compensação de dispersão em sistemas de fibra Ótica · iii resumo nesta dissertação,...
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Compensação de Dispersão
em Sistemas de Fibra Ótica
Luís Miguel Pinto Correia de Carvalho Marques
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Eletrotécnica e de Computadores
Júri
Presidente: Prof. Doutor Fernando Duarte Nunes
Orientador: Prof. Doutor António Luís Campos da Silva Topa
Vogal: Profª. Doutora Maria João Marques Martins
Outubro 2012
i
Agradecimentos
Gostaria, em primeiro lugar, de expressar o meu profundo agradecimento ao professor
António Topa não só pelos conhecimentos transmitidos mas também pelo apoio e
disponibilidade demonstrada para esclarecimento de dúvidas ao longo da elaboração desta
dissertação.
Gostaria de agradecer a toda a minha família e à minha namorada Nádia Candeias
pelo apoio prestado, mostrando-se sempre disponíveis para me auxiliar. Sem eles tudo isto
seria impossível, por isso dedico a todos eles este trabalho, em especial ao meu avô Joaquim
Correia, com quem tive o enorme prazer de partilhar 22 anos da minha vida.
Agradeço aos meus colegas de dissertação Daniel Anjos e Miguel Luís pela troca de
conhecimentos e ajuda disponibilizada ao longo deste trabalho.
Aos meus grandes amigos de infância e de curso pelos muitos e bons momentos
passados e incentivo dado ao longo deste percurso.
A todos, muito obrigado!
iii
Resumo
Nesta dissertação, pretendemos compreender a dispersão temporal em sistemas de
comunicação ótica e procuramos resolvê-la.
Começamos por realizar uma breve introdução sobre a estrutura da fibra ótica, para de
seguida passarmos para a descrição da dispersão e dos seus constituintes para uma fibra
monomodal.
Procedemos à dedução da equação da propagação dos impulsos no regime linear e
verificamos a influência e as consequências dos efeitos dispersivos, como a dispersão de
velocidade de grupo (DVG) e a dispersão de ordem superior, para diversos impulsos.
Para combater os efeitos dispersivos que surgem na transmissão dos impulsos em
regime linear, estudamos dois esquemas de compensação: a compensação da dispersão
baseada em fibras de compensação de dispersão (DCFs) e em redes de Bragg (FBGs). Na
compensação de dispersão utilizando DCFs, simulamos, para diferentes tipos de impulsos, a
compensação da DVG e da dispersão de ordem superior separadamente. Para o estudo da
compensação baseada em FBGs, são descritos os fundamentos teóricos por detrás das redes
de Bragg, utilizando a teoria dos modos acoplados em fibra ótica. Demonstramos a grande
flexibilidade das redes de Bragg, o que as torna bastante úteis no desenvolvimento de novas
aplicações para as comunicações óticas, destacando as aplicações para filtragem e para
compensação de dispersão.
Por último, analisamos a influência dos efeitos não-lineares na propagação de impulsos
em sistemas de fibra ótica, que em circunstâncias especiais possibilita a propagação dos
solitões. Debruçamo-nos ainda sobre a gestão de dispersão mais utilizada em sistemas com
solitões, para minimizar o efeito do jitter.
Palavras-chave
Propagação de Impulsos em Fibras Óticas, Compensação de Dispersão, Fibra de
Compensação de Dispersão (DCFs), Redes de Bragg (FBGs), Auto-Modulação de Fase (AMF),
Solitões.
v
Abstract
This thesis aims to understand the time dispersion in optical communication systems
and to find its solution.
We start by presenting a brief introduction regarding fiber characteristics; subsequently
we describe the dispersion and its constituents for a single-mode fiber.
We derive the pulse propagation equation, in the linear regime, and show the influence
and consequences of the dispersive effects, such as the group velocity dispersion and the
higher-order dispersion, in different pulses.
In order to avoid dispersive effects on the pulse transmission, in the linear regime, two
dispersion management schemes are presented: compensation scheme based in dispersion
compensating fibers (DCFs) and compensation dispersion based in fiber Bragg gratings
(FGBs). For the compensation by using DCFs, we simulate separately, for different types of
pulses, the GVD compensation and the higher-order dispersion. In the compensation based in
FBGs are described their theoretic concepts through the coupled-mode equations in optical
fiber. Throughout this dissertation is shown the flexibility of FBG, making it extremely useful in
the development of new applications for optical communications, underling applications for filter
and dispersion compensation.
Finally, the influence of the nonlinear effects in pulse propagation of optical fiber
systems is presented and analyzed. Under special circumstances it’s possible the propagation
of solitons. To conclude, we’ll discuss the most used and common dispersion management in
solitons systems, so that the jitter effect is minimised.
Keywords
Pulse Propagation in Optical Fibers, Dispersion-Compensation, Dispersion Compensating
Fibers (DCFs), Fiber Bragg Gratings (FBGs), Self-Phase Modulation (SMP), Solitons.
vii
Índice
Agradecimentos ............................................................................................................................ i
Resumo ....................................................................................................................................... iii
Abstract ........................................................................................................................................ v
Listas de Figuras ......................................................................................................................... ix
Lista de Tabelas ........................................................................................................................ xiii
Lista de Acrónimos ..................................................................................................................... xv
Lista de Símbolos ..................................................................................................................... xvii
Capítulo 1 - Introdução .................................................................................................................1
1.1. Enquadramento ............................................................................................................1
1.2. Objetivos .......................................................................................................................4
1.3. Estrutura da Dissertação ..............................................................................................4
1.4. Contribuições ................................................................................................................6
Capítulo 2 – Propagação de Impulsos em Regime Linear ...........................................................7
2.1. Introdução .....................................................................................................................7
2.2. Estrutura da Fibra Ótica................................................................................................7
2.3. Estudo da Dispersão de uma Fibra Monomodal .........................................................10
2.4. Equação de Propagação de Impulsos ........................................................................14
2.5. Evolução da Largura do Impulso Gaussiano ..............................................................21
2.6. Resultados Numéricos................................................................................................24
2.6.1. Impulso Exponencial ...........................................................................................24
2.6.2. Impulso Gaussiano .............................................................................................26
2.6.3. Impulso Super-Gaussiano ..................................................................................30
2.6.4. Impulso Secante Hiperbólica ..............................................................................34
2.7. Efeito da Dispersão de Ordem Superior .....................................................................35
2.7.1. Evolução do Impulso Gaussiano ........................................................................36
2.8. Conclusões .................................................................................................................40
Capítulo 3 – Compensação de Dispersão em Regime Linear ....................................................41
3.1. Introdução ..................................................................................................................41
3.2. Compensação de Dispersão Baseada em DCF .........................................................41
3.2.1. Compensação da DVG .......................................................................................42
3.2.1.1. Resultados Numéricos ................................................................................43
3.2.1.1.1. Impulso Exponencial ................................................................................43
viii
3.2.1.1.2. Impulso Gaussiano ..................................................................................44
3.2.1.1.3. Impulso Super-Gaussiano .......................................................................46
3.2.1.1.4. Impulso Secante Hiperbólica ...................................................................47
3.2.2. Compensação de Dispersão de Ordem Superior ...............................................48
3.2.2.1. Resultados numéricos ................................................................................49
3.2.2.1.1. Impulso Exponencial ................................................................................49
3.2.2.1.2. Impulso Gaussiano ..................................................................................50
3.2.2.1.3. Impulso Super-Gaussiano .......................................................................51
3.2.2.1.4. Impulso Secante Hiperbólica ...................................................................53
3.3. Compensação de Dispersão Baseada em Redes de Bragg .......................................54
3.3.1. Introdução ...........................................................................................................54
3.3.2. Princípio de Funcionamento das Redes de Bragg ..............................................54
3.3.3. Largura de Banda, Refletividade e Dispersão de uma FBG Uniforme ................56
3.3.4. Compensação de Dispersão Baseada em Redes Aperiódicas...........................61
3.4. Conclusões .................................................................................................................64
Capítulo 4 – Compensação de Dispersão em Regime Não-Linear ............................................67
4.1. Introdução ..................................................................................................................67
4.2. Efeito Não-Linear de Kerr numa Fibra Ótica ..............................................................67
4.3. Equação de Propagação de Impulsos em Regime Não-Linear ..................................71
4.4. Sistemas com Solitões ...............................................................................................74
4.4.1. Efeito de Raman .................................................................................................77
4.4.2. Gestão de Dispersão ..........................................................................................79
4.5. Impulso Gaussiano .....................................................................................................81
4.6. Conclusões .................................................................................................................82
Capítulo 5 – Conclusões ............................................................................................................85
5.1. Perspetivas para Trabalhos Futuros ...........................................................................88
Anexo A - Fórmula Geral do Alargamento dos Impulsos em Fibras Óticas ...............................89
A.1. Dedução da Equação Geral de Propagação de Impulsos em Fibra Ótica no Regime
Linear .....................................................................................................................................89
A.2. Alargamento de um Impulso Gaussiano com Efeitos Dispersivos de Ordem Superior
...............................................................................................................................................93
ix
Listas de Figuras
Figura 2.1 – Estrutura de uma fibra ótica (adaptado de [2]) ........................................................7
Figura 2.2 – Propagação de um raio numa fibra ótica (adaptado de [17]) ...................................8
Figura 2.3 – Variação do índice de refração e o índice de grupo em função do
comprimento de onda [2] ........................................................................................................11
Figura 2.4 – Dispersão total , dispersão de material e dispersão de guia de onda para
uma fibra ótica monomodal convencional, em função de ........................................................12
Figura 2.5 – Variação do parâmetro de dispersão total para uma fibra monomodal
convencional (SMF) e para uma fibra de dispersão modificada convencional (DSF), em função
de ..........................................................................................................................................13
Figura 2.6 – Evolução da largura do impulso Gaussiano com para parâmetro chirp
, e ................................................................................................................22
Figura 2.7 – Influência do parâmetro chirp no produto para coeficiente de alargamento
, e , com e ............................................................24
Figura 2.8 – Impulso exponencial à entrada e à saída da fibra (à esquerda); evolução do
impulso exponencial ao longo da fibra (à direita) .......................................................................25
Figura 2.9 – Evolução do espetro do impulso exponencial ao longo da fibra .............................25
Figura 2.10 – Impulso Gaussiano à entrada e à saída da fibra para parâmetro chirp (à
esquerda); evolução do impulso Gaussiano ao longo da fibra para (à direita) .................26
Figura 2.11 – Evolução do espetro do impulso Gaussiano para parâmetro chirp ao longo
da fibra .......................................................................................................................................27
Figura 2.12 – Impulso Gaussiano à entrada e à saída da fibra para parâmetro chirp (à
esquerda); evolução do impulso Gaussiano ao longo da fibra para (à direita) ................28
Figura 2.13 – Evolução do espetro do impulso Gaussiano para parâmetro chirp ao longo
da fibra .......................................................................................................................................28
Figura 2.14 – Impulso Gaussiano à entrada e à saída da fibra para parâmetro chirp (à
esquerda); evolução do impulso Gaussiano ao longo da fibra para (à direira) ..............29
Figura 2.15 – Evolução do espetro do impulso Gaussiano para parâmetro chirp ao
longo da fibra..............................................................................................................................29
Figura 2.16 – Impulso super-Gaussiano à entrada e à saída da fibra para parâmetro chirp
(à esquerda); evolução do impulso super-Gaussiano ao longo da fibra para ao longo da fibra
para (à direita) ..................................................................................................................30
Figura 2.17 – Evolução do espetro do impulso super-Gaussiano para parâmetro chirp ao
longo da fibra..............................................................................................................................31
x
Figura 2.18 – Impulso super-Gaussiano à entrada e à saída da fibra para parâmetro chirp
(à esquerda); evolução do impulso super-Gaussiano ao longo da fibra para ao longo da fibra
para (à direita) ..................................................................................................................32
Figura 2.19 – Evolução do espetro do impulso super-Gaussiano para parâmetro chirp ao
longo da fibra..............................................................................................................................32
Figura 2.20 – Impulso super-Gaussiano à entrada e à saída da fibra para parâmetro chirp
(à esquerda); evolução do impulso super-Gaussiano ao longo da fibra para ao longo
da fibra para (à direita) ..................................................................................................33
Figura 2.21 – Evolução do espetro do impulso super-Gaussiano para parâmetro chirp
ao longo da fibra.........................................................................................................................33
Figura 2.22 – Impulso secante hiperbólica à entrada e à saída da fibra para parâmetro chirp
(à esquerda); evolução do impulso secante hiperbólica ao longo da fibra para ao longo
da fibra para (à direita) .....................................................................................................34
Figura 2.23 – Evolução do espetro do impulso secante hiperbólica para parâmetro chirp
ao longo da fibra.........................................................................................................................35
Figura 2.24 – Impulso Gaussiano com largura em três locais da fibra: ,
e .................................................................................................................................37
Figura 2.25 – Impulso Gaussiano com largura em três locais da fibra: ,
e
........................................................................................................................37
Figura 2.26 – Impulso Gaussiano com largura em para três diferentes casos:
impulso inicial, e ................................................................................................38
Figura 2.27 – Evolução Impulso Gaussiano ao longo da fibra com largura para
parâmetro chirp e ..................................................................................................38
Figura 2.28 – Deterioração do impulso Gaussiano com largura , considerando ,
para valores do parâmetro chirp , e ...............................................................39
Figura 2.29 – Evolução do impulso Gaussiano ao longo da fibra com largura para
parâmetro chirp e ..................................................................................................39
Figura 3.1 – Impulso exponencial à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada a DCF e à
saída da DCF, para compensação da DVG ...............................................................................44
Figura 3.2 – Evolução do impulso exponencial ao longo da SMF (à esquerda); evolução do
impulso exponencial na DCF (à direira), para compensação da DVG .......................................44
Figura 3.3 – Impulso Gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à
saída da DCF para parâmetro chirp , para compensação da DVG ...................................45
Figura 3.4 – Evolução do impulso Gaussiano ao longo da SMF para (à esquerda);
evolução do impulso Gaussiano na DCF para (à direita), para compensação da DVG ...45
Figura 3.5 – Impulso super-Gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e
à saída da DCF para parâmetro chirp , para compensação da DVG ................................46
xi
Figura 3.6 – Evolução do impulso super-Gaussiano ao longo da SMF para (à esquerda);
evolução do impulso super-Gaussiano na DCF para (à direita), para compensação da
DVG ...........................................................................................................................................46
Figura 3.7 – Impulso secante hiperbólica à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF
e à saída da DCF para parâmetro chirp , para compensação da DVG .............................47
Figura 3.8 – Evolução do impulso secante hiperbólica ao longo da SMF para parâmetro chirp
(à esquerda); evolução do impulso secante hiperbólica na DCF para (à direita),
para compensação da DVG .......................................................................................................48
Figura 3.9 – Impulso exponencial à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à
saída da DCF, para compensação da dispersão de ordem superior .........................................49
Figura 3.10 – Evolução do impulso exponencial ao longo da SMF (à esquerda); evolução do
impulso exponencial na DCF (à direira) , para compensação da dispersão de ordem superior 50
Figura 3.11 – Impulso Gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à
saída da DCF para parâmetro chirp , para compensação da dispersão de ordem superior
...................................................................................................................................................51
Figura 3.12 – Evolução do impulso Gaussiano ao longo da SMF para (à esquerda);
evolução do impulso Gaussiano na DCF para (à direita), para compensação da dispersão
de ordem superior ......................................................................................................................51
Figura 3.13 – Impulso super-Gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF
e à saída da DCF para parâmetro chirp , para compensação da dispersão de ordem
superior ......................................................................................................................................52
Figura 3.14 – Evolução do impulso super-Gaussiano ao longo da SMF para (à esquerda);
evolução do impulso super-Gaussiano na DCF para (à direita), para compensação da
dispersão de ordem superior ......................................................................................................52
Figura 3.15 – Impulso secante hiperbólica à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da
DCF e à saída da DCF para parâmetro chirp , para compensação da dispersão de ordem
superior ......................................................................................................................................53
Figura 3.16 – Evolução do impulso secante hiperbólica ao longo da SMF para (à
esquerda); evolução do impulso secante hiperbólica o na DCF para (à direita), na
compensação da dispersão de ordem superior .........................................................................53
Figura 3.17 – Variação do parâmetro com .........................................................................57
Figura 3.18 – Espetros da refletividade em unidades lineares (à esquerda) e em (à direita)
em função de para e ..............................................................................58
Figura 3.19 – Dependência da refletividade máxima com o comprimento da FBG
uniforme, em , para valores de coeficiente de acoplamento , e
................................................................................................................................58
Figura 3.20 – Espetros da transmissividade em unidades lineares (à esquerda) e em (à
direita) em função de para e ..................................................................59
xii
Figura 3.21 – Variação da fase do coeficiente de reflexão em função de para e
.....................................................................................................................................60
Figura 3.22 – Atraso de grupo (à esquerda) e dispersão induzida (à direita) numa FBG
uniforme com e , para e ......................................60
Figura 3.23 – Largura de banda da banda proibida da FBG uniforme para ,
e , em função do comprimento da rede , em ......................61
Figura 3.24 – Compensação da dispersão utilizando uma CFBG: Perfil do período espacial ( )
ao longo do comprimento da CFBG (à esquerda); reflexão das baixas e altas frequências em
diferentes pontos da rede CFBG (à direita) (adaptado de [1])....................................................62
Figura 3.25 – Reflexão e atraso de grupo de uma CFBG de comprimento com
parâmetro de aperiodicidade total de , para DVG normal (obtido através do programa
OptiGrating 4) .............................................................................................................................62
Figura 4.1 – Evolução do solitão fundamental............................................................................76
Figura 4.2 – Evolução do solitão de terceira ordem ...................................................................76
Figura 4.3 – Evolução do solitão fundamental com coeficiente do efeito de Raman ...78
Figura 4.4 – Evolução do solitão de segunda ordem com coeficiente do efeito de Raman
......................................................................................................................................78
Figura 4.5 – Evolução do solitão fundamental para um sistema com gestão de dispersão .......80
Figura 4.6 – Mapa de dispersão, para e [6] .........................................................80
Figura 4.7 – Impulso Gaussiano à entrada e à saída da fibra em regime não-linear para
distâncias (à esquerda) e (à direita) ......................................................................81
Figura 4.8 – Evolução do impulso Gaussiano ao longo da fibra em regime não-linear para
distâncias (à esquerda) e (à direita) ......................................................................81
xiii
Lista de Tabelas
Tabela 2.1 – Características do impulso exponencial e do troço de fibra ótica ........................25
Tabela 2.2 – Características do impulso Gaussiano e do troço de fibra ótica ..........................26
Tabela 2.3 – Características do impulso super-Gaussiano e do troço de fibra ótica ................30
Tabela 2.4 – Características do impulso secante hiperbólica e do troço de fibra óptica ..........34
Tabela 3.1 – Características do impulso exponencial e dos troços de fibra e , para
compensação da DVG ..............................................................................................................43
Tabela 3.2 – Características do impulso Gaussiano e dos troços de fibra e , para
compensação da DVG ..............................................................................................................44
Tabela 3.3 – Características do impulso super-Gaussiano e dos troços de fibra e , para
compensação da DVG.. .............................................................................................................46
Tabela 3.4 – Características do impulso secante hiperbólica e dos troços de fibra e , para
compensação da DVG ..............................................................................................................47
Tabela 3.5 – Características do impulso exponencial e dos troços de fibra e , para
compensação da dispersão de ordem superior ........................................................................49
Tabela 3.6 – Características do impulso Gaussiano e dos troços de fibra e , para
compensação da dispersão de ordem superior ........................................................................50
Tabela 3.7 – Características do impulso super-Gaussiano e dos troços de fibra e , para
compensação da dispersão de ordem superior. ........................................................................55
Tabela 3.8 – Características do impulso secante hiperbólica e dos troços de fibra e , para
compensação da dispersão de ordem superior ........................................................................53
xv
Lista de Acrónimos
AMF Auto-modulação de fase (Self-phase modulation)
CFBG Chirped fiber Bragg grating
DCF Fibras de compensação de dispersão (Dispersion compensating fiber)
DSF Fibras de dispersão modificada (Dispersion shifted fibers)
DVG Dispersão de velocidade de grupo (Group velocity dispersion)
EDFA Erbium doped fiber amplifier
FBG Fiber Bragg grating
NLS Nonlinear Schrödinger equation
RZ Return to zero
SMF Fibra monomodal (Single-mode fiber)
SSFM Split-step Fourier method
WDM Wavelength division multiplexing
xvii
Lista de Símbolos
Coeficiente de atenuação de potência
Constante de propagação longitudinal
Constante de propagação longitudinal perturbada
Constante de propagação longitudinal à frequência angular da portadora
Inverso da velocidade de grupo
Coeficiente de dispersão da velocidade de grupo
Coeficiente de dispersão da velocidade de grupo de uma FBG
Dispersão da velocidade de grupo de uma fibra SMF
Dispersão da velocidade de grupo de uma DCF
Coeficiente de dispersão de ordem superior
Dispersão de ordem superior de uma fibra SMF
Dispersão de ordem superior de uma DCF
Constante de propagação longitudinal para o comprimento de onda de Bragg
Derivada da constante de propagação longitudinal em ordem a
Coeficiente não-linear
Fator de dessintonia do comprimento de onda de Bragg
Constante dielétrica
Constante dielétrica perturbada
Coordenada espacial de propagação normalizada
Período de solitão em unidades normalizadas
Coeficiente de alargamento
( ) Efeito chirp num impulso em regime linear
Ângulo de aceitação
Ângulo incidente na fibra ótica
Ângulo difratado na fibra ótica
( ) Derivada de em ordem a
Termo referente à dispersão de ordem superior
Coeficiente de acoplamento
Comprimento de onda
Comprimento de onda central da banda
Comprimento de onda de Bragg
Comprimento de onda para o qual a dispersão se anula
Velocidade de grupo
Frequência normalizada
( ) Coeficiente de dispersão normalizado
Largura RMS de um impulso em regime linear ao longo da fibra
Largura RMS de um impulso em regime linear à entrada da fibra
xviii
Coeficiente temporal normalizado
Largura mínima do impulso Gaussiano
Atraso de grupo
Largura temporal característica do impulso
Coeficiente normalizado referente ao efeito de Raman
Largura FWHM de um solitão
Ângulo crítico
Fase do coeficiente de reflexão de uma FBG
Fase não-linear
Fase não-linear no final da ligação
Frequência angular
Frequência angular da portadora
Desvio de frequência
Coeficiente de atenuação normalizado
Coeficiente de confinamento de uma rede de Bragg
Contraste dielétrico
Perturbação de
Perturbação de
Perturbação de
Largura espetral do impulso
Intervalos de comprimentos de onda emitidos pela fonte ótica
Largura de banda de uma CFBG
Alargamento temporal do impulso
Laplaciano
Período da FBG
Período da rede numa das extremidades da CFBG
Desvio de frequência angular em relação à portadora
Desvio de frequência introduzido pelo efeito de Raman
Raio do núcleo da fibra ótica
Envolvente do campo elétrico
Área efetiva
Função de Airy
Amplitude do impulso
Amplitude da onda Backward de uma FBG
Transformada de Fourier de
Derivada em ordem a de
Índice de refração modal normalizado
Variação longitudinal do campo elétrico
Transformada de Fourier de
xix
Velocidade da luz no vazio
Desvio dinâmico de frequência ou simplesmente chirp
Coeficiente de aperiodicidade de uma CFBG
Dispersão
Dispersão de um segmento de fibra SMF
Dispersão de um segmento de fibra DCF
Débito binário
Débito binário máximo que cumpre o critério de interferência inter-simbólica
Coeficiente de dispersão da CFBG
Dispersão material
Dispersão do guia de onda
Dispersão média
Vetor campo elétrico
Amplitude do campo elétrico
Transformada de Fourier de
Frequência
Função modal do campo elétrico
Constante de propagação transversal no núcleo
( ) Função de Heaviside
( ) Função de transferência da fibra ótica
Unidade imaginária
Intensidade ótica
Função de Bessel de 1ª espécie
Constante de propagação em espaço livre
Função de Bessel modificada de 2ª espécie
Comprimento de fibra ótica
Comprimento dispersivo associado à dispersão de velocidade de grupo
Comprimento dispersivo associado à dispersão de ordem superior
Comprimento efetivo
Comprimento de uma FBG
Comprimento não-linear
Comprimento de um segmento de fibra SMF
Comprimento de um segmento de fibra DCF
Ordem da difração de Bragg
Dispersão material
Índice de refração
Ordem de um solitão
Índice de modulação de profundidade
Índice de refração do meio exterior à fibra ótica
xx
Índice de refração do núcleo da fibra ótica
Índice de refração da bainha da fibra ótica
Coeficiente do índice não-linear
Número de amplificadores na ligação
Índice de grupo da bainha da fibra ótica
Índice de refração modal
Índice de grupo
Abertura numérica
Potência transportada na fibra
Potência de pico do impulso incidente
Potência máxima do impulso à entrada da fibra
Potência do solitão
Normalização da envolvente segundo perspectiva não-linear
Constante de propagação longitudinal das ondas que se propagam no
sentido positivo e no sentido contrapropagante Separação entre impulsos vizinhos em unidades normalizadas
Coordenada transversal em coordenadas cilíndricas
Parte linear da equação da propagação de impulsos em regime não-linear
Refletividade máxima de uma FBG
Coeficiente de reflexão de uma FBG
( ) Espetro de um impulso em regime linear
Declive da dispersão
Declive de dispersão para ( )
Derivada de ( ) em ordem a
Tempo
Coeficiente de transmissão de uma FBG
Coeficiente temporal normalizado
Período temporal atribuído a um bit
Desvio de frequência devido ao efeito de Raman
⟨ ⟩ Momento de ordem
Constante de propagação transversal no núcleo
( ) Amplitude normalizada de
Envolvente normalizada de
Frequência normalizada
Constante de atenuação da bainha
Admitância
Período de solitão
Coordenadas cartezianas
1
Capítulo 1 - Introdução
1.1. Enquadramento
Desde os primórdios da existência do homem, sempre existiu a necessidade de
estabelecimento de comunicação a longas distâncias. O crescente número de serviços de
telecomunicações disponíveis e a sua massificação têm exercido, nas últimas décadas, uma
enorme pressão no sentido de aumentar a capacidade das redes de telecomunicações [9].
Com a invenção do telégrafo por Samuel Morse, em 1838, surgiu uma nova época das
comunicações, a era das comunicações elétricas. Anos mais tarde, grande parte do espetro
eletromagnético era utilizado para transmissão de informação. Deste modo, a tendência nos
sistemas de comunicação elétrica de utilizar frequências cada vez mais altas, as quais
oferecem aumentos de largura de banda ou de capacidade de informação, levou ao
aparecimento de novas aplicações como o rádio, a televisão, o radar, os feixes Hertzianos e
mais recentemente os telemóveis [8]. Nos meados do século XX, deu-se o aparecimento do
cabo axial, aumentando-se a capacidade dos sistemas na ordem dos . Contudo, estes
cabos apresentavam grandes limitações, principalmente as perdas, tornando-se mais graves
para frequências acima de 10 [5].
Começaram a surgir múltiplos serviços que utilizavam portadora de frequência até
dezenas de , o que provocou a exaustão do espetro eletromagnético. Tal situação levou à
procura de outras regiões do espetro eletromagnético com boas características de transmissão
[8]. Em 1951, Narinder Kapany, em parceria com Harold Hopkins, criou as primeiras fibras de
vidro para guiar luz e imagens. Este inovador sistema de transmissão de luz e de imagens
baseava-se nos estudos de John Tyndall, que utilizou um recipiente cheio de água com um
orifício para comprovar que a luz se propagava ao longo do recipiente e saía com a água pelo
orifício.
Em 16 de Maio de 1960, Theodore Maiman realizou a primeira demonstração do
funcionamento de um LASER (light amplification by the stimulated emission of radiation),
revolucionando a indústria das telecomunicações, impulsionando as comunicações óticas [3]. O
espetro ótico apresenta boas características de transmissão, todavia, durante os anos 60, as
primeiras fibras óticas exibiam perdas superiores a 1000 , tornando a sua utilização
impraticável em telecomunicações. Em Julho de 1966, Charles Kao e George Hockham
publicaram uma proposta de sistemas de comunicação ótica baseados em fibras óticas com
perdas inferiores a 20 [3]. Só mais tarde, em 1970, Robert Manuer, Donald Keck e Peter
Schultz, ao serviço da Corning Glass Works, produziram uma fibra ótica monomodal com uma
atenuação de 16 no comprimento de onda de 633 [5].
2
A primeira geração comercializada, baseada em fibras óticas, em 1980, utilizava fibras
multimodais operando na primeira janela, compreendida entre 0.8 e 0.9 , com um débito
binário de 45 e distância entre repetidores limitada a 10 [3]. A primeira geração é
caracterizada pela utilização de um fotodíodo de silício na receção do sinal ótico desde o
emissor até ao recetor [9].
Em 1987, apareceu a segunda geração comercial, operando na segunda janela,
compreendida entre 1.26 e 1.36 , onde as perdas da fibra eram na ordem de 1 .
Com o surgimento de lasers semicondutores e da fibra monomodal, que eliminou o efeito da
dispersão intermodal pois permitiu a propagação de um único modo, conseguiu-se aumentar o
débito binário para 1.7 e repetidores espaçados de cerca de 50 . O primeiro cabo
submarino com fibra ótica surgiu em 1988, e utilizava fibra monomodal, lasers semicondutores
multimodais a operar na terceira janela, compreendida entre 1.5 e 1.6 , e com
repetidores espaçados de 70 . Este sistema permitia um ritmo binário de 0.28 Gb/s, sendo
designado por TAT-8 (Transatlatic Telecommunication Cable). Um ano mais tarde, foi instalado
o TPC-3 (Trans-Pacific Cable), sistema com características semelhantes ao TAT-8 [3].
Com o avanço da qualidade dos vidros e dos processos de fabrico das fibras óticas,
desde 1979, conseguiu-se atingir um mínimo absoluto de atenuação na terceira janela, cerca
de 0.2 em 1.55 . No entanto, continuavam a existir problemas relacionados com o
facto da dispersão típica nesta janela ser ainda considerável, cerca de 16 ( ) [7].
Surge, em 1990, a terceira geração comercial de sistemas de comunicação ótica (TAT-9, TPC-
4 e TAT-10/11) que recorre a fibras de dispersão modificada com lasers semicondutores
monomodais, operando na terceira janela, alcançando débitos binários até 10 . Contudo,
são utilizados regeneradores elétricos para aumentar a distância de transmissão dos sistemas
óticos, conseguindo-se espaçamentos típicos de 60-70 . Neste sistema com regeneradores
elétricos o sinal ótico é detetado e convertido num sinal elétrico, para de seguida fazer
regeneração da amplitude, regeneração da forma e regeneração temporal. Posteriormente, o
sinal é convertido para o domínio ótico. Esta é a maior limitação, tornando estes sistemas muito
complexos. O aparecimento dos amplificadores óticos, em que se destacam as fibras
amplificadores dopadas com érbio ou EDFAs (erbium-doped fiber amplifiers), permitiu
amplificar diretamente os sinais no domínio ótico sem necessidade de eletrónica adicional. Esta
inovação conferiu maior simplicidade e transparência aos sistemas de comunicação ótica,
provocando uma alteração radical. Os EDFAs, comercializados desde 1990, operam na terceira
janela, com uma largura de banda considerável e utilizam lasers semicondutores para o
bombeamento, permitindo aumentar o espaçamento entre amplificadores para 60-100 [3].
A quarta geração de sistemas de comunicação ótica, sendo a primeira geração
completamente fotónica, combina o uso de amplificadores óticos, para aumentar o
espaçamento entre amplificadores, e a utilização da técnica multiplexagem no comprimento de
onda ou WDM (wavelength-division multiplexing) para aumentar o débito binário. Em 1996,
3
entram em funcionamento os primeiros cabos submarinos desta geração, o TPC-5 e os TAT-
12/13, que operam em 1.55 , com espaçamento de apenas de 50 mas com débitos
binários de 5.3 . Mais tarde, em 2000, surge o TPC-6 oferecendo um ritmo binário de 100
[7].
Atualmente, os sistemas são ainda de quarta geração. Resolvidos os problemas das
perdas através da utilização das fibras amplificadoras, continuam a subsistir os problemas da
dispersão e dos efeitos não-lineares da fibra. Espera-se, com grande expectativa, a quinta
geração, existindo algumas abordagens possíveis que têm vindo a ser testadas com o objetivo
de resolver o problema da dispersão [3]:
O upgrading de sistemas previamente instalados, através de esquemas de
compensação de dispersão, como por exemplo a inclusão de troços de fibra com
dispersão negativa (DCF – Dispersion Compensating Fiber) ou de redes de Bragg
(FBG – Fiber Bragg Gratings);
Alteração do modo de projetar sistemas lineares convencionais com recurso a
gestão de dispersão;
Novos sistemas com solitões (ou sistemas RZ não-lineares), que tiram partido da
não linearidade da fibra ótica, revolucionando a forma de projetar sistemas de
comunicação ótica.
Para sistemas de comunicação ótica de longas distâncias e elevados ritmos de
transmissão os efeitos não-lineares podem assumir um papel importante na degradação do
desempenho dos sistemas. O sistema em solitões permite compensar simultaneamente os
efeitos não-lineares e a dispersão. Esta manifestação foi observada pela primeira vez em 1834
por John Scott Russel e verificou que uma onda de um canal continuou o seu movimento ao
longo do canal sem qualquer alteração de forma ou diminuição da velocidade [6-9]. Em 1895,
Kortweg e de Vries obtiveram uma equação que descrevia este fenómeno, sendo esta onda
solução de uma equação diferencial não-linear conhecida como . Só em 1973, é que o
solitão foi introduzido como onda eletromagnética capaz de se propagar numa fibra ótica de
acordo com a equação não-linear de Schrödinger, em que a envolvente do campo elétrico tem
a forma secante hiperbólica [6-9]. Atualmente, já foram obtidos resultados em sistemas com
solitões, com ritmos de transmissão elevados na ordem dos . Estes sistemas
conjuntamente com a técnica WDM apresentam grandes potencialidades, sendo os principais
candidatos a serem comercializados num futuro próximo. No entanto, a propagação dos
solitões não é imune às perdas nas fibras, existindo, atualmente, diversas investigações nesta
área da propagação com o intuito de minimizar o jitter nos sistemas [9].
Na sociedade contemporânea, o desejo constante de nos mantermos informados e em
comunicação uns com os outros exige sistemas de comunicação que assegurem estas
necessidades de forma eficiente e segura. Os sistemas de comunicação ótica aparecem então
como a grande vanguarda das telecomunicações, cobrindo essas necessidades da sociedade,
4
com elevados ritmos de transmissão. Existe, contudo, um atraso da fotónica na substituição
eficaz da eletrónica, constituindo um dos grandes obstáculos às redes de distribuição FTTH
(fiber to the home). Deste modo, a comutação fotónica deverá constituir a próxima revolução
tecnológica para ser possível conceber redes digitais completamente fotónicas [3].
1.2. Objetivos
Neste trabalho é abordada a influência dos efeitos dispersivos e não-lineares na
propagação de impulsos, em regime linear e não-linear, em sistemas de fibra ótica. São
estudados vários dispositivos e técnicas de compensação de dispersão utilizados nos sistemas
de comunicação ótica atuais, para resolver os problemas que surgem na propagação de
impulsos.
Com o intuito de analisar a dispersão temporal em sistemas de fibra ótica, começamos
por descrever a estrutura da fibra ótica, para de seguida caraterizar a dispersão total em termos
da dispersão de material e da dispersão de guia de onda, verificando a influência dos vários
parâmetros caraterísticos da fibra ótica na dispersão. Pretende-se determinar a equação para a
propagação de impulsos em fibras óticas em regime linear e de seguida, com base nessa
equação, efetuar várias simulações para diferentes impulsos de entrada para observar os
principais problemas inerentes à propagação de impulsos.
Em seguida, conhecidos os efeitos da dispersão, estudamos dois mecanismos para
compensar estes efeitos, em regime linear: compensação de dispersão baseada em DCFs e
em FBGs. Descrevemos e analisamos o funcionamento de cada esquema de compensação,
salientando as potencialidades da cada dispositivo.
No último capítulo, descrevemos a influência dos efeitos não-lineares na propagação
de impulsos e estudamos um caso particular que ocorre no regime não-linear de modo a
investigar a sua capacidade de resposta para o problema da dispersão.
1.3. Estrutura da Dissertação
Com vista a alcançar os objetivos que indicámos anteriormente, a presente dissertação
encontra-se estruturada da seguinte forma:
Capítulo 1 – Neste capítulo, procedemos à apresentação sucinta do desenvolvimento
das comunicações. São explicitados os principais objetivos da dissertação, a sua estrutura e as
principais contribuições.
Capítulo 2 – No segundo capítulo, começamos por descrever, brevemente, a estrutura
das fibras óticas e caracterizamos a propagação em fibras óticas, inicialmente numa perspetiva
5
da teoria ótica geométrica, sendo mais tarde numa perspetiva com base na teoria de
propagação de ondas eletromagnéticas. Introduzem-se os mecanismos de dispersão presentes
na fibra ótica, caracterizando a dispersão e os seus componentes numa fibra monomodal. É
obtida a equação que descreve o comportamento dos impulsos que se propagam ao longo de
uma fibra ótica monomodal, em regime linear. São analisados os efeitos produzidos pela DVG,
nomeadamente as consequências na largura temporal e na amplitude do impulso.
Contabilizamos esse alargamento para um impulso Gaussiano, bem como a influência no
produto . Através da equação de propagação de impulsos, em regime linear, realizam-se
diversas simulações para diferentes impulsos, efetuando a posteriori uma análise dessas
mesmas simulações. Por fim, examinamos a consequência dos efeitos da dispersão de ordem
superior na propagação de impulsos Gaussiano numa fibra ótica.
Capítulo 3 – Para minimizar os efeitos introduzidos pela dispersão, em regime linear,
apresentamos dois esquemas de gestão de dispersão: a técnica baseada em DCFs e a técnica
baseada em redes de Bragg, descrevendo as grandes potencialidades destes dois dispositivos
em sistemas de comunicação ótica. Na compensação de dispersão baseada em DCFs,
estudamos a evolução de vários impulsos após a utilização da DCF. Na compensação de
dispersão baseada em FBGs, descrevemos a teoria das redes, demonstrando as principais
características da FBG, nomeadamente a existência de uma banda proibida. Estudamos o
coeficiente de refletividade, transmissividade, dispersão e largura de banda das FBGs
uniformes. Por fim, analisamos a aplicação deste dispositivo para compensação da DVG,
definindo as principais características.
Capítulo 4 – Este capítulo baseia-se no estudo de impulsos do tipo solitão em fibras
óticas. Começamos por estudar os efeitos não-lineares, analisando as propriedades não-
lineares, nomeadamente os efeitos não-lineares de Kerr. Deduzimos a expressão da
propagação dos impulsos numa fibra ótica, em regime não-linerar, e efetuamos uma
caracterização com base nessa mesma expressão. Verifica-se que na presença de
circunstâncias especiais é exequível a propagação de solitões. Abordamos as principais
propriedades dos solitões óticos, destacando em especial a manutenção da sua forma na
ausência de perdas. Na presença de perdas, examinamos o efeito de dispersão de ordem
superior mais significativo, o efeito de Raman, apresentando posteriormente um esquema de
gestão de dispersão para minimizar o jitter causado por este efeito de ordem superior. Para
finalizar, analisamos a propagação do impulso Gaussiano no regime não-linear.
Capítulo 5 – Neste último capítulo, são expostas as considerações finais sobre o
trabalho desenvolvido nesta dissertação e é indicado um conjunto de ideias para explorar em
futuros trabalhos.
Anexo A – Neste anexo é apresentada a dedução da fórmula geral da propagação dos
impulsos em sistemas com fibras óticas, em regime linear. Sendo depois esta fórmula aplicada
a um impulso Gaussiano.
6
1.4. Contribuições
As principais contribuições do trabalho desenvolvido nesta dissertação, na área das
comunicações óticas, são as seguintes:
Análise da propagação de impulsos em regime linear: estudo do impacto da
dispersão de ordem superior na propagação de impulsos em sistemas de fibra
ótica;
Compensação de dispersão em regime linear: análise de técnicas de compensação
de dispersão em regime linear, recorrendo ao auxílio de DCFs e de FBGs;
Compensação de dispersão em regime não-linear: estudo sobre o esquema de
gestão de dispersão para sistema em solitões.
7
Capítulo 2 – Propagação de Impulsos em Regime Linear
2.1. Introdução
Um dos principais fenómenos que limita os sistemas de comunicação ótica é a
dispersão temporal. O primeiro passo deste trabalho é compreender e quantificar este
fenómeno, que ocorre em sistemas de fibra ótica, para que seja depois possível reduzir o seu
efeito.
2.2. Estrutura da Fibra Ótica
Uma fibra ótica é um guia de ondas dielétrico de forma cilíndrica, constituído por dois
materiais dielétricos transparentes, feitos normalmente em vidro e/ou plástico, em que cada um
tem índice de refração diferente [8]. Como ilustra a figura 2.1, os dois materiais são
organizados de forma concêntrica, existindo uma região central denominada por núcleo, por
onde passa a luz, e em sua volta existe a bainha, sendo o índice de refração do núcleo
superior ao índice de refração da bainha , possibilitando a propagação da luz na fibra [8].
Para maior proteção da fibra esta é revestida por um material plástico, para proteger de
eventuais danos.
Figura 2.1 – Estrutura de uma fibra ótica (adaptado de [2]).
As fibras óticas permitem a transmissão de sinais, com baixas perdas, que pode ser
explicada com base na teoria ótica geométrica, sendo esta descrição válida quando o raio do
núcleo é muito maior que o comprimento de onda de luz, situação frequente nas fibras
multimodo. Nesta teoria ótica geométrica, a luz pode ser considerada como raios que são
refletidos e refratados na fronteira de separação entre o núcleo e a bainha. Os raios que
incidem na fronteira de separação núcleo-bainha da fibra ótica sofrem o fenómeno de reflexão
interna total quando os ângulos que intersetam a interface núcleo-bainha, medidos
relativamente à perpendicular, são superiores ao ângulo crítico ( ) ficando os
raios confinados ao núcleo da fibra. As sucessivas reflexões são asseguradas devido à
diferença de índices de refração, com , fazendo com que os ângulos dos raios, que
8
incidem nessa interface, sejam superiores ao ângulo crítico, permitindo a propagação dos raios
na fibra. Os restantes raios, com ângulos inferiores ao ângulo crítico, refratam-se para a bainha
sendo absorvidos por esta e naturalmente perdidos. Por sua vez, a existência do ângulo crítico
conduz à existência de um ângulo máximo possível para o qual o raio incidente na entrada da
fibra ótica seja transmitido por esta. Este ângulo é habitualmente designado por ângulo de
aceitação, , e define um cone de aceitação de luz à entrada da fibra ótica [8], para o qual
somente os raios de luz que incidem na interface ar-núcleo com um ângulo pertencente a esse
cone de aceitação sofrerão reflexão interna total na interface núcleo-bainha, ver figura 2.2. Este
ângulo de aceitação pode relacionar-se com a abertura numérica ( ), que calcula a
capacidade da fibra ótica para captar luz, através da seguinte expressão [8]
( ) ( ) √
(2.1)
em que é o índice de refração do meio exterior à fibra, geralmente o ar. Usualmente, como a
diferença entre os índices de refração do núcleo, , e da bainha, , é muito pequena, a
abertura numérica pode ser aproximada, se , por
√ (2.2)
onde representa o contraste dielétrico, dado por
(2.3)
Figura 2.2 – Propagação de um raio numa fibra ótica (adaptado de [17]).
Verificamos que quanto mais elevado for o valor de mais fácil será o acoplamento
entre a fonte ótica e a fibra. Contudo, nas fibras óticas com valor elevado de maior será o
valor da dispersão intermodal, dando origem à distorção do sinal transmitido e conduzindo a
uma redução da largura de banda na fibra ótica.
Porém, a teoria ótica geométrica não descreve com exatidão a propagação da potência
ótica ao longo da fibra, perdendo a sua validade quando o raio do núcleo da fibra ótica
apresenta dimensões comparáveis ao comprimento de onda do sinal, como acontece para as
fibras monomodais. É necessário recorrer à teoria de propagação de ondas eletromagnéticas
9
de modo a descrever rigorosamente a propagação da luz numa fibra ótica [7]. De acordo com
esta teoria, a propagação da luz ao longo de um guia é descrita em termos de um conjunto de
ondas eletromagnéticas guiadas, denominadas de modos [10]. Os tipos de modos que se
propagam numa fibra ótica são determinados a partir das equações de Maxwell, sendo a
dedução dos modos de propagação dependente das características da fibra ótica. Do
desenvolvimento descrito na referência [3] verificamos que cada modo de propagação é
caracterizado por uma configuração de campo elétrico e magnético que se repete ao longo do
guia, e que geralmente uma fibra ótica suporta modos híbridos ( ou ), mas num caso
particular, quando não há variação azimutal, os modos híbridos degeneram nos modos
transversais elétricos ( ) ou nos modos transversais magnéticos ( ). Existem infinitos
modos guiados, que são excitados a partir de diferentes frequências de corte, havendo apenas
um único modo que admite uma frequência normalizada de corte nula, designado por modo
fundamental . Para qualificar o comportamento das fibras óticas quanto ao número de
modos, é importante definir a frequência normalizada [10]:
√
(
) √ (2.4)
onde é o comprimento de onda de trabalho.
Uma fibra que suporta vários modos é designada por fibra multimodal, enquanto uma
fibra que suporta um único modo designa-se por fibra monomodal. Para fibras óticas de
pequeno contraste dielétrico, os modos que se propagam são aproximadamente linearmente
polarizados, dando origem aos modos [3]. A fibra multimodal tem menores perdas de
acoplamento que a fibra monomodal, uma vez que o seu núcleo é bem mais largo, contudo,
como suporta diversos modos e estes têm diferentes tempos de propagação tais diferenças
dão origem a dispersão intermodal. Este fenómeno contribui para uma distorção do sinal e uma
redução substancial da largura de banda na fibra, não sendo admissível nas telecomunicações
atuais. Por esta razão o regime multimodal é abandonado. A fibra monomodal, como suporta
um único modo, não apresenta dispersão intermodal, sendo desta forma muito aliciante a sua
utilização. Assim, para projetar uma fibra que funcione em regime monomodal, para o
comprimento de onda de trabalho, os modos de ordem superior devem estar abaixo do corte,
conduzindo a um valor para o raio do núcleo de tal forma a que frequência normalizada seja
, valor que corresponde à frequência normalizada que o modo seguinte ao modo
fundamental é excitado [10]. Resolvendo a equação (2.4) o valor máximo do raio do núcleo é
expresso do seguinte modo:
√ (2.5)
Porém, a fibra monomodal apresenta também limitações como a atenuação, a dispersão
intramodal e os efeitos não-lineares da fibra ótica. A atenuação leva à diminuição da potência
do sinal à medida que este se propaga ao longo da fibra, dependendo do comprimento de onda
10
do sinal injetado na fibra. Com o aparecimento dos amplificadores óticos, a atenuação deixou
de constituir o maior problema dos sistemas de comunicação em fibra ótica. As principais
limitações residem, assim, na dispersão intramodal e nos efeitos não-lineares da fibra ótica,
nos quais, ao longo deste trabalho, nos iremos focalizar.
2.3. Estudo da Dispersão de uma Fibra Monomodal
Um dos principais fatores que caracteriza o desempenho da transmissão por fibra ótica
é a dispersão. A dispersão é responsável pelo alargamento dos sinais óticos que são
transmitidos através da fibra ótica, e se os sinais viajarem uma grande distância é possível que
exista interferência entre os diversos sinais, tornando a perceção dos sinais recebidos mais
difícil, o que conduz a perdas de informação. A este fenómeno é comum designar-se por
interferência inter-simbólica. Em regime monomodal elimina-se a principal causa de dispersão
em fibras óticas, a dispersão intermodal. Contudo, continua a subsistir uma fonte de dispersão
intitulada dispersão cromática, intramodal ou usualmente dispersão de velocidade de grupo
(DVG). Apesar de mais fraca que a dispersão intermodal, a DVG continua a causar grandes
problemas nos sistemas de comunicação ótica. Esta dispersão resulta do facto dos diferentes
componentes espetrais do sinal, que são transmitidos na fibra ótica, se propagarem com
velocidades de grupo diferentes devido à variação do índice de refração do núcleo e da bainha
com a frequência [10].
Considere-se uma fibra ótica monomodal de comprimento , com índice de refração
dado por
{
(2.6)
sendo o raio do núcleo.
Uma específica componente espetral de frequência angular demora a chegar à
extremidade da fibra ótica , onde é a velocidade de grupo. Cada componente é
submetida a um atraso temporal, denominado por atraso de grupo, que por unidade de
comprimento é dado por
( )
(2.7)
em que é a constante de propagação. Nas fibras óticas monomodais confirmou-se que, para
além da potência ótica do sinal ser transmitida pelo núcleo, existe uma fração da potência que
também é transmitida na bainha. Isto afeta o valor da constante da propagação, que pode
variar no intervalo , sendo a constante de propagação no vazio. É possível
definir o índice de refração modal , o qual se infere que é limitado pelos índices de refração do
11
núcleo e da bainha, isto é [5]. Deste modo, a constante de propagação pode ser
escrita por
(2.8)
Aplicando a equação (2.8) na equação (2.7) demonstramos que
(2.9)
onde é o índice de grupo dado por
(2.10)
com , índice de refração efetivo,
( ) (2.11)
em que representa o índice de refração normalizado.
Figura 2.3 – Variação do índice de refração e do índice de grupo em função do comprimento
de onda [2].
A DVG é usualmente quantificada pela taxa de variação do atraso de grupo com o
comprimento de onda por unidade de comprimento,
(
)
(
)
(2.12)
onde o parâmetro é responsável pelo alargamento dos impulsos, designado por coeficiente
da DVG, dado por . Podemos considerar que o parâmetro de dispersão resulta
da soma de dois tipos de dispersão: a dispersão material , e a dispersão de guia de onda
.
12
(2.13)
A dispersão de material resulta da variação do índice de refração com o comprimento
de onda, enquanto a dispersão de guia de onda resulta da energia se propagar pela bainha em
vez de se limitar ao núcleo, dependendo de parâmetros característicos da fibra como o
contraste dielétrico e a variação da frequência normalizada com o comprimento de onda. Estes
termos são dados por [3]
(2.14)
( )
[
( )
] (2.15)
onde representa o índice de grupo da bainha dado por .
Figura 2.4 – Dispersão total , dispersão de material e dispersão de guia de onda para uma
fibra ótica monomodal convencional, em função de .
É importante notar que para uma fibra ótica monomodal convencional, o parâmetro de
dispersão total anula-se para um comprimento de onda próximo de 1.31 , o qual é chamado
de comprimento de onda de dispersão nula . Quando a dispersão total é negativa as
componentes de baixas frequências do impulso deslocam-se a uma maior velocidade,
enquanto no caso em que a dispersão total é positiva as componentes de baixas frequências
do impulso são mais lentas que as frequências altas. É possível, deste modo, através do
controlo das características da fibra ótica, minimizarmos os efeitos da dispersão, efetuando um
planeamento rigoroso com o intuito de a dispersão de guia e a dispersão de material se
anularem, obtendo-se dispersão total nula. É usual, alterando o perfil do índice de refração e
diminuindo as dimensões do núcleo, fabricar fibras com dispersão total nula para ,
denominadas fibras de dispersão modificada convencional (DSF) [10]. Estas fibras são
concebidas para operarem na terceira janela, sendo vantajosa a sua aplicação pois atuam na
banda onde a atenuação da fibra é mínima e permite tirar partido da utilização dos
1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600-30
-20
-10
0
10
20
30
[nm]
D [
ps/(
km
.nm
)
D
DM
DW
13
amplificadores óticos EDFA. Outro tipo de fibra utilizada em sistemas com compensação de
dispersão é a chamada fibra de compensação de dispersão (DCF), realizada para, como diz o
nome, compensar a dispersão acumulada na fibra ótica. Caracteriza-se por ter um coeficiente
de dispersão muito elevado e de sinal contrário ao de uma fibra ótica monomodal convencional.
Figura 2.5 – Variação do parâmetro de dispersão total para uma fibra monomodal convencional
(SMF) e para uma fibra de dispersão modificada convencional (DSF), em função de .
É possível, por uma abordagem empírica, obter a dispersão total em função do
comprimento de onda, dado por [3]
( )
[ (
)
] (2.16)
em que designa o declive da dispersão na posição onde ocorre o nulo da DVG.
A dependência da frequência com a velocidade de grupo leva a alteração da largura
dos impulsos, esse alargamento temporal do pulso é o seguinte [1]
(
)
(2.17)
Esta equação, fazendo e ( ) , pode ser reescrita na forma
(2.18)
onde representa o parâmetro de dispersão, em unidades ( ).
Pretende-se que os sistemas de comunicação ótica sejam capazes de transportar
informação a longas distâncias e com ritmos muito elevados. Verificou-se que ambos são
limitados pela dispersão, não se conseguindo atingir larguras de banda e comprimentos de
ligação simultaneamente elevados. É possível estimar o efeito da dispersão no débito binário.
1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700-30
-20
-10
0
10
20
30
[nm]
D [
ps/(
km
.nm
)
SMF convencinal
DSF convencional
14
Sendo o débito binário dado por , a condição deve ser satisfeita. Aplicando
a equação (2.12) obtém-se [1]
| | (2.19)
Apesar do efeito da DVG ser predominante, quando a portadora se encontra na
vizinhança do comprimento de onda de dispersão nula, , onde se observa , ou
quando o sinal tem uma largura temporal muito pequena, é preciso considerar os termos
dispersivos de ordem superior. A dispersão de ordem superior é determinada pelo declive de
dispersão
(2.20)
Aplicando a equação (2.12) e (2.16) na expressão (2.20), vem [3]
(
)
[ (
)
] (2.21)
sendo designado por coeficiente da dispersão de ordem superior. Este parâmetro,
nas aplicações em sistemas WDM, é desejável que tenha um valor pequeno, de modo a reduzir
a variação da dispersão acumulada entre diferentes comprimentos de onda.
2.4. Equação de Propagação de Impulsos
Nesta secção pretendemos fazer o estudo analítico do alargamento dos impulsos que
se propagam numa fibra ótica monomodal, em regime linear. Desprezando o efeito de Kerr, ou
seja assumindo que não existe alteração no índice de refração, e considerando que ( ) é a
envolvente dum impulso que se propaga na fibra ótica, podemos representar a evolvente do
impulso à entrada da fibra ótica, isto é em , por ( ). Admitindo que este impulso
modula uma portadora de frequência angular , e que está associado a um campo elétrico
polarizado linearmente segundo , sendo a sua equação dada por
( ) ( ) (2.22)
Esta expressão pode ser reescrita por
( ) ( ) ( ) (2.23)
A equação geral do campo elétrico, para qualquer , é dada por
( ) ( ) ( ) (2.24)
15
onde designa a amplitude do campo elétrico, ( ) representa a variação transversal do
modo fundamental , e ( ) a variação longitudinal do campo elétrico ao longo da fibra
ótica. É possível fazer esta aproximação aos modos , visto que na análise realizada
consideramos que estamos na presença de um fibra monomodal com pequeno contraste
dielétrico, isto é [3]. Admitindo que representa a coordenada transversal, em
coordenadas cilíndricas, , tem-se
( ) {
(
)
( )
( ) (
)
(2.25)
onde o raio do núcleo da fibra ótica é retratado por , representa a constante de propagação
transversal no núcleo, a constante de atenuação na bainha, a função de Bessel de
primeira espécie de ordem zero e a função de Bessel modificada de primeira espécie de
ordem zero. Tem-se ( ) e ( ) ( ) sendo a amplitude do campo elétrico para
. Podemos normalizar e tal que
(2.26)
sendo a frequência normalizada, que é dada por
√
(2.27)
em que representa a constante de propagação no vácuo, o índice de refração do
núcleo e o índice de refração da bainha.
Definindo ( ) como
( ) ( ) (2.28)
em que corresponde à constate de propagação. Para obtém-se
( ) ( ) (2.29)
Estamos, assim, em condições de obter a expressão do campo elétrico para , em
função do campo eléctrico para . Para determinarmos o campo em qualquer ponto,
começamos por introduzir as transformadas de Fourier do campo em . Podemos, assim,
definir
( ) ∫ ( )
(2.30)
( ) ∫ ( )
(2.31)
16
sendo as suas transformadas inversas
( )
∫ ( )
(2.32)
( )
∫ ( )
(2.33)
Da expressão (2.22), podemos então deduzir a expressão do campo elétrico, no
domínio da frequência
( ) ( ) ( ) (2.34)
em que
( ) ( ) (2.35)
Admitindo que a fibra ótica é descrita, no domínio da frequência, por uma função de
transferência ( ) ( ) , temos
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2.36)
sendo a sua transformada inversa dada por
( )
∫ ( )
( )
(2.37)
em que ( ) é a constante de propagação longitudinal do modo fundamental.
Verificamos que podemos determinar a expressão geral da propagação do impulso ao
longo da fibra ótica em função do impulso inicial através das características da fibra, tais como
a atenuação e a constante de fase. É necessário, então, calcular a transformada de Fourier do
impulso inicial, empregando a constante de fase para esse impulso e, de seguida, determinar a
transformada inversa da expressão obtida. Introduzindo o desvio de frequência em relação à
portadora , da expressão (2.37) obtém-se
( )
∫ ( ) ( )
(2.38)
De forma a simplificar o cálculo do integral da expressão, aplica-se o desenvolvimento
em série de Taylor para ( )
( ) ( ) (2.39)
onde
17
( ) ∑
(2.40)
( ) (2.41)
Os coeficientes são dados por
|
(2.42)
Pode-se assim reescrever (2.37) por
( ) ( ) (2.43)
sendo
( )
∫ ( ) ( )
(2.44)
De forma a deduzir a equação diferencial da envolvente, é necessário calcular
e
( )
∑
( )
(2.45)
Definindo ( ) como
( )
∫ (
) ( ) (2.46)
onde
( ) ( ) (2.47)
Desenvolvendo a equação (2.45) tem-se
( )
( )
( )
( ) (2.48)
Os coeficientes , e são descritos por
( ) (2.49)
( )
|
(2.50)
18
|
|
(2.51)
com
(
)
(2.52)
onde corresponde ao inverso da velocidade de grupo o termo designa-se por
coeficiente da dispersão da velocidade de grupo e a chama-se coeficiente da dispersão de
ordem superior.
A primeira, segunda e terceira derivadas de em ordem ao tempo são dadas,
respetivamente, por
( )
∫ ( ) ( ) ( )
(2.53)
( )
∫ ( ) ( ) ( )
(2.54)
( )
∫ ( ) ( ) ( )
(2.55)
De modo geral, pode-se escrever, para ,
( )
( ) ( ) (2.56)
ou seja
( ) ( )
(2.57)
De modo a simplificar a resolução da equação (2.48), desprezamos os termos
superiores aos de terceira ordem, pois os impulsos introduzidos são de banda estreita.
Observa-se, pela equação (2.29), que a função ( ) tem uma variação mais rápida no tempo
que ( ), tendo-se | | [3]. Se substituirmos estes resultados na expressão (2.40) e
(2.48), obtemos, respetivamente
( )
(2.58)
( )
( )
( )
( ) (2.59)
Substituindo ( ) pela expressão obtida em (2.57) e considerando o termo da
atenuação de potência , obtém-se
19
(2.60)
Para simplificar, consideramos 0. Deste modo, a expressão (2.60) pode ser
reescrita da seguinte maneira
(2.61)
Através dessa equação diferencial linear, é possível calcular ( ) a partir de ( ).
Para uma situação em que se despreza a atenuação, a solução linear da equação anterior é
dada pela seguinte expressão
( )
∫ ( ) [
]
(2.62)
Podemos reescrever a equação diferencial (2.61) em função de variáveis normalizadas
adimensionais, tanto para o espaço como para o tempo, definidas por
(2.63)
(2.64)
onde é uma variável normalizada do espaço, é uma variável normalizada do tempo, é
uma medida da largura do impulso e é o comprimento de dispersão que define-se por
| | (2.65)
sendo | |, como anteriormente referido, o termo de segunda ordem da dispersão, em valor
absoluto. Podemos, assim, expressar a equação de e através das variáveis
normalizadas definidas anteriormente, resultando nas seguintes equações
{
(2.66)
{
(2.67)
Substituindo estes resultados na equação (2.61) obtemos a seguinte expressão
20
( )
(2.68)
em que
( )
| | (2.69)
| | (2.70)
onde é denominado por coeficiente de dispersão de ordem superior, que depende da relação
entre e bem como de . Quanto a ( ) pode ter dois valores, sendo igual a 1 para
, zona normal, e igual a -1 para , zona anómala.
Introduzimos a variável , denominada por frequência normalizada, tal que
( ) (2.71)
obtemos
( ) ∫ ( )
(2.72)
com
( )
∫ ( )
(2.73)
Aplicando a transformada de Fourier à equação (2.72) tem-se
( )
( ) ( ) ( ) (2.74)
cuja solução pode ser escrita por
( ) ( ) [ ( ) ]
(2.75)
Obtida a expressão (2.75) é fácil de determinar o valor espetral do impulso, em
qualquer ponto , através do impulso inicial, efetuando os passos listados de seguida [3]:
1) Calcular a transformada de Fourier do impulso inicial, ( ) ( ) ,
2) Calcular ( ) através da expressão (2.75),
3) Calcular a transformada de Fourier inversa da expressão obtida no passo dois,
( ) [ ( )],
4) Calculado ( ), obtemos ( ) através da relação entre estas descritas na
equações (2.63) e (2.64).
21
2.5. Evolução da Largura do Impulso Gaussiano
Devido ao efeito da dispersão, os impulsos que foram injetados inicialmente na fibra
ótica vão sofrer um alargamento. Neste tópico, com base na dedução da equação geral para o
alargamento de impulsos em regime linear descrito no anexo A, vamos estudar a evolução da
largura do impulso Gaussiano.
Pela dedução realizada no anexo A, o coeficiente de alargamento do impulso
Gaussiano, desprezando a largura espetral da fonte ( ) é dado por
√(
)
(
)
( ) (
√ )
(2.76)
onde corresponde ao comprimento da ligação, é o parâmetro chirp do impulso e a
largura RMS inicial do impulso Gaussiano. Quando se despreza o efeito da dispersão de ordem
superior, , a equação (2.76) pode ser reescrita da seguinte forma
√(
)
(
)
(2.77)
Considerando as variáveis normalizadas adimensionais
(2.78)
(2.79)
sendo o coeficiente de alargamento e é a variável normalizada do espaço. Sabendo-se que
| | (2.80)
√ (2.81)
onde é uma medida da largura do impulso. Obtém-se para coeficiente a seguinte
expressão
√( ( ) ) (2.82)
Ilustramos, na figura 2.6, a evolução da largura dos impulsos Gaussianos na zona de
dispersão anómala, isto é , para três diferentes valores do parâmetro chirp: ,
e . Observamos que existe, para qualquer parâmetro chirp , alargamento do
impulso, devido ao efeito da DVG, sendo que para o alargamento é mais abrupto do
que nos outros casos, uma vez que se soma o efeito do parâmetro chirp ao efeito da DVG.
22
Para verificamos inicialmente uma contração do impulso, isto devido ao parâmetro chirp
ter um efeito contrário da DVG, até ao ponto
| |
(2.83)
atingindo uma largura mínima dada por
√ (2.84)
Figura 2.6 – Evolução da largura do impulso Gaussiano com para parâmetro chirp =-2, =0
e =2.
De seguida, o impulso alarga, como ocorre para os outros casos, pois o efeito da DVG
é predominante, sendo esse aumento afetado por uma variação igual ao caso em que .
Assim, para comprimentos muito elevados, o alargamento do impulso que inicialmente sofreu
compressão é superior ao alargamento que teria um impulso nas mesmas condições mas sem
chirp, como se pode verificar pela figura 2.6. Existem técnicas de compensação de dispersão
que se baseiam neste fenómeno de compressão, mas como anteriormente foi indicado, está
limitada a comprimentos de troços sem regeneração inferiores ao comprimento de dispersão
[5].
Quantificado o alargamento do impulso Gaussiano é importante determinar a influência
que este vai ter no débito binário de transmissão. Considerando o período atribuído a um bit
slot, assim o débito binário é dado por . De forma a evitar interferência inter-simbólica
é usada a seguinte regra prática
(2.85)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
1
2
3
4
5
6
= z / LD
C = - 2
C = 0
C = 2
23
Desprezando a dispersão de ordem superior , visto que na 3ª janela os efeitos da
DVG prevalecem, e considerando a largura espetral da fonte desprezável, , tem-se a
seguinte equação
(
)
(
)
(
)
(2.86)
Resolvendo em ordem a , vem
( ) (
)
(2.87)
Visto que ( ) ( )( )( ), fazendo ,
obtém-se
√ (
| |
) (2.88)
donde se infere que
√| |
√ ( ) √
(2.89)
em que ( ) | |.
O débito binário é definido por
(2.90)
com √ e √ , em que representa a separação entre impulsos vizinhos em
unidades normalizadas. Da equação (2.86) resulta
( ) ( ) ( )
(2.91)
( ) √ ( )
de onde se infere
| |
| |(
) (2.92)
Resolvendo em ordem a tem-se
( )√ ( )
( )
(2.93)
24
Apresentamos, na figura 2.7, o efeito do parâmetro chirp no produto , para vários
valores de , com e .
Figura 2.7 – Influência do parâmetro chirp no produto para coeficiente de alargamento
, e , com e .
Verificamos que o produto tem o seu máximo para valores do parâmetro chirp
próximo de zero. Pode-se, assim, realizar um sistema de compensação baseado num ótimo
que possibilita maximizar o produto do débito binário pelo comprimento da fibra para um dado
alargamento [5].
2.6. Resultados Numéricos
De seguida, através do método descrito no subcapítulo 2.4, simulamos a evolução de
diferentes tipos de impulsos numa fibra ótica, de modo a vermos os efeitos que a DVG provoca
na forma desses mesmos impulsos. É de notar que consideramos, para todos os diferentes
casos, que o parâmetro e .
2.6.1. Impulso Exponencial
O impulso inicial exponencial é definido da seguinte forma
( ) (
) [ (
)] (
) [ (
)] (2.94)
com ( ) a corresponder à função de Heaviside, sendo ( ) para , e ( ) para
.
-6 -4 -2 0 2 4 60
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
4
C
Db2 L
[ (
Gb /
s )
2 k
m ]
= 1.35
= 2.5
= 4
25
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
entrada
saida
Foram admitidos os seguintes parâmetro na simulação:
5000 500 10 100
Tabela 2.1 - Características do impulso exponencial e do troço de fibra ótica.
Na figura 2.8, ilustramos a forma e a amplitude do impulso inicial e final que se propaga
na fibra ótica, e a evolução do impulso ao longo da fibra ótica. Constatámos que existe um
alargamento do impulso e que a amplitude do impulso de saída é menor que o impulso de
entrada, devido à conservação da energia. Este alargamento deve-se à DVG, existindo
diferentes componentes de frequência a deslocarem-se a diferentes velocidades de grupo,
afetando a forma do impulso e os parâmetros característicos do impulso como a amplitude e a
largura.
Figura 2.8 – Impulso exponencial à entrada e à saída da fibra (à esquerda); evolução do impulso
exponencial ao longo da fibra (à direita).
Podemos ver, na figura 2.9, a evolução do espetro do impulso.
Figura 2.9 – Evolução do espetro do impulso exponencial ao longo da fibra.
26
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
entrada
saida
Verificamos, pela figura 2.9, que o espetro do impulso mantém-se inalterado ao longo
da toda a fibra, isto porque desprezou-se a atenuação na fibra ótica e assim nenhum dos
componentes espetrais é atenuado. Conclui-se que a DVG altera a fase de cada componente
espetral do impulso, que depende quer da frequência quer da distância percorrida, e que estas
variações de fase não afetam o espetro do impulso, mas afetam a forma do impulso e os
parâmetros característicos do impulso.
2.6.2. Impulso Gaussiano
Considerando a expressão geral de um impulso inicial do tipo Gaussiano
( )
( )
(
)
(2.95)
Para se obter um impulso Gaussiano toma-se . Para o caso em que o parâmetro
chirp é nulo, , a expressão (2.95) fica
( )
(
)
(2.96)
Foram empregados os seguintes parâmetro na simulação:
2500 500 5 100
Tabela 2.2 - Característica do impulso Gaussiano e do troço de fibra ótica.
De seguida, representamos, na figura 2.10, a forma e a amplitude do impulso inicial e
final na fibra ótica, e a evolução do impulso ao longo da fibra ótica, para .
Figura 2.10 – Impulso Gaussiano à entrada e à saída da fibra para parâmetro chirp (à
esquerda); evolução do impulso Gaussiano ao longo da fibra para (à direita).
27
Na figura 2.10, constatamos que o impulso é alargado e a sua amplitude diminui,
devido à conservação da energia, sendo a variação da largura do impulso de um fator de √ .
Observa-se que a amplitude máxima do impulso ocorre no início da fibra e que à medida que
se avança na fibra o impulso perde amplitude e alarga. Este fenómeno é devido à DVG que
afeta os parâmetros característicos do impulso como a amplitude e a largura. As diferentes
componentes de frequência vão deslocar-se a velocidades diferentes, provocando, assim,
interferência inter-simbólica.
Na figura 2.11, ilustramos a evolução do espetro do impulso, para .
Figura 2.11 – Evolução do espetro do impulso Gaussiano para parâmetro chirp ao longo da
fibra.
Verificamos que o espetro do impulso mantém-se semelhante ao longo da fibra, pois
desprezou-se a atenuação na fibra ótica e desta forma nenhum dos componentes espetrais é
atenuado. A DVG altera a fase de cada componente espetral do impulso, que depende quer da
frequência quer da distância percorrida, e que estas variações de fase não afetam o espetro do
impulso mas a largura do impulso.
Analisamos, de seguida, o efeito introduzido pelo chirp. Para o caso em que o
parâmetro chirp é , da expressão (2.95) obtém-se
( )
( )
(
)
(2.97)
Admitindo os parâmetros da tabela 2.2, representamos, na figura 2.12, a forma e a
amplitude do impulso inicial e final na fibra ótica, e a evolução do impulso ao longo da fibra
ótica, para . Na figura 2.12 evidencia-se um elevado alargamento e consequentemente
uma diminuição da amplitude do impulso de saída em relação ao impulso de entrada, devido à
conservação da energia. Contudo, inicialmente, verifica-se uma contração do impulso até
atingir um estreitamento máximo, correspondendo este estreitamento à amplitude máxima do
impulso. A partir dessa distância, os efeitos dispersivos são novamente predominantes,
28
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
entrada
saida
provocando um alargamento do impulso e diminuição da amplitude, sendo este fator de
alargamento pior que no caso em que .
Figura 2.12 – Impulso Gaussiano à entrada e à saída da fibra para parâmetro chirp (à
esquerda); evolução do impulso Gaussiano ao longo da fibra para (à direita).
Podemos ver, na figura 2.13, a evolução do espetro do impulso, para .
Figura 2.13 – Evolução do espetro do impulso Gaussiano para parâmetro chirp ao longo da
fibra.
Verificamos, pela figura 2.13, que apesar da introdução do parâmetro chirp, o espetro
do impulso mantém-se idêntico ao longo da fibra, porque não se considerou a atenuação na
fibra ótica, não existindo alteração do espetro. Conclui-se que a DVG não tem qualquer
influência no espetro do impulso, tendo influência “apenas” nos parâmetros característicos do
impulso.
Para o caso em que o parâmetro chirp é , da expressão (2.95) tem-se
29
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
entrada
saida
( )
( )
(
)
(2.98)
Considerando os parâmetros da tabela 2.2, representamos, na figura 2.14, a forma e a
amplitude do impulso inicial e final na fibra ótica, e a evolução do impulso ao longo da fibra
ótica, para .
Figura 2.14 – Impulso Gaussiano à entrada e à saída da fibra para parâmetro chirp (à
esquerda); evolução do impulso Gaussiano ao longo da fibra para (à direita).
Na figura 2.14 observamos um alargamento do impulso ao longo da fibra ótica,
causando uma diminuição da amplitude do impulso de saída comparativamente ao impulso de
entrada, devido à conservação da energia. A amplitude máxima ocorre no início da fibra e à
medida que se avança na fibra o impulso perde amplitude e alarga, sendo a variação de
alargamento mais repentina do que no caso do impulso sem chirp, uma vez que se somam os
efeitos do parâmetro chirp aos efeitos da DVG. Desta forma, é de evitar a sua aplicação.
Podemos ver, na figura 2.15, a evolução do espetro do impulso, para .
Figura 2.15 – Evolução do espetro do impulso Gaussiano para parâmetro chirp ao longo da
fibra.
30
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
entrada
saida
Verificamos, pela figura 2.15, que apesar da introdução do parâmetro chirp, o espetro
do impulso mantém-se inalterado ao longo da fibra, uma vez a atenuação na fibra ótica foi
desprezada, com os componentes espetrais a não sofrerem atenuação. Conclui-se que a DVG
altera a largura e a amplitude do impulso, não tendo qualquer influência no espetro do impulso.
2.6.3. Impulso Super-Gaussiano
Considerando a expressão (2.95) de um impulso inicial do tipo Gaussiano, para se
obter um impulso super-Gaussiano toma-se . Para o caso em que o parâmetro chirp é
nulo, , a expressão (2.95) fica
( )
(
)
(2.99)
Foram considerados os seguintes parâmetro na simulação:
2500 500 5 100
Tabela 2.3 - Característica do impulso super-Gaussiano e do troço de fibra ótica.
De seguida, representamos, na figura 2.16, a forma e a amplitude do impulso inicial e
final na fibra ótica, e a evolução do impulso ao longo da fibra ótica, para .
Figura 2.16 – Impulso super-Gaussiano à entrada e à saída da fibra para parâmetro chirp (à
esquerda); evolução do impulso super-Gaussiano ao longo da fibra para (à direita).
Na figura 2.16, constatamos que existe um alargamento do impulso e que a amplitude
do impulso de saída é menor que o impulso de entrada, devido à conservação da energia. A
amplitude máxima ocorre no início da fibra e à medida que se avança na fibra a amplitude do
impulso diminui e a sua largura aumenta. Estes fenómenos são causados pela DVG, onde os
componentes de frequência se deslocam a diferentes velocidades, provocando assim
31
interferência inter-simbólica. Comparando com o caso semelhante para o impulso Gaussiano,
ou seja para , o impulso super-Gaussiano sofre um maior alargamento e maior distorção.
Podemos ver, na figura 2.17, a evolução do espetro do impulso, para .
Figura 2.17 – Evolução do espetro do impulso super-Gaussiano para parâmetro chirp ao
longo da fibra.
Observamos, na figura 2.17, que o espetro do impulso mantém-se sem qualquer
alteração ao longo da fibra, devido a ter-se desprezado a atenuação na fibra ótica e assim
nenhum dos componentes espetrais é atenuado. Deste modo, a DVG apenas afeta a forma e
os parâmetros característicos do impulso, não influenciando o espetro do impulso.
Analisamos, de seguida, o efeito introduzido pelo chirp. Para o caso em que o
parâmetro chirp é , da expressão (2.95) obtém-se
( )
( )
(
)
(2.100)
Considerando os parâmetros da tabela 2.3, representamos, na figura 2.18, a forma e a
amplitude do impulso inicial e final na fibra ótica, e a evolução do impulso ao longo da fibra
ótica, para . Na figura 2.18, constatamos que o impulso alarga e devido à conservação da
energia a amplitude do impulso diminui. Todavia, inicialmente, verificamos uma contração do
impulso até se alcançar o estreitamento máximo. Seguidamente, os efeitos da DVG voltam a
dominar provocando um alargamento do impulso, diminuição da amplitude e distorção do
impulso, onde o alargamento é pior que no caso em que . Equiparando com o caso
semelhante para o impulso Gaussiano, ou seja para , o impulso super-Gaussiano sofre
um maior alargamento e deformação, sendo o ritmo de alargamento superior, analogamente
com o que acontece para o caso Gaussiano.
32
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
entrada
saida
Figura 2.18 – Impulso super-Gaussiano à entrada e à saída da fibra para parâmetro chirp (à
esquerda); evolução do impulso super-Gaussiano ao longo da fibra para (à direita).
Na figura 2.19, ilustramos a evolução do espetro do impulso, para .
Figura 2.19 – Evolução do espetro do impulso super-Gaussiano para parâmetro chirp ao
longo da fibra.
Verificamos, pela figura 2.19, que a DVG não afeta o espetro do impulso, não havendo
alterações do espetro ao longo de toda a fibra ótica.
Para o caso em que o parâmetro chirp é , da expressão (2.95) tem-se:
( )
( )
(
)
(2.101)
Admitindo os parâmetros da tabela 2.3, representamos, na figura 2.20, a forma e a
amplitude do impulso inicial e final na fibra ótica, e a evolução do impulso ao longo da fibra
ótica, para .
33
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
entrada
saida
Figura 2.20 – Impulso super-Gaussiano à entrada e à saída da fibra para parâmetro chirp (à
esquerda); evolução do impulso super-Gaussiano ao longo da fibra para (à direita).
Na figura 2.20, averiguamos um alargamento do impulso ao longo da fibra ótica, onde a
amplitude máxima se dá no início da fibra de transmissão e que à medida que se avança na
fibra o impulso diminui a sua amplitude e alarga, sendo o fator de alargamento mais abrupto do
que no caso do impulso sem chirp, uma vez que se somam os efeitos do parâmetro chirp aos
efeitos da DVG. Por conseguinte, é de evitar a sua aplicação. Equiparando com o caso
semelhante para o impulso Gaussiano, ou seja para , o impulso super-Gaussiano sofre
uma maior alteração na sua largura e na sua forma.
Podemos ver, na figura 2.21, a evolução do espetro do impulso, para .
Figura 2.21 – Evolução do espetro do impulso super-Gaussiano para parâmetro chirp ao
longo da fibra.
Verificamos, na figura 2.21, que a DVG não afeta o espetro do impulso, não se obtendo
alterações no espetro ao longo da fibra ótica de transmissão, alterando “apenas” a forma e os
parâmetros característicos do impulso.
34
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
entrada
saida
2.6.4. Impulso Secante Hiperbólica
Admitindo a expressão geral de um impulso secante hiperbólica:
( ) (
)
(
) (2.102)
Para o caso em que o parâmetro chirp é , da expressão (2.102) obtém-se:
( ) (
) (2.103)
O estudo deste impulso é de particular interesse uma vez que os solitões, onda do tipo
solitária, apresentam um perfil do tipo secante hiperbólica. Foram empregados os seguintes
parâmetros na simulação:
2500 500 10 100
Tabela 2.4 - Características do impulso secante hiperbólica e do troço de fibra ótica.
Representamos, na figura 2.22, a forma e a amplitude do impulso inicial e final na fibra
ótica, e a evolução do impulso ao longo da fibra ótica, para .
Figura 2.22 – Impulso secante hiperbólica à entrada e à saída da fibra para parâmetro chirp (à
esquerda); evolução do impulso secante hiperbólica ao longo da fibra para (à direita).
Na figura 2.22, averiguamos um alargamento do impulso ao longo da fibra ótica, em
que a amplitude máxima ocorre no início da fibra e que à medida que se avança na fibra a
amplitude do impulso diminui e a sua largura aumenta. O fenómeno é provocado pela DVG,
onde os componentes de frequência deslocam-se a diferentes velocidades provocando, assim,
interferência inter-simbólica. Verificamos que este tipo de impulsos tem um andamento de todo
semelhante aos demonstrados para os impulsos Gaussianos.
35
Podemos ver, na figura 2.23, a evolução do espetro do impulso, para .
Figura 2.23 – Evolução do espetro do impulso secante hiperbólica para parâmetro chirp ao
longo da fibra.
Verifica-se que o espetro do impulso não é afetado, não sofrendo alterações ao longo
da fibra ótica. É de referir o facto de o chirp induzido não ser linear, contrariamente ao que se
verificava nos outros casos estudados.
2.7. Efeito da Dispersão de Ordem Superior
Realizado o estudo da equação de propagação em regime linear e do efeito dispersivo
da DVG, no subcapítulo anterior, é importante analisar a contribuição dos efeitos dispersivos de
ordem superior. Embora a contribuição do termo do efeito dispersivo da DVG seja dominante
na maioria dos casos práticos com interesse, por vezes é necessário incluir a dispersão de
ordem superior regida pelo termo [2]. Existem dois casos para os quais o coeficiente de
dispersão de ordem superior, , não pode ser desprezado: para sinais ultracurtos em que o
espetro é largo, e para operações próximas do comprimento de onda em que o coeficiente de
dispersão da velocidade de grupo se anula e consequentemente DVG é igual a zero.
Desprezando-se os efeitos não lineares e considerando a equação de propagação de
um impulso dada pela expressão (2.61), introduzimos a amplitude normalizada
( ) ( )
√
(2.104)
onde é a potência de pico do impulso e as perdas na fibra. Definindo , desta forma
( ) satisfaz a seguinte equação [2],
36
(2.105)
sendo a solução geral dada por [2]
( )
∫ ( ) [
]
(2.106)
Seguidamente, através do método descrito no subcapítulo 2.4, simulamos a evolução
de impulsos Gaussianos numa fibra ótica, de modo a analisarmos os efeitos causados pela
dispersão de ordem superior na forma do impulso Gaussiano.
2.7.1. Evolução do Impulso Gaussiano
No caso de um impulso Gaussiano com chirp, e empregando [2]
( ) (
)
[
( )] (2.107)
Substituindo a expressão (2.107) em (2.106) e introduzindo a nova variável de
integração , onde depende das características da fibra ótica e do impulso [2], que
pode ser definido da seguinte forma
(
) (2.108)
Obtemos assim a seguinte expressão [2]
( )
√ ∫
(
)
(2.109)
com . Utilizando uma nova transformação o resultado do integral
(2.109), em termos da função de Airy ( ) [2], é o seguinte [2]
( ) √
| |
( )
(
| |
) (2.110)
Para melhor compreendermos o efeito introduzido pelo termo é importante referir a
relação entre o comprimento de dispersão, associado à dispersão de ordem superior, e o
parâmetro . Essa relação é expressa na seguinte equação:
| | (2.111)
37
Passamos a apresentar a evolução do impulso Gaussiano, com parâmetro chirp nulo,
considerando e . As figuras 2.24 e 2.25 ilustram, respetivamente, a
evolução do impulso com e para diferentes comprimentos da fibra.
Figura 2.24 – Impulso Gaussiano com largura em três locais da fibra: , e
.
Para só se verifica a influência do termo para uma distância de ligação
muito grande, cerca de , enquanto no caso , ver figura 2.25, os efeitos
manifestam-se para distâncias bastante menores. Concluímos que quanto menor for a largura
do impulso , ou seja para impulsos ultracurtos, mais se torna evidente o efeito de dispersão
de ordem superior, com esta a ter um papel significante para ou para | | [2].
Figura 2.25 – Impulso Gaussiano com largura em três locais da fibra: , e
.
Considerando a distância da fibra ótica de transmissão , representamos, na
figura 2.26, a forma e a amplitude do impulso inicial e final na fibra ótica, para dois casos
distintos.
-5 0 5 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
Impulso Inicial
z = 18LD´
z = 45LD´
-5 0 5 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
Impulso Inicial
z = LD´
z = 5LD´
38
Figura 2.26 – Impulso Gaussiano com largura em para três casos diferentes:
impulso inicial, e .
A dispersão de ordem superior deforma o impulso, tornando-o assimétrico com
oscilações nos extremos do impulso. Quando é positivo, como podemos ver na figura 2.26,
essas oscilações aparecem na parte de trás do impulso. No caso de negativo verificamos o
contrário, isto é, essas oscilações ocorrem na parte da frente do impulso. Com as
oscilações são bastante menores, quase nulas, mas a parte de trás do impulso tem uma cauda
maior comparativamente aos casos anteriores. Para exemplificar melhor os efeitos da
dispersão de ordem superior na forma do impulso, apresentamos, na figura 2.27, a evolução
deste ao longo da fibra, com parâmetro de chirp nulo e .
Figura 2.27 – Evolução do impulso Gaussiano ao longo da fibra com largura para
parâmetro chirp e .
Na análise até agora apresentada apenas considerámos o termo nulo. Atribuindo um
valor para o parâmetro diferente de zero, observamos que, para números simétricos de , a
evolução do impulso é semelhante, uma vez que o termo que depende de é afetado por um
-5 0 5 10 150
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Inte
nsid
ade
Impulso inicial
LD = L
D´
2 = 0
39
fator de [5]. Na figura 2.28, constatamos que, quanto maior o valor de , em módulo, mais
significativos serão os efeitos da dispersão de ordem superior. De notar, na figura 2.29 onde é
representada a evolução do impulso Gaussiano com , que existe um estreitamento inicial
do impulso mas depois observa-se um alargamento acentuado.
Figura 2.28 – Deterioração do impulso Gaussiano com largura , considerando para
valor do parâmetros chirp , e .
Figura 2.29 – Evolução do impulso Gaussiano ao longo da fibra com largura para
parâmetro chirp e .
-5 0 5 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
C = 0
C = 1
C = 2
40
2.8. Conclusões
Caracterizámos os tipos de fibras óticas e os modos que estas suportam, tendo
concluído que a fibra que suporta um único modo, fibra monomodal, é a mais indicada para os
sistemas de fibras óticas atuais, pois apresenta uma menor dispersão.
Concluímos que, em regime linear, a propagação de impulso na fibra ótica é
influenciada por mecanismos dispersivos. Numa fibra monomodal, quando consideramos
impulsos com largura característica pequena e/ou para operações próximas do comprimento de
onda em que a DVG se anula, os efeitos de dispersão de ordem superior não devem ser
desprezados. Caso contrário, a DVG é predominante, podendo-se negligenciar o termo de
dispersão de ordem superior. Quando a DVG é dominante, a dispersão total na fibra resulta da
soma da dispersão de material com a dispersão de guia de onda. Através da alteração dos
parâmetros da fibra ótica, é concebível o fabrico de fibras óticas com dispersão total nula, tais
como a fibra de sílica convencional e a fibra de dispersão modificada convencional, que
operam nos comprimentos de onda e , respetivamente.
Verificámos que o termo da DVG provoca deformação dos impulsos, diminuição da
amplitude e aumenta a largura dos impulsos, efeitos que contribuem para o aparecimento de
interferência inter-simbólica entre os diversos sinais, limitando o débito binário na fibra ótica. É
de notar que os impulsos Gaussiano e secante hiperbólica mantêm a sua forma, existindo só
alterações na largura característica do impulso e amplitude. Constatámos que o efeito da DVG
aumenta à medida que se avança na fibra, o que permite concluir que para distâncias bastante
elevadas a receção do sinal será bastante complicada. Para além do alargamento temporal do
impulso esperado, com a introdução de chirp inicial este conduz a um maior alargamento do
impulso. Para verificámos um alargamento mais abrupto que no caso do impulso sem
chirp. No caso existe inicialmente uma contração do impulso, mas de seguida sofre um
alargamento de fator semelhante ao que ocorre para . A solução ótima seria manipular
o parâmetro chirp para obtermos um efeito de chirp linear, solução que é impossível de
alcançar. Sendo assim, para distâncias inferiores ao comprimento dispersivo a melhor opção é
utilizar o parâmetro chirp positivo, mas para distâncias superiores ao comprimento dispersivo o
ideal é utilizar o parâmetro chirp nulo. Examinámos, ainda, que a componente espetral dos
impulsos mantem-se inalterável, concluindo-se que o termo não influencia a componente
espetral do impulso.
No estudo dos efeitos de dispersão de ordem superior, concluímos que estes devem
ser considerados apenas para impulsos ultracurtos e/ou para quando a dispersão de
velocidade de grupo é nula, para que os efeitos de ordem superior se manifestem. Para um
impulso Gaussiano, constatámos que o termo altera a forma e as características do impulso,
nomeadamente, causa diminuição da amplitude e alargamento. Quando se considerou o termo
de chirp não nulo, verificámos que ocorreu uma compressão do impulso mas logo de seguida o
impulso voltou a alargar.
41
Capítulo 3 – Compensação de Dispersão em Regime
Linear
3.1. Introdução
Com o aparecimento dos amplificadores óticos, a principal limitação dos sistemas de
comunicação ótica já não reside mais na atenuação provocada pela propagação na fibra ótica
de transmissão mas sim na dispersão presente nas fibras óticas [3]. Estes efeitos de dispersão
acumulam-se ao longo da transmissão e agravam-se com a introdução dos amplificadores. Era
urgente descobrir a solução para este dilema. Foi então que surgiram diversas técnicas de
compensação de dispersão que tomaram partido da natureza linear da solução geral da
equação de propagação do impulso numa fibra ótica, descrita na equação (2.62). A ideia base
de todas as técnicas de compensação de dispersão é cancelar os fatores e , de modo a
recuperar o sinal transmitido inicialmente, podendo estas ser implementadas no transmissor, no
recetor ou no enlace. Neste capítulo, iremos focar a nossa atenção em particular para duas
técnicas de compensação em regime linear, a compensação da dispersão usando DCFs
(Dispersion Compensating Fibers) e a compensação utilizando FBGs (Fiber Bragg Gratings).
3.2. Compensação de Dispersão Baseada em DCF
A compensação de dispersão baseada em DCF é uma das técnicas mais utilizadas. A
utilização de DCF proporciona uma solução totalmente no domínio ótico que é capaz de
compensar completamente a dispersão da fibra ótica, no caso de os efeitos não-lineares serem
desprezáveis. Esta técnica toma partido da natureza linear da solução geral da equação de
propagação do impulso numa fibra ótica, descrita na equação (2.62) [1]. A alteração do perfil da
fibra ótica possibilita “engenharia de dispersão”, proporcionando a obtenção de fibras com
valores de dispersão negativos, como é o caso das fibras DCF. Esta técnica combina troços de
fibra ótica para reduzir o valor médio da dispersão a zero, colocando-se, após um troço de fibra
monomodal convencional (SMF), de comprimento , uma fibra do tipo DCF, de comprimento
, com os coeficientes de DVG e dispersão de ordem superior de sinal contrário ao da SMF.
Ao fim do percurso o impulso é dado por [2]
( )
∫ ( ) [
( )
( ) ]
(3.1)
onde é o comprimento total da ligação, e e são os coeficientes da DVG e de
dispersão de ordem superior, respetivamente, do troço da fibra correspondente ( ). A
escolha da fibra de compensação de dispersão é feita de modo a eliminar os termos e a
42
fim de, no final da DCF, conseguir recuperar a forma inicial do impulso. Essa condição é dada
pela seguinte equação
(3.2)
Pretende-se que o comprimento da DCF, , seja o menor possível de modo a
minimizar os custos de fabrico. No entanto, a utilização de DCFs apresenta desvantagens
devido aos elevados custos de fabrico, exibe perdas altas na bainha ( )
causado pelo valor reduzido da frequência normalizada , perdas de inserção elevadas
( ) e uma área efetiva baixa ( ), originando um aumento dos efeitos não-lineares.
Estes efeitos podem também limitar o tamanho das ligações, nomeadamente as de longa
distância onde os efeitos não-lineares acumulados já se tornam significativos [5],como será
estudado no capítulo 4. Os problemas levantados pela utilização de DCF podem ser resolvidos
recorrendo-se a uma fibra de dois modos com o valor de frequência normalizada perto da
frequência de corte do segundo modo ( ). Estas fibras têm aproximadamente as
mesmas perdas que as fibras de um único modo, mas podem ser projetadas para que o
parâmetro de dispersão seja bastante negativo para o modo de propagação de ordem
superior [1]. Este método requer um conversor de modos, aparelho que é capaz de converter a
energia do modo fundamental para o modo de ordem superior suportado pela DCF. Desta
forma, recorre-se às FBGs que proporcionam acoplamento entre os dois modos [5], que no
capítulo 3.3 irão ser analisadas. Em geral, é difícil satisfazer ambas as condições descritas em
(3.2). Desta forma, iremos realizar duas análises separadas. Primeiro, efetuamos a
compensação do coeficiente de DVG, negligenciado o coeficiente da dispersão de ordem
superior, ou seja admitindo . Na segunda análise estudamos o caso contrário, em que se
despreza o fator e compensamos o termo .
3.2.1. Compensação da DVG
Considerando o parâmetro da fibra monomodal convencional superior a ,
em módulo, é possível desprezar o termo . Neste caso especifico a equação (3.1) vem dada
por
( )
∫ ( ) [
( ) ]
(3.3)
vindo a condição de cancelamento do fator de distorção de fase escrita por
(3.4)
ou, em função dos parâmetros de dispersão ( ) ,
43
(3.5)
Verificamos que o comprimento da DCF deve ser tal de modo a satisfazer
(3.6)
Um procedimento vulgarmente utilizado em sistemas de telecomunicações reais
consiste em usar fibras óticas com dispersão modificada operando em regime normal ( )
e fibras monomodais convencionais operando em regime anómalo ( ), compensando a
dispersão acumulada introduzida pela SMF. Desejando-se ter o menor comprimento, tal só é
possível para valores de bastante negativos, diminuindo os custos provenientes da sua
produção e reduzindo ao máximo as perdas introduzidas pela utilização de DCFs.
3.2.1.1. Resultados Numéricos
Apresentamos, de seguida, as simulações da evolução de diferentes tipos de impulsos
numa fibra ótica e sua respetiva compensação utilizando uma DCF, recorrendo ao método
descrito no subcapítulo 2.4 e à expressão (3.1).
3.2.1.1.1. Impulso Exponencial
Em função da expressão do impulso exponencial descrita em (2.94), consideraram-se
os seguintes parâmetros na simulação:
Parâmetros
Valores 100 5000 -20 40 2500
Tabela 3.1- Características do impulso exponencial e dos troços de fibra e .
As formas do impulso à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída
da DCF podem ser vistas na figura 3.1, e a evolução do impulso na figura 3.2. Verificamos, nas
figuras 3.1 e 3.2, que graças à utilização da DCF o impulso volta à sua forma inicial após os
efeitos da DVG terem sido compensados.
44
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
entrada SMF
saida SMF
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
entrada DCF
saida DCF
Figura 3.1 – Impulso exponencial à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da
DCF, para compensação da DVG.
Figura 3.2 – Evolução do impulso exponencial ao longo da SMF (à esquerda); evolução do impulso
exponencial na DCF (à direita), para compensação da DVG.
3.2.1.1.2. Impulso Gaussiano
Tendo em conta a expressão do impulso Gaussiano definido em (2.95), consideraram-
se os seguintes parâmetros na simulação:
Parâmetros
Valores 100 2500 -20 20 2500
Tabela 3.2- Características do impulso Gaussiano e dos troços de fibra e , para compensação
da DVG .
Para o caso em que o parâmetro chirp é nulo, , as formas do impulso à entrada
da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da DCF podem ser vistas na figura 3.3, e
a evolução do impulso é representada na figura 3.4.
45
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
entrada SMF
saida SMF
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
entrada DCF
saida DCF
Figura 3.3 – Impulso Gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da
DCF para parâmetro chirp , para compensação da DVG.
Figura 3.4 – Evolução do impulso Gaussiano ao longo da SMF para (à esquerda); evolução
do impulso Gaussiano na DCF para (à direita), para compensação da DVG.
Verificamos nestas figuras que a DCF assegura a compensação da DVG acumulada na
SMF, recuperando o impulso inicial.
46
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
entrada SMF
saida SMF
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
entrada DCF
saida DCF
3.2.1.1.3. Impulso Super-Gaussiano
Admitindo a expressão do impulso super-Gaussiano definido em (2.99), consideraram-
se os seguintes parâmetros na simulação:
Parâmetros
Valores 100 2500 -20 20 2500
Tabela 3.3 - Características do impulso e dos troços de fibra e para o impulso super-
Gaussiano, para compensação da DVG.
Para o caso em que o parâmetro chirp é nulo, , as formas do impulso à entrada a
SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da DCF são ilustradas na figura 3.5, e a
evolução do impulso é exposta na figura 3.6.
Figura 3.5 – Impulso super-Gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à
saída da DCF para parâmetro chirp , para compensação da DVG.
Figura 3.6 – Evolução do impulso super-Gaussiano ao longo da SMF para (à esquerda);
evolução do impulso super-Gaussiano na DCF para (à direita), para compensação da DVG.
47
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
entrada SMF
saida SMF
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
entrada DCF
saida DCF
Constatamos pelas figuras 3.5 e 3.6 que com a utilização da DCF esta elimina
totalmente os efeitos causados pela DVG, recuperando o impulso que inicialmente foi
introduzido na SMF.
3.2.1.1.4. Impulso Secante Hiperbólica
Empregando a expressão do impulso secante hiperbólica definido em (2.102),
consideraram-se os seguintes parâmetros na simulação:
Parâmetros
Valores 100 5000 -20 40 2500
Tabela 3.4 - Características do impulso secante hiperbólico e dos troços de fibra e , para
compensação da DVG.
Para o caso em que o parâmetro chirp é nulo, , as formas do impulso à entrada
da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da DCF são expostas na figura 3.7, e a
evolução do impulso é ilustrada a figura 3.8. Constatamos pelas figuras 3.7 e 3.8 que no fim da
fibra DCF o impulso apresenta o mesmo alargamento inicial.
Figura 3.7 – Impulso secante hiperbólica à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à
saída da DCF para parâmetro chirp , para compensação da DVG.
48
Figura 3.8 – Evolução do impulso secante hiperbólica ao longo da SMF para (à esquerda);
evolução do impulso secante hiperbólica na DCF para (à direita), para compensação da DVG.
3.2.2. Compensação de Dispersão de Ordem Superior
Para ritmos binários, por canal, superiores a 100 devem ser utilizados impulsos
ultracurtos ( ) [2]. Como concluímos no capítulo 2, os efeitos da dispersão de ordem
superior não devem ser desprezados para impulsos ultracurtos. Para tão curtos impulsos é
bastante complicado simultaneamente compensar os efeitos provocados pela DVG e os efeitos
da dispersão de ordem superior. Deste modo, consideramos o termo nesta análise.
Neste caso especifico a equação (3.1) é dada por
( )
∫ ( ) [
( ) ]
(3.7)
A condição de cancelamento do fator de distorção de fase pode ser reescrita por
(3.8)
O comprimento da DCF deve ser tal de modo a satisfazer
(3.9)
Colocando a DCF após a SMF, pretende-se que o comprimentos da DCF, , seja o
mais pequeno possível para minimizar os custos e as perdas introduzidas.
49
-15 -10 -5 0 5 10 15 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
entrada SMF
saida SMF
-15 -10 -5 0 5 10 15 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
entrada DCF
saida DCF
3.2.2.1. Resultados numéricos
Apresentamos, de seguida, as simulações da evolução de diferentes tipos de impulsos
numa fibra ótica e sua respetiva compensação utilizando uma DCF, recorrendo ao método
descrito no subcapítulo 2.4 e à expressão (3.5).
3.2.2.1.1. Impulso Exponencial
Admitindo a expressão do impulso exponencial definido em (2.94), consideraram-se os
seguintes parâmetros na simulação:
Parâmetros
Valores 1 300 - 0.1 0.3 100
Tabela 3.5 - Características do impulso exponencial e dos troços de fibra e , para
compensação da dispersão de ordem superior.
As formas do impulso à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída
da DCF, podem ser vistas na figura 3.9, e a evolução impulso é ilustrada na figura 3.10.
Averiguamos que, com a utilização da DCF, esta elimina as longas oscilações na cauda do
impulso e reduz o alargamento, efeitos causados pelo termo , recuperando o impulso que
inicialmente foi introduzido na SMF.
Figura 3.9 – Impulso exponencial à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da
DCF, para compensação da dispersão de ordem superior.
50
Figura 3.10 – Evolução do impulso exponencial ao longo da SMF (à esquerda); evolução do
impulso exponencial na DCF (à direita), para compensação da dispersão de ordem superior.
3.2.2.1.2. Impulso Gaussiano
Tendo em conta a expressão do impulso Gaussiano definido em (2.95), consideraram-
se os seguintes parâmetros na simulação:
Parâmetros
Valores 1 300 - 0.1 0.3 100
Tabela 3.6 - Características do impulso Gaussiano e dos troços de fibra e , para compensação
da dispersão de ordem superior.
Para o caso em que o parâmetro chirp é nulo, , as formas do impulso à entrada
da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da DCF podem ser vistas na figura 3.11,
e a evolução do impulso é exposta nas figuras 3.12. Concluímos pelas figuras 3.11 e 3.12 que
os efeitos causados pela dispersão de ordem superior são totalmente eliminados quando se
recorre à DCF. As longas oscilações na cauda do impulso são removidas, voltando à sua forma
inicial.
51
-15 -10 -5 0 5 10 15 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
entrada DCF
saida DCF
-15 -10 -5 0 5 10 15 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
entrada SMF
saida SMF
Figura 3.11 – Impulso Gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da
DCF para parâmetro chirp , para compensação da dispersão de ordem superior.
Figura 3.12 – Evolução do impulso Gaussiano ao longo da SMF para (à esquerda); evolução
do impulso Gaussiano na DCF para (à direita), para compensação da dispersão de ordem
superior.
3.2.2.1.3. Impulso Super-Gaussiano
Admitindo a expressão do impulso super-Gaussiano definido em (2.99), consideraram-
se os seguintes parâmetros na simulação:
Parâmetros
Valores 1 100 - 0.1 0.1 100
Tabela 3.7 - Características do impulso super-Gaussiano e dos troços de fibra e , para
compensação da dispersão de ordem superior.
52
-15 -10 -5 0 5 10 15 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
entrada SMF
saida SMF
-15 -10 -5 0 5 10 15 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
entrada DCF
saida DCF
Para o caso em que o parâmetro chirp é nulo, , as formas do impulso à entrada
da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da DCF, são ilustradas na figura 3.13, e
a evolução do impulso é representada na figura 3.14.
Figura 3.13 – Impulso super-Gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à
saída da DCF para parâmetro chirp , para compensação da dispersão de ordem superior.
Figura 3.14 – Evolução do impulso super-Gaussiano ao longo da SMF para (à esquerda);
evolução do impulso super-Gaussiano na DCF para (à direita), para compensação da
dispersão de ordem superior.
Constatamos, pelas figuras 3.13 e 3.14, que após utilização da DCF o impulso volta a
apresentar o mesmo alargamento inicial, anulando os efeitos provocados pela dispersão de
ordem superior.
53
-15 -10 -5 0 5 10 15 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
entrada SMF
saida SMF
-15 -10 -5 0 5 10 15 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
entrada DCF
saida DCF
3.2.2.1.4. Impulso Secante Hiperbólica
Empregando a expressão do impulso secante hiperbólica definida em (2.102),
consideraram-se os seguintes parâmetros na simulação:
Parâmetros
Valores 1 300 - 0.1 0.3 100
Tabela 3.8 - Características do impulso secante hiperbólica e dos troços de fibra e , para
compensação da dispersão de ordem superior.
Para o caso em que o parâmetro chirp é nulo, , as formas do impulso à entrada
da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da DCF são exibidas na figura 3.15, e a
evolução do impulso é representada na figura 3.16.
Figura 3.15 – Impulso secante hiperbólica à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à
saída da DCF para parâmetro chirp , para compensação da dispersão de ordem superior.
Figura 3.16 – Evolução do impulso secante hiperbólica ao longo da SMF para (à esquerda);
evolução do impulso secante hiperbólica na DCF para (à direita), para compensação da
dispersão de ordem superior.
54
Averiguamos que a utilização da DCF assegura o restabelecimento do impulso inicial,
suprimindo as longas oscilações na cauda do impulso provocadas pela termo .
3.3. Compensação de Dispersão Baseada em Redes de Bragg
3.3.1. Introdução
Desde o aparecimento das redes de Bragg (FBGs), têm-se descoberto muitas
aplicações para este componente devido às suas propriedades, grande versatilidade e
variedade de parâmetros controláveis, que podem formatar de diversas maneiras as suas
características espetrais [18]. As FBGs estão a revolucionar a maneira de processar a luz dentro
da fibra e acredita-se que terão um papel ainda maior no futuro, tanto na área de comunicações
óticas como na área de sensores. As FBGs têm várias aplicações no domínio das
telecomunicações, sendo utilizadas nos diversos pontos de um sistema de transmissão. No
emissor, são utilizadas como elementos refletores em lasers semicondutores e em lasers de
fibra ótica, e para a obtenção de emissão monomodo com elevada estabilidade. Na
transmissão, são utilizadas em amplificadores óticos, efetuando a recirculação da bombagem,
igualização espetral do ganho e estabilização dos díodos de bombagem, na compensação de
dispersão e filtragem. No recetor e em componentes óticos de redes com multiplexagem no
comprimento de onda, são utilizadas como filtros e desmultiplexadores [18]. Este estudo focar-
se-á na aplicação das FBGs, principalmente na vertente da compensação da dispersão.
3.3.2. Princípio de Funcionamento das Redes de Bragg
Uma FBG, na sua generalidade, é formada por um conjunto de elementos espaçados
de uma certa distância [14]. Estes segmentos de fibra ótica vão refletir determinados
comprimentos de onda de luz, que satisfazem a condição de ressonância, e transmitem todos
os outros comprimentos de onda. Isto é possível devido à introdução de perturbações em
intervalos periódicos ou aperiódicos do índice de refração do núcleo da fibra [11], formando um
espelho dielétrico para um comprimento de onda específico.
Para melhor compreender o efeito de perturbação na FBG, recorre-se à reflexão de
Fresnel, em que a luz que viaja entre os meios, com diferentes índices de refração, pode ser
refletida ou refratada numa interface. Por isso, uma FBG pode funcionar como um filtro ótico
refletor, refletindo comprimentos de onda específicos, permitindo que o resto do espetro de luz
incidente continue em transmissão [1]. Considerando o ângulo incidente e o ângulo
difratado pode descrever-se a onda incidente na seguinte equação
55
(3.10)
em que é designado por índice de refração modal médio do núcleo da fibra, é o
comprimento de onda incidente no meio e é a ordem da difração de Bragg. Supondo
, a condição de máximo para uma FBG é
(3.11)
Esta expressão é conhecida por condição de Bragg, onde é o comprimento de onda
de Bragg para o qual a refletividade é máxima, onde os feixes de luz incidentes e difratados
propagam-se no mesmo plano mas em sentidos opostos. Sendo assim, como anteriormente se
referiu, as redes de Bragg atuam como um filtro ótico refletor onde as frequências que
pertencem à região da banda proibida são refletidas para trás, sendo esta banda proibida
centrada no comprimento de onda de Bragg. Nestas condições, é sempre expectável a
ocorrência de um máximo de intensidade na direção contrapropagante. De referir que esta
ressonância se deve ao facto de todas as ondas dispersas na direção contrapropagante em
cada período espacial da rede se encontrarem em fase [5].
A descrição do funcionamento das redes de Bragg pode ser desenvolvida
considerando a propagação de modos numa fibra ótica através da teoria dos modos acoplados.
Estes modos propagam-se sem acoplamento na ausência de qualquer perturbação. Esta é
uma ferramenta muito útil para a compreensão teórica e estudo da interação entre os modos na
ocorrência de perturbações periódicas existentes num guia de onda. A ideia principal desta
teoria baseia-se na noção de que os modos de estruturas sem perturbação ou não acoplados
podem ser definidos e calculados antecipadamente. As soluções para estruturas mais
complexas com perturbações podem ser encontradas, posteriormente, como uma combinação
linear desses modos [16]. Aplicando a teoria dos modos acoplados, uma FBG pode ser vista
como existindo um efeito de acoplamento entre a onda que se propaga no sentido positivo e a
onda refletiva que se propaga no sentido negativo, na direção contrapropagante. Definindo o
campo elétrico
( )
( )[
] (3.12)
sendo ( ) a variação transversal do modo fundamental, a constante de propagação
longitudinal para o comprimento de onda de Bragg e e as amplitudes espetrais das
ondas que se propaga no sentido positivo e no sentido contrapropagante, respetivamente.
56
3.3.3. Largura de Banda, Refletividade e Dispersão de uma FBG
Uniforme
Começamos por estudar as redes uniformes pois estas são as redes mais simples de
todas. Uma rede de Bragg é designada uniforme quando as respetivas propriedades espaciais
se mantêm constantes ao longo do comprimento da fibra. Considerando-se que o índice de
refração ao longo do FBG varia uniforme e periodicamente segundo , ( ) (
), onde é a profundidade de modulação, as ondas que se propaga no sentido positivo e no
sentido contrapropagante podem ser descritas pelo seguinte par de equações diferenciais de
acoplamento em regime linear
(3.13)
(3.14)
em que , fator de dessintonia do comprimentos de onda de Bragg, e , coeficiente de
acoplamento, podem ser definidos por:
(
) (3.15)
(3.16)
onde designa o coeficiente de confinamento. A solução geral das equações (3.13) e (3.14) é
dada por
(3.17)
(3.18)
Aplicando as equações (3.17) e (3.18) em (3.13) e (3.14) obtém-se, respetivamente
( ) ( ) (3.19)
( ) ( ) (3.20)
onde as equações são satisfeitas para valores de , , e diferentes de zero e de tal
forma que é dado por
√ (3.21)
Para valores de pertencentes ao intervalo , vai conter uma
componente de parte imaginária, implicando que na FBG o campo incidente seja na sua
57
maioria refletido. Observando a figura 3.17, verifica-se a existência de uma banda proibida, que
é uma das principais característica das FBG, em que a maior parte das ondas incidentes nessa
região de frequências é refletida de volta.
Figura 3.17 – Variação do parâmetro com .
Para calcular o coeficiente de reflexão, resolvemos analiticamente as equações dos
modos de acoplamento, sendo possível devido à sua natureza linear. Atendendo às equações
(3.17), (3.18), (3.19) e (3.20) o coeficiente de reflexão da FBG é dado por
( )
( )
( )
( ) ( ) (3.22)
com a fase de dada por
[ ( )
( )] (3.23)
Pela figura 3.18, onde representamos a refletividade para e ,
constatamos que a refletividade, na zona da banda proibida, aproxima-se de 1 à medida que o
valor de cresce. Podemos considerar que para valores de a refletividade é
aproximadamente igual a 100% para . As FBGs uniformes têm um comportamento
semelhante a um filtro, todavia verificamos a presença de máximos secundários na
refletividade. Estas ressonâncias, que são altamente indesejadas pois contribuem para a
existência de diafonia entre canais muito próximos, devem-se à ocorrência de reflexões
múltiplas nas extremidades da rede resultantes da descontinuidade no índice de refração aí
observada, formando uma cavidade de Fabry-Pérot [13]. O recurso a técnicas de apodização,
variando o índice de refração a partir de um certo comprimento perto dos extremos, mantendo
a variação constante para a região afastada dos extremos, revela-se eficaz na supressão
destes lóbulos indesejáveis [5]. Em determinadas aplicações como a separação de canais
-6 -4 -2 0 2 4 6-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
/
kg
qg / k
g
58
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Lg
| r g
|2
kg L
g=2
kg L
g=4
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-250
-200
-150
-100
-50
0
Lg
| r g
|2 [
dB
]
kg L
g=2
kg L
g=4
adjacentes em sistemas WDM, ou a compensação da dispersão, a existência destes lóbulos
laterais pode ser muito penalizante [12].
Figura 3.18 – Espetros da refletividade em unidades lineares (à esquerda) e em (à direita) em
função de para e .
A partir da equação (3.22), o máximo de refletividade que ocorre no centro da banda
proibida, , pode ser expresso em função do coeficiente de acoplamento e do comprimento
da rede da seguinte forma
| ( )|
( ) (3.24)
Na figura 3.19, apresentamos três representações para a refletividade máxima em
função do comprimento da rede e para diferentes valores do coeficiente de acoplamento .
Figura 3.19 – Dependência da refletividade máxima com o comprimento de uma FBG
uniforme, em , para valores do coeficiente de acoplamento , e
.
Observamos que em todas as representações existe um aumento da refletividade
máxima com o comprimento da rede, contudo a taxa de variação destas duas grandezas é
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Rm
ax
Lg [ mm ]
kg = 10 cm-1
kg = 5 cm-1
kg = 1 cm-1
59
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Lg
| t g
|2
kg L
g=2
kg L
g=4
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Lg
| t g
|2 [
dB
]
kg L
g=2
kg L
g=4
proporcional a . É de salientar que inicialmente a refletividade tem um crescimento mais
rápido quanto maior for o valor de , tendendo assimptoticamente para o valor unitário com o
aumento do comprimento da rede.
Para o cálculo do coeficiente de transmissão seguem-se os mesmos passos
utilizados para o cálculo do coeficiente de reflexão. Obtém-se, assim
( )
( )
( ) ( ) (3.25)
Figura 3.20 – Espetros da transmissividade em unidades lineares (à esquerda) e em (à direita)
em função de para e .
Como se previa, a transmissividade tem um comportamento complementar ao
observado para a refletividade.
Um aspeto muito importante relativamente ao estudo da FBG é a dispersão introduzida
pelo coeficiente de reflexão. Ilustramos, na figura 3.21, a variação da fase do coeficiente de
reflexão, expressa na equação (3.23). A partir da fase do sinal refletido é possível deduzir a
expressão para o atraso de grupo sofrido e consequentemente obter a dispersão da rede que
resulta da variação não-linear da fase. Expressando o atraso de grupo por
(3.26)
A dispersão induzida pela FBG, que é dada pela derivada do atraso de grupo em
ordem ao comprimento, pode ser expressa da seguinte forma
(3.27)
onde designa o coeficiente da dispersão de velocidade de grupo da FBG.
60
1549.5 1549.6 1549.7 1549.8 1549.9 1550 1550.1 1550.2 1550.3 1550.4 1550.50
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
[ nm ]
g [
ps
2 ]
kg L
g=2
kg L
g=4
1549.5 1549.6 1549.7 1549.8 1549.9 1550 1550.1 1550.2 1550.3 1550.4 1550.5-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
[ nm ]
Dg [
ps
2 /
nm
]
kg L
g=2
kg L
g=4
Figura 3.21 – Variação da fase do coeficiente de reflexão em função de para e
.
Figura 3.22 – Atraso de grupo (à esquerda) e dispersão induzida (à direita) numa FBG
uniforme com e , para e .
Observamos que, na zona da banda proibida, a variação da fase é aproximadamente
linear, logo, nesta zona vai corresponder a um atraso de valor mínimo e consequentemente o
valor da dispersão é mínimo. Verificamos, pela figura 3.22, que apenas fora da banda proibida
ocorre o valor máximo de dispersão, e é mais elevado quanto maior for o valor do produto .
Estes valores elevados da dispersão são causados pelo elevado atraso na proximidade da
banda proibida, resultante das sucessivas reflexões nas extremidades da rede. Pela
observação do espetro da dispersão da rede, como era esperado, a dispersão é nula para o
comprimento de onda onde ocorre o máximo de refletividade.
Outro parâmetro importante de se realçar é a largura de banda deste dispositivo. De
seguida, representamos a largura de banda da banda proibida para diferentes valores de .
61
Figura 3.23 – Largura de banda da banda proibida da FBG uniforme para ,
e , em função do comprimento da rede , em .
Verificamos que, para fixo, quanto maior o comprimento da rede menor é a largura
de banda da banda proibida. Constatamos ainda que, a partir de um certo comprimento, por
mais que se aumente o comprimento a largura de banda não tem qualquer alteração, atingido
um valor mínimo para o valor de considerado. Todavia, quanto menor for o comprimentos da
FBG maior é a largura de banda proibida, mas consequentemente leva a um valor mais baixo
de refletividade máxima. Verificamos que as FBGs uniformes têm uma largura de banda
reduzida, não permitindo ser utilizada a altos ritmos binários [1].
É de notar que se não existisse acoplamento entre ondas, a reflexão apenas se
limitava ao comprimento de Bragg, deste modo espera-se que à medida que se aumenta o
acoplamento entre as ondas que se propaga no sentido positivo e no sentido contrapropagante
exista uma maior dependência dos parâmetros com a frequência e consequentemente uma
maior largura de banda [5].
3.3.4. Compensação de Dispersão Baseada em Redes Aperiódicas
De forma a permitir efetuar a compensação de dispersão para ritmos elevados,
criaram-se as chamadas redes aperiódicas, ou mais conhecidas por redes chirped (CFBG).
Este tipo de dispositivos possibilita a variação da condição de Bragg ao longo do seu
comprimento, isto é, uma variação progressiva do centro da banda proibida, através da
mudança do índice de refração efetivo modal e/ou através da variação do período espacial da
amplitude de modulação do índice ( ), ver expressão (3.11) [1]. Na figura 3.24,
representamos uma variação do período linearmente ao longo da posição longitudinal da rede,
que é expresso por
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Larg
ura
de B
anda [
nm
]
Lg [cm]
kg = 2.84 cm-1
kg = 1.62 cm-1
kg = 0.4 cm-1
62
( ) (3.28)
onde designa o período espacial da rede numa das suas extremidades e o coeficiente de
aperiodicidade, expresso usualmente em nm/cm ou nm/mm. Desta forma é possível obter uma
aperiodicidade linear, provocando o aumento do comprimento de onda Bragg e
consequentemente uma translação do centro da banda proibida para frequências cada vez
mais baixas à medida que aumenta o período espacial. Assim, os diversos comprimentos de
onda do sinal, que coincidem com o comprimento de onda de Bragg, são refletidos em
diferentes posições da CFBG, sendo as frequências mais altas refletidas logo de início e de
seguida as frequências mais baixas. Deste modo, as componentes mais lentas do espetro são
refletidas primeiro e as mais rápidas percorrem um caminho mais longo até serem refletidas,
correspondendo esta situação a uma DVG anómala. É possível também a mesma CFBG
proporcionar uma DVG normal, bastando apenas incidir o sinal no extremo contrário da CFBG.
Os demais comprimentos de onda são transmitidos normalmente. O caminho que cada
comprimento de onda percorre dentro do dispositivo é inversamente proporcional à velocidade
de propagação de cada sinal na fibra, por conseguinte, os sinais chegam à saída do dispositivo
praticamente no mesmo instante, efetuando assim a compensação da DVG [5].
Figura 3.24 – Compensação da dispersão de uma CFBG: Perfil do período espacial ( ) ao longo
do comprimento da CFBG (à esquerda); reflexão das baixas e altas frequências em pontos
diferentes (à direita) (adaptado de [1]).
Figura 3.25 – Reflexão e atraso de grupo de uma CFBG de comprimento com
parâmetro de aperiodicidade total de , para DVG normal (obtido através do programa
OptiGrating 4).
63
O facto de diferentes comprimentos de onda serem refletidos em diferentes posições
da fibra, provoca um atraso de grupo dependente do comprimento de onda. É ainda de
sublinhar que, se a aperiodicidade for linear, o atraso de grupo também é linear, tornando-se
estas redes atrativas para implementar técnicas de compensação de dispersão em sistemas de
comunicação com fibra ótica [19]. Observamos que a CFBG, usualmente, possui uma largura
de banda mais extensa do que a largura de banda de uma FBG, uma vez que neste tipo de
redes a condição de Bragg verifica-se para um maior número de componentes espetrais, sendo
a banda total da CFBG constituída pela sobreposição de várias minibandas [1].
Tomando por referência a componente espetral refletida numa das extremidades da
rede, isto é para , observa-se que a componente refletida na extremidade oposta
apresenta um atraso dado por [12]
(3.29)
em que designa a velocidade da luz no vazio. Considerando as componentes espetrais
refletidas nos extremos, a expressão para dispersão da rede, que resulta da diferenciação do
atraso de grupo em ordem ao comprimento, é a seguinte [12]
(3.30)
onde designa a diferença entre as componentes espetrais refletidas nos extremos da CFBG,
dada por
(3.31)
O sinal da dispersão está diretamente relacionado com o sinal de , sendo positivo
quando a rede é orientada no sentido dos períodos crescentes e negativo por inversão da
mesma [12]. Aplicando a equação (3.31) na expressão (3.30) obtém-se a seguinte expressão
para dispersão da rede
(3.32)
Verificamos que uma rede de Bragg com aperiodicidade linear é independente do seu
comprimento, variando apenas com o coeficiente de aperiodicidade. Deste modo, recorrendo a
CFBG é possível compensar a DVG imposta por uma fibra convencional com comprimento na
ordem das centenas de quilómetros utilizando uma CFBG de comprimento na ordem das
dezenas de centímetros [1]. Este tipo de dispositivo de compensação apresenta características
muito importantes, nomeadamente uma largura de banda relativamente elevada comparada
com a DCF que apenas compensa na perfeição para um dado comprimento de onda. O seu
custo é reduzido pois são necessários poucos centímetros de FBG para compensar grandes
distâncias, sendo que se utilizássemos uma DCF seriam necessários vários troços com
64
comprimentos muito elevados, na ordem dos . Uma desvantagem das CFBG ao atuarem
como um filtro refletor é a utilização indispensável de um circulador para separar o sinal
refletido do incidente [5].
3.4. Conclusões
Neste capítulo, analisámos duas técnicas de compensação em regime linear, para a
compensação dos efeitos da DVG e da dispersão de ordem superior utilizando as DCF, e a
compensação da DVG empregando as FBGs.
Verificámos que com a introdução da DCF, de comprimento , conseguimos recuperar
totalmente o sinal que foi introduzido inicialmente na fibra ótica de transmissão que, devido à
DVG e à dispersão de ordem superior, tinha sofrido um alargamento. Contudo, para um
sistema WDM a abordagem utilizada não é a mais correta pois o coeficiente de dispersão ,
que depende do comprimento de onda, é otimizado apenas para um comprimento de onda.
Deste modo, para vários canais é necessário uma análise diferente para que os canais tenham
compensação de dispersão idêntica.
Estes tipos de fibras apresentam algumas desvantagens, tais como os elevados custos
e exibe altas perdas, comparativamente com as fibras convencionais. Outra desvantagem é
contribuírem para a ocorrência de fenómenos não-lineares, que devido ao facto de terem uma
densidade bastante inferior relativamente às fibras convencionais conduzem a um aumento
considerável da potência no seu interior.
Foram ainda focadas as principais características das FBG uniformes e, por fim,
realçada a aplicação deste dispositivo na compensação de dispersão. Utilizou-se a reflexão de
Fresnel e a teoria dos modos acoplados para uma descrição quantitativa dos fenómenos
existentes na FBG, que permite obter um conjunto de equações diferenciais para as duas
ondas com sentidos de propagação contrários. Devido a esta interação forma-se uma banda
proibida, onde se dá a reflexão máxima, demonstrando umas das suas muitas potencialidades
de funcionar como filtro ótico.
Concluímos que quanto maior for o produto do coeficiente de acoplamento pelo
comprimento da rede , a refletividade aproxima-se do valor máximo de 100%. Averiguámos
que a largura da banda proibida para um dado fator de acoplamento varia em função do
comprimento da rede. Constatámos que quanto menor for o comprimentos da FBG maior é a
largura de banda proibida, mas que consequentemente leva a um valor mais baixo de
refletividade máxima.
Verificámos que na proximidade da fronteira da banda proibida, o sinal sofre elevada
distorção não controlável, o que inibe a utilização desta zona para efetuar compensação de
65
dispersão. Desta forma, recorre-se às CFBG para realizar compensação de dispersão. Através
da variação do índice de refração ou pela variação da periodicidade da rede, os diferentes
comprimentos de onda são refletidos em diferentes lugares na rede, sendo os valores de DVG
estimados com base na diferença de percursos entre as altas e baixas frequências. Este valor
de DVG pode ser anómalo ou normal. Verificámos que estes valores são bastante elevados
comparativamente aos introduzidos por uma DCF, possibilitando que uma FBG com
comprimento na ordem de apenas algumas dezenas de centímetros possa compensar a
dispersão introduzida por uma fibra monomodal convencional com algumas centenas de
quilómetros. Neste tipo de redes, como a condição de Bragg é satisfeita para vários
comprimentos de onda, verifica-se que a sua largura de banda é superior relativamente às
redes convencionais. Uma das limitações do uso de FBG é a necessidade de utilização de um
circulador para separar os sinais refletidos dos sinais incidentes, introduzindo desta forma
perdas na ordem dos 2 dB.
67
Capítulo 4 – Compensação de Dispersão em Regime Não-
Linear
4.1. Introdução
Na análise apresentada nos capítulos anteriores, considerámos que as fibras óticas se
tratavam de meios lineares mas, de facto, verifica-se que nem para todas as aplicações se
pode fazer esta consideração. Trata-se de uma aproximação que para potências mais elevadas
do sinal de entrada ou para comprimentos maiores da ligação perde a sua validade,
começando a manifestar-se os efeitos não-lineares das fibras óticas. Confirmou-se que todos
os materiais se comportam de forma não-linear para intensidades elevadas do campo
eletromagnético, averiguando-se um aumento do índice de refração com o aumento da
intensidade [7]. Este efeito, que estabelece a dependência do índice de refração com a
intensidade do campo, é denominado por efeito ótico não-linear de Kerr. Para calcular essas
limitações ditadas pelo regime não-linear é necessário caracterizar e quantificar esses efeitos.
4.2. Efeito Não-Linear de Kerr numa Fibra Ótica
É importante estudarmos as consequências do efeito de Kerr na propagação de
impulsos em regime não-linear. Como referimos, o efeito de Kerr modifica o índice de refração
da fibra ótica, induzido por intensos campos óticos. Sendo a constante de propagação linear
e o correspondente índice de refração modal, tem-se [4]
(4.1)
em que é a constante de propagação no vácuo.
No plano transversal é possível relacionar a constante dielétrica relativa, , com o
índice de refração da fibra, , da seguinte forma
( ) ( ) (4.2)
Em regime linear, através da equação de Helmholtz pode-se escrever
[ ( )
] ( ) (4.3)
onde é a distribuição modal. De igual forma, em coordenadas retangulares,
(4.4)
68
Admitindo que, no caso da aproximação dos modos para fibras óticas de pequeno
contraste dielétrico, se pode considerar para o campo elétrico a expressão explicitada em
(2.24). Suponhamos que existe uma perturbação na constante elétrica relativa , tal que a
nova constante elétrica é dada por
( ) (4.5)
Consequentemente, a nova constante de propagação longitudinal é dada por
(4.6)
com
∫ ∫ | ( )|
∫ ∫ | ( )|
(4.7)
onde é uma perturbação na constante de propagação. Atendendo à equação (4.2), vem
( ) (4.8)
Sendo uma perturbação no índice de refração. Assumindo a aproximação ( ) , e
substituindo a equação (4.1) na equação (4.7), obtém-se a expressão
∫ ∫ | ( )|
∫ ∫ | ( )|
(4.9)
Numa fibra ótica de sílica, o efeito não-linear de Kerr determina que o novo índice de
refração é dado por
( ) | |
(4.10)
onde é um campo fictício e é o coeficiente do índice não-linear e tipicamente
. Considerando
| | | | (4.11)
tal que representa a intensidade ótica e é uma admitância apropriada. Concluímos que
| |
(4.12)
Atendendo à definição do campo elétrico e à variação longitudinal do campo,
representadas em (2.24) e (2.28), respetivamente, tem-se
| | ( ) ( ) | ( )| (4.13)
Aplicando a equação (4.12) e (4.13) em (4.9), verifica-se que
69
∫ ∫ | ( )|
∫ ∫ | ( )|
| ( )| (4.14)
Introduzindo uma nova amplitude
( ) ( )√ ∫ ∫| ( )|
(4.15)
a equação (4.14) pode ser reescrita na seguinte forma
| ( )| (4.16)
onde o coeficiente não-linear é dado por
(4.17)
em que é a área efetiva definida por
(∫ ∫ | ( )|
)
∫ ∫ | ( )|
(4.18)
Representando | ( )| pela potência transportada ( ), a equação (4.16) vem
dada por
( ) (4.19)
Tendo por outro lado
( ) ( ) (4.20)
sendo o coeficiente de atenuação e a potência máxima do impulso à entrada da fibra, a
fase não-linear gerada pelo efeito de Kerr será dada por
( ) ∫ ( )
∫
∫ ( )
(4.21)
Obtém-se
( ) ( ) (4.22)
onde é o comprimento efetivo tal que
( ) (4.23)
70
Verificamos que existe um desvio da fase não-linear. Este fenómeno é designado por
auto-modulação de fase (AMF), que origina uma variação da frequência instantânea ao longo
da propagação dos impulsos [4].
De notar que se forem utilizadas secções de amplificação, a fase não-linear à saída do
conjunto total das secções de amplificação é dada por
( ) (4.24)
onde designa o número de secções de amplificação.
Tendo em conta o efeito não-linear provocado pela AMF obtém-se o desvio de
frequência que é dado por
( )
(4.25)
Deste modo, temos na frente do impulso
( ) (4.26)
o que implica um desvio para o vermelho. De forma análoga, na cauda do impulso dá-se
origem a um desvio para o azul.
Recordando o coeficiente de dispersão da velocidade de grupo definido em (2.50), é
dado por
( )
|
(4.27)
Na zona de dispersão anómala em que , tem-se assim
|
(4.28)
com a velocidade de grupo a comportar-se como uma função crescente da frequência na
vizinhança da portadora, onde as frequências mais altas deslocam-se com maior velocidade
que as frequências mais baixas, observa-se um deslocamento para o azul na frente e um
deslocamento para o vermelho na cauda do impulso, efeito este contrário ao causado pela
AMF. Deste modo os efeitos da DVG e da AMF equilibram-se mutuamente, permitindo a
propagação de impulsos especiais, os quais são designados por solitões claros, ou
simplesmente solitões, impulsos estes que mantêm a sua forma ao longo da propagação [4].
Mais adiante iremos estudar em detalhe este tipo de impulso.
71
É de evitar o caso em que os efeitos da DVG e da AMF não se anulam um ao outro
visto que os efeitos somados provocam um maior alargamento dos impulsos, limitando ainda
mais o desempenho do sistema.
4.3. Equação de Propagação de Impulsos em Regime Não-Linear
Apresentamos de seguida a dedução da equação não-linear, considerando a DVG e a
dispersão de ordem superior, tendo em conta a auto-modulação de fase. Desprezaram-se os
efeitos não-lineares de ordem superior, tais como os efeitos de Raman, que assumem um
papel importante na propagação de impulsos ultracurtos, com larguras inferiores a 1 ps, ou o
self-steepening [4].
Como considerámos no estudo da propagação de impulsos em regime linear, a
transformada de Fourier da envolvente é dada por
( ) ( ) ( ) (4.29)
com
( ) ( ) (4.30)
em que
( ) ∑
(4.31)
onde é a constante de atenuação. Desprezando-se os termos de ordem , aplicando a
equação (4.31) em (4.30) temos
( ) (
)
(4.32)
Devido ao efeito ótico de Kerr a constante de propagação sofre uma perturbação de
, de acordo com a equação (4.6), onde a perturbação é defina em (4.16). Admite-se que
essa perturbação não afeta a função modal ( ), de acordo com a equação (4.15) a nova
amplitude ( ) pode ser escrita por
( ) ( ) ( ) (4.33)
com
( ) ( ) [ ∫ ( ) ]
(4.34)
Atendendo à equação (4.16), vem ainda
72
( ) ( ) [ ∫ | ( )| ]
(4.35)
Pela regra de Leibniz, infere-se que
∫ | ( )| | ( )|
(4.36)
Apesar de ( ) variar ao longo do tempo, essa variação é bastante lenta. Logo, de
agora em adiante, vamos desprezar essa variação. Deste modo, tem-se
( ) | | (4.37)
com
( )
(4.38)
onde ( ) representa a parte linear, já anteriormente considerada.
Considerando as variáveis normalizadas e , já introduzidas no regime linear,
descritas nas equações (2.63) e (2.64), e atendendo à definição do comprimento dispersivo ,
definido em (2.65), conclui-se então
( )
| |
(4.39)
em que
| | (4.40)
(4.41)
onde é o coeficiente de dispersão de ordem superior e o parâmetro das perdas.
Introduzindo uma nova amplitude normalizada ( ), tal que
( ) ( )
√
(4.42)
onde é a potência de pico do impulso incidente. A equação (4.39) pode ser reescrita na
seguinte forma
( )
| |
(4.43)
sabendo que
73
(4.44)
onde representa o comprimento não-linear, que é dado por
(4.45)
É de referir que o coeficiente não é necessariamente um número inteiro, que pode
ser obtido através da seguinte expressão
√
| | (4.46)
ou, de acordo com a aproximação gaussiana
√
| | (4.47)
É usual introduzir-se uma outra amplitude normalizada ( ) tal que
( ) ( ) (4.48)
Averiguámos que com a introdução desta nova amplitude aplicanda à equação (4.43)
obtém-se
( )
| |
(4.49)
Desprezando as perdas, , e a dispersão de ordem superior, , a equação
(4.49) reduz-se à forma canónica da equação não-linear de Schrödinger (NLS), dada por [4]
( )
| | (4.50)
É possível fazer uma caracterização dos regimes de propagação em fibras óticas,
através dos comprimentos e , indicando em que condições se tornam predominantes os
efeitos da dispersão ou da não-linearidade, ou ambos os casos, ou ainda nenhum dos dois [6].
Ignorando os termos de ordem superior e as perdas, a equação (4.43) pode ser reformulada da
seguinte forma
( )
| | (4.51)
Admitindo o comprimento do sistema dado por , é possível definir quatro regimes de
propagação de impulsos. Quando e nem o efeito da dispersão nem o efeito da
74
não-linearidade se fazem sentir, podendo estes serem desprezados, logo da equação (4.51)
obtém-se
(4.52)
Este regime é conhecido como regime linear não dispersivo, no qual o impulso mantém
a sua forma durante a propagação.
Com e a propagação do impulso é dominada pelos efeitos de
dispersão, observando-se o alargamento temporal do impulso, como anteriormente foi
estudado. A este regime designa-se por regime linear dispersivo. A equação (4.51) reduz-se a
( )
(4.53)
Para o caso e os efeitos de não-linearidade predominam na
propagação do impulso, sendo os efeitos de dispersão desprezáveis. Verifica-se, novamente,
um alargamento temporal do impulso. Este regime é denominado por regime não-linear não-
dispersivo. A equação (4.51) vem
| | (4.54)
Por último, onde e , ambos os efeitos se manifestam, sendo a
propagação do impulso governada, simultaneamente, pelos efeitos de dispersão e pelos efeitos
de não-linearidade. Este regime é conhecido por regime não-linear dispersivo, que se
caracteriza por permitir a propagação de solitões. A propagação deste tipo de impulsos é
regida pela equação não-linear de Schrödinger, descrita na equação (4.50).
4.4. Sistemas com Solitões
A teoria dos solitões foi uma das mais interessantes descobertas efetuadas no âmbito
da física durante o século XX [15]. O solitão foi descrito como o comportamento de uma onda
que num meio dispersivo não-linear, sob certas condições, se propaga mantendo inalteradas
as suas características, nomeadamente a sua largura e amplitude, resistindo a colisões, e
apresenta um comportamento típico de partículas [9]. A propagação deste tipo de ondas
solitárias trouxe enormes vantagens aos sistemas de comunicação ótica de longas distâncias e
elevado ritmo de transmissão, compensando, simultaneamente, os efeitos dispersivos e os
efeitos não-lineares, os quais assumem um papel preponderante na degradação do
desempenho dos sistemas de comunicação ótica. Um impulso ótico do tipo solitão propaga-se
numa fibra resultante do equilíbrio perfeito entre a DVG e a AMF, e desta forma propaga-se
sem sofrer distorção. Os solitões que se propagam na zona de dispersão anómala, , são
75
denominados por solitões claros ou somente solitões, enquanto na zona de dispersão normal,
, são chamados solitões escuros. Nesta dissertação, vamos abordar apenas os solitões
claros, pois são aqueles que apresentam maior interesse para os sistemas de comunicação
ótica.
O estudo da propagação de solitões, em fibras óticas ideais, tem por base a equação
não-linear de Schrödinger. Através do método IST (inverse scattering transform) é possível
provar que a equação NLS aceita soluções com a seguinte forma
( ) ( ) (4.55)
Esta solução corresponde ao solitão fundamental. Este impulso propaga-se sem sofrer
distorção, uma vez que a amplitude não depende da variável normalizada , mas sim
dependente de . É possível ainda concluir que qualquer feixe incidente
( ) ( ) (4.56)
apresenta a forma
( ) ( ) (4.57)
em que o parâmetro corresponde a um número inteiro, definido em (4.44) e em (4.46). Os
impulsos com a forma descrita em (4.57) correspondem a solitões de ordem , com forma
secante hiperbólica. Para corresponde à situação do chamado solitão fundamental. Para
valores de são designados por solitões de ordem superior. Ao contrário do que se
verifica no solitão fundamental, os solitões de ordem superior não mantêm a sua forma, mas
contudo mostram uma evolução periódica, com período que em unidades reais
corresponde a
| | (4.58)
Representamos nas figuras 4.1 e 4.2 a evolução dos solitões de primeira e terceira
ordem, respetivamente.
76
Figura 4.1 – Evolução do solitão fundamental.
Figura 4.2 – Evolução do solitão de terceira ordem.
Na figura 4.2 observamos que a largura do solitão de terceira ordem inicialmente
contrai até a um pico de valor máximo, predominando os efeitos de auto-modulação de fase
sobre os efeitos da dispersão. De seguida, os efeitos da dispersão predominam em relação aos
efeitos da auto-modulação de fase causando alargamento do impulso e diminuição da sua
amplitude, para depois se dividir em várias componentes que voltam mais tarde a juntar-se,
recuperando a forma inicial quando a distância é igual ao período do solitão. Este
comportamento observa-se para todos os solitões de ordem superior, . Para o caso do
solitão fundamental, figura 4.1, este propaga-se mantendo inalterada a sua forma uma vez que
existe balanceamento dos efeitos da DVG e AMF durante toda a propagação do solitão na fibra
ótica. Apesar de os solitões de ordem superior poderem ser utilizados para compressão de
impulsos, o solitão fundamental é o mais interessante para os atuais sistemas de comunicação
pois não sofre distorção durante a sua propagação.
77
Contudo, a fibra ótica trata-se de um meio com perdas e desta forma o equilíbrio entre
a DVG e a AMF é perdido. Para que a propagação se dê sem alteração da configuração do
impulso é indispensável a utilização de amplificadores óticos para garantir que a potência ótica
nunca desça abaixo de um determinado valor, que é dado por [10]
( ) (4.59)
onde representa a largura FWHM do solitão, o índice de refração da bainha e
a dispersão total na ligação. Com a inclusão de amplificadores, estes vão introduzir ruído,
proveniente da emissão espontânea de amplificação degradando a relação sinal-ruído do
sistema e originando flutuações na amplitude e na fase do sinal ótico à saída do amplificador.
As flutuações de fase são as mais problemáticas pois, como a velocidade de grupo depende da
frequência da portadora , e qualquer flutuação de altera a derivada , tal vai fazer
com que a velocidade de grupo varie aleatoriamente na saída de cada amplificador. Esta
variação aleatória da velocidade de grupo provoca flutuações temporais aleatórias,
introduzindo jitter conhecido na literatura como jitter de Gordon-Haus [6]. A presença deste
efeito vai contribuir para degradação do sistema. Na prática, ao inserirem-se os amplificadores
para resolver a limitação, devido às perdas, vão ser introduzidas limitações provocadas pelos
efeitos do jitter [6]. Para combater estes efeitos são utilizadas técnicas de compensação de
dispersão ou técnicas de filtragem, que não iremos abordar nesta dissertação.
4.4.1. Efeito de Raman
Quando estamos na presença de sistemas de solitões com ritmos elevados, que
requerem impulsos com largura característica curta, os efeitos não-lineares de ordem superior
têm de ser contabilizados. O efeito não-linear de ordem superior mais significativo é o efeito de
Raman, ou denominado auto-desvio de frequência. Devido à largura reduzida do solitão o
espetro é mais largo, pelo que as frequências mais elevadas transferem energia para as
frequências mais baixas, através do fenómeno de desvio de frequência de Raman [6]. A
equação que descreve a propagação de um solitão numa fibra ótica, não desprezando os
efeitos de Raman, é dada por
| |
| |
(4.60)
com
(4.61)
78
onde é o coeficiente normalizado referente ao efeito de Raman e o desvio de frequência
devido ao efeito de Raman, que tipicamente para um fibra de sílica na terceira janela tem valor
. Verificamos, na figura 4.3, para um impulso com e , que o espetro é
transladado para o vermelho, refletindo-se num atraso temporal do solitão, que se acentua com
a distância, provocado pelo efeito de Raman. Este efeito de Raman é de carater determinístico
pois vai depender dos parâmetros característicos do impulso, como a energia e a largura. O
desvio de frequência induzido pelo efeito de Raman (RIFS), para um impulso sem chirp, cresce
linearmente com a distância, e é dado por [2]
( )
| |
(4.62)
onde | | . Isto mostra que o RIFS tem um papel significativo para impulsos
ultracurtos, uma vez que o desvio de frequência é maior quanto menor for a largura do impulso.
Figura 4.3 – Evolução do solitão fundamental com coeficiente do efeito de Raman .
Figura 4.4 – Evolução do solitão de segunda ordem com coeficiente do efeito de Raman .
79
No caso do solitão de segunda ordem, podemos verificar na figura 4.4 que existe uma
separação dos seus constituintes. A componente predominante é desviada para o vermelho
que consequentemente sofre um atraso em relação ao impulso de entrada, enquanto o impulso
de menor amplitude é adiantada em relação ao espetro inicial. O solitão de segunda ordem
como é mais largo que o solitão fundamental, o seu espetro muda a um ritmo mais baixo
comparativamente ao que acontece no solitão fundamental.
Com a introdução de amplificadores óticos, estes irão originar variações aleatórias na
amplitude do solitão, com estas a serem convertidas em desvio de frequência pelo efeito de
Raman, que por sua vez são convertidas em flutuações de posição pela DVG [6], contribuindo
para o agravar do jitter. Juntando esta contribuição com o jitter de Gordon-Haus, referido
anteriormente, estes vão constituir uma grande limitação para os sistemas de solitões com
ritmos elevados. Apesar do efeito de Raman ser indesejável, ele proporciona a amplificação de
sinais óticos fracos, sendo possível utilizá-lo para esquemas de amplificação ótica uma vez que
transfere energia para outro comprimento de onda.
Em sistemas de comunicação multicanal o efeito de Raman, devido à sua vasta largura
de banda, provoca interferência entre canais assumindo assim um aspeto crítico no projeto de
sistemas WDM de longa distância. Uma das soluções para combater o efeito de Raman passa
por introduzir filtros à saída dos amplificadores óticos que aumentam a relação sinal-ruído,
diminuindo o jitter, ou através de técnicas de gestão de dispersão [6].
De seguida, apresentamos técnicas de gestão de dispersão para reduzir os desvios de
frequência, efeitos que conduzem ao aparecimento de jitter.
4.4.2. Gestão de Dispersão
Para combater os desvios de frequência, é usual utilizar técnicas de gestão de
dispersão empregando troços de fibra com coeficientes de dispersão diferentes
alternadamente, para que durante a propagação se mantenha o valor médio da dispersão
dentro da zona anómala para permitir a propagação de impulsos cuja forma contrai e alarga
durante a propagação ao longo da fibra [6]. Para ser possível minimizar o jitter, os valores do
coeficiente de dispersão devem ser escolhidos para que a dispersão média , dada por
(4.63)
seja praticamente nula. Isto permite não só elevar a potência de pico, que leva a um aumento
do valor da relação sinal-ruído do sistema, e à diminuição do jitter, bem como aumentar a
distância de transmissão máxima dos sistemas baseados em solitões. Considerando a variação
da dispersão, a equação que rege a propagação do solitão, desprezando os termos de ordem
superior, é definida da seguinte maneira
80
( )
| |
(4.64)
com
( ) ( )
(4.65)
onde ( ) é o coeficiente de dispersão normalizada, o termo da dispersão média e ( ) o
parâmetro da dispersão de um dado local da ligação. O parâmetro ( ) é dado por
( )
( ) (4.66)
Um dos mapeamentos de dispersão mais utilizado é representado na figura 4.6, com
e . Recorrendo a este mapa, ilustramos na figura 4.5 a evolução da gestão de
dispersão ao longo de um período de dispersão. Foram desprezadas as perdas e considerou-
se , ( ), ( ), , obtendo
( ). Verifica-se que a largura do impulso aumenta inicialmente durante o
primeiro troço de fibra pois e que no seguinte troço o impulso contrai porque ,
recuperando a forma do impulso inicial ao fim do período de .
Figura 4.5 – Evolução do solitão fundamental para um sistema com gestão de dispersão.
Figura 4.6 – Mapa de dispersão, para e [6].
81
-15 -10 -5 0 5 10 150
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
Impulso inicial
Impulso final
-15 -10 -5 0 5 10 150
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo
Am
plit
ude
Impulso inicial
Impulso final
4.5. Impulso Gaussiano
De seguida, analisamos a propagação do impulso Gaussiano em regime não-linear, na
zona anómala. Sendo a propagação deste impulso regida pela equação não-linear de
Schrödinger, equação (4.50), ilustramos nas figuras 4.6 e 4.7 a evolução do impulso Gaussiano
para e . Ao contrário do que se verificou na evolução do impulso Gaussiano em
regime linear, observa-se que o impulso Gaussiano, quando se considera a fibra ótica como um
meio não-linear, tem uma evolução completamente distinta [15]. Constata-se que o
alargamento e consequente diminuição da amplitude do impulso Gaussiano em regime não-
linear são menos pronunciados. Para curtas distâncias estabelece-se um estado de equilíbrio
das características do impulso, mantendo-se inalteráveis durante a sua propagação tendendo
para a forma do solitão, perdendo energia até adquirir a forma do solitão fundamental.
Figura 4.7 – Impulso Gaussiano à entrada e à saída da fibra em regime não-linear para distâncias
(à esquerda) e (à direita).
Figura 4.8 – Evolução do impulso Gaussiano ao longo da fibra em regime não-linear para
distâncias (à esquerda) e (à direita).
82
No entanto, quando consideramos distâncias muito elevadas, a amplitude e a largura
do impulso oscilam devido aos efeitos da DVG e da AMF. Como verificámos para os sistemas
com solitões, o impulso alarga e a amplitude diminui devido aos efeitos da DVG, sendo que
mais tarde o impulso sofre um estreitamento e consequentemente um aumento da amplitude,
predominando os efeitos da AMF sobre os efeitos da DVG [15]. Deste modo, os impulsos
Gaussianos podem ser utilizados para descrever solitões em mapas de dispersão que
permitem baixar a DVG média da ligação.
4.6. Conclusões
Neste capítulo, efetuámos uma análise acerca dos vários efeitos não-lineares que
governam a propagação de impulsos. Verificámos que, na zona anómala, existe um equilíbrio
entre a DVG e a AMF dando origem a impulsos do tipo solitão. Através da equação não-linear
de Schrödinger conseguimos descrever a propagação dos solitões em fibras óticas. Estes
impulsos, quando se desprezam os efeitos das perdas, propagam-se sem alteração da forma,
apresentando grandes potencialidades para serem usados em sistemas de comunicação,
permitindo ritmos de transmissão muito elevados pois não se encontram limitados pela
interferência inter-simbólica. Averiguámos que os solitões de ordem superior, ao contrário do
solitão fundamental, mostram uma evolução periódica recuperando a sua forma inicial
periodicamente.
Se contabilizarmos as perdas, é necessário a introdução de amplificadores óticos para
ser possível a propagação de impulsos do tipo solitão. Mas com a utilização de amplificadores
óticos, observámos o aparecimento de jitter de Gordon-Haus, causado pela presença do ruido
de emissão espontânea.
Constatámos ainda que para impulsos curtos é importante considerar o efeito de
Raman, introduzindo atrasos, incitando ao aparecimento do jitter de Raman, sendo este o
efeito não-linear mais forte. O jitter de Raman e o jiiter de Gordon-Haus provocam as grandes
limitações dos sistemas baseados em solitões. Para minimizar o efeito do jitter recorre-se a
mapas de dispersão periódicos que mantêm o valor médio da dispersão na zona anómala para
permitir a propagação de impulsos cuja forma contrai e alarga durante a propagação ao longo
da fibra, conseguindo recuperar, periodicamente, a forma inicial, à semelhança dos solitões de
ordem superior quando não são consideradas os efeitos das perdas. Desta forma, consegue-se
aumentar a relação sinal-ruido e reduzir o jitter.
Por último, simulámos o impulso Gaussiano, e verificámos que o alargamento e
consequente diminuição da amplitude do impulso em regime não-linear foram menos
pronunciados que o caso semelhante para regime linear. Para curtas distâncias estabeleceu-se
um estado de equilíbrio das características do impulso, mantendo-se inalteráveis durante a sua
propagação tendendo para a forma do solitão, perdendo energia até adquirir a forma do solitão
83
fundamental. Quando considerámos distâncias muito elevadas, a amplitude e a largura do
impulso oscilaram devido aos efeitos da DVG e da AMF. Como verificámos para os sistemas
com solitões, o impulso Gaussiano alargou e a amplitude diminuiu devido aos efeitos da DVG,
sendo que mais tarde o impulso sofreu um estreitamento e consequentemente um aumento da
amplitude, predominando os efeitos da AMF sobre os efeitos da DVG. Portanto, o impulso
Gaussiano pode ser utlizado para descrever solitões em mapas de dispersão, baixando a DVG
média da ligação.
85
Capítulo 5 – Conclusões
Ao longo desta dissertação abordámos diversos aspetos relativos à propagação de
impulsos, em regime linear e em regime não-linear, em fibras óticas, com o objetivo de analisar
o problema da dispersão. Caracterizámos as limitações levantadas pela dispersão e
apresentámos, de seguida, diversas técnicas de compensação de dispersão possíveis de
serem utilizadas para ultrapassar essas limitações. Recorremos ao MATLAB para simular os
resultados demonstrados, para uma melhor compreensão destes.
No capítulo dois, começámos por fazer uma breve introdução à estrutura das fibras
óticas e verificámos que estas estão sujeitas a mecanismos dispersivos. Observámos que as
fibras óticas podem ser classificadas em monomodais ou multimodais, dependendo do número
de modos que se podem propagar nestas. O número de modos está diretamente relacionado
com o raio da fibra. Averiguámos que uma fibra está no regime monomodal quando a
frequência normalizada é inferior a 2.4048. Para uma fibra monomodal, constatámos que o
coeficiente de dispersão de segunda ordem, designado por coeficiente da dispersão de
velocidade de grupo (DVG), é responsável pelo alargamento que ocorre nos impulsos durante
a sua propagação na fibra. Este alargamento temporal vai causar interferência inter-simbólica,
provocando interferência entre os sinais, limitando o débito e o comprimento da ligação. O
parâmetro de dispersão total na fibra ótica resulta da soma do parâmetro de dispersão de
material com o parâmetro de dispersão de guia de onda. É exequível dimensionar fibras óticas
para obtermos dispersão total nula na ligação, através da manipulação das características da
fibra ótica para o comprimento de onda de operação, tais como o raio do núcleo e o contraste
dielétrico. Observámos que para uma fibra monomodal convencional, o zero do parâmetro de
dispersão ocorre em , e que para uma fibra de dispersão modificada convencional
o zero do parâmetro de dispersão ocorre na região da 3ª janela para .
Posteriormente, deduzimos a expressão da propagação de impulsos numa fibra ótica
em regime linear. Confirmámos que a propagação é influenciada pelos mecanismos
dispersivos, sendo a expressão da propagação de impulsos em sistemas de fibra ótica
representada através do coeficiente de DVG e do coeficiente de dispersão de ordem superior.
A variação de largura do impulso é calculada e de seguida contabilizada para um
impulso Gaussiano, para diferentes parâmetros de chirp, na região anómala. Considerámos o
impulso Gaussiano uma vez que a sua análise analítica e numérica é de menor dificuldade
comparativamente a outros tipos de impulsos. Concluímos que o alargamento do impulso
depende do parâmetro chirp. Desprezando-se os termos de ordem superior, o efeito do chirp
pode inicialmente conduzir a uma contração do impulso até a um determinado ponto, caso o
parâmetro de chirp seja positivo. A partir de um certo comprimento, o impulso começa a
alargar, com essa variação superior ao verificado para o caso do parâmetro chirp nulo. Para
86
distâncias menores que o comprimento dispersivo é vantajoso utilizar o parâmetro chirp
positivo pois pode servir como técnica de pré-compensação de dispersão. Para chirp negativo,
observou-se logo inicialmente um aumento da largura do impulso muito abrupto, revelando-se o
caso em que existe maior degradação do sistema.
Com auxílio do algoritmo FFT (Fast Fourier Transform) simulámos a propagação de
diversos impulsos numa fibra ótica desprezando os efeitos de ordem superior, na região
anómala. Considerando-se que o meio onde se propaga o impulso não tem perdas, os
impulsos sofreram um acréscimo na sua largura e consequentemente uma diminuição na sua
amplitude de modo a manter o seu valor energético constante ao longo da sua propagação.
Para o impulso Gaussiano, confirmou-se o estudo analítico realizado anteriormente, onde se
constata que para chirp inicial este produz um maior alargamento do impulso. Para chirp
negativo, observámos um alargamento temporal mais abrupto que no caso do impulso sem
chirp, enquanto para chirp positivo há inicialmente uma contração do impulso mas de seguida
sofre um alargamento de fator semelhante ao que ocorre para chirp negativo. Verificámos que
o impulso super-Gaussiano alarga a um ritmo mais elevado do que o impulso Gaussiano e o
impulso exponencial, pois tem um espetro mais abrangente originando atrasos em cada
componente de frequência devido à DVG. No impulso com perfil de secante hiperbólica,
verificámos um andamento semelhante ao impulso Gaussiano, ambos mantêm inalterado o seu
perfil. Contudo, ostentam uma diferença do chirp induzido, sendo que para o impulso secante
hiperbólica a variação do parâmetro chirp é não-linear. Verificámos, ainda que, como não
considerámos as perdas da fibra, os espetros dos impulsos não sofreram qualquer alteração
durante a propagação na fibra ótica, com a DVG a não exercer influência sobre o espetro do
impulso.
Partindo da fórmula do impulso Gaussiano, com a sua solução dada em termos da
função de Airy, estudámos o coeficiente de dispersão de ordem superior. Concluímos que
estes efeitos manifestam-se para dois casos: quando o coeficiente da DVG é nulo e para
impulsos ultracurtos, em que o espetro é vasto.
Devido à grande degradação imposta pela dispersão nos sistemas de comunicação foi
necessário recorrer a técnicas de compensação de dispersão. No terceiro capítulo
apresentámos duas das técnicas de compensação de dispersão mais utilizadas em sistemas
de comunicação ótica em regime linear, as DCFs e as FBGs. Deste modo, conseguiu-se
aumentar consideravelmente o comprimento das ligações. Primeiro, estudámos a técnica de
compensação de dispersão usando DCFs, que combina troços de fibra ótica com coeficiente de
dispersão de sinal contrário às fibras de transmissão SMF, a fim de reduzir o valor médio da
dispersão a zero. No final do troço verificámos a recuperação total da forma inicial do impulso,
compensando os efeitos da DVG e da dispersão de ordem superior. Contudo, o seu custo é
elevado, introduz perdas na ligação e possibilita o aparecimento de efeitos não-lineares.
Depois, analisámos as redes de Bragg e observámos as grandes potencialidades e
versatilidades deste dispositivo na área dos sistemas óticos. Começámos por estudar as FBG
87
uniformes, verificando-se a existência de uma banda proibida, onde ocorre a reflexão máxima,
apresentando uma resposta na frequência similar a um filtro ótico. Observou-se que quanto
maior o produto entre o coeficiente de acoplamento e o comprimento da rede, maior era a
refletividade, aproximando-se do valor máximo de 100%. Na banda proibida, onde ocorre a
refletividade máxima, a dispersão induzida é nula, verificando-se que existe apenas dispersão
na fronteira da banda proibida devido às múltiplas reflexões de alguns comprimentos de onda
nas extremidades da rede para alguns comprimentos de onda. Demonstrámos que para
aumentar a largura de banda era necessário diminuir o comprimento da rede uniforme, contudo
a refletividade da rede seria menor. A largura destes dipositivos é inferior a 1 e depende
também do coeficiente de acoplamento entre as ondas de propagação.
Verificámos que a reduzida largura de banda e a elevada distorção não controlável do
sinal na zona próxima da fronteira da banda proibida inibem a utilização das FBGs uniformes
para efetuar compensação de dispersão. Deste modo, introduzimos a compensação da
dispersão baseada em CFBGs. Com este dispositivo, os diversos comprimentos de onda do
sinal que coincidem com o comprimento de onda de Bragg são refletidos em diferentes
posições da CFBG. Conseguiu-se, deste modo, compensar facilmente a dispersão normal ou
anómala com uma CFBG de comprimento apenas na ordem das dezenas de centímetros para
recuperar o sinal inicial que se propagou numa fibra de centenas de quilómetros. As CFBGs
são, assim, mais vantajosas que as DCFs pois quando utilizamos as DCFs para compensação
de dispersão foi necessário uma fibra de comprimento bastante superior. Uma desvantagem
das FBGs é a necessidade de um circulador para separar o sinal refletido do incidente,
introduzindo perdas na ordem dos 2 .
Por último, no quarto capítulo, analisámos a influência dos efeitos não-lineares na
propagação dos impulsos. Verificámos que a equação não-linear de Schrödinger é responsável
pela caracterização da propagação dos impulsos em meios não-lineares. Devido aos elevados
campos óticos induzidos, existe uma variação do índice de refração associado ao efeito ótico
não-linear de Kerr. Esta dependência da intensidade do campo vai ser responsável pelo efeito
de auto-modulação de fase. Em determinadas circunstâncias especiais observou-se um
balanceamento entre a DVG e a AMF, permitindo a propagação de solitões, impulsos estes que
não sofrem alterações na sua forma ao longo da fibra, o que os torna tão desejáveis para
comunicações óticas. Recorrendo-se ao método SSFM (Split-Step Fourier Method) simulámos
o solitão de ordem fundamental e o solitão de terceira ordem. Como era de esperar, o solitão
fundamental manteve a sua largura e amplitude inalteradas durante a propagação. O solitão de
terceira ordem apresentou uma periodicidade de , recuperando a sua forma inicial ao fim de
cada ciclo. Este apresentou picos de amplitude, em cada período, que resultaram do
estreitamento do impulso de modo a respeitar o princípio de conservação de energia.
Quando consideramos a fibra ótica um meio com perdas, é necessário amplificação
para o solitão manter a sua forma durante a sua propagação na fibra ótica. Com a introdução
de amplificadores, estes originam flutuações na amplitude e na fase, fazendo com que a
88
velocidade de grupo varie aleatoriamente na saída de cada amplificador. Esta variação da
velocidade de grupo provoca flutuações temporais aleatórias introduzindo jitter de Gordon-
Haus, que contribui para a degradação do sistema.
Estudámos, ainda, o efeito mais forte de ordem superior, o efeito de Raman.
Concluímos que este deve ser contabilizado para impulsos ultracurtos, introduzindo desvios de
frequência que levam a desvios temporais determinísticos significativos.
Para minimizar o jitter de Gordon-Haus e o efeito de Raman, utilizámos mapas de
dispersão para manter o valor médio da dispersão dentro da zona anómala e permitir a
propagação de impulsos cuja forma contrai e alarga durante a propagação ao longo da fibra,
aumentando a relação sinal-ruído da comunicação. Verificámos que durante o primeiro
segmento de fibra ótica o impulso alargou mas no seguinte troço o pulso contraiu recuperando
o impulso inicial ao fim do período.
Para finalizar, simulámos o impulso Gaussiano. Observámos que a evolução do
impulso Gaussiano em regime não-linear é diferente ao que verificámos para o impulso
Gaussiano em regime linear. O alargamento e consequente diminuição da amplitude do
impulso em regime não-linear foram menos pronunciados. Para curtas distâncias estabeleceu-
se um estado de equilíbrio das características do impulso, mantendo a sua forma durante a sua
propagação tendendo para a forma do solitão, perdendo energia até adquirir a forma do solitão
fundamental. Para distâncias muito elevadas, a amplitude e a largura do impulso variaram
devido aos efeitos da DVG e da AMF. Como verificámos para os sistemas com solitões, o
impulso alargou e a amplitude diminuiu devido aos efeitos da DVG, sendo que mais tarde o
impulso sofreu um estreitamento e consequentemente um aumento da amplitude,
predominando os efeitos da AMF sobre os efeitos da DVG. Desta forma, o impulso Gaussiano
pode ser utlizado para descrever solitões em mapas de dispersão, baixando a DVG média da
ligação.
5.1. Perspetivas para Trabalhos Futuros
Após o cumprimento dos objetivos propostos, existem alguns outros tópicos
interessantes que podem ser abordados em trabalhos futuros:
Estudo de técnicas de filtragem para controlo do jitter temporal;
Estudo de sistemas WDM em regime não-lineares;
Estudo de novos meios materiais, que têm surgido devido à constante evolução na
área da ótica, como por exemplo os cristais fotónicos. Estas fibras apresentam
grande flexibilidade permitindo controlar as propriedades dispersivas e não-lineares
da fibra;
Estudo do processo de amplificação em sistemas de comunicação ótica.
89
Anexo A - Fórmula Geral do Alargamento dos Impulsos em Fibras Óticas
Este anexo tem como objetivo a dedução de uma fórmula geral do alargamento de
impulsos durante a propagação em fibras óticas em regime linear. Esta fórmula permite
descrever o alargamento de impulsos de forma arbitrária. Mais tarde, aplicou-se este resultado
para o caso de propagação de um impulso Gaussiano inicial, tendo em conta os efeitos
dispersivos até à terceira ordem, desprezando-se a largura espetral da fonte.
A.1 – Dedução da Equação Geral de Propagação de Impulsos em Fibra
Ótica no Regime Linear
Geralmente, nos estudos de dispersão, a largura efetiva temporal para um impulso com
forma arbitrária, na saída da fibra, é caracterizada por
√⟨ ⟩ ⟨ ⟩ (A.1)
onde ⟨ ⟩ representa os diferentes momentos característicos da forma do pulso, que podem
ser definidos em termos do espetro do impulso
⟨ ⟩ ∫ | ( )|
∫ | ( )|
(A.2)
Admitindo que
∫| ( )|
∫| ( )|
(A.3)
A expressão (A.3) possibilita simplificar a expressão (A.2) na seguinte forma
⟨ ⟩ ∫ | ( )|
(A.4)
o que permite definir os momentos de primeira ⟨ ⟩ e de segunda ordem ⟨ ⟩ nas seguintes
expressões
⟨ ⟩ ∫ | ( )|
(A.5)
⟨ ⟩ ∫ | ( )|
(A.6)
As equações (A.5) e (A.6) podem ser reescritas por
90
⟨ ⟩ ∫ ( ) ( )
(A.7)
⟨ ⟩ ∫ ( ) ( )
(A.8)
Definindo a transformada de Fourier do impulso ( ) e a sua inversa
( ) ∫ ( )
(A.9)
( )
∫ ( )
(A.10)
e substituindo a equação (A.10) na equação (A.7), que define o momento de primeira ordem,
obtém-se
⟨ ⟩ ∫
( ) [
∫ ( )
] (A.11)
Alterando a ordem dos integrais, a expressão (A.11) fica
⟨ ⟩
∫ ( )
[∫ ( )
] (A.12)
Aplicando a segunda relação de Parseval
∫ ( ) ( )
∫
( )
(A.13)
à expressão (A.12), o momento de primeira ordem ⟨ ⟩, como se queria demonstrar, vem da
seguinte forma
⟨ ⟩
∫ ( )
( ) (A.14)
onde ( ) é a derivada parcial em relação à frequência da transformada de Fourier do
impulso ( ). Para determinar a expressão do momento de segunda ordem ⟨ ⟩ aplicamos
idênticos passos aos utilizados para definir o momento de primeira ordem ⟨ ⟩, sendo que para a
dedução de ⟨ ⟩ empregamos a terceira relação de Parseval
∫ ( ) ( )
∫
(A.15)
resultando na seguinte expressão para ⟨ ⟩
91
⟨ ⟩
∫ | ( )|
(A.16)
Calculados os momentos de primeira e segunda ordem, de seguida efetuamos os
cálculos para a variação do atraso de grupo, sendo necessário especificar ( ) da seguinte
forma
( ) ( ) ( ) (A.17)
em que ( ) é dado por
( ) ( ) ( ) (A.18)
no qual o parâmetro ( ) resulta do efeito chirp inicial do impulso, ( ) é o espetro do impulso
e é a constante de propagação.
Considere-se o atraso de grupo ( )
∫ ( )
(A.19)
onde se verifica a dependência da constante de propagação com a frequência e com a
coordenada longitudinal . Para efeitos de simplificação, daqui em adiante, parte-se do
princípio que não varia ao longo da propagação, ( ) e que ( ) . Assim, a
expressão (A.19) vem
(A.20)
As equações (A.17) e (A.18) permitem concluir que,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (A.21)
no qual
( ) (A.22)
onde , e . Aplicando as expressões (A.17) e (A.21) na
expressão (A.14) tem-se que
⟨ ⟩
∫ ( ) ( )
∫ ( ) ( )
(A.23)
Tendo em conta a equação (A.18), a equação (A.23) pode ser reescrita da seguinte
forma
92
⟨ ⟩
∫ | | ( )
(A.24)
no qual admitimos que para . Como anteriormente foi referido, considerou-se
que não varia ao longo da propagação, substituindo a expressão (A.20) na equação (A.24)
tem-se
⟨ ⟩
∫ ( )| |
(A.25)
Seja
⟨ ⟩
∫ ( )| |
(A.26)
e comparando esta equação (A.26) com a equação (A.25) obtém-se a seguinte expressão final
para o momento de primeira ordem
⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ (A.27)
Utilizando o mesmo raciocínio utilizado para o cálculo do momento de primeira ordem,
calculamos, de seguida, a equação do momento de segunda ordem. Substituindo a equação
(A.21) na equação (A.16) resulta
⟨ ⟩
∫ | ( ) ( ) |
(A.28)
Tendo em conta a equação (A.18), a equação (A.28) pode ser reescrita da seguinte
forma
⟨ ⟩
∫ |
|
∫ | |
∫ | |
∫ | |
(A.29)
Com base na equação (A.26) infere-se que
⟨ ⟩
∫ |
|
⟨ ⟩ ⟨
⟩ ⟨ ⟩ (A.30)
Aplicando a expressão (A.30) e (A.27) em (A.1) vem
∫ |
| ⟨ ⟩
⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩⟨ ⟩ (A.31)
Fazendo
∫ |
| ⟨ ⟩
⟨ ⟩ origina finalmente a expressão para
largura efetiva temporal, para um impulso com forma arbitrária
93
√ [⟨
⟩ ⟨ ⟩ ] [⟨ ⟩ ⟨ ⟩⟨ ⟩] (A.32)
Observamos que a expressão do alargamento do impulso depende da média da
velocidade de grupo e do parâmetro que é responsável pelo efeito de chirp, tendo este
um papel importante no alargamento do impulso.
A.2 – Alargamento de um Impulso Gaussiano com Efeitos Dispersivos de
Ordem Superior
De seguida, desprezando-se o efeito da largura espetral da fonte, aplicamos a fórmula
geral do alargamento de impulsos, para o caso de propagação em regime monomodal linear
para um impulso inicial Gaussiano, com chirp . O parâmetro corresponde a uma variação da
frequência instantânea da portadora ótica ao longo de um impulso ótico que causa um
espalhamento do impulso, prejudicial para comunicações a longas distâncias.
Seja então a respetiva envolvente dada por
( )
[
(
) ]
(A.33)
sendo a sua transformada de Fourier definida da seguinte forma
( ) ∫ [
(
) ]
(A.34)
Atendendo à definição do integral
∫ [ ( )] √
(
)
(A.35)
podemos tirar da equação (A.34) e (A.35) que ( ) e . Resolvendo o
integral da expressão (A.34), aplicando a relação da expressão (A.35) tem-se
( ) √
( )
[
( )]
(A.36)
Sabendo que
√ [ ( )] (A.37)
tem-se assim
94
( ) √
√
[
]
[ (
( )
)] (A.38)
Para se calcular utiliza-se a equação (A.3), ficando
∫ | [
(
) ]|
∫
(
)
(A.39)
Resolvendo este integral através da relação da expressão (A.35), infere-se que
√ (A.40)
Utilizando este resultado em (A.38) obtém-se
( ) √
[
]
[ (
( )
)] (A.41)
Comparando a equação (A.41) com a equação (A.18) conclui-se que
( ) √
[
] (A.42)
( )
( )
(A.43)
É importante, para o resto da demonstração, definir os seguintes resultados
| | √
[
] (A.44)
(A.45)
Considerando-se razoável a aproximação do valor de até ao terceiro termo da série
de Taylor e que é independente de , implica que
( ) ∫ ( )
(
) (A.46)
Aplicando a equação (A.26), a expressão de ⟨ ⟩ é dada por
⟨ ⟩
∫ | |
∫ (
) | |
(A.47)
Atendendo aos integrais
95
∫ [ ] √
(A.48)
∫ [ ]
(A.49)
∫ [ ]
√
(A.50)
∫ [ ]
(A.51)
∫ [ ]
√
(A.52)
Desta forma, verifica-se que
∫ | |
(A.53)
∫ | |
(A.54)
∫ | |
(
) (A.55)
∫ | |
(A.56)
∫ | |
(
)
(A.57)
Por conseguinte, obtém-se
⟨ ⟩
(
) (A.58)
o que implica
⟨ ⟩ ( ) (
) [
(
)]
(A.59)
De igual forma, para o cálculo de ⟨ ⟩
⟨ ⟩
∫ (
)
| |
(A.60)
segue-se o mesmo raciocínio para o cálculo de ⟨ ⟩, aplicando-se à equação (A.60) as
equações (A.53), (A.54), (A.55), (A.56) e (A.57) pode-se reescrever (A.60) da seguinte forma
96
⟨ ⟩ ( ) (
) (
)
[(
)]
(A.61)
Passa-se, de seguida, para o cálculo do termo ⟨ ⟩ da equação geral de propagação,
aplicando-se as equações (A.45) e (A.46) em (A.26) tem-se
⟨ ⟩
∫ (
) (
) | |
(A.62)
Tendo em conta as equações (A.53), (A.54), (A.55), (A.56) e (A.57) infere-se que
⟨ ⟩
(A.63)
Já para o cálculo do termo ⟨ ⟩⟨ ⟩, atendendo à definição de , expressa em (A.45),
ao aplicar-se esta à expressão (A.26) obtém-se
⟨ ⟩
∫
| |
(A.64)
Atendendo ao integral da equação (A.54), ⟨ ⟩ e por esta razão
⟨ ⟩⟨ ⟩ (A.65)
Sendo assim, a equação para largura efetiva temporal , definida na expressão (A.32),
para o caso considerando é dada por
√
(
)
( ) (
√ )
(A.66)
Por fim, obtém-se a fórmula para o alargamento do impulso Gaussiano, , em
regime linear, considerando-se a dispersão de ordem superior
√(
)
(
)
( ) (
√ )
(A.67)
97
Referências
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Tecnologia, Departamento de Engenharia Elétrica, 2005.
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Bragg para Telecomunicações, Universidade do Porto em parecia com a Universidade de
Aveiro.
[19] Caldeira, M.A. B., Projecto e implementação de FBGs para aplicações em
telecomunicações, Universidade de Aveiro, Departamento de Electrónica, Telecomunicações e
Informática, 2010.
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