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CT4201/EC4215: Computer Graphics

TransformationBOCHANG MOON

Transformation• Fundamental operation to arrange objects in a 3D scene

Object 3D scene

Transformation: Scaling• Change length along the coordinate axes

◦ 𝑠𝑐𝑎𝑙𝑒 𝑠 , 𝑠𝑠 00 𝑠

◦𝑠 00 𝑠

𝑥𝑦

𝑠 𝑥𝑠 𝑦

x

y

x

y

0.5 00 0.5

Transformation: Scaling• Change length along the coordinate axes

◦ 𝑠𝑐𝑎𝑙𝑒 𝑠 , 𝑠𝑠 00 𝑠

◦𝑠 00 𝑠

𝑥𝑦

𝑠 𝑥𝑠 𝑦

x

y

x

y

0.5 00 2.0

Transformation: Shearing• Push objects sideways along horizontal or vertical direction◦ 𝑠ℎ𝑒𝑎𝑟 𝑠 1 𝑠

0 1◦ 𝑠ℎ𝑒𝑎𝑟 𝑠 1 0

𝑠 1

x

y

x

y

1 10 1

Transformation: Shearing• Push objects sideways along horizontal or vertical direction◦ 𝑠ℎ𝑒𝑎𝑟 𝑠 1 𝑠

0 1◦ 𝑠ℎ𝑒𝑎𝑟 𝑠 1 0

𝑠 1

x

y

x

y

1 01 1

Transformation: Rotation• Rotate objects counterclockwise◦ 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑡𝑒 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃

x

y

x

y

𝑐𝑜𝑠𝜋4 𝑠𝑖𝑛

𝜋4

𝑠𝑖𝑛𝜋4 𝑐𝑜𝑠

𝜋4

45 degrees

Transformation: Rotation• Rotate objects counterclockwise◦ 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑡𝑒 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃

x

y

x

y

𝑐𝑜𝑠𝜋

4 𝑠𝑖𝑛𝜋

4𝑠𝑖𝑛

𝜋4 𝑐𝑜𝑠

𝜋4

‐45 degrees

Transformation: Reflection• Reflect objects across either of the coordinate axes◦ 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑐𝑡_𝑦 1 0

0 1

x

y

x

y

Transformation: Reflection• Reflect objects across either of the coordinate axes◦ 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑐𝑡_𝑥 1 0

0 1

x

y

x

y

Transformation: Composition• Apply more than one transformation to an object

• e.g. apply a scale S, and then a rotation R◦

𝑥𝑦 𝑅𝑆

𝑥𝑦

x

y

x

y

Transformation: Composition• Apply more than one transformation to an object

• e.g. apply a scale S, and then a rotation R◦

𝑥𝑦 𝑆

𝑥𝑦

x

y

x

y

Transformation: Composition• Apply more than one transformation to an object

• e.g. apply a scale S, and then a rotation R◦

𝑥𝑦 𝑅

𝑥𝑦

x

y

x

y

Inverse Transformation• Your transformation◦ 𝑥 𝑅𝑆𝑥 𝑇𝑥

• Undo your transformation◦ 𝑥 𝑇 𝑥

x

y

x

y

Inverse Transformation• Your transformation◦ 𝑥 𝑅𝑆𝑥 𝑇𝑥

• Undo your transformation◦ 𝑥 𝑇 𝑥 𝑅𝑆 𝑥 𝑆 𝑅 𝑥

x

y

x

y

Inverse Transformation• Your transformation◦ 𝑥 𝑅𝑆𝑥 𝑇𝑥

• Undo your transformation◦ 𝑥 𝑇 𝑥 𝑅𝑆 𝑥 𝑆 𝑅 𝑥

x

y

x

y

𝑅

Inverse Transformation• Your transformation◦ 𝑥 𝑅𝑆𝑥 𝑇𝑥

• Undo your transformation◦ 𝑥 𝑇 𝑥 𝑅𝑆 𝑥 𝑆 𝑅 𝑥

x

y

x

y

𝑆

Inverse Matrix• M = 2 x 2 matrix

◦ 𝑀 𝑀 𝑀𝑀 𝑀

◦ 𝑀 𝑀 𝑀𝑀 𝑀