf xx + = = +_ ( ) ( )1 1lim limx xf x f x = _f nu are limit n1 x = 1p b) Ecuaia asimptotei oblice: y mx n = +( )( )26lim lim1x xf xx xmx x x + = =+1 =( )6lim lim 01x xn f x mxx ( = = = + 1; 0 m n = = ;ecuaia asimptotei : y x =1p 2p 1p 1p c) ( )( )222 71x xf xx+ +' =+; ( )( )3121f xx'' =+ ( ) , 1 xe ( ) 0 f x '' > f =funcie convex ( ) 1, xe ( ) 0 f x '' < f = funcie concav 1p 2p 1p 1p 2.a) 10( )xf xdxe}12025 x = + =} 26 25 1 26ln2 2 5+= +1p 4p b) ( )( )xf xgxe= =225 x +( )120V g x dx = =} 1p 2p 2p 130BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro =( )1207613x dx + =} c) ( ) ( )1 12 20 025 25xx f x dx x e dx + = +} }==( )1 1 120 0 025 2 2x x xx e x e e + +=26 27 e 1p 2p 2p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 40 Prof:LEFTERIU IOANA. +Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. +Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. +Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. Din ecuaia:2t St p o + = ,unde 4 S x y = + = , 32 p x y = = ,avem 24 32 0 t t = ;14; x = 28; x =( ) ( ) { }4,8 ; 8, 4 S = . 1p 2p 2p 2. Elementele mulimii A sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice: 1 2 3 43, 5, 13, 18, , 98na a a a a = = = = = . , 1p 131BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro r2 1 3 2 4 35 a a a a a a = = = =( )11na a n r = + ; ( ) 98 3 1 5 n = + 20 n =2p 2p 3. Din proprietile logaritmilor:( ) ( ) ( )( )2 3 2 3 2 3 2 35 5 5log log log+ + + = =15log 0 = =2p 3p 4. ( )( )31 2nA nn n = 3 23 4 0 n n n = ;1 2 30; 1; 4 n n n = = =, 3 4 n Nn n e > =1p 3p 1p 5. , OA OC,,sunt vectori opui,la fel: OB,i OD,0 OA OC + =, , ,; 0 OB OD + =, , , ( ) ( )0 OA OC OB OC + + + =, , , , , 3p 2p 6. ( )cos120 cos 180 60 cos60 = = 2 2 2 2sin 60 cos 120 sin 60 cos 60 1 S = + = + = (din formula fundamental) 3p 2p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) ( ) det 1 A = 21 21 1 2 2 3 11 1 3mm mm = + + 22 3 1 1 m m + + = 1 23; 02m m = = 2p 3p b) () S are soluie unic dac det( ) 0 A =21 212 3 1 0 , 12m m m m + + = = = 1\ ; 12m e ` )R2p 2p 1p 132BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro c) ()2 11 2 53 1x y zm S x y zy z+ = = = + + = + = ; det( ) 6 A =1 1 25 1 2 61 1 3xd= = ;1 1 21 5 2 120 1 3yd= = ; 1 1 11 1 5 60 1 1zd = = ( )1detxdxA= = ; ( )2detydyA= = ; ( )1detzdzA= = ;{ } 1, 2, 1 S = 1p 3p 1p 2.a) ( ) 2 0 f g f = .( ) 2 2 22 f m = ; 11 m = . 2p 3p b) ( ) ( ) ( ) ( )3 23 3 3 15 3 2 f m m = + 12 3 m = ( )3 0 f = 12 3 m =3p 2p c) 3 21; 15 2 m f x x x = = + Din relaiile lui` Vie t e ' :1 2 31 2 1 3 2 31 2 31152x x xx x x x x xx x x+ + = + + = = ( ) ( )22 2 22 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 32 S x x x x x x x x x x x x = + + = + + + + 31 =1p 2p 2p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) f = continun00 x = ( ) ( ) ( )0 0lim lim 0x xf x f x f = = _ ( ) ( )3 20 0lim lim 5 7 1 1x xf x x x x a a = + + + = + ( ) ( )0 0lim lim 2 2 2x xx xf x xe x e = + = _ _; ( ) 0 2 f = 2p 2p 133BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1 2 a + = 3 a = 1p b) 3 a = , ( )3 25 7 2, 02 2 , 0x xx x x xf xxe x e x + >= + s Ecuaia tangentei n 0x x = ; ( ) ( )( )0 0 0y f x f x x x ' = ( )23 10 7 f x x x ' = + ( ) 2 1 f ' = 2 0 x y + = este ecuia tangentei. 1p 1p 2p 1p c) ( )23 10 7 f x x x ' = + ; ( ) 0, x e ( ) 0 f x ' = ;23 10 7 0 x x + = ;11 x = ;273x =Pentru( |70,1 ,3x |e| ., 0 f ' > f estecresctoare pentru 71,3x (e ( 0 f ' s f estedescresctoare. 2p 2p 1p 2.a) 1 m = ( )213 4 4 f x x x = + +( ) ( )2 3 213 4 4 2 4 f x dx x x dx x x x C = + + = + + +} } 2p 2p 1p b) 0 m = ; ( )203 4 f x x x = + +( ) ( )1 1200 03 4x xe f x dx e x x dx = + + =} } ( )1203xe x x = + + =5 3 e 1p 1p 3p c) ( )1 208 356mm mf x dx +=} 28 0 m m = ;10 m = ;218m = ; m-eR 18m =2p 1p 2p 134BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 41 Prof:LICA ROXANA +Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. +Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. +Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. 1 5 22 5 4,25 4 5 2+= = + =Pratea intreaga a numarului este 4. 3p 2p 2. 5 14 a a r = +1 14 8 a a r + + =12 4 a r + =3 12 4 a a r = + =1p 2p 2p 3. 10 x = , 22 x = Solutiile inR sunt| | 2,0 xe Solutiile intregi { } 2, 1,0 1p 2p 2p 4. 1 21 22 132 1 3 112x x mx x mm mm+ = +=+ + == 1p 1p 2p 1p 5. ( ) 13 32n nn = 27 6 0 n n + = ,6 n =2p 3p 135BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 6. ( )22 27 5 2 6 = + , deci triunghiul este dreptunghic. Ipotenuza triunghiului are lungimea 7. Raza cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este egala cu jumatate din ipotenuza, deci R=3,5. 2p 1p 2p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) DetA=2 1 11 1 23 1 1 =2 6 1 3 4 1 + + + =-1 2p 2p 1p b) Det A= 2 3 1 3 2 1 m m + + + Det A=01 0 m + = 1 m =3p 2p c) Scazand ecuatiile 3 si 1 obtinem 1 x =22 3y zy z+ = + = 1, 1 z y = =1p 2p 2p 2.a) Fie, xy eR 1 1 1 1 1 1 1 1 1 23 3 3 3 3 9 3 3 3 9x y xy x y xy x y| || |+ + = + + + = + + | |\ .\ .=x y 1p 4p b) FiexeR. a x a =1 1 13 3 3a x a| | | |+ + = ||\ . \ .1 1 103 3 3a x a| || | | |+ + + = | ||\ .\ . \ . 1 11 03 3a x| || |+ + = | |\ .\ . 13a = 3p 2p c) 1 13 3| | = |\ .3p 2p 136BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2012 2011 2010 1 1 1...3 3 3 3 3 3| | | | | | | | | | = = |||||\ . \ . \ . \ . \ . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) ( )11 ln ln f x x x xx' = = ( ) 1 ln1 0 f ' = =3p 2p b) ( ) ln 1 f e e ' = = Ecuatia tangentei la grafic in punctul de abscisa este( ) ( )( ) y f f x ' = Asadar ecuatia tangentei la graficul functiei este ( ) 0 1 y x e = adica0 x y e + =1p 1p 2p 1p c) ( ) 0 f x ' = ln 0 x = 1 x =x01 ( ) f x ' +++ +0 -- - - -( ) f x 1 Un singur punct de extrem,( ) 1,1 A2p 2p 1p 2.a) 100cos I xdx = =} 10sin sin1. x = =3p 2p b) 11 110 0 0cos sin sin1sin1 cos sin1 cos1 10I x xdx x x xdxx= = = + = + } } 3p 2p 137BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro c) | |2012 20121 12012 20120 00,1 cos 1cos1cos2013x xx x xx xdx x dxe s s s =} } 1p 2p 2p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 42 Prof: LICA ROXANA +Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. +Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. +Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. lg100 10 2,5 ={ } 2,5 0,5 =3p 2p 138BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 ... 2012 0 1 2 ... 2011 f f f f + + + + = + + + + =2012 20112 3p 2p 3. 1 21, 6 x x = = E=( ) ( )3 31 6 + = 1 216 217 = 3p 2p 4. C.E. 31 0 1 x x + > > 3 21 3 x + =382xx== 1p 2p 2p 5. ( ) sin15 sin 45 30sin45 cos30 sin30 cos452 3 1 2 6 22 2 2 2 4 = = = = 2p 2p 1p 6. sin218 18 sin120 324 2sin60 cos602 2324 381 34ABCABAC AAA= = = == 2p 2p 1p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) ( ) ( )221 1 01,1 0 1 10 0 11 2 10 1 20 0 1M| | |= | |\ .| | |= | |\ . 3p 2p 139BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro b) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )12 3 02,3 0 2 30 0 212,3 8 2,3 2,32,3MDet M M MDet M -| | |=| |\ .= = ( )14 6 912,3 0 4 680 0 4M | | |= | |\ . 3p 2p c) ( )( ) ( )( ) ( )3*0, 00 0,, 0a bMa b a baDet Ma b aDet Ma b ab| | |= | |\ .== eeRR 1p 2p 2p 2.a) ( ) 1 1 1 1 10f = + += 4p 1p b) ( ) ( ) 1 0 1 f X f = +( ) ( )( )( )( )21 11f X XX X i X i= + + =+ + 1p 2p 2p c) ix radacina pentru { }3 21 0, 1,2,3i i if x x x i + + + = e( )( )3 2 41 1 0 1i i i i ix x x x x + + + = = { } 1,2,3 i e4 4 41 2 31 1 1 3 x x x + + = + + =2p 2p 1p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) Asimptota orizontala: 22lim 12012xxfx= +admite asimptota orizontala la dreapta1 y =2p 140BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 22lim 12012xxfx= +admite asimptota orizontala la -dreapta1 y =Functia nu admite asimptote oblice sau verticale. 2p 1p b) ( )( )( )3 322222 4024 2201240242012x x xf xxxx+ ' = =++ 3p 2p c) ( )2402412013f ' =Ecuatia tangentei la grafic in punctul de abscisa este( ) ( )( ) y f f x ' = Asadar ecuatia tangentei devine ( )21 402412013 2013y x = 2p 1p 2p 2.a) ( ) ( )( )( )22132100111313f x xxx dx= = =} 1p 3p 1p b) ( ) | |( )( )20121201320121000, 0,111201312013f x xxA x dx> e= = =} 1p 3p 1p c) ( ) ( )( )( )( )1 00 10 02 10 011 11 121 12 111 2nnn nn nnx x dx t t dtt tt dt t dtn nn n+ ++ + = + =+ = + =+ ++ +} }} } 2p 2p 1p 141BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 43 Prof: Viorica Lungana +Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. +Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. +Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. 1 2225 6 03xx xx= e + = = e Deci mulimea de adevr este:{ } 3 ; 23p 2p 2. ( ) 1 , 11> + = n r n a an r a a 91 10+ =13110 = ai12 = r 32 108 131 131 12 91 1 1= = = + a a a1p 2p 2p 3. ( ) = =2 53 2 lg 288 lg= + =2 53 lg 2 lgB A 2 5 3 lg 2 2 lg 5 + = + =1p 2p 2p 4. 2 0 2, n n n > > e ( )( ) ( )( )( ) 2 1 2! 21 ! 22! 2!= = =n nnn n nnn 212 0 2 n n n = = e, 21 n = e. Deci2 = n2p 3p 5. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2C A C A B A B AAC AB x x i y y j x x i y y j ( = + + = , , , , , , 2p 142BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro ( )10 2 3 3 4 7 i j i j i j = + = +, , , , , , 3p 6. 23 123216cos6sin6+= + = + = |.|\| f ,(1) 21 321233cos3sin3+= + = + = |.|\| f ,(2) Din relaiile (1) i (2) rezult |.|\|= |.|\|3 6 f f . 2p 2p 1p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) ( ) = = = = = = + = += +A B YB A XA B YY B XB Y XA Y XB Y XA Y X23 2222 4 23 22 23 2 +|||.|\| =|||.|\| |||.|\| = =2 4 24 2 42 4 21 2 12 1 21 2 131 2 12 1 21 2 12 3 2 B A X|||.|\| =|||.|\| +1 2 52 5 25 2 53 6 36 3 63 6 3 =|||.|\| +|||.|\|=|||.|\| |||.|\| = =1 2 12 1 21 2 12 4 24 2 42 4 21 2 12 1 21 2 11 2 12 1 21 2 12 2 A B Y|||.|\|=1 2 32 3 23 2 3 2p 2p 1p b) |||.|\| =|||.|\|+|||.|\| = +0 0 20 2 02 0 21 2 32 3 23 2 31 2 52 5 25 2 5Y X=|||.|\| +|||.|\| =|||.|\||||.|\| = 1 2 12 1 21 2 11 2 12 1 21 2 11 2 12 1 21 2 11 2 12 1 21 2 1B A3p 2p 143BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro |||.|\| =0 0 20 2 02 0 2 DeciB A Y X = +c) ( ) = = +0 0 20 2 02 0 2det Y Xe = 8 N 3p 2p 2.a) ( )( ) () G y x y x y x xy y x e + = + = , , 5 5 5 30 5 5 *Legea este asociativ dac( ) ( ) () G z y x z y x z y x e = , , , * * * * ( ) ( )( ) ( )( ) | |( ) = + + = + = 5 5 5 5 5 5 5 5 5 * * * z y x z y x z y x( )( )( ) () G z y x z y x e + = , , , 5 5 5 5 ,(1) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) | | = + + = + = 5 5 5 5 5 5 5 5 * 5 * * y x z y x z y x( )( )( ) () G z y x z y x e + = , , , 5 5 5 5 ,(2) Din relaiile (1) i (2), rezult legea este asociativ. 1p 2p 2p b) Legea are element neutru dac existG e e astfel nct() G x x x e e x e = = , * * . () ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) e = e = + e = G x e x G x x e x G x x e x , 0 6 5 , 5 5 5 , *( ) () G x e e e = , , 5 6 . Oricare ar fiG xeexistG x e, astfel nct6 * *, ,= = x x x x . () ( )( ) ( ) () e = e = + e = G xxx G x x x G x x x ,515 , 6 5 5 5 , 6 *, , , ( ) ( ) e >+ = , 5 , 5515,xxx . Deci orice element din mulimea G este inversabil. 3p 2p c) Din asociativitatea legii, dacz y x = = , atunci( ) = + = 6 5 5 6 * *3x x x x2p 3p 144BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro ( ) ( ) e = = = , 5 6 1 5 1 53x x x SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) = = 1 0 1 x x{ } 1 D = 2p 3p b) 2, ,,gg f g fgf =||.|\| ( )( ) ( )2 2,1211 1xxxx xx f = =( )( )0 01202,= = = xxxx f( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )3 4 42, ,13 212 1 1 211 2 12xxxx xxx xx f=+ = + =( )( )( )3 013 203, ,= = = xxxx fx 0 1 3 +( ) x f, + ++++ +0 - - - - - - -- - - - - - ----- ( ) x f, , ---- - -- - -- ---+++++0-- - - -- - - - - ( ) x f ( ) M1 ( ) i2 0 = xpunct de maxim 3 = xpunct de inflexiune 1p 1p 1p 2p c) Ecuaia tangentei la graficul funciei f n punctul( )0 0, y x M este( ) ( )( )0 0,0x x x f x f y = ( ) 3 2 = f( ) 4142, = = f1p 1p 1p 145BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro ( ) 0 5 4 2 4 3 = + = + y x x y2p 2.a) =+=+=} }102102112211dxxxdxxxI( ) = + =1021 ln21x( )22 ln1 ln 2 ln21= =2p 2p 1p b) () | | 1 , 0 , 01 1 1222 22e s+=++xxx xxxxx, atunci 1 210221 201I I dxxx xI I s s||.|\|+= } 2p 3p c) ( )=++=+++= +} } }++1022 10210222111 1dxxx xdxxxdxxxI In n nn n = =}10dx xn 111101+=+=+n nxn, ( )*n e . 2p 1p 2p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 44 Prof: Viorica Lungana +Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. +Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. +Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. 146BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro SUBIECTUL I (30 de puncte) 1 221232212322123221232232232122321223++++= + + = + +2 1 1 = + =Amfolosit formula radicalilor dubli 2 2C A C AB A+= , undeB A C =2 2. 3p 2p 2 ( ) 2 1 2 2 1 2 + = + = x x x xDac3 2 1 2 = + = x x x . Dac 312 1 2 = = x x x1p 2p 2p 3 = |.|\|+ |.|\| = |.|\|+ |.|\| + +25353235531 1 1 1 x x x x253535353= |.|\|+ |.|\|x x Notmyx= |.|\|53 i ecuaia devine 3130 3 10 3310 1212== = + = +yyy yyy5 log 11153log 35331 3+= = =|.|\|x xx 5 log 11153log315332 3+ = = =|.|\|x xx 02 1= + x x1p 1p 2p 1p 4 y xx yy xC Cxyyx= >> = ;( ) ( ) 1000 ! 2 1000 ! < < + x y x1000 1 ! 0 0 < = = x este soluie.1000 2 ! 2 1 < = = xeste soluie. 1000 24 ! 4 2 < = = xeste soluie.1000 720 ! 6 3 < = = xeste soluie. 1000 720 7 8 ! 8 4 > = = x nu este soluie. Deci( ) ( ) ( ) ( ) { } 4 0 , 0 , 3 , 3 , 2 , 2 , 1 , 1 = = cardM M . 2p 3p 5 CA BC AB P + + = ;( ) ( )2 2M N M Ny y x x MN + =2p 147BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 37 = AB ,61 = BC ,4 = CA .4 61 37 + + = P3p 6 ( )( ) x tgx tgx tg x tgx tgxx tg xx tg xx xx xE462 4624 46 64 46 6111111cos1 cos1 coscos sincos sin+++=++ =++=++=171317 56516 164 14 11==+++= E3p 2p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) = + = + =+2 1 12 20 1 02 1 12 22 1 2det3 22 13 23 2xa x x xxa x x xa x x xAl l ( ) = + =+ = a x x xxa x x2 4 22 12 22 32 a x x x + + = 2 4 22 3 2p 2p 1p b) ( ) 0 0 1 2 2 0 2 4 2 012 2 3= = + = + = x x x x x x x a i 13 2= = x x3p 2p c) Fie( ) a x x x x f + + = 2 4 22 3. = xrdcin dubl ( )()( )===000, ,,fff( ) 2 8 62 ,+ = x x x f( ) ( )31; 1 0 1 4 3 2 02 12 ,= = = + = f0 11 1= = a 278312 2 = = a 2782 1 = + = a a S 1p 1p 1p 1p 1p 2. Se calculeaz elementele neutre ale celor dou legi de compoziie. 148BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro a) ( ) * , x e x x = e ( ) 3 , x e x x + + = e 3 e = e, ( ) x e. ( )( ) 3 3 3 6 3 3 + + = + + + = y x y x xy y x ( ),, x e x x = e ( ) ( ) ( ),3 3 3 , x e x x + + = e ( )( ) ( ),3 2 0, x e x + + = e,2 e = e, ( ) x e. Din ( )( ) ( )( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 , , x y x y y x y x xy = + + = + + = e , rezult inelul( ) ,*, este inel comutativ.Fie3 , 3 = = y x . S artm c3 = y x. Presupunem ( )( ) ( )( ) 3 0 3 3 3 3 3 3 3 = = + + = + + = x y x y x y x sau 3 = y , ceea ce contrazice ipoteza, deci3 = y x, adic inelul( ) ,*, este inel comutativ i fr divizori ai lui zero. 1p 1p 1p 2p b) Fie ,, xx e. S artm c ,x este inversul lui x. ( )( ) ( )( ) += + =