corso di probabilità e inferenza 1 corso di laurea specialistica in economia applicata docente...
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Corso di Corso di Probabilità e Inferenza Probabilità e Inferenza
11
Corso di Laurea Specialistica inCorso di Laurea Specialistica in ECONOMIA APPLICATAECONOMIA APPLICATA
Docente Sabrina GiordanoDocente Sabrina Giordano
Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S.Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano - Giordano -
22
• Orario di ricevimento: Orario di ricevimento:
martedì dalle 17 alle 19martedì dalle 17 alle 19Dipartimento di Economia e StatisticaDipartimento di Economia e Statistica
Cubo 0C terzo pianoCubo 0C terzo piano
• I lucidi ed il materiale didattico saranno I lucidi ed il materiale didattico saranno disponibili sul sito: disponibili sul sito: www.economia.unical.it/ecoapp/index.php www.economia.unical.it/ecoapp/index.php
Prova, Evento e ProbabilitàProva, Evento e Probabilità
Concetti Primitivi: nozioni originarie ed intuitive.Concetti Primitivi: nozioni originarie ed intuitive.
Prova (o esperimento): è qualsiasi attività sviluppata in condizioni di incertezza. Gli esperimenti di cui si occupa il C.P. sono quelli nei quali i risultati non sono certi perché non univoci.
Prova (o esperimento): è qualsiasi attività sviluppata in condizioni di incertezza. Gli esperimenti di cui si occupa il C.P. sono quelli nei quali i risultati non sono certi perché non univoci.
Evento: è uno dei possibili risultati della prova.Evento: è uno dei possibili risultati della prova.
Probabilità: è un numero associato al presentarsi di un certo evento e soddisfa alcune proprietà fondamentali detti assiomi del C.P.
Probabilità: è un numero associato al presentarsi di un certo evento e soddisfa alcune proprietà fondamentali detti assiomi del C.P.
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Def.1. Spazio dei Campioni.
E’ la totalità di tutti i possibili risultati di un esperimento concettuale. Verrà indicato con Ω.
Def.1. Spazio dei Campioni.
E’ la totalità di tutti i possibili risultati di un esperimento concettuale. Verrà indicato con Ω.
Def.2. Evento Certo. Evento Impossibile.
L’evento certo è quello che si verifica sempre, Ω.
L’evento impossibile è quello che non si verifica mai,
Def.2. Evento Certo. Evento Impossibile.
L’evento certo è quello che si verifica sempre, Ω.
L’evento impossibile è quello che non si verifica mai,
Def.3. Spazio degli Eventi ( o Algebra di Boole).
E’ l’insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di Ω
Def.3. Spazio degli Eventi ( o Algebra di Boole).
E’ l’insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di Ω
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55
UnioneUnione Se si verifica A, o B, o entrambi
IntersezioneIntersezione BA Se si verificano contemporaneamente A e B
NegazioneNegazione Ā Se non si verifica A
BA
Eventi incompatibiliEventi incompatibili A∩B=Φ
Eventi necessariEventi necessari AUB=Ω
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66
ProprietàProprietà UnioneUnione IntersezioneIntersezione
Commutativa
Idempotenza
Associativa
Distributiva
ABBA ABBA
AAA AAA
)CB(AC)BA( )CB(AC)BA(
)CA()BA()CB(A )CA()BA()CB(A
Inoltre, si ha:Inoltre, si ha:
AA A AA
A AA AA
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77
Diagrammi di VennDiagrammi di Venn
A
UNIONE INTERSEZIONE
NEGAZIONE EVENTI INCOMPATIBILI
EVENTI NECESSARI
Ā
AB
AB
A B
Ω
EVENTO CERTO
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88
Leggi di De MorganLeggi di De Morgan
BABA
Partizione dello Spazio CampionarioPartizione dello Spazio Campionario
BABA
BABA
BABA
(1)(1)
(2)(2)
Si dice che gli eventi A1,…,Ak appartenenti ad formano una partizione dello spazio campionario se:
(1)(1) k1,...,ji AA ji
(2)(2)
k
1iiA
cioè se sono a due a due incompatibili e necessari.
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99
Esercizio 1Esercizio 1
Esercizio 2Esercizio 2
Siano A,B e C tre eventi che si identificano nei sottoinsiemi A={1,2,3,8}, B={2,3,5,7,8} e C={3,6,7,9,10} di un generico spazio ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Determinare i seguenti sottoinsiemi:
Siano A,B e C tre eventi che si identificano nei sottoinsiemi A={1,2,3,8}, B={2,3,5,7,8} e C={3,6,7,9,10} di un generico spazio ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Determinare i seguenti sottoinsiemi:
)CB(AE1 CBAE2 CBE3
CCE6
BAE4
BAE5
Un esperimento casuale consiste nell’estrarre contemporaneamente due palline da un’urna contenente 1 pallina rossa, 3 palline bianche e 2 nere. Descrivere lo spazio dei campioni relativo all’esperimento e costruire i sottoinsiemi in cui si identificano i seguenti eventi:
Un esperimento casuale consiste nell’estrarre contemporaneamente due palline da un’urna contenente 1 pallina rossa, 3 palline bianche e 2 nere. Descrivere lo spazio dei campioni relativo all’esperimento e costruire i sottoinsiemi in cui si identificano i seguenti eventi:
1. Le due palline estratte sono di colore differente; 1. Le due palline estratte sono di colore differente;
2. Le due palline estratte sono dello stesso colore; 2. Le due palline estratte sono dello stesso colore;
3. Le due palline estratte sono entrambe rosse. 3. Le due palline estratte sono entrambe rosse.
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1010
Esercizio 3Esercizio 3
Esercizio 4Esercizio 4
Un esperimento casuale consiste nel lancio contemporaneo di due dadi da gioco; posto che le facce di ciascun dado siano state contraddistinte con gli interi dall’1 al 6, costruire lo spazio dei campioni e i sottoinsiemi che rappresentano i seguenti eventi:
Un esperimento casuale consiste nel lancio contemporaneo di due dadi da gioco; posto che le facce di ciascun dado siano state contraddistinte con gli interi dall’1 al 6, costruire lo spazio dei campioni e i sottoinsiemi che rappresentano i seguenti eventi:
Un esperimento casuale consiste nel lancio contemporaneo di una moneta e di un dado da gioco. Si costruiscano lo spazio campionario relativo all’esperimento ed i sottoinsiemi con cui si identificano i seguenti eventi:
Un esperimento casuale consiste nel lancio contemporaneo di una moneta e di un dado da gioco. Si costruiscano lo spazio campionario relativo all’esperimento ed i sottoinsiemi con cui si identificano i seguenti eventi:
1. I numeri sulle facce superiori dei due dadi sono uguali; 1. I numeri sulle facce superiori dei due dadi sono uguali;
2. La somma dei due numeri sulle facce superiori dei due dadi è 5; 2. La somma dei due numeri sulle facce superiori dei due dadi è 5;
3. Il numero riportato dalla faccia superiore di un dado è doppio di quello riportato sulla faccia superiore dell’altro.
3. Il numero riportato dalla faccia superiore di un dado è doppio di quello riportato sulla faccia superiore dell’altro.
1. “Testa” per la moneta e “numero pari” per il dado;1. “Testa” per la moneta e “numero pari” per il dado;
2. “Croce” per la moneta e “numero inferiore a 5” per il dado. 2. “Croce” per la moneta e “numero inferiore a 5” per il dado.
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1111
Esercizio 5Esercizio 5
Esercizio 7Esercizio 7
Da una raccolta di tre volumi contrassegnati con A,B e C ne vengono scelti a caso due. Costruire lo spazio degli eventi associato allo spazio campionario in questione.
Da una raccolta di tre volumi contrassegnati con A,B e C ne vengono scelti a caso due. Costruire lo spazio degli eventi associato allo spazio campionario in questione.
Nel lancio di un dado da gioco, le facce siano numerate dall’1 al 6, sia A l’evento “la faccia superiore mostra il numero 3” e B l’evento “la faccia superiore riporta un numero dispari”. A e B sono eventi disgiunti?
Nel lancio di un dado da gioco, le facce siano numerate dall’1 al 6, sia A l’evento “la faccia superiore mostra il numero 3” e B l’evento “la faccia superiore riporta un numero dispari”. A e B sono eventi disgiunti?
Esercizio 6Esercizio 6 Un esperimento casuale consiste nel rilevare il numero di “teste” e di“croci” che si possono presentare nel lancio contemporaneo di tre monete. Costruire lo spazio campionario e lo spazio degli eventi ad esso associato.
Un esperimento casuale consiste nel rilevare il numero di “teste” e di“croci” che si possono presentare nel lancio contemporaneo di tre monete. Costruire lo spazio campionario e lo spazio degli eventi ad esso associato.
Esercizio 8Esercizio 8 Si lancia due volte una moneta; sia A l’evento “testa al primo lancio” e B l’evento “nei due lanci non appare la stessa faccia”. A e B sono disgiunti?
Si lancia due volte una moneta; sia A l’evento “testa al primo lancio” e B l’evento “nei due lanci non appare la stessa faccia”. A e B sono disgiunti?
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1212
Def. 4. Classica
La probabilità di un evento A è il rapporto tra il numero di casi favorevoli di A e il numero di casi possibili, ammesso che questi siano equiprobabili.
Def. 4. Classica
La probabilità di un evento A è il rapporto tra il numero di casi favorevoli di A e il numero di casi possibili, ammesso che questi siano equiprobabili.
Def. 5. Frequentista (o legge empirica del caso)
In una serie di prove di un dato esperimento, ripetuto un gran numero di volte in circostanze più o meno simili, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza relativa che è circa uguale alla sua probabilità. L’approssimazione si riduce al crescere del numero di prove.
Def. 5. Frequentista (o legge empirica del caso)
In una serie di prove di un dato esperimento, ripetuto un gran numero di volte in circostanze più o meno simili, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza relativa che è circa uguale alla sua probabilità. L’approssimazione si riduce al crescere del numero di prove.
Def. 6. Soggettivista
La probabilità è la valutazione che il singolo individuo può coerentemente formulare, in base alle proprie conoscenze, del grado di avverabilità di un evento.
Def. 6. Soggettivista
La probabilità è la valutazione che il singolo individuo può coerentemente formulare, in base alle proprie conoscenze, del grado di avverabilità di un evento.
Definizione di probabilità.Definizione di probabilità.
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1313
A 0APr
1rP
BA
BPAPBAP rrr
Assiomi del Calcolo delle Probabilità.Assiomi del Calcolo delle Probabilità.
Ricordando che un assioma (o postulato) è una proposizione che è considerata vera e non viene dimostrata nel contesto in cui è svolta la teoria in questione, Il C.P. presenta i seguenti assiomi:
Ricordando che un assioma (o postulato) è una proposizione che è considerata vera e non viene dimostrata nel contesto in cui è svolta la teoria in questione, Il C.P. presenta i seguenti assiomi:
1.1.
2.2.
3.3. Siano A e B due eventi incompatibili
Siano A e B due eventi incompatibili
alloraallora
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1414
0Pr
APAP rr 1
BAPBAPAP rrr
BAPBPAPBAP rrrr
Teoremi fondamentali del C.P.Teoremi fondamentali del C.P.
Teo.1.Teo.1.
Teo.2.Teo.2.
Teo.3. Teo.3.
Teo.4. Teo.4.
Le dimostrazioni dei teoremi sono lasciate per esercizio.
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1515
Esercizio 9 Esercizio 9 Dato un esperimento tale che:
5.0)A(Pr 31
r )B(P 41
r )BA(P
Calcolare:
BAPr BAPr BAPr
BAPr BAPr
Esercizio 10 Esercizio 10 Siano A e B due eventi tali che:
8.0)A(Pr 7.0)B(Pr 6.0)BA(Pr Calcolare:
BAPr BAPr BAPr
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1616
BPBAP
BAPr
rr
/ 0BPr
Dipendenza. Assiomi e Teoremi fondamentali.
Dipendenza. Assiomi e Teoremi fondamentali.
Quando si ha motivo di credere che il verificarsi di uno o più eventi influenzino il verificarsi di altri eventi, allora si parlerà di eventi dipendenti (condizionati). Così, la probabilità dell’evento A dato che si è già verificato l’evento B (ovvero l’evento B condiziona l’evento A), è:
Quando si ha motivo di credere che il verificarsi di uno o più eventi influenzino il verificarsi di altri eventi, allora si parlerà di eventi dipendenti (condizionati). Così, la probabilità dell’evento A dato che si è già verificato l’evento B (ovvero l’evento B condiziona l’evento A), è:
perper
In tal caso, B diventa il nostro “nuovo” spazio dei campioni; cioè si assume che la prova abbia dato luogo a qualche risultato in B.
In tal caso, B diventa il nostro “nuovo” spazio dei campioni; cioè si assume che la prova abbia dato luogo a qualche risultato in B.
N.B. Un esperimento che consiste in più prove senza riposizione dà luogo ad eventi dipendenti
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1717
0/ BAPr
1/ BPr
BAPBAPBAAP rrr /// 2121
Si può verificare che valgono gli assiomi del C.P.
Si può verificare che valgono gli assiomi del C.P.
1.1.
2.2.
3.3. Se A1 e A2 sono incompatibili allora
Se A1 e A2 sono incompatibili allora
Le verifiche di (1), (2) e (3) sono lasciate per esercizio.
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1818
0/ BPr
BAPBAP rr /1/
BAAPBAAPBAP rrr /// 21211
BAAPBAPBAPBAAP rrrr //// 212121
Valgono anche i teoremi fondamentali del C.P. nel caso in cui esiste un evento condizionante
Valgono anche i teoremi fondamentali del C.P. nel caso in cui esiste un evento condizionante
Teo.5. Teo.5.
Teo.6.Teo.6.
Teo.7.Teo.7.
Teo.8.Teo.8.
Le dimostrazioni dei teoremi sono lasciate per esercizio.
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1919
Definizione di Indipendenza.Definizione di Indipendenza.
Se il verificarsi di un evento non modifica la probabilità del verificarsi di un altro evento allora è lecito pensare che i due eventi siano indipendenti; questo può essere formalizzato con la seguente:
Se il verificarsi di un evento non modifica la probabilità del verificarsi di un altro evento allora è lecito pensare che i due eventi siano indipendenti; questo può essere formalizzato con la seguente:
Def. 7. Dati due eventi A e B, si dice che sono indipendenti se e solo se si verifica una delle seguenti condizioni:
Def. 7. Dati due eventi A e B, si dice che sono indipendenti se e solo se si verifica una delle seguenti condizioni:
1.1.
2.2.
3.3.
BPAPBAP rrr
APB/AP rr
BPA/BP rr
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2020
Teo. 9Teo. 9 Se A e B sono indipendenti alloraSe A e B sono indipendenti allora
1.1.
2.2.
3.3.
BPAPBAP rrr
BPAPBAP rrr
BPAPBAP rrr
La dimostrazione del teorema è lasciata per esercizio.
N.B. Un esperimento che consiste in più prove con riposizione dà luogo ad eventi indipendenti
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2121
Il teorema di Bayes
Il teorema di Bayes
Per illustrare il teorema, consideriamo il seguente esempio:
supponiamo di avere due urne, la prima, U1, contiene 4 palline bianche e 6 nere, la seconda, U2, contiene 3 palline bianche e 5 nere. Si estrae a caso un’urna e, successivamente, da questa si estrae una pallina.
Ammesso che la pallina estratta sia bianca, ci si chiede qual è la probabilità che essa provenga dall’urna U1, se la probabilità di selezionare ciascuna delle urne è di 0.5 ?
Per illustrare il teorema, consideriamo il seguente esempio:
supponiamo di avere due urne, la prima, U1, contiene 4 palline bianche e 6 nere, la seconda, U2, contiene 3 palline bianche e 5 nere. Si estrae a caso un’urna e, successivamente, da questa si estrae una pallina.
Ammesso che la pallina estratta sia bianca, ci si chiede qual è la probabilità che essa provenga dall’urna U1, se la probabilità di selezionare ciascuna delle urne è di 0.5 ?
Simili problemi si presentano ogni volta che un evento A può essere visto come il risultato - EFFETTO - di uno tra K possibili eventi - CAUSE - C1, C2, …,CK incompatibili e tali che uno di essi deve verificarsi necessariamente, e interessa valutare la probabilità che, avveratosi A, sia Cj la causa che lo ha prodotto.
Simili problemi si presentano ogni volta che un evento A può essere visto come il risultato - EFFETTO - di uno tra K possibili eventi - CAUSE - C1, C2, …,CK incompatibili e tali che uno di essi deve verificarsi necessariamente, e interessa valutare la probabilità che, avveratosi A, sia Cj la causa che lo ha prodotto.
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2222
K
ii
K
ii CACA
11
K
ii
K
ii CACAAA
11
K
iiC
1
ji ji CC
Supponiamo che gli eventi C1,…,CK formino una partizione di Ω, cioè
Supponiamo che gli eventi C1,…,CK formino una partizione di Ω, cioè
ee
L’evento A può essere scritto nel seguente modoL’evento A può essere scritto nel seguente modo
Osservando cheOsservando che
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2323
si ha:
si ha:
K
1iir
K
1iirr CAPCAPAP
Ricordando che
Ricordando che
CP
CAPC/AP
ir
irir iririr C/APCPCAP
Si può scrivere:Si può scrivere:
ir
K
1iir
K
1iirr C/APCPCAPAP
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2424
La domanda iniziale era la seguente: noto l’effetto A, qual è la probabilità che tale effetto sia dovuto alla causa Cj ?
La domanda iniziale era la seguente: noto l’effetto A, qual è la probabilità che tale effetto sia dovuto alla causa Cj ?
K
1iirir
jrjr
r
jrjr
C/APCP
C/APCP
AP
ACPA/CP
L’ultima parte è il teorema di Bayes, dove P[Cj/A] è chiamata probabilità a posteriori, cioè la probabilità che l’evento A, già verificatosi, sia dovuto alla causa Cj; mentre, la probabilità P[Cj] è chiamata probabilità a priori della causa Cj (nel nostro esempio è la probabilità di estrarre l’urna U1). Infine, P[A/Cj] sono dette probabilità probative o verosimiglianze, rappresentano la probabilità con cui le singole cause C1, …, CK generano l’evento A. Esse sono determinate empiricamente dall’esperimento.
L’ultima parte è il teorema di Bayes, dove P[Cj/A] è chiamata probabilità a posteriori, cioè la probabilità che l’evento A, già verificatosi, sia dovuto alla causa Cj; mentre, la probabilità P[Cj] è chiamata probabilità a priori della causa Cj (nel nostro esempio è la probabilità di estrarre l’urna U1). Infine, P[A/Cj] sono dette probabilità probative o verosimiglianze, rappresentano la probabilità con cui le singole cause C1, …, CK generano l’evento A. Esse sono determinate empiricamente dall’esperimento.
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2525
Ritornando all’esempio iniziale, se indichiamo con P[Ui]=0.5 per i=1,2 le probabilità a priori, la probabilità a posteriori è:
Ritornando all’esempio iniziale, se indichiamo con P[Ui]=0.5 per i=1,2 le probabilità a priori, la probabilità a posteriori è:
2r2r1r1r
1r1r1r UPU/BPUPU/BP
UPU/BPB/UP
516129.0775.0
4.0
21
83
21
104
21
104
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2626
Osservazione:
Il teorema di Bayes può essere visto come un meccanismo che permette di correggere le informazioni a priori P[Cj] sulla base delle osservazioni sperimentali P[A/Cj] fornendo per l’appunto la probabilità a posteriori. In questa formula, infatti, si combinano informazioni a priori e verosimiglianze, e quanto più la probabilità a posteriori P[Cj/A] è diversa dalla probabilità a priori P[Cj], tanto più la verosimiglianza ha modificato le informazioni a priori sulle cause Cj.
Osservazione:
Il teorema di Bayes può essere visto come un meccanismo che permette di correggere le informazioni a priori P[Cj] sulla base delle osservazioni sperimentali P[A/Cj] fornendo per l’appunto la probabilità a posteriori. In questa formula, infatti, si combinano informazioni a priori e verosimiglianze, e quanto più la probabilità a posteriori P[Cj/A] è diversa dalla probabilità a priori P[Cj], tanto più la verosimiglianza ha modificato le informazioni a priori sulle cause Cj.
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2727
Esercizio 11 Esercizio 11
Supponiamo di avere un’urna che contiene 8 palline rosse (R), 9 palline bianche (B), 13 palline nere (N) e 3 palline gialle (G). Effettuiamo la seguente prova: “estrazione di due palline con riposizione”. Calcolare la probabilità che:a) entrambe le palline siano rosse;b) la prima sia rossa e la seconda bianca;c) la prima gialla e la seconda non-rossa;d) la prima sia nera e la seconda non-bianca;e) che almeno una sia rossa.
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2828
Esercizio 12Esercizio 12
Supponiamo di avere un’urna che contiene 5 palline rosse (R), 4 bianche (B), 3 nere (N) e 6 gialle (G). Effettuiamo la seguente prova:“ estrazione di due palline senza riposizione”.Calcolare la probabilità dei seguenti eventi:a) la prima rossa e la seconda rossa;b) la prima bianca e la seconda rossa;c) la prima gialla e la seconda non-rossa;d) la prima non-nera e la seconda bianca;e) la prima gialla e la seconda rossa o bianca;f) la prova generi almeno una pallina rossa.
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2929
Esercizio 13Esercizio 13
Si è fatto uno studio per determinare l’effetto dei programmi televisivi sui bambini. Ad un gruppo di bambini composto da un numero uguale di maschi e femmine è stato chiesto se sono mai stati spaventati da un programma televisivo. Il 25% dei bambini e il 44% delle bambine rispondono di si. Scegliendone uno a caso nel gruppo, determinare la probabilità che:1. il bambino sia stato spaventato;2. venga scelta una bambina, sapendo che il selezionato/a è stato/a spaventato/a;3. sia scelta una bambina, sapendo che il bambino/a scelta/o non è stata/o spaventato/a;4. sia scelto un bambino sapendo che il bambino scelto non è stato spaventato.
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3030
Esercizio 14Esercizio 14
Un costruttore viene rifornito per gli stessi tipi di pezzi sia dalla ditta A che dalla ditta B. Tali pezzi vengono poi depositati assieme nello stesso magazzino. Per il passato si è osservato che i prodotti di A erano per il 5% difettosi, mentre quelli di B lo erano nella misura del 9%. La ditta A fornisce 4 volte più pezzi della ditta B.Avendo scelto un pezzo a caso dal magazzino ed avendo riscontrato che non è difettoso, qual è la probabilità che sia stato fornito da A?
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3131
Esercizio 15Esercizio 15
Siano A e B due eventi dello spazio campionario tali che:
Determinare P[B] se:a) A e B sono disgiunti ;b) A e B sono indipendenti ;c) Pr[A/B]=0.6
7.0APr 8.0BAPr
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3232
Esercizio16Esercizio16
La probabilità di essere malato di cancro in uno stadio iniziale è 0.1 per una persona in una certa classe d’età. Il test A risulta positivo nel 99% dei casi in una persona malata e nel 5% dei casi in una persona sana.a) Qual è la probabilità di una corretta diagnosi con il test A nella data classe di età?b) Qual è la probabilità che una persona sia malata se il test A è negativo?
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Riferimenti bibliograficiRiferimenti bibliografici
1. G. Cicchitelli (1984), “Probabilità e Statistica”. Maggioli Editore. Rimini. Pag. 1-23.
2. A.M.Mood, F. Graybill e D.C. Boes (1988), “Introduzione alla Statistica”, McGraw-Hill, Milano. Pag. 1-53.
3. D. Piccolo (2000), “Statistica”, il Mulino, Bologna. Pag. 215-291.
4. D. Piccolo (2004) “Statistica per le decisioni”, il Mulino, Bologna, cap. 8.
5. R. Orsi (1995), “Probabilità ed Inferenza Statistica”, il Mulino, Bologna, Pag. 15-55.
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