第1章 開水路の等流(uniform flow of open channel) 1-1 時間的 …1).pdf第1章...
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第1章 開水路の等流(Uniform flow of open channel)
1-1 開水路の流れの分類
急変流
Rapidly Varied Flowなし
非定常等流
Unsteady Uniform Flow
漸変流
Gradually Varied Flowあり
(定常)不等流Non-Uniform Flow
あり
非定常不等流
Unsteady Non-uniform Flow
あり
非定常流
Unsteady Flow
なし
(定常)等流Uniform Flow
なし
定常流Steady Flow
空間的変化時間的変化
1-2 等流流れの水理【1】 用語の定義
h: 水深 Depth
B: (水面)幅 Width
A: 断面積 Area
S: 潤辺Wetted Perimeter
径深 R = A/S Hydraulic Radius
水面(Water Surface)
底面(Bottom)河床(River Bed)水路床(Bed)
流速(Velocity)
流量(Discharge)
河床勾配(Bed Slope)
水面勾配(Water Surface Slope)
底面勾配(Bed Slope) :
idxdz
bb =−=≈ θθ tansin
水面勾配(Water Surface Slope):
Idxdhi
dxhzd
ww =−=+
−=≈)(tansin θθ
【2】 定常等流(通常、等流といえば定常等流をさす)とは
1.水深、流速(したがって流量)が時間的にも場所的にも一様な流れ
2. したがって、dh/dx=0, dB/dx=0, dV/dx=0, dQ/dx=0 などが成立する。これより、 河床勾配と水面勾配が平行であることを意味する。
3. 重力による流下力と底面(壁面)からの摩擦力がつり合い、加速度=0。すなわち等速運動する流れである
【3】 等流における連続条件
流量の定義式: const.== AVQ
【4】 等流における力のつり合いと平均流速公式
xδ
x
A
SxgA
xAδρ
δ重量:
体積: ⋅
x
zxδ
θδρ sinxAgx方向成分:重力の
水深が等しいので圧力は同じ。したがって考えている水塊に対する圧力差はゼロ
gRISAg
xSxgAxS
ρθρτ
δτθδρτδτ
==∴
=
sin
sin:
0
0
00
:
等流状態では
力単位面積あたりの摩擦 摩擦力
一方、底面摩擦力 流速 の関係は?
γβα IRV =一般的には:
係数
年の公式
Chezy)(1775Chezy
:cRICV =
の粗度係数
年の公式
Manning
)(1889Manning
:1 21
32
nIRn
V =
より理論的な式として対数流速公式がある。
詳しくは流体力学で!*
16
*
16
12 123 2
16
2 13 2
(6.0 5.75log )
7.66
7.66
7.66
1
s
s
s
s
s
RV uk
R uk
k
RV gRIk
g R Ik
R In
= +
⎛ ⎞≈ ⎜ ⎟
⎝ ⎠=
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
=
・・・ Manning-Strickler式
粗度高
とおいてみると
16
12
16
17.66
0.0417 (m-s )
s
s
kng
k
=
= 単位
すなわち、nはksのみによって変化する。
まとめ
1. の関係にある。6/11 R
nC =
2. nは粗度状態により変化する(Text 下.p9)
3.Manning式は粗面水路の乱流について成立する。
4. n は で表す約束になっている。][ sm-1/3 ⋅
5.n は有効数字二桁で表す。
水理学演習(下巻)p.9森北出版
水理公式集P13土木学会編
【問題】 豊平川は i =1/200, h = 3m, B = 200m, n=0.03である。等流状態だとすると平均流速を求めよ。
(m/sec)
(m)
)(m(m)
80.4)200/1(91.203.011
91.2206600
6002003206200322
2/13/22/13/2
2
=××==
===
=×=
=+×=+=
iRn
V
SAR
ABhS
または、
(m/sec)
90.4)200/1(303.011 2/13/22/13/2 =××==
≈
>>
ihn
V
hR
hBよって、
と見なせる。より、広い長方形断面ほぼ同じ!
1-3 エネルギー概念(損出水頭)との関連(Text 4.1 下p128~141)
[1] 損出水頭と摩擦力
断面積 A
1
LA・1の水柱がLの距離を動く間に失った位置エネルギー
h
hgA ⋅⋅= )1(ρ流れの底面せん断力が底面に対してなす仕事
SL0τ=両者等しいとすると。。。
gRigRIgRILh
SAg
SLgAh
f ρρρρτ
τρ
====
=
0
0
両者等しいとおいて、
摩擦勾配、損失勾配
gRu
gRI
ugRI
f
f
2*0
2*
0
==
==
ρτ
ρτ
u*:摩擦速度
(せん断力を速度の次元で表したもの)
等流なので
【2】平均流速公式と損失勾配
Chezy, Manning, 対数公式を与えて を表す。fI
2
2Chezy fVIC R
=公式では
2 2
43
Manning fn VIR
=公式では
2
2(6.0 5.75log )f
s
VI R gRk
=+
対数公式では
1-4 流量を与えて等流水深を求める
Text 7.2.2 (下) p12~19
[1] 広長方形断面水路における等流水深
① Manning 式を使うと
2/3 1/ 2 5/3 1/ 2
3/5
1 1Q Bh h I B h In nnQh
B I
= =
⎛ ⎞∴ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
h
B
R h≈
②対数式を使うと
3/ 2
3/ 2
(6.0 5.75log )
(6.0 5.75log )
(6.0 5.75log )
s
s
s
hQ Bh ghIkhB gI hk
h Qhk B gI
= +
= +
+ =
したがって、
となり陽な形で解けない。
hの仮定
左辺の計算
左辺=右辺?
no
yes
end
近似式(Manning Strickler式)を使うと
1362
1 56 3
31 56
7.66
7.66
7.66
s
s
s
h Qhk B gI
Qk hB gI
k QhB gI
−
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠
⋅ =
⎛ ⎞⎜ ⎟∴ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
[2] 台形断面水路における等流水深
h
b
θ2
2
2 13 2
212 3
2 2
122 tan
2 2sin
/ tan2 / sin
1
1 / tan( / tan )2 / sin
hA bh
hS b b
bh hRb h
Q AV A R In
bh hbh h In b h
θ
θθθ
θθθ
= + ⋅ ⋅
= + = +
+∴ =
+
= =
⎛ ⎞+= + ⎜ ⎟+⎝ ⎠
繰り返し計算!
【問題1】勾配1/500, 幅10mの長方形断面水路に流量2m3/sの水が流れている。n=0.025のとき等流水深はいくらか?
3355 0.025 2 0.267 10
10 1/500(m) (m)nQh
B I×⎛ ⎞⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
【問題2】勾配1/900の図のような三角形断面水路の流量2m3/sの水を流したい。深さをどのくらいに設計すればよいか? ただしn=0.025とする。
30°30°
台形断面の式で、b=0、θ=30°として、
2 12 2 3 2
2 283 3
2 3
32 83
1 / tan30 18tan30 0.015 2 / sin30 900
1 3 1 3 330.015 4 30 30 0.015 4
30 0.015 8 4 1.623 3
h hQh
h h h
h
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
×⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎧ ⎫× × ⎛ ⎞⎪ ⎪∴ = =⎨ ⎬⎜ ⎟
⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
(m)
1-5 水理学的に有利な断面 Text 7.2.3, (下)p20~21
底面勾配 i、断面積 A、粗度係数 nが与えられた場合に流量 Qを最も多く流しうる断面を水理学的に有利な断面という。
この条件は、2 13 2
1132
2
1
1 0
0 )
0
0( )
(
Q R i An
Q Ri ARh n h
R Rh
R A A Sh h S S h
S Sh
−
=
∂ ∂= =
∂ ∂∂
=∂
∂ ∂ ∂⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∂
=∂
すなわち、 が最大より、求められる。
または、
すなわち、 が最小より求められる。
S(潤辺)が最小=抵抗が最も少ない。
この式からも明らか
①長方形断面では、
2 2
2
2
2 2 0
2
S B hA hh
S A Bhh h hB h
= +
= +
∂= − + = − + =
∂∴ = のとき有利な断面となる。
A Bh=
2B h=
h
②台形断面では、
2
2 2
2
2
2 1 2sin tan sin
1 2tan sin
1 1 2tan tan sin
2 2 0tan sin
h h hS b Ah
S Ah h
hbhh
bh
ϑ ϑ ϑ
ϑ ϑ
ϑ ϑ θ
θ θ
⎛ ⎞= + = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠∂
= − − +∂
⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
= − − + =
2
2 2tan sin1 cos2
sin
2sin22 2 tan
22sin cos2 2
2 tan2
bh
b h
ϑ ϑϑ
ϑϑ
ϑϑ ϑ
ϑ
= − +
−=
= =
=よって において有利な断面となる。
2 2 2
2
cos cos sin 1 2sin2 2 2
1 cos 2sin2
ϑ ϑ ϑϑ
ϑϑ
= − = −
− =
1-6合成粗度係数 Text 7.2.4 (下)p21~24
潤辺が異なる粗度を持つとき、全体として粗度は、どうなるか?
豊平川
札内川
厚別川2003.8洪水
1n
2n
3n1A2A 3A
各潤辺が支配する断面に区分し、断面内の各所で流速が等しく Vであると考える。
1n2n
3n4n 5n 6n 7n
1S
2S
3S kS
NS1A
2A
3AkA
NA1 2 3
1 2 31 2 3
, , ,
, , ,k Nk N
k N
A A AR R RS S S
A AR RS S
= = =
= =
およびManning式を使って、
1 1 1 1 1 11 2 32 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3
1 1 1 1 1 1k K
k k K K
A A A A A AV I I I I I In S n S n S n S n S n S
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = = = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1,
N N
k kk k
S S A A= =
= =∑ ∑
各辺を で割って 乗すると、
12I
32
1 2 33 3 3 3 3 32 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3
k N
k k N N
A A A A A A
n S n S n S n S n S n S= = = = = =
合比の理より
332
1
Ns
k kk
n S n S=
=∑
23 32
1
N
k kk
n Sn
S=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟∴ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
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