condor 1 1er trabajo io

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ

Facultad de Ingeniería de Minas

CURSO: Investigación de Operaciones TEMA: Método gráfico de solución de un Programa Lineal PERTENECE: Condor Araujo Joel Condor

2015 - IDocente : José AVELLANEDA PURI avellaneda7@hotmail.com

EJERCICIOSMÉTODO GRÁFICO DE SOLUCIÓN DE UN PROGRAMA LINEAL

1) Maximizar Z = x2 - 0.75x1

s.a. x1 - x2 0 ….……….. (1) -0.5x1 + x2 1 ………….. (2) x1,x2 0

Solución:Gráfico de las restricciones estructurales:Inecuación (1): x1 – x2 0m = tg = -c1 = -(1) = 1 = x2 ; “m” positivo: x2=-1, x1=1 c2 (-1) 1 x1

Si: x2=0; , Si: x1=0; x20x10

Función económica o función objetivo

Restricciones estructurales

Restricción de no-negatividad

m = tg = -c1 = x2

c2 x1

Si “m”:Positivo (-) x2

(+) x1

Negativo (+) x2

(-) x1

x20

x10

1 2 3 4 5 6-1-2-3

5

4

3

2

1

-1

-2

1

2

Z óptimo

Polígono Convexo NO Acotado(Abierto)

x2

x1

P(x1,x2)

P(x1,x2)=P(2,2)Maximizar Z = x2 – 0.75x1 =2-0.75(2)=0.5

Z 11

x1-2 x21Inecuación (2): -0.5x1 + x2 1Si: x2=0; -0.5x1 1, , Si: x1=0;

Gráfico de las restricciones de no-negatividad:X1, x20; y

Gráfico de la función objetivo:Maximizar Z = x2 – 0.75x1 = –0.75x1 + x2

m = tg = -c1 = -(-0.75) = 0.75 = x2 ; “m” positivo: x2=-0.75*2=-1.5, x1=1*2=2 c2 (1) 1 x1

Resolviendo la intersección de (1) y (2): x1 – x2 = 0 ………….. (1)-0.5x1 + x2 = 1 ………….. (2)

Se obtiene la siguiente solución óptima única:Maximizar Z = x2 – 0.75x1 = 2-0.75(2) = 0.5

x10 x20

x2=-1.5 x1=2

x1=2 x2=2

2) Minimizar Z = x1 - 10x2

s.a. x1 - 0.5x2 0 …….….….. (1) x1 - 5x2 -5 ………….. (2) x1,x2 0 Solución:Gráfico de las restricciones estructurales:Inecuación (1): x1 – 0.5x2 0m = tg = -c1 = -(1) = 1 = 2 = x2 ; “m” positivo: x2=-2, x1=1 c2 (-0.5) 0.5 1 x1

Si: x2=0; , Si: x1=0; o x1x2

Inecuación (2): x1 - 5x2 -5Si: x2=0; , Si: x1=0; -5x2-5,

x10 x20

x1-5 x21

x20

x10

1 2 3 4 5 6-1-2-3

5

4

3

2

1

-1

-2

1

2Polígono Convexo NO Acotado

(abierto)

x2

x1

Minimizar Z = x1 – 10x2

-4-5Z1

1

Z3

Solución NO FACTIBLE oProblema NO SOLUBLE

Z2

Gráfico de las restricciones de no-negatividad:x1, x20; y

Gráfico de la función objetivo:Minimizar Z = x1 - 10x2

m = tg = -c1 = -(1) = 0.5 = x2 ; “m” positivo: x2=-0.5, x1=5 c2 (-10) 5 x1

Es un caso excepcional, la recta Z en todo momento es secante al Polígono Convexo NO Acotado (abierto).

x10 x20

3) Maximizar Z = 3x1 + 2x2 – x3

s.a. x1 + 2x2 + x3 10 ……….….. (1) x1 + x2 + 2x3 9 …………….. (2) 2x1 - x3 12 ……….….. (3) x1,x2,x3 0

Solución: x2

x1

x3

Aquí debemos acudir a un espacio tridimensional, y como se deduce el tratar de resolverlo gráficamente resulta muy complicado. Por lo que es menester la solución por otro método y que será uno analítico como veremos en el próximo capítulo.

4) Maximizar Z = 2x1 + 3x2

s.a. x1 + x2 = 8 …………….. (1) 2x1 + 3x2 12 ………….. (2) x1,x2 0

Solución:Gráfico de las restricciones estructurales:Ecuación (1): x1 + x2 = 8Si: x2=0; , Si: x1=0;

Inecuación (2): 2x1 + 3x2 12 Si: x2=0; , Si: x1=0;

Gráfico de las restricciones de no-negatividad:x1, x20; y

x1=8 x2=8

x16 x24

x10 x20

Gráfico de la función objetivo:Maximizar Z = 2x1 + 3x2

m = tg = -c1 = -(2) = -2 = x2 ; “m” negativo: x2=2, x1=3 c2 (3) 3 x1

Del gráfico se deduce: La intersección del semiplano (2x1 + 3x2 12) con la recta (x1 + x2 = 8) viene a constituir la misma recta y es en ella donde se encuentra la solución óptima.

Resolviendo la intersección de: x1 + x2 = 8 ………….. (1) x1 = 0 ………….. (2) Se obtiene la siguiente solución óptima única:Maximizar Z = 2x1 + 3x2 = 2(0) + 3(8) = 24

x1=0 x2=8

x20

x10

1 2 3 4 5 6-1

5

4

3

2

1

1

2

Z óptimo

x2

x1

P(x1,x2)=P(0,8)

Maximizar Z = 2x1 + 3x2 =2(0)+3(8)=24

Z1

7 8

6

7

8

Z2

5) Maximizar Z = 3x1 + 2x2

s.a. x1 + x2 1 …….….. (1) x2 - 5x1 0 ………... (2) 5x2 – x1 0 …….….. (3) x1 – x2 -1 ….….…. (4) x1 + x2 6 …….….. (5) x1 3 …….….. (6) x1,x2 0

Solución:Gráfico de las restricciones estructurales:Inecuación (1): x1 + x2 1Si: x2=0; , Si: x1=0;

Inecuación (2): -5x1 + x2 0m = tg = -c1 = -(-5) = 5 = x2 ; “m” positivo: x2=-5, x1=1 c2 1 1 x1

x11 x21 1 punto

1 punto

Práctica calificada (23.04.20159

Si: x2=0; , Si: x1=0;

Inecuación (3): – x1 + 5x2 0m = tg = -c1 = -(-1) = 1 = x2 ; “m” positivo: x2=-1, x1=5 c2 5 5 x1

Si: x2=0; , Si: x1=0;

Inecuación (4): x1 - x2 -1Si: x2=0; , Si: x1=0;

Inecuación (5): x1 + x2 6Si: x2=0; , Si: x1=0;

Inecuación (6): x1 3Si: x2=0;

x10 x20

x10 x20

x1-1 x21

x16 x26

x13

1 punto

1 punto

1 punto

1 punto

1 punto

1 punto

Gráfico de las restricciones de no-negatividad:x1, x20; y

Gráfico de la función objetivo:Maximizar Z = 3x1 + 2x2

m = tg = -c1 = -(3) = -3 = x2 ; “m” negativo: x2=3, x1=2 c2 2 2 x1

Resolviendo la intersección de (5) y (6):x1 + x2 = 6 …….….. (5) x1 = 3 …….….. (6) Se obtiene la siguiente solución óptima única:Maximizar Z = 3x1 + 2x2 = 3(3) + 2(3) = 15

x10

x1=3

x20

x2=3

1 punto

2 puntos

1 punto

1 punto

x20

x10

1 2 3 4 5 6-1

5

4

3

2

1

1

2

Z óptimo

x2

x1

P(x1,x2)=P(3,3)Maximizar Z = 3x1 + 2x2 =3(3)+2(3)=15

Z1

7 8

6

3

4

5

-2

6

Z2

1 punto

6 puntos

6) Maximizar Z = 8x1 + 5x2

s.a. 2x1 + x2 10 …….….. (1) x1 + 3x2 18 ………... (2) 5x1 + x2 4 ………….. (3) x1,x2 0

Solución:Gráfico de las restricciones estructurales:Inecuación (1): 2x1 + x2 10Si: x2=0; , Si: x1=0;

X210X15

Inecuación (2): x1 + 3x2 18

Si: x2=0; Si: x1=0;

Inecuación (3): 5x1 + x2 4

Si: x2=0; Si: x1=0;

Gráfico de las restricciones de no-negatividad:

x1, x20; yGráfico de la función objetivo:

Maximizar Z = 8x1 + 5x2

m = tg = -c1 = -(8) = -8 = x2 ; “m” negativo: x2=8, x1=5

c2 5 5 x1

x1 18 x2 6

x1 0.8 x2 4

x10 x20

Resolviendo la intersección de (3) para x2 = 4:

5x1 + x2 = 4 ………….. (3) x2 = 4entonces:

x1 = 0

x2 = 4Se obtiene la siguiente solución óptima única:

Maximizar Z = 8x1 + 5x2 = 8(0) + 5(4) = 20

x20

x10

2 4 6 8 10 12-2-4-6

10

8

6

4

2

-2

-4

2

1

Z óptimo

x2

x1

P(x1,x2)

Si “m”:Positivo (-) x2

(+) x1

Negativo (+) x2

(+) x1

m = -c1 = tg = x2

c2 x1

P(x1,x2)=P(0,4)Maximizar Z = 8x1 + 5x2

1614 18

3

Polígono Convexo Acotado(cerrado)

Z

7) Maximizar Z = 8x1 + 5x2

s.a. 2x1 + x2 10 …….….. (1) x1 + 3x2 18 ………... (2) 5x1 + x2 4 ………….. (3) x1,x2 0

Solución:Gráfico de las restricciones estructurales:Inecuación (1): 2x1 + x2 10Si: x2=0; , Si: x1=0;

X210X15

Inecuación (2): x1 + 3x2 18

Si: x2=0; Si: x1=0;

Inecuación (3): 5x1 + x2 4

Si: x2=0; Si: x1=0;

Gráfico de las restricciones de no-negatividad:

x1, x20; yGráfico de la función objetivo:

Maximizar Z = 8x1 + 5x2

m = tg = -c1 = -(8) = -8 = x2 ; “m” negativo: x2=8, x1=5

c2 5 5 x1

x1 18 x2 6

x1 0.8 x2 4

x10 x20

Resolviendo la intersección de (1) y (2):

2x1 + x2 10 …….….. (1)

x1 + 3x2 18 …….….. (2) x2 = 5.2 x1 = 2.4Se obtiene la siguiente solución óptima única:

Maximizar Z = 8x1 + 5x2 = 8(2.4) + 5(5.2) = 45.2

x20

x10

2 4 6 8 10 12-2-4-6

10

8

6

4

2

-2

-4

2

1

Z óptimo

x2

x1

P(x1,x2)

Si “m”:Positivo (-) x2

(+) x1

Negativo (+) x2

(+) x1

m = -c1 = tg = x2

c2 x1

P(x1,x2)=P(2.4,5.2)Maximizar Z = 8x1 + 5x2

1614 18

3

Polígono Convexo Acotado(cerrado)

Z

8) Maximizar Z = -5x2

s.a. x1 + x2 1 …….….. (1) -0.5x1 - 5x2 -10 ….….. (2) x1,x2 0

Solución:Gráfico de las restricciones estructurales:Inecuación (1): x1 + x2 1Si: x2=0; , Si: x1=0;

Inecuación (2): -0.5 x1 - 5 x2 -10 Si: x2=0; , Si: x1=0;

X11 X21

x1 20 x2 2

Gráfico de las restricciones de no-negatividad:

x1, x20; yGráfico de la función objetivo:

Maximizar Z = -5x2

m = tg = -c1 = -(0) = 0; la recta Z es horizontal

c2 -5No hay una posible intersección de los 4 semiplanos.

x10 x20

x20

x10

2 4 6 8 10 12-2-4-6

10

8

6

4

2

-2

-4

2

1

x2

x1

Si “m”:Positivo (-) x2

(+) x1

Negativo (+) x2

(+) x1

m = -c1 = tg = x2

c2 x1

1614 18 20

Polígono Convexo NO Acotado(Abierto)

Polígono Convexo Acotado(cerrado)

Solución NO FACTIBLE oProblema NO SOLUBLE

Z

9) Minimizar Z = 2x1 + 3x2

s.a. x1 + x2 13 …….….. (1) 2x1 + x2 18 ………... (2) x1 + 3x2 21 …….….. (3) x1 + 2x2 18 …….….. (4) x1,x2 0

Solución:Gráfico de las restricciones estructurales:Inecuación (1): x1 + x2 13Si: x2=0; , Si: x1=0;

X213X113

Inecuación (2): 2x1 + x2 18 Si: x2=0; , Si: x1=0;

Inecuación (3): x1 + 3x2 21 Si: x2=0; , Si: x1=0;

Inecuación (4): x1 + 2x2 18 Si: x2=0; , Si: x1=0;

x1 9 x2 18

x1 21 x2 7

X1 18 X2 9

Gráfico de las restricciones de no-negatividad:

x1, x20; yGráfico de la función objetivo:

Minimizar Z = 2x1 + 3x2

m = tg = -c1 = -(2) = -2 = x2 ; “m” negativo: x2=2, x1=3

c2 3 3 x1

x10 x20

• Resolviendo la intersección de (1) y (4):• x1 + x2 = 13 …….….. (1)

x1 + 2x2 = 18 …….….. (4) x2 = 5 x1 = 8• Se obtiene la siguiente solución óptima única:• Minimizar Z = 2x1 + 3x2 = 2(8) + 3(5) = 31

x20

x10

2 4 6 8 10 12-2-4-6

10

8

6

4

2 1

2

Z óptimo

x2

x1

P(x1,x2)

Si “m”:Positivo (-) x2

(+) x1

Negativo (+) x2

(+) x1

m = -c1 = tg = x2

c2 x1

P(x1,x2)=P(8,5)Minimizar Z = 2x1 + 3x2

1614 18

3

12

14

16

18

20 21

4

Polígono Convexo NO Acotado(Abierto)

Z

10) Una compañía posee dos minas: la Mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La Mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el costo diario de la operación es de 2.000 dólares en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el costo sea mínimo?

Solución mediante el método gráfico:

PRODUCCION (ton/dia)

mina Calidad ALTA

ton/dia

Calidad MEDIA ton/dia

Calidad BAJA

ton/dia

DIAS COSTO $/DIA

A 1 3 5 X1 2.000

B 2 2 2 X2 2.000

Cuadro de resumen de datos:

Planta concentradora: 80 ton 160 ton 200 ton capacidad

COSTO A = 2.000 $/DIA COSTO B = 2.000 $/DIA Restricciones estructurales:

(1ton/dia)x(X1dias) + (2ton/dia)x(X2dias) >= 80(3ton/dia)x(X1dias) + (2ton/dia)x(X2dias) >= 160(5ton/dia)x(X1dias) + (2ton/dia)x(X2dias) >= 200X1; X2 >= 0

Minimizar costos=(2.000$/día)x(X1dias) + (2.000$/día)x(X2dias)

Resumiendo se tiene:MIN Z =2.000X1 + 2.000X2

COSTO A = 2.000 $/DIA COSTO B = 2.000 $/DIA

s.a.

1X1 + 2X2 >= 80……(1)3X1 + 2X2 >= 160 ……(2)5X1 + 2X2 >= 200 ……(3)X1; X2 >= 0Solución:

Gráfico de las restricciones estructurales:

Inecuación (1): 1X1 + 2X2 >= 80

Si: x2=0; , Si: x1=0; X1 80 X2 40

• Inecuación (2): 3X1 + 2X2 >= 160 • Si: x2=0; Si: x1=0;

• Inecuación (3): 5X1 + 2X2 >= 200 • Si: x2=0; Si: x1=0;

Gráfico de las restricciones de no-negatividad:• x1, x20; y

X1 40 X2 100

X1 53.33 X2 80

x10 x20

Gráfico de la función objetivo

minimizar 2.000X1 + 2.000X2

m = tg = -c1 = -(2) = -2= x2 ; “m” negativo: x2=2, x1=2

c2 2 2 x1

• Resolviendo la intersección de (1) y (2):• 1X1 + 2X2 = 80 …….….. (1)

3X1 + 2X2 = 160 …….….. (4) x1 = 40 x2 = 20• Se obtiene la siguiente solución óptima única:• Minimizar Z = 2.000x1 + 2.000x2 = 2.000(40) + 2.000(20) = 120.000

x10

x20

2 4 6 8 10

10

8

6

4

2

X2x(10)

P(x1,x2)=P(40,20)

X1x(10)

1

2

3

Z

Z óptimo

P(x1,x2)

Polígono Convexo NO Acotado(Abierto)