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Mecânica Aplicada I Cap. 3- Estática dos corpos rígidos
Luis Mesquita Pág. 25
��������� ����� ������
Nesta secção será feito o estudo de forças aplicadas a um corpo rígido.
Estudar-se-á a substituição de um dado sistema de forças por um sistema de
forças equivalente mais simples, cálculo de produtos externos ou vectoriais e
produtos internos ou escalares para a quantificação do momento de uma força
em relação a um ponto e a um eixo.
Conceito de binário e substituição de um sistema de forças aplicadas num
corpo rígido por um sistema equivalente, força e binário.
Forças exteriores – representam a acção de outros corpos sobre o corpo
rígido em análise.
Forças interiores – mantêm unidas as diferentes partículas que
constituem o corpo rígido.
Vector deslizante – é a representação de uma força aplicada num corpo
rígido, visto que em corpos rígidos o ponto de aplicação da força não é
relevante, mas sim a sua linha de acção.
Mecânica Aplicada I Cap. 3- Estática dos corpos rígidos
Luis Mesquita Pág. 26
��� �����������������������
O produto externo de dois vectores ��
e ��
é definido como sendo o
vector ��
que satisfaz o seguinte:
A linha de acção do vector ��
é perpendicular ao plano que contém os
vectores ��
e ��
.
A intensidade de ��
é dada pelo produto das intensidade dos vectores ��
e ��
e pelo seno do angulo formado pelos mesmos.
������
×= ( )θ��������=
O sentido de ��
é obtido pela regra da mão direita
Propriedades:
Não comutativa, distributiva e não associativa
�� ����������������
×−=××≠×
��������������
×+×=+× ��
���� ������������
××≠××
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Luis Mesquita Pág. 27
��� ������������������� ������� ����� ������������� ����� ����
O produto externo de um versor por si próprio é zero, uma vez que têm a
mesma direcção. Para todas as combinações, temos:
Definindo o vector ��
produto externo de dois vectores ��
e ��
, em função
das coordenadas cartesianas fica:
usando a propriedade distributiva:
Ou de outra forma, através do cálculo do determinante, repetindo a 1ª e a
2ª colunas.
�
�
���
���
��
�
���
�=
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Luis Mesquita Pág. 28
�� ����������������������������������
Considere a força ��
, definida pela intensidade, direcção e sentido, que
actua num corpo rígido. O efeito que a força provoca no corpo rígido depende
também do seu ponto de aplicação. Sendo o seu ponto de aplicação definido
pelo vector ��
, o momento da força ��
em relação ao ponto O será obtido pelo
produto externo de ��
e ��
.
��� �
���×=
��� ���� �
��������� =Θ=
� � !��������"�������#�����$����%����& �'( ��)��*
“o momento em relação a um ponto O da resultante de várias forças
concorrentes é igual à soma dos momentos das diversas forças em relação ao
mesmo ponto O”.
�
����
���
�
�
����
���
�
( ) �� ���������� ×++×+×=× ������� ����
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�(� ���������� ����� ���� �������������������
�
�
�
�� �
�� +
�� ,
� �
� ,
� +
�
� �������
�
O momento ���
, em relação ao ponto O, produzido pela força ��
, de
componentes Fx, Fy e Fz aplicada no ponto A de coordenadas x, y e z, pode ser
apresentado da seguinte forma:
���� �� ��
����++=
em que Mx, My e Mz são as componentes cartesianas do momento ���
.
Mx = y Fz - z Fy
My = zFx - x Fz
Mz = x Fy - y Fx
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�'� ������������������� �������
O produto interno ou escalar de dois vectores ��
e ��
é definido como
sendo o produto das intensidade de ��
e ��
pelo coseno do ângulo formado
pelos mesmos.
E = ��
. ��
( escalar ) �� Θ= ������
��
Propriedades: Comutativo e Distributivo.
Aplicações: Determinação do ângulo formado entre vectores,
determinação da projecção de um vector sobre um eixo.
�)� ��������� ������& �������
O produto misto de três vectores dá origem a um escalar, através do
produto interno do vector ��
pelo vector produto externo de ��
e ��
.
E = ��
. (��
X ��
) ( escalar )
Cálculo prático de E : � � �� � �� � �
�
�
�
Aplicações: cálculo do volume criado pelos vectores.
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�-� ���������������������������������
O momento de uma força ��
em relação a um eixo OL é definido como
sendo a projecção do momento ���
sobre Ol, isto é, será o produto misto do
versor λ pelo vector posição ��
e pela força ��
.
=����
λ . ����
= λ . ( )���� ×
Sendo λx, λy e λz os co-senos directores do ponto de aplicação da força
��
, x, y e z as coordenadas e Fx, Fy e Fz as componentes cartesianas da força
��
., podemos exprimir ����
na forma de determinante:
Significado físico: o momento ����
de ��
em relação ao eixo OL mede a
tendência da força ��
produzir no corpo rígido um movimento de rotação em
torno do eixo fixo OL.
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�.� �����������/��$���
Duas forças ��
e -��
, com a mesma intensidade, linhas de acção
paralelas e sentidos opostos formam um binário.
O momento produzido pelo binário será:
Com uma intensidade igual a:
��0� 1��$��� �2���������
Os binários apresentados provocam no corpo um movimento de rotação,
sempre no mesmo sentido.
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���� 3� ����%����41��$���
Qualquer força ��
aplicada a um ponto A de um corpo rígido pode ser
substituído por um sistema força/binário num ponto arbitrário O.
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Substitua a força de 150N por um sistema força binário equivalente em A.
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���� ����������� � ����������� ��� � ����%����41��$���
Por mais complexo que seja o sistema de forças, este pode ser reduzido
a um sistema Força/Binário.
�= ����
�� ×== �� ���� �
�
�
����
��� 3� ���� �2��������� �������
Dois sistemas de forças são equivalentes se forem reduzidos ao mesmo
sistema força/binário:
� �= ������
e �� = �
�� ����
Fisicamente, estes têm que provocar um movimento de translação e de
rotação igual segundo os três eixos.
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�� � ����������� � ����������� ������ ��
No caso geral 3D de um sistema de forças no espaço, o sistema pode ser
reduzido a uma força e um binário, não perpendiculares entre si e de
intensidade não nulas (caso geral).
O vector binário pode ser vectorialmente decomposto em outros dois
vectores ���
e ���
segundo a direcção de ��
, e M2 contido num plano
ortogonal a ��
.
O vector ���
e ��
podem ser substituídos por uma única força ��
, mas
noutra linha de acção.
O sistema original reduz-se a:
Uma força e um binário, ambos com a mesma direcção, ou seja, um
TORSOR.
A razão �
�� �= é designado por passo do torsor.
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A projecção de �
���
segundo a linha de acção de ��
é:
M1=�
�� �
�
���
�
� �
�
��
�
��
�
�
��
==
O eixo torsor fica definido por
�
���
= �������
×+
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Os dois eixos de uma caixa de redução estão sujeitos a binários cujos
momentos têm módulos M1=20,3 Nm e M2=4,07 Nm. A caixa pesa 267n e tem o seu centro de gravidade sobre o eixo z em
z=152mm. Substitua o peso e os dois binários por um torsor equivalente e determine: a)- a força resultante b) a passo do torsor c)- o ponto onde o eixo torsor corta o plano xz
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