cours rdm - ms3 - partie 1
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-
Cours module MS3Organisation du module :
Cours 4hTD 16h (1 DS TD coef 2)
TP 8h (2TP coef 1 = total coef 2)DS 2h (coef 5)
1
-
Introduction
2
MS1 introduire les concepts de description du comportement des sections une chelle macroscopique et les efforts internes : sollicitations N, V et M
MS2 dfinir les efforts internes en tout point dune section : les contraintes normales et les dformations normales (lies N et M)les contraintes tangentielles et les dformations tangentielles (lies V)
G
section SG
section S
Nx
Vz My
G
section S
x
z
x x
-
Introduction
3
MS3 calculer les dplacements et tracer la dforme des structuresDfinition des termes :
Dplacement : distance parcourue dans une direction donne par un point dune structure sous laction dun chargement. Notation , unit cest une longueur exprime en m, cm, mm...
Dformation : (vue en MS2) allongement relatif (l/l) observ au niveau dun point dune section droite sous laction dun chargement. Notation x, sans unit.
Dforme : fonction (au sens mathmatique) obtenue partir du dplacement transversal z de tous les points dune structure. Notation w(x).
Point M
Point M
x
z
G
section S
x
z
Gsection S Point M
zx
z
dforme w(x)
-
Chapitre 1
Equations diffrentielles des poutres en flexion
Point de dpart... MS2 Equations diffrentielles des poutres
flchies
Proprits mathmatiques des fonctions Analyse des structures
4
-
1. Equations diffrentielles des poutres en flexion
Point de dpart
Chapitre 1
Point de dpart
Equations diffrentielles
Proprits mathmatiques
Analyse des structures
Cours de MS2!"!
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1. Equations diffrentielles des poutres en flexion
Point de dpart : un peu de maths...
Chapitre 1
Point de dpart
Equations diffrentielles
Proprits mathmatiques
Analyse des structures
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R
%"!Dfinition du rayon de courbure :
Dfinition de la courbure :
w est la dforme !
Hypothse de petits dplacements
-
1. Equations diffrentielles des poutres en flexion
Equations diffrentielles des poutres en flexion
Chapitre 1
Point de dpart
Equations diffrentielles
Proprits mathmatiques
Analyse des structures
EIGyw' '(x) = MGy x( )
G x
z
je drive...
jintgre...
EIGywIII (x) =
VGZ x( )
EIGywIV (x) =
p(x)
p(x) fonction de chargement
je drive...
EIGyw'(x) =
x( )
EIGyw (x) dforme !
x( ) rotation des sections
fd
-
1. Equations diffrentielles des poutres en flexion
Equations diffrentielles des poutres en flexion
Chapitre 1
Point de dpart
Equations diffrentielles
Proprits mathmatiques
Analyse des structures
G x
z
je drive...
jintgre...
EIGywIII (x) =
EIGywIV (x) =
p(x)
p(x) fonction de chargement
je drive...
EIGyw'(x) =
x( )
EIGyw (x) dforme !
x( ) rotation des sections
fg
EIGyw' '(x) = MGy x( )
VGZ x( )
-
1. Equations diffrentielles des poutres en flexion
Equations diffrentielles des poutres en flexion
Chapitre 1
Point de dpart
Equations diffrentielles
Proprits mathmatiques
Analyse des structures
je drive...
fgEn pratique...
EI wIV(x) = -p
p
lx
z
EI wIII(x) = -px + C = V(x)EI w(x) = -px2/2 + Cx + D = -M(x)EI w(x) = -px3/6 + Cx2/2 + Dx + EEI w(x) = -px4/24 + Cx3/6 + Dx2/2 + Ex+ F
Je cherche la dforme de la structure w(x)
Calcul des constantes : conditions aux limites
Pour la fonction M(x) on sait que :
si x=0, M(x=0) = 0 D=0
si x=l, M(x=l) = 0 -pl2/2 + Cl=0 C = pl/2
Pour la fonction w(x) on sait que :
si x=0, w(x=0) = 0 F=0
si x=l, w(x=l) = 0
-pl4/24 + pl4/12 + El =0 E = -pl3/24
soit :EIw(x) =
-px4/24 + plx3/12 + -pl3x/24
calcul du dplacement mi-trave :
w(L/2) =1/EI(-pL4/384 + pL4/96 - pl4/48)
w(L/2) =-5pL4/384EI
-5pL4/384EI
-
1. Equations diffrentielles des poutres en flexion
Equations diffrentielles des poutres en flexion
Chapitre 1
Point de dpart
Equations diffrentielles
Proprits mathmatiques
Analyse des structures
je drive...
fgEn pratique... xp
l
z
EI w(x) = -M(x) = -px2/2 + plx/2
EI w(x) = -px3/6 + plx2/4 + C
EI w(x) = -px4/24 + plx3/12 + Cx + D
Je cherche la dforme de la structure w(x)
Calcul des constantes : conditions aux limites
Pour la fonction w(x) on sait que :
si x=0, w(x=0) = 0 D=0si x=l, w(x=l) = 0 -pl4/24 + pl4/12 + Cl =0
C = -pl3/24
soit :EIw(x) =
-px4/24 + plx3/12 + -pl3x/24
calcul du dplacement mi-trave :
w(L/2) =1/EI(-pL4/384 + pL4/96 - pl4/48)
w(L/2) =-5pL4/384EI
-5pL4/384EI
M(x) = px2/2 - plx/2
-
1. Equations diffrentielles des poutres en flexion
Equations diffrentielles des poutres en flexion
Chapitre 1
Point de dpart
Equations diffrentielles
Proprits mathmatiques
Analyse des structures
je drive...
En pratique...
Avantages de cette mthodede calcul des dplacements
Inconvnients de cette mthodede calcul des dplacements
Calculs simples... ... mais longs !
On obtient lquation de la dforme, donc le
dplacement en tout point...
... mais, en pratique, la connaissance de lquation exacte de la dforme nest pas trs utile ! On ne sintresse quau calcul des dplacements en des points
prcis (calcul discret).
En conclusion...
Ces relations ne seront utilises que pour limiter les calculs en servant de moyen danalyse des structures.
Le calcul des dplacements en un point donne fera lobjet du chapitre suivant...
-
1. Equations diffrentielles des poutres en flexion
Proprits mathmatiques des fonctions
Chapitre 1
Point de dpart
Equations diffrentielles
Proprits mathmatiques
Analyse des structures
je drive...
Rappel sur la drive seconde dune fonction...
... la drive premire dune fonction caractrise ses variations : fonction monotone, croissante ou dcroissante.
... la drive seconde dune fonction caractrise sa concavit :
drive seconde positive drive seconde ngative
... un changement de signe de la drive seconde se traduit donc par un changement de courbure :
-
1. Equations diffrentielles des poutres en flexion
Proprits mathmatiques des fonctions
Chapitre 1
Point de dpart
Equations diffrentielles
Proprits mathmatiques
Analyse des structures
G x
z
je drive...
jintgre...
EIGyw'(x) =
x( )
EIGyw (x) dforme !
p (x) = 0
V (x) = -a
M (x) = ax + b
(x) = -ax2/2 - bx- c
w (x) = -ax3/6 - bx2/2 - cx - d
fonction allure
fg
je drive...
EIGywIII (x) =
EIGywIV (x) =
p(x)
VGZ x( )
+
EIGyw' '(x) = MGy x( )
-
1. Equations diffrentielles des poutres en flexion
Proprits mathmatiques des fonctions
Chapitre 1
Point de dpart
Equations diffrentielles
Proprits mathmatiques
Analyse des structures
G x
z
je drive...
jintgre...
EIGywIII (x) =
EIGywIV (x) =
p(x)
je drive...
EIGyw'(x) =
x( )
EIGyw (x) dforme !
p (x) = 0
V (x) = -a
M (x) = ax + b
(x) = -ax2/2 - bx- c
w (x) = -ax3/6 - bx2/2 - cx - d
fonction allure
fg
EIGyw' '(x) = MGy x( )
VGZ x( )
-
-
1. Equations diffrentielles des poutres en flexion
Proprits mathmatiques des fonctions
Chapitre 1
Point de dpart
Equations diffrentielles
Proprits mathmatiques
Analyse des structures
G x
z
je drive...
jintgre...
EIGywIII (x) =
EIGywIV (x) =
p(x)
je drive...
EIGyw'(x) =
x( )
EIGyw (x) dforme !
p (x) = 0
V (x) = -a
M (x) = ax + b
(x) = -ax2/2 - bx- c
w (x) = -ax3/6 - bx2/2 - cx - d
fonction allure
fg
EIGyw' '(x) = MGy x( )
VGZ x( )
- +
-
1. Equations diffrentielles des poutres en flexion
Proprits mathmatiques des fonctions
Chapitre 1
Point de dpart
Equations diffrentielles
Proprits mathmatiques
Analyse des structures
G x
z
je drive...
jintgre...
EIGywIII (x) =
EIGywIV (x) =
p(x)
je drive...
EIGyw'(x) =
x( )
EIGyw (x) dforme !
p (x) = 0
V (x) = -ax - b
M (x) = ax2/2 + bx+ c
(x) = -ax3/6 - bx2/2 - cx - d
w (x) = -ax4/24 - bx3/6 - cx2/2 - dx -
e
fonction allure
fg
EIGyw' '(x) = MGy x( )
VGZ x( )
+
-
1. Equations diffrentielles des poutres en flexion
Proprits mathmatiques des fonctions
Chapitre 1
Point de dpart
Equations diffrentielles
Proprits mathmatiques
Analyse des structures
G x
z
je drive...
jintgre...
EIGywIII (x) =
EIGywIV (x) =
p(x)
je drive...
EIGyw'(x) =
x( )
EIGyw (x) dforme !
p (x) = 0
V (x) = -ax - b
M (x) = ax2/2 + bx+ c
(x) = -ax3/6 - bx2/2 - cx - d
w (x) = -ax4/24 - bx3/6 - cx2/2 - dx -
e
fonction allure
fg
EIGyw' '(x) = MGy x( )
VGZ x( )
-
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1. Equations diffrentielles des poutres en flexion
Proprits mathmatiques des fonctions
Chapitre 1
Point de dpart
Equations diffrentielles
Proprits mathmatiques
Analyse des structures
G x
z
je drive...
jintgre...
EIGywIII (x) =
EIGywIV (x) =
p(x)
je drive...
EIGyw'(x) =
x( )
EIGyw (x) dforme !
p (x) = 0
V (x) = -ax - b
M (x) = ax2/2 + bx+ c
(x) = -ax3/6 - bx2/2 - cx - d
w (x) = -ax4/24 - bx3/6 - cx2/2 - dx -
e
fonction allure
fg
EIGyw' '(x) = MGy x( )
VGZ x( )
- +
-
1. Equations diffrentielles des poutres en flexion
Analyse des structures
Chapitre 1
Point de dpart
Equations diffrentielles
Proprits mathmatiques
Analyse des structures
je drive...
fgchauffement... Q p
AB C
L a
effort tranchant V(x)
moment flchissant M(x)
dforme w(x)
0 0pa2/2?
? ? ? 0? pa
d1 d1 d2
0 0d3 d3 d4
cste cste d1
Q p
AB C
L a
-
1. Equations diffrentielles des poutres en flexion
Analyse des structures
Chapitre 1
Point de dpart
Equations diffrentielles
Proprits mathmatiques
Analyse des structures
je drive...
fgtirements...
?0
0
0
d1
d2d3
d4
0
p
Q
d1 cste
d3 d1
La suite en TD et ... au DS !
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