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確率変数の特性関数戸瀬 信之

確率変数の特性関数 – p.1/11

復習–特性関数とは

� 復習 確率変数�の特性関数とは

���� �� �������

確率変数の特性関数 – p.2/11

復習–特性関数とは

� 復習 確率変数�の特性関数とは

���� �� �������

� �の確率密度が確率密度関数 ����を持つ場合

���� � ����� �� ��

��

����������

確率変数の特性関数 – p.2/11

独立な確率変数の和の特性関数

� 独立な確率変数�と�、その和 � � � �

� � ���� � � ����

のとき � � � � の確率密度関数

��� �� ��

��

��� � ��������

確率変数の特性関数 – p.3/11

独立な確率変数の和の特性関数

� 独立な確率変数�と�、その和 � � � �

� � ���� � � ����

のとき � � � � の確率密度関数

��� �� ��

��

��� � ��������

� の特性関数����

�の特性関数�����、� の特性関数�����

� ���� � ����� � �����

確率変数の特性関数 – p.3/11

証明

� その証明

確率変数の特性関数 – p.4/11

証明

� その証明

� ��� �� ��

��

���� � �����

確率変数の特性関数 – p.4/11

証明

� その証明

� ��� �� ��

��

���� � �����

�� ��

��

������ ��

��

��� � ���������

��

確率変数の特性関数 – p.4/11

証明

� その証明

� ��� �� ��

��

���� � �����

�� ��

��

������ ��

��

��� � ���������

��

�� ��

��

������ ��

��

������� � �����

��

確率変数の特性関数 – p.4/11

証明

� その証明

� ��� �� ��

��

���� � �����

�� ��

��

������ ��

��

��� � ���������

��

�� ��

��

������ ��

��

������� � �����

��

�� ��

��

������ ��

��

��������� � ������� � �����

��

確率変数の特性関数 – p.4/11

証明

� その証明

� ��� �� ��

��

���� � �����

�� ��

��

������ ��

��

��� � ���������

��

�� ��

��

������ ��

��

������� � �����

��

�� ��

��

������ ��

��

��������� � ������� � �����

��

�� ��

��

���������� ��

��

������������ � �����

��

確率変数の特性関数 – p.4/11

証明

� その証明

� ��� �� ��

��

���� � �����

�� ��

��

������ ��

��

��� � ���������

��

�� ��

��

������ ��

��

������� � �����

��

�� ��

��

������ ��

��

��������� � ������� � �����

��

�� ��

��

���������� ��

��

������������ � �����

��

�� ��

��

���������� ��

��

������������

��

確率変数の特性関数 – p.4/11

証明

� その証明

� ��� �� ��

��

���� � �����

�� ��

��

������ ��

��

��� � ���������

��

�� ��

��

������ ��

��

������� � �����

��

�� ��

��

������ ��

��

��������� � ������� � �����

��

�� ��

��

���������� ��

��

������������ � �����

��

�� ��

��

���������� ��

��

������������

��

�� ��

��

��������������

��� � ����������

確率変数の特性関数 – p.4/11

一般に

� �� � � � ��:独立な確率変数

確率変数の特性関数 – p.5/11

一般に

� �� � � � ��:独立な確率変数

� ��の特性関数 �����

確率変数の特性関数 – p.5/11

一般に

� �� � � � ��:独立な確率変数

� ��の特性関数 �����

� �� � � � ����の特性関数

���� � ����� � � ������

確率変数の特性関数 – p.5/11

応用

� �� � � � ��:独立な確率変数

確率変数の特性関数 – p.6/11

応用

� �� � � � ��:独立な確率変数

� �� �と に値をとる確率変数

� ��� � �� ��� � �� �� �� � ��

� �� � �

確率変数の特性関数 – p.6/11

応用

� �� � � � ��:独立な確率変数

� �� �と に値をとる確率変数

� ��� � �� ��� � �� �� �� � ��

� �� � �

� ��の特性関数

����� � �������� � ������ � ���� � � � ����

確率変数の特性関数 – p.6/11

応用

� �� � � � ��:独立な確率変数

� �� �と に値をとる確率変数

� ��� � �� ��� � �� �� �� � ��

� �� � �

� ��の特性関数

����� � �������� � ������ � ���� � � � ����

� 確率変数  � �� � � � ���� は何か

確率変数の特性関数 – p.6/11

応用

� �� � � � ��:独立な確率変数

� �� �と に値をとる確率変数

� ��� � �� ��� � �� �� �� � ��

� �� � �

� ��の特性関数

����� � �������� � ������ � ���� � � � ����

� 確率変数  � �� � � � ���� は何か2項分布(���)に他ならない

確率変数の特性関数 – p.6/11

応用

� �� � � � ��:独立な確率変数

� �� �と に値をとる確率変数

� ��� � �� ��� � �� �� �� � ��

� �� � �

� ��の特性関数

����� � �������� � ������ � ���� � � � ����

� 確率変数  � �� � � � ���� は何か2項分布(���)に他ならない特性関数は

���� � ����� � � ������ ��� � ����

��

確率変数の特性関数 – p.6/11

応用

� �� � � � ��:独立な確率変数

� �� �と に値をとる確率変数

� ��� � �� ��� � �� �� �� � ��

� �� � �

� ��の特性関数

����� � �������� � ������ � ���� � � � ����

� 確率変数  � �� � � � ���� は何か2項分布(���)に他ならない特性関数は

���� � ����� � � ������ ��� � ����

��

� ��の分布をベルヌーイ分布と呼ぶ確率変数の特性関数 – p.6/11

特性関数と期待値

� 離散的な確率変数�

確率変数の特性関数 – p.7/11

特性関数と期待値

� 離散的な確率変数�

� 取る値�� �� �� � � �  (ただし 

�� �� � �� �� ��)

� �� � ��� � ��

確率変数の特性関数 – p.7/11

特性関数と期待値

� 離散的な確率変数�

� 取る値�� �� �� � � �  (ただし 

�� �� � �� �� ��)

� �� � ��� � ��

� �の特性関数 ���� ����

�� �������

確率変数の特性関数 – p.7/11

特性関数と期待値

� 離散的な確率変数�

� 取る値�� �� �� � � �  (ただし 

�� �� � �� �� ��)

� �� � ��� � ��

� �の特性関数 ���� ����

�� �������

� もし微分と無限和が交換可能ならば

����� ����

�����������

確率変数の特性関数 – p.7/11

特性関数と期待値

� 離散的な確率変数�

� 取る値�� �� �� � � �  (ただし 

�� �� � �� �� ��)

� �� � ��� � ��

� �の特性関数 ���� ����

�� �������

� もし微分と無限和が交換可能ならば

����� ����

�����������

����� ������

�� �� �������

確率変数の特性関数 – p.7/11

特性関数と期待値No2

� 微分と無限和が次々と交換できるとすると

確率変数の特性関数 – p.8/11

特性関数と期待値No2

� 微分と無限和が次々と交換できるとすると

������� ����

��������������

確率変数の特性関数 – p.8/11

特性関数と期待値No2

� 微分と無限和が次々と交換できるとすると

������� ����

��������������

������� ����

��������� �

����������

確率変数の特性関数 – p.8/11

特性関数と期待値No2

� 微分と無限和が次々と交換できるとすると

������� ����

��������������

������� ����

��������� �

����������

� 無限和と微分の交換のための十分条件���

������ � � ��

確率変数の特性関数 – p.8/11

解析の準備 No1

� 開区間 �� ��上の微分可能な関数列 �����

確率変数の特性関数 – p.9/11

解析の準備 No1

� 開区間 �� ��上の微分可能な関数列 �����

�����

������ � ��

かつ

�����

� ���� � ��

確率変数の特性関数 – p.9/11

解析の準備 No1

� 開区間 �� ��上の微分可能な関数列 �����

�����

������ � ��

かつ

�����

� ���� � ��

���

�����

����� ����

��� �����

確率変数の特性関数 – p.9/11

具体例

� 幾何分布 ��

確率変数の特性関数 – p.10/11

具体例

� 幾何分布 ��

� �� � �� � ��� �� � � � � � �

確率変数の特性関数 – p.10/11

具体例

� 幾何分布 ��

� �� � �� � ��� �� � � � � � �

� 特性関数 ���� ����

��������� � �

�����

�����

��

確率変数の特性関数 – p.10/11

具体例

� 幾何分布 ��

� �� � �� � ��� �� � � � � � �

� 特性関数 ���� ����

��������� � �

�����

�����

��

� ����

確率変数の特性関数 – p.10/11

具体例

� 幾何分布 ��

� �� � �� � ��� �� � � � � � �

� 特性関数 ���� ����

��������� � �

�����

�����

��

� ��������� �

�����

�� ������� ��

確率変数の特性関数 – p.10/11

具体例

� 幾何分布 ��

� �� � �� � ��� �� � � � � � �

� 特性関数 ���� ����

��������� � �

�����

�����

��

� ��������� �

�����

�� ������� ��

����� �

��

�� ���� �� �

��

�� �������

確率変数の特性関数 – p.10/11

具体例

� ������ ���� � ���� ���

��

�� ������

������

�����

�� ������

確率変数の特性関数 – p.11/11

具体例

� ������ ���� � ���� ���

��

�� ������

������

�����

�� ������

������ ���� � ���

��

�� ���

��

�� ���

確率変数の特性関数 – p.11/11

具体例

� ������ ���� � ���� ���

��

�� ������

������

�����

�� ������

������ ���� � ���

��

�� ���

��

�� ���

���� � ��

��

確率変数の特性関数 – p.11/11

具体例

� ������ ���� � ���� ���

��

�� ������

������

�����

�� ������

������ ���� � ���

��

�� ���

��

�� ���

���� � ��

��

� 次のモーメント����� ��� � ��

��

確率変数の特性関数 – p.11/11

具体例

� ������ ���� � ���� ���

��

�� ������

������

�����

�� ������

������ ���� � ���

��

�� ���

��

�� ���

���� � ��

��

� 次のモーメント����� ��� � ��

��

確率変数の特性関数 – p.11/11

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