chapitre 2 - la numération binaire

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Chapitre 2

La numération binaire

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Chapitre 2 : La numération binaireChapitre 2 : La numération binaire Introduction

1 - Le système binaire

2 - La conversion des nombres entiers2.1 - Base 2 vers base 102.2 - Base 10 vers base 2– Par divisions successives– Par soustractions successives

2.3 - Opérations binaires (Addition, Soustraction, Multiplication, Division)

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IntroductionIntroduction Les systèmes informatiques sont construits à

l’aide de circuits intégrés qui rassemblent sur une puce de silicium quelques millions de transistors.

Un transistor fonctionne selon une logique à 2 états :

Le courant ne passe pas (0)Le courant passe (1)

Toute information à traiter devra donc pouvoir être représentée sous une forme assimilable par la machine, et donc sous une forme binaire.

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IntroductionIntroduction

Langage compréhensiblepar l’homme

Langage compréhensiblepar le système informatique

la codification(ou le codage)

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IntroductionIntroductionUn langage, c’est :

un alphabet : ensemble de symboles utilisés

des mots, des phrases : combinaisons des éléments (des lettres) de l’alphabet

une syntaxe : ensemble de règles qui définissent comment construire ces mots et ces phrases

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IntroductionIntroductionPrenons le système décimal

La base 10, on l’utilise tous les jours !Alphabet : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9Mots : 2856,45Syntaxe : c’est un code de position. Cela signifie que la valeur d’un chiffre dépend de sa position dans le nombre : son rang.

(ex: 2856 est différent de 8652, pourtant se sont les mêmes symboles qui sont utilisés)

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IntroductionIntroduction Le rang

position d’un chiffre dans un nombre, le rang se compte en partant de la droite, à partir du rang 1.

Le poidsA chaque rang est associé un poids, c’est à dire le coefficient par lequel il faudra multiplier le chiffre pour obtenir sa valeur réelle.2 8 6

5RANG 4 3 2 1

POIDS 1000 100 10 1

VALEUR = (2 x 1000) + (8 x 100) + (6 x 10) + (5 x 1) 2000 + 800 + 60 + 5 = 2865

x (multiplication)

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IntroductionIntroduction On peut en déduire une formule

qui lie le poids et le rang

Si on reprend l’exemple précédent,

POIDS = BASE (RANG –

1)

RANG 4 3 2 1

VALEUR = (2 x 103) + (8 x 102) + (6 x 101) + (5 x 100) = 2865

2 8 6 5

POIDS 1000 100 10 1

103 102 101 100

Pour le système décimalBase = 10 doncPOIDS = 10 (RANG – 1)

POIDS = 10 (2 – 1) = 101 = 10

POIDS = 10 (1 – 1) = 100 = 1

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Chapitre 2 : La numération binaireChapitre 2 : La numération binaire Introduction1 - Le système binaire2 - La conversion des nombres entiers

2.1 - Base 2 vers base 102.2 - Base 10 vers base 2– Par divisions successives– Par soustractions successives

2.3 - Opérations binaires (Addition, Soustraction, Multiplication, Division)

3 - La conversion des nombres fractionnaires

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1 – Le système binaire1 – Le système binaireAlphabet : 0 , 1Mots : 01101,101Syntaxe : code de position

Nous sommes donc en base 2POIDS = 2 (RANG – 1)

Notation des nombresn2 ex: (1001)2 pour un nombre en base 2

n10 ex: (9)10 pour un nombre en base 10

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Chapitre 2 : La numération binaireChapitre 2 : La numération binaire Introduction1 - Le système binaire2 - La conversion des nombres entiers

2.1 - Base 2 vers base 102.2 - Base 10 vers base 2– Par divisions successives– Par soustractions successives

2.3 - Opérations binaires (Addition, Soustraction, Multiplication, Division)

3 - La conversion des nombres fractionnaires

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2 – La conversion des nombres entiers2 – La conversion des nombres entiers2.1 – Base 2 vers base 10

Il est important de connaître par cœur les premières puissances de 2

Puissance

Valeur

0 1

1 2

2 4

3 8

4 16

5 32

6 64

7 128

8 256

9 512

10 1024

Attention 20 = 1

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2 – La conversion des nombres entiers2 – La conversion des nombres entiers2.1 – Base 2 vers base 10

Exemple (11100110)2 (?)10

POIDS = 2 (RANG – 1)

RANG 8 7 6 5 4 3 2 1

VALEUR = (1 x 27) + (1 x 26) + (1 x 25) + (0 x 24) + (0 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20)

= 128 + 64 + 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 0 = (230)10

1 1 1 0 0 1 1 0

POIDS = 2 (6 – 1) = 25 = 32POIDS 27 26 25 24 23 22 21 20

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Chapitre 2 : La numération binaireChapitre 2 : La numération binaire Introduction1 - Le système binaire2 - La conversion des nombres entiers

2.1 - Base 2 vers base 102.2 - Base 10 vers base 2– Par divisions successives– Par soustractions successives

2.3 - Opérations binaires (Addition, Soustraction, Multiplication, Division)

3 - La conversion des nombres fractionnaires

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2 – La conversion des nombres entiers2 – La conversion des nombres entiers2.2 – Base 10 vers base 2Première méthode : les divisions

successives Principe

On divise le nombre en base 10 par 2

Puis, on divise successivement le quotient de chaque division par 2 jusqu’à ne plus pouvoir diviser par 2.

Le nombre binaire s’obtient en relevant le reste de chaque division en partant de la dernière division vers la première(sens de lecture vers le haut).

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2 – La conversion des nombres entiers2 – La conversion des nombres entiers2.2 – Base 10 vers base 2

Première méthode : les divisions successivesExemple : 23010 (?)2

2

115

230

2

57 2

28 2

14 2

7 2

3 2

1 2

0

Sens de lecture

Réponse : (11100110)2

0

1

1

0

0

1

1

1

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2 – La conversion des nombres entiers2 – La conversion des nombres entiers2.2 – Base 10 vers base 2 Deuxième méthode :

les soustractions successives Principe

Cette méthode consiste à retrancher du nombre la plus grande puissance de 2 possible, et ainsi de suite dans l’ordre décroissant des puissances.Si on peut retirer la puissance de 2 concernée, on note (1) sinon on note (0) et on continue de la même manière jusqu’à la plus petite puissance de 2 possible (20 pour les entiers)

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2 – La conversion des nombres entiers2 – La conversion des nombres entiers2.2 – Base 10 vers base 2 Deuxième méthode : les soustractions

successivesExemple : 23010 (?)2

On recherche le plus grand poids que l’on peut retrancher au nombre à convertir (230)10

Ici, on peut retirer 128 (27) donc on note 1 sous ce poids Poids 128 64 32 16 8 4 2 1

1 1 1 0 0 1 1 0

102

38 6 6 6 2 0 0 Reste

( )2

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2 – La conversion des nombres entiers2 – La conversion des nombres entiers2.2 – Base 10 vers base 2

On peut en déduire les premiers nombres binaires

Base 10 Base 2

0 0

1 1

2 10

3 11

4 100

5 101

6 110

7 111

8 1000

9 1001

10 1010

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Chapitre 2 : La numération binaireChapitre 2 : La numération binaire Introduction1 - Le système binaire2 - La conversion des nombres entiers

2.1 - Base 2 vers base 102.2 - Base 10 vers base 2– Par divisions successives– Par soustractions successives

2.3 - Opérations binaires (Addition, Soustraction, Multiplication, Division)

3 - La conversion des nombres fractionnaires

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2 – La conversion des nombres entiers2 – La conversion des nombres entiers2.3 – Les opérations binaires2.3.1 - L’addition

* 1 + 1 = 10 Je pose 0 et je retiens 1

0 1

1 0*

+ 0 1

0

1 1 0 1 1 + 0 1 1 0 ------------------------

10001

11

Exemple(1011)2 + (0110)2

Soit (11)10 + (6)10 = (17)10

(17)10

1

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2 – La conversion des nombres entiers2 – La conversion des nombres entiers2.3 – Les opérations binaires2.3.2 – La soustraction

* Je pose 1 et je retiens 1

0 1*

1 0

- 0 1

0

1

1 0 1 1 - 0 1 1 0

------------------------1010

1

Exemple(1011)2 - (0110)2

Soit (11)10 - (6)10 = (5)10

(5)10

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2 – La conversion des nombres entiers2 – La conversion des nombres entiers2.3 – Les opérations binaires2.3.3 – La multiplication

0 0

0 1

x 0 1

0

1

1 0 1 1 x 1 1 0 ------------------------

.110

Exemple(1011)2 x (110)2

Soit (11)10 x (6)10 = (66)10

(66)10

0 0 0 01

. .110

01000------------------------------1

1

111

0

1

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2 – La conversion des nombres entiers2 – La conversion des nombres entiers2.3 – Les opérations binaires2.3.4 – La division

Exemple(101100)2 ÷ (100)2

Soit (44)10 ÷ (4)10 = (11)10

1 0 1 1 0 0 1 0 0

- 1 0 0 -------

1

- 1 0 0 -------

1 0- 1 0 0 -------

0

1 0 1 (44)101 1

1 1 0

0

Sens de lecture

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Fin du chapitre 2Fin du chapitre 2