cap.6 - transformaÇÕes trigonomÉtricas
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kwwxm#mrwmwffiww
Considere o arco x indicado no ciclo trigonométrico da figura.
O ponto M é determinâdo pêlas coordenadâs cos x e sen x, islo é:
M (cos x, sen x)
FortarÌtg qualquêr ponto da circunferêncìa é dado atíâvés das razões tíigonomé-tricas dos arcos a e b, positivos ou negativos.
€n*gmmff'ffiffi*rffiffis.1
Atéo momentq estudamos as funções trigonométíicâs reterentês a um únicoarco.ta unidade demonstraremos novas fórmulas trigonométÍicas dos ârcos da forma:
(a + b). (a - bl,2a e; '
ìnicialmente,vamos mf,strarque as Íóímulas sãoverdadeiras paravalores positivos, culasoma pertence ao primeiroquadrântê ê, depoiq generalizá.las, de moda que possamos aplicá_las a dois valoíes auaisqueí
Nes-
INTRODUCAO
69
FORMULAS DA ADICAO
. Cálculo de sên (a + b)
. Sejam a e b dois arcos positivos, do primeiro quadrante, cuia soma ainda pêrtence ao pri_mêiro quadrante, ou seja:
0.^. ï , o. b.+ , O<a+b<+-tt ,.=
Observando a figura, lemos:
{ân0ulos agudos dê tadosperpendictrlâres)
. FS =oR-eFS = FO(lados opostos de um relângulo)
(1) No triângulo retângulo OPD (P é reto), temos:
sen(a+b)= = =:u =pD =pS+SO=6q159UL' ']
(2) No triângulo retângulo OQR (Q é reto), temos:ÃD-
sena=*+QR=OR.sênaL'H
(3) No tíiângulo Íetânguto DSR (S é rêto), temos:
cosd = cosa =:^ i =SD = DR.cosaUH
(4) Dessê modq a igualdade O podê seí êscritalsen (a + b) = õFi .sena + DR .cosa
(5) No triângulo retânguto ORD (Ê é reto), temos:
nÈNsenb=: j ' senb = - : í " =DR = senb
ôD1aìp õE-
cosD = =- -cosb= "" ,OB = cosboDl
(6) Dessê modq â igualdadê @ podê ser escritajsên(a + b) = cosb sena + senb.cosaou arnoa:
I
70
. Cálculo de sen (a - b)
Obsêruêmos que:
(a-b)=la+( b) lsen (-b) = sen bcos (-b) = cos b
Da Íórmula da somâ, temos:
sen (a - b) = sen [a + (-b)] = sên a . cos ( b) + sen( b) .cosa
Dâí:
sen(a - b) = sena. cosb - senb. cosa
Vejâmos âlguns exemplos.
'19 exemplo: Calcular sen 105o.
Resol uçáo: Transtormandq temos:
sen 105ô = sen (45ô + 600)
Aplicando-sê â fóímula do seno de uma soma, vêm:
sen (45o + 60o) = sen 45o . cos 60o + 6en 600 cos 45o
sên(45o+60ô) =+ + -+ +sên (45ó + 600) = + - fsên {45o + 600) = *to*
aesoosta: Ej&
29 exempfo: Sendo sen,, = j f """nv
=t ,o<x,v <! ,calcular o valor de sên (x y).
Resolução: Cálculo de cos x:. 144sen2x+cos2x=t = l f f i +cosl= 1
. co"*=9-13
Cálculo de cos y:
sen2ytcosl=1r
Cálculo de sen (x - y):senü - y) = senxcosy - cosxseny=
_12.3 5 4 _ 36-13 5 13 5 -ô516
t
71
f
9+cos2v=1
cosv = 9
_20_1665 -65
Bêsposta:
39 exomplo: Sendo x + y = + e sên y =
], calcr-rtar sen x, com 0 < x, y < f
Resolução: l1 l se x +V =ft - t= +
, y+senx="""$ -V)
(2) desenvolvêndq temos:
senx = senÉ -v) =senf .cosy cos-f .seny.
(3) cálculo do cos yl
senfo+cos!=r * f + cos,y = t
cosv = Ë
Substituindo. temos: s.^, = E .E
aesoosta: \-Q
Ít
=+ * =* i*
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM
I Calcule:
a) sen 75' c) sen 15'
u*.("+;) or*"( i -*)
2 Sabendoeuesenx = rI, com0 < x < f ,
"acutesen[f *).
3 Apücando as fórmulas de adição, calcule:.)*'+ (r"ç.+ =+ .+)o*"f (r"e"f =^-+)
4 Simplifique a exprcssão:y = sen (135' + x) + sen (135 - x)
5 Sejam a um arco do l: quadÉnte e É um ar-co do 29 quadÉÍÌte, tais que cos o - 0,8 esen B = 0'6. Calcule sen (a + P).
72
ó Usando as fórmuÌas da ediçâo, mostÍe que:a)sen(Í+x)= -senx
rr '* (; -,.) : "o.,7 Demonstre a identidade:
setra.seno - c) + senb.sen(c a) ++ senc.sen(a - b) :0
8 Sabendo que x * t = * "
senx = f , como < x < f , calcule:
a) cos y b)tgx
9 Dados sen a = -1, u. ]* ,u\ ,"
teu : f , r < ]", f [, cac,rresen (a - b).
I
. Cálculo dê cos (a + b)
Na unidade 4 deste
sen l- tl =
"o" "
"o" (; ")
= ""n,.
Daí podêmos êscrever:
cos(arb) = senp - ta+ ot l
cos(â.r b) = senp -a-ol
cos(a + b) =""" [ {1 -") -o]
Desênvolvendo pela fórmula já estudada, temos:
volume, estudamos que:
+ arcos complementares
t Í
cos(a + b) =
-"(+
-a), cosu-seno.cos$ -a),-
Ecosâ -- f*
Daí:cos (a + b) = cos a cos b sen b sen a, ou
. Cálculo de cos (a - b)Vamos Íecodar que:
cos (a - b) = cos [a + {-b)]sen (-b) = sên bcos (-b) = cos b
Da fórmula da soma, têmos:
cos (a b) = cos [a + (-b[ = cosa cos(-b) sena sen(-b)
Vejamos alguns exemplos.'l?.exemplo: Calcular cos 15o
Besoluçáo: Transformandq temog:cos 135o = cos (90" + 45')
Aplicando a Íórmula de co-seno de uma soma, temos:
cos (90" + 45") = cos 90o . cos 45o sen 90o . sên 45o" , .Jzcos(90" + 45") =0.ï 2
cos{go'+ 45o) = - ia
_tt;Resposlâ: --:í
Daí:
I
29 exêmplo: sendo cos(3r a) = f ,ae 3ro,ecos(f . t) = +,calculâr cos (a - b).
Resoluçáo: Sabemos que:
cos (3Í a) = cos (Í - â) = -cos a e "o".
= -f
cos (1 +r) = senbrsenb=-+
Utilizando-se a relaçáo fundamental, vêm:
sen2a + cos2a = r -
senra + f = t
sena = t f
comoa(39Qjsena= -.122
sen2b+cos2b=t =f , + cosru = r,4coso= =Ë
Como b c 49Q-coso=f
Fortanlo:
cOS (a - b) = cos a . cOS b + sêna senb
cos(a b)=l+l +.( 9) ( -+)cos (a b) = -+í . # -"o",u- b) = 3\aõ4!2
3.12 4,121-
b<49Q,
t - r
Resposta:
EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM
a) cos 75'
I Usando as fórmulas da âdiçàq calcÌrle: 4 Qual a foÍma mais simples ala expÍessãocosx.cos(r x) ,
/ l - ìsenx.cosr _
- l5 Demonstre que
cos(a - b) - cos (a + b) _._ksen (a + b) + sen (â - b)
ó (FEI-SP) câlcule:t - \L = sen(; + xrsenír+x) +
+ cos (f + x)cos (,r - x)
7 Sendoxe y arcos do I9 quadrante, sen x = *e cos y =
i , calcule o Ìâ1or de cos (x - y).
b) cos 15'
c)cosf (*** =-ã, -+)
2 Usando as fórmulâs da adiçãq mostrc quea) cos (Í x) = -cosxb) cos (2r - x) = cos x
c) cos [Ë + Ì) = senx
3Dadocosx = ] , cotno < r < f ,
ۉ1cule:
a)cos(f r ì or* . ( . -*)
@--
I
Vamos, entáq desenvoìvêr o 29 membro:
r. /â r hì - iglj tç9!! 1,!9!ji-90s acosa.cosb-sena senb
Dividindo o 29 membro por cos a cos b, temos:
seai a cos b sen b cos a@_q9!i r!9!I
'.,, . n,r9 tc .r ot =
coaã . cosT-- senã . s s_ rv \o r u/
cosa cosE - cosa cosF
. Cálculo de tg (â + b)
èôn /â r -.sâbemos que tg (a + b) = l:!-19-^^- ,- r u/
cos (a + D)
tangente, ou seja:
. paralodoa t+ +kr
.paratodob * i +x"
. Cálculo d€ tg (a - b)
íÍ
2+1T
.T
sena , senocosa - cosbr sena sênb'- cosâ cos5
1570
Vamos lembrar que tg (- b) = -tg h,^ " , !sl_ b)ts (â - b) = ts [a + { bI = ---Ì"ÌË .ìôi.Tj--
Daí leremos: tg(a - b) =
Estarelaçãoéválidapaíaosvaloresdea,bea-bquepêdêncemaodominiodaÍunçáotangêntq como já vimos anleiiormente.
Exemplo: Sabendo que tg a = f e tg b =
S, calcular tO (a + b).
Êesotuçâo: ts (a + b) = T*áJ++
Substituindo, temos:a.a
ts(a + b) = :- 'ï'510
Besposta: ã
3ìõ4rEd
como jffi = tg u " #ï* = ts b, temos:
tg(a + b) =
Esta relaçáo é válidâ para os valores dê a, b ê a + b que pêítêncêm ao domínio da tunção
. para todo {â +b)++ + k1l
EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM
I Calcule:a) rs 15' b) tc (j- + _i,
2 euc-sP) se ts (x + y):33etsx = 3,câÌcule tg y.
ì .! t sab€ndo que cos x = Í . com 0 < r <i ,
cacute te (f + x).
4 Demonstre a identidade:
teÍ45' a)= ] tsa- | + tga
5 Sabendo qúe tg o = * " ,r B = -*,
câlcule:
a)rgíp.+A b) ts(a - B)
ó Qual o valor de tg à de modo que
tg (45o + x) + rg (x - 45o) = 2, como.^. t ,
7 Suponha x e y númercs rears, iais que:
ts(x-y)=i ïetgx. tgy=ICalcule o móduÌo de número S-= tg Xr+ tg y.
8 Sex + y = + eBy = 2,calculeoÌ"lordetg x.
9 Sabendo qu€ sen (x + 5") = * ,
"o-x € ìr,Ét. calcutetc(i + x.f.
lO Sabendo que ts a : I, rc b = + e
tgc = -1, calcuìe tg (a + b, c).
t
Este ìtem é apenas uma aplìcação das fôrmulas da soma (a + b) dê dois arcos. Nestasoma faíemos b = á, obtendo o arco duplo 2a.
. Cálculo de sen 2â
Sabêmos que sen (a + b) = 5sn6.cosb + senb.cosa.
Fazendo b = a, temos: sen (a + a) = sena cosa + sêna.cosa
. Cálculo de cos 2a
Sabêmos que cos (a + b) = cosa.cosb - s,ena.senbFâzendo b = a, temos:cog(a + a) = cosa.cosa - sena.sena
Daí:
Daí:
. Cálculo de tg 2a
Sabemos quê tg (a + b) = -r+t:lthFazendo b = a. temos: to(a + a) = , t-qa+lga
- l rga.rga
tg2a= 2Ìga1 - tg2a
FORMU LAS DA MU LTI PLICACAO
76
uat:
Vejamos alguns exemplos.
19 exsÍnplo: Conhecendo-se sen â = +, O < a < +, câlcular:
a) sen 2a b) cos 2a c) tg 2a
Resolução: a) sen2a + cos2a = t - f; + cos'?a = 1
cos'a = $ - "o"" = f
sen2a = 2sena cosa=sen2a =, + + =sen2a =
b) cos2a = 1 - 2sen2a, "o"2"
= r - z. ( f ) 'cos2a=t- f i - "o"zu=-*
cìtoa = j9!3cos a
, l^ ^to2a=-7ft - ' to2a=
Resposta: alff;b) -*rO ?
2? exemplo: Dados sên a = { esen O =
},com O < a,b <f ,calcular cos(2a + b).
Besolução: Desênvolvendo cos (2a + b), temos:cos (2a + b) = cos2a.cosb sen2a.sen bNesta igualdade, precisamos conheceÍ:
(1) cos 2a - cos 2a = 1 - 2sen2a - cos 2a = 1 z. I -"" tzu=tr
Í24E t
qA
t^4-"----iF =
(2) cos b * sen2 b .r cos'z f =rrd + cos2b = 1
"o:'b = i*
comoo<b.ã -"o"0= - í i * =- f
(3) sen 2a + sen 2a = 2sena.cosa
sen2a + cos2a = f - f, + cos2 a = 1 * cos, a = f,
comoo<a.Ë-"or"=t í+= fsen2a=2 + + - senza= vj
Substituindq temos: cos {2a + b) = cos 2a cos b - sen 2a . sen b,
cos(2â+b)=+ +-+ +
8
-
24
.EÉ .Ncos(2a+b)=- i9 -Ë - cos(2a + b) =
\,i15 -: \,9
'/ì5 !C
-Respogta:
77
r-*-
EXERCICIOS DE APREN DIZAGEM
| (Faap-SP) Catcule sen 2x, se sen l =é um arco do 29 quadmnte.
2 (Cescem-SP) Sendo 0 ( 49 quadÉnte e
cose = +, caìculecos 26.
3 sentro sen o = t , "o o <. <| ,
carcur€sen(+ + 2a).
4 Sabendo que cos x : ] ecosy = s.
com0 < x,y < +, calculecos(x + 2y).
5 Resolva os pÍoblemas:
a) Dada tg x = + , calcule t8 2x e cotg 2x.
b) Sabendo que tg 2a : l, calcule tg a-
ó (FEI-sP) se sen x - s6s1= |,
cacute
7 (FEI-SP) Calcule seÍ12x, sabendo qnetgx + cotg x = 3.
8 Sabendo que a é üm ângulo do terceiro
quadrante e ts a = f, calcule sen (2a) e
cos (2a).
9ttaap-Set Se a e b sáo ãngulos posiüvosinlerior€: a 180'. caicuie s€n 2a e cos 2b, sabendo
ou.r""u = - f e"o ' t = | .
lO €aap-sP) se tg a = ].r*u
= $,
calcuje rs(a | 2b). Suponha 0 < a. b < +
l l tvack SPlSergr merg2\ = lm,m > 0,caÌcule o \,alor do ângulo agudo x.
12 Sabendo que tg (a +b) = 4úgaJi-2,calcul€:
a) tg2b
4'"
r
b)tg(a - b)
13 Prove a idenrjdade 2^ - .o," r - ,n
"ÍE 2x
l4 vostre que:
a)sen3a:3sena - 4sen3ab)cos3a - 4cos3a - 3cosa
Jtsa-tdacl Ig ra = '-------------- -I _ Jtg-a
Sugestão: Faça 3a = 2a + a
ì-rc òe cos x = 7 . calcule cos 4x.
ló Simplifique a expÌessãoy : cos'z (â + b) + cos'(a b)
cos 2a cos 2b
| 7 Sabendo que oa B e T são ângnlos internos deum triângulo, mostre qüe:
cos2a + cos2É + cos27 ++ 2 cos d . cos 6 . cos 'Y = I
Vamos estuda( agora, as Íórmulas quê nos pêrmitem calcular s€n ã . cos áe tg ã , senoo dado um número real a.
. Cátcuto do cos â
sabendo que a = + + f , temos:cosa = cos$
cos a = cos2ã - sen'+
t
FORMULAS DA DIVISAO
7A
Çomo sen'ã = Ì - cos'ã. lemos:
cosa = cos' t ( i cos'z â )- cosa: cos'?â t + cos' f
cos a = 2cosrâ j
cos'?f = 1 t-eesa
T
. cátcuto da tg â
Sabemos que:
sen 4ts i=
-
- cos ã
_-I l !s!"- - \ 2 '
t
='F-
. Cátcuto do sên ã
sabêmosque:cosa = "o"
( f *â) =*fâ sen'?f
Comocos2f = 1 - sen2ã, temos:
cosa=1 sen'?f -sen' ! -cosâ= 1 zsen2 !
sen,] = J-_-9993
cos +
79
senf = +
F*ï-
l
:]
i
II
I
J
r=+ =+
Vejamos alguns exemplos.
í9 êxemplo: Dado cos a = f, com O < a < â, calcular cos â
Resotuçâo: *"i = t1F - cosf =
- sen fsen f
c9s â
- sen f
c.omoo < a < 4. entãosen4 = ̂ E- "u22Ì6
Besposta:
39 êxemplo: Câlcular cos 15o.
Pesotuçáo: sabemos que 15o = ï" -
a = so'
,T. v3\ l ' - T\2
costs.= + J2J€
"osts.= út€
-"o"rs"=úâ€
Resposta:
80
-"f = t.çffcomoo<a<â,êntãocosf =
AesOosta: ff
29 ex€mplo: Dâdo sên a = f , catcutar sen f , com o < a < f
.
Resotuçâo: *"; = a /t1""*
Vamos, êntãq calcular cos a:
cos2 a = 1-.sen2a-cos'a = I f ,
"o" " =f
Substituindq lemos:
= r [t;eu - cos r5o = Ì 2
cos 15o = .t - cos' lso = .t l2+E-
!----
t
- * ! -6-
4
'1 ll3
-
3----
3-156
t
49 exemplo: Dado tg â , câlcular tg a.
Resotução: a = $ + | - tga =
rga =
tga =
- ,u2
,n(â.â)
r^â , .^â'ez - 'ez1-ts+ rc+
- ,^a
1_ ts"+ 1
Bespostar lg a =,_,v2
EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM
I Da.locosa = j, corno < a < f ,
catcule cos f .
2 Calcule cos 22' 30'.
3 Resolva os problemas:
a)Secosâ=j,comO<a<f,
calculesen+.
b) Dado s€n a =! ,* o<"<i ,
calcule sen f .
4.rcle o mlor ae sen f .
Sugestão: faça á
=
5 (Ufes-ES) Sabendo que sen 6 -
0 € 29 qüadrante, calcule tg +
ó Sabenao que cos fa; sen fb) cos *
c) tgã
\22
a_g.2
7 Resolva os problemas:
a) sets+ = ] , deterrnine te a.
b) Dada tg; , calcule sen a.
8 (Mauá-sP) Dados sen o = t,; . e.",
caìcule A = 25 sen 2e + Vro sen; .
9 Calcul€ o vaÌor de tg 15..
l0 Sauenao que sen í l l"- -"ì - - ! .o'.\z I t
! . u .2r, calcule o vaÌor de cos f
FÓRMULAS DA TRANSFoRM,qçÃo EM PRoDUTo
. Forma fatoÌada da expressão sgn m + sen n
Sabemos que:
sen(a + b) = sena.cosb + senb.cosa{1)sen(a - b) = sena cosb senb. cosa(2)
Fazendo (1) + (2), temos:
sen (a + b) + sên (a b) = 2.sêna.cosb(3)J
Indicando-se: a + b = m =a-b=n
Como: a + b = ma b=n
2a=m+n=a= min
2b=m-n-O= m;n
Substituindo na relaçáo (3), temos:
senm + senn = 2. sen . [+ n . cosjni-n
. Forma fatoíada da expressão sen m - son n
Sabemos quê:
sen(a + b) = sênâ.cosb + sênb.cosa(1)
sen(a - b) = sena.cosb senb.cosa(2)
Fazêndo (1) , (2), temos:
sen (a + b) - sen (a - b) = 2 . sen b cos a (3)
^= ^ïn
"=-
Substituindo na relação (3), temos:
Vejamos alguns êxêmplos.
1? exeíÍplo: Fatorâí (ou transformaí êm produto) a êxprêssão y = sen 4Oo + sen 3Oo.
Resolução: Na expressão dâda, temos: m = 4Oo e n = 3OoAplicando a forma fatoíada de sen m t sen n, temos:
y = sen 4Oo + sên 3Oo = 2. sen 40' + 30o . cos ,Oo :30o -= 2 . sen 35ô . cos 5ô.
Re'posta: y = 2.sen35o.coss..
a2
29 exemplo: Fatoíâr y = 1+ sen 30o.
Re6olução: Lembrando que 1 = sen 90o, temosl
y = sen 9Oo + sen 30o = 2 --- 90o + 30o 90o - 30o"""-
= 2 sen 600 . cos 30oBesposta: y = 2 sên 60o cos 30.
39 exemplo: (FGV-SP) Transformar em produto a expressáo y = sen x cos x.t
Besotuçâo: Já sabemos que cos x = sen {* xì .
Substituindo na expressão dada, temos: y = sen , sen í 1 *ì .\z I
Aplicando a fórmula da fatoraçáo, temos:
Y=2 sên. (á-4 **(+ , )
cos----r
Í
x 4 +xy = 2 sen j-- cos
y=z.sen 2 cosã
x+f -x
/at-y=z ""nl$
-Çl ."os-,L
-7 = v = '4.""n{, f )
y = /. senlx _ |)
Resposta: y=ú sen(x -+
EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM
I llanforme em produo as expressôes:a) sen 4x + sen 2xb) sen 5x - sen xc) sen 55' + sen 35'
2 Fatorc a expressão y = I + sen x.
3 T|ansforme em produto as expressões:a) sen 3x + sen 5xb) sen ?x - sen xc) 1 sen 2x
4 (Mack-SP) Transforme em prcduto a exFessãoy = sen(135' + x) + sen (135" - x).
5 Simplifique:
a)sen+ +sen+b) sen 105' sen 15'
ó Tlansforme em prcduto:
a)sen(x+m)+senxb)sen(x+m)-senxc) sen 7x cos 3x
7SiÍnptifique y = s€n 30" sen 80'sen l0' + sen 40'
8 Tlansforme em uma aalição:sen 2x cos 3x.
È
83
r''-
. FoÍmâ Íatoaada da gxpr€ssão cos m + cos n
Sabemos que:
cos(a+b)=cosa cosb - sena senb(1)cos(a-b)=cosa cosb + sena senb(2)
Fazendo (1) + (2), temos:
cos(a + b) + cos(a b) = 2.cosa.cosb(3)
Como: a + b = ma-b=n
- m+n"= 2- f
m-n
- m+n"=-
. m-n2
(3), lemos:
Substituindo na relaçâo (3), temos:
Forma íalorada da €xpressão cos m - cos n
Sabêmos que:
cos (a + b) = cosa cosb - sena.senb(1)cos(a- b) = cosa cosb + sena senb(2)
Fazendo ('l) 12), temos:
cos{a + b) - cos(â b) = -2 . sen a . sen b (3)
C,omo: a + b = m -a-o=n
Subslituindo nâ relação
19 exêmplo: Fatorar a oxpressão A = sen 4x t sen 2x + sen 7x - sen x.
Resoluçâoi A = sen 4x + sen 2x + sen 7x sen x
A = 2sen3r f ?L .
"os 4*
t 2, + z sen Z;_ìL
A = 2 sen 3x . cos x + 2 sen 3x cos4xA = 2 sen 3x (cos x + cos 4x)
A = 2 sen 3x 2 cos 4x i
x 665 4x:-ì!
A = 4s€n3x."o"$ . "o"f
Resposta: A = 4 sen 3x . "o" $
. "o" $
u
t
29 êxêmplo: Fatorar a expressão A = cos 6x + cos 2 x.
Resotuçáo: cos 6x +cos2x = 2cosll + 2x "- 6x 2x
cos 6x + cos 2x = 2 . cos 4x cos 2x
Rêsposta: A = 2cos4x.cos2x
39 exemplo: simptificaí a êxprêssão y - cos 19: + cos =59:cos 40o - cos 50.
Resoluçáot cos 4oo + cos 50ô = 2. co. 40o + 50o -- 40o - 50',__
= 2.cos45o cos(-5o) = 2 cos 45ô .cos50
cos 40o _ cossoo = _2.se- 40'+ 50o . ̂ ^^ 40. 50ó
= -2 sen 45o ::" {:91 = 2 sen 45o . sen 50
sen 5o
Substituindo, têmos:
v=ff i Ím=
Fesposla. cotg 5o
= çqq!: = coÌs 5"
r,
a) cos 70o + cos 20o
b) cos 2x + cos !
c) cos 45o - cos 25o
2 Ìïalsforme ern produrocos (5x + 2) - cos 3x
3 Fatore a erpressâo y = cosx + 1.
4 Usando a5 tórmula5de faroraçáo. simplifique aexprcssão: . cosx + cosv
- cosx - cosy
5 Simplifique a expressâo:
.. cos 70" + cos 20"
.' s€n 70' - G"-0'
y = sen 2x + sen 4x + sen 6x + sen 8x.
7 Simplifique a expÌessão:
sen óx + sen 2xcos 6x cos 2x
8 TÌansforme em produto a
expressão: y = senrx senz 3x.
9 TÌansforme em produto:
I + cos 2x + cos 3x + cos 5x.
l0 Transforme em uma soma:
a) sen 2x sen 4xb) cos 4x . cos lox
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM
I TÌansforme em produto as €xpÌessões: ó Fatore a expressão:
85
8t sâo dados sen a = f "- 't
= |,*-
0<a,b<+.Determine:
a) sen (a b) b) cos (a + b)
82 €EI-SP) Calcul€ sen 15. + cos 15".
83 Simplifique a expÍessâo:y = cos (180' - x) - 5 sen (270' + x) r+ 4 cas (180' + x)
84 Demonsrn as identidades:
a)sen(a + b) sen (a - b) = sen'za sen'?bb)cos(a +b) cos (a - b) = cos2a qen'?b
85 Demonstre que
.o. ' , , .o. í* * 4ì * * ,L, a-" ì - o.\ l / \ J /
8ó Simplifique:
'."Í+ *ì *.o.í-! - 'ì\o / \J l
87 uostre quesen (30' + a) + cos (60' + (}) = cos (t.
E8 G,EI-SP) Sendo ts A : 2 e ts B = 1,ache rg (A - B).
89 Sabendo que Ìs A = x. ts B = !
e N = tg (A - B), calcule o valorde 20 N, quando x = 10.
90 São dados sena : mecos a : n, com
O<a< L Determine em luncào de m(n:
a) sen (f - a)
bt cos l* + al\z I
ot8[a - ï l
t r òaDe-se que sen x = Í eseny =
ã.com0 < x. v < +. Calcule enlào:
a) sen (x + y) d) cotg (x - y)b) cos (x - y) e) sec (x + y)c) tg (x + y) f) cosec (x - y)
86
93 Sabendo que
sen(Í- + x. f = É,comx€aea.e
tg(92 - y) = f , comy e19 Qcàcute:
a) sen (x + y.)b) cos (x - y)c)tg(x + y)d) cote (x + y)
94 Dernonstre que:
sen\ 'çeny-; lcosí ì - ] ) cos{\ ty, l .
95 Calcute o valor de A, sabendo queA = Gena + s€nb) '?+ (cosa + cosb)2e
a-b-*.
9ó Calcul€ o valor de M, sabendo que
M = (sen x - cos y)2 + (sen y - cos x), e
x+v=+
97 Conhecenr lo sen a = T , i .^ . , ,
calcule sen 2a e tg 2a.
98 sarenaocue,ena - ] ,com0 < a < fcaÌcule cos 2a e sec 2a.
99 1uF-cE) Se sen x + cosx = l-, calculesen 2x.
100 Sabendo que tg x = j, calcuÌe ts 2x ecotS 2x.
l0l O4auá-sP) Dado s€n "
= *-ot ,
caÌcule cos 2x.
l02sesenx = f " . "nv
= * , - - .
cos(Zx + y). Supoúa0 < r, y < f .
l03Dadossena = ] esent : ] , "o-
0 < a,b < f, calcule o valor de
cos (2a + 2b).
92 Dernonstre que
ts (45o + x) =
t
t-
llr4 Demorutre as identidades:a)sen2x.cotgx = cos2x + I
u) cos za = -l l4lI + tg. a
c) I + tga. te2a = sec2a
105 sâbendo quea = send + sen2a e b: cosd + cos2d,demonstre que a2 + b'? : 2 (1 + cos s).
l0óoadocos x = f , calcute senf ,
cos] etcf .
l0TSesena = f ,""-0. a < f , calcule
ovalordesenf + cos f.
108 saunao oo" "".' f = lE
e a € lÍ, + [, câlcule o valor de
cos (2a) + sen a.
l0gsetef - *n,ou.cu..o.* = ffi .
l l0oaaatgf =
ll3 Os ângulos o e B penencem a dois quadramesnão cons€cutivos.
secoso = - , esen p = i . catcule:
â, sen (d + 6) dt cos 3
b) cos (d p) e) ïc2 Qc) sen 2 t3 1) s€c (d p)
ll4 Fatore as expressões:a.) y = sen 2x + cosxb)y = senx + 2 sen5x + sen9x I
ll5 tITA-SP) fÌaJìslormeem produroae\píe\sào:y = s€n 3x + senr,
lló 1Ìansforme em produto a €xpr€ssãocos 70' - sen 60..
I | 7 Sabendo que cos 10. = 0,9848, calcule ovalor de cos 70o + cos 50o.
ll8 nove quecos 40' + cos 80" + cos t60o = 0.Sugeslão: Transforme primeiro em pÍodutocos 40o + cos 80o.
ll9 Qual a exprusão que se obtém fatorando+e
v_ sena sen D ?' cosa + cos b
| 20 Thnsforme em produtocosx+cos4x+cos2x..
l2l Iìansforme em uma adiçao:a) 2 sen 5x cos xb) - 2 sen 7x sen 3x
| 22 (PUC-SP) Transforne €m produtosena + 2sen2a + sen 3a.
t
It , calcule o raLor de
lll Secos0 = f,, calcule o vaÌor rle M, sendo
M=16 sen; senË.
ll2 (PUc-sP) Calcule Í sabendo que
y=cosË.cosj l
a7
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