capÍtulo 3: flexÃo - gdace.uem.br · flexão pura : na seção ... para evitar torção, a...
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CAPÍTULO 3:FLEXÃO
Prof. Romel Dias Vanderlei
Universidade Estadual de MaringáCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia Civil
Curso de Engenharia Civil
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.1 Revisão de Esforços Internos
� Método das Seção:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.1 Revisão de Esforços Internos
� As resultantes FR e MRo reduzidas ao C.G. da seção àdireita, deve ter mesmo módulo e sentidos opostos das resultantes reduzidas ao C.G. da seção à esquerda.
� Decompondo os vetores FR e MRo nas direções normal e paralela à seção, obtem-se:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.1 Revisão de Esforços Internos
� Componentes de FR:
x
FR
N
V Cortante Esforço V
Normal Esforço
→
→r
rN
y
V
z
Vz
Vy
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.1 Revisão de Esforços Internos
� Componentes de FR:
Torçor Momento
Fletor Momento
→
→
T
Mr
r
y
M
z
Mz
My
x
MRo
T
M
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Convenção de Sinais:
N:
V:
M:
T:
3.1 Revisão de Esforços Internos
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.1.1 Relação entre Carga, Força Cortante e Momento Fletor
(III) )( :
(II) 0
(I) )(0
2
2
0
xpdx
Md
dx
dV
dx
dM
dx
dFazendo
Vdx
dMM
xpdx
dVF
xxx
xx
xy
−=→=
=→=
−=→=
∑
∑
p(x)
Mx + (dMx/dx)dx
Vx + (dVx/dx)dx
Mx
Vx
O
dxx
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Exercício 1:
3.1.2 Estruturas Planas Carregadas no Próprio Plano
6m
3kN/m
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Exercício 2:
3.1.2 Estruturas Planas Carregadas no Próprio Plano
6m
6kN/m
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Exercício 3:
3.1.2 Estruturas Planas Carregadas no Próprio Plano
2,5m
2kN/m5kN 10kN 15kN
1,5m 1m 2m
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Exercício 4:
3.1.2 Estruturas Planas Carregadas no Próprio Plano
5m
10kN/m40kN
80kN.m
3m
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Exercício 5:
3.1.2 Estruturas Planas Carregadas no Próprio Plano
40kN
4m
5kN/m
4m
10kN.m
4m
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.2 Tipos de Flexão
� Os tipos de flexão podem ser estabelecidos em função dos esforços solicitantes existentes:� Flexão Pura : na seção transversal da barra age somente
o momento fletor.� Flexão Simples: agem o momento fletor e a força
cortante.� Flexão Composta: agem o momento fletor, a força
cortante e a força normal.
� Para evitar torção, a resultante do carregamento transversal deve estar contida no plano de simetria da seção transversal.
Pro
f. R
omel
Dia
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ande
rlei
3.3 Flexão Pura
� Considere a viga AB mostrada, com um eixo vertical de simetria, cujo trecho CD encontra-se sobre flexão pura.
P P
AC D B
A C D B
DV
DM
Flexão Simples
Compressão
Tração
Cisalhamento
Flexão Simples
Trecho AC
Flexão Pura
Compressão
Tração
Flexão Pura
Trecho CD
Pro
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omel
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rlei
3.3 Flexão Pura
� Hipóteses básicas para flexão pura:a) Material homogêneo, isotrópico e elástico-linear;b) Carregamento contido num plano vertical de simetria;c) As seções planas, orientadas perpendicularmente ao
eixo, permanecem planas mesmo depois da flexão (Hipótese de Bernoulli-Navier).
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.3.1 Linha Neutra
� Analisando o trecho CD da viga mostrada:
C D
C D
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.3.1 Linha Neutra
� As linhas mn e pq giram e permanecem perpendiculares as fibras longitudinais (Hipótese de Bernoulli-Navier).
� Sob a ação do momento M, as fibras da parte superior da viga estão sob compressão (diminuem de comprimento) e as fibras da parte inferior estão sob tração (aumentam de comprimento).
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.3.1 Linha Neutra
� Em algum ponto entre as partes superior e inferior da viga, as fibras longitudinais estão sob tensão nula, não sofrendo variação de comprimento.
� Essa superfície é denominada superfície neutra e a interseção com o plano da seção transversal forma a LINHA NEUTRA da seção.
(σσσσ = 0 e εεεε = 0)LN
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.3.2 Deformação Longitudinal
� Analisando as deformações entre duas seções distantes dx:
ρ : raio do arco cd na LN;L : comprimento do arco cd
da barra indeformada, onde L = ρρρρ.dθθθθ
c d
Pro
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3.3.2 Deformação Longitudinal
� O comprimento do arco efdistante “y” acima da LN pode ser dado por: L` = (ρρρρ - y).dθθθθ
� O comprimento original do arco ef era igual ao do arco cd, antes da deformação.
� Logo:c d
θδθρθρδ
δ
dy
ddy
LL
⋅−=⋅−⋅−=
−′=)(
Pro
f. R
omel
Dia
s V
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3.3.2 Deformação Longitudinal
� A deformação específica εxna fibra ef é dada por:
c d ρε
θρθδε
y
d
dy
L
x
x
−=
⋅⋅−==
� A deformação específica εεεεx varia linearmente com a distância “y” da LN.
� A deformação específica máxima (εmáx) ocorre para o maior valor de “y”.
Pro
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3.4 Tensões Normais de Flexão no Regime Elástico� Usando a Lei de Hooke, tem-se:
ρσ
ρσεσ
yE
yEE
x
xxx
⋅−=
−⋅=⇒⋅=
� A tensão normal varia linearmente com a distância “y”da L.N.
LN
Pro
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3.4 Tensões Normais de Flexão no Regime Elástico� Posição da Lina Neutra:
� Para a flexão pura podemos dizer que:
seção da área da Estático Momento 0 :
0
00
=⋅
=⋅−=⋅⋅−=⋅
=⋅=+−∴=
∫
∫∫∫
∫∑
A
AAA
x
A
xTCx
dAyLogo
dAyE
dAyE
dA
dAFFF
ρρσ
σ
LN
FC
FT
y
al. transversseção da centróide
pelopassar deve z) (eixo L.N. a
, 0 que Para =⋅∫A
dAy
Pro
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omel
Dia
s V
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rlei
3.4 Tensões Normais de Flexão no Regime Elástico� Relação Momento-Curvatura:
( )
∫∫
∫∑
⋅=⋅
⋅⋅−−=
−=⋅⋅=⋅
AA
A
x
dAyE
ydAyE
M
MydAyF
2
ρρ
σ
LN
FC
FT
y
� Se y > 0 e σx > 0, o momento M é negativo.� Logo:
Pro
f. R
omel
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s V
ande
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3.4 Tensões Normais de Flexão no Regime Elástico
z
A
IdAy =⋅∫2 Sendo
EquaçãoMomento - Curvatura
(L.N.) z"" eixo do
tornoem al transversseção
da Inércia de Momento ⇒
z
z
IE
MIEM
⋅=⇒
⋅=ρρ1
Pro
f. R
omel
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s V
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3.4 Tensões Normais de Flexão no Regime Elástico� Fórmula de Flexão:
z
x
IE
Mb
yEyE
a
⋅=
⋅−=⋅−=
ρ
ρρσ
1 )
1 )
yEIE
M
zx ⋅
⋅−=⇒ σ
zx I
yM ⋅−=σ Fórmula de Flexão
Pro
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omel
Dia
s V
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3.4.1 Tensões Normais Máximas
� As máximas tensões (tração e compressão) ocorrem nos pontos mais distantes da L.N.
Tensão de tração
Tensão de compressão
Momento negativo
Tensão de compressão
Tensão de tração
Momento positivo
σσσσ1
σσσσ2
C1
C2
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.4.1 Tensões Normais Máximas
σ1 = maior tensão de tração.σ2 = maior tensão de compressãoC1 = distância da fibra tracionada mais afastada da L.N.C2 = distância da fibra comprimida mais afastada da L.N.
� Tensões Máximas:
� Característica Geométrica - Módulo de Resistência:zz I
CM
I
CM 22
11 e
⋅=⋅= σσ
22
11 e
C
IW
C
IW zz ==
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.4.1 Tensões Normais Máximas
� Tensões Máximas:
� Característica Geométrica - Módulo de Resistência:
� Para seção retangular:
� Para seção circular:
22
11 e
W
M
W
M == σσ
32 e
64
6 e
12
34
23
dW
dI
hbW
hbI
⋅=⋅=
⋅=⋅=
ππ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.5 Critério para Dimensionamento e Verificação de Vigas� Para o dimensionamento estrutural, as tensões
máximas serão responsáveis pelas dimensões estruturais de modo a satisfazer as condições de segurança.
� Para materiais cuja σadm(tração) = σadm(compressão) = σadm :
σ1 ≤ σadm e σ2 ≤ σadm
� Para materiais cuja σadm(tração) ≠ σadm(compressão) :
σ1 ≤ σadm(tração) e σ2 ≤ σ adm(compressão)
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.5 Critério para Dimensionamento e Verificação de Vigas� Exemplo 1: Uma barra de aço está submetida a ação
de momentos conforme mostra a figura. Determine o valor do momento que provoca escoamento do material. Adotar σesc = 250MPa.
M M 60mm
20mm
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.5 Critério para Dimensionamento e Verificação de Vigas� Exemplo 2: Dada a viga representada abaixo,
determinar as máximas tensões de tração e de compressão.
3m
5kN/m10kN
8kN.m
3m 2m
5kN
A BC D
10cm3cm 3cm
5cm
20cm
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.6 Flexão de Barras Constituídas por mais de um Material� Tensões de Deformações:
Viga composta por dois materiais diferentes.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.6 Flexão de Barras Constituídas por mais de um Material� Tensões de Deformações:� A deformação longitudinal em uma viga composta varia
linearmente do topo até a base da barra.
curvatura de raio sendo →−= ρρ
ε yx
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.6 Flexão de Barras Constituídas por mais de um Material� A L.N. não passa pelo centróide da seção transversal
de uma viga composta de dois materiais diferentes.� As tensões normais podem ser obtidas a partir das
deformações usando a relação tensão – deformação para os dois materiais (σx = E . εx).
� Assumindo que E2 > E1:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.6 Flexão de Barras Constituídas por mais de um Material
� Assim, as tensões em cada material podem ser:CCCC
BBAA
EE
EE
εσεσεσεσ⋅=⋅=
⋅=⋅=
2)2(1)1(
21
;
;
ρσ
ρσ yEyE
xx
⋅−=⋅−= 2)2(
1)1( e
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.6.1 Método da Seção Transformada
� Consiste em transformar a seção transversal de uma viga composta em uma seção transversal equivalente de uma viga imaginária, que é constituída de apenas um material.
� A nova seção transversal é chamada Seção Transformada.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.6.1 Método da Seção Transformada
� Posição da Linha Neutra:
0
Modular RazãoE
E:notação a introduzir Vamos
0
0
00
21
1
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
)2(
1
)1(
=⋅⋅+⋅
→=
=⋅+⋅
=⋅⋅−+⋅⋅−
=⋅+⋅∴=
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫∑
dAydAy
dAyEdAyE
dAyE
dAyE
dAdAF xxx
η
η
ρρ
σσ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.6.1 Método da Seção Transformada
� Podemos criar uma seção transversal constituída de duas partes:� (1) área 1 com as mesmas dimensões;� (2) área 2 com larguras (dimensões paralelas a L.N.)
multiplicada por η.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.6.1 Método da Seção Transformada
� A L.N. da seção transformada está na mesma posição da viga original.
� As dimensões perpendiculares a L.N. permanecem as mesmas.
� Assim, multiplicar a largura do material 2 por η=E2/E1 éequivalente a transformá-lo no material 1.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.6.1 Método da Seção Transformada
� Relação Momento – Curvatura:
( )
( )
2211
2211
1
22
1
21
21
1
1
1
IEIE
M
IEIEdAyE
dAyE
M
dAydAyydAM
yE
xx
A
x
x
+=
+=⋅+⋅=
⋅⋅−⋅⋅−=⋅⋅−=
⋅−=
∫∫
∫∫∫
ρ
ρρρ
σσσρ
σ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.6.1 Método da Seção Transformada
� Tensões Normais no Material 1:
Tx I
yM ⋅−=)1(σ
� Onde IT é o momento de inércia da seção transformada em relação a L.N.
21
2121 I
E
EIIIIT ⋅+=⋅+= η
� Tensões no Material 1:
2211
1)1( IEIE
EyMx +
⋅⋅−=σ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.6.1 Método da Seção Transformada
� Tensões no Material 2:� As tensões no material 2 na viga original não são as
mesmas correspondentes da viga transformada.
2211
2)2(
)2( ou
IEIE
EyM
I
yM
x
Tx
+⋅⋅−=
⋅⋅−=
σ
ησ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.6 Flexão de Barras Constituídas por mais de um Material� Exemplo 3: Uma barra construída de aço e latão (Ea =
200GPa , El = 100GPa) tem a seção abaixo. Determine a máxima tensão no aço e no latão quando a barra fica sujeita à flexão pura com um momento M = 2kN.m.
40mm
10mm5mm 5mm
AçoLatão Latão
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.7 Carregamentos Combinados
� Frequentemente a seção transversal do elemento ésubmetida a mais de um esforço interno simultaneamente.
� O método da superposição de efeitos pode ser utilizado para determinar a distribuição de tensões resultantes causada pelas cargas.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.7 Carregamentos Combinados
� Método da Superposição - Procedimentos:� 1) Determinar os esforços internos na seção transversal
analisada;� 2) Calcular as componentes de tensões associadas a
cada esforço interno:
zI
yMA
F
⋅−=→
=→
σ
σ
Fletor Momento
Normal Força
� 3) Superposição das tensões.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.7 Carregamentos Combinados
� Carregamento Inclinado em um Plano de Simetria:
P
L
x
y
Px
Py
z
sy
x
zy
Ib
MVPV
A
NPN
I
yMxLPM
⋅⋅=→−=
=→=
⋅−=→−⋅=
τ
σ
σ
)(
Px
PyM
x
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.7 Carregamentos Combinados
� Carregamento Inclinado em um Plano de Simetria:
A
NPN
I
yMxLPM
x
zy
=→=
⋅−=→−⋅=
σ
σ
)(
Px
PyM
x
σσσσ(N) σσσσ(M) σσσσ(N+M)
zI
yM
A
N ⋅−=σ Flexão e Carga Axial Combinadas
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.7 Carregamentos Combinados
� Carregamento Axial Excêntrico em um Plano de Simetria:
P
L
x
y
e
� A força P não age através do centróide da seção transversal;
� A distância “e” é chamada de excentricidade da força.� A força excêntrica P é estaticamente equivalente a uma
força axial P e um momento fletor M = P . e, agindo no centróide.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.7 Carregamentos Combinados
� Carregamento Axial Excêntrico em um Plano de Simetria:
P
L
x
y
M = P.e
σσσσ(N)σσσσ(M)σσσσ(N+M)y
zP
e
yo
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.7 Carregamentos Combinados
� A tensão normal em qualquer ponto da seção pode ser calculada por:
� A posição da Linha Neutra é obtida fazendo σ = 0, onde:
zz I
yeP
A
P
I
yM
A
P ⋅⋅−−=⋅−= )( σσ
eA
Iy z
o ⋅−=
� Se e ≈ 0, a L.N. � ∞ (compressão ou tração)� Se e ≈ ∞, a L.N. � 0 (flexão pura)
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.7 Carregamentos Combinados
� Exemplo 4: Uma viga tubular de comprimento L = 1,5m é carregada por uma força inclinada P no ponto médio do seu comprimento. Determine as tensões e tração e de compressão máximas na viga devido ao carregamento P = 4,45kN.
P
0,75m 0,75m
60º
0,14m
y
z
A = 0,13m2
Iz = 3,6x10-5m4
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.8 Flexão Assimétrica
� Flexão Assimétrica ocorre em:� Vigas com seções assimétricas;� Vigas com seção simétrica e carga fora do plano de
simetria.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.8 Flexão Assimétrica
� Para cargas inclinadas passando pelo centróide, deve-se decompor a carga em duas componentes:
Pz
Py
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.8 Flexão Assimétrica
� Os momentos em uma seção distante “x” podem ser determinados em função das componentes Py e Pz:
)(cos)(
)()(
xLPxLPM
xLsenPxLPM
yz
zy
−⋅⋅=−⋅=
−⋅⋅=−⋅=
θθ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.8 Flexão Assimétrica
� O momento fletor “M” na seção “x” é a resultante dos momentos My e Mz, e tem a inclinação θ com o eixo z:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.8 Flexão Assimétrica
� A tensão normal em um ponto da seção “A”, de coordenadas (z,y), devido ao momento fletor “M”, pode ser calculada em função de My e Mz:
z
z
y
yx I
yM
I
zM ⋅−⋅
=σ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.8 Flexão Assimétrica
� A posição da Linha Neutra “nn ” é determinada fazendo σx = 0:
yz
zy
z
z
y
y
IM
IM
z
ytg
yI
Mz
I
M
⋅⋅
==
=⋅−⋅
β
0
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.8 Flexão Assimétrica
� Relação entre a Linha Neura e a Inclinação do carregamento:
y
z
y
z
y
z
yz
zy
I
Itagtag
I
Isentag
I
I
xLP
xLsenPtag
IM
IMtag
⋅=
⋅=
⋅−⋅⋅−⋅⋅=
⋅⋅
=
θβ
θθβ
θθβ
β
cos
)(cos
)(
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.8 Flexão Assimétrica
� Casos Especiais:� Carga no plano xy (θθθθ = 0º ou 180º), a L.N. � z� Carga no plano xz (θθθθ = ± 90º), a L.N. � y
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.8 Flexão Assimétrica
� Exemplo 5: Calcular as tensões normais extremas e a posição da L.N. na seção transversal de uma viga abaixo indicada.
y
z
M = 25kN.m
60º
40cm
10cm
25cm
30cm10cm 10cm
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
x
y
z
3.9 Caso Geral de Carga Excêntrica
� É o caso em que a carga excêntrica não pertencente a nenhum plano de simetria.
P
x
y
z
b
a
P
My
Mz
� A força axial excêntrica P éestaticamente equivalente a um sistema constituído de uma força centrada P e dos conjugados Mz = P.b e My = P.a
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.9 Caso Geral de Carga Excêntrica
� As tensões devidas a força P e os momentos My e Mzpodem ser calculadas superpondo-se as tensões:
z
z
y
yx I
yM
I
zM
A
P ⋅−⋅
+=σ
Onde y e z são medidos a partir dos eixos principais.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.9 Caso Geral de Carga Excêntrica
� Posição da Linha Neutra:σx = 0; Mz = P.ey; My = P.ez
01=+⋅⋅+⋅⋅
− zI
eAy
I
eA
y
z
z
y
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.9 Caso Geral de Carga Excêntrica
� Exemplo 6: Um bloco retangular de peso desprezível está sujeito a uma força vertical de 40kN, aplicada em uma de suas quinas. Determine a distribuição das tensões normais atuantes sobre a seção ABCD.
40kN
0,4m
A B
C
0,8m
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Aplicações
� Aplicação 1: Determine as tensões no ponto A e no ponto B da viga carregada conforme figura abaixo.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Aplicações
� Aplicação 2: Uma laje piso de concreto é reforçada por barras de aço de 16mm de diâmetro colocadas 32mm acima da face inferior da laje e espaçadas de 150mm entre seus centros. O módulo de elasticidade é de 25GPa para o concreto usado e de 205GPa para o aço. Sabendo que éaplicado um momento fletor de 4,5kNm a cada 300mm de largura da laje, determine (a) a tensão máxima no concreto, (b) a tensão no aço.
Pro
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Dia
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Aplicações
� Aplicação 3: Determine a maior força P que pode ser aplicada ao suporte mostrado na figura, sabendo que a tensão admissível na seção ABD é de 70MPa.
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