Çev-220 hidrolik - cmb.cu.edu.trcmb.cu.edu.tr/dersnotlari/hidrolik-2.pdf · •ortalama akış...

ÇEV-220 Hidrolik

Çukurova Üniversitesi

Çevre Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Demet KALAT

Borularda Türbülanslı Akış

• Mühendislik uygulamalarında akışların çoğu türbülanslıdır ve bu yüzden türbülansın çeper kayma gerilmesini nasıl etkilediğini anlamak önemlidir.

• Türbülanslı akış, girdap adı verilen dönen akışkan bölgelerinin akış boyunca rasgele ve hızlı çalkantıları ile karakterize edilir.

• Sonuç olarak türbülanslı akış, daha yüksek sürtünme, ısı ve kütle geçişi katsayıları anlamına gelir.

• Ortalama akış daimi olsa da türbülanslı akıştaki girdap hareketi, hız, sıcaklık, basınç değerinde önemli değişimlere yol açar.

• Şekilde belirli bir konumdaki anlık hız bileşeni u’nun zamana bağlı değişimi gösterilmiştir.

• Görüldüğü gibi hızın anlık değeri ortalama bir değer etrafında değişmektedir.

• Bu ise hızın ortalama bir değer

ile çalkantı bileşeni 𝑢′nun

toplamı halinde ifade edilir.

• 𝑢 = 𝑢 + 𝑢′

• Bu durum y-yönündeki hız

bileşeni 𝑣 için de geçerlidir.

• 𝑣 = 𝑣 + 𝑣′, 𝑃 = 𝑃 + 𝑃′, 𝑇 = 𝑇 + 𝑇′

• Türbülanslı akışta kayma gerilmesi laminer akıştaki gibi

(𝜏 = −𝜇𝑑𝑢 𝑑𝑟′ den) hesaplanmaz.

• Türbülanslı akışta kayma gerilmesi iki kısımdan oluşur.

• Akış yönündeki akışkan tabakaları arasındaki

sürtünmeyi hesaba katan laminer bileşen;

• 𝜏𝑙𝑎𝑚 = −𝜇𝑑𝑢

𝑑𝑟 ve

• Çalkantı yapan akışkan parçacıkları ile akışkan

arasındaki sürtünmeyi hesaba katan türbülans

bileşenidir (𝜏𝑡ü𝑟𝑏).

• 𝜏𝑡𝑜𝑝 = 𝜏𝑙𝑎𝑚 + 𝜏𝑡ü𝑟𝑏

• Türbülanslı akıştaki hız profili

boru çeperinde keskin bir

düşüş göstererek yassı veya

daha dolgundur. Dolgunluk

Reynolds sayısı ile artar.

Türbülans Kayma Gerilmesi

• Yatay bir borudaki türbülanslı akışı

ve akışkan parçacıklarının yukarı

doğru girdap hareketini göz önüne

alalım.

• Burada düşük hızlı tabakadaki

akışkan parçacıkları, şekildeki gibi

𝑣′ çalkantı bileşeninden ötürü dA

diferansiyel alanı üzerinden daha

yüksek hızlı akışkan tabakasına

hareket etmektedir.

• Parçacığın kütlesel debisi;

• 𝑚 = 𝜌𝑣′𝑑𝐴′𝑑𝚤𝑟. dA’nın üstündeki akışkan elemanına etki eden yatay kuvvet;

• 𝛿𝐹 = 𝜌𝑣′𝑑𝐴 −𝑢′ = −𝜌𝑢′𝑣′𝑑𝐴 olur.

• Akışkan parçacıklarının girdap hareketinden ötürü birim alan başına kayma kuvveti;

•𝛿𝐹

𝑑𝐴= −𝜌𝑢′𝑣′, anlık türbülans kayma gerilmesi

olarak düşünülebilir.

• Türbülans kayma gerilmesi ise;

• 𝜏𝑡ü𝑟𝑏 = −𝜌𝑢′𝑣′

• −𝜌𝑢′𝑣′ veya −𝜌𝑢′2 gibi terimlere Reynolds gerilmeleri veya türbülans gerilmeleri denir.

• 𝜏𝑡ü𝑟𝑏 = −𝜌𝑢′𝑣′ = 𝜇𝑡𝜕𝑢

𝜕𝑦

• 𝜇𝑡; girdap viskozite veya türbülans viskozite denir.

• 𝜏𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 = (𝜇 + 𝜇𝑡) 𝜕𝑢

𝜕𝑦= 𝜌(𝜐 + 𝜐𝑡)

𝜕𝑢

𝜕𝑦

• 𝜐𝑡 =𝜇𝑡

𝜌; kinematik girdap veya türbülans viskozitesi

• Aynı serbest akım hızı

değerinde türbülanslı sınır

tabaka, laminer sınır

tabakadan daha kalın

olmasına karşın, çeperdeki

hız gradyeni ve dolayısıyla

çeper kayma gerilmesi

türbülanslı akışta laminer

akıştakinden daha büyüktür.

• Laminer akışta hız profili

parabolik fakat türbülanslı akışta,

boru çeperine yakın bir yerde

keskin bir düşüş ile daha

dolgundur.

• Çeper boyunca türbülanslı akışın,

çeperden olan mesafe boyunca

dört bölgeden meydana geldiği

düşünülebilir.

Türbülanslı Hız Profili

• Viskoz alt tabakanın kalınlığı çok küçüktür

(genellikle boru çapının %1’den çok küçük) fakat

çepere bitişik olan bu ince tabaka, yüksek hız

gradyenlerinden dolayı akış özellikleri üzerinde

baskın rol oynar.

• Çeper her girdap hareketini sönümler ve

dolayısıyla bu tabakadaki akış esas itibari ile

laminerdir.

• Viskoz alt tabakadaki hız gradyeni;

•𝑑𝑢

𝑑𝑦=

𝑢

𝑦’de sabit kalır ve çeper kayma gerilmesi;

• 𝜏𝑤 = 𝜇𝑢

𝑦= 𝜌𝜐

𝑢

𝑦 𝑣𝑒𝑦𝑎

𝜏𝑤

𝜌= 𝜐

𝑢

𝑦 olarak ifade edilir.

•𝜏𝑤

𝜌’nun karakök boyutu hızdır.

• 𝑢∗ =𝜏𝑤

𝜌 ile gösterilen sürtünme hızı (hayali hızdır).

Viskoz Alt Tabaka

Viskoz alt tabakadaki hız

• Viskoz alt tabakadaki hız profili boyutsuz

olarak söyle ifade edilir;

•𝒖

𝒖∗=

𝒚𝒖∗

𝝊 (8.42)

• 𝒖+ = 𝒚+;

• Bu denklem çeper yasası olarak bilinir. 0 ≤ 𝑦𝑢∗ 𝜐 ≤ 5 için pürüzsüz yüzeylerde

deneysel verilerle uyum göstermektedir.

• Diğer bir ifade ile, hız (dolayısıyla Reynolds

sayısı) arttıkça, viskoz alt tabaka bastırılır ve

gittikçe incelir. Bunun sonucunda hız profili

neredeyse yassı hale gelir.

• Bu yüzden çok yüksek Reynols sayılarında

hız profili daha üniform hale gelir.

• Viskoz alt tabakanın kalınlığı;

• 𝑦 = 𝛿 𝑎𝑙𝑡 𝑡𝑎𝑏𝑎𝑘𝑎 =5𝜐

𝑢∗=

25𝜐

𝑢𝛿

• 𝑢 𝛿; borudaki ortalama hızla yakından ilgili

olan alt tabakanın kenarındaki akış hızıdır.

• Böylece, viskoz alt tabaka kalınlığının

kinematik viskozite ile doğru orantılı, fakat

ortalama akış hızı ile ters orantılı olduğu

sonucuna varırız.

• Örtüşme tabakasındaki hız;

•𝑢

𝑢∗=

1

𝐾𝑙𝑛

𝑦𝑢∗

𝜐+ 𝐵 veya

• 𝑢+ = 2,5𝑙𝑛𝑦+ + 5,0 (8.47)

• 𝑦+ =𝑦𝑢∗

𝜐 ve 𝑢+ =

𝑢

𝑢∗

boyutsuz büyüklüklerdir.

Örtüşme Tabakası

•𝒖

𝒖∗=

𝒚𝒖∗

𝝊 (8.42) (viskoz alt tabaka)

Dış Türbülans Tabakası

•𝑢𝑚𝑎𝑥−𝑢

𝑢∗= 2,5𝑙𝑛

𝑅

𝑅−𝑟

• Hızın eksen çizgisinde değerinden olan

sapması 𝑢𝑚𝑎𝑥 − 𝑢’ya hız azalması,

• Yukardaki denkleme de hız azalma yasası

denir.

• Viskoz alt tabakanın kalınlığının az olmasına

karşın (genellikle boru çapının %1’den daha

az), bu tabakadaki akış karakteristikleri çok

önemlidir, çünkü borunun geri kalanındaki

akışı bunlar tayin eder.

• Bu yüzeydeki herhangi bir düzensizlik veya

pürüzlülük bu tabakayı alt üst eder ve akışı

etkiler.

• Bu nedenle laminer akıştan farklı olarak,

türbülanslı akışta sürtünme faktörü yüzey

pürüzlülüğünün kuvvetli bir fonksiyonudur.

• Pürüzlülüğünün göreceli bir kavram olduğu ve 휀 pürüzlülük yüksekliği, Reynolds sayısının fonksiyonu olan viskoz alt tabaka kalınlığı seviyelerinde olduğunda önem kazandığı unutulmamalıdır.

• Mikroskop altında yeteri kadar büyütüldüklerinde bütün malzemeler ‘pürüzlü’ olarak görülür.

• Akışkanlar mekaniğinde, yüzeydeki pürüz tepeleri viskoz alt tabakanın dışına çıktığında o yüzey pürüzlü olarak tarif edilir.

• Öte yandan alt tabaka pürüzlülük elemanlarını örtüyorsa, o yüzeye pürüzsüz yüzey denir.

• Cam ve plastik yüzeyler genellikle hidrodinamik olarak pürüzsüz kabul edilir.

Moody Diyagramı

• Tam gelişmiş türbülanslı akıştaki sürtünme

faktörü (f) Reynolds sayısına ve boru

pürüzlülüğünün ortalama yüksekliğinin boru

çapına oranı olan bağıl pürüzlülük

𝐷

′ye bağlıdır ve deneylerden elde edilir.

• Elde edilen deneysel verilere eğri uydurma

işlemi uygulanarak, deneysel sonuçlar tablo,

grafik ve fonksiyonel biçimlerde sunulmuştur.

• (𝑓) pürüzlülük faktörü;

• 1. Hidrolik bakımdan cilalı (pürüzsüz)

sürtünme rejimi; (f=f(Re))

•1

𝑓= 2log (𝑅𝑒 𝑓) − 0,8 Prandltl denklemi

• 4000 < 𝑅𝑒 < 3. 106 için geçerli

• 𝑓 =0,316

𝑅𝑒0,25 Blasius (𝑅𝑒 ≤ 105)

• Lewis Moody, Moody diyagramında, boru

akışındaki Darcy sürtünme faktörünü, geniş bir

aralıkta Reynolds sayısı ve 𝐷

′nin fonksiyonu

olarak vermektedir.

• Çap yerine hidrolik yarıçapın kullanılması ile

dairesel olmayan borular için de kullanılabilir.

• 2. Hidrolik Bakımdan Cilalı- Pürüzlü Geçiş Rejimi

• f=f(Re, 𝜺 𝑫 )

•1

𝑓= −2𝑙𝑜𝑔

𝐷

3,7+

2,51

𝑅𝑒 𝑓 (Colebrook Denklemi)

• 3. Hidrolik Bakımdan Pürüzlü Sürtünme Rejimi

• f=f(𝜺 𝑫 )

•1

𝑓= −2𝑙𝑜𝑔

𝐷

3,7 (von Karman Denklemi)

)

• Laminer akışlarda Reynolds sayısının artması ile

sürtünme faktörü azalır, ayrıca sürtünme faktörü

yüzey pürüzlülüğünden bağımsızdır.

• Pürüzsüz bir boruda sürtünme faktörü minimumdur

(fakat 0 değildir) ve pürüzlülük ile artar. Böyle bir

durumda Colebrook denklemi 1

𝑓= 2log (𝑅𝑒 𝑓) − 0,8

Prandltl denklemine indirgenir (Şekil 8.27).

Moody Diyagramı Gözlemleri

Akış Problemi Tipleri

Kaynaklar

Akışkanlar Mekaniği

Temelleri ve Uygulamaları

Yunus A. Çengel

John M. Cimbala

Güven Bilimsel