cap 3 ecuaciones y desigualdades módulo de matemáticas y física snna
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Unidad 3
ECUACIONES Y DESIGUALDADES
3.1. Ecuaciones lineales con coeficiente entero y fraccionario.
3.2. Ecuaciones con literales. Despeje de fórmulas. 3.3. Ecuaciones cuadráticas. Completando cuadrados y
fórmula general. 3.4. Ecuaciones con radicales y de forma lineal y
cuadrática. 3.5. Conjuntos e intervalos 3.6. Desigualdades lineales con una incógnita.
ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
Una ecuación es una igualdad que contiene una o varias letras, bajo las cuales están los números desconocidos.
Estas letras son de dos tipos las llamadas incógnitas que usualmente se la designa por ,...,, zyx y los coeficientes que acompañan a las incógnitas que se las
designan por las letras ,...,,, dcba
La solución de la ecuación no es otra cosa que encontrar el valor de la incógnita que hace que la ecuación sea verdadera, también se conoce como raíces de la ecuación.
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
Existen distintos criterios para realizar la clasificación de una ecuación. Estos son:
SEGÚN EL NÚMERO DE SUS SOLUCIONES
Una ecuación puede ser:
• Compatible. Cuando tiene solución, y puede tener soluciones finitas (compatible determinada) o soluciones infinitas (compatible indeterminada)
• Incompatible, cuando no tiene solución
Ejemplo:
1. 02043 2 xx Tiene dos soluciones.
2. 4
71
4
3
x
x
x. Tiene infinitas soluciones, excepto 4x
3. 4
2
2
x
x
x
x. No tiene solución
SEGÚN LA NATURALEZA DE SUS MIEMBROS
Depende de la forma de la ecuación:
• Ecuación numérica, es aquella en que solo aparece una letra, la incógnita.
• Ecuación literal, es aquella en que aparece la incógnita y otras letras más.
Ejemplo:
2
ax
ax
ax
ax
• Ecuación polinomial, es aquella donde los miembros que la componen son funciones polinomiales.
Ejemplo 42123432 xxxxxx
• Ecuación fraccionaria, es aquella cuyos miembros son funciones racionales.
1
2
2
2
1
3
xxx
x
• Ecuación irracional, es aquella en que por lo menos uno de sus miembros es una función irracional.
SEGÚN EL GRADO DE SUS MIEMBROS
Cuando hablamos de grado nos estamos refiriendo a los polinomios, el grado del polinomio será la potencia mayor que tenga la variable.
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
También llamadas lineales, son aquellas que tienen la forma
0)( baxxP ; 0a . Resolver esta ecuación gráficamente no es otra
cosa que encontrar el punto de corte con el eje “x”
Ejemplo: Resolver las siguiente ecuaciones
1. xx 11953
39115 xx 66 x 1x
2. 015
32
6
12
4
3
xxx
060
)32(4)12(10)3(15
xxx
012810204515 xxx
81045122015 xxx
637 x 9x
3. x
x
x
x
x
x
2
1
246
13
42
22
2
Factoramos los denominadores y encontramos el MCM, el cual le multiplicamos por cada término de la fracción y eliminamos los denominadores, así:
)2(
1
)2)(2(6
13
)2(2
2 2
x
x
xx
x
x
x 226 xxMCM
216132)2(3 2 xxxxx
6
153
12
606
12
24366
0166 12661312123
2,1
2
222
x
xxxxxxx
4. 8
7
7
6
5
4
4
3
x
x
x
x
x
x
x
x
Desarrollamos la parte izquierda y la parte derecha y luego cruzamos los denominadores:
87
49144814
54
16815887
7786
54
4453
2222
xx
xxxx
xx
xxxxxx
xxxx
xx
xxxx
6 366
2095615548787
1
54
1
22
xx
xxxxxxxxxxxx
5. 222
2223
bxa
bxa
axb
a
bax
bax
Factoramos y encontramos el MCM:
))(()(
3 222
baxbax
bxa
bax
a
bax
bax
baxbaxMCM
ab
bx
abxaabbxaabxababxxa
bxabaxabaxbax
32
3
3)32( 332
3
2
2222222
222
6. 1373 xx
Le cambiamos la segunda raíz al otro lado del igual par poder eliminar las x y le
elevamos al cuadrado ambas partes:
3 39 )3(3
326
332173
3173
22
22
xxx
x
xxx
xx
7. xxx 1046
104626
104622
xxxxx
xxx
4262 xxx
22
26 xxx
446 22 xxxx 2x
SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Las ecuaciones con dos o más incógnitas se llaman de primer grado si tienen la siguiente forma:
cbyax dczbyax
Donde dcba y ,, son las constantes con la condición de que los coeficientes de
las variables sean diferentes de cero. La primera ecuación representa una línea recta, mientras que la segunda representa un plano.
Un sistema lineal esta formado por dos o más ecuaciones de primer grado, están igualadas siempre a una constante sin variable llamado término independiente y pueden ser homogéneas o no homogéneas. Las homogéneas son aquellas en la que en cada ecuación el término independiente es igual a cero. Hay sistemas que tienen muchas soluciones, hay otros que tienen una solución y hay algunos que no tienen solución. La solución de un sistema no es otra cosa que lo común que hay entre los gráficos de las ecuaciones del sistema, si un sistema no tiene solución significa que entre sus gráficos no hay nada en común.
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas vamos a utilizar el método de eliminación.
Ejemplos:
1.
1243
yxyx
2
1243
yxyx
77
12862
y
yxyx
112
1
x
y
1x
2.
332212
63
zyxzyxzyx
Para resolver este sistema lo vamos a hacer en forma matricial utilizando el método de Gauss, realizando transformaciones elementales, entre filas. El método consiste en transformar los términos que se encuentran debajo de la diagonal principal en ceros, que es la idea del método de eliminación, para esto tratamos de obtener el mismo coeficiente con signos contrarios, de tal forma que al sumarlo se reduzca a cero, así:
13- 13 0 07 3- 2 06- 1 3- 1
15 1 8 07 3- 2 06- 1 3- 1
3 3 2 21 2- 1- 16- 1 3- 1
1 732
63
zzyzyx
,
331
,
221
2 FFF
FFF
,
3324 FFF
2 7)1(32
yy
1
6)1()2(3
x
x La solución es:
121
zyx
3. Encontrar la solución del siguiente sistema:
43257937654
532
tzyxtzyxtzyx
tzyx
1- 1- 0 0 01- 0 1 0 0
3 2 1 1 05 3 1 2 1
2 1 1 1 02 2 2 1 03 2 1 1 05 3 1 2 1
6- 3- 3- 3- 010- 10- 10- 5- 027- 18- 9- 9- 0
5 3 1 2 1
4 3 1- 1 25- 7- 9- 3- 17- 6- 5- 1- 4
5 3 1 2 1
,
441
,
331
,
221
2
4
FFF
FFF
FFF
,
442
,
332
FFF
FFF
1 1
32 532
tztzytzyx
2
3121
yy
1
513122
xx
La solución es: 1;1;2;1
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Se llaman ecuaciones de segundo grado, aquellas que tienen la forma:
02 cbxax
o aquellas que pueden reducirse por transformaciones algebraicas a esta forma. Donde x es la incógnita y cba ,, son constantes, con la condición de que 0a .
Si b o c son ceros la ecuación de segundo grado es incompleta, por lo que
tenemos los siguientes tipos:
0432 2 xx
023 2 xx Ecuaciones completas
035 2 xx
052 x Ecuaciones incompletas
02 2 x
También hay otros tipos de ecuaciones que estudiaremos más tarde.
Vamos a encontrar ecuaciones de segundo grado que son factorables, que no son factorables, para poderlas resolver nos ayudaremos con la completación de cuadrados o con la formula general de segundo grado. Las soluciones serán reales e complejas.
Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:
1. 609122 xxx
04882 xx
0412 xx
04 012 xx 4 12 -xx
2. 035 2 xx
035 xx
0x 035 x 5
3x
3. 052 x
52 x 5x Estas soluciones son imaginarias
4. 0342 xx
Esta ecuación no es factorable, por lo que lo vamos a resolver por completación de cuadrados
Para completar cuadrados dejamos los términos con la variable del lado izquierdo y completamos un trinomio cuadrado perfecto, para luego despejar x ; en la
ecuación si el coeficiente de x es par le descomponemos en dos factores el dos
que necesitamos para el doble producto y el otro factor será la segunda raíz que elevado al cuadrado nos dará el tercer término; si el coeficiente de x no es par le multiplicamos por dos y al coeficiente le dividimos para dos, siendo esta fracción la segunda raíz, a la cual le elevamos al cuadrado y obtenemos el tercer término.
342 xx
43222 22 xx
722x
72 72 2,12,1 xx
5. 0532 xx
4
95
2
3
2
32
2
2
xx
4
11
2
32
x
4
11
2
32,1 x
2
1132,1
ix
6. 0653 2 xx
En este caso le dividimos para tres y procedemos de las formas anteriores:
023
52 xx
36
252
6
5
6
52
2
2
xx
36
47
6
52
x
36
47
6
52,1 x
6
4752,1
ix
7. 02 cbxax ; Qcba ,,
02 a
cx
a
bx
2
22
2
4222
a
b
a
c
a
bx
a
bx
2
22
4
4)
2(
a
acb
a
bx
2
2
4
4
2 a
acb
a
bx
grado segundo de general formula la representa que 2
4
4
4
22
2,1
2
2
2,1
a
acbbx
a
acb
a
bx
Los resultados del discriminante son tres:
i) 042 acb , hay dos raíces reales, si el trinomio es factorable las raíces son racionales y si no son irracionales y se las obtiene con la formula general.
ii) 042 acb , hay una raíz y el trinomio es factorable
ii) 042 acb , hay dos raíces complejas y se las obtiene con la
formula general
8. 1
13
1
2
1
13
2
2
x
xx
xxx
x
Para resolver esta ecuación, factoramos los denominadores y encontramos el MCM
1)1(
23
1
2
1
12
2
2
xxx
xx
xxx
x
01342322212
23)1(21
2
222
222
xxxxxxxx
xxxxx
1 11 - 4
1 4
10114
xx
xx
9. 1382733 22 xx
09382)3(9 2 xx
1- 99- 1 013993 xx
093 x 0139 x
233 x 2x 233 x 2x
ECUACIONES DE CUARTO GRADO QUE SE REDUCEN A ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
ECUACIONES BICUADRATICA
La ecuación de cuarto grado que tiene sólo potencias pares en su incógnita se llama Bicuadratica. Es decir:
024 cbxax , 0a La solución de esta ecuación esta basada en la de segundo grado, donde x2 es la nueva variable.
Ejemplo: 1. 021172 24 xx
7- 13- 2
7 2
3
07 0320)7)(32(
22
22
xx
xxxx
2. 3613 42 xx
03613 24 xx
2
1
3
104 09
04922
22
xx
xxxx
3. 09192 24 xx
9- 11- 2
3 2
1
0)9)(12( 22
xx
xx
ECUACIONES QUE SE REDUCEN A CUADRÁTICAS
Hay varios tipos de ecuaciones, por ejemplo
1. 140734332 xxxx
1402123823
140]733][432[22
xxxx
xxxx
xxz 23 2
01280282914016829
140218
2
2
zzzzzzzz
6
44026
283442
02823
2,1
2,1
2
x
x
xx
3
1 1 1 3
0131 1- 10123 2
xx
xx-xx
6
97,2022,1
x 83,31 x 16,32 x
2. 0201
32 33 4
xxx
02032 3 22
3 2 xx
4- 15 2
8
125
0452 3 23 2
x
xx
8x
3. 2
31
1
22
x
x
x
x 0 ,1 xx
2
3
1
112
2
x
xx
x
011
2
3124
x
x
x
x
021
31
2
24
x
x
x
x
2- 11 2 02
11
12
22
x
x
x
x
021
011
2
22
x
x
x
x
21
2
1-
122
x
x
x
x
no tiene solución 21
x
x
12
1
12
1 12 12
21 21
xx
xxxx
xxxx
4. 4
424
2
22
xx
xxxx
424 222 xxxx
22
2 424 xx 161644 22 xxx
020163 2 xx
2- 110- 3
2 3
1002103
xx
xx
5. 0419512528103 222 xxxxxx
2 34- 1
3 24- 1
1 54- 1
0153223 4
01532234
0154324234
xxxx
xxxx
xxxxxx
0213661364
32232 322324
15323223223
153223
2
2
22
22
xxxx
xxxx
xxxxx
xxx
1 62 1 0162 xx
6
1 2 xx
INECUACIONES
Al analizar el resultado de una inecuación, lo podemos relacionar con el grafico de una función y = f(x) si esta es 0)( 0)( xfoxf .
INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Por ejemplo si tenemos la función y = x + 3 y le graficamos, podemos notar que:
de ]3,] la función es negativa y de [-3, + [ es positiva, esto nos lleva a
pensar que todo binomio de primer grado tiene dos signos, un positivo y un negativo.
Ejemplos: 1. 4
x - 4 - +
2. 3
3 - x + -
Resolver una inecuación significa encontrar su conjunto solución por ejemplo:
Resolver la inecuación ax + b 0.
ax + b 0 (ax + b) - b -b
ax +(b – b) -b
ax -b
Si a 0, entonces a < 0 o a > 0.
i) Si a > 0 a-1 > 0
ax -b a-1 (ax) a-1(-b)
x -ba-1
x - a
b
La solución sería: S = {x R / x - a
b}
Gráficamente: x
-a
b
ii) Si a < 0 a-1 < 0
ax -b a-1 (ax) a-1(-b)
x -b a-1
x -a
b
El conjunto solución es: S = {x R / x - a
b}
x
-a
b
Ejemplos:
1. Resolver: 3x - 4 < 0
(3x - 4) +4 < 0 +4
3x < 4
3-1 (3x) < 3-14
x < 3
4
Sol. = {x R / x < 3
4} x
4/3
2. Resolver : 5 - 3x 0
-5+ (5 - 3x) 0 -5
-3x -5
(-3)-1 (-3x) (-3)-1 (-5)
x 3
5
Sol. = {x R / x 3
5} x
5/3
Observaciónes:
1. Podemos cambiar un término al otro lado de la inecuación y este cambia de signo.
2. Si multiplicamos o dividimos la inecuación por un número negativo, la desigualdad cambia de orden.
3. Se pueden resolver los ejercicios anteriores con el análisis del binomio.
3. Resolver: 3x - 4 0
3x - 4 = 0 x
x =3
4
Sol. ={xR/ x 43}
Para resolver la inecuación primeramente igualamos a cero al binomio, tomamos un valor antes y después de este resultado y calculamos el signo del binomio.
4. Resolver: 5
34 x-
3
45 x
15
23 x+
5
65 x
15
2025912 xx
15
181523 xx
-13x – 29 13 –15x
-13x +15x –13 – 29 0
2x – 42 0 x
x – 21 0
x –21 = 0 Sol. : { xR / x 21}
x = 21
5. Resolver: x3
1 > 0 x
3 – x = 0
x = 3 Sol: {xR / x < 3}
6. Resolver: x
xx
5
)4)(23( 0
x -21 + -
21
3x - 4 - +
4/3
3 – x + -
3
+ + +
-4 3/2 5
-
+
-
-
+
Igualamos cada binomio a cero y realizamos la tabla, considerando los valores de menor a mayor, tanto en la recta numérica, como para los binomios.
3 –2x = 0 4 + x = 0 5 – x = 0
x = 2
3 x = - 4 x = 5
Sol: {x R / -4 x 3/2 x > 5}
8. Resolver: x
x
2
13 -
2
43
x
x 1
Para resolver este tipo de inecuaciones pasamos todos los términos a la izquierda y procedemos algebraicamente a transformar la parte izquierda de tal manera que nos queden binomios de primer grado:
x
x
2
13 -
2
43
x
x - 1 0
)2)(2(
)2)(2()2)(43()2)(13(
xx
xxxxxx 0
)2)(2(
4)4836(263 222
xx
xxxxxxx 0
)2)(2(
1216
xx
x 0 Igualamos a cero cada factor
16x -12 = 0 x = 4
3 2 – x = 0 x = 2 x +2 = 0 x = -2
3 – 2x + -
5 - x + +
-
+
-
+
(3-2x)(4+x)
5 - x
4+x
En la última fila de la
tabla, calculamos el
resultado haciendo una
multiplicación de
signos e incluimos los
valores que hacen cero
el numerador.
- + x +2 + +
-2 3/4 2
- +
+ -
- + x + 3 + +
-3 4/3 2
+ -
+ -
Y procedemos a realizar la tabla:
x
Sol: { x R / -2 < x 3/4 x 2}
8. Resolver: 5
43
)3)(2(
)2()34(
xx
xx
0
Cuando un elemento está elevado a una potencia par, siempre será positivo, por lo que no es considerado en la tabla.
4 –3x = 0 2 – x = 0 3 + x = 0
x = 3
4 x = 2 x = -3
x
Sol: {x R / -3 < x 4/3 x > 2}
16x–12 - +
2 - x
+
+
+
-
+
-
16x-12
(2 – x)(x + 2)
4 – 3x + -
2 - x
+ +
-
+
-
+
(4 -3x)3 (2+x)
4
(2 – x)(3 +x)5
1 2
+ +
+ -
9. Resolver el siguiente sistema:
0152
2
341
3
43
2
34
2 xx
x
x
x
x
x
x
Procedemos a
resolver cada inecuación y la solución del sistema es la intersección de las soluciones parciales.
x
a) x
x
2
3 4 -
x
x
2
3 - 4 0
x
xx
2
483 0
x
x
2
55 0 S. a: { x R / x 1 x > 2}
b) 3
43
x
x + 1
x
x
2
34
3
43
x
x + 1 -
x
x
2
34 0
)2)(3(
)3)(34()2)(3()2)(43(
xx
xxxxxx
0
)2)(3(
)994(68103 222
xx
xxxxxx
0
)2)(3(
994294 22
xx
xxxx
0
)2)(3(
1118
xx
x
0
Igualamos a cero cada binomio:
5x -5
2 - x +
- + - 5 x –5
2 - x
- +
- +
-
+
- +
- +
+
x = -11/18 x = 3 x = - 2 y realizamos la tabla
x
S. b = {x R / x < -2 18
11 x < 3}
c) x2 – 2x –15 < 0
(x – 5) (x + 3) < 0
x – 5 = 0 x + 3 = 0
x = 5 x = - 3
x
S c: { x R / -3 < x < 5}
INECUACIONES CUADRÁTICAS
- 2 -11/18 3
2 + x +
18x+11 -
x - 3 - -
-
+
-
18x+11
(x–3)(2+x)
+
+
-3 5
x + 3 +
x - 5 -
(x –5)(x +3) + - +
Para tratar estas inecuaciones vamos a recordar como sé grafica una ecuación cuadrática.
Sea a, b, c R, con a 0, y = ax2+bx+c y
i) Si a > 0 y ax2+bx+c = 0 no tiene raíces reales entonces
su gráfico es:
Si tiene raíces reales:
ii) Si a < 0 y ax2+bx+c = 0 no tiene raíces reales entonces,
su gráfico es:
Si tiene raíces reales:
Cuando trabajamos con inecuaciones lo que necesitamos saber es, el signo del gráfico, si la ecuación ax2+ bx + c = 0 no tiene raíces reales es positivo o es negativo dependiendo del signo de a.
Si tiene raíces reales y a > 0 siempre el resultado de la inecuación es +, -, +; pero si a < 0 el resultado es -, +, -.
+ + - - +
- +
-1 -2/3
+
- + -
Ejemplos: Resolver las siguientes inecuaciones cuadráticas:
1. 3x2+5x+2 0
2 31 1
(x +1)(3x +2) = 0 Sol :{x R / x -1 x -3
2}
Las raíces son: x = -1 ; x = -3
2
2. 5 - 4x - x2 > 0.
x
5 – 4x - x2 = 0
x2 + 4x -5 = 0 Sol :{ x R / -5 < x < 1}
(x + 5)(x – 1) = 0 x = -5 x = 1
3. 7124
1452
2
xx
xx < 0
5x2- 4x - 1= 0 4x2+ 12x - 7 = 0
1 51- 1
1- 27 2
(x – 1)(5x + 1) = 0 (2x + 7) (2x – 1) = 0
x = 1 x = -5
1 x = -
2
7 x =
2
1
Sol = { xR / 5
1
2
7 x 1
2
1 x }
-7/2 -1/5 ½ 1
5x2- 4x - 1
4x2+ 12x -7
7
+ - +
7124
1452
2
xx
xx
+
_
+
_
+
3x2+5x+2 + -
-5 1
5- 4x - x2 -
EJERCICIOS PROPUESTOS:
1. Realizar las siguientes ecuaciones
a) xxx 85532
b) )35(214)3(5)1(4 xxxx
c) })]3(4[3{2)43(6 xxxxx
d) )6(4)1)(2(3)4)(1( zzzzzz
e) 11520005220102 4213 xxxx f) 013829 42 xx
g) 1318173 42 xx h) 637383 132 xx
i) 132
62
6 x
x j) 16
1
16
1
16
3
3103
xxx
k) 6
3
3
x
x
x
x l) 131245 xxx
ll) 92714
3
3221
23
376
25222
xx
x
xx
x
xx
x
m)
a
cb
a
cb
a
cb
xa
cb
a
cb
a
cb
a
cb
xa
cb
n) 65923233 xxxx
o) 260373443 xxxx
p) 12151215424 22 xxxx
q) 043 2 xax
r) xxxxx 410431043 22
s) 1312523 xxxx
t) 224242 243 baaxbx
u) 2
3
32
23
x
x
w) 1
149
xxx
x) xx
xxxxx
22
2
2
32222
y) 0102
2
2
22
2
2
2
xx
xx
xx
xx y)
z) 0213 xx
aa)
xx
xx
xxx
xxx
10
1027
105
105
bb) 22221 3 xx
cc) x
xx
8
35
3
8
dd) 3811
3811
542
5422
2
xx
xx
xxx
xxx
ee) 1286437911 xxxxxxxx
ff) 015995 2345 xxxxx
gg) 02112 234 xxxx
hh) 073572414 32456 xxxxxx
ii) 0416212321164 23456 xxxxxx
jj) 012890890812 23456 xxxxxx
2. Resolver los siguientes sistemas:
a)
654
723
432
21
21
21
xx
xx
xx
b)
222
32
4323
4321
421
4321
xxxx
xxx
xxxx
c)
123
1023
zyx
zyx d)
3232
62
zyx
zyx
e)
063
64
22 xyyxyx
yx f)
30
3
xy
xy
g)
3
1022
xy
yx h)
10
2052
xy
yx
i)
220374
25
24
42
yx
yx j)
28
4
33 yx
yx
k)
325
13
4334
22
yxyyxx
yxyx
d)
222
4322
23
632
4321
4321
431
4321
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
ll)
132
543
422
123
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
e)
02222
223
12242
422
1223
54321
54321
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
n)
433
032
222
52
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
o)
022430232223
0620232
06522033323
654321
654321
654321
654321
654321
654321
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
3. Resolver:
a) xx
41
3 b) xx 43
5
42
3
c) 14
3
x d)
02132
35223
xx
xxx
e) 5
43
3
42
x
x
x
x f)
2
23
2
5
4
32
2
x
x
x
x
x
x
g) 0204169 324 xxxx h) 030114
3011423
23
xxx
xxx
i) 03
162
2
xx
x
j) 23
3
65
1
34
52222
xx
x
xx
x
xx
x
k)
04
13
2
12
4
12223
xxxx
k) 16
12
6
82
2
2
x
x
x ll)
2
3
1
2
2
132
2
2
2
x
x
x
x
l) 23
15
23
25
94
1832
2
x
x
x
x
x
x
m) 2
2
49
1453
32
43
32
25
x
xx
x
x
x
x
n) 222 9
32
673
23
94
12
x
x
xx
x
x
x
o) 62
3
932
3
6
34222
xx
x
xx
x
xx
x
p) 932
2
6
4
9
25222
xx
x
xx
x
x
x
q) 242 xx
r) xx 533 2
t) 223223
16
xx
xx
u) 294 2 xx
v) 05413 xxxx
w)
042
53
xx
xx
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