criterio de estabilidad de routh
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Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz y lugar geomtrico de races
6 INTRODUCCIN En este captulo se estudia el tema de la estabilidad absoluta de los sistemas de control con
el mtodo de Routh-Hurwitz y el lugar geomtrico de races (LGR), mtodo que es una
poderosa herramienta para el diseo de sistemas de control. El LGR tiene una multitud de
variantes, que van desde el ajuste de ganancia para satisfacer especificaciones de diseo,
estabilidad relativa, etctera, hasta lo que se denomina contorno de races.
Contenido
Arreglo de Routh-Hurwitz y estabilidad absoluta.
Casos especiales y clculo de rangos de ganancias para los cuales los sistemas en lazo
cerrado son estables.
Concepto de LGR y mtodo de Evans.
Aplicaciones: diseo de sistemas mediante LGR, sistemas con retroalimentacin unitaria
y no unitaria, as como respuesta en tiempo para lazo cerrado.
Estabilidad relativa (mrgenes de ganancia y fase).
Variacin de parmetros distintos a la ganancia
Problemas.
Referencias del captulo 6.
Objetivos
Definir el criterio de estabilidad absoluta de Routh-Hurwitz.
Determinar el rango de valores de ganancias para los cuales los sistemas son estables.
Definir el concepto de LGR y enfatizar en el mtodo de Evans.
Aplicar el concepto de LGR en sus muy diversas modalidades.
INTRODUCCIN
Para sistemas retroalimentados, que se representan por sus respectivas funciones de
transferencia de lazo cerrado el hecho ms importante se relaciona con las ecuaciones
caractersticas asociadas a y consiste en determinar si el sistema bajo consideracin es
-
estable, esto es, si sus polos de lazo cerrado estn localizados en el semiplano izquierdo del
plano
En cuanto a los polinomios caractersticos, se puede establecer que los sistemas de primero
y segundo grados siempre sern estables en lazo cerrado; sin embargo, a partir de
ecuaciones caractersticas de tercer grado, los sistemas pueden ser o no estables, lo cual
depende de la ubicacin en el plano s de los respectivos polos de lazo cerrado de cada
configuracin en particular.
Una primera alternativa para establecer la estabilidad de un sistema consiste en aplicar el
mtodo de Newton-Raphson al polinomio caracterstico bajo consideracin, con lo que se
determinara la posicin de los polos de lazo cerrado.
Como segunda opcin, con octave es posible obtener las races de cualquier polinomio de
grado (Evaluacin de races con el comando ).
Existe una tercera opcin, la cual, aunque no seala la posicin de los polos de la ecuacin
caracterstica bajo consideracin, indica el nmero de races caractersticas que se localizan
a la derecha del plano Esto se conoce como mtodo de Routh-Hurwitz.
MTODO DE ROUTH-HURWITZ
En la dcada de 1890, A. Hurwitz y E. J. Routh publicaron, en forma separada, un
procedimiento numrico para determinar la estabilidad de un sistema a partir de su
ecuacin caracterstica
Este mtodo es un arreglo numrico que tiene como objetivo determinar el nmero de
races de un polinomio caracterstico que estn en el semiplano derecho del plano s.
Por eso, al procedimiento de Routh-Hurwitz se le denomina mtodo de estabilidad absoluta,
ya que el resultado no indica la posicin especfica de los polos, como en el caso de los
distintos mtodos de evaluacin de races de polinomios; sin embargo, an en la actualidad
es una herramienta de suma importancia, pues es posible establecer el rango de valores de
ganancia ajustable para los cuales los sistemas de lazo cerrado son estables.
El primer paso para determinar la estabilidad absoluta de un polinomio caracterstico
es representarlo en su respectivo arreglo de Routh-Hurwitz.
Sea el polinomio caracterstico de grado
-
Para comenzar el arreglo, se procede a escribir una columna de trminos en iniciando con
la potencia de mayor grado y de ah en orden descendente hasta llegar al trmino
independiente ; a continuacin se distribuyen en el arreglo los coeficientes
en pares de dos en dos, segn se muestra en la figura 6.1.
Figura 1. Estructura del arreglo de Routh-Hurwitz.
Despus se procede a completar el arreglo, agregando los elementos que
corresponden a las filas de los elementos etctera y se calculan de la siguiente
manera:
La tabla contina verticalmente hasta terminar el arreglo, pero una vez que ste ha sido
completado se aplica el criterio de Routh-Hurwitz, el cual establece que el nmero de
cambios de signos en la columna principal corresponde al nmero de races que se
encuentren a la derecha del eje (semiplano derecho SPD). Lo anterior se muestra en la
figura 6.2.
Figura 2. El nmero de cambios de signo en los coeficientes de los elementos de la columna principal del arreglo indica la
cantidad de polos a la derecha del eje j.
-
Ejemplo:
Para los siguientes polinomios caractersticos, aplique el criterio de Routh-Hurwitz con la
finalidad de determinar el nmero de polos que se encuentren en el semiplano derecho del
plano
Solucin:
a) La representacin en el arreglo de Routh-Hurwitz del polinomio caracterstico:
junto con los coeficientes y se muestra a continuacin:
Los coeficientes y fueron evaluados, segn indica la ecuacin (6.2a), empleando las dos
primeras filas del arreglo:
Una vez que se conocen los elementos que forman la fila para determinar los coeficientes
que darn lugar a la fila se utiliza la segunda fila del arreglo, junto con la ahora conocida
fila ; luego se procede segn lo muestra la ecuacin (6.2b):
Para fi nalizar el arreglo con los elementos , se manejan las dos filas inmediatas superiores
a la fila por evaluar:
Una vez que se completa el arreglo, se observa que en la columna principal no hay cambios
de signo; por lo tanto, el sistema es estable, ya que tiene todos sus polos en el semiplano
izquierdo (SPI).
b) El arreglo de Routh-Hurwitz correspondiente es:
-
donde hay dos cambios de signo en la columna principal (de a y de a , que hace
inestable el sistema con dos polos en el SPD.
c) Para se obtiene arreglo:
por lo que es inestable el sistema, pues un cambio de signo en la columna principal indica un
polo en el SPD. Con octave puede comprobarse lo anterior de una manera muy simple:
>> p=[1 5 0 -40 -96];
>> roots(p)
ans =
3.0000 + 0.0000i
-4.0000 + 0.0000i
-2.0000 + 2.0000i
-2.0000 - 2.0000i
Casos especiales en el anlisis de Routh-Hurwitz a) Ceros en la columna principal
Sea el polinomio caracterstico: ; el cual es representado en su
correspondiente arreglo de Routh-Hurwitz:
-
Se observa que la combinacin de coeficientes para cuantificar el elemento da por
resultado un cero:
Aunque es distinto de cero, los elementos de las siguientes filas no pueden evaluarse, ya
que todos ellos quedaran divididos entre cero, lo que dara lugar a indeterminaciones.
Si los coeficientes que componen el numerador de fueran levemente diferentes, el
resultado sera distinto de cero, con lo que el arreglo podra ser completado; para concluir
ste, se define el nmero , que es casi cero, pero positivo, el cual se sustituye por el cero de
la columna principal, con lo que el coeficiente puede ser evaluado:
De esta manera, el arreglo resultante es:
Cuando todos los elementos de una determinada fila han sido evaluados, para facilitar los
clculos, el rengln bajo consideracin puede multiplicarse por cualquier nmero diferente
de cero (en este caso, la cuarta fila se multiplic por ) sin alterar el resultado del arreglo.
Con respecto a la columna principal, sta presenta dos cambios de signo, pues es casi cero,
pero positivo, ; por lo tanto, el sistema es inestable con dos polos en el SPD.
A manera de comprobacin, la ubicacin de los polos obtenida con octave corresponden a:
>> p=[1 1 3 3 10];
-
>> roots(p) ans = -1.1954 + 1.3329i -1.1954 - 1.3329i 0.6954 + 1.6236i 0.6954 - 1.6236i
b) Terminacin anticipada del arreglo
En ocasiones, ocurre que para ciertos polinomios caractersticos su arreglo correspondiente
finaliza en forma anticipada; esto es, antes de terminar el arreglo ste contiene una fila
formada exclusivamente por ceros en alguno de sus renglones intermedios; por ejemplo, el
caso del polinomio caracterstico: el cual es representado en
su respectivo arreglo de Routh-Hurwitz:
La explicacin de la terminacin prematura del arreglo (alguna fila intermedia compuesta
totalmente por ceros) indica que existe un polinomio divisor cuyas races son imaginarias,
, adems de dividir exactamente al polinomio caracterstico original.
Para completar el arreglo, se procede a sustituir la fila de ceros por la derivada en del
polinomio divisor, el cual se identifica a partir del rengln inmediato anterior no nulo del
arreglo; en este caso, (races complejas conjugadas en el eje imaginario:
Una vez terminado el arreglo, se observa que el sistema es estable, ya que la columna
principal no presenta cambios de signo.
-
Ejemplo:
Para las siguientes funciones de transferencia aplique el criterio de Routh-Hurwitz a los
respectivos polinomios caractersticos y determine la estabilidad de cada sistema, segn el
nmero de polos existentes en el semiplano derecho del plano s.
Solucin:
a) El denominador de es:
representado en su correspondiente arreglo de Routh-Hurwitz:
Como hay dos cambios de signo en la columna principal del arreglo , el
sistema tiene dos polos en el SPD y, por ende, es inestable (caso correspondiente a ceros en
la columna principal).
b) La ecuacin caracterstica relacionada con T(s) es:
por lo que el arreglo de Routh-Hurwitz es el que se muestra a continuacin:
Es un sistema inestable por tener un polo en el SPD. El caso es una terminacin prematura
con polinomio divisor
-
c) Para
corresponde el siguiente arreglo de Routh-Hurwitz:
El sistema es estable por no haber cambios de signo en la columna principal (el caso
corresponde a terminacin anticipada del arreglo, donde el polinomio divisor es igual a
.
Ejemplo:
Para los sistemas mostrados en la figura 6.3, obtenga una expresin para la funcin de
transferencia de lazo cerrado y aplique el criterio de Routh-Hurwitz a los polinomios
caractersticos resultantes.
Figura 3. Figuras 3a y 3b
-
Solucin:
a) La funcin de transferencia de lazo cerrado del diagrama de bloques de la figura 6.3a
corresponde a:
Al aplicar el mtodo de Routh-Hurwitz se determina que el sistema es inestable por tener
dos polos en el SPD.
b) La funcin de transferencia de lazo cerrado del diagrama de flujo de seales de la
figura 6.3b corresponde a:
El resultado de aplicar el mtodo de Routh-Hurwitz es que el sistema es inestable por tener
dos polos en el SPD.
Aplicacin del mtodo de Routh-Hurwitz (ajuste de ganancia) Para sistemas retroalimentados (como el de la figura 6.4), los polos del polinomio
caracterstico dependern tanto de los coeficientes del polinomio original como del valor de
la ganancia , de tal manera que si la ganancia es ajustable para cada valor de los polos
de lazo cerrado tendrn ubicaciones diferentes en el plano
Figura 4. La ecuacin caracterstica del sistema de lazo cerrado depende de los coeficientes a y b, as como de la ganancia
ajustable K: .
En la introduccin a este captulo se coment que los sistemas de primero y segundo grados
siempre sern estables en lazo cerrado para toda ganancia ; sin embargo, para
polinomios caractersticos de grado superior, los sistemas pueden serlo o no.
El hecho de que los signos de los coeficientes de polinomios caractersticos de grado uno y
dos sean iguales (todos positivos o todos negativos) garantiza que el sistema respectivo sea
estable; sin embargo, por desgracia, dicha regla no es aplicable para polinomios de grado
tres en adelante. Es aqu precisamente donde el mtodo de Routh-Hurwitz adquiere gran
importancia, ya que de una manera sencilla es posible determinar todos los valores de
ganancia para los que los sistemas sern estables.
-
Ejemplo:
Determine el rango de valores de ganancia para los cuales los siguientes sistemas sean
estables.
Solucin:
a) Para la ecuacin caracterstica perteneciente a ; es condicin
suficiente que no haya cambios de signo en el polinomio, por lo que el sistema ser estable
para
b) Con respecto al polinomio caracterstico correspondiente: si
los signos del polinomio sern todos iguales (en este caso positivos), razn
suficiente para asegurar la estabilidad del sistema.
c) La representacin en el arreglo de Routh-Hurwitz de la ecuacin caracterstica:
, se presenta a continuacin. En este caso, la regla de los signos
no es aplicable por el grado del polinomio.
Para que el sistema sea estable, todos los elementos de la columna principal debern ser
positivos, incluidos: y
De las desigualdades anteriores, se obtiene que el sistema ser estable si: . En
caso de que o , el sistema se comporta como marginalmente estable.
d) Para la ecuacin caracterstica , despus de completar el arreglo de
Routh-Hurwitz respectivo, se obtiene que el sistema es estable para .
e) La representacin del arreglo del polinomio en turno corresponde a:
-
De las desigualdades , se obtiene que el rango de ganancias
para que el sistema sea estable es de:
f) El arreglo del polinomio es:
De la primer desigualdad , se obtiene que .
La segunda desigualdad supone resolver la ecuacin cuadrtica , lo que
hace complejas las races encontradas:
Como no existe ningn valor real de que satisfaga la desigualdad, el sistema es inestable
para cualquier valor de ganancia.
LUGAR GEOMTRICO DE RACES (LGR) En el captulo 5 (secciones 5.2.3 y 5.3.3) se introdujo el concepto de lugar geomtrico de
races (LGR) para sistemas de primero y segundo grados, respectivamente; en esta seccin se
complementar y justificar dicho concepto, pero se pondr nfasis en la condicin de fase
(requisito por satisfacer para generar los LGR de las diversas configuraciones), as como en la
condicin de magnitud (para asignar una escala a cada LGR resultante). Adems, se har una
breve descripcin del mtodo de Evans (en su tiempo uno de los procedimientos ms
ingeniosos para desarrollar aproximaciones grficas de comportamientos analticos).
Asimismo, se indicarn los diversos comandos en Octave, tanto para generar los
correspondientes LGR como para llevar a cabo diseos de sistemas de control para satisfacer
distintas especificaciones de funcionamiento. El captulo finaliza con aplicaciones adicionales
del LGR.
-
Introduccin al LGR: concepto y justificacin El mtodo del lugar geomtrico de races (en ingls, root locus) es una herramienta que
sirve para determinar todas las posibles races de una ecuacin caracterstica de
cuando vara algn parmetro (en principio, la ganancia de un sistema) y
se utiliza para conocer el comportamiento total del sistema de lazo cerrado en rgimen
transitorio.
Con respecto a la representacin analtica de un sistema en configuracin de lazo cerrado
(figura 6.5):
cuya ecuacin caracterstica es:
en tanto que su funcin de transferencia de lazo abierto corresponde a:
Las ltimas ecuaciones sern la base para presentar el concepto del LGR.
Dada la similitud entre las ecuaciones (6.4) y (6.5), que corresponden respectivamente a la
ecuacin caracterstica y a la funcin de transferencia de lazo abierto
ser posible analizar el comportamiento de sistemas de lazo cerrado a partir de la
funcin de transferencia de lazo abierto, donde la ganancia se supone implcita en la
funcin de transferencia de trayectoria directa .
Figura 5. Representacin en bloques de un sistema de control de lazo cerrado.
Rescribiendo la ecuacin (6.4):
que representa un nmero complejo en notacin binmica: , cuya parte
imaginaria es igual a cero. Es bien sabido que todo nmero complejo admite varias
representaciones: polar, exponencial y trigonomtrica, por lo que se proceder a
representar a la ecuacin (6.6) en forma polar, cuya interpretacin ser la de un vector con
magnitud y direccin segn se muestra en la figura 6.6.
-
Figura 6. La representacin polar del nmero complejo 1 + j0 corresponde a un vector de magnitud r y direccin .
Por lo anterior, la representacin polar2 de la ecuacin (6.6) es:
La ecuacin anterior es de gran relevancia, pues relaciona la ecuacin caracterstica
con En la ecuacin (6.7) se observan una expresin de fase y una
expresin de magnitud.
Condicin de fase:
La clave para determinar todos los posibles lugares geomtricos (o polos de lazo cerrado del
polinomio caracterstico) est contenida en la condicin de fase, ya que cualquier valor de s
que satisfaga dicha relacin angular ser una raz de la ecuacin caracterstica considerada.
Condicin de magnitud: 1
Una vez que se han determinado todos los puntos que satisfacen la condicin de fase, es
posible construir el LGR. La condicin de magnitud se utiliza para asignar una escala al lugar
geomtrico resultante, cuya aplicacin directa ser la de cuantificar las ganancias requeridas
para operar en puntos especficos del LGR con la finalidad de satisfacer las especificaciones
de funcionamiento en rgimen transitorio.
La relacin entre y es fundamental en el anlisis de los sistemas de
control. La conclusin de la ecuacin (6.7) es que todo valor de que satisface la
multiplicidad angular dada por la funcin de transferencia de lazo abierto
ecuacin (6.5), es una raz del polinomio caracterstico ecuacin (6.4), que
contiene a los polos de lazo cerrado. Por lo tanto, para obtener la representacin grfica de
todos los polos de lazo cerrado (o LGR) se parte de la representacin en el plano de los
polos y ceros contenidos en
Ejemplo:
Para las siguientes funciones de transferencia de lazo abierto
1. Obtenga los correspondientes LGR, esto es, grafique en el plano todos los posibles
polos de lazo cerrado.
2. Calcule la ganancia para que el sistema opere en el punto indicado del LGR.
-
Solucin:
a) El primer paso para obtener el LGR es graficar en el plano a los polos y ceros de la
funcin de transferencia de lazo abierto Lo anterior se muestra en la figura 6.7a.
Figura 7. Grfica en el plano s del nico polo contenido en G(s)H(s).
Para encontrar los lugares geomtricos se debe satisfacer:
por lo que habr de expresarse en notacin polar para que la ecuacin
considerada sea congruente:
En relacin con la expresin anterior, cabe enfatizar que el efecto resultante de la fase que
tiene que ver con es negativa, ya que en general hay mayora de polos con
respecto a ceros, por lo que la fase resultante ser la suma algebraica de las contribuciones
angulares de los ceros menos las contribuciones angulares de los polos.
Con respecto a la figura 6.7a, en el plano se ubican distintos puntos de prueba para
determinar cules de ellos satisfacen el requisito de la condicin de fase; esto es, que
; lo anterior se muestra en la figura 6.7b.
En la figura se observa que los puntos de prueba ubicados en , y no satisfacen el
requisito de fase, ya que las contribuciones angulares en cada caso son distintas de
Los ngulos del polo hacia los diversos puntos de prueba son: con respecto a , se tiene un
ngulo de cero grados; para el caso de , el ngulo resultante es de y para , la
contribucin angular corresponde a El nico punto que cumple con el requisito
angular de es ; de hecho, cualquier lugar que se elija en el eje real a la izquierda del
polo (segn se muestra en la figura 6.7b) ser un lugar geomtrico; esto es, una
raz de la ecuacin caracterstica , lo que equivale a un polo de lazo
cerrado.
-
Una vez que se ha determinado el LG correspondiente, se procede a establecer una escala
para determinar la ganancia necesaria para operar en algn punto especfico del LG (en
este caso, en ), para lo cual se emplea la condicin de magnitud, ecuacin (6.7):
, particularizando:
De acuerdo con lo anterior, la ganancia que requiere el sistema para operar exactamente en
es de 0.75 unidades.
Qu parmetro de referencia puede utilizarse para elegir un punto especfico sobre un
determinado LGR? En este caso, la contestacin a la pregunta sera obtener una
determinada velocidad de respuesta por parte del sistema.
Se supone que se requiere que el sistema bajo consideracin alcance su valor final prctico
en 3.2 seg, por lo cual deber ser igual a 3.2/4 0.8, cuyo recproco es 1.25; por lo
que si se ajusta la ganancia a 0.75 unidades se forzar al sistema para que en lazo cerrado
opere en el punto sobre el LGR.
b) La representacin de polos y ceros de la funcin de transferencia de lazo abierto
), junto con diversos puntos de prueba se muestran en la figura 6.7c.
Para satisfacer la condicin de fase, hay que considerar las contribuciones angulares de cada
uno de los dos polos contenidos en con respecto a los distintos puntos de prueba.
Para la contribucin angular total es de 0, y para la suma de los ngulos polares es de
Por lo tanto, ninguno de los puntos considerados son lugares geomtricos.
Con respecto a , la contribucin angular del polo ubicado en es de 0, mientras la
contribucin angular del polo que est en es de ; por lo tanto, la suma total
de las fases polares es de , con lo que se satisface el requisito de fase. De hecho,
cualquier punto de prueba ubicado en el eje real entre corresponde a un lugar
geomtrico del sistema.
Los lugares geomtricos tambin pueden tener componentes complejos, como es el caso del
punto de prueba ; el polo ubicado en aporta una contribucin angular de ,
mientras que el polo restante contribuye con . De esta manera se adquiere la
contribucin angular total de , la cual satisface el requisito de la condicin de fase.
El LG correspondiente se muestra en la figura 6.7d.
A todo LGR se le pueden asignar flechas, las cuales indican el sentido que toman los polos de
lazo cerrado cuando se incrementa la ganancia ; adems, el LGR es una grfica continua de
valores.
-
Al igual que en el inciso anterior, es vlido formular la pregunta de cul puede ser la
referencia para elegir algn punto especfico en el LGR. Las respuestas en este caso suelen
ser varias; por ejemplo, seleccionar un punto que satisfaga una velocidad de respuesta o un
determinado amortiguamiento u operar bajo cierta frecuencia angular de oscilacin ,
etctera.
A manera de ejemplo, se calcular la ganancia para que la configuracin en lazo cerrado se
comporte como un sistema crticamente amortiguado; esto es, que el sistema opere en
, lo que supone un par de polos reales repetidos.
De la condicin de magnitud:
De esta manera, se establece que la ganancia requerida para que el sistema se comporte
como crticamente amortiguado es de .
Como comprobacin, si se considera que
y , la funcin
de transferencia de lazo cerrado es:
Como complemento del ejercicio, se aaden diversos valores de ganancias requeridas para
operar en diferentes puntos del LGR de la figura 6.7d:
Hasta ahora se ha justificado la generacin del LGR a partir de satisfacer la condicin de fase
asociada a toda funcin de transferencia de lazo abierto . Un mtodo alternativo
para obtener el LGR es determinar y graficar las races del polinomio caracterstico de
grado considerando que la ganancia vara en
un rango infinito de valores (de hecho ste es el mtodo que utiliza Octave para generar los
correspondientes LGR).
Mtodo de Evans
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En la seccin anterior se coment que una de las alternativas para obtener el LGR de un
sistema descrito mediante su funcin de transferencia de lazo cerrado era simplemente
determinar las races del polinomio caracterstico asociado de grado .
Esto tiene el inconveniente de que dicho clculo debe realizarse para cada ganancia , ante
lo que hay que considerar que tal ganancia vara en un rango infinito de valores.
A finales de la dcada de 1940, Walter R. Evans3 public varios trabajos relacionados con el
comportamiento en lazo cerrado de los sistemas de control, a partir de funciones de
transferencia de lazo abierto . Para ello hay que considerar variaciones infinitas de
algn parmetro, en principio el de la ganancia El mtodo propuesto por Evans es un
procedimiento grfico sumamente ingenioso, ya que, de manera paradjica, en vez de
determinar las races de polinomios de grado (que implican una gran cantidad de
clculos), mediante aproximaciones grficas y prcticamente sin llevar a cabo ningn
procedimiento analtico, logr sintetizar el concepto de lugar geomtrico de races en un
conjunto de reglas que se describen a continuacin.
Para aplicar el mtodo de Evans y obtener el LGR correspondiente a cada sistema en
particular, se tomar como punto de partida la representacin en el plano de los polos y
ceros de la funcin de transferencia de lazo abierto .
1. Nmero de ramas del LGR.
En general, un sistema de control tiene mayora de polos con respecto a ceros. El nmero de
ramas de un LGR ser igual al nmero de polos contenidos en la funcin de transferencia de
lazo cerrado; dichos polos corresponden a la cantidad de polos existentes en la funcin de
transferencia de lazo abierto Por lo tanto, un LG tendr tantas ramas como
polos contenidos en G(s)H(s). Por rama, se entiende toda trayectoria que sigue un
determinado polo de lazo cerrado como consecuencia de la variacin de ganancia, de
manera que habr tantas ramas como corresponda al grado de la funcin de transferencia
de lazo abierto.
2. Principio y fin del LGR.
Los LG inician en los polos y terminan en los ceros; en ausencia de ceros, los
lugares geomtricos terminarn en el infinito. La funcin de los ceros es atraer los lugares
geomtricos que provienen de los polos.
Cabe mencionar que con estas dos primeras reglas an no es posible dibujar ningn lugar
geomtrico. Uno de los principales problemas para bosquejar el LGR es saber para qu
configuracin se aplica una determinada regla. Por ello, se tratar de especificar con claridad
-
el porqu y el cundo de la aplicacin de cada una de las siguientes reglas. Hasta ahora es
posible decir que las dos primeras reglas siempre son aplicables a cualquier configuracin
3. Lugares geomtricos en el eje real.
Los lugares geomtricos que existen en el eje real se ubican a la izquierda de
elementos impares, pero empiezan por el elemento ms alejado a la derecha.
Cundo se aplica esta regla
Esta regla es aplicable siempre y cuando exista(n) polo(s) y/o cero(s) en el eje real.
Ejemplo:
Bosqueje el LGR a partir de las siguientes funciones de transferencia de lazo abierto
Solucin:
a) El sistema tiene dos polos y un cero, por lo que el LG contar con dos ramas (tantas ramas
como polos de lazo abierto); adems, como los lugares geomtricos parten de los polos y
terminan en los ceros (o en el infinito, en ausencia de ceros), una rama finalizar en el cero
, mientras que la otra acabar en el infinito.
Como existen elementos de en el eje real, dos polos ( y ) y un
cero ( ), se aplicar la regla para ubicar los lugares geomtricos a la izquierda de
elementos impares comenzando por el elemento ms alejado a la derecha; una de las ramas
se dirigir del polo hacia el cero , en tanto que la otra ir del polo
hacia el infinito. Lo anterior se muestra en la figura 6.8a.
Figura 8. LGR de G(s)H(s)=K(s+2)/(s+0.5)(s+4)
-
b) La funcin de transferencia de lazo abierto tiene dos polos complejos
( y ) y un cero ( ) en el eje real, por lo que en este eje
existir el LG desde el cero hasta .
La figura 6.8b muestra el lugar geomtrico respectivo. Con las reglas aplicadas hasta ahora,
no es posible bosquejar el lugar geomtrico completo ocasionado por las ramas complejas.
4. Simetra de los lugares geomtricos complejos.
De hecho tal propiedad, ms que ser una regla, es una consecuencia lgica del conocimiento
del comportamiento de los nmeros imaginarios, por lo que es una caracterstica de los LG
complejos, donde la parte real es la misma y el componente imaginario siempre ser el
complejo conjugado de la rama asociada. La figura 6.9 muestra un LG cuya existencia es,
mientras la contraparte correcta corresponde a la figura 6.8b.
Cundo se aplica esta regla
Esta regla es aplicable siempre que haya lugares geomtricos complejos; adems, no es
necesario determinar la parte imaginaria negativa, ya que con reflejar la rama imaginaria
positiva, con respecto al eje real, se obtiene la rama complementaria.
Figura 9. LG imposible de ser vlido, ya que la rama inferior debe ser reflejo de la rama superior con respecto a la horizontal.
Reglas que se aplican cuando los lugares geomtricos tienden al infinito: asntotas y centroide
Uno de los principales problemas que se presentan al bosquejar los lugares geomtricos
corresponde a determinar hacia donde se dirigen las ramas cuando estas tienden a infinito
(debido a la ausencia de ceros que atraigan hacia si los LG). El par de reglas siguientes
aclarara tal disyuntiva.
5. Asintotas.
-
Para ganancias elevadas, y en ausencia de ceros, las ramas del lugar geomtrico
tienden a comportarse como lneas rectas a manera de asntotas, las cuales
abandonan el eje real con un ngulo , dado por:
Cundo se aplica esta regla
Esta regla es aplicable cuando haya uno o ms polos que no tengan ceros hacia donde llegar,
por lo cual dichos polos tendern al infinito. Las asntotas se aplican junto con el centroide.
6. Centroide. El centroide es el punto en el eje real del cual divergen las asntotas y
se determina mediante:
Cundo se aplica esta regla
Esta regla es aplicable cuando haya uno o ms polos que no tengan ceros a donde llegar, por
lo cual dichos polos tendern al infinito. El centroide se aplica junto a las asntotas.
Ejemplo:
Para las siguientes funciones de transferencia de lazo abierto, obtenga los respectivos
lugares geomtricos. Para ello, considere que la ganancia vara de cero a infinito:
Solucin:
Para cada uno de los incisos, se indicara por que se aplica o no cada una de las reglas vistas
hasta este punto.
Como se recordara, todo LG inicia representando en el plano los polos y ceros de
.
a) La funcin de transferencia de lazo abierto tiene tres polos y carece de ceros:
-
Las reglas a aplicar son:
1. Nmero de ramas del LGR. El lugar geomtrico tendr tres ramas, ya que estas son
determinadas por el numero de polos de
2. Principio y fin del LGR. Los lugares geomtricos inician en los polos, mientras que con
incrementos de ganancia y en ausencia de ceros, las tres ramas procedentes de los polos
terminaran en el infinito.
3. Lugares geomtricos en el eje real. Como hay un elemento en el eje real, en este
caso un polo , habra un LG en dicho eje situado a la izquierda de dicho polo, que se
prolonga hasta .
4. Simetra de los lugares geomtricos complejos. La existencia de polos complejos
es razn suficiente para concluir que el LG respectivo tendr componentes complejos; por lo
tanto, las partes conjugadas presentaran simetra con el eje real.
5. y 6. Asntotas y centroide. El hecho de que los lugares geomtricos tiendan al infinito
(regla 2), es motivo suficiente para asegurar la presencia de asntotas, las cuales
abandonaran el eje real en el punto denominado centroide.
El clculo de las asntotas se lleva a cabo al aplicar la ecuacin (6.8), donde hay que
considerar que el sistema tiene tres polos y ningn cero:
La primera pregunta con respecto a las asntotas consiste en determinar cuantos valores
de se toman en cuenta. La respuesta es que la ecuacin se cuantifica tantas veces como
ramas tiendan al infinito, por lo cual, para este caso, la ecuacin se evala para ,
y . (Es conveniente seguir el orden indicado; si se requirieran mas valores de ,
el siguiente numero seria , luego , etcetera).
Por lo anterior, las tres asntotas corresponden a:
Rigurosamente se cuantifico tres veces la ecuacion (6.8); sin embargo, con haber aplicado
una sola vez dicha ecuacin hubiera sido suficiente, ya que si se sabe que a la izquierda de
elementos impares en el eje real existe lugar geomtrico, ya se tiene una de las tres
asntotas. Al aplicar la ecuacin (6.8) para se obtiene la segunda asntota con
-
inclinacin de 60; adems, en virtud de la simetra de los lugares geomtricos complejos
con respecto al eje real, la tercera asntota ser simplemente igual a .
Qu ocurrira si se siguiera evaluando la ecuacin (6.8) para distintos valores de ? La
respuesta es que simplemente se obtendrian valores mltiplos a los ya encontrados.
Ahora que se conocen las tres asntotas requeridas, se proceder a calcular el centroide es
el punto en el eje real del cual divergen las asntotas) de acuerdo con la ecuacin (6.9):
La figura 6.10a muestra el lugar geomtrico resultante, que representa el comportamiento
del sistema en lazo cerrado cuando la ganancia varia en rangos infinitos para . Se
observa que a partir de cierto valor de ganancia, el sistema se hace inestable.
b) La funcin de transferencia de lazo abierto a considerar difiere del inciso anterior solo por
la adicin de un cero en el origen; la inclusin de este elemento ocasionara que el LG cambie
radicalmente, como se ver a continuacin.
Figura 10. LGR de G(s)H(s)=ks/(s+1)(s^2+s+1.5)
-
Con respecto a
se obtiene:
1. Nmero de ramas del LGR. El LGR tendr tres ramas.
2. Principio y fin del LGR. Los LG inician en los polos, una de las ramas tendera hacia el cero y
las dos restantes tendern a infinito.
3. Lugares geomtricos en el eje real. Debido a la existencia de dos elementos en el eje real,
habr un LG entre el cero en el origen y el polo ubicado en .
4. Simetra de los lugares geomtricos complejos. La existencia de polos complejos es motivo
suficiente para concluir que el LG respectivo tendr ramas complejas.
5. y 6. Asntotas y centroide. Dos de los tres lugares geomtricos tendern a infinito, por lo
que hay que calcular la inclinacin de dos asntotas, as como la ubicacin del centroide:
El LGR respectivo se muestra en la figura 6.11. Hay que recordar que las asntotas son las
direcciones que tienden a tomar los LG para ganancias elevadas. Hasta ahora no hay manera
de calcular las trayectorias de los LG para ganancias pequeas (posteriormente se ver la
regla correspondiente: ngulos de salida de los LG.).
Figura 11. LGR de G(s)H(s)=ks/(s+1)(s^2+s+1.5)
-
La simple inclusin del cero en el inciso b) modific radicalmente la configuracin del inciso
a), haciendo que el sistema sea totalmente estable para toda ganancia. Esto hace suponer
que la adicin de ciertos elementos especiales (denominados controladores) dar
flexibilidad al sistema para lograr satisfacer especificaciones particulares de diseo.
c) Con respecto a la funcin de transferencia de lazo abierto:
El sistema tiene tres polos (dos de ellos repetidos) y un cero.
1. Nmero de ramas del LGR. El LGR tendr tres ramas.
2. Principio y fi n del LGR. Los LG inician en los polos, una de las ramas tender hacia el
cero y las dos restantes tendern a infinito.
3. Lugares geomtricos en el eje real. En el eje real existen tres polos y un cero. A la
izquierda de los elementos impares habr lugar geomtrico, el cual se presentar entre el
polo y el cero .
4. Simetra de los lugares geomtricos complejos. La existencia de polos repetidos
denominados polos adyacentes, ocasionar que, con incrementos de ganancia,
los LG respectivos tengan ramas complejas.
5. y 6. Asntotas y centroide. Dos de los tres lugares geomtricos tendern al infinito,
por lo que hay que calcular la inclinacin de dos asntotas, as como la ubicacin del
centroide:
El LGR resultante se muestra en la figura 6.12, el cual es estable en lazo cerrado para toda
ganancia
-
Figura 12. LGR de G(s)H(s)=K(s+0.5)/((s+2)^2 (s+1) )
Hasta ahora se han definido y aplicado seis reglas de un total de diez, por lo que a
continuacin se Definirn las cuatro restantes.
7. Cruce del LG con el eje imaginario.
Los puntos en los cuales los lugares geomtricos cruzan el eje imaginario , as como el
valor de la ganancia en dicho punto, se obtienen sustituyendo por en la ecuacin
caracterstica.
Esta regla es de gran importancia, ya que los valores de ganancia en el cruce del eje , as
como la frecuencia en dicho punto, sern fundamentales en el diseo de controladores.
Cundo se aplica esta regla
-
Esta regla se aplica cuando los lugares geomtricos cruzan el eje imaginario, lo que supone
que los incrementos adicionales de ganancia harn inestable al sistema. Es obvio resaltar
que para sistemas siempre estables (figuras 6.11 y 6.12) esta regla no se aplica.
Ejemplo:
Para el sistema de la figura 6.13, obtenga la ganancia con la cual el LG cruza el eje , as
como la frecuencia de cruce en dicho punto.
Figura 13. Sistema de control del cual se pretende determinar su comportamiento en lazo cerrado para variaciones de
ganancia.
Solucin:
La funcin de transferencia de lazo abierto es:
Puesto que el bosquejo del LG se desarroll, se proceder a determinar la ganancia en el
punto de cruce con el eje , as como la frecuencia en ese punto. La funcin de
transferencia de lazo cerrado es:
Para determinar el punto de cruce del LG con el eje , se procede a sustituir por en la
ecuacin caracterstica:
La ecuacin anterior puede agruparse en parte real e imaginaria:
Parte real Parte imaginaria
La parte imaginaria de la ecuacin anterior se utiliza para obtener el valor de frecuencia en
el cruce del LG con el eje :
Si se conoce , se procede a determinar la ganancia en 1.5811, pero tambin habr que
considerar la parte real de la ecuacin anterior:
-
Las figuras 6.14 y 6.15 muestran la configuracin en lazo cerrado del sistema y su respuesta
cuando unidades, lo que corresponde a un comportamiento marginalmente
estable.
Figura 14. Sistema de lazo cerrado con ganancia K = 3.5 unidades.
Figura 15. Respuesta libre oscilatoria del sistema para K = 3.5.
8. ngulos de salida y ngulos de llegada .
-
Con respecto a los ngulos de salida :
El ngulo de salida de una rama asociada con un polo complejo (tomado como polo bajo
consideracin) corresponde a la suma de las contribuciones angulares de todos los
polos restantes de G(s)H(s) al polo bajo consideracin la suma de todas las
contribuciones angulares de los ceros de G(s)H(s) al polo bajo consideracin
.
Cundo se aplica esta regla
La presencia de polos complejos origina la existencia del ngulo de salida y corresponde al
ngulo con el cual la rama asociada abandona al polo complejo con incrementos de
ganancia.
Por lo tanto, dicha regla se aplica cuando hay polos complejos.
Con respecto al ngulo de llegada :
El ngulo de llegada asociado a un cero complejo (tomado como cero bajo consideracin)
corresponde a la suma de las contribuciones angulares de todos los polos de
G(s)H(s) al cero bajo consideracin la suma de todas las contribuciones
angulares de los ceros restantes de G(s)H(s) al cero bajo consideracin
.
Cundo se aplica esta regla
La presencia de ceros complejos origina la existencia de ngulos de llegada y corresponde al
ngulo con el cual la rama asociada, procedente de algn polo, llega al cero complejo bajo
consideracin. Por lo tanto, dicha regla se aplica cuando hay ceros complejos.
Ejemplo:
Para las siguientes funciones de transferencia de lazo abierto , si procede, obtenga
los ngulos de salida y los ngulos de llegada:
Solucin:
Todo LGR empieza con la representacin en el plano de los polos y ceros de ).
a) Para tal inciso se tiene un cero, ubicado en , y tres polos, uno en origen, , y
los restantes complejos . El hecho de contar con polos complejos asegura la
existencia de ramas, las cuales abandonarn al polo complejo con un determinado ngulo de
salida (cualquier polo complejo puede ser elegido como polo bajo consideracin; en este
caso, dicho polo ser .
-
La figura 6.13 muestra las contribuciones angulares de los ngulos de los polos restantes, as
como el ngulo del cero hacia el polo bajo consideracin; el ngulo de salida asociado a
es:
Por lo tanto, el ngulo de salida de la rama correspondiente con el polo es
, pero, debido a la simetra de los lugares geomtricos complejos, el ngulo de
salida de la rama que le corresponde al polo
Figura 16. Contribuciones angulares de los polos restantes y del cero hacia el polo considerado.
Como comentario, el LG de la funcin de transferencia considerada presenta las
asntotas ubicadas en el centroide . El LG resultante se muestra en la
figura 6.17.
-
Figura 17. LGR de G(s)H(s)=(s+2)/s(s^2+2s+5)
b) En este caso, presenta ceros y polos complejos, respectivamente:
y Los polos complejos aseguran la existencia de ramas, cuyos ngulos de
salida abandonarn al polo bajo consideracin con un ngulo , mientras los ceros
complejos confirman la presencia de ramas que llegarn al cero bajo consideracin con un
ngulo . Las figuras 6.18a y 6.18b muestran las contribuciones angulares para los ngulos
de salida y los respectivos de llegada.
-
Figura 18. Contribuciones angulares del polo restante y de los ngulos de los ceros hacia el polo considerado.
La figura 6.18a muestra la contribucin angular del polo restante, as como los ngulos de los
ceros hacia el polo bajo consideracin. Entonces, el ngulo de salida relacionado con
es:
La figura 6.18b muestra las contribuciones angulares de los polos, as como el ngulo del
cero complejo restante hacia el cero bajo consideracin , donde el ngulo de
llegada se relaciona con el cero :
Por lo tanto, el ngulo de llegada es . Al cero complejo restante le corresponde
un ngulo de llegada de
9. Puntos de salida y puntos de llegada.
Concepto de polos adyacentes. Con respecto a la configuracin mostrada en la figura 6.19a,
que consta de tres polos reales repetidos, se podra decir simplemente que el LGR
correspondiente es el mostrado en la figura 6.19b; sin embargo, es conveniente hacer la
siguiente consideracin.
Figura 19. Sistema con tres polos repetidos LGR correspondiente.
-
Con respecto a la figura 6.19a, supongamos que inicialmente los polos no estn en el mismo
lugar, sino que se encuentran separados, pero todos ellos an sobre el eje real, segn se
muestra en la figura 6.19c. Ya a estas alturas, contamos con argumentos suficientes para
establecer que los lugares geomtricos se ubican a la izquierda de elementos impares
situados en el eje real, razn por la cual observamos que entre los polos ,
asi como desde hasta habra lugares geomtricos. De lo anterior, se concluye
que cuando se presenta lugar geomtrico entre polos ( ), estos se denominan polos
adyacentes, pero al no haber lugar geomtrico entre los polos y , no sern
polos adyacentes.
En cuanto a la figura anterior, es posible aadir que siempre que existan polos adyacentes,
los inicios de sus correspondientes lugares geomtricos tendern a encontrarse, con lo que
provocaran un punto de salida, de tal manera que con incrementos de ganancia los lugares
geomtricos abandonaran el eje real, lo que dar lugar a ramas complejas.
Punto de salida (de separacin o de ruptura). Los lugares geomtricos que salen del
eje real (como consecuencia de adyacencia entre polos) lo harn con la ganancia
mxima posible que puede presentarse entre la regin real acotada por los
polos adyacentes.
Cundo se aplica esta regla
La presencia de polos adyacentes asegura la existencia de puntos de salida. Para determinar
el punto de salida hay dos alternativas: La primera de ellas consiste en evaluar la condicin
de magnitud, expresada por la ecuacin (6.7), para determinar el punto s, donde se presenta
la ganancia mxima para la regin acotada por los polos adyacentes:
Al rescribir la ecuacion anterior, obtenemos:
En el caso de la segunda opcion para determinar el punto de salida, simplemente hay que
aplicar el concepto de mximos y mnimos a la ecuacin (6.10).
Ejemplo:
Obtenga el punto de separacin para un determinado sistema cuya funcin de transferencia
de lazo abierto es:
Solucin:
-
El LG correspondiente es precisamente el mostrado en la figura 6.19c, por lo que se
proceder a cuantificar el punto de salida, pero hay que aplicar los dos mtodos
mencionados.
a) Obtencin de la ganancia mxima entre una regin real acotada.
La regin a considerar esta entre los polos adyacentes y , por lo que se
proceder a determinar el valor de s, en el que la ganancia sea mxima.
La tabla 6.1 muestra las diversas ganancias obtenidas para diferentes valores de
.
Tabla 1. Clculo de la ganancia mxima en el intervalo 6 < s < 1 al utilizar la ecuacin (6.10): K = |(s + 1)(s + 6)(s + 8)|.
s K
En la tabla anterior, se observa que el punto de separacin se ubica en el eje real cuando
, cuya ganancia es igual a 30.0411 unidades, que corresponde a la ganancia
mxima entre la regin real acotada por los polos adyacentes y .
b) Obtencin analtica de la ganancia mxima.
Sea el polinomio caracterstico de una funcin de transferencia de lazo cerrado:
donde la ganancia esta implcita en el factor (funcin de transferencia de trayectoria
directa). Para el caso por analizar:
de tal manera que si reordenamos la ecuacion anterior, obtenemos:
El maximo valor de ganancia se obtiene al derivar la ecuacin (c). Con respecto a :
-
En tanto que a partir del polinomio resultante se obtienen las races, las cuales indicaran el
mximo o los mximos de la funcin:
Las raices son y , por lo que el punto de salida corresponde a
.
Comentario sobre el punto de salida
Cuando existen dos nicos polos reales distintos sobre el eje real, el punto de salida se ubica
exactamente en la media geomtrica de ambos polos. La presencia de elementos
adicionales, ya sean ceros o polos, modifica la posicin del punto de salida, por lo cual habr
que calcularlo mediante alguno de los mtodos mencionados.
Punto de llegada. Las ramas de los lugares geomtricos (provenientes de polos)
llegan al eje real con una ganancia que corresponde al valor mnimo posible,
dentro de un rango acotado sobre el eje real.
Cundo se aplica esta regla
La presencia de cuando menos un cero en el eje real asegura la aplicacin de dicha regla.
Ejemplo:
Para la siguiente configuracin, expresada en forma de funcin de transferencia de lazo
abierto, obtenga e interprete el LGR:
Solucin:
La existencia de ceros reales: y , asegura la presencia de un punto de
llegada, el cual se evaluara ya sea a partir de la condicin de magnitud, dada por la ecuacin
(6.10), o bien, de manera analtica.
a) Obtencin de la ganancia mnima entre los polos: y .
A partir de la condicin de magnitud:
se evala la siguiente ecuacin para
Los resultados obtenidos se muestran en la tabla 6.2.
Tabla 2. Clculo de la ganancia mnima en el intervalo 6 < s < 3 al sustituir diversos valores s en la ecuacin (a).
s K
-
s K
Por los resultados mostrados, se observa que el punto de llegada est en , a la
que le corresponde una ganancia de 8.8942 unidades.
b) Obtencin analtica de la ganancia mnima.
Al reordenar la ecuacin
, se obtiene:
Las raices del polinomio son y (este ltimo
resultado carece de inters), por lo que el punto de llegada corresponde a y la
ganancia en dicho punto es . El LGR se muestra en la figura 6.20.
-
Figura 20. LGR de K(s+3)(s+6)/(s^2+2s+10)
La interpretacin del LGR radica en que en lazo cerrado el sistema se comportara en forma
subamortiguada para (REGION I), mientras que cuando es exactamente igual
a 8.8942, el sistema se comportara como crticamente amortiguado (REGION II) y si
8.8942, la respuesta del sistema ser de forma sobreamortiguada (REGION III). La
importancia del LGR radica en que indica el comportamiento total del sistema en lazo
cerrado cuando se varia la ganancia , por lo que es posible elegir una region de
funcionamiento que satisfaga, si es posible, los requisitos de funcionamiento. En caso de que
no se cumplan las especificaciones de operacin, queda el recurso de aadir controladores
(elementos que modifican el comportamiento del sistema.
10. Asignacin de escala al LGR.
Cualquier grafica de lugares geomtricos sin escalas carece de utilidad; por lo tanto, a todo
LGR se le debe asignar su respectiva escala.
-
Cundo se aplica esta regla
Esta regla siempre se aplica, ya que con dicho procedimiento es posible cuantificar la
ganancia en cualquier punto requerido del LGR.
Los polinomios presentan diversas caractersticas especiales, una de ellas, la que a nosotros
nos resulta de particular inters, es la siguiente: Sea un polinomio de grado , donde el
coeficiente correspondiente al trmino de mayor grado es unitario:
Las races del polinomio (6.11) son .
La suma de las races es igual a:
Para designar una escala todo LGR, primeramente se considera que la ecuacin (6.11)
representara los coeficientes de la ecuacin caracterstica , de manera
que la suma de todas las races de dicho polinomio caracterstico, ecuacin (6.12), siempre
corresponder al coeficiente multiplicado por ). El segundo factor a considerar,
para asignar la escala relacionada con todo LGR, es la condicin de magnitud definida por la
ecuacin (6.10), esto es:
en donde la ganancia ajustable esta implcita en la funcin de transferencia de trayectoria
directa
La asignacin de escala puede llevarse a cabo mediante forma analtica o por medio grafico
(en sus orgenes, el mtodo grafico era primordial; en la actualidad, con octave, matlab y
labview, etc. resulta obsoleto).
Ejemplo:
Con respecto a la siguiente funcin de transferencia de lazo abierto, justifique por que se
aplica o no cada una de las reglas para obtener el LGR respectivo; adems, asigne la escala
respectiva para diversos puntos de la configuracin, por lo que es:
Solucin:
Para obtener el LGR respectivo se justificara cada regla que tenga aplicacin. Todo LG
empieza con el diagrama de polos y ceros de G(s)H(s), que consta de tres polos reales:
-
1. Nmero de ramas del LGR. El LGR contara con tres ramas, porque tiene
tres polos.
2. Principio y fin del LGR. Los tres lugares geomtricos terminaran en el infinito (ya que
no existen ceros en la configuracin).
3. Lugares geomtricos en el eje real. Habr dos LG en el eje real ubicados en
.
4. Simetra de los LG complejos. La presencia de polos adyacentes asegura que, con
incrementos de ganancia, dos de las ramas tendrn comportamiento complejo, por lo cual
habr simetra de tales elementos con respecto al eje real.
5. y 6. Asntotas y centroide. Como los tres lugares geomtricos tienden al infinito, se
requieren tres asntotas, las cuales se obtienen por medio de la ecuacin (6.8), as como un
centroide para ubicar el punto de divergencia de las asntotas sobre el eje real; el centroide
se obtiene por medio de la ecuacin (6.9).
7. Cruce del LG con el eje imaginario. Debido a que dos de las asntotas se ubican a
60, se supone que con incrementos de ganancia los lugares geomtricos cruzaran el eje
La funcin de transferencia de lazo cerrado asociada a , donde se supone que
corresponde a:
De esta manera, al sustituir por , en la ecuacin caracterstica, se obtienen tanto la
ganancia , en el punto de cruce con el eje imaginario , como la frecuencia en dicho
punto de cruce:
Si la ganancia , el cruce del lugar geomtrico con el eje es de: 7.8740 .
8. ngulos de salida y de llegada. Puesto que no presenta polos ni ceros
complejos, no existirn ngulos de salida ni de llegada.
9. Puntos de salida y llegada. La presencia de los polos adyacentes y
confirman la existencia de un punto de salida, el cual se ubica en . Como no
existen ceros en el eje real, no se presentaran puntos de llegada.
El LGR resultante se muestra en la figura 6.21.
-
10. Asignacin de escala al LGR. Una vez que se tiene el LGR, se proceder a establecer una
escala a dicha representacin en diversos puntos del LG. Para ello, hay que utilizar tanto el
procedimiento analtico como el respectivo grafico.
Como ya se conoce el polinomio caracterstico descrito mediante la ecuacin (a), se
empleara la ecuacin (6.12), por lo cual la suma de todas las races de la ecuacin (a) ser
igual a:
Figura 21. LGR correspondiente a K/(s+1)(s+6)(s+8)
Ya que nuestro polinomio caracterstico es de tercer grado, para cada ganancia siempre
habr tres polos de lazo cerrado. Sabemos hasta ahora que la ganancia mxima que se le
pueda asignar al sistema, antes de que se comporte en forma inestable, es de
-
unidades; para tal valor de conocemos la ubicacin de dos de los tres polos,
, por lo que queda pendiente la ubicacin del tercer polo (obviamente tambin para
882). Como :
Lo anterior se interpreta de la siguiente forma. Con respecto a la rama que va desde
hasta , el punto mas alejado a elegir en dicha zona del eje real es de , ya
que cualquier punto seleccionado que sea menor que har inestable al sistema.
El rango de ganancias tiles es de , por lo que se proceder a determinar la
ganancia para que el sistema opere en diversos puntos del LGR. De qu depende la eleccin
de tales puntos?
La respuesta a tal pregunta es en si la razn de ser del LGR, ya que, si conocemos el
comportamiento total del sistema en lazo cerrado (significado de las ramas del lugar
geomtrico), sabremos si el sistema es capaz de comportarse con un determinado
amortiguamiento o, a una particular frecuencia angular de oscilacin , relacionar la
velocidad de respuesta practica de un sistema (ya que el reciproco del polo cerrado
correspondiente a una determinada rama equivale a la constante de tiempo de un sistema),
determinar en que momento un cierto(s) polo(s) pasa(n) a ser dominante(s), etctera.
Otro punto de inters reside en ubicar las races restantes de lazo cerrado cuando
(que corresponde al punto de salida por la adyacencia entre los polos
y ). Dicho punto de salida supone que , por lo que queda
pendiente determinar la posicin del polo . Como
Aunque ya sabemos que la ganancia en el punto de separacin es unidades,
mediante la condicin de magnitud expresada por la ecuacin (6.10) es posible verificar
dicho valor de ganancia:
Por lo tanto, podemos observar que para cualquier punto seleccionado en el LGR es posible
ubicar la posicin de los polos de lazo cerrado restantes, segn lo indica la ecuacin (6.12),
as como la ganancia que les corresponde, mediante la ecuacin (6.10).
Antes de la aparicin de software para resolver este tipo de problemas, se utilizaba el
mtodo grafico. Se seleccionaba un punto especifico de una rama y se proceda a cuantificar
la ganancia en dicho punto para, de esta manera, sintonizar al controlador proporcional
correspondiente (segn se indicara en el captulo 8). Aunque el mtodo grafico es obsoleto
-
frente al uso de octave, labview, Matlab, por su importancia se aplicara a continuacin, una
vez que se ha elegido un punto especifico de LGR, segn se muestra en la
figura 6.22. La ganancia en dicho punto se evala a partir de la condicin de magnitud,
ecuacin (b), al multiplicar las magnitudes individuales de las contribuciones vectoriales
de los polos de lazo abierto hacia el punto seleccionado del LGR:
Figura 22. Clculo de la ganancia K en s =-2 + 3.746 j.
LUGAR GEOMTRICO DE RACES CON OCTAVE Es conveniente enfatizar que con la simple instruccin rlocus, octave genera el
correspondiente LGR de la funcin de transferencia de lazo abierto por analizar.
Sin embargo, es de suma importancia que antes de utilizar dicha instruccin se tenga el
concepto del LGR; de ah la importancia del mtodo de Evans y lo expuesto en la seccin 6.3.
Uso de los comandos: rlocus(g), rlocus(g,incremento,kmin,kmax) y axis
Ejemplo:
Obtenga con Octave el LGR de:
Solucin:
Para obtener el lugar geomtrico de por medio de Octave, primero se definen,
mediante matrices fila, el numerador y el denominador de la funcin de transferencia de
lazo abierto:
-
>> pkg load control
>> num[1 6 10]; denconv(conv([1 0.5],[1 2]),[1 4]); % Definicin de G(s)H(s) % Para aplicaciones posteriores, G(s)H(s) se expresa como funcin % racional:
>> g=tf(num,den)
Transfer function 'g' from i
nput 'u1' to output ...
s^2 + 6 s + 10
y1: ----------------------
--
s^3 + 6.5 s^2 + 11 s + 4
Continuous-time model.
>> rlocus(g)
% Si se desea que el LGR se muestre mediante una serie de referencias
% espaciadas, se define el rango de ganancias K y el intervalo deseado: >> rlocus(g,0,0.1,50)
>> rlocus(g,0.1,0,20)
>> rlocus(g,0.1,0,1)
>> axis([5 0.2 2.5 2.5]) % Comando para personalizar los ejes. La figura 6.23 muestra el LGR resultante.
-
Figura 23. LGR de G(s)H(s)=K (s^2+6s+10)/(s+0.5)(s+2)(s+4)
DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL MEDIANTE EL LGR El LGR indica, de manera grfica, la evolucin de un sistema en lazo cerrado para variaciones
de ganancia, mientras la informacin suministrada en dicha grfica muestra las
caractersticas y las limitaciones propias de cada sistema, de aqu que con el conocimiento
de su comportamiento es posible seleccionar un punto especfico del LGR, segn los
requisitos a satisfacer por parte del diseador.
ESTABILIDAD RELATIVA, MRGENES DE GANANCIA Y FASE Es bien sabido que un sistema es estable si todos sus polos estn a la izquierda del eje ,
segn se muestra en la figura 6.24a. Sin embargo, la regin til del plano puede acotarse
an ms, como lo indica la figura 6.24b, ya que polos reales situados a la izquierda del
origen, pero cercanos a ste, presentan una respuesta lenta; si adems los polos son
complejos, la respuesta presentar un comportamiento muy oscilatorio.
-
Figura 24. Regin de estabilidad en el plano s. a) Definicin formal de estabilidad. b) Acotamiento a la izquierda del eje j.
Con el objetivo de cuantificar la regin til del semiplano izquierdo, se introduce el concepto
de estabilidad relativa, la cual en principio establece qu tanto se puede recorrer el eje
hacia la izquierda hasta llegar al polo o los polos dominantes (si se supone que stos son
complejos). La figura 6.25 ilustra este concepto en forma grfica.
Figura 25. Concepto de estabilidad relativa.
El criterio de Routh-Hurwitz es un procedimiento que indica simplemente si un sistema es
estable o no, de ah que a dicho mtodo se le catalogue como de estabilidad absoluta.
Segn se mencion, el polo dominante es el elemento que ejerce mayor influencia sobre el
sistema; si dicho polo presenta parte real e imaginaria, , la parte real ser
indicativa de la velocidad de respuesta (ya que el recproco en valor absoluto del polo define
a la constante de tiempo ) y la parte imaginaria ser la responsable de la frecuencia angular
de oscilacin del sistema.
Por lo tanto, la estabilidad relativa ser un indicador de cun estable es un sistema con
respecto a los componentes real e imaginario.
Si se considera que la ganancia de diseo es el factor por el que hay que multiplicar a
para que el sistema opere en un punto especfico del LGR (el cual se elige segn
las especificaciones particulares que deba satisfacer cada sistema), el margen de ganancia
se define como el factor positivo por el que se multiplica la ganancia de diseo para
que el sistema se torne marginalmente estable. Hay que recordar la regla que hace
-
referencia al punto de cruce del LGR con el eje (llamada frecuencia ); a la ganancia en
dicho punto de cruce se le denomina ganancia mxima , por lo que ser de gran
importancia en la sintonizacin de los diferentes tipos de controladores, lo cual se expondr
en el captulo 8.
El margen de ganancia se obtiene a partir del LGR al aplicar la siguiente ecuacin:
Si , el sistema es inestable, ya que excedera el valor de la ganancia mxima .
Para configuraciones en los que el LGR nunca cruza el eje , se dice que el sistema tiene un
margen de ganancia infinito, lo cual indica que los sistemas son estables para toda ganancia,
por ejemplo, los sistemas de primero y segundo grados. El rango de mrgenes de ganancia
recomendable est comprendido en el intervalo: unidades.
Ejemplo:
Para el sistema definido por , cuyo LGR se muestra en
la figura 6.26, obtenga el margen de ganancia en donde se ha elegido una ganancia de
diseo unidades (los polos de lazo cerrado para tal ganancia son
. Considere que la ganancia mxima del sistema es unidades y
que el punto de cruce con el eje es rad/seg.
Figura 26. LGR de G(s)H(s)=40K/(s(s+4)(s+10))
Solucin:
Al aplicar la ecuacin (6.13), se obtiene el margen de ganancia:
-
Cmo se interpreta el resultado anterior?
La estabilidad relativa relacionada con unidades est muy cercana al lmite
inferior recomendado, razn por la cual la respuesta del sistema de lazo cerrado al escaln
ser oscilatoria, segn se muestra en la figura 6.33. La estabilidad relativa del sistema en
cuanto a margen de ganancia mejorara si se disminuyera la ganancia de diseo El
significado del escaso margen de ganancia se relaciona con la parte real de los polos
dominantes del sistema, y la constante de tiempo correspondiente es:
, por lo que el sistema alcanzar su valor final prctico en 4.848 seg.
La aproximacin polinmica a segundo grado es vlida por la lejana del tercer polo de lazo
cerrado ( ) con respecto a los polos cuadrticos dominantes.
Figura 27.
Para Definir y cuantificar el margen de fase hay que hacer ciertas consideraciones
previas. Como se mencion en la seccin 6.3.1, la ecuacin (6.7) lleva implcito un factor de
magnitud y un factor de fase:
por lo que toda funcin de transferencia es de la forma:
-
que puede ser representada en forma polar:
Cada factor
representa vectores dirigidos desde los ceros y los
polos a puntos especficos situados en el eje
La ecuacin anterior queda expresada en trminos de magnitudes y fases. El factor de
magnitud corresponde a:
y el factor de fase queda representado por:
La ecuacin (6.14) indica que la magnitud del vector resultante es igual a la ganancia
multiplicada por el cociente de las magnitudes de los ceros y dividida entre las magnitudes
de los polos. La ecuacin (6.15) representa la fase del vector resultante debido a la suma
algebraica de las contribuciones angulares de los ceros menos las contribuciones angulares
de los polos.
El margen de fase de un sistema definido por se obtiene a partir del LGR al
sustituir por para determinar el punto , donde se satisfaga:
para el valor seleccionado de ganancia de diseo :
Para cuantificar el valor de que satisfaga la ecuacin anterior, en general hay que emplear
algn mtodo recurrente. Una vez que es conocido, el margen de fase se obtiene a
partir de la ecuacin:
-
Si el sistema es inestable, ya que (que en general es negativo por la
mayora de polos con respecto a ceros), excedera al ngulo positivo de 180. El rango de
mrgenes de fase recomendable est comprendido en el intervalo
Ejemplo:
Para el sistema definido por , cuyo LGR se mostr en la
figura 6.26, obtenga el margen de fase donde se ha elegido una ganancia de diseo
6 unidades.
Solucin:
La figura 6.28 contiene los vectores de los polos dirigidos al
punto en el eje
Figura 28. Contribuciones de magnitudes polares al punto 3.963 j.
Si se particulariza la ecuacin (6.7) con respecto a la condicin de magnitud y se considera
que unidades:
por lo que:
Habiendo determinado que el punto satisface el requisito impuesto por la
ecuacin (6.16), se procede a obtener la fase de empleando la ecuacin
(6.15):
Finalmente, el margen de fase se calcula como lo indica la ecuacion (6.17):
-
Los margenes de ganancia y fase pueden Definirse de una manera alternativa al llevar a cabo
un anlisis en frecuencia (tema no cubierto en el texto). El margen de ganancia y el margen
de fase se determinan con Octave al aplicar la instruccin: [Gm,Pm,Wcg,Wcp] margin(g)
donde:
Gm margen de ganancia.
Pm margen de fase.
Wcg frecuencia , en la que el LGR cruza el eje Wcp frecuencia , donde se cumple la condicion:
Ejemplo:
Con Octave, obtenga los mrgenes de ganancia y fase para el sistema ,
considerando que unidades:
Solucin:
El siguiente cdigo permite cuantificar directamente los mrgenes de ganancia y fase con
Octave:
>> num[240];
>> denconv(conv([1 0],[1 4]),[1 10]);
>> g=tf(num,den);
>> [Gm,Pm,Wcg,Wcp]margin(g)
Gm 2.3333
Pm 23.6516
Wcg 6.3246
Wcp 3.9627
GENERALIZACIN DEL LGR (VARIACIN DE PARMETROS DISTINTOS A LA GANANCIA K) En la seccin 6.3 se comento que, en principio, el mtodo del lugar geomtrico de races
serva para determinar todas las posibles races de una ecuacin caracterstica de
cuando se variaba la ganancia de un sistema, y de esta forma era
posible conocer el comportamiento total de la configuracin en lazo cerrado para el rgimen
transitorio. Sin embargo, el mtodo de LGR puede utilizarse para hacer variar cualquier otro
parmetro del sistema, por ejemplo, ubicar un determinado polo , ajustar el
amortiguamiento de un polinomio caracterstico, etctera.
Ejemplo:
Obtenga el LGR de las configuraciones mostradas en la figura 6.29 y 6.30 para el intervalo
indicado del parmetro ajustable respectivo.
-
a) Considere en principio , por lo que los polos de lazo cerrado se
ubicaran en y ; por lo tanto, el sistema resultante logra
aproximarse a un polinomio cuadrtico. Si se mantiene fija la ganancia , analice el
comportamiento del parametro a para el intervalo
Figura 29. Configuracin donde se analizarn las variaciones del parmetro ajustable a.
b) Analice las variaciones de amortiguamiento para .
Figura 30. Configuracin donde se analizarn las variaciones del amortiguamiento .
Solucin:
a) Al considerar una ganancia fija y un factor ajustable, la funcin de
transferencia de lazo abierto resultante es:
Para graficar el lugar geomtrico de races en funcin del parmetro ajustable , la ecuacin
(a) debe escribirse de cierta forma para obtener una expresin adecuada para la nueva
funcin de transferencia de lazo abierto resultante:
El denominador de la ecuacin (b) debe llevarse a la forma para obtener la
nueva expresin . As, la ecuacin (b) se multiplica y divide por el factor:
de donde se obtiene la nueva representacin de la funcin de transferencia de lazo cerrado
-
La expresin resultante para es:
El LGR respectivo, que indica las variaciones del factor , se muestra en la figura 6.31;
el sistema es estable si .
Figura 31. LGR de G(s)H(s)^'=a s(s+4)/(s^3+4s^2+32.4854)
La tabla 6.3 muestra los polos de lazo cerrado para , 10 y 15 unidades, pero hay que
considerar que la ganancia es constante.
b) Para este inciso, se obtendr el LGR, para lo cual hay que tomar en cuenta que el
amortiguamiento vara en el rango
Tabla 3. Ubicacin de los polos de lazo cerrado para el parmetro a = 5, 10 y 15; la ganancia K en todos los casos es de 32.4854 unidades.
a = 5 a = 10 a = 15
Polo
Polo
Polo
La funcin de transferencia de lazo cerrado de la figura 6.30 es:
-
La ecuacin anterior debe modificarse para encontrar una nueva representacin de
en terminos del parmetro ajustable , para proceder a representar su
respectivo LGR:
La nueva expresin es:
El LGR de , que indica las variaciones de , se muestra en la figura 6.37. El sistema
es estable para 0. La tabla 6.4 presenta los polos de lazo cerrado para 0, 3.1623 y 5.
Tabla 4. Ubicacin de los polos de lazo cerrado para el parmetro = 0, 3.16 y 5.
= 0 = 3.1623 = 5 Polo
Polo
Figura 32. LGR de G(s)H(s)^'= 2s/(s^2+10)
CONTORNO DE RACES
-
En la seccin anterior se uso el mtodo del LGR para determinar el comportamiento de un
sistema variando un parmetro diferente a la ganancia. En esta seccin, se variaran dos
parmetros, de tal forma que al lugar geomtrico resultante se le denominara contorno de
races.
Ejemplo:
Para el sistema mostrado en la figura 6.33, obtenga el contorno de races, considerando que
tanto la ganancia como la posicin del polo relacionado con el factor son
parmetros ajustables.
Figura 33. Sistema donde se consideran dos parmetros ajustables, K y a. A la configuracin resultante se le denomina
contorno de races.
Solucin:
Primero se obtendr el LGR, pero habr que suponer variaciones de ganancia en el rango
y considerar que , por lo que la primera funcin de transferencia de lazo
abierto que ser representada como lugar geomtrico es:
El LGR de que se muestra en la figura 6.34 indica que el sistema resultante en lazo
cerrado siempre ser inestable. La tabla 6.5 presenta la ubicacin de los polos de lazo
cerrado para determinadas ganancias.
Tabla 5. Ubicacin de los polos de lazo cerrado para K = 21; 118.36 y 365.77.
K = 21 K = 118.36 K = 365.77
Polo
Polo
Polo
-
Figura 34. LGR de K/(s^2 (s+4) )
La funcin de transferencia de lazo cerrado considerando al parmetro corresponde
a:
donde la nueva expresin de la funcin de transferencia es de lazo abierto:
A continuacin se proceder a obtener el LGR de la ecuacin (b), el cual se muestra en la
figura 6.35, considerando una ganancia constante de 21 unidades (las variaciones en las
posiciones de las ramas indican ajustes del parmetro dentro del rango
-
Figura 35. LGR de G(s)H(s)^'=a s(s+4)/(s^3+4s^2+K)
El punto seleccionado en la figura anterior es , con lo que la funcin de
transferencia de lazo cerrado corresponde a:
Por lo tanto, si y , las posiciones de los polos de lazo cerrado son
.
A la representacin simultanea de dos o ms parmetros ajustables se le denomina
contorno de races; para el caso analizado, se graficaran a la par los LGR de las ecuaciones (a)
y (b), que estn representados en la figura 6.36.
-
Figura 36. Contorno de races de K
Los puntos , y , referidos en la figura 6.36, se eligieron para diversos valores de y
que estn indicados en la tabla 6.6 junto con los polos resultantes de lazo cerrado, en cada
caso.
Tabla 6. Ubicacin de los polos de lazo cerrado para K = 21, 118.36 y 365.77.
p1 p2 p3
PROBLEMAS 6.1 Para los siguientes polinomios caractersticos, aplique el criterio de Routh-Hurwitz con la
finalidad de determinar el nmero de polos que se encuentran en el semiplano derecho del
plano .
-
6.2 Para las configuraciones mostradas en la figura 6.37, determine la estabilidad o
inestabilidad de los sistemas, aplicando el criterio de Routh-Hurwitz al polinomio
caracterstico resultante de la funcin de transferencia de lazo cerrado
Figura 37. Diagrama de bloques por analizar.
Figura 38. Diagrama de bloques por analizar.
Figura 39. Diagrama de bloques por analizar.
6.3 Por el mtodo de Routh-Hurwitz, analice la estabilidad de los siguientes polinomios
caractersticos:
-
6.4 Para los siguientes polinomios caractersticos, determine el rango de ganancias para los
cuales los sistemas sean estables.
6.5 Para las configuraciones mostradas en la figura 6.40, determine el rango de ganancias
para el cual los sistemas son estables.
Figura 40. Diagrama de bloques por analizar.
Figura 41. Diagrama de bloques por analizar.
6.6 Sea el sistema mostrado en la figura 6.42, que representa un motor de CD controlado
por corriente de armadura y el cual queda definido por:
donde:
-
La adicin a la configuracin original de un comparador, as como un amplificador de
ganancia ajustable y de un tacmetro hacen posible la configuracin de lazo cerrado
mostrada en la figura 6.42b. El acoplamiento de un tacmetro (a manera de sensor) al eje
del motor permite generar un voltaje que es proporcional a la velocidad del motor
( ). Determine el rango de valores de ganancia para los cuales el
sistema es estable.
Figura 6.42a Motor de CD controlado por corriente de armadura.
Figura 42. Sistema retroalimentado.
6.7 Cul es el significado del lugar geomtrico de races?
6.8 Para las siguientes funciones de transferencia de lazo abierto, indique cules de las
reglas propuestas por Evans se aplican para obtener el LGR correspondiente.
-
6.9 Un sistema de control de la temperatura en un tanque se ilustra en la figura 6.43. La
temperatura en el tanque cambia a razn de 0.28 C por cada 5 mv aplicados a la
servovlvula. La variacin de la temperatura en el tanque es de 3.5 C/seg por cada volt
aplicado. Como sensor de temperatura se utiliza un termopar tipo , que genera 6.36 mv/C,
el cual se coloca a una cierta distancia del flujo de salida, por lo que se produce un atraso de
tiempo . Obtenga:
a) La aproximacin de Pad de tercer grado para el atraso de tiempo dado.
Figura 43. Sistema de control de temperatura en un tanque.
b) El LGR de la funcin de transferencia de lazo abierto resultante, suponiendo que la
ganancia del controlador es unitaria.
6.10 Con respecto al problema 6.9, ajuste la ganancia del controlador, de tal manera que
el sistema tenga un comportamiento crticamente amortiguado. Para el resultado obtenido,
indique si la aproximacin a polinomio cuadrtico es vlida.
6.11 Escriba un archivo en Octave que lleve a cabo la solucin del problema 6.10.
6.12 Con respecto al problema 6.9, empleando Octave, obtenga una expresin analtica
para la funcin de transferencia de lazo cerrado , considerando que la ganancia del
controlador es de 12.7767 unidades. Verifique que los polos de lazo cerrado estn
ubicados en y . Adems, obtenga la
-
representacin grfica de la respuesta del sistema cuando se le aplica una entrada escaln
unitario.
6.13 Para un sistema con funcin de transferencia de lazo abierto:
ajuste la ganancia con la finalidad de que la respuesta del sistema en lazo cerrado al
escaln unitario tenga un mximo pico de sobreimpulso de 13.324%. Para el valor calculado
de , obtenga la frecuencia natural no amortiguada, as como la velocidad de respuesta
prctica del sistema; adems, indique si es vlida la aproximacin a polinomio cuadrtico
para la ganancia seleccionada.
6.14 Cul es la interpretacin fsica del margen de fase y del margen de ganancia ?
Qu parmetros del rgimen transitorio pueden asociarse con los mrgenes de fase y
ganancia?
REFERENCIAS Barrientos, A., Sanz, R., Matia, F. y Gambao, E., Control de sistemas continuos, problemas resueltos, McGraw-Hill, 1996.
Bishop, H. R., Modern control systems analysis and design using MATLAB and Simulink, Addison- Wesley, 1997.
Diestefano, J. J., Stubberaud, A. R. y Williams, I. J., Feedback and control systems, serie Schaum, Mc
Graw-Hill, 1990.
Leonard, N. E., Using MATLAB to analyze and design control systems, Addison-Wesley, 1995. Lewis, P. H. y Yang Ch., Sistemas de control en ingeniera, Prentice-Hall, 1999. Nise, N. S., Control solutions to accompany Control Systems Engineering, John Wiley & Sons, 2004.
Ogata, K., Solving control engineering problems with MATLAB, Prentice Hall, 1994. Rodriguez A., J. E., Introduccin a la ingeniera de control automtico, McGraw-Hill, 1998.
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