chapitre iii.pdf
Post on 18-Oct-2015
69 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 1
Chapitre III
Mthodes de calcul des rgulateurs numriques
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 2
3.1 Introduction3.2 Rgulateur P.I.D. numrique3.2.1 Structure du rgulateur P.I.D. numrique 3.2.2 Calcul des paramtres du rgulateur numrique P.I.D. 13.2.3 Rgulateur numrique P.I.D. 1 Exemples3.2.4 Rgulateur numrique P.I.D. 23.2.5 Effets des ples auxiliaires3.2.6 P.I.D. numrique : conclusions 3.3 Placement des ples3.3.1 Structure3.3.2 Choix des ples en boucle ferme (P(q-13.3.3 Rgulation (calcul de R(q-1) et S(q-1)). 3.3.4 Poursuite (calcul de T(q-1))
3.3.5 Placement des ples Exemples3.4 Poursuite et rgulation objectifs indpendants3.4.1 Structure3.4.2 Rgulation (calcul de R(q-1) et S(q-1))3.4.3 Poursuite (calcul de T(q-1)) 3.4.4 Poursuite et rgulation objectifs indpendants Exemples3.5 Poursuite et rgulation modle interne3.5.1 Rgulation3.5.2 Poursuite3.5.3 Interprtation de la commande modle interne3.5.4 Les fonctions de sensibilit3.5.5 Poursuite et rgulation modle interne partiel3.5.6 Commande modle interne des systmes avec zros stables3.5.7 Exemple Commande des systmes avec retard
3.6 Placement de ples avec calibrage des fonctions de sensibilit3.6.1 Proprits de la fonction de sensibilit perturbation-sortie 3.6.2 Proprits de la fonction de sensibilit perturbation-entre3.6.3 Dfinition des gabarits pour les fonctions de sensibilit3.6.4 Mthode de calibrage des fonctions de sensibilit3.6.5 Calibrage de la fonction de sensibilit - Exemple 13.6.6 Calibrage de la fonction de sensibilit - Exemple 23.7 Conclusion3.8 Notes et indications bibliographiques
Chapitre 3. Mthodes de calcul des rgulateurs numriques
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 3
Calculateurs numriques utiliss pour la rgulationPossibilits et avantages
Choix important de stratgies pour la conception et le calculdes rgulateurs
Utilisation dalgorithmes plus complexes et plus performantsque le PID
Technique bien adapte pour la commande:- des procds avec retard- des procds caractriss par des modles dynamiquesdordre lev
- des procds ayant des modes vibratoires peu amortis Permet de combiner le calcul des rgulateurs avec lidentificationdes modles de procds (ncessaires pour le calcul)(ex.: logiciels WinPIM et WinREG dAdaptech)
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 4
Rgulateurs numriques Mthodes de calcul
PID numrique Placement de ples en boucle ferme Poursuite et rgulation objectifs indpendants Poursuite et rgulation modle interne Placement de ples avec calibrage des fonctions de sensibilitRemarques: Tous les rgulateurs auront la structure R-S-T(rgulateur deux degrs de libert)
Seule la mmoire (nombre de coefficients) change en fonctionde la complexit du modle du procd commander
Les diffrentes mthodes de calcul peuvent tre vues comme descas particuliers du placement de ples
Le calcul et lajustement des rgulateurs ncessitent laconnaissance du modle paramtrique chantillonn du procd
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 5
Rgulateur PID numrique
Rsulte de la discrtisation du rgulateur PID continu
La mthode de calcul ne sapplique rigoureusement quaux:- procds modlisables par une F.T. de maximum du 2e ordre- retard pur infrieur une priode dchantillonnage
La mthode de calcul est un cas particulier du placement de ples
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 6
Rgulateur PID numrique 1
PID continu:
+++=
sNT
sTsT
KsHd
d
iPID
1
11)(
K gain proportionnel,Ti action intgrale Td action driveTd/N - filtrage de laction
drive
Discrtisation: ee TqsTqs 1
1
111
;/)1( --
--
+-
-+
+-
+==-
-
--
--
1
1
11
11
1
1
)1(
1
11
)(
)()(
qNTT
T
qNTT
NT
qTT
KqS
qRqH
ed
d
ed
e
i
ePID
PID numrique 1:
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 7
Rgulateur PID numrique 1
)(
)()( 1
11
1 -
-- =
qS
qRqH PID
22
110
1)( --- ++= qrqrrqR 221
11
111 1)'1)(1()( ----- ++=+-= qsqsqsqqS
ed
d
NTTT
s+
-=1
-+= 10 1 NsT
TKr
i
e
-
++= 12111 NT
TsKr
i
e )1(12 NKsr +-=
Remarques: Le rgulateur PID numrique a 4 paramtres (comme le PID cont.) facteur commun au dnominateur: (intgrateur) filtrage: terme au dnominateur
)1( 1-- q)'1( 11
-+ qs
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 8
Rgulateur PID numrique 1
y(t)
+
-
r(t) u(t)
R/S B/A
PROCEDE
r(t)
R
1/S B/A
PROCEDE
u(t)y(t)
+
-
T=R
Structure R-S-T avec T = R
F.T. de la boucle ferme (r y)
)(
)()(
)()()()(
)()()(
1
11
1111
111
-
--
----
--- =
+=
qP
qRqB
qRqBqSqA
qRqBqH BF
)( 1-qP dfinit les ples de la boucle ferme
Le rgulateur introduit des zros supplmentaires (R)
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 9
Modle chantillonn de procd
B.O.Z.
H (z )-1
H (s)
sTGe
sHs
+=
-
1)(
t
20
20
20
2)(
ss
esH
s
++=
-
zww
w tou )( eT
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 10
Calcul des paramtres du rgulateur numrique PID 1
Spcification des performances:
)(
)(
)()()()(
)()()( 1
1
1111
111
-
-
----
--- =
+=
qP
qB
qRqBqSqA
qRqBqH MBF
)( 1-qBM ne peut pas tre spcifi a priori (car on garde B et lergulateur introduit des zros)On spcifie le polynme caractristique de la boucle ferme (P)
Spcificationen continu(tM, M)
2e ordre (w0, z)discrtisation
eT)( 1-qP
5.125.0 0 eTw17.0 z
22
11
1 ''1)( --- ++== qpqpqP
(*)
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 11
Calcul des paramtres du rgulateur numrique PID 1
-Modle de procd connu (ou identifi):- Performance dsires (ples de la B.F.):
)(/)( 11 -- qAqB)( 1-qP
De (*)- transp.10, il faut rsoudre:
Il faut calculer: )(;)( 11 -- qSqR
)()()()()( 11111 ----- += qRqBqSqAqP
? ?
)()()()(
))((
)1)(1)(1(
)()()()(1)(
1111
22
110
22
11
11
122
11
111122
11
1
----
----
----
-------
+=
++++
+-++=
+=++=
qRqBqSqA
qrqrrqbqb
qsqqaqa
qRqBqSqAqpqpqP
)1()1)(()( 332
21
1111 ------ +++=-= qaqaqaqqAqA 11
1 1)( -- += qsqS
Pour rsoudre : WinREG, bezoutd.sci(.m)
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 12
Choix du polynme P
-Equation polynmiale dordre 4.- P peut tre choisi aussi dordre 4 (ajout de ples aux.)
)1)(1)(1(
)1()(2
21
12
21
1
44
33
22
11
1
----
-----
++++=
=++++=
qqqpqp
qpqpqpqpqP
aa
x xx
x
1-1
j
ples dominants2me ordre (w 0 , z)
ples auxiliaires
Les ples auxiliaires augmentent la robustesse du rgulateur
05.0,5.0 21 -- aa
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 13
Paramtres du rgulateur PID continu quivalent
21
21110
)1(
)2(
s
rsrsrK
+
+--=
210
1 )1(rrr
sKTT ei ++
+=
31
21101
)1( sK
rrsrsTT ed +
+-=
1
1
1 sTs
NT ed
+
-=
Lquivalent continu nexiste pas toujours !
Condition dexistence: 0'1 1 - s (Td/N doit tre > 0)
Rgulateur PID numrique toujours ralisable mme avec:(donne des performances nonralisables avec un PID continu)
1'0 1 s
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 14
Procd discrtis: B(q-1) = 0.1813 q-1 +0.2122 q-2A(q-1) = 1 -0.6065 q-1 Te = 5s, G = 1, T = 10s, t = 3
Performances > Te = 5s , w0 = 0.05 rad/s, z = 0.8***LOI DE COMMANDE *** S(q-1) . u(t) + R(q-1) . y(t) = T(q-1) . r(t)Rgulateur : R(q-1) = 0.0621 + 0.0681 q-1
S(q-1) = (1 - q-1) . (1 - 0.0238 q-1)T(q-1) = R(q-1)
Marge de gain : 7.712 Marge de phase : 67.2 degMarge de module : 0.751 (-2.49dB) Marge de retard : 45.4 sPID continu : k = -0.073, Ti = -2.735, Td = - 0.122, Td/N = 0.122
Rgulateur numrique PID 1. Exemples
sTGe
sHs
+=
-
1)(
t
Procd:
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 15
Performances: w0 = 0.05 rad/s, z = 0.8
Rponse plus lente quen boucle ouverte. Il faut augmenter w0
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 16
Performances: w0 = 0.15 rad/s, z = 0.8
Pas dquivalent continu car s1> 0 (0.3122)
Procd discrtis : B(q-1) = 0.1813 q-1 + 0.2122 q-2A(q-1) = 1 - 0.6065 q-2 Te = 5s, G = 1, T = 10s, t = 3
Performances > Te = 5s , w0 = 0.15 rad/s, z = 0.8*** LOI DE COMMANDE *** S(q-1) . u(t) + R(q-1) . y(t) = T(q-1) . r(t)Rgulateur : R(q-1) = 1.6874 - 0.8924 q-1
S(q-1) = (1 - q-1) . (1 + 0.3122 q-1)T(q-1) = R(q-1)
Marge de gain : 3.681 Marge de phase : 58.4 degMarge de module : 0.664 (- 3.56 dB) Marge de retard : 9.4 sPID continu : (pas d'quivalent continu)
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 17
Performances: w0 = 0.15 rad/s, z = 0.8
- Rponse plus rapide- Apparition dun dpassement du aux zros introduits par R
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 18
Le bon PID numrique (PID 2)
F.T. souhaite pour la boucle ferme:)(
)()1()1(
)( 11
1-
-- =
qP
qBBP
qH BF 1)1( =BFH
Nintroduit pas des zros supplmentaires
)(
)()]1(/)1([
)()()()(
)()()( 1
1
1111
111
-
-
----
--- =
+=
qP
qBBP
qRqBqSqA
qBqTqH BF
)1()1(
)1()1()1()1(
)( 1 RB
RBBP
qT ===- R et S restent inchangs
Un seul coefficient au lieu de 2 coeff.
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 19
PID continu correspondant au rgulateur numrique PID 2
k ds
1 + ----T
Ns
+
+-
-
PROCEDE
Kd
-
KTds
K____Ti s
r(t)u(t) y(t)
1/ ( )
------------------1
1 + -----T
Ns
d
Les actions proportionnelles et drives uniquement sur la mesure
1
21
1)2(
srr
K+
+-=
)1)(2()1(
121
2111
srrrsrs
TT ed ++-+
=210
21 )2(rrr
rrTT ei ++
+-=
1
1
1 sTs
NT ed
+
-=
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 20
Performances du rgulateur numrique PID 2
Procd discrtis: B(q-1) = 0.1813 q-1 +0.2122 q-2A(q-1) = 1 - 0.6065 q-1Te = 5s, G = 1, T = 10s, t = 3
Performances > Te = 5s , w0 = 0.15 rad/s, z = 0.8***LOI DE COMMANDE *** S(q-1) u(t) + R(q-1) y(t) = T(q-1) r(t)Rgulateur : R(q-1) = 1.6874 - 0.8924 q-1
S(q-1) = (1 - q-1) (1 + 0.3122 q-1)T(q-1) = 0.795
Marge de gain : 3.681 Marge de phase : 58.4 degMarge de module : 0.664 ( - 3.56 dB) Marge de retard : 9.4 sP.I.D. Continu : (Pas d'quivalent continu)
A comparer avec PID 1, transp. 16
Pas dquivalent continu car s1> 0 (0.3122)
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 21
Performances du rgulateur numrique PID 2
w0 = 0.15 rad/s, z = 0.8
Dpassement rduit (correspondant z = 0.8). Mme rponse en perturbationA comparer avec le transparent 17
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 22
Effets des ples auxiliaires
Pour des performances identiques , les ples auxiliaires rduisentla fonction de sensibilit Sup en hautes frquences
Meilleure robustesse et rduction des sollicitations de lactionneur
Pour dtails et exemples voir livre pg.144-147
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 23
PID numrique: conclusions
Structure canonique R-S-T
PID continu quivalent si
Sutilise pour des systmes du 1er ou 2e ordre avec retard < Te Pour retard le PID continu conduit des rponses enboucle ferme plus lentes quen boucle ouverte
Le PID numrique donne des meilleures performances pour lessystmes avec retard (mais il ny a plus dquivalent continu)
Le PID 2 conduit une rponse en consigne avec un plus faibledpassement que le PID 1
0'1 1 - s
T25.0t
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 24
Placement des ples
Le PID numrique est un cas particulier du placement des ples
Le placement des ples permet de calculer un rgulateur R-S-T pour: systmes stables ou instables sans restriction sur les degrs des polynmes A et B sans restriction sur le retard du procd sans restriction sur les zros du procd (stables ou instables)
Cest une mthode qui ne simplifie pas les zros du procd
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 25
Structure
)(
)()(
1
11
-
--- =
qA
qBqqH
d
AA
nn qaqaqA
--- +++= ...1)( 111 )(...)( 1*122
11
1 ------ =+++= qBqqbqbqbqB BB
nn
Procd:
) ------------1
(q- 1
)---------q
- dB
A
PROCEDE
R(q- 1
)
--------------------q
- dB(q
- 1)
(q- 1
)
S
P
r(t) y(t)+
-
T( ) q - 1
p(t)
++
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 26
)(
)()(
)()()()(
)()()(
1
11
1111
111
-
---
-----
---- =
+=
qP
qBqTq
qRqBqqSqA
qBqTqqH
d
d
d
BF
....1)()()()()( 221
111111 +++=+= -------- qpqpqRqBqqSqAqP d
)(
)()(
)()()()(
)()()(
1
11
1111
111
-
--
-----
--- =
+=
qP
qSqA
qRqBqqSqA
qSqAqS
dyp
F.T. de la boucle ferme (r y) (poursuite de consigne)
Dfinit les ples de la boucle ferme
F.T. de la boucle ferme (p y) (rejet de perturbation)
Fonction de sensibilit perturbation - sortie
Placement des ples
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 27
Choix des ples en boucle ferme (polynme P)
)()()( 111 --- = qPqPqP FDPles dominants Ples auxiliaires
Spcificationen continu(tM, M)
2e ordre (w0, z)discrtisation
eT)( 1-qPD
5.125.0 0 eTw17.0 z
Choix de PD(q-1)(ples dominants)
Les ples auxiliaires sont introduits pour la robustesse. Ils sont choisis plus rapides que les ples dominants
Ples auxiliaires
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 28
Rgulation( calcul de R(q-1) et de S(q-1))
)()()()()( 11111 ------ =+ qPqRqBqqSqA d
? ?
)(deg 1-= qAnA )(deg1-= qBnB A et B premiers entre eux
(Bezout)
Solution minimale unique pour :
1)(deg 1 -++= - dnnqPn BAP
1)(deg 1 -+== - dnqSn BS 1)(deg1 -== - AR nqRn
)(*1...1)( 11111 ----- +=++= qSqqsqsqS S
S
nn
R
R
nn qrqrrqR
--- ++= ...)( 1101
(*)
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 29
Calcul de R(q-1) et de S(q-1)
Lquation (*) se met sous la forme: Mx = p
],...,,,...,,1[ 01 RS nnT rrssx = ]0,...,0,,...,,...,,1[ 1 Pni
T pppp =
1 0 ... 0a1 1 .a2 0
1a1
anA a20 .0 ... 0 anA
0 ... ... 0b' 1b' 2 b' 1. b' 2. .
b' nB .0 . . .0 0 0 b' nB
nA + nB + d
nB + d nA
nA + nB + d
x = M-1p
Utilisation de WinReg ou bezoutd.sci(.m) pour rsoudre (*)b'i = 0 pour i = 0, 1 ...d ; b'i = bi-d pour i > d
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 30
Structure de R(q-1) et de S(q-1)
R et S contiennent des parties fixes (ex: intgrateur)
)()(')( 111 --- = qHqRqR R )()(')(111 --- = qHqSqS S
HR, HS, - polynmes pr spcifis
'
''...'')(' 110
1 RR
nn qrqrrqR
--- ++= ''
'...'1)(' 111 S
S
nn qsqsqS
--- ++=
Leq.(*) (transp. 28) devient:
)()()()()()()( 1111111 -------- =+ qPqHqRqBqqHqSqA Rd
S (**)
1)(deg 1 -++++= - dnnnnqPn HRBHSAP
1)('deg 1' -++==- dnnqSn HRBS 1)('deg
1' -+==
-HSAR nnqRn
Utilisation de WinReg ou bezoutd.sci(.m) pour rsoudre (**)avec A = AHS , B = BHR
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 31
Parties fixes (HR , HS). Exemples
Erreur statique nulle (Syp doit tre nulle certaines frquences)
Perturbation chelon : Perturbation harmonique : eS TqqH waa cos2;1
21 -=++= --11 1)( -- -= qqHS
Blocage dun signal (Sup doit tre nulle certaines frquences)
eR TqqH wbb cos2;121 -=++= --Signal harmonique:
Blocage de 0.5fe: 2,1;)1( 1 =+= - nqH nR
Plus de dtails voir livre pg.154-155
)(
)()()()( 1
1111
-
---- =
qP
qSqHqAqS Syp
)(
)()()()( 1
1111
-
---- -=
qP
qRqHqAqS Rup
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 32
Poursuite (calcul de T(q-1) )
------------q
- 1Bm
Am
Cas idal
r (t) y* (t)
trajectoiredsire pour y (t)
t
y
r
*
Modle de rfrenceen poursuite (Hm)
Spcificationen continu(tM, M)
2e ordre (w0, z)discrtisation
eT)( 1-qHm
5.125.0 0 eTw17.0 z
)(
)()( 1
111
-
--- =
qA
qBqqH
m
mm
Le cas idal ne peut pas tre atteint (retard, zros du procd)Objectif : approcher y*(t)
)()(
)()(
1
1)1(* tr
qA
qBqty
m
md
-
-+-
=
...)( 1101 ++= -- qbbqB mmm
...1)( 221
11 +++= --- qaqaqA mmm
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 33
Poursuite (calcul de T(q-1) )
)()(
)()1( 1
1* tr
qA
qBdty
m
m-
-
=++On construit:
Choix de T(q-1) : Gain statique unitaire entre y* et y Compensation de la dynamique de rgulation P(q-1)
=
=0)1(1
0)1()1(/1Bsi
BsiBGT(q-1) = GP(q-1)
Cas particulier : P = Am
=
==-
0)1(1
0)1()1(
)1()( 1
Bsi
BsiB
PGqT
F.T. r y:)1(
)(
)()(
)(1*
1
1)1(1
B
qB
qAqBq
qHm
md
BF
-
-
-+-- =
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 34
Placement de ples. Poursuite et Rgulation
+
-
R
1 q-d
B
AST
A
B m
m
r(t)
y (t+d+1)* u(t) y(t)
q
-(d+1)
P(q -1 )
q
-(d+1)
B*(q )-1
B*(q )
-1
B(1)
q
-(d+1) B m(q )
B*(q )
-1-1
A m(q ) B(1)-1
)1(*)()()()()( 111 ++=+ --- dtyqTtyqRtuqS
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 35
)(
)()()1()()( 1
1*1
-
-- -++=
qS
tyqRdtyqTtu
)1()()1()()()()()( *1*111 ++=++=+ ---- dtyqTdtyqGPtyqRtuqS
)(1)( 1*11 --- += qSqqS
)()()1()()1()()( 11**1 tyqRtuqSdtGyqPtu --- ---++=
)()(
)()1( 1
1* tr
qA
qBdty
m
m-
-
=++
)(1)( 1*11 --- += qAqqA mm
)()()()()1( 11** trqBdtyqAdty mm-- ++-=++
...)( 1101 ++= -- qbbqB mmm ...1)(
22
11
1 +++= --- qaqaqA mmm
Placement de ples. Loi de commande
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 36
Placement de ples. Exemple
Procd : d=0B(q-1) = 0.1 q-1 + 0.2 q-2A(q-1) = 1 - 1.3 q-1 + 0.42 q-2
Bm(q-1) = 0.0927 + 0.0687 q-1Dynamique de poursuite -->
Am (q-1) = 1 - 1.2451q-1 + 0.4066 q-2Te = 1s , w0 = 0.5 rad/s, z = 0.9
Dynamique de rgulation --> P (q-1) = 1 - 1.3741 q-1 + 0.4867 q-2Te = 1s , w0 = 0.4 rad/s, z = 0.9
Pr-spcifications : Intgrateur*** LOI DE COMMANDE ***S (q-1) u(t) + R (q-1) y(t) = T (q-1) y*(t+d+1)y*(t+d+1) = [Bm(q-1)/Am(q-1)] r(t)Rgulateur : R(q-1) = 3 - 3.94 q-1 + 1.3141 q-2
S(q-1) = 1 - 0.3742 q-1 - 0.6258 q-2T(q-1) = 3.333 - 4.5806 q-1 + 1.6225 q-2
Marge de gain : 2.703 Marge de phase : 65.4 degMarge de module : 0.618 (- 4.19 dB) Marge de retard : 2.1. s
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 37
Placement de ples. Exemple
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 38
Poursuite et rgulation objectif indpendants
Cest un cas particulier du placement des ples(les ples de la boucle ferme contiennent les zros du procd)
Permet de calculer un rgulateur R-S-T pour: systmes stables ou instables sans restriction sur les degrs des polynmes A et B sans restriction sur le retard entier d du procd discrtis modles chantillonns ayant des zros stables!
Cest une mthode qui simplifie les zros du procdPermet une ralisation exacte des performances imposes
Ne tolre pas des retards fractionnaires > 0.5 Te (zro instable)
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 39
Poursuite et rgulation objectif indpendants
Les zros du modle doivent tre stables et suffisamment amortis
Domaine dadmissibilit pour les zros du modle chantillonn
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 40
Poursuite et rgulation objectif indpendants. Structure
+
-
R
1 q-d
BAS
TA
Bm
m
r(t)
y (t+d+1)* u(t) y(t)
q
-(d+1)
P(q -1 )
q
-(d+1)
B
mA
q -(d+1) m q-1
( )
(q )-1
)()()( 111 --- = qPqPqP FD
Spcification des ples comme pour le placement de ples
)()(
)()1( 1
1* tr
qA
qBdty
m
m-
-
=++Trajectoire de rfrence:(poursuite)
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 41
Rgulation( calcul de R(q-1) et de S(q-1))
F.T. de la boucle ferme sans T:
)()()(
)()()()()()(
)( 11*1*1
1
1
11*111
1*11
--
-+-
-
+-
--+---
-+-- ==
+=
qPqBqBq
qPq
qRqBqqSqAqBq
qHdd
d
d
BF
)()()()()()( 11*11*111 ----+--- =+ qPqBqRqBqqSqA dIl faut rsoudre :
S doit tre de la forme: )()(...)( 11*1101 ----- =+++= qSqBqsqssqS SSn
n
Aprs simplification par B*,(*) devient:
)()()(')( 11111 --+--- =+ qPqRqqSqA d
(*)
nP = deg P(q-1) = nA+d ; deg S'(q-1) = d ; deg R(q-1) = nA-1Solution unique:
11
110
1 ...)( ----- ++= A
A
nn qrqrrqR
dd qsqsqS
--- ++= '...'1)(' 111
(**)
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 42
Rgulation( calcul de R(q-1) et de S(q-1))
(**) se met sous la forme: Mx = p
1 0 a1 1 a2 a1 0: : 1ad ad-1 ... a1 1
ad+1 ad a1ad+2 ad+1 a2
. .0 0 ... 0 anA
0 . .
. .
1 . 0 .
. 00 0 1
nA + d + 1
nA + d + 1
d + 1 nA],...,,,,...,,1[ 1101 -= nd
T rrrssx ],...,,,...,,,1[ 121 dnnnT
AAApppppp ++=
Utilisation de WinReg ou predisol.sci(.m) pour rsoudre (**)Insertion de parties fixes dans R et S idem placement de ples(voir livre pg.166-167)
x = M-1p
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 43
Poursuite (calcul de T(q-1) )
F.T. en boucle ferme: r y
)()(
)()(
)(
)()( 11
)1(11
1
1)1(1
--
+---
-
-+-- ==
qPqA
qqTqB
qA
qBqqH
m
dm
m
md
BF
F.T. dsire
Il rsulte : T(q-1) = P(q-1)
Equation du rgulateur:
)1()()()()()( *111 ++=+ --- dtyqPtyqRtuqS
)(
)()()1()()(
1
1*1
-
-- -++=
qS
tyqRdtyqPtu
[ ])()()1()()1()(1)( 11**11
tyqRtuqSdtyqPb
tu --- ---++= (s0 = b1)
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 44
Poursuite et rgulation objectif indpendants. Exemples
Procd : d = 0B(q-1) = 0.2 q-1 + 0.1 q-2A(q-1) = 1 - 1.3 q-1 + 0.42 q-2
-> Bm (q-1) = 0.0927 + 0.0687 q-1Dynamique de poursuite ---
-> Am (q-1) = 1 - 1.2451q-1 + 0.4066 q-2Te = 1s , w0 = 0.5 rad/s, z = 0.9
Dynamique de rgulation ---> P (q-1) = 1 - 1.3741 q-1 + 0.4867 q-2Te = 1s , w0 = 0.4 rad/s, z = 0.9
Pr-spcifications : Intgrateur*** LOI DE COMMANDE ***S (q-1) u(t) + R (q-1) y(t) = T (q-1) y*(t+d+1)y*(t+d+1) = [Bm (q-1)/Am (q-1)] . r(t)Rgulateur : R(q-1) = 0.9258 - 1.2332 q-1 + 0.42 q-2
S(q-1) = 0.2 - 0.1 q-1 - 0.1 q-2T(q-1) = P(q-1)
Marge de gain : 2.109 Marge de phase : 65.3 degMarge de module : 0.526 (- 5.58 dB) Marge de retard : 1.2
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 45
Poursuite et rgulation objectif indpendants. (d = 0)
Effet des zros peu amortis
Les oscillations sur la commande quand il y a des zros peu amortis peuventtre rduites en introduisant des ples auxiliaires (voir livre pg. 169-171)
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 46
Poursuite et rgulation modle interne
Cest un cas particulier du placement des ples
Les ples dominants sont gaux ceux du procd
Permet de calculer un rgulateur R-S-T pour: systmes stables et bien amortis sans restriction sur les degrs des polynmes A et B sans restriction sur le retard du procd discrtis
Le modle du procd doit tre stable et bien amorti !
Ne permet pas dacclrer la rponse en boucle ferme
Souvent utilise pour les systmes ayant un retard important
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 47
Rgulation( calcul de R(q-1) et de S(q-1))
)()()()()()()( 1111111 -------- ==+ qPqPqAqRqBqqSqA Fd
Ples dominants ( ) FPnF qqP 11 1)( -- += a( choix typique)
(*)
R doit tre de la forme: R(q-1) = A(q-1).R(q-1)
)()()()( 1111 ----- =+ qPqRqBqqS Fd
Aprs limination du facteur commun A(q-1),(*) devient:
( ) )(1)( 111 --- -= qSqqS ( choix typique) Solution pour:
)1()1(
)()( 11BP
qAqR F-- =
)1()1(
)()()()1()( 11111B
PqBqqPqSqqS FdF
------ -=-=
Pour dautre cas - voir livre pg.174-175
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 48
Poursuite (calcul de T(q-1) )
)1(/)()()( 111 BqPqAqT F--- =
Cas particulier : Am = APF (dynamique poursuite = dynamique rgulation)
)1()1()1(
)1()( 1B
PATqT F==- (on supprime le modle de rfrence de poursuite)
------------------------------------------------------------------------------------------------
Cas particuliers:
Poursuite et rgulation modle interne partiel (voir livre pg.178)
Commande modle interne des systmes avec zros stables (voir livre pg.179)
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 49
Une interprtation de la commande modle interne
Schma quivalent (voir dtails de calcul: livre pg.175-177)
)()()1(
1)(
)1(1
)(
)()(
)()1()1(
)(
11110
110
110
----
--
--
==
=
=
qPqAB
qPB
qT
qPqS
qAB
PqR
F
F
F
T0+
+
-
-1/S0 Procd
ABdq-
Modle
y*(t+d+1) u(t) y(t)
(t)y
R0
Le modle du procd(modle de prdiction)est un lment du schmade rgulation Rtro-action sur
lerreur de prdiction
Rem.: Pour toutes les stratgies on peut faire ressortir la prsence du modle dans le rgulateur(voir Annexe A2-pg.505-509)
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 50
Commande modle interne dun systme avec retard
Procd: d = 7; A = 1 0.2q-1 ; B = q-1
Pour satisfaire la marge de retard il faut introduire des ples auxiliaires
a)
b)
) 1()( 11 -- += qqPF a -1< a < 0
a = -0.1; -0.2; -0.333
La bonne valeur(sobtient par calcul,voir livre pg.181)
Pour dautre solutions:voir livre pg.181-185
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 51
Placement de ples avec calibrage des fonctions de sensibilit
Spcifications des performances pour le placement de ples: Les ples dominants dsirs de la boucle ferme La trajectoire de rfrence (modle de rfrence de poursuite)
Questions: Comment prendre en compte les spcifications dans certaines
bandes de frquences ? Comment garantir la robustesse des rgulateurs ? Comment tirer avantage des degrs de libert sur le nombre
maximum de ples
Rponse:Calibrage des fonctions de sensibilit par:
- placement des ples auxiliaires- introduction des parties fixes dans le rgulateur
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 52
Fonctions de sensibilit - rappel
)()()()(
)()()(
1111
111
-----
---
+=
qRqBqqSqA
qSqAqS
dyp
)()()()(
)()()(
1111
111
-----
---
+-=
qRqBqqSqA
qRqAqS
dup
)()(')( 111 --- = qHqRqR R )()(')(111 --- = qHqSqS S
)()()()()()()( 1111111 -------- ==+ qPqPqPqRqBqqSqA FDd
Fonction de sensibilit perturbation sortie:
Fonction de sensibilit perturbation entre:
Structure rgulateur :
Parties fixesPles dominants et auxiliaires:
Etude des proprits dans le domaine frquentiel: q=z=ejw
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 53
Proprits de la fonction de sensibilit perturbation-sortie
P.1- Le module de la fonction de sensibilit perturbation sortie une certaine frquence donne le facteur damplification ou attnuationde la perturbation en sortie
Syp(w) < 1(0 dB) attnuationSyp(w) > 1 amplification
Syp(w) = 1 fonctionnement en boucle ouverte
P.2 Le systme en B.O. tant stable on a la proprit:
=-e
e
f.pf/fj
yp df)(eS50
0
2 0log
La somme des aires entre la courbe de Syp et laxe 0dB prises avec leur signe est nulle
Lattnuation des perturbations dans une certaine zone de frquences entranelamplification des perturbations dans dautres zones de frquences !
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 54
Proprits de la fonction de sensibilit perturbation-sortie
Augmentation de lattnuation ou largissement de la bande dattnuation
Plus forte amplification des perturbations lextrieur de la bande dattnuation
Rduction de la robustesse(diminution de la marge de module)
P.3 ( ) 1max
)(-
=D wjSM ypMarge de module
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 55
Proprits de la fonction de sensibilit perturbation-sortie
P.4 Annulation de leffet des perturbations une certaine frquence:
ejj
Sjjj ffeSeHeAeSeA / 2 ; 0)()()()()( pwwwwww === ----- {
Zros de Syp Permet dintroduire des zros au frquences souhaites
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 56
Proprits de la fonction de sensibilit perturbation-sortie
P.5 - aux frquences o:)0(1)( dBjS yp =w
ejj
Rjjj ffeReHeBeReB / 2 ; 0)()()()()( ** pwwwwww === -----
Permet dintroduire des zros au frquences souhaites
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 57
Proprits de la fonction de sensibilit perturbation-sortie
P.6 Les ples auxiliaires (PF) asymptotiquement stables entranent(en gnral) une diminution de dans les zonesdattnuation de 1/PF
)( wjS yp
FPn
F qpqP )1()(11 -- += 05.05.0 -- p
DF PPP nnn -
Dans des nombreuses applications lintroduction des ples auxiliaires hautesfrquences suffit pour assurer les marges de robustesse requises
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 58
Proprits de la fonction de sensibilit perturbation-sortie
P.7 Lintroduction simultane dune partie fixe HSi et dune paire deples auxiliaires PFi de la forme:
22
11
22
11
1
1
1
1
)(
)(--
--
-
-
++
++=
qq
qq
qP
qH
i
i
F
S
aa
bb
rsultant de la discrtisation de :
200
2
200
2
2
2)(
wwz
wwz
++
++=
ss
sssF
den
num1
1
112
-
-
+-
=zz
Ts
e
avec:
introduit une attnuation (trou) la frquence discrtise normalise:
=
2arctan2 0 edisc
Tww avec lattnuation:
=
den
numtM z
zlog20 dennum zz fdisc
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 59
Proprits de la fonction de sensibilit perturbation-sortie
Pour les dtails de calcul voir livre pg.194-197.Calcul effectif laide de la fonction: filter22.sci (.m)
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 60
Proprits de la fonction de sensibilit perturbation-entre
P.1 Annulation de leffet des perturbations sur lentre une certaine frquence (Sup = 0):
ejj
Rj ffeReHeA / 2 ; 0)()()( pwwww == ---
Permet dintroduire des zros au frquences souhaites
101)( 11
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 61
Proprits de la fonction de sensibilit perturbation-entre
P.2 Aux frquences o:
ejj
Sj ffeSeHeA / 2 ; 0)()()( pwwww == ---
)(
)()(
w
ww
j
jj
upeB
eAeS
-
-- =0)( =wjS yp
on a:
Consquence : lattnuation forte des perturbations doit se faireuniquement dans les zones frquentielles o le gain du systmeest suffisamment grand ( pour prserver la robustesse et viterdes sollicitations trop importantes de lactionneur)
Inverse dugain dusystme
Rappel: donne la tolrance aux incertitudes additives sur le modle( lev = faible robustesse)
1)(
-wjSup
)( wjSup
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 62
Proprits de la fonction de sensibilit perturbation-entre
P.3 Lintroduction simultane dune partie fixe HRi et dune paire deples auxiliaires PFi de la forme:
rsultant de la discrtisation de :
200
2
200
2
2
2)(
wwz
wwz
++
++=
ss
sssF
den
num1
1
112
-
-
+-
=zz
Ts
e
avec:
introduit une attnuation (trou) la frquence discrtise normalise:
=
2arctan2 0 edisc
Tww avec lattnuation:
=
den
numtM z
zlog20 dennum zz fdisc
22
11
22
11
1
1
1
1
)(
)(--
--
-
-
++
++=
qq
qq
qP
qH
i
i
F
R
aa
bb
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 63
Gabarits pour les fonctions de sensibilit Syp
S yp dB
0,5f e
S yp max = - MD
0
S yp dB
0,5f e
S yp max = - MD
0
zones d'attnuation
ouverture de la boucle
Performances
Robustesse
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 64
Gabarits pour les fonctions de sensibilit Sup
dBupS
0.5fe
Ouverture de la boucle la frquence f (< - 100 dB)
Zone dincertitude surla qualit du modle
Limitation de la sollicitationde lactionneur
0
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 65
Calibrage des fonctions de sensibilit
1. choix des ples dominants et auxiliaires de la boucle ferme2. choix des parties fixes du rgulateur (HS et HR )3. choix simultan des parties fixes et des ples auxiliaires (diples)
Procdure:
Calibrage de base : utilisation de 1 et 2Calibrage fin: utilisation de 3
Il existent aussi des procdures automatiques pour le calibrage basessur loptimisation convexe (Logiciel Optreg dAdaptech)
WinReg et ppmaster.m sont des outils logiciels particulirementadapts pour le calibrage .
Les dtails de la procdure de calibrage itratif sont dcrits pg 202-207(livre)
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 66
Calibrage des fonctions de sensibilit. Exemple I
sTdqBqA e 1;2;3.0;7.0111 ===-= --Procd:
Intgrateur Ples dominants: discrtisation 2e ordre : w0 = 1 rad/s, z = 0.9
Rgulateur A :Bande dattnuation: 0 0.058 Hz mais DM < -6 dB et Dt < Te (voir 67)Objectif: mme bande dattnuation mais avec DM > -6 dB et Dt > Te
Spcifications:
- insertion ples auxiliaires: ( )214.01 --= qPFRgulateur B : bonnes marges mais rduction de la bande dattnuation
- insertion dun diple HS/PF centr w0 = 0.4 rad/s
Rgulateur C : bonne bande dattnuation mais Syp > 6 dB - augmentation (ralentissement) des ples auxiliaires (0.4 0.44)
Rgulateur D : Correct
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 67
Calibrage des fonctions de sensibilit. Exemple I
Dtails : livre pg 207-209
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 68
Calibrage des fonctions de sensibilit. Exemple II
Procd (intgrateur): sTdqBqA e 1;2;5.0;111 ===-= --
q -dBA
u(t) y(t)
Perturbation sinusodale(0.25 Hz)
Perturbations basses
frquences
+
+
+
Spcifications:1. Pas dattnuation de la perturbation sinusodale (0.25 Hz)2. Bande dattnuation basse frequence: 0 0.03 Hz3. Amplification des perturbations 0.07 Hz: < 3dB 4. Marge de module > -6 dB et marge de retard > T5. Pas dintgrateur dans le rgulateur
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 69
Calibrage des fonctions de sensibilit. Exemple II
- Synthse des parties fixes : 1;1 2 =+= - SR HqHOuverture de le boucle 0.25 Hz
- Ples dominants: discrtisation 2e ordre : w0 = 0.628 rad/s, z = 0.9
Rgulateur A : les specs. 0.07 Hz ne sont pas satisfaites (voir 70)- insertion dun diple HS/PF centr w0 = 0.44 rad/s
Rgulateur B : Bande dattnuation infrieure aux specs.- acclration des ples dominants: w0 = 0.9 rad/s
Rgulateur C : Correct (voir 70)
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 70
Calibrage des fonctions de sensibilit. Exemple II
Pour les dtails voir livre pg.208-212 ainsi que lexemple de la pg. 425
-
I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 71
Quelques remarques rcapitulatives
Tous les rgulateurs numriques ont une structure trois branches(R-S-T). Ils ont deux degrs de libert (rgulation et poursuite)
Le calcul du rgulateur seffectue en deux tapes :1) R et S (rgulation) 2) T (poursuite)
La complexit du rgulateur dpend de la complexit du modle Le placement de ples est la stratgie de base La poursuite et rgulation objectif indpendant sapplique aux
modles discrets de procd ayant des zros stables La poursuite et rgulation modle interne sapplique
uniquement aux procds stables et bien amortis Le PID numrique est un cas particulier du placement de ples
utilisables pour la commande de procds simples (ordre max. = 2) Tous les rgulateurs numriques prsents mettent en uvre une
commande prdictive et englobent implicitement un modle de prdiction du procd
top related